GRAPH PLANAR dan Graf bidang (Planar Graph and Plane Graph)

KELOMPOK 8 :

Nur Eva mayasari

1

Dosem pengampu : Dr. Fadli, M.Pd.

GRAPH PLANAR (Planar Graph)DAN

GRAPH SEBIDANG (Plane Graph)

2

Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan cara demikian hingga tidak ada rusuk-rusuk yang saling berpotongan kecuali pada simpul-simpulnya maka di sebut graf planar

Sedangkan graf sebidang adalah graf planar yang telah di gambarkan di bidang datar sedemikian rupa sehingga tidak ada lagi rusuk-rusuk yang berpotongan

Contoh Graf planar

Gambar (a) Graf Planar dan (b) graf bidang

3

Contoh planar Contoh non Planar

Perhatikan gambar di atas adalah graph sebidang dan perhatikanlah bagian-bagian bidang datar yang ditinggalkan setelah kita mengangkat rusuk-rusuk dan simpul-simpul dari yang membentuk salah satu bidang disebut wilayah.

G1G2

Graf disamping memiliki yaitu simpulrusuk dandaerah atau wilayah Maka dalam suatu graf planar berlaku rumus euler

4

Salah satu Graf yang termasuk planar antara lain :Tree / Pohon, Kubus, Bidang Empat, Bidang Delapan Beraturan,

RUMUS EULER menentukan suatu jumlah wilayah, jumlah sisi dan jumlah simpul pada graf planar dapat digunakan rumus euler yaitu

Dengan: = jumlah sisi = jumlah simpul daerah

Contoh : Pada gambar Berapa banyak daerah dari graf tersebut ?

5

Penyelesaian : Diketahui = 11 , Dari rumus Euler, , sehingga kita dapatkan

r = 2 – p + q = = 6 buah.r = 6 buah

6

seandainya graf adalah pohon maka berlaku rumus ,dan wilayah yang diciptakan pohon

Contoh : Tentukan atau banyak rusuk dari pohon dibawah jika di ketahui

Penyelesaian :

7

Pada graf planar sederhana terhubung jika G adalah graf sebidang terhubung dengan banyak simpul. dan banyak rusuk maka berlaku . Misalkan = 3 maka yang mungkin paling banyak adalah 3 dan yang mungkin adalah 2. Jadi setiap di batasi oleh 3 rusuk karena rusuk maka :

Suptitusi ke rumus euler

8

Contoh :

Misalkan = 3 dan 2, maka yang mungkin adalah

Untuk maka

Hal ini dinyatakan dengan corallary berikut:

COROLLARY 1 Jika G adalah graf sederhana terhubunga dengan adalah jumlah sisi dan adalah jumlah simpul, yang dalam hal ini , maka berlaku ketidaksamaan Euler

9

Contoh :Tentukan apakah graf lengkap K5 adalah

planar?

Penyelesaian : Diketahui bahwa K5 memiliki dan makasehingga

maka dari hasil tersebut dapat dikatakan bahwa K5 termasuk non planar.

Persamaan ini digunakan untuk menentukan suatu graf terhubung planar atau non planar tetapi persamaan ini hanya syarat perlu agar suatu graf dikatakan planar tetapi bukan syarat cukup

10

Contoh bahwa pernyataan ini benar akan di lakukan uji coba pada graf K3,3 atau graf bipartit.

Dari gambar maka diketahui bahwa K3,3 memiliki dan maka

Padahal graf K3,3 bukan graf planar dilihat dari bukti sebuah gambar

11

COROLLARY 2 : Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan q adalah jumlah sisi dan p adalah jumlah simpul, yang dalam hal ini p dan tidak ada sirkuit yang panjangnya 3, maka berlaku q  Contoh Soal:

𝑒

𝑎 𝑏

𝑑 𝑐

12

Teorema Kuratowski

Teorema Kuratowski “Sebuah graf G planar jika dan hanya jika G tidak

mengandung sebuah subgraf yang isomorphik dengan K5 dan K3,3”.

Contoh :Tentukan bahwa graf G pada gambar tidak planar dengan

menggunakan teorema kuratowski?

𝑓 𝑏𝑔

h𝑒

𝑑𝑐

13

langkah penyelesaian

Mencari subgrap dengan menghilangkan rusuk

𝑓 𝑏𝑔h

𝑒

𝑑𝑐

𝑎

𝑓 𝑏𝑔h

𝑒

𝑑

𝑐

14

Membuat graf yang isomorphik dengan salah satu graf K5 atau K3,3 dengan melakukan reduksi seri pada graf yaitu jika sebuah graf G mempunyai simpul yang berderajat 2 yaitu rusuk (V,V1) dan (V,V2) maka akan dilakukan penghapusan simpul dari dua rusuk yang menghasilkan satu rusuk yang terhubung yaitu (V1, V2) maka

𝑓 𝑏𝑔h

𝑒

𝑑𝑐

𝑓 𝑏𝑔h

𝑒

𝑑𝑐