Dispersion de electrones en grafeno inducida porpotenciales dependientes del tiempo

Angiolo Huaman Gutierrez

13 de septiembre de 2015

En este trabajo se propone el estudio de la dispersion de electronesen grafeno al moverse hacia regiones irradiadas normalmente conradiacion electromagnetica polarizada circularmente.

eikx

eikx√k0r

f(θ)

A(t)R

Este fenomeno es tıpicamente inelastico.

La motivacion principal en este estudio es el hecho de que laradiacion circularmente polarizada genera en el grafeno un gap enel espectro de cuasi-energıas (mas adelante se vera esto). Estopodrıa servir como barreras de potencial generando ası efectosinteresantes en la dispersion.

En anteriores trabajos se habıa encontrado estados chirales ennanocintas de grafeno irradiado. Estos estados se caracterizabantener una direccion bien determinada (opuesta en los ladosopuestos de la nanocinta).

Grafeno monocapa

El grafeno monocapa es una estructura bidimensional con una redde Bravais oblicua (triangular) con dos atomos de carbono comobase.

a1 =a

2(3,√

3), a2 =a

2(3,−

√3)

b1 =2π

3a(1,√

3), b2 =2π

3a(1,−

√3)

Se puede obtener la estructura de bandas en la aproximaciontight-binding:

E (k) = ±t√

3 + f (k)− t ′f (k)

f (k) = 2 cos(√

3kya) + 4 cos(

√3

2kya) cos(

3

2kxa)

En la aproximacion de ondas largas (bajas energıas) y cerca de lospuntos K tenemos:

E±(k) = ±vF |k|En este lımite la ecuacion de Schrodinger es:

i~ ∂tΨ = vF σ · pΨ (2.1)

Y en presencia de un potencial vectorial:

i~ ∂tΨ = vF σ · [p +e

cA(t)]Ψ, (e > 0) (2.2)

El potencial que usaremos sera periodico en el tiempo.

Teorıa de Floquet

Para atacar el problema usaremos el metodo de Floquet. Se tratade un metodo para hamiltonianos que dependen periodicamentecon el tiempo:

i~ ∂tΨ = vF σ · pΨ + V (r, t)Ψ, V (t + T ) = V (t)

Ψ(r, t) = e−iεt/~Φε(r, t), ε ∈ [−~Ω

2,~Ω

2] (3.1)

la funcion Φε(r, t) es periodica con el mismo perıodo que elpotencial:

Φε(r, t) =+∞∑

n=−∞φn(r) e i nΩt , V (r, t) =

+∞∑n=−∞

Vn(r) e i nΩt

Se obtienen las siguientes ecuaciones:

εφn = (vF σ · p + n~Ω)φn +∑m

φmVn−m

ε(k)

k

m = 1

m = 0

m = −1

hΩ

−hΩ

m = 1

m = 0

m = −1

hΩ

0

−hΩ

En nuestro caso tenemos A(t) = A0 [cos Ωt ex + senΩt ey]:

σ · A =A0

2(σ−e

iΩt + σ+e−iΩt)

εφm = (vFσ · p + m ~Ω)φm +evFA0

2c(σ−φm−1 + σ+φm+1) (3.2)

El estado m solo se acopla con m − 1 y m + 1 !

Queremos estudiar el punto de degeneracion de la figura anteriorası que usamos dos canales:

ε

(φ1

φ0

)= HF

(φ1

φ0

)(3.3)

el operador HF se conoce como hamiltoniano de Floquet:

HF =

(vFσ · p + ~Ω evFA0

2c σ−evFA0

2c σ+ vFσ · p

)(3.4)

σ · p =

(0 p−p+ 0

), p± = px ± ipy

σ+ =

(0 20 0

), σ− =

(0 02 0

)(3.5)

Gap dinamico en las cuasi-energıas:

Incidencia normal sobre un borde plano

A(t) = 0 A(t) 6= 0

k

m = 0i

m = 0r0

m = 1r1

Gap dinamico centrado en ~Ω/2→ ε = ~Ω2 (1 + µ). µ = 0 indica el

centro del gap.

