Institutionen för Energivetenskaper, LTH

Kompendium i GRUNDLÄGGANDE STRÖMNINGSLÄRA

Daniel Eriksson och Christoffer Norberg

Visualisering av strömning kring cirkulär cylinder, C. Norberg. ______________________________________________________

oktober 2006

Jämfört med tryckningen 2004 har det gjorts vissa smärre uppdateringar, rättelser, justeringar och tillägg. Referenslistan, figurerna 1-3 och 1-4 och tabellerna 7-3, 8-3 och A2 har t.ex. uppdaterats; Tabell 1-3 och Tabell A1/2 rättats avseende data för vatten och luft; betecknings-listan samt exempel 7.1, 7.2 och 8.2 justerats och ny text infogats i avsnitt 1.5, 4.2, 5.2, 5.5, 6.1, 6.2, 7.2 och 7.5. Tabell A3 och Figur 7-9 har tillfogats, liksom sakregister. Antal sidor är oförändrat. Lund, 2006-10-25 Christoffer Norberg

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

BETECKNINGAR 1

1. INTRODUKTION 3

1.1 Inledning 3

1.2 Fluiders karakteristik 3

1.3 Enhetssystem, dimensionshomogenitet 3

1.4 Strömningsanalys 5 1.4.1 Olika sätt att betrakta fluiders rörelse 5 1.4.2 Hastighet 5 1.4.3 Acceleration, materiell derivata 5 1.4.4 En-, två- och tredimensionell strömning 7 1.4.5 Stationär och instationär strömning 7 1.4.6 Tryck och densitet 7 1.4.7 Strömlinjer, stråklinjer och partikelbanor 8

1.5 Viskös strömning, viskositet 8

1.6 Reynolds tal, laminär och turbulent strömning 11

1.7 Volymflöde, massflöde och medelhastighet 13

1.8 Gränsskikt 15

1.9 Ljudhastighet, inkompressibel strömning 16

2. FLUIDERS STATIK 19

2.1 Inledning 19

2.2 Tryckgradienten 19

2.3 Fluid med konstant densitet 21

2.4 Fluid med varierande densitet 22

2.5 Standardatmosfär 23

2.6 Mätning av tryck 24 2.6.1 Piezometrisk manometer 24 2.6.2 U-rörsmanometer 25

2.7 Hydrostatisk kraft på plan yta 28

2.8 Flytkraft, Arkimedes princip 30

3. VISKÖS STRÖMNING 33

3.1 Rörelseekvationer 33 3.1.1 Kontinuitetsekvationen på differentiell form 33 3.1.2 Navier-Stokes ekvationer 34

3.2 Cylinderkoordinater 35

3.3 Tillämpningar 36 3.3.1 Stationär, laminär strömning mellan två parallella plan 36 3.3.2 Stationär, laminär strömning i rör med cirkulärt tvärsnitt 39

4. BERNOULLIS EKVATION 41

4.1 Newtons andra lag 41 4.1.1 Bernoullis ekvation längs en strömlinje 42 4.1.2 Bernoullis ekvation tvärs en strömlinje 45

4.2 Tillämpningar av Bernoullis ekvation 47 4.2.1 Stagnationspunkt 47 4.2.2 Utströmning ur vätskebehållare 48 4.2.3 Mätning av tryck och hastighet 52 4.2.4 Mätning av medelhastighet och massflöde - Venturimeter 53 4.2.5 Friktionsfri rörströmning 54

5. KONTROLLVOLYMSANALYS 57

5.1 System och kontrollvolym 57

5.2 Reynolds transportteorem 57

5.3 Kontinuitetsekvationen 61

5.4 Impulsekvationen 63 5.4.1 Korrektionsfaktor för impulsflödet 64

5.5 Tillämpningar av impulsekvationen 64 5.5.1 Rörströmning 65 5.5.2 Fria strålar 68 5.5.3 Strömning i öppna kanaler 71

5.6 Impulsmomentet 72

6. DIMENSIONSANALYS, LIKFORMIGHET 73

6.1 Buckinghams Π - teorem 73

6.2 Likformighet och dimensionslösa grupper 75

7. OMSTRÖMMADE KROPPAR, STRÖMNINGSMOTSTÅND OCH LYFTKRAFT 79

7.1 Strömningsmotstånd och lyftkraft 79

7.2 Strömning kring en cirkulär cylinder 81

7.3 Inverkan av ytskrovlighet 88

7.4 Motståndskoefficient för kroppar och ytor 88

7.5 Lyftkraft på vingprofiler 91

8. RÖRSTRÖMNING 93

8.1 Energiekvationen vid rörströmning – Bernoullis utvidgade ekvation 93 8.1.1 Korrektionsfaktor för kinetisk energi 94

8.2 Laminär och turbulent rörströmning 94

8.3 Hydraulisk diameter 96

8.4 Strömningsförhållanden i inloppsområdet 96

8.5 Tryckförluster 97 8.5.1 Friktion 98

Laminär strömning 98 Turbulent strömning 98

8.5.2 Engångsförluster 101 Kontraktion och expansion 101 Andra komponenter 104 Inloppssträckan 105

Referenser 110

Tabell A1. Fysikaliska data för vatten och luft 111

Tabell A2. Mättnadsdata för vatten 113 Tabell A3. Ämnesdata för några vätskor vid 1 atm, 20oC 113 Sakregister 114

BETECKNINGAR A area [m2] a acceleration [m/s2] a vektoriell acceleration ,( a ), zyx aa=a

cC kontraktionskoefficient [-], (4.22)

DC motståndskoefficient [-], (7.4)

f,DC motståndskoefficient p.g.a. ytfriktion [-], (7.6)

p,DC motståndskoefficient p.g.a. tryckkrafter [-], (7.6)

LC lyftkraftskoefficient [-], (7.5)

pc , specifik värmekapacitet [J/(kg K)] vc

pC tryckkoefficient [-], (7.5) c ljudhastighet [m/s], (1.16) D, d diameter [m]

hd hydraulisk diameter [m], (8.5) F kraft [N] FB flytkraft [N] (2.21) FD strömningsmotstånd [N] (7.1) FL lyftkraft [N] (7.2) Fr Froudes tal [-], (6.7) f Darcys friktionsfaktor [-]

Sf virvelfrekvens [1/s] g tyngdacceleration [m/s2] h höjd, djup [m] h entalpi per massenhet [J/kg]

k,j,i ˆˆˆ enhetsvektorer i x-, y- och z-riktningen

LK förlustkoefficient (engångsförlustkoefficient) k [-] vp / ccL primär dimension för längd L längd [m] l längd, korda [m] M primär dimension för massa M molvikt (molmassa) [kg/kmol] Ma Machs tal, machtal [-], (1.18) m massa [kg] m& massflöde [kg/s], (1.15) n enhetsnormalvektor P perimeter (”våtlagd” omkrets) [m] p tryck [Pa] q netto värmeutbyte in per massenhet [J/kg] R gaskonstant [J/(kg K)], (1.6)

uR universell gaskonstant [J/(kmol K)] R krökningsradie [m] Re Reynolds tal [-], (1.12) r radiell koordinat [m]

