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ジミなことを，ド派手にやる「理論計算機科学」ほとんど数学

圏論・代数学・数理論理学

128 5 Foundational study: concurrency and the microcosm principle

the one !m" ! !m " id" on the right edge is such that

(X1,X2,X3) #$% (X1 & X2) & X3 .

Now the composite C!1m,m"id • Cm,id"m of the iso-2-cells is what gives us a natural

isomorphism ! : X1 & (X2 & X3)#=% (X1 & X2) & X3.

Moreover, the coherence condition on such isomorphisms in a monoidal category(see [14, 96]) requires that “any two compositions of such natural isomorphisms areidentical.” A well-known instance is commutativity of the following “pentagon dia-gram.”

X1 & (X2 & (X3 & X4))!

X1 & !(X1 & X2) & (X3 & X4)

!X1 & ((X2 & X3) & X4)!

(X1 & (X2 & X3)) & X4! & X4

((X1 & X2) & X3) & X4

Indeed, commutativity of this pentagon is derived from the fact that the followingtwo composed iso-2-cells are identical.

C4!1·2,3,4"

!1,2·3,4"

!1,2,3·4"

C3

!1·2,3"

C3!1·2,3"

!1,2·3"

'!"C

C2

!1·2"C3

!1,2·3"

'C"!

C2!1·2"

'!

C

C4!1·2,3,4"

!1,2,3·4"

C3

!1·2,3"

!1,2·3" C2

!1·2"C3!1·2,3"

!1,2·3"

'id

C2

!1·2"

'!

C2!1·2"

'!

C

These two composites are identical due to the coherence condition on the mediating 2-cells Cb,a of a pseudo functor (see [19]). Here the notation 1 ·2, 3, 4—with its intentionbeing x1, x2, x3, x4 ( x1 · x2, x3, x4 following the categorical logic tradition—denotesthe arrow )m ! )"1,"2*,"3,"4* : 4 % 3 in Mon.

So far so good. However, at this moment it is not clear what is a canonicalconstruction the other way round, i.e. from a monoidal category to a pseudo functor.9In the present paper we side-step these 2-categorical subtleties by restricting ourselvesto strict, non-pseudo algebraic structures.

5.3.4 Inner models: L-objects

We proceed to formalize an inner model. It is an object in an L-category which itselfcarries an (inner) L-structure, hence is called an L-object. A monoid object in a

9 For example, given a monoidal category C, we need to define a functor !m ! (m " id)" = !m !(id"m)" in (5.11). It’s not clear whether it should carry (X, Y, Z) to X#(Y #Z), or to (X#Y )#Z.

新パラダイム計算を ねじふせる

量子計算

ハイブリッドシステム（情報＋物理）

東大 蓮尾研 検索

東京大学 コンピュータ科学専攻 蓮尾研究室Dept. Computer Science, The University of Tokyo Group MMM (aka. Hasuo Laboratory)

Friday, May 16, 14

王様のように遊び，大統領のように働く

数学って楽しいよね

けれど応用上のインパクトも狙う！

既存の手法

数学的な定式化

新たな手法

「数学的本質」を見極める

パラメータを変えて具体化

非決定的システム

Kleisli 圏での余代数

確率的システムふつうの計算

Geometry of Interaction

量子計算離散的システム ハイブリッドシステム

Hoare 論理 ＋ 超準解析

東大 蓮尾研 検索

東京大学 コンピュータ科学専攻 蓮尾研究室Dept. Computer Science, The University of Tokyo Group MMM (aka. Hasuo Laboratory)

Friday, May 16, 14

求める学生像数学的な議論に慣れていると良い前提知識は不問

理論研究における共同研究のスキル俯瞰力と問題設定力やる気スイッチを見つけよう（成功体験）地味な研究だからこそ，ハデにやろう！

目指す学生像

東大 蓮尾研 検索

東京大学 コンピュータ科学専攻 蓮尾研究室Dept. Computer Science, The University of Tokyo Group MMM (aka. Hasuo Laboratory)

Friday, May 16, 14

FXF (beh(c))

//_____ FZ

X

cOO

beh(c)//______ Z

finalOO

圏論とは？

P '!>1

ss

ss

xx

>1 '>1oo · · ·oo 'i>1

oo · · ·oo

'!+1>1

kk

kk

ff

b0

^^

�

�6

C F!1

ss

ss

⇡ixx

1 F1!oo · · ·oo F i1F i�1 !oo · · ·F i !

oo

F!+11

kk

kk

F⇡i�1ff

b

__

⌃

�8

“Category Theory”矢印ばっかり書いているのだもともと代数学の道具 抽象化と一般化の「乗り物」

計算機科学での応用余代数 (coalgebra)オートマトンの抽象化

関数型プログラムの意味論Haskell のモナドとか．

練習問題For a function f : X ! Y , the following are

equivalent.

• f is injective, that is,

f(x) = f(x0) =) x = x

0.

• f is left-cancelable, that is, for any set

Z and any functions g, h : Z ◆ X,

f � g = f � h =) g = h .

単射の概念（element による）の，矢印だけによる言い換え

Friday, May 16, 14

メンバー

蓮尾 一郎講師ボス！！

片岡 俊基博士課程 (数学科出身)圏論的論理，topos，超準解析

由水 輝博士課程 (内部生)線形論理，量子プログラミングパリVIIに行ってる

赤崎 拓未修士課程 (内部生)物理情報システム

津曲 紀宏ポスドク確率的システム，クリーニ代数

卜部 夏木修士課程 (内部生)確率的システム，coalgebra

小川 浩志修士課程 (内部生)量子的システム，coalgebra

中川 翔太修士課程 (内部生)確率的システム，ゲーム論的確率論

藤井 宗一郎修士課程 (計数出身)圏論的双対性，普遍代数，豊穣圏

室屋 晃子修士課程 (内部生)線形論理，圏論的意味論

木戸 肩吾修士課程 (内部生)プログラム検証，物理情報システム

Friday, May 16, 14

研究協力者

末永 幸平 先生京都大学プログラム検証，ハイブリッド・システム

京都大学 数理解析研究所の先生方長谷川真人，照井一成，勝股審也，星野直彦圏論，プログラム意味論，線形論理，...毎年夏に合同セミナー実施

教員は一人だけどいろんな人に話を聞けます

この他にも...国内外，大学，企業などに（ゆかいな）協力者多数

Friday, May 16, 14