En la region no irradiada las soluciones son:

φ0 =

(11

)e ikx + b

(1−1

)e−ikx

φ1 = a

(1−1

)e−i kx

donde k = k0(1 + µ) y k = k0(1− µ) (k0 = Ω/2vF ). En funcion deη = eA0

2k0~c tenemos:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

η

Reflectancia en ambos canales : µ=0

r0r1

Analıticamente:r1 ≈ 1− η2, r0 ≈ η2

Incidencia oblicua

Ahora veamos el caso de incidencia no normal:

canal m = 0

ki

kr

Ji

Jr

canal m = 1

ktJt

θ0

θ0 θ1

La componente Y del momento es un buen numero cuantico !

La onda reflejada en m = 1 vuelve casi en la misma direccion quela incidente:

kx kx

ky ky

m = 0 m = 1

kikr0 kr1

En la region libre de radiacion la solucion mas general es:

Ψ(x , y , t) = e−iεt/~e iβy∑m

[bm

(sme

−iθm

1

)e iΛmx+

dm

(−sme iθm

1

)e−iΛmx

]e imΩt (5.1)

Y en nuestra aproximacion sencilla de solo dos canales:

φ0 = b0

(e−iθ0

1

)e iΛ0x + d0

(−e iθ0

1

)e−iΛ0x (5.2)

φ1 = b1

(−e−iθ1

1

)e iΛ1x (5.3)

donde

Λ0 =√k2

0 (1 + µ)2 − β2, Λ1 =√

k20 (1− µ)2 − β2

tan θ0 =β

Λ0, tan θ1 =

β

Λ1

En la region irradiada las soluciones son un poco mas complicadasy solo pueden hallarse en la aproximacion de dos canales (adiferencia de la zona no irradiada donde puede hallarse solucionesgenerales).

φ0 = Π1Q01

(1

i(k1+β)k0(1+µ)

)e−K1x+iβy + Π2Q02

(1

i(k2+β)k0(1+µ)

)e−K2x+iβy

φ1 = Q01

(i(β−K1)k0(1−µ)

1

)e−K1x+iβy + Q02

(i(β−K2)k0(1−µ)

1

)e−K2x+iβy

donde:

(K 2 + k20 (1 +µ)2−β2)(K 2 + k2

0 (1−µ)2−β2) + 4η2k40 (1−µ2) = 0

Π1,2 =2ηk2

0 (1 + µ)

K 21,2 + k2

0 (1 + µ)2 − β2

Es trivial demostrar que :

Π1 =(1 + µ

1− µ)1/2

e−iδ, Π2 = Π∗1, tan δ =

√η2 − µ2(1 + η2)

µ

Las densidades de corriente incidente y reflejadas en los canalesm = 0 y m = 1 son:

Ji = 2vF |b0|2 (cos θ0 i + sen θ0 j)

Jr0 = 2vF |d0|2 (− cos θ0 i + sen θ0 j)

Jr1 = 2vF |b1|2 (− cos θ1 i− sen θ1 j) (5.4)

Por conservacion de la probabilidad (en x) tenemos:

cos θ0

cos θ1|b1|2 + |d0|2 = |b0|2

Los coeficientes de amplitud de reflexion en los canales m = 0 ym = 1 estan dados por:

R0 =d0

b0, R1 =

b1

b0

Ademas r0 = |R0|2 y r1 = cos θ0cos θ1|R1|2: r0 + r1 = 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

θ0

η = 0.23, µ = 0

r0r1

Dispersion con simetrıa cilındrica

Se investigo tambien la dispersion sobre una region irradiadacircular. En realidad el principal objetivo de este trabajo esinvestigar este tipo de geometrıas.

eikx

eikx√k0r

f(θ)

A(t)R

Antes de investigar la dispersion de ondas planas estudiamos elproblema mas simetrico de ondas con cierta simetrıa cilındrica entorno a una region circular irradiada (siempre con polarizacioncircular). Como es usual, las ecuaciones en la region no irradiadaestan desacopladas y solo nos quedamos con los canales m = 0 ym = 1:

HF =

~Ω vFp− 0 0vFp+ ~Ω 0 0

0 0 0 vFp−0 0 vFp+ 0

(6.1)

y usamos:

p± = −i e±iθ~ (∂r ± i1

r∂θ)

p2 = −~2(∂2r +

1

r∂r +

1

r2∂2θ )

u1 = Al eilθ

(ie−iθH

(1)l−1(k0r(1− µ))