1

St Strouhals tal [-], (7.8) s koordinat längs en strömlinje T primär dimension för tid T temperatur [K] ([°C]) T vridmoment [Nm] t tid [s] U hastighet, friströmshastighet [m/s] u, v, w hastighet i koordinatriktningarna x, y, z [m/s] u inre energi per massenhet [J/kg] V hastighet, medelhastighet [m/s], (1.14) V volym [m3] V& volymflöde [m3/s], (1.13) W netto arbetsutbyte ut [J] W& effekt (arbete per tidsenhet) [W] We Webers tal [-], (6.6)

tw tekniskt arbete per massenhet, netto ut [J/kg] x, y, z koordinater [m] α korrektionsfaktor för flöde av kinetisk energi, anfallsvinkel [-] β korrektionsfaktor för impulsflöde, deformationsvinkel [-] δ gränsskiktstjocklek [m] ε ytråhet [m] φ vinkel [-] ϕ korrektionsfaktor för friktion vid utströmning [-], (4.21) γ specifik tyngd [N/m3] γ& deformationshastighet [1/s] κ kvot mellan medelhastighet och centrumhastighet i rör [-], (8.4) µ dynamisk viskositet [kg/(s m)] ν kinematisk viskositet [m2/s], (1.11) Θ primär dimension för temperatur θ vinkel [-] ρ densitet [kg/m3] σ ytspänningskoefficient [N/m] τ skjuvspänning [N/m2] ω vinkelhastighet [1/s]

2

1. INTRODUKTION 1.1 Inledning Fluidmekanik eller strömningslära kallas den del av mekaniken som behandlar jämvikt och rörelse hos fluider. Med fluider avses vätskor och gaser. Fluidmekaniken kan indelas i fluiders statik (fluiders jämvikt) och fluiders dynamik (rörelse).

Strömningsproblem förekommer inom många olika tekniska och vetenskapliga områden; maskinteknik, skeppsbyggnadsteknik, flygteknik, väg- och vattenbyggnad, meteorologi, etc. Det är därför viktigt att kunna bestämma strömningsförloppen teoretiskt. Tyvärr ger de lagar som styr strömning upphov till mycket komplicerade rörelseekvationer, varför analytisk lösning av strömningsproblem endast kan erhållas för mycket enkla och idealiserade fall. Man är därför oftast hänvisad till att använda experimentella eller numeriskt framtagna resultat, t. ex. för bestämning av tryckfall vid strömning i rörsystem eller strömningsmotstånd på en bil.

En analys av en fluids rörelse måste nästan alltid direkt eller indirekt utgå från fyra fysikaliska lagar, som är oberoende av den speciella fluidens natur:

(1) masskonservering (2) Newtons andra lag (3) termodynamikens första lag (energiprincipen) (4) termodynamikens andra lag (entropiprincipen) Utöver dessa lagar är det också nödvändigt att använda lagar och samband för den

ifrågavarande fluiden, t. ex. ideala gaslagen, Newtons viskositetslag och Fouriers värme-ledningsekvation. 1.2 Fluiders karakteristik Vad är en då en fluid och vad skiljer en fluid från en solid? En fluid är en substans (ett medium) som vid en godtyckligt liten skjuvbelastning (skjuvkraft) deformeras kontinuerligt.

En skjuvkraft uppkommer när en yta påverkas av en tangentiellt riktad kraft. Kontinuerlig deformation innebär att fluiden sätts i rörelse d.v.s. att fluiden strömmar. En fast kropp (en solid) kan däremot i motsats till en fluid motstå skjuvbelastning genom statisk deformation.

Alla storheter av intresse (tryck, hastighet, temperatur, densitet, viskositet, o.s.v.) förutsätts variera kontinuerligt genom fluiden. Diskontinuiteter är tillåtna endast över ytor, t. ex. fasgränser. Genom detta makroskopiska betraktelsesätt kan alla storheter (inklusive dess derivator) sägas ha värden i varje punkt (kontinuumshypotesen). Varje storhets värde skall ses som ett medelvärde över en liten volym kring den betraktade punkten. Hur stor är då den minsta fluidenhet som kan betraktas som ett kontinuum? För gaser vid normalt tillstånd och för alla vätskor ligger denna s.k. kontinuumsgräns vid ca. 10−9 mm3, se White (2003), motsvarande en kub med sidan 1 µm (ca.). Ett fluidelement är en fluidansamling med en viss massa. Med ett litet eller infinitesimalt fluidelement eller fluidpartikel avses normalt att dess storlek närmar sig kontinuumgränsen. 1.3 Enhetssystem, dimensionshomogenitet Inom strömningslära används ett stort antal fysikaliska storheter och samband. För att få enhetliga regler används ett primärt enhetssystem med primära dimensioner som massa [M], längd [L], tid [T] och temperatur [Θ]. Dessa primära dimensioner kan användas för att härleda alla övriga sekundära dimensioner, t. ex. hastighet [LT−1], densitet [ML−3], kraft [MLT−2] etc.

3

Det är även nödvändigt att kvantitativt kunna uttrycka storheternas mätetal i ett praktiskt måttsystem, man har därför enats internationellt om ett antal primära och härledda grundenheter, SI-systemet. De vanligaste enheterna inom strömningslära visas i Tabell 1-1 och Tabell 1-2, se White (2003).

Tabell 1-1. Grundenheter i SI-systemet. Primär storhet Beteckning Primär dimension SI-enhet Massa m M kilogram, kg Längd l L meter, m Tid t T sekund, s Temperatur T Θ kelvin*, K

* T[K] = T [°C] + 273.15

Tabell 1-2. Härledda SI-enheter. Storhet Beteckning Primär

Dimension SI-enhet

area A L2 m2 volym V L3 m3

volymflöde V& L3T-1 m3/s hastighet V LT-1 m/s acceleration a LT-2 m/s2 tyngdacceleration g LT-2 m/s2

densitet ρ ML-3 kg/m3 massflöde m& MT-1 kg/s vinkelhastighet ω T-1 s−1 kraft F MLT-2 newton N, kg m/s2 energi, arbete, värme QWE ,, ML2T-2 joule J, Nm, kg m2/s2

effekt Q,W && ML2T-3 watt W, J/s, kg m2/s3 specifik värmekapacitivitet vp , cc L2T-2Θ-1 J/(kg K), m2/(s2K)

tryck, skjuvspänning τ,p ML-1T-2 pascal Pa, N/m2, kg/(s2 m) dynamisk viskositet µ ML-1T-1 Pa s, Ns/m2 , kg/(sm) kinematisk viskositet ν L2T-1 m2/s

Principen om dimensionshomogenitet: Alla termer i ett fysikaliskt giltigt uttryck måste ha samma dimension.

_________________________________________________________________________ Exempel 1.1. Betrakta ideala gaslagen, . Vilken enhet och dimension har gaskonstanten R? ρRTp =Enheten för de ingående termerna [p] = N/m2, [ρ] = kg/m3 och [T] = K.

[ ] [ ][ ] [ ] K)/(sm

Kkgm

smkg

KkgmN

Kkg/mN/m 22

23

2===

⋅=

⋅=

TρpR

Dimensionen för de ingående storheterna {p} = MT-2L-1, {ρ} = ML-3 och {T} = Θ

12213112 ΘTLΘLMLMT}{}{

}{}{ −−−−−− ==⋅

=Tρ

pR

_________________________________________________________________________

4

1.4 Strömningsanalys 1.4.1 Olika sätt att betrakta fluiders rörelse Två olika betraktelsesätt används för att beskriva fluiders rörelse. Den ena kallas Lagranges betraktelsesätt, där betraktas ett visst fluidelement genom att följa dess bana i rummet. Det innebär att koordinaterna inte är fixerade i rummet utan varierar kontinuerligt så att de alltid beskriver partikelns läge (partikelbeskrivning). Vid det betraktelsesätt som kallas Eulers betraktas istället en viss punkt och här beskrivs vad som vid varje ögonblick händer med en fluidpartikel som befinner sig kring den betraktade punkten (fältbeskrivning) Den eulerska beskrivningen används uteslutande i denna kurs. 1.4.2 Hastighet I ett rätvinkligt s. k. Cartesiskt koordinatsystem, beskrivs hastigheten för en fluidpartikel av dess hastighetskomposanter i x-, y- och z-riktningen, ),,,( tzyxuu = , och

, vilka bildar hastighetsvektorn ),,,( tzyxvv =

),,,( tzyxww =

)(ˆ),,,(ˆ),,,(ˆ),,,( wv,u,tzyxwtzyxvtzyxu =++= kjiV (1.1) där i är enhetsvektorer i de tre koordinatriktningarna x, y, z. k,j, ˆˆ

Absoluthastighet (fart) fås enligt

222 wvuV ++== V (1.2) 1.4.3 Acceleration, materiell derivata

rp

Vp

up(rp,t)

vp(rp,t)

wp(rp,t)

xp(t)

yp(t)

zp(t)

partikel-bana

x

y

z

Figur 1-1. Hastighet och position för en fluidpartikel vid tiden t.

