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Acoplamiento Einstein Campo Escalar Solucion Estatica Soluciones Dinamicas Branas dS Resumen
Gravedad Newtoniana sobre Branas con Expansion de-Sitter
Rommel Guerrero
Trabajo de ascenso presentado para optar a la categorıa de Asociado en elescalafon del personal Docente y de Investigacion
UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL “LISANDRO ALVARADO”Decanato de Ciencias y Tecnologıa
Acoplamiento Einstein Campo Escalar Solucion Estatica Soluciones Dinamicas Branas dS Resumen
Acoplamiento Einstein Campo Escalar Solucion Estatica Soluciones Dinamicas Branas dS Resumen
Paredes de Dominio
• 5 - dimensiones → y coordenada adicional
Gab = Rab −1
2gab = Tab
Tab = ∇aφ∇bφ− gab
[1
2∇cφ∇
cφ+ V (φ)
]
∇c∇cφ−
dV (φ)
dφ= 0, a, b, c = 0, ..., 4
Acoplamiento Einstein Campo Escalar Solucion Estatica Soluciones Dinamicas Branas dS Resumen
Paredes de Dominio
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
-1
0
1
2
y
ΦHyL
Figure: Campo Escalar
-4 -2 0 2 4-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Φ
VHΦL
Figure: Potencial Escalar
Acoplamiento Einstein Campo Escalar Solucion Estatica Soluciones Dinamicas Branas dS Resumen
Paredes de Dominio
L+L--1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
0
2
4
6
8
10
ΡH y L
Figure: Densidad de Energıa
Acoplamiento Einstein Campo Escalar Solucion Estatica Soluciones Dinamicas Branas dS Resumen
Escenario RS
• En coordenadas de longitud propia
ds2 = f2(y)ηµνdxµdxν + dy2, µ, ν = 0, ..., 3
• Solucion Λ = −6α2
f(y) = cosh−δ(αy/δ)
φ(y) = φ0 arctan sinh(αy/δ)
V (φ) =3
2
(
4 +1
δ
)
α2[cos(φ/φ0)]2
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Radiacion Gravitacional
• Fluctuaciones
gab(γ) = gab + γhab, γ ≪ 1
• Considerando
haz = 0︸ ︷︷ ︸
Calibre axial
, ∇µhµν = 0, hµµ = 0
︸ ︷︷ ︸
Sector TT
, dz = f−1dy︸ ︷︷ ︸
Cambio de coordendas
• Factorizando
hµν = χ(xα)f1/2(z)ψµν(z)
�(4)χ(xα) = m2χ(xα)
(−∂2
z + VQM
)ψ(z) = m2ψ(z), VQM (z) =
3
4
f ′2
f2+
3
2
f ′′
f
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Radiacion Gravitacional
-2 -1 0 1 2
-10
-5
0
5
z
VQMHzL,Ψ0HzL
Figure: Modo cero
-20 -10 0 10 20
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
z
VQMHzL,ΨmHzL
Figure: Modos masivos
• Lımite de pared de delgada δ → 0
ψ0 ∼1
(α|z| + 1)3/2
ψm(z) ∼ (|z|+1/α)1/2
[
Y2(m(|z| + 1/α)) +4α2
πm2J2(m(|z| + 1/α))
]
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Interaccion Gravitacional
• Potencial Gravitacional
V (r) = GNm1m2
r
[
ψ0(0)2 +
∫ ∞
0ψm(0)2e−mrdm
]
• Gravedad Newtoniana
V (r) = GNm1m2
r
(
1 +1
α2r2
)
, r ≫ α−1
Randall & Sundrum hep-th/9906064
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Solucion de Goetz
• En las coordendas
ds2 = f2(z)(
−dt2 + e2βtδijdxidxj + dz2
)
• Solucion Λ = 0
G. Goetz J. Math Phys., 1990
f(z) = cosh−δ(βz/δ)
φ(z) = φ0 arctan sinh(βz/δ), φ0 =√
3δ(1 − δ)
V (φ) =3
2
(
3 +1
δ