H(1)l (k0r(1− µ))

)+

Bl eilθ

(ie−iθH

(2)l−1(k0r(1− µ))

H(2)l (k0r(1− µ))

)

u0 = Cl eilθ

(H

(1)l (k0r(1 + µ))

ie iθH(1)l+1(k0r(1 + µ))

)+

Dl eilθ

(H

(2)l (k0r(1 + µ))

ie iθH(2)l+1(k0r(1 + µ))

)

Un aspecto interesante aquı es la densidad de corriente. En generalse tiene la corriente instantanea:

J = vFψ†σψ

En nuestro problema sera conveniente hacer la descomposicion encomponentes radial y transversal:

J = Jr er + Jθ eθ

se puede probar facilmente que cada termino esta dado por:

Jr = vFψ†σrψ, Jθ = vFψ

†σθψ (6.2)

donde:

σr =

(0 e−iθ

e iθ 0

), σθ = i

(0 −e−iθe iθ 0

)(6.3)

En el canal m = 0 (solucion u0) la solucion con H(1) (H(2))corresponde a una solucion con densidad de probabilidad saliente(entrante), es decir en direccion er (−er). No obstante, en el canalm = 1 (solucion u1) los papeles se invierten. Esto parecerıa estar encontradiccion con los lımites asintoticos de las funciones de Hankel:

H(1)l (x) ≈

√2

πxe i(x−(l+ 1

2)π

2)

H(2)l (x) ≈

√2

πxe−i(x−(l+ 1

2)π

2)

El flujo esta dado por el espinor mas que el exponente de lafuncion de Hankel.

Las soluciones dentro de la region irradiada se obtienen de:

HF =

~Ω vFp− 0 0vFp+ ~Ω vF eA0/c 0

0 vF eA0/c 0 vFp−0 0 vFp+ 0

(6.4)

Las soluciones en la region interior (irradiada) son:

u(i)1A =

i

1− µei(l−1)θ [ d1Π1λ1 Il−1(λ1k0r) + d2Π2λ2 Il−1(λ2k0r) ]

u(i)1B = e ilθ [ d1Π1Il(λ1k0r) + d2Π2Il(λ2k0r)]

u(i)0A = e ilθ [ d1Il(λ1k0r) + d2Il(λ2k0r)]

u(i)0B =

−i1 + µ

e i(l+1)θ [ d1λ1 Il+1(λ1k0r) + d2λ2 Il+1(λ2k0r) ]

Al imponer continuidad en las soluciones anteriores en r = R ypara todo θ se llega a: (

Bl

Cl

)= S

(Al

Dl

)(6.5)

que relaciona las soluciones salientes y entrantes en los canalesm = 0 y m = 1 respectivamente. La matriz S se suele llamarmatriz S de Floquet.

En el centro del gap (µ = 0) y en funcion de l :

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-30 -20 -10 0 10 20 30

|S11|2

|S12|2

|S21|2

|S22|2

El valor de l donde se cortan las figuras anteriores es ≈ k0R.

Asumamos por simplicidad que Al = 0, es decir, que no hay ondaincidente en el canal m = 1.

Bl = S12Dl , Cl = S22Dl

La densidad de corriente radial en cada uno de los canales en ellımite asintotico (k0r l):

J(i)r1 = 0

J(o)r1 ≈

4vFπk0r(1− µ)

|Bl |2

J(i)r0 ≈ −

4vFπk0r(1 + µ)

|Dl |2

J(o)r0 ≈

4vFπk0r(1 + µ)

|Cl |2

Vamos a definir los siguientes coeficientes de reflexion R0 y R1 encada canal:

R0 =|J(o)

r0 |asint|J(i)

r0 |asint=|Cl |2|Dl |2

= |S22|2

R1 =|J(o)

r1 |asint|J(i)

r0 |asint=(1 + µ

1− µ) |Bl |2|Dl |2

=(1 + µ

1− µ)|S12|2

de aquı se obtiene que R0 y R1 son proporcionales a |S22|2 y |S12|2respectivamente. De la ley de conservacion de la probabilidad seobtiene:

R0 + R1 = 1 (6.6)

Para un k0R fijo y en funcion de l tenemos:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60