5

Betrakta en fluidpartikel som rör sig längs en partikelbana enligt Figur 1-1. Partikelns hastighet, Vp, är en funktion av dess lägesvektor (koordinater) och av tiden, Vp = Vp(rp, t) = Vp[xp(t), yp(t), zp(t), t] Accelerationen är enligt definition partikelns ändring av hastighet per tidsenhet

dtd p

pV

a =

Genom att använda kedjeregeln för differentiering fås

dtdz

zdtdy

ydtdx

xtdtd

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂== ppppp

pVVVVV

a

Eftersom detta gäller alla partiklar behövs inte längre referensen till partikel p. Eftersom

, och udtdx =/ vdtdy =/ wdtdz =/ övergår uttrycket till

zw

yv

xu

t ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=VVVVa (1.3)

Accelerationsvektorns skalärkomposanter blir

zuw

yuv

xuu

tuax ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

zvw

yvv

xvu

tvay ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

zww

ywv

xwu

twaz ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Derivatan

))(()()()()()()(∇⋅+

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= Vtz

wy

vx

utDt

D (1.4)

där

kji ˆˆˆzyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

är den s.k. gradientoperatorn brukar benämnas materiella derivatan. För gradientoperatorns utseende i olika koordinatsystem, se t.ex. Panton (1996).

6

1.4.4. En-, två- och tredimensionell strömning I ett allmänt strömningsfält uppträder variationer i alla riktningar, strömningen är tredimensionell. Den enda förenkling som då kan göras är att välja ett lämpligt koordinatsystem. I många fall är variationerna i någon koordinatriktning betydligt mindre än i övriga riktningar, strömningen kan då approximeras som tvådimensionell. I vissa fall t.ex. för tryckfallsberäkningar vid rörströmning kan strömningen betraktas som endimensionell där variationerna över tvärsnitt vinkelräta mot strömningsriktningen ersätts med lämpliga medelvärden. 1.4.5 Stationär och instationär strömning Om strömningen är stationär uppträder inga tidsvariationer i någon punkt. I praktiken är de flesta strömningsfall instationära, tidsberoende. För många fall av teknisk betydelse är strömningen turbulent, d.v.s. uppvisar slumpmässiga variationer både i tid och rum. En turbulent strömning är således alltid instationär. Om de yttre förhållanden som upprätthåller strömningen är stationära kan dock ofta den turbulenta strömningen sägas vara stationär i medel, då fluktuationer för olika storheter sker kring s.k. tidsmedelvärden. Som exempel kan nämnas de vindhastigheter och vindriktningar som dagligen rapporteras från olika meterologiska stationer (sjörapporter). Hastigheter och riktningar är tidsmedelvärden som uppmäts över en viss tid, säg 2 minuter. De rapporterade värdena är dessutom medelvärden över flera sådana mätningar. 1.4.6 Tryck och densitet

Tryck är definierat som normalkraft per ytenhet och betecknas p. Detta tryck kallas vanligen det termodynamiska trycket. För en fluid i vila är trycket i en punkt oberoende av riktning (Pascals lag), d.v.s. en skalär storhet. Skjuvkrafter, hur små dom än är, ger då upphov till rörelse. För en fluid i vila är alltså normalkrafterna (tryckkrafterna) de enda möjliga ytkrafterna. För en fluid i rörelse uppträder dessutom normalspänningar p.g.a. viskösa krafter, och trycket i en punkt är då definierat som medelvärdet av de normalspänningar som verkar i punkten. Detta s.k. mekaniska tryck är också oberoende av riktning, en skalär. För alla tillämpningar i denna kurs är det mekaniska trycket lika med det termodynamiska trycket.

Densitet är definierad som massa per volymsenhet och betecknas ρ. Volymiteten (v) för en fluid är definierad som volym per massenhet, ρ/1=v . För alla gaser vid tillräckliga låga tryck gäller ideala gaslagen,

RTpρ = (1.5)

där R är gaskonstanten och T absolut temperatur, se Ex. 1.1. Vid känd medelmolvikt (molmassa) M kan gaskonstanten beräknas:

MRR /u= (1.6)

där J/(kmol K) är den universella gaskonstanten. För vanlig, torr luft är kg/kmol, d.v.s.

47.8314u =R97.28=M =R 287.0 J/(kg K). För luft omkring rumstemperatur (ca. 300 K)

7

gäller ideala gaslagen inom upp till ca. 3 MPa. Ökad temperatur innebär normalt sett att giltigheten för ideala gaslagen förbättras, se vidare Çengel & Boles (2002).

%1±

0±

0178 T

t

För en vätska gäller approximativt (utom vid extremt höga tryck) att densiteten är lika med den som gäller mättad vätska vid ifrågavarande temperatur. Densiteten för vätskor ökar (svagt) med ökat tryck och minskar (normalt sett) med ökande temperatur. För vatten omkring normaltryck (ca. 0.1 MPa) är densiteten som högst vid 4oC. Följande empiriska samband, se White (2003), gäller inom för vatten mellan 0oC och 100oC och omkring normaltryck:

%2.

7.13

OH C4)C(.01000)kg/m(2

°−°−=ρ (1.7)

Tryckets inverkan är extremt liten, upp till ca. 20 MPa är densitetsökningen mindre än 1%. Vid vätskeströmning kan ibland trycket lokalt understiga mättnadstrycket vid aktuell

temperatur (ångtrycket). Vanligtvis uppträder då lokal kokning och ångbubblor bildas, s.k. kavitation. När ångbubblorna transporteras till områden med högre tryck kan bubblorna implodera, s.k. kavitationskollaps. Denna kollaps kan snabbt erodera metallytor, t.ex. fartygspropellrar, impellerblad i pumpar och turbinskovlar i vattenturbiner, och eventuellt förorsaka haverier. 1.4.7 Strömlinjer, stråklinjer och partikelbanor En strömlinje är en kurva vars tangent i varje punkt anger hastighetsvektorns riktning. Ekvationen för en strömlinje ges av

wdz

vdy

udx

== (1.8)

En partikelbana är den linje i rummet som genereras av en tänkt fluidpartikel när den följer

strömningen. En stråklinje är, vid en viss tidpunkt, orten för fluidpartiklar vilka alla tidigare passerat

genom en given punkt i rummet. Strömningsvisualisering, synliggörande av strömning, brukar ske genom att man kontinuerligt släpper ut något synligt ämne t.ex. rök i luft eller bläck i vatten. Det man då registrerar är alltså stråklinjer. I bilden på kompendiets framsida är de vita linjerna rökslingor som genererats via upphettning av en tunn vertikal tråd (till vänster i bilden) med ett pärlband av oljedroppar. Detta är således stråklinjer.

