Upload
others
View
77
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Grafuri planareDefinitii si exemple
Un graf G este planar daca poate fi desenat ın plan astfel ıncatmuchiile sa nu se intersecteze decat ın nodurile grafului. O astfelde desenare se numeste reprezentare planara a lui G .
Exemplu (Grafuri planare)
. . . . ...
.. . .
..
. .
.
.
.
.
.
Curs 14
Grafuri planareDefinitii si exemple
Un graf G este planar daca poate fi desenat ın plan astfel ıncatmuchiile sa nu se intersecteze decat ın nodurile grafului. O astfelde desenare se numeste reprezentare planara a lui G .
Exemplu (Grafuri planare)
. . . . ...
.. . .
..
. .
.
.
.
.
.
Curs 14
Notiuni auxiliare
Regiune a unei reprezentari planare a grafului G : portiune din plan ıncare orice 2 puncte pot fi unite cu o curba care nu intersecteaza G
Exemplu
. . .
.
.
.
. .
.
. .
determina 7 regiuni
R1R7
R2 R3R4
R5 R6
R7 este regiunea exterioara
Orice regiune este delimitata de muchii.
Orice muchie este ın contact cu una sau doua regiuni.
O muchie margineste o regiune R daca este ın contact cu R si cualta regiune.
Curs 14
Notiuni auxiliare
Regiune a unei reprezentari planare a grafului G : portiune din plan ıncare orice 2 puncte pot fi unite cu o curba care nu intersecteaza G
Exemplu
. . .
.
.
.
. .
.
. .
determina 7 regiuniR1R7
R2 R3R4
R5 R6
R7 este regiunea exterioara
Orice regiune este delimitata de muchii.
Orice muchie este ın contact cu una sau doua regiuni.
O muchie margineste o regiune R daca este ın contact cu R si cualta regiune.
Curs 14
Notiuni auxiliare
Regiune a unei reprezentari planare a grafului G : portiune din plan ıncare orice 2 puncte pot fi unite cu o curba care nu intersecteaza G
Exemplu
. . .
.
.
.
. .
.
. .
determina 7 regiuniR1R7
R2 R3R4
R5 R6
R7 este regiunea exterioara
Orice regiune este delimitata de muchii.
Orice muchie este ın contact cu una sau doua regiuni.
O muchie margineste o regiune R daca este ın contact cu R si cualta regiune.
Curs 14
Regiuni si grade de marginire
.
.
.
.
..
. .
e1
e2
e3
e4
e5
e 6e 7
e8
e9
S1
S2 S3
e1 este ın contact doar cu S1
e2 si e3 sunt ın contact doar cu S2
S1 este marginita de e7, e8, e9
S3 este marginita de e4, e5, e6
S2 este marginita de e4, e5, e6, e7, e8, e9
Gradul de marginire b(S) al unei regiuni S este numarul de muchiicare marginesc S .
b(S1) = 3, b(S2) = 6, b(S3) = 3
Curs 14
Regiuni si grade de marginire
.
.
.
.
..
. .
e1
e2
e3
e4
e5
e 6e 7
e8
e9
S1
S2 S3
e1 este ın contact doar cu S1
e2 si e3 sunt ın contact doar cu S2
S1 este marginita de e7, e8, e9
S3 este marginita de e4, e5, e6
S2 este marginita de e4, e5, e6, e7, e8, e9
Gradul de marginire b(S) al unei regiuni S este numarul de muchiicare marginesc S .
b(S1) = 3, b(S2) = 6, b(S3) = 3
Curs 14
Proprietati
Fie G un graf conex cu n noduri, q muchii, si o reprezentare planara a luiG cu r regiuni.
n − q + r = 2 ın toate cazurile.
Curs 14
Proprietati
Fie G un graf conex cu n noduri, q muchii, si o reprezentare planara a luiG cu r regiuni.
n − q + r = 2 ın toate cazurile.
Curs 14
Proprietati ale grafurilor planare conexe
Teorema (Formula lui Euler)
Daca G este un graf planar conex cu n noduri, q muchii si rregiuni, atunci n − q + r = 2.
Demonstratie: Inductie dupa q.Cazul 1: q = 0⇒ G = K1, pentru care n = 1, q = 0, r = 1, decin − q + r = 2.Cazul 2: G este arbore ⇒ q = n − 1 si r = 1, decin − q + r = n − (n − 1) + 1 = 2.Cazul 3: G este arbore conex cu cel putin 1 ciclu. Fie e omuchie din ciclul respectiv, si G ′ = G − e.G ′ este conex cu n noduri, q − 1 muchii, si r − 1 regiuni ⇒conform ipotezei inductive: n − (q − 1) + (r − 1) = 2. Rezulta can − q + r = 2 are loc si ın acest caz.
