Gravitationskraft

Für die Anziehung zwischen zwei relativ kleinen Massen (Raumschiff, Komet) variiert das Ergebnis nur noch vom Abstand r.

Ergebnis: F~1/r2 HyperbelDirekt auf der Oberfläche des Kometen (r=100m) beträgt die Anziehung 1/100N, bei doppelten Abstand nur noch 1/400N.

1. kosmische Geschwindigkeit

Damit ein Satellit die Erde umkreist, muß er sich auf einer Kreisbahn mit einer bestimmten Bahngeschwindigkeit bewegen. Mit der Radialkraft gleich Gravitationskraft gilt hier

2

2

E

E

E r

mmf

r

vm

Die Gleichung wird nach v aufgelöst E

E

r

mfv

Setzt man die entsprechenden Werte f=6,67*10-11 [m3kg-1s-2], mE=5,97*1024kg und rE=6370km in die Gleichung ein, so erhält man für die Grenzgeschwindigkeit vgr=7,91[km/s]

Potentielle Energie im Gravitationsfeld

Im erdnahen Bereich ist die Hubarbeit gegeben durch

hgmW

Die allgemeine Formel für die Arbeit ist

sFW s

Auf der Erdoberfläche rE gilt2

1

E

EE r

mmfF

21

11 r

mmfF EIn der Höhe r1 wirkt die Kraft

Ist das erste Intervall nicht zu groß,so ist der Mittelwert E

E

rr

mmfF

1

1

Potentielle Energie im Gravitationsfeld

EE

Es rr

rr

mmfsFW

11

1

Für die Hubarbeit gilt dann:

11

11

rrmmfW

EE

Dies läßt sich noch umformen zu

Unterteilt man die Strecke in kleine Intervalle, so gilt auch

1221

1111

rrrrmmfW

EE

Für f=6,67*10-11 [m3kg-1s-2], mE=5,97*1024 kg und rE=6370km gilt näherungsweise EE

E

E rrms

mrrm

r

mfW 112112

81,9

Arbeit im Gravitationsfeld

Im folgenden soll ein Körper vom Punkt P1 zum Punkt P2 gehoben werden

212

11

rrmmfW

EE

111

11

rrmmfW

EE

Die Differenz aus beiden Beträgen ist die gesuchte Arbeit

211

1212,1

111111

rrmmf

rrrrmmfW E

EEE

Arbeit im Gravitationsfeld

Bei der Arbeit kommt es nur auf die Abstände zum Erdmittelpunkt am Anfang und Ende an. Arbeit wird nicht geleistet, wenn der Abstand konstant bleibt.

Beispiel: Ein Satellit wird von der Erdoberfläche auf eine geostationäre Bahn gebracht.

2. kosmische Geschwindigkeit

0

1

EE rmmfW

Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die ein senkrecht nach oben geschossener Körper haben muß, um das Gravitationsfeld der Erde verlassen zu können. Für gilt1r

Diese notwendige potentielle Energie kann dem Körper in Form von kinetischer Energie mitgegeben werden.

EE rmmfvm

1

2

1 2

Die Gleichung wird nach v aufgelöst E

E

r

mfv 2

Setzt man die entsprechenden Werte f=6,67*10-11 [m3kg-1s-2], mE=5,97*1024kg und rE=6370km in die Gleichung ein, so erhält man für die Fluchtgeschwindigkeit vErde=11,18[km/s]

vSonne=42 [km/s], v’Sonne=16,5 [km/s], vMilchstrasse=100 [km/s]

Energie im Gravitationsfeld

Will man das Gravitationsfeld verlassen, so setzt man den Endabstand auf unendlich.

Diese Flucht aus dem Gravitationsfeld läßt sich durch eine hohe Start-Geschwindigkeit erreichen. Die kinetische Energie entspricht der potentiellen Energie im Unendlichen

Für die Erde beträgt diese Geschwindigkeit 11,2km/s.

Gravitationsfeld

Modellexperiment: Die Kraftrichtungen verlaufen strahlenförmig zum zentralen Mittelpunkt

Definition einer Feldstärke: Man dividiert die Kraft durch die Masse des Probekörpers.

Als Feldlinien soll man sich die Bewegungslinien von zunächst ruhenden Probekörpern vorstellen.

Gravitationsfeld

Wirken in einem Raum Kräfte, für deren Übertragung keine Materie nötig ist, so spricht man von einem Kraftfeld.

Die Größe der Gravitationskraft nimmt mit der Entfernung ab. Die Kraftrichtung wird durch Kraftlinien dargestellt. Der Raum, in dem die Kräfte wirken wird Gravitationsfeld genannt.

Gravitationsfeld

Interessiert man sich für den Verlauf des Gravitationsfeldes, so spielt die Masse eines Körpers keine Rolle

m

rrmmf

m

WV

E

212,12,1

11

Das Gravitationspotential ist gegeben durch

212,1

11

rrmfV E

Das Gravitationspotential gibt an, welche Arbeit pro Kilogramm Masse eines Körpers nötig ist, um ihn vom Punkt P1 (Nullniveau) zum Punkt P2 zu transportieren. Im folgenden sei und mE die felderzeugende Masse1r

r

mfV

Gravitationsfeld

Bewgt man sich mit einem Körper entlang eines Trichters aufwärts, so muß Arbeit verrichtet werden, der Körper benötigt Energie. Bewgt man sich hingegen abwärts, so wird Energie frei.Für die Mondlandung müßte man Arbeit verrichten, um die Raumkapsel bis zum Punkt P zu transportieren. Vom Punkt P ab würde die Kapsel aufgrund der Anziehungskraft des Monds von alleine auf die Mondoberfläche fallen.(mM=1/81mE)

Fragen zur Gravitation

1. Ein Satellit der Masse m=200kg soll von einer Höhe von h1=500km auf eine Höhe h2=36000km gehoben werden. Welche Arbeit ist dafür zu verrichten (mE=5,97*1024kg, f=6,67*10-11[m3kg-1s-2])?

2. Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit vom Mond (rM=1738km, mM=7,35*1022kg, mE=5,97*1024kg, f=6,67*10-11[m3kg-1s-2])?

3. Was passiert, wenn man eine Raumkapsel vom Mond aus abschießt mit a)v=3km/s, b)v=0,9km/s und c)v=1,8km/s ?