Vid stationär strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. 1.5 Viskös strömning, viskositet Betrakta en fluidpartikel som släpps fri i ett hastighetsfält )0,0,(u=V där u endast beror av koordinaten y, . I xy–planet kommer partikeln att förflyttas med hastighetsfältet men den kommer även att deformeras, se Figur 1-2.

)(yuu =

För ett kort tidsinkrement δ kan deformationsvinkeln δβ tecknas y

tuδδδ

δβ =

8

u

u+δu

δx

δy

δβ

δuδt

tt+δtu(y)

Figur 1-2. Deformation av en fluidpartikel i xy-planet. Vid en gränsövergång då och 0→δt yδ är tillräckligt liten (vid kontinuumsgränsen) fås vinkeländringen per tidsenhet, den s.k. deformationshastigheten, enligt

dydu

dtd

tt===

→

βδδβγ

δ 0lim&

På grund av viskösa krafter uppstår en motverkande skjuvkraft i det betraktade planet. Enligt en ansats som Isaac Newton gjorde 1687 är denna kraft proportionell mot hastighetsskillnaden mellan angränsande skikt. Viskös skjuvkraft per areaenhet kallas för viskös skjuvspänning och betecknas med τ. En generalisering av Newtons ansats definierar en Newtonsk fluid: För en Newtonsk fluid gäller att viskösa spänningar är direkt proportionella mot deformationshastigheter i olika plan. För en Newtonsk fluid och för den enkla skjuvströmningen enligt ovan∗ kan skjuvspänningen skrivas

dyduµµ == γτ & (1.9)

där µ är en fluidberoende proportionalitetsfaktor och benämns fluidens (absoluta) viskositet eller dynamiska viskositet. För Newtonska fluider är viskositeten en fluidegenskap. Gaser samt de vanligaste vätskorna är exempel på Newtonska fluider. För Newtonska fluider är viskositeten oberoende av deformationens storlek och skjuvspänningens varaktighet.

Tryckberoendet för µ är i allmänhet helt försumbart, d.v.s. )(Tµµ = . Tabell 1-3 visar temperaturens inverkan på µ för luft och vatten. För vätskor gäller allmänt att µ minskar kraftigt med ökande temperatur (de blir mer lättflytande), se Tabell A3. För gaser ökar µ med ökande temperatur. För luft gäller approximativt enligt Sutherlands formel:

++

=

STST

TTµµ o

oo

2/3

/ (1.7)

där T K, Pa s och 15.273=o

6101.17 −×=oµ 4.110=S K (White 2003).

∗ Generellt för skjuvspänning i planet x = konstant, i y-riktningen:

∂∂

+∂∂

=xv

yuµxyτ .

9

Tabell 1-3. Densitet och dynamisk viskositet för luft och vatten viskositet vid 1 atm Luft Vatten Temperatur [°C] ρ [kg/m3] µ [Pa s] ρ [kg/m3] µ [Pa s]

0 1.293 17.2×10−6 999.8 1.791×10−3 10 1.247 17.7×10−6 999.7 1.306×10−3 20 1.204 18.2×10−6 998.2 1.002×10−3 30 1.165 18.7×10−6 995.6 0.797×10−3 40 1.127 19.2×10−6 992.2 0.653×10−3 50 1.109 19.6×10−6 988.0 0.547×10−3 60 1.060 20.1×10−6 983.2 0.466×10−3 70 1.029 20.6×10−6 977.8 0.404×10−3 80 1.000 21.0×10−6 971.8 0.354×10−3 90 0.972 21.5×10−6 965.3 0.314×10−3 100 0.946 21.9×10−6 958.4 0.282×10−3

Genom att dividera µ med densiteten ρ erhålls det som kallas kinematisk viskositet,

beteckning ν . SI-enheten för ν är m2/s.

ρµ=ν (1.8) Figur 1-3 och 1-4 visar dynamisk resp. kinematisk viskositet för några vanliga fluider som funktion av temperaturen vid atmosfärstryck.

Figur 1-3. Dynamisk viskositet (1 atm) för några vanliga fluider.

10

Figur 1-4. Kinematisk viskositet (1 atm) för några vanliga fluider. Exempel på icke-newtonska fluider är plastiska, pseudoplastiska och dilatanta ämnen. För

plastiska ämnen t.ex. tandkräm, krävs en viss flytspänning innan deformationen kan börja, viskositeten är således oändlig då skjuvspänningen understiger flytspänningen. Efter det att flytspänningen överskridits kan sambandet mellan skjuvspänning och deformationshastighet vara linjärt s.k. Binghamfluid, men det kan också vara olinjärt, ex. våt lera. För en pseudoplastisk fluid (t.ex. smältor, blod och polymerer samt vissa målarfärger) minskar viskositeten med ökande skjuvspänning; det motsatta förhållandet råder för dilatanta fluider (t.ex. suspensioner med hög koncentration av partiklar). Fluider där skjuvspänningen minskar med tiden vid konstant deformationshastighet kallas för tixotropa. Exempel på tixotropa fluider är ketchup, vissa målarfärger, majonnäs och honung. För mer information om icke-newtonska fluider, se White (2003). 1.6 Reynolds tal, laminär och turbulent strömning Reynolds tal är ett dimensionslöst tal definierat enligt

ν==

ll Uµ

ρURe (1.12)

där U är en karakteristisk hastighet för strömningsfallet, t. ex. en anströmningshastighet mot ett föremål (en s.k. friströmshastighet) eller medelhastighet i ett rörsystem; är en karakteristisk längd, t.ex. diametern på en fotboll eller invändig diameter för ett rör.

l

Reynolds tal är av mycket stor betydelse inom strömningslära. Storleken på detta tal avgör t. ex. strömningens karaktär. Med karaktär avses huruvida strömningen är laminär, turbulent eller i omslagsområdet mellan dessa strömningstillstånd. För tillräckligt låga Reynolds tal dominerar friktionen (viskösa krafter) och strömningen blir laminär, d.v.s. skiktad och stabil.

11

Vid ökande Reynolds tal minskar friktionens relativa inverkan. Strömningen blir då mer och mer tröghetsdominerad och blir till slut instabil och övergår (via ett omslagsområde) till turbulent strömning. Turbulent strömning är virvelrik, orolig, har stor blandningsförmåga och ger vanligen upphov till stora strömningsförluster, t.ex. i form av ökat tryckfall vid rörströmning. I naturen och vid tekniska tillämpningar är det turbulenta strömningstillståndet det absolut vanligaste. Det Reynolds tal under vilket turbulent strömning inte kan upprätthållas brukar benämnas kritiskt Reynolds tal, . kritRe Reynolds tal är uppkallat efter den brittiske (född i Belfast, verksam i Manchester) hydrodynamikern och fysikern Osborne Reynolds (1842-1912). Reynolds utförde pionjära strömningsexperiment under slutet av 1800-talet och var den förste att inse betydelsen av det vi idag benämner Reynolds tal (introducerat 1908). Reynolds var också pionjär inom den statistiska behandlingen av turbulent strömning.

Osborne Reynolds

Vid rörströmning används den invändiga rördiametern som karakteristisk längd ( d=l ),

som karakteristisk hastighet används medelhastigheten (U V= ).

ν==

VdµρVdRe

Strömning i rör är garanterat laminär om Reynolds tal understiger ca. 2100 ( ) och oftast turbulent om det överstiger ca. 4000, se vidare kap. 8.

2100Rekrit ≈

_________________________________________________________________________

Exempel 1.2 Betrakta en fluid innesluten mellan två närbelägna parallella plattor, se Figur E1-2. Plattorna antas vara så stora att eventuella randeffekter vid plattornas kanter kan försummas. Fluiden (Newtonsk) är ursprungligen stillastående då en konstant kraft F anbringas på den övre plattan som sätts i rörelse och efter en stund får den konstanta hastigheten U. Den undre plattan är stillastående. Avståndet mellan plattorna betecknas h och arean av en platta, vilken är i kontakt med fluiden, betecknas A. Strömningen är laminär. Vad är fluidens viskositet?