Curs 14
Consecinte ale formulei lui Euler
Consecinta 1
K3,3 nu este graf planar.
Demonstratie: K3,3 are n = 6 si q = 9 ⇒ daca ar fi planar, ar
avea r = q − n + 2 = 5 regiuni Ri (1 ≤ i ≤ 5). Fie C =5∑
i=1
b(Ri ).
Orice muchie margineste cel mult 2 regiuni ⇒ C ≤ 2 q = 18.
K3,3 este bipartit ⇒ nu contine C3 ca subgraf, deci b(Si ) ≥ 4pentru toti i , si prin urmare C ≥ 4 · 5 = 20
⇒ contradictie, deci K3,3 nu poate fi graf planar.
Curs 14
Consecinte ale formulei lui Euler
Consecinta 2
Daca G este graf planar cu n ≥ 3 noduri si q muchii atunci q ≤ 3 n − 6.Mai mult, daca q = 3 n− 6 atunci b(S) = 3 pentru orice regiune S din G .
Demonstratie. Fie R1, . . . ,Rr regiunile lui G , si C =r∑
i=1
b(Ri ). Stim
ca C ≤ 2 q si ca C ≥ 3r (deoarece b(Ri ) ≥ 3 pentru toti i). Deci3 r ≤ 2 q ⇒ 3 (2 + q − n) ≤ 2 q ⇒ q ≤ 3n − 6.Daca egalitatea are loc, atunci3 r = 2 q ⇒ C =
∑ri=1 b(Ri ) = 3 r ⇒ b(Ri ) = 3 pt. toate regiunile Ri .
Consecinta 3
K5 nu este graf planar.
Demonstratie: K5 are n = 5 noduri si q = 10 muchii
⇒ 3 n − 6 = 9 < 10 = q ⇒ K5 nu poate fi planar (cf. Consecintei 2).
Curs 14
Consecinte ale formulei lui Euler
Consecinta 2
Daca G este graf planar cu n ≥ 3 noduri si q muchii atunci q ≤ 3 n − 6.Mai mult, daca q = 3 n− 6 atunci b(S) = 3 pentru orice regiune S din G .
Demonstratie. Fie R1, . . . ,Rr regiunile lui G , si C =r∑
i=1
b(Ri ). Stim
ca C ≤ 2 q si ca C ≥ 3r (deoarece b(Ri ) ≥ 3 pentru toti i). Deci3 r ≤ 2 q ⇒ 3 (2 + q − n) ≤ 2 q ⇒ q ≤ 3n − 6.Daca egalitatea are loc, atunci3 r = 2 q ⇒ C =
∑ri=1 b(Ri ) = 3 r ⇒ b(Ri ) = 3 pt. toate regiunile Ri .
Consecinta 3
K5 nu este graf planar.
Demonstratie: K5 are n = 5 noduri si q = 10 muchii
⇒ 3 n − 6 = 9 < 10 = q ⇒ K5 nu poate fi planar (cf. Consecintei 2).
Curs 14
Consecinte ale formulei lui Euler
Consecinta 4
δ(G ) ≤ 5 pentru orice graf planar G .
Demonstratie: Presupunem ca G este graf planar cu n noduri siq muchii.Cazul 1: n ≤ 6⇒ orice nod are grad ≤ 5 ⇒ δ(G ) ≤ 5.
Cazul 2: n > 6. Fie D =∑v∈V
deg(v). Rezulta ca
D = 2 q (evident)
≤ 2 (3 n − 6) (conform Consecintei 2)
= 6 n − 12.
Daca δ(G ) ≥ 6 atunci D =∑v∈V
deg(v) ≥∑v∈V
6 = 6 n, contradictie.
Deci δ(G ) ≤ 5 trebuie sa aiba loc.
Curs 14
Subdiviziuni
Fie G = (V ,E ) un graf neorientat, si (x , y) o muchie.
O subdiviziune a lui (x , y) ın G este o ınlocuire a lui (x , y) ınG cu o cale de la x la y prin puncte intermediare noi.
Un graf H este o subdiviziune a unui graf G daca H se poateobtine din G printr-o secventa finita de subdiviziuni de muchii.
Exemplu
G :.
. .
.
. H :.
