Gravedad inducida y entropía de entrelazamiento … · Con lo que hemos dicho hasta ahora, parece natural conjeturar que la entropía de Wald coincide con la EE cuando la teoría

Gravedad inducida y entropía de entrelazamiento

holográfica

Mariano Chernicoff

Facultad de Ciencias, UNAM

(Trabajo en progreso, en colaboración con Joan Camps (DAMTP))

Plan de la plática

1. Entropía de entrelazamiento

3. El escenario: Randall-Sundrum

2. La herramienta: AdS/CFT

4. Resultados

5. Comentarios finales

Entropía de Entrelazamiento¿Qué es la entropía de entrelazamiento?

Si dividimos un sistema cuántico en dos partes, la entropía de entrelazamiento nos da una medida de cuanta correlación existe entre los dos subsistemas.

Entropía de Entrelazamiento

Siendo un poco más precisos, cuando dividimos un sistema cuántico en dos partes y , el espacio de Hilbert total se factoriza en A B

Htot

= HA

⌦HB

Por ejemplo, en cadenas de spin:

A BTotal

¿Qué es la entropía de entrelazamiento?

Entropía de Entrelazamiento

Htot

= HA

⌦HB

Definimos la matriz de densidad reducida para como:⇢A A

⇢A = TrB⇢tot

Ahora utilizamos este resultado para definir la entropía de entrelazamiento como

SA = �TrA⇢A log ⇢A

(entropía de Vonn-Neumann)

¿Qué es la entropía de entrelazamiento?

Siendo un poco más precisos, cuando dividimos un sistema cuántico en dos partes y , el espacio de Hilbert total se factoriza en A B

En una QFT, usualmente lo que hacemos es

A

B

⌃

Integramos los grados de libertad que están fuera de y por tanto los grados de libertad restantes quedan descritos por

A⇢A

L


A

B

⌃

L

Si calculamos la entropía de entrelazamiento, el resultado es UV divergente (i.e. está dominado por las correlaciones a distancias pequeñas)

SEE = c0Ld�2

�d�2+ c1

Ld�3

�d�3+ · · ·+

donde es la dimensión del espacio-tiempo y un corte UV. d �

los coeficientes que aparecen en esta expresión dependen de la QFT.


A

B

⌃

L

Si calculamos la entropía de entrelazamiento, el resultado es UV divergente (i.e. está dominado por las correlaciones a distancias pequeñas)

SEE = c0Ld�2

�d�2+ c1

Ld�3

�d�3+ · · ·+

Ley de área Término(s) subdominante(s)

Un par de comentarios sobre la expresión que acabamos de ver:

El carácter geométrico de la entropía de entrelazamiento está implícitamente codificado en la elección del corte UV y los coeficientes y NO son universales.c0 c1

Si buscamos términos de orden superior se puede mostrar que aparecen contribuciones logarítmicas cuyos coeficientes son universales. La forma de dicho término es

Suniv = cd log(�

L)

Un par de comentarios sobre la expresión que acabamos de ver:

El carácter geométrico de la entropía de entrelazamiento está implícitamente codificado en la elección del corte UV y los coeficientes y NO son universales.c0 c1

Si buscamos términos de orden superior se puede mostrar que aparecen contribuciones logarítmicas cuyos coeficientes son universales. La forma de dicho término es

Suniv = cd log(�

L)

¿Cómo se calcula la entropía de entrelazamiento en QFT’s?

El Truco de Réplica en dos transparencias.

Definimos la entropía de Rényi como,

Sn = � 1

n� 1

log(Tr[⇢n])


Definimos la entropía de Rényi como,

1(x) 2(x)

✓

Direcciones de la teoría de campo

Tiempo euclidiano

h 1|⇢| 2i

X

i

h i|⇢| ii = Tr⇢

✓

amplitud

✓

Tr⇢2 =

Sn = � 1

n� 1

log(Tr[⇢n])

Resulta muy complicado calcular , y para lograrlo se usa la integral de trayectoria con tiempo euclideo. Esquemáticamente:

Tr[⇢n]

Periodo 2⇡


El resultado es , donde es la función de partición enTr[⇢n] ⌘ Zn

(Z1)n

en un espacio singular que obtenemos de pegar copias del espacio original.

Zn

n

Ahora, definimos la entropía de entrelazamiento como:

SEE = limn!1

Sn

Y para calcularla lo que hacemos es

Esta es la cantidad que queremos calcular con métodos holográficos.