12

yh

FU

Figur E1-2 Ett fundamentalt koncept inom strömningslära är att en (kontinuerlig) fluid i kontakt med en yta rör sig med samma hastighet och riktning som ytan, s. k. no-slip condition. Således kommer fluiden närmast den övre plattan också att röra sig med hastigheten U, medan hastigheten för fluiden närmast den nedre stillastående plattan kommer att vara noll. Endast viskösa krafter (friktionskrafter) antas påverka fluiden i detta fall. Fluidens hastighet, u, vid laminär strömning kommer då att variera linjärt mellan nedre och övre

plattan (se kap. 3.3.1), hyU=u

Kraften på fluiden (motriktad kraften på väggen) är AF τ= . Enligt ekv. (1.9) fås

AhUµA

dyduµF == , d.v.s.

AUFhµ = .

_______________________________________________________________________ 1.7 Volymflöde, massflöde och medelhastighet Volymflödet genom en godtycklig yta, se Figur 1-5, beräknas enligt

∫ ⋅=A

dA)ˆ( nVV& = ∫A

dAnV (1.13)

där är den utåtriktade enhetsvektorn normalt till dA (vinkelrät mot ytelementet dA), och Vn hastighetskomposanten i ytelementets normalriktning.

n

V

dA

nVn

Figur 1-5. Strömning genom en godtycklig yta.

Medelhastigheten genom samma yta fås enligt definition

13

∫ ⋅==A

dAAA

V )ˆ(1 nVV& (1.14)

Massflödet beräknas enligt

∫ ∫=⋅=A A

dAVdAm n)ˆ( ρρ nV&

Om densiteten kan betraktas som konstant (inkompressibel strömning) fås

V&& ρm = = (1.15) VAρ __________________________________________________________________________

Exempel 1.3 Vid laminär, fullt utbildad och tryckdriven strömning av en Newtonsk fluid mellan två plana parallella plattor, se Figur E1-3, ges hastighetsfördelningen av (se kap. 3.3.1):

−=

hy

hyuu 14 max , v 0,0 == w

där u är maxhastigheten, hastigheten i centrumplanet. max

yh

Figur E1-3. Laminär strömning mellan plana plattor. Hur stor blir skjuvspänningen vid (a) väggen (b) i mittplanet mellan plattorna, då maxhastigheten är m/s, avståndet mellan plattorna mm och det strömmande mediet är luft av 20°C vid 101 kPa? Bestäm dessutom medelhastigheten.

0.3max =u 0.2=h

Eftersom u(y), v = 0, fås ur ekvation (1.6) 0=w

dyduµ=τ

För luft vid 20°C och 101 kPa gäller (Tabell 1-3). sPa102.18 6−×=µDå hastighetsfördelningen är given fås hastighetsgradienten enligt

[ ] )/21(4

))/(/(4 max2max hy

hu

hyhyudyd

dydu

−=−=

14

(a) Vid nedre väggen är och 0=yh

udydu

y

max

0

4=

=

och ekvation (1.6) ger 11.0m100.2

m/s0.34sPa102.184

36max

0 =×

××==

−−

= hu

µyτ Pa.

(b) Vid mittplanet är 2/hy = 0/ =dydu och därmed är även skjuvspänningen noll. För en viss bredd b blir volymflödet

∫ ⋅=A

dA)ˆ( nVV& bhuhy

hybuubdy

hhy

ymax

02

32

max0 3

232

4 =

−== ∫

=

=

Densiteten antas konstant vilket ger medelhastigheten =V m/s0.232

max === ubhAVV &&

h

.

Vid beräkning av Reynolds tal för detta fall används 2=l som karakteristisk längd. Laminär strömning kan då garanteras om Reynolds tal är lägre än ca. 2100, (Rekrit ≈ 2100).

Re = 6

3

102.18100.40.2204.1)2(V

−

−

×

×××=

µhρ = 529 2100< OK, laminär strömning.

_________________________________________________________________________ 1.8 Gränsskikt Friktionens (de viskösa krafternas) inverkan på fluiders strömning, speciellt för fluider med låg viskositet, är i allmänhet endast av betydelse nära fasta väggar där hastighetsgradienten du/dy är stor. På ett visst avstånd från en fast vägg blir då skjuvkrafterna försumbara i jämförelse med övriga krafter (tryckkrafter och volymskrafter), man talar då om friktionsfri strömning.

Tillräckligt nära en fast vägg måste hänsyn alltid tas till friktionen. I praktiken visar det sig att det område nära en fast kropp där friktionen är väsentlig och av betydelse, vanligen är extremt tunt. För detta krävs att Reynolds tal, baserat på en typisk kroppsdimension och anströmningshastighet, är tillräckligt högt. Detta område benämns gränsskikt (eng. boundary layer). Inom gränsskiktet är hastighetsgradienten stor och därmed friktionskrafterna betydande. Observera att fluidens hastighet alldeles invid en fast vägg uppnår väggens hastighet (no-slip), speciellt då ingen hastighet alls om väggen står stilla, se Figur 1-6.

gränskiktsströmning

friktionsfri strömning

y u = u(y)

Figur 1-6. Hastighetsfördelningen i ett gränsskikt (laminärt) nära en fast bred vägg.

15

1.9 Ljudhastighet, inkompressibel strömning Den lokala ljudhastigheten definieras enligt

Ts

pkpc

∂∂

=

∂∂

=ρρ

, där k (1.16) 1/ vp >= cc

Ljudhastigheten motsvarar utbredningshastigheten för tryckstörningar med försvinnande liten amplitud. Tryckamplituden för en ljudpuls av 80 dB är ca. 0.2 Pa. För en ideal gas ( ) fås

ρRTp =

kRTc = (1.17)

Machtalet (Machs tal) är definierat som kvoten mellan den faktiska hastigheten och den lokala ljudhastigheten,

cV

=Ma (1.18)

Vid kallas strömningen subsonisk (underljudsströmning) och vid är strömningen supersonisk (överljudsströmning).

1Ma < 1Ma >1Ma = kallas för kritisk eller sonisk

strömning, se även Çengel & Boles (2002).

Uppdelningen i gränsskikt och friktionsfri strömning gjordes 1904 av den tyske fysikern Ludwig Prandtl (1875-1953) och blev ett avgörande steg inom strömningslärans utveckling. Före 1904 hade man inte haft några möjligheter att analysera friktions-påverkad strömning kring t.ex. vingprofiler. Teorin för friktionsfri strömning var dock väl utvecklad sedan slutet på 1700-talet, genom t. ex. insatser av Leonhard Euler (1707-1783) och Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) och Pierre-Simon de Laplace (1749-1827). Prandtl visade att ekvationerna som styr strömningen i ett gränsskikt kan förenklas kraftigt och faktiskt lösas numeriskt i många fall (laminära gränsskikt). Uppdelningen innebar att det sammansatta problemet kunde analyseras genom matchning vid gränsskiktets ”rand” (streckat i Figur 1-6).

Ludwig Prandtl

16

_________________________________________________________________________ Exempel 1.4 Ett jetplan flyger med hastigheten 620 km/h på höjden 10.5 km där trycket är 24 kPa och temperaturen är -54°C. Bestäm machtalet. Luft vid detta tillstånd kan betraktas som en ideal gas, där 40.1=k

K15.; .

Temperaturen måste uttryckas i kelvin, K)J/(kg287=R

21915.27354 =+−=T . Ljudhastigheten blir 29715.21928740.1 =××=c m/s.