. .
.
...
.
.
Curs 14
Criterii de detectie a grafurilor planare
Spunem ca un graf G contine un graf H daca H se poate obtineprin eliminarea de noduri si muchii din G .
Remarca
Daca H este subgraf al lui G atunci G contine H. Reciproca estefalsa: ,,G contine H” nu implica ,,H este subgraf al lui G”.
H este subgraf al lui G doar daca se poate obtine din G prineliminare de noduri.
Teorema (Teorema lui Kuratowski)
G este graf planar daca si numai daca nu contine subdiviziuni alelui K3,3 si ale lui K5.
Curs 14
Detectia grafurilor neplanareCriteriu bazat pe Teorema lui Kuratowski
Este G = (V ,E ) neplanar?1 Mai ıntai verificam daca G contine o subdiviziune a lui K3,3:
I Determinam multimea S de noduri v ∈ E cu deg(v) ≥ 3.
Daca |S | < 6, G nu poate contine o subdiviziune a lui K3,3.Altfel, verificam daca putem alege 6 puncte din S care pot ficapete ale unei subdiviziuni a lui K3,3.
2 Apoi, verificam daca G contine o subdiviziune a lui K5:I Determinam multimea S ′ de noduri v ∈ E cu deg(v) ≥ 4.
Daca |S ′| < 5, G nu poate contine o subdiviziune a lui K5.Altfel, verificam daca putem alege 5 puncte din S ′ care pot ficapete ale unei subdiviziuni a lui K3,3.
3 Daca ambele verificari esueaza ⇒ G este graf planar.
Curs 14
Teorema lui KuratowskiExemple ilustrate
Aplicati teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurileurmatoare este planar:
1. 1
7
23
4
5 6
Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K3,3:
1 7
3
5
2
4
6
2. 1
23
4
5
67
8
Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K3,3:
4
5
6
2
1
8
3
7
Curs 14
Teorema lui KuratowskiExemple ilustrate
Aplicati teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurileurmatoare este planar:
1. 1
7
23
4
5 6
Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K3,3:
1 7
3
5
2
4
6
2. 1
23
4
5
67
8
Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K3,3:
4
5
6
2
1
8
3
7
Curs 14
Teorema lui KuratowskiExemple ilustrate
Aplicati teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurileurmatoare este planar:
1. 1
7
23
4
5 6
Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K3,3:
1 7
3
5
2
4
6
2. 1
23
4
5
67
8
Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K3,3:
4
5
6
2
1
8
3
7
Curs 14
Teorema lui KuratowskiExemple ilustrate
Aplicati teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurileurmatoare este planar:
3. 1
23
4
5
67
8
Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K5:
2
35
6 4 87
1
4.
a1
a2
a3 a4
a5
1
2
3 4
5
Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K3,3:a4
1
a3
5
a1
2
4
3
a5 a2
Curs 14
Teorema lui KuratowskiExemple ilustrate
Aplicati teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurileurmatoare este planar:
3. 1
23
4
5
67
8
Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K5:
2
35
6 4 87
1
4.
a1
a2
a3 a4
a5
1
2
3 4
5
Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K3,3:a4
1
a3
5
a1
2
4
3
a5 a2
Curs 14
Teorema lui KuratowskiExemple ilustrate
Aplicati teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurileurmatoare este planar:
3. 1
23
4
5
67
8
Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K5:
2
35
6 4 87
1
4.
a1
a2
a3 a4
a5
1
2
3 4
5Nu, deoarece contine o subdiviziune a lui K3,3:a4
1
a3
5
a1
2
4
3
a5 a2
Curs 14
Teoria lui RamseyIntroducere
Teoria lui Ramsey = teorie referitoare la studiul obiectelorcombinatoriale si a conditiilor care se ocupa cu distributiasubmultimilor de elemente ale unei multimi.
Numita dupa matematicianul si filozoful englez Frank P.Ramsey (1903-1930).
Rezultate semnificative au fost descoperite ulterilor de P.Erdos.
In prezent: tema activa de cercetare ın TGC: numeroaseprobleme nerezolvate ınca.
Problema grupului de persoane ıntrunite:
Care este numarul minim R(m, n) de persoane care trebuieinvitate la o ıntrunire, pentru a fi siguri ca una dinurmatoarele conditii are loc:
1 ori exista un grup de m persoane care se cunosc toate ıntre ele2 ori exista un grup de n persoane ın care nimeni nu se cunoaste
cu nimeni.