RT

Dispersion de ondas planas

Usando lo anterior veamos el caso de ondas planas. Para el caso deondas planas tenemos:(

uAuB

)=

e ikx√2

(11

)+

+∞∑l=−∞

Cl eilθ

(H

(1)l (k0r(1 + µ))

ie iθH(1)l+1(k0r(1 + µ))

)

Esta es una combinacion lineal de las soluciones halladasanteriormente para las ondas con simetrıa circular:

u(e)0A =

∑e ilθ[

i l√2Jl(k0r(1 + µ)) + Cl H

(1)l (k0r(1 + µ))]

u(e)0B i

∑ie i(l+1)θ[

i l√2Jl+1(k0r(1 + µ)) + Cl H

(1)l+1(k0r(1 + µ))]

La solucion en la region interior tambien puede escribirse comocombinacion de las soluciones en la region irradiada obtenidasanteriormente. La matriz S que se obtiene es la misma pero ahoratenemos: (

Bl

Cl + i l/2√

2

)= S

(Al

i l/2√

2

)(6.7)

Con las soluciones obtenidas se puede construir la densidad deprobabilidad para toda region del espacio.

Tenemos las densidades de probabilidad en funcion de la posicion:

Se observan algunas asimetrıas respecto de la direccion incidente.

Secciones eficaces de dispersion:

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

-3 -2 -1 0 1 2 3

θ

dσr/dθdσt/dθ

canal m=0canal m=1

Densidades de corriente (radio de la zona irradiada = 3):

Se observa una forma de vorticidad en el canal m = 1.

Una caracterıstica importante que se encuentra en las figurasanteriores es un deplazamiento (shift) del maximo de probabilidad,es decir una falta de simetrıa. Sospechamos que esto puededeberse a la ruptura de simetrıa temporal que nos impone elpotencial vectorial dependiente del tiempo A(t).

Goos - Hanchen shift

El efecto Goos-Hanchen se conoce en Optica como el corrimientolateral de un haz de luz durante una reflexion interna total.

δ ∝ dφdky

Este fenomeno se ha identificado recientemente (y teoricamente)en grafeno dopado.

Usaremos soluciones en forma de haces en cada canal:

φ0 =

∫dβ f (β − β)e i(Λ0x+βy)

(e−iθ0

1

)φr0 =

∫dβ R0 f (β − β)e i(−Λ0x+βy)

(−e iθ0

1

)φr1 =

∫dβ R1 f (β − β)e i(Λ1x+βy)

(−e−iθ1

1

)f (z) = e−

z2

2σ y β es un momento medio en la direccion Y .

kx

ky

k0

θ0

dθ0

σ

Asumimos que σ es pequeno comparado con k0 = Ω/2vF .

θi (β) ≈ θi (β) + (β − β)(dθidβ

)β, i = 0, 1

Cada una de las componentes de los espinores anteriores estancentradas en posiciones diferentes:

A B

yA yB

Se define el corrimiento de cada componente (A o B) entre la ondareflejada r y la incidente:

δA = yrA − yA

δB = yrB − yB

De esta manera se definen los corrimientos por componente en loshaces reflejados en cada canal m = 0 y m = 1. El corrimiento totales:

δr0 =1

2(δA0 + δB0)

δr1 =1

2(δA1 + δB1)

Puede probarse que estos dependen unicamente de las derivadas delos coeficientes de reflexion en cada canal:

R0(θ0) = r0(θ0) e iφ0(θ0), R1(θ0) = r1(θ0) e iφ1(θ0)

A B A

B

reflejadoincidente

Y

δAδB

δr0 = −(dφ0

dθ0

)β, δr1 = −

(dφ1

dθ0

)β

La siguiente figura muestra el comportamiento (casi) monotono delas fases.

Esto podrıa sugerir que el desplazamiento de Goos-Hanchen no essimetrico respecto de la direccion de incidencia (no hay simetrıaθ0 ↔ −θ0).

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

θ0

ν = 0.23

R phaseT phase

eikx

eikx√k0r

f(θ)

A(t)R

Plan a futuro:

I Efecto Goos-Hanchen como posible explicacion a lasasimetrıas en el problema de la onda plana.

I Estudiar la dispersion de paquetes de onda.

I Aumentar el numero de replicas (trabajo numerico).

I Estudiar estados de borde (estados topologicos).