==297

6.3/620Ma 0.58 (subsonisk strömning, underljudshastighet)

_________________________________________________________________________ Inkompressibel strömning innebär strömning där fluidens densitet kan betraktas som konstant. Ett nödvändigt villkor är subsonisk strömning vid låga machtal ( ). Som tumregel gäller att strömning måste betraktas som kompressibel om machtalet överstiger ca. 0.3. För luft omkring normaltillstånd innebär detta hastigheter högre än ca. 100 m/s. Vid adiabatisk strömning (strömning med försumbart värmeutbyte) är

1Ma <<

1Ma << (eller praktiskt sett ) också ett tillräckligt villkor för inkompressibel strömning (Panton 1996).

Vätskeströmning kan oftast betraktas som inkompressibel, undantag kan t.ex. gälla strömning med mycket stora temperaturvariationer. Kompressibel strömning av gaser vid höga strömningshastigheter brukar benämnas gasdynamik. För vidare studier av detta område rekommenderas speciallitteratur, t.ex. Anderson (2003). Distinktionen mellan inkompressibel och kompressibel strömning behandlas utförligt i Panton (1996).

3.0Ma <

Machs tal är uppkallat efter filosofen och fysikern Ernst Mach (1838-1916), huvud-sakligen verksam i Prag. Inom strömningslära är Mach mest känd för sina pionjära studier av vågfenomen vid kompressibel gasströmning. År 1886 blev fotografen Petera Salcher (1848-1928) tillfrågad om huruvida det var möjligt att fotografiskt fånga en gevärskula i flykten, vid supersonisk hastighet. Försöken lyckades och året därpå publicerade de tillsammans en klassisk artikel med bilder av den karak-teristiska vågbildning som sker kring kulan och vars konvinkel beror på just förhållandet mellan kulans hastighet och ljudhastigheten, d.v.s. Machs tal (introducerat år 1929).

Ernst Mach

17

2. FLUIDERS STATIK 2.1 Inledning I detta avsnitt behandlas problem där fluiden är i vila eller då närliggande partiklar inte rör sig relativt varandra (likformig rörelse). Fluiden kan då betraktas som en fast kropp och de enda ytkrafter som uppträder är tryckkrafter som verkar normalt mot ytor. För en stillastående fluid eller en fluid i likformig rörelse är trycket i en punkt oberoende av riktningen. Detta resultat är känt som Pascals lag. 2.2 Tryckgradienten Hur varierar då trycket med riktningen för en stillastående fluid? För att besvara denna fråga betraktar vi ett infinitesimalt fluidelement enligt Figur 2-1. I frånvaro av skjuvkrafter finns det två slags krafter som verkar på fluidelementet:

♦ Ytkrafter i form av tryckkrafter som verkar normalt mot en yta, normalkrafter.

♦ Volymskrafter eller kroppskrafter, vanligtvis i form av gravitation. Beteckna trycket mitt i fluidelementet med p. Medeltrycken på fluidelementets olika ytor

kan uttryckas med p samt dess partiella derivator i olika riktningar, se Figur 2-1.

δyδx

δzgδm

x

y

zzxy

ypp δδδ

∂∂

− )2

( zxyypp δδδ

∂∂

+ )2

(

yxzzpp δδδ

∂∂

− )2

(

yxzzpp δδδ

∂∂

+ )2

(

i j

k

Figur 2-1. Krafter på ett fluidelement i vila.

Den resulterande tryckkraften (ytkraften) i x-riktningen blir

zyxxppzyx

xppFx δδ

δ

∂∂

+−δδ

δ

∂∂

−=δ22

19

zyxxpFx δδδ∂∂

−=δ

På analogt sätt fås de resulterande tryckkrafterna i y- och z-riktningen

zyxypFy δδδ∂∂

−=δ

zyxzpFz δδδ∂∂

−=δ

Den resulterande tryckkraften är en vektor

zyxzp

yp

xp

p δδδ

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=δ kjiF ˆˆˆ

Uttrycket enligt ovan uttrycks vanligen per volymsenhet och representerar vektorformen av tryckgradienten

=∇p kji ˆˆˆzp

yp

xp

∂∂

+∂∂

+∂∂ (2.1)

Resulterande volymskraft (kroppskraft) antas härröra enbart från fluidelementets tyngd

zyxρV δδδ=δ gF Enligt Figur 2-1 är gravitationen* riktad i negativ z-riktning, , och de resulterande krafterna blir

kg ˆg−=

zyxgρp δδδ−−∇=δ∑ )ˆ( kF

Enligt Newtons andra lag gäller

aF mδ=δ∑ där a är accelerationsvektorn och fluidelementets massa vilken kan skrivas mδ zyxρ δδδ . Efter division med fluidelementets volym fås

ak ρgρp =−∇− ˆ (2.2) vilket är den generella rörelseekvationen för en fluid då skjuvkrafter saknas. Då fluiden är i vila gäller att accelerationen är noll

0ˆ =+∇ kgρp (2.3) * Om inget annat anges förutsätts fortsättningsvis tyngdaccelerationen vara 9.81 m/s2 (standardvärde vid havsytan, latitud 45°).

20

Följande skalära ekvationer erhålls

0=∂∂

xp , 0=

∂∂

yp och ρg

zp

−=∂∂

Av detta framgår att, för en fluid i vila, varierar trycket endast i z-led (gravitationskraftens riktning), och den partiella derivatan kan ersättas med en ordinär derivata

ρgdzdp

−= (2.4)

Kombinationen ρg benämns ibland specifik tyngd (eng. specific weight), beteckning γ , se t.ex. White (2003). 2.3 Fluid med konstant densitet För en vätska kan ofta densiteten betraktas som konstant. Med konstant densitet (och tyngdacceleration) kan ekv. (2.4) integreras direkt

∫∫ −=2

1

2

1

z

z

p

p

dzρgdp

vilket ger

)( 1221 zzρgpp −=− (2.5) Vid många praktiska tillämpningar är det vanligt med en fri vätskeyta mot omgivningen, se

Figur 2-2, och det kan då vara lämpligt att använda den fria vätskeytan som referensplan. Referenstrycket, , är då trycket som verkar på vätskeytan (vanligtvis atmosfärstrycket) och med hjälp av ekv. (2.5) kan trycket, p, vid ett djup h räknat från vätskeytan tecknas

0p

ρghpp += 0 (2.6)

Fri vätskeyta, p = p0

zz2-z1 = h

g

Figur 2-2. Vätska med fri vätskeyta.

21

Denna typ av tryckfördelning benämns vanligen som hydrostatisk tryckfördelning. I vatten ökar trycket med ca. 9.8 kPa per meter djup. Om trycket vid ytan är 1 atm (101 kPa) är trycket vid lite drygt 10 m:s djup (10.3 m) det dubbla d.v.s. 2 atm. Det statiska trycket vid det djupaste stället i världshaven (Marianergraven, normaldjup 11034 m) är ca. 1100 atm (0.11 GPa). Vattnets densitet är trots den stora tryckskillnaden endast cirka 5% högre än vid havsytan. Vatten i vätskeform kan i princip alltid betraktas som en fluid med konstant densitet. ______________________________________________________________________

Exempel 2.1 På grund av läckage har vatten sipprat in i en nedgrävd bensintank som upptill är öppen mot omgivningen. Om fullständig skiktning antas (vätskorna blandas inte) kommer bensinen att ligga ovanpå vattnet enligt Figur E2-1.

p0

bensin

vatten(1)

(2)