Curs 14
Notiuni preliminare
O 2-colorare a muchiilor unui graf G este o functie careatribuie o culoare din o multime de 2 culori la toate muchiilelui G .
Exemplu (O 2-colorare a lui K5)•
••
••
Pentru doua numere pozitive date p si q, numarul Ramsey (clasic)R(p, q) asociat lor este cel mai mic ıntreg n astfel ıncat orice2-colorare a lui Kn cu rosu si albastru sa contina un subgraf Kp
rosu, sau un subgraf Kq albastru.
Intrebare: care este valoarea lui R(1, 3)?Raspuns: 1 . . . de ce?Intrebare: care este valoarea lui R(1, q)?
Curs 14
Notiuni preliminare
O 2-colorare a muchiilor unui graf G este o functie careatribuie o culoare din o multime de 2 culori la toate muchiilelui G .
Exemplu (O 2-colorare a lui K5)•
••
••
Pentru doua numere pozitive date p si q, numarul Ramsey (clasic)R(p, q) asociat lor este cel mai mic ıntreg n astfel ıncat orice2-colorare a lui Kn cu rosu si albastru sa contina un subgraf Kp
rosu, sau un subgraf Kq albastru.
Intrebare: care este valoarea lui R(1, 3)?
Raspuns: 1 . . . de ce?Intrebare: care este valoarea lui R(1, q)?
Curs 14
Notiuni preliminare
O 2-colorare a muchiilor unui graf G este o functie careatribuie o culoare din o multime de 2 culori la toate muchiilelui G .
Exemplu (O 2-colorare a lui K5)•
••
••
Pentru doua numere pozitive date p si q, numarul Ramsey (clasic)R(p, q) asociat lor este cel mai mic ıntreg n astfel ıncat orice2-colorare a lui Kn cu rosu si albastru sa contina un subgraf Kp
rosu, sau un subgraf Kq albastru.
Intrebare: care este valoarea lui R(1, 3)?Raspuns: 1 . . . de ce?
Intrebare: care este valoarea lui R(1, q)?
Curs 14
Notiuni preliminare
O 2-colorare a muchiilor unui graf G este o functie careatribuie o culoare din o multime de 2 culori la toate muchiilelui G .
Exemplu (O 2-colorare a lui K5)•
••
••
Pentru doua numere pozitive date p si q, numarul Ramsey (clasic)R(p, q) asociat lor este cel mai mic ıntreg n astfel ıncat orice2-colorare a lui Kn cu rosu si albastru sa contina un subgraf Kp
rosu, sau un subgraf Kq albastru.
Intrebare: care este valoarea lui R(1, 3)?Raspuns: 1 . . . de ce?Intrebare: care este valoarea lui R(1, q)?
Curs 14
Numere RamseyExemplu: R(2, 4)
Fapt: R(2, 4) = 4.Demonstratie. Conform definitiei, R(2, 4) ≥ 2.R(2, 4) ≥ 4 deoarece existenta urmatoarelor 2-colorari de muchiiindica faptul ca R(2, 4) 6∈ {2, 3}.
• • • •
•
K2 K3
Orice colorare rosu-albastru a lui K4 contine fie un K2 rosu sau unK4 albastru deoarece:
Daca exista o muchie rosie, exista un subgraf K2 rosu.
Altfel, toate muchiile sunt albastre, deci graful ınsusi este unsubgraf K4 albastru.
Curs 14
Exercitii
1 Cate 2-colorari diferite (modulo simetrii) are K3? K4? K5?K10?
2 Dati o demonstratie simpla a faptului ca R(1, k) = 1 pentrutoti ıntregii pozitivi k.
3 Dati o demonstratie simpla a faptului ca R(2, k) = k pentrutoti ıntregii k ≥ 2.
4 Explicati de ce, pentru totii ıntregii pozitivi p si q are locR(p, q) = R(q, p).
5 Daca 2 ≤ p′ ≤ p si 2 ≤ q′ ≤ q, demonstrati caR(p′, q′) ≤ R(p, q). Mai mult, egalitatea R(p′, q′) = R(p, q)are loc ın acest caz daca si numai daca p′ = p si q′ = q.
Curs 14
O problema Ramsey clasica
Cate persoane trebuiesc invitate la o petrecere a.ı. sa existecel putin un grup de 3 persoane care se cunosc toti ıntre ei,sau un grup de 3 persoane ın care nimeni nu se cunoaste cunimeni?
Sau, ın teoria lui Ramsey: Care este valoarea minima a lui na.ı. orice colorare rosu-albastru a muchiilor lui Kn sa continafie un K3 rosu sau un K3 albastru?