SEE = �@n(log(Tr[⇢n])) = �@n(logZn � n logZ1)|n!1

La correspondencia holográfica

SYM N = 4sobre Minskowski D = 4

Teoría de cuerdas IIBsobre AdS5 ⇥ S5=

=T = 0

TH = 0

r = 1

r = 0

~x

ds

2 =r

2

L

2

�� dt

2 + d~x

2�+

L

2

r

2dr

2

� ⌘ g2YMNc =L4

l4s

SYM N = 4sobre Minskowski D = 4

Teoría de cuerdas IIBsobre AdS5 ⇥ S5=

=T = 0

TH = 0

El gran poder de la correspondencia radica en que cuando la teoríade campo está fuertemente acoplada, podemos hacer cuentas perturbativas en la teoría de cuerdas.

r = 1

r = 0

~x

ds

2 =r

2

L

2

�� dt

2 + d~x

2�+

L

2

r

2dr

2

� ⌘ g2YMNc =L4

l4s

La correspondencia holográfica

Existen muchas entradas del diccionario holográfico:

En esta charla solo estamos interesados en calcular la entropía de entrelazamiento y para ello utilizaremos lo que se conoce como la formula de Ryu-Takayanagi.

AB

�

⌃ A

Existen muchas entradas del diccionario holográfico:

En esta charla solo estamos interesados en calcular la entropía de entrelazamiento y para ello utilizaremos lo que se conoce como la formula de Ryu-Takayanagi.

La preescripción:

(d� 1) dimensionalconstante de Newton

[Ryu-Takayanagi]

r = 1

r = 0

R

@� = ⌃SEE(A) = ext

hArea(�)

4Gd+2

i

La fórmula:

Este resultado es válido cuando la geometría en el bulto esta descrita por gravedad (clásica) de Einstein.Es divergente (UV) porque la superficie se extiende hasta la frontera de AdS. Para resolver este problema, introducimos un corte UV en el bulto.

�

AB

�

r = 0

r = 1

� = L2/r0

r = r0

Corte UV:

⌃

R

@� = ⌃SEE(A) = ext

hArea(�)

4Gd+2

i

Haciendo los cálculos el resultado general está dado por:

SEE ' Ld�1

Gd+2

A⌃

�d�2+ · · ·


SEE ' Ld�1

Gd+2

A⌃

�d�2+ · · ·

Ley de área

Términos subdominantes


SEE ' Ld�1

Gd+2

A⌃

�d�2+ · · ·

+cd�2 log(R/�) + · · ·SEE ' Ld�1

Gd+2

A⌃

�d�2+ · · ·

+cd�2 + · · ·

Si es impard

Si es pard

Términos universales (se determinan a partir de simetrías)


SEE ' Ld�1

Gd+2

A⌃

�d�2+ · · ·

+cd�2 log(R/�) + · · ·SEE ' Ld�1

Gd+2

A⌃

�d�2+ · · ·

+cd�2 + · · ·

Si es impard

Si es pard

SEE ' Ld�1

Gd+2

A⌃

�d�2+ · · ·

Notemos que esta expresión es “alegremente” parecida a la fórmula que obtenemos para la entropía térmica de un agujero negro (calculada con la fórmula de BH).

SEE ' Ld�1

Gd+2

A⌃

�d�2+ · · ·


De hecho, en algunos ejemplos concretos se puede demostrar que (ver por ejemplo hep-th/0603081 o 1102.0440),

SEE = SBH

SEE ' Ld�1

Gd+2

A⌃

�d�2+ · · ·

SEE = SBH

Cuando la gravedad en el bulto NO es Einstein, Wald nos enseñó cómo calcular la entropía térmica de un agujero negro. El resultado es

SWald(A) = �2⇡

Z

�dd�2y

pg

@L@Rij

kl

✏ij✏kl

donde es la métrica inducida en y es la forma de volumen en en el espacio dos dimensional transverso a .

gab ��

✏ij



SEE ' Ld�1

Gd+2

A⌃

�d�2+ · · ·

SEE = SBH

Cuando la gravedad en el bulto NO es Einstein, Wald nos enseñó cómo calcular la entropía térmica de un agujero negro. El resultado es

SWald(A) = �2⇡

Z

�dd�2y

pg

@L@Rij

kl

✏ij✏kl



Esta expresión es válida cuando la curvatura extrínseca de es cero.�

Con lo que hemos dicho hasta ahora, parece natural conjeturar que la entropía de Wald coincide con la EE cuando la teoría en el bulto NO es Einstein. Muchos trabajos recientes indican que ésto NO es cierto.

[Dong; Miao; Myers et al., Smolkin]

Con lo que hemos dicho hasta ahora, parece natural conjeturar que la entropía de Wald coincide con la EE cuando la teoría en el bulto NO es Einstein. Muchos trabajos recientes indican que ésto NO es cierto.

Nuestro objetivo es estudiar EE en Randall-Sundrum a partir de lo que conocemos sobre el truco de réplica (motivados por Dong y Camps).

[Dong; Miao; Myers et al., Smolkin]

Un escenario interesante para estudiar teorías de gravedad de orden superior son los llamados modelos de Randall-Sundrum II (RSII). Éstos son un caso particular de lo que se conoce como gravedad inducida.

Randall-Sundrum en una transparencia

Tomamos dos copias de y las “pegamos” en un valor grande de la coordenda radial donde ponemos una brana -dimensional. r

AdSd+1

d


Usando las ideas de AdS/CFT, podemos pensar en la teoría dual como gravedad + materia en la brana acopladas a dos copias de una CFT con un corte UV.