0.5 m

3.0 m

Figur E2-1

Beräkna trycket vid gränsytan mellan bensin och vatten samt trycket vid botten av tanken då densiteten för bensin respektive vatten är = 680 kg/m3, = 1000 kg/m3 och

omgivningstrycket = 101 kPa. bensinρ OH2

ρ

0p

Vätskorna är i vila och har konstant densitet varför ekvation (2.5) och (2.6) kan användas. Trycket vid gränsytan mellan bensin och vatten:

121Pa)0.381.968010101( 31bensin02 =××+×=+= ghρpp kPa

Trycket vid botten av tanken:

126Pa5.081.9100012OH11 2=××+=+= pghρpp kPa

______________________________________________________________________ 2.4 Fluid med varierande densitet I vissa fall varierar densiteten så pass mycket att denna inte kan approximeras som konstant (vid beräkning av tryckvariationer). Oftast gäller detta gaser men kan även gälla vätskor, t.ex. vid stora (stabilt skiktade) variationer i temperatur. För gaser varierar densiteten kraftigt med både temperatur och tryck. För en ideal gas gäller ρRTp = och ekv. (2.4) ger

22

pRTg

dzdp

−= (2.7)

Med konstant tyngdacceleration samt genom att separera variabler kan uttrycket skrivas som

∫∫ −=2

1

2

1

z

z

p

p Tdz

Rg

pdp

Speciellt vid isoterma förhållanden (T = konstant) varierar trycket exponentiellt med den vertikala höjden,

−−=

RTzzgpp )(exp 12

12 (2.8)

2.5 Standardatmosfär Som bekant varierar atmosfärens tryck och temperatur i både tid och rum. Man har dock genom en internationell överenskommelse infört en s.k. standardatmosfär som liknar medelatmosfären i många delar av världen. Vid havsytan gäller för standardatmosfären p = 101.325 kPa (1 atm) och T = 15°C.

I den del av atmosfären som ligger närmast jorden, troposfären, minskar temperaturen linjärt med ca. 6.5 K/km upp till en höjd av ca. 11 km, se Figur 2-3. Därefter följer tropopausen, med konstant temperatur ungefär lika med −56.5°C, upp till en höjd av ca. 20 km. Över troposfären finns stratosfären, mesosfären och jonosfären.

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 200

25

50

75

100

125

Troposfären

Tropopaus

Stratosfär

Stratopaus

Mesosfär

Mesopaus

Jonosfär

Ozonskikt

Norrsken

Temperatur oC

Höj

d, k

m

Figur 2-3. Temperaturfördelning i jordatmosfären.

23

__________________________________________________________________________ Exempel 2.2 Beräkna trycket vid 7 km höjd över havet då trycket vid havsytan är 1 atm och temperaturen är 15°C. Enligt ekvation (2.7) gäller dp RTgdzp // = . I troposfären varierar temperaturen

approximativt enligt T , där K/m. Bz 105.6 ×≈BT −= 03−

BzTdz

Rg

pdp

−−=

0

Efter integrering erhålls

BzTT

BgR

pp

−=

0

00 lnln eller ( ) RBgTBzpp /00 /1−=

Med J/(kg K) för ren (torr) luft samt 287=R 2880 =T K, fås efter insättning, p(z = 7 km) 41 kPa. ≈

__________________________________________________________________________ 2.6 Mätning av tryck Då trycket är en viktig storhet finns det också ett stort antal instrument och metoder för att mäta tryck. I detta avsnitt behandlas en metod som benämns manometri vilken går ut på att man mäter höjden på en vätskepelare för att bestämma trycket. Ett viktigt samband i detta sammanhang är att för kommunicerande kärl med samma fluid är trycket detsamma vid samma vertikala höjd.

Tryck brukar anges som absoluttryck eller övertryck (eng. gage pressure) vilket är skillnaden mellan absoluttrycket och omgivningens tryck. Undertryck, tryckskillnaden mellan omgivningens tryck och ett lägre absolut tryck, benämns ofta i engelsk litteratur vacuum pressure. I fortsättningen kommer benämningen tryck att avse det absoluta trycket (absoluttrycket). 2.6.1 Piezometrisk manometer Den enklaste typen av manometer består av en vertikal tub vilken är öppen upptill och nedtill ansluten till det objekt för vilket trycket skall mätas. Betrakta piezometerröret i Figur 2-4 vilket är anslutet till en behållare med trycksatt vätska. Då trycket i behållaren är högre än omgivningstrycket kommer vätskan att stiga till en viss nivå i röret. Trycket i behållaren fås nu enligt ekv. (2.6).

ρghpp += 0A

24

pA

p0

h

Figur 2-4. Piezometerrör.

Denna metod kan endast användas i de fall då man har högre tryck än omgivningen samt då behållaren innehåller en vätska. Vidare bör inte trycket i behållaren vara för stort eftersom det är uppenbart att rörets nödvändiga höjd ökar proportionellt med trycket. 2.6.2 U-rörsmanometer Den mest förekommande manometern är den s.k. U-rörsmanometern, vilken mäter en tryckskillnad. Vanligtvis är denna manometer formad som ett U, se Figur 2-5.

pA

h1

h2

pB

p*

ρf

ρm

Figur 2-5. Mätning av tryckskillnad med U-rörsmanometer.

Fluiden i manometern, vanligen vatten, sprit eller kvicksilver, kallas manometervätska. För att få fram det sökta trycket appliceras ekv. (2.6) i respektive ände av U-röret samt utnyttjar sambandet ovan för kommunicerande kärl. För vänstra skänkeln fås

A1f* pghρp += och för den högra skänkeln

B2m* pghρp +=

25

index m anger manometervätska och index f anger den fluid för vilken trycket mäts. Tryckskillnaden ges enligt

1f2mBA ghρghρpp −=− (2.9) U-rörsmanometern används ofta för att mäta tryckskillnaden mellan två olika system eller

tryckskillnaden mellan två positioner i ett system. Betrakta tryckmätningen enligt Figur 2-6.

pA

h1

h2

p*

pB

h3

ρf,1

ρf,2

ρm

Figur 2-6. Mätning av tryckskillnad mellan två system.

Tryckskillnaden erhålls enligt

11,f32,f2mBA ghρghρghρpp −+=− (2.10) Då skänklarna är anslutna till mätställen på samma vertikala höjd i ett och samma system

(samma fluid), t. ex. vid mätning av tryckfall i horisontella kanaler, ger ekv. (2.10)

1f3f2mBA ghρghρghρpp −+=− Men vilket resulterar i hhhh ==− 213

ghpp )( fmBA ρρ −=− (2.11) I många fall är manometervätskans densitet mycket högre än fluidens densitet, ,

(2.11) förenklas då till fm ρρ >>

ghρpp mBA =− (2.12)

26

__________________________________________________________________________ Exempel 2.3

h

Figur E2-3 En U-rörsmanometer med vatten som manometervätska används för mätning av tryckfall i en horisontell ventilationskanal. Lufttrycket i kanalen är ca. 101 kPa och lufttemperaturen 20°C. Hur stort är tryckfallet då vätskepelarens differenshöjd, h, är 36 mm? Hur stor blir differenshöjden om kvicksilver används istället för vatten? Ekvation (2.11) ger )( fm ρρghp −=∆ . Densiteten för vatten vid 20°C (293.15 K) är

(Tabell A1) och densiteten för luft fås från ideala gaslagen, ekv. (1.5): 3kg/m2.998

=××

== 33

kg/m15.293287

10101RTpρ 1.20 kg/m3, vilket ger

==−××=∆ − Pa1.352Pa)20.12.998(103681.9 3p 0.35 kPa.

Om densiteten för luft försummas i förhållande till vattnets fås 352.5 Pa, en försumbar skillnad.