. Altfel spus, care este valoarea lui R(3, 3)?
Curs 14
O problema Ramsey clasica
Cate persoane trebuiesc invitate la o petrecere a.ı. sa existecel putin un grup de 3 persoane care se cunosc toti ıntre ei,sau un grup de 3 persoane ın care nimeni nu se cunoaste cunimeni?
Sau, ın teoria lui Ramsey: Care este valoarea minima a lui na.ı. orice colorare rosu-albastru a muchiilor lui Kn sa continafie un K3 rosu sau un K3 albastru?
. Altfel spus, care este valoarea lui R(3, 3)?
Curs 14
O problema Ramsey clasica
Cate persoane trebuiesc invitate la o petrecere a.ı. sa existecel putin un grup de 3 persoane care se cunosc toti ıntre ei,sau un grup de 3 persoane ın care nimeni nu se cunoaste cunimeni?
Sau, ın teoria lui Ramsey: Care este valoarea minima a lui na.ı. orice colorare rosu-albastru a muchiilor lui Kn sa continafie un K3 rosu sau un K3 albastru?
. Altfel spus, care este valoarea lui R(3, 3)?
Curs 14
O problema Ramsey clasica
Teorema
R(3, 3) = 6.
Demonstratie. R(3, 3) > 5 deoarece 2-colorarea lui K5 de mai jos nucontine nici un K3 rosu si nici un K3 albastru.
K5:
•
••
••
K6:
v
x
y
z
•
•
Subcazul 1: toate muchiile (x,y),(x,z),(y,z) sunt albastre
⇒ exista un K3 albastru
Subcazul 2: cel putin una din muchiile (x,y),(x,z),(y,z) este rosie
⇒ exista un K3 rosu
Fie o colorare rosu-albastru a muchiilor lui K6, si v unul din noduri.
I v este incident la 5 muchii.I Conform Principiului Porumbelului, fie v este incident la ≥ 3 muchiirosii, fie v este incident la ≥ 3 muchii albastre.
Putem presupune ca, ın general, v este incident la 3 muchii rosii (v , x),
(v , y), (v , z).
Curs 14
O problema Ramsey clasica
Teorema
R(3, 3) = 6.
Demonstratie. R(3, 3) > 5 deoarece 2-colorarea lui K5 de mai jos nucontine nici un K3 rosu si nici un K3 albastru.
K5:
•
••
••
K6:
v
x
y
z
•
•
Subcazul 1: toate muchiile (x,y),(x,z),(y,z) sunt albastre
⇒ exista un K3 albastru
Subcazul 2: cel putin una din muchiile (x,y),(x,z),(y,z) este rosie
⇒ exista un K3 rosu
Fie o colorare rosu-albastru a muchiilor lui K6, si v unul din noduri.
I v este incident la 5 muchii.I Conform Principiului Porumbelului, fie v este incident la ≥ 3 muchiirosii, fie v este incident la ≥ 3 muchii albastre.
Putem presupune ca, ın general, v este incident la 3 muchii rosii (v , x),
(v , y), (v , z).
Curs 14
O problema Ramsey clasica
Teorema
R(3, 3) = 6.
Demonstratie. R(3, 3) > 5 deoarece 2-colorarea lui K5 de mai jos nucontine nici un K3 rosu si nici un K3 albastru.
K5:
•
••
••
K6:
v
x
y
z
•
•
Subcazul 1: toate muchiile (x,y),(x,z),(y,z) sunt albastre
⇒ exista un K3 albastru
Subcazul 2: cel putin una din muchiile (x,y),(x,z),(y,z) este rosie
⇒ exista un K3 rosu
Fie o colorare rosu-albastru a muchiilor lui K6, si v unul din noduri.
I v este incident la 5 muchii.I Conform Principiului Porumbelului, fie v este incident la ≥ 3 muchiirosii, fie v este incident la ≥ 3 muchii albastre.
Putem presupune ca, ın general, v este incident la 3 muchii rosii (v , x),
(v , y), (v , z).
Curs 14
O problema Ramsey clasica
Teorema
R(3, 3) = 6.
Demonstratie. R(3, 3) > 5 deoarece 2-colorarea lui K5 de mai jos nucontine nici un K3 rosu si nici un K3 albastru.