)
β2[cos(φ/φ0)]2
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Solucion de Goetz
(
−∂2z +
9
4β2 − β2
(9
4+
3
2δ
)
cosh−2 βz
δ
)
ψ(z) = m2ψ(z)
9Β2/4
-2 -1 0 1 2-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
z
VQMH z L, Ψ0H z L
• Potencial Gravitacional
V (r) = GNm1m2
r
(
1 +1
β2r2
)
, r ≫ β−1, β ≪ 1
K. Ghoroku hep-th/0303068
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Solucion Asimetrica
Λ−
= 6α(2β − αǫ) y Λ+ = −6α(2β + αǫ)
Guerrero, Rodriguez, Torrealba hep-th/0510023
f−1(z) = coshδ βz
δ
+ isgn(z)αδ
β(1 − 2δ)2F1
»
1
2− δ,
1
2,3
2− δ, cosh2 βz
δ
–
cosh1−δ βz
δ
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
-5
0
5
z
ΡH z L
Figure: Densidad de Energıa
9Β2/4
-4 -2 0 2 4
-2
0
2
4
z
VQMH z L, Ψ0H z L
Figure: Gravedad Localizada
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Familia de Branas
• Lımite de pared delgada
limδ→0
f−1(z) = eβ|z| +α
βsinhβz
• Familia de soluciones
f−1(z) = eβ|z| +
(
β −√
β2 − Λ−/6)
β−1 sinhβz , z < 0
−(
β −√
β2 − Λ+/6)
β−1 sinhβz , z > 0
• Consistencia
f−1(z) →
eβ|z| , Λ± → 0 Goetz
1 +√
|Λ|/6 |z|, β → 0, Λ < 0 RS
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Resonancia
k± =√
|Λ±|/6
k-2
k+2
-3 -2 -1 0 1 2 3-6
-4
-2
0
2
z
Ρ
Figure: Escenario Asimetrico
ΨmH0L2
Η = 0.06
Η = 0.2
Η = 1
x = mΒ
Η=k+k-
0 50 100 150 2000.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figure: Modos Resonantes
mres ∼
[(
k2+ +
9
4β2
) (
k2− +
9
4β2
)]1/4
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Escalas de Energıa
• 3 escalas de energıa:
β , k+ , k−
• Jerarquıa
β ≪ m≪ k± −→ k−1± ≪ r ≪ β−1
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Debilmente Asimetrico
k− ∼ k+
No hay resonancia
V (r) ≃k+
2πM35
„
k+
k−
+ 1
«
−1 m1m2
r×
"
1 +8
3π2
"
k−
k+
„
k−
β
«3
(1 − 2βr) + 16 × 9(1 − βr)
k+r
#
„
k+
k−
+ 1
«
+ . . .
#
Gravedad Newtoniana sobre la brana
k−1+ ≪ r ≪ β−1
Acoplamiento Einstein Campo Escalar Solucion Estatica Soluciones Dinamicas Branas dS Resumen
Fuertemente Asimetrico
k− ≫ k+
Sı hay resonancia
• Potencial gravitacional
V (r) ≃k+
2πM35
m1m2
r
"
1 +16
3π2
k+
k−
"
k+
k−
„
k−
β
«2
(1 − 2βr) − 2(1 − βr)
k+r
#
+ . . .
#
• Gravedad Newtoniana
k−1+ ≪ r ≪ β−1
→ β ≪ m ≪ k+
• Masa resonante
mres
k+
∼
s
k−
k+
≫ 1
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Fuertemente Asimetrico
k-2
k+2
9Β2/4
Ψ0
-4 -2 0 2 4
0
5
10
15
20
Figure: Λ± < 0
k-2
k+2® 0
9Β2/4
Ψ0
-4 -2 0 2 4
0
5
10
15
20
Figure: Λ− < 0 y Λ+ = 0
k+ ≪ mres ≪ k−
Acoplamiento Einstein Campo Escalar Solucion Estatica Soluciones Dinamicas Branas dS Resumen
Λ−
< 0 y Λ+ = 0
• Potencial gravitacional
V (r) ≃β
2πM35
„
β
k−
«
m1m2
r
»
1 +1
π
„
k−
β
« »
2 −9π
16
(1 + βr)
k−
r
–
(1 − βr)
βr+ . . .
–
• Gravedad 5d
k−1−
≪ r ≪ β−1
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• Determinamos una nueva solucion dS
• Encontramos resonancia
• Λ± < 0 −→ Gravedad Newtoniana
• Λ− < 0 y Λ+ = 0 −→ Gravedad 5d