AdSd+1

d


Lo primero que necesitamos es la acción d-dimensional de la gravedad inducida en el brana. Para ello se integran los dof en la dirección radial. El resultado es:

I

Eind =

1

16⇡Gd+1

Zd

dx

p�G

hR

16⇡Gd+

c

2⇡

⇣RijR

ik � d

4(d� 1)R

2⌘+O(@6)

i

[Myers et al.]

Myers y colaboradores fueron capaces de calcular la EE para unasuperficie arbitraria en la frontera a partir de la fórmula de RT.


AdSd+1

d

Usando las ideas de AdS/CFT, podemos pensar en la teoría dual como gravedad + materia en la brana acopladas a dos copias de una CFT con un corte UV.

Esquemáticamente el resultado es

SRS =

Z

Sdd�2�

ph

✓1

4Gd+

✓@

@Riem+K2 @2

@Riem2

◆+ higher derivatives

◆


No aparece en la fórmula de Wald (ahí no hay curvatura extrínseca)

Término usual de Bekenstein-Hawking

Como quizás se imaginen, para llegar a esta expresión hubo que realizar un gran número de pasos.

Vale la pena mencionar que dicha construcción depende en buena medida en poder hacer un expansión de FG alrededor de la métrica inducida en la brana.

Este paso solamente tiene varias complicaciones!

SRS =

Z

Sdd�2�

ph

✓1

4Gd+

✓@

@Riem+K2 @2

@Riem2


◆


No aparece en la fórmula de Wald (ahí no hay curvatura extrínseca)

Término usual de Bekenstein-Hawking

En lo que resta de la plática les voy a mostrar como obtenerde manera muy simple sin utilizar RT.

Como quizás se imaginen, para llegar a esta expresión hubo que realizar un gran número de pasos.

Vale la pena mencionar que dicha construcción depende en buena medida en poder hacer un expansión de FG alrededor de la métrica inducida en la brana.

Este paso solamente tiene varias complicaciones!

SRSEE

SRS =

Z

Sdd�2�

ph

✓1

4Gd+

✓@

@Riem+K2 @2

@Riem2


◆

“Nuestra” propuesta:

ZCFTd [0g] = ZAdSd+1 [

0g] ⇡ e�Iren

AdSd+1[0g]

La correspondencia AdS/CFT nos dice que

donde es la acción renormalizada, y la métrica en la frontera.

IrenAdSd+1[0g] 0g



0g] ⇡ e�Iren

AdSd+1[0g]



IrenAdSd+1[0g] 0g

Para renormalizar dicha acción lo que hacemos es una expansión en potencias del corte UV, es decir,

IAdSd+1 [h, ✏] = IDiv[h, ✏] + IFin[h, ✏]

donde es la métrica inducida en la hipersuperficie , y por tanto⇢ = ✏h

0g = lim✏!0

✏h



0g] ⇡ e�Iren

AdSd+1[0g]



IrenAdSd+1[0g] 0g

Para renormalizar dicha acción lo que hacemos es una expansión en potencias del corte UV, es decir,

IAdSd+1 [h, ✏] = IDiv[h, ✏] + IFin[h, ✏]

Función local de h(que removemos con contratérminos)

Una vez que renormalizamos lo que obtemos es

IrAdSd+1 [0g] = lim

✏!0IFin[h, ✏]

Una de las alegrías de utilizar RS es que NO necesitamos renormalizar ya que tenemos el corte UV desde un inicio!

Pero además domina la expansión . Ahora, recordemos que el truco de réplica nos dice que para calcular la EE

IDiv ✏ ⇠ 0

S = lim

n!1(1� @n) logZCFTd(n)

Si en esta expresión utilizamos la relación


0g] ⇡ e�Iren

AdSd+1[0g]

Entonces,

S = limn!1

(@n � 1) (IDiv[hn, ✏] + IFin[hn, ✏])

Notemos que la dependencia en en los términos que van a ser derivados tienen diferente origen.

n

S = limn!1

(@n � 1) (IDiv[hn, ✏] + IFin[hn, ✏])

Existe un factor de que viene del hecho de que la cooredenada angular en la acción (tiempo euclideo) tiene periodo .

n2⇡n

La otra dependencia está en el integrando ya que la métrica depende de .

hn

n

Finalmente, haciendo la cuenta lo que obtenemos es:

que coincide exactamente con el resultado de Myers et al.!

S =

Z

Sdd�2�

ph

✓@

@Riem+K2 @2

@Riem2

◆(IDiv[h, ✏] + IFin[h, ✏])

Comentarios finalesEn este contexto (gravedad inducida), el procedimiento que acabamos de exponer parece mucho más simple que el camino de Myers et al.

Creemos que debe poderse aplicar en otros escenarios.

Delicado: no estamos 100% seguros que podemos aplicar el truco de réplica en geometrías dinámicas (pero creemos que sí).

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Gravedad inducida y entropía de entrelazamiento … · Con lo que hemos dicho hasta ahora, parece natural conjeturar que la entropía de Wald coincide con la EE cuando la teoría