K5:
•
••
••
K6:
v
x
y
z
•
•
Subcazul 1: toate muchiile (x,y),(x,z),(y,z) sunt albastre
⇒ exista un K3 albastru
Subcazul 2: cel putin una din muchiile (x,y),(x,z),(y,z) este rosie
⇒ exista un K3 rosu
Fie o colorare rosu-albastru a muchiilor lui K6, si v unul din noduri.
I v este incident la 5 muchii.I Conform Principiului Porumbelului, fie v este incident la ≥ 3 muchiirosii, fie v este incident la ≥ 3 muchii albastre.
Putem presupune ca, ın general, v este incident la 3 muchii rosii (v , x),
(v , y), (v , z).
Curs 14
O problema Ramsey clasica
Teorema
R(3, 3) = 6.
Demonstratie. R(3, 3) > 5 deoarece 2-colorarea lui K5 de mai jos nucontine nici un K3 rosu si nici un K3 albastru.
K5:
•
••
••
K6:
v
x
y
z
•
•
Subcazul 1: toate muchiile (x,y),(x,z),(y,z) sunt albastre
⇒ exista un K3 albastru
Subcazul 2: cel putin una din muchiile (x,y),(x,z),(y,z) este rosie
⇒ exista un K3 rosu
Fie o colorare rosu-albastru a muchiilor lui K6, si v unul din noduri.
I v este incident la 5 muchii.I Conform Principiului Porumbelului, fie v este incident la ≥ 3 muchiirosii, fie v este incident la ≥ 3 muchii albastre.
Putem presupune ca, ın general, v este incident la 3 muchii rosii (v , x),
(v , y), (v , z).
Curs 14
Alta problema Ramsey
Teorema
R(3, 4) = 9.
Demonstratie. 2-colorarea lui K8 de mai jos nu contine nici un K3
rosu si nici un K4 albastru, deci R(3, 4) > 8.
•
••
•
•
••
•
Vom demonstra ca R(3, 4) ≤ 9 stiind ca R(2, 4) = 4 si R(3, 3) = 6.Sa presupunem ca muchiile lui G = Kn (n ≥ 9) au fost colorate curosu-albastru, si fie v un nod al lui G . Distingem 3 cazuri:
(vezi slide-urile urmatoare.)
Curs 14
Teorema: R(3, 4) = 9Demonstratia cazului 1: v este incident la ≥ 4 muchii rosii
Fie S := multimea nodurilor incidente la v cu o muchie rosie.
•v
•
•
•
•
R(2, 4) = 4 si |S | ≥ 4⇒ fie S are un K2 rosu sau un K4 albastru.Prima posibilitate implica faptul ca G are un K3 rosu, iar a douaimplica faptul ca G are un K4 albastru.
Curs 14
Teorema: R(3, 4) = 9Demonstratia cazului 2: v este incident la ≥ 6 muchii albastre
Fie T :=multimea nodurilor incidente la v cu o muchie albastra.
•v
••••••
|T | = 6 si R(3, 3) = 6⇒ T contine un K3 rosu sau albastru.Primul caz implica faptul ca G are un K3 rosu. In cazul al doileaavem situatia ilustrata mai jos ⇒ G contine un K4.
•v
•
•
••••
Curs 14
Teorema: R(3, 4) = 9Demonstratia cazului 3: v este incident la < 4 muchii rosii si la < 6 muchii albastre
Fie T :=multimea nodurilor incidente la v cu o muchie albastra.Deoarece presupunem ca G are ≥ 9 noduri, trebuie ca G sa aibeexact 9 noduri ⇒ v este incident la 3 muchii rosii si 5 albastre.Deoarece v a fost ales arbitrar, putem presupune ca aceastaproprietate are loc pentru toate nodurile lui G .
⇒ subgraful rosu al lui G are 9 noduri, si fiecare nod are gradul3. Aceasta situatie este imposibila deoarece orice graf are unnumar par de noduri cu grad impar.
Curs 14
Numere Ramsey
Mai jos sunt indicate toate valorile cunoscute de numere Ramsey:
R(1, k) = 1,R(2, k) = k ,
R(3, 3) = 6,R(3, 4) = 9,R(3, 5) = 14,R(3, 6) = 18,R(3, 7) = 23,R(3, 8) = 28,R(3, 9) = 36,
R(4, 4) = 18,R(4, 5) = 25.
In general, determinarea valorilor exacte ale numerelor Ramseyeste extrem de dificila.
Curs 14
Limite cunoscute
Teorema (Erdos si Szekeres)
Daca p ≥ 2 si q ≥ 2 atunci R(p, q) ≤ (p + q − 2)!
(p − 1)!(q − 1)!.
Teorema
Daca p ≥ 2 si q ≥ 2, atunci R(p, q) ≤ R(p − 1, q) + R(p, q − 1).
Teorema
Pentru orice q ≥ 3, R(3, q) ≤ q2 + 3
2.
Teorema (Erdos)
Daca p ≥ 3 atunci R(p, p) > b2n/2c.
Curs 14
Exercitii
1 Sa se demonstreze ca R(3, 5) ≥ 14. Graful urmator esteextrem de util.
K13
••
•
•
•
•• •
•
•
•
•
•
2 Folositi a doua teorema de pe slide-ul precedent ın combinatiecu rezultatul din exercitiul precedent pentru a demonstra caR(3, 5) = 14.
3 Folositi a doua teorema de pe slide-ul precedent pentru ademonstra teorema a treia.
Curs 14
Teoria lui Ramsey pentru grafuri
Generalizare a teoriei clasice a lui Ramsey.
Definitie
Numarul Ramsey R(G ,H) asociat la doua grafuri G si H estevaloarea minima a lui n a.ı. orice colorare rosu-albastru a muchiilorlui Kn contine fie o copie rosie a lui G sau o copie albastra a lui H.
Remarca
In acest context, numarul Ramsey clasic R(p, q) coincide cuR(Kp,Kq).
Teorema
Daca G este un graf de ordin p iar H un graf de ordin q, atunciR(G ,H) ≤ R(p, q).
Demonstratie. Evident.
Curs 14
Teoria lui Ramsey pentru grafuriO margine inferioara pentru R(G ,H)
Numarul cromatic χ(G ) al unui graf G este cel mai mic numark astfel ıncat G este k-colorabil. Acest lucru ınseamna ca:
I folosim k culori pentru nodurile lui G .I nodurile adiacente ın G au culori diferite.
C (H) = ordinul (adica numarul de noduri) al celei mai maricomponente conexe a grafului H.
Teorema urmatoare indica o relatie ıntre R(G ,H), numarulcromatic χ(G ) al lui G , si marimea C (H) a celei mai maricomponente conexe a lui H:
Teorema
R(G ,H) ≥ (χ(G )− 1)(C (H)− 1) + 1.
Curs 14
O margine inferioara pentru R(G ,H)
Teorema
R(G ,H) ≥ (χ(G )− 1)(C (H)− 1) + 1.
Demonstratie. Fie m = χ(G )− 1 si n = C (H)− 1. Fie S graful Km·nformat din m copii ale lui Kn toate muchiile posibile ıntre copii. Apoi secoloreaza albastru muchiile din fiecare copie a lui Kn, si rosu toatecelelalte muchii.
S :
Kn
Kn
Kn
Kn
Nu exista copie albastra a lui C(H) ın S fiindca C(H) aren + 1 noduri si nu intra ın nici un Kn⇒ nu poate exista o copie albastra a lui H ın S.
Nu exista nici o copie rosie a lui G ın S fiindcadaca coloram fiecare copie a lui Kn ın S cu o culoare diferitaatunci producem o m-colorare a lui G .Dar G nu este m-colorabil deoarece χ(G) = m + 1.
S este prea mic: avem nevoie de
p > |S | = m · n = (χ(G )− 1)(C (H)− 1) noduri pentru a garanta
existenta unei copii albastre a lui H sau a unei copii rosii a lui G ın Kp.
Curs 14
O margine inferioara pentru R(G ,H)
Teorema
R(G ,H) ≥ (χ(G )− 1)(C (H)− 1) + 1.
Demonstratie. Fie m = χ(G )− 1 si n = C (H)− 1. Fie S graful Km·nformat din m copii ale lui Kn toate muchiile posibile ıntre copii. Apoi secoloreaza albastru muchiile din fiecare copie a lui Kn, si rosu toatecelelalte muchii.
S :
Kn
Kn
Kn
Kn
Nu exista copie albastra a lui C(H) ın S fiindca C(H) aren + 1 noduri si nu intra ın nici un Kn⇒ nu poate exista o copie albastra a lui H ın S.
Nu exista nici o copie rosie a lui G ın S fiindcadaca coloram fiecare copie a lui Kn ın S cu o culoare diferitaatunci producem o m-colorare a lui G .Dar G nu este m-colorabil deoarece χ(G) = m + 1.
S este prea mic: avem nevoie de
p > |S | = m · n = (χ(G )− 1)(C (H)− 1) noduri pentru a garanta
existenta unei copii albastre a lui H sau a unei copii rosii a lui G ın Kp.
Curs 14
O margine inferioara pentru R(G ,H)
Teorema
R(G ,H) ≥ (χ(G )− 1)(C (H)− 1) + 1.
Demonstratie. Fie m = χ(G )− 1 si n = C (H)− 1. Fie S graful Km·nformat din m copii ale lui Kn toate muchiile posibile ıntre copii. Apoi secoloreaza albastru muchiile din fiecare copie a lui Kn, si rosu toatecelelalte muchii.
S :
Kn
Kn
Kn
Kn
Nu exista copie albastra a lui C(H) ın S fiindca C(H) aren + 1 noduri si nu intra ın nici un Kn⇒ nu poate exista o copie albastra a lui H ın S.
Nu exista nici o copie rosie a lui G ın S fiindcadaca coloram fiecare copie a lui Kn ın S cu o culoare diferitaatunci producem o m-colorare a lui G .Dar G nu este m-colorabil deoarece χ(G) = m + 1.
S este prea mic: avem nevoie de
p > |S | = m · n = (χ(G )− 1)(C (H)− 1) noduri pentru a garanta
existenta unei copii albastre a lui H sau a unei copii rosii a lui G ın Kp.
Curs 14
O margine inferioara pentru R(G ,H)
Teorema
R(G ,H) ≥ (χ(G )− 1)(C (H)− 1) + 1.
Demonstratie. Fie m = χ(G )− 1 si n = C (H)− 1. Fie S graful Km·nformat din m copii ale lui Kn toate muchiile posibile ıntre copii. Apoi secoloreaza albastru muchiile din fiecare copie a lui Kn, si rosu toatecelelalte muchii.
S :
Kn
Kn
Kn
Kn
Nu exista copie albastra a lui C(H) ın S fiindca C(H) aren + 1 noduri si nu intra ın nici un Kn⇒ nu poate exista o copie albastra a lui H ın S.
Nu exista nici o copie rosie a lui G ın S fiindcadaca coloram fiecare copie a lui Kn ın S cu o culoare diferitaatunci producem o m-colorare a lui G .Dar G nu este m-colorabil deoarece χ(G) = m + 1.
S este prea mic: avem nevoie de
p > |S | = m · n = (χ(G )− 1)(C (H)− 1) noduri pentru a garanta
existenta unei copii albastre a lui H sau a unei copii rosii a lui G ın Kp.
Curs 14
Teoria lui Ramsey pentru grafuri
Teorema
Daca Tm este arbore cu m noduri atunci R(Tm,Kn) = (m−1)(n−1) + 1.
Demonstratie. Rezultatul are loc pt. m = 1 sau n = 1. De acumıncolo presupunem m ≥ 2 si n ≥ 2.Afirmatia A. R(Tm,Kn) ≥ (m − 1)(n − 1) + 1.
Km−1
Km−1
Km−1
Km−1
Pt. a demonstra acest lucru, fie K(m−1)(n−1) format din n − 1 copii rosiiale lui Km−1, si toate muchiile posibile dintre copii colorate albastru.Nu poate exista nici un Tm rosu si nici un Kn albastru⇒ Are locafirmatia A.Afirmatia B. R(Tm,Kn) ≤ (m − 1)(n − 1) + 1.
O demonstratie a acestei afirmatii este ın [Harris et al. 2008]Curs 14
Teoria lui Ramsey pentru grafuri
Teorema
Daca Tm este un arbore de ordin m si daca m − 1 divide n − 1atunci R(Tm,K1,n) = m + n − 1.
In teorema de mai jos, mK2 reprezinta graful format din m copii ale lui
K2, iar n K2 are o semnificatie similara.
Teorema
Daca m ≥ n ≥ 1 atunci R(mK2, n K2) = 2m + n − 1.
Curs 14
Exercitii
1 Sa se calculeze R(P3,P3).
2 Sa se calculeze R(P3,C4).
3 Sa se calculeze R(C4,C4).
4 Demonstrati ca R(K1,3,K1,3) = 6.
5 Demonstrati ca R(2K3,K3) = 8.
Reamintim ca
Cn reprezinta ciclul cu n noduri.
Km,n este graful bipartit complet dintre doua multimi X si Ycu cardinalitatile |X | = m, |Y | = n. Multimea de muchii aacestui graf este E = {(x , y) | x ∈ X , y ∈ Y }.Pn este o cale prin n noduri.
Curs 14