Med kvicksilver som manometervätska, kg/m3 (20°C) fås vätskepelarens höjd ur ekv. (2.12) ( )

3Hg 106.13 ×≈ρ

luftHg ρρ >>

6.2m)81.9106.13/(352)/( 3Hg =⋅×=∆= gρph mm.

Avläsningsnoggrannheten vid användandet av U-rör är vanligtvis ca. 0.5 mm. För detta fall är det uppenbart olämpligt att använda kvicksilver, eftersom det relativa felet i avläsningsnoggrannheten blir närmare 20%. Med vatten som manometervätska bli motsvarande fel ca. 1.4%, vilket för de flesta applikationer kan anses acceptabelt. Av hälsoskäl finns det dessutom restriktioner för användande av kvicksilver.

±

__________________________________________________________________________

27

2.7 Hydrostatisk kraft på plan yta Vi tänker oss en öppen behållare med en fluid av konstant densitet, Figur 2-7, och skall beräkna den resulterande hydrostatiska kraften på en plan platta A, som bildar vinkeln θ med horisontalplanet. Eftersom inga skjuvkrafter förekommer, måste den resulterande kraften vara vinkelrät mot ytan.

dFFR

x

xT

xR koordinat för res. kraft FR

tyngdpunktdA

yyT

yR x

θ

hT

h

0

Figur 2-7. Hydrostatisk tryckkraft på en yta.

Betrakta en yta dA på djupet h under den fria vätskeytan. På denna yta blir normalkraften,

dAρghppdAdF )( 0 +== . Ofta verkar omgivningstrycket på väggens utsida, varför den resulterande kraften blir 0p

ρghdAdF =R ,

∫∫∫ ===AAA

ydAρgdAρgyρghdAF θθ sinsinR .

Integralen är ytmomentet kring x-axeln och således lika med , där är koordinaten för tyngdpunkten hos ytan.

∫ ydA AyT Ty

ApAρghAyρgF Tö,TTR )sin( === θ (2.13)

28

Den resulterande kraften blir således lika med övertrycket i tyngdpunkten multiplicerat med arean. Tryckfördelningen över ytan är olikformig, varför kraftresultanten inte verkar i ytans tyngdpunkt utan i en punkt under tyngdpunkten, i tryckcentrum ( ). Tryckcentrum beräknas enligt, se Young et al. (2004).

RR , yx

AyI

yy x

T

T,TR += (2.14)

där är ytans tröghetsmoment m.a.p. en axel parallell med x-axeln genom som går genom ytans tyngdpunkt.

T,xI

AyI

xx xy

T

T,TR += (2.15)

där är ytans deviationsmoment m.a.p. ett ortogonalt koordinatsystem med origo i tyngdpunkten.

T,xyI

_________________________________________________________________________

Exempel 2.4 I en stor vattentank ( ) finns en cirkulär lucka vars centrum befinner sig 10.0 m under den fria vätskeytan. Beräkna det moment som krävs för att öppna luckan då dess diameter är . Luckan öppnas inåt mot vätskan kring en axel genom centrum, Figur E2-4.

3kg/m1000=ρ

m0.4=D

TR

D = 4 mFR

yT

FR

M

Figur E2-4. Hydrostatisk tryckkraft på lucka.

På luckans utsida verkar omgivningstrycket och ekv. (2.13) med °== 90,0.10 θmyT ger

=π⋅⋅⋅== 4/0.1081.91000 2T DAρghFR 1.23 MN

29

Tröghetsmomentet = . Deviationsmomentet = 0 p.g.a. ytans symmetri vilket betyder att koordinaten i x-led för tyngdpunkt och tryckcentrum sammanfaller.

Insättning ger =

T,xI 4/4Rπ T,xyI

Ry =+π

0.100.10

4/0.2/ 24

R=+

4T2 yπ

TyR 10.1 m.

Kraftens momentarm kring luckan centrum är TR yy − , och momentet blir

56TRR 1023.1m)0.101.10(N1023.1)( ×=−×=−= yyFT Nm.

_________________________________________________________________________ 2.8 Flytkraft, Arkimedes princip Samma princip som används för att beräkna hydrostatisk kraft på en yta kan användas för att beräkna nettotryckkraften för kroppar nedsänkta i en fluid och flytande kroppar. Följande upptäcktes av Arkimedes på 200-talet före vår tideräkning:

♦ En kropp helt nedsänkt i en fluid påverkas av en flytkraft (eng. buoyancy force) som är lika med tyngden av den fluid som den undantränger.

VgρFB f= (2.16)

där fluidens densitet och fρ V den undanträngda volymen.

♦ En flytande kropp undantränger en fluidmängd motsvarande sin egen tyngd i den fluid i vilken den flyter.

Ekvation (2.16) kan enkelt bevisas m.h.a. Gauss’ sats. Nettotryckkraften på en nedsänkt kropp är lika med integralen av trycket över kroppens yta,

[ ] ∫∫ ∇−==−=V

VdpdApA

)(sats Gauss'ˆp nF .

Enligt ekv. (2.3) gäller , där kf gρp −=∇ fρ är fluidens densitet, dvs.

VgρdgρF z ff,p == ∫V

V .

_________________________________________________________________________

Exempel 2.5 En heliumballong svävar i luften på en höjd där luftens temperatur är 27°C och trycket 99.0 kPa. Om trycket i ballongen är 102.0 kPa och ballongmaterialets massa är 0.27 kg hur stor är då ballongens volym? Kraftjämvikt ger: gmmgmFB )( Hematerialtot +==

30

FB

mg

Figur E2-5. Svävande heliumballong.

Enligt Arkimedes princip, , vilket ger VgρFB luft=

materialHeluft mmρ =−V Ideala gaslagen: samt )/( HeHeHe TRpm V= )/( luftluftluft TRpρ = , där 2077 J/kg K och 287 J/kg K. Efter insättning fås

=HeR=luftR

=−

=

He

He

luft

luft

material

Rp

Rp

TmV 0.27 m3

Volymen som ballongens material upptar har försummats.

_________________________________________________________________________

31

3. VISKÖS STRÖMNING 3.1 Rörelseekvationer 3.1.1 Kontinuitetsekvationen på differentiell form Betrakta ett tredimensionellt infinitesimalt litet område (volym) kring en viss fixerad punkt i en strömmande fluid. Längderna i resp. koordinatriktning är xδ , yδ och , se Figur 3-1. zδ

δyδx

δz

x

y

z

2x

xmm x

xδ

∂∂

+&

&xm&

ijk

2x

xmm x

xδ

∂∂

−&

&

Figur 3-1. Volym för härledning av kontinuitetsekvationen.

Nettoutströmningen genom arean zyAx δδ= i x-led:

xx

mxx

mmx

xm

m xxx

xx δδδ

∂∂

=∂∂

−−∂∂

+&&

&&

& )2

(2

där massflödet m . Nettoutströmningen i x-led kan alltså skrivas zyuρuAρ xx δδ==&

zyxxuρx

xmx δδδ

∂∂

=δ∂∂ )(&

På motsvarande sätt fås nettoutströmningen i y- respektive z-led.

Summering av nettoutströmningen i samtliga riktningar ger den totala nettoutströmningen

Total nettoutströmning = zyxzwρ

yvρ

xuρ

δδδ

∂

∂+

∂∂

+∂

∂ )()()(

Minskningen av massa per tidsenhet inom volymen fås enligt

zyxtρ

tm

δδδ∂∂

−=∂∂

−

Enligt lagen om massans bevarande måste den totala nettoutströmningen vara lika med minskningen av massa per tidsenhet

33

zyxtρzyx

zwρ

yvρ

xuρ

δδδ∂∂

−=δδδ

∂

∂+

∂∂

+∂

∂ )()()(

eller

0)()()(=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

zwρ

yvρ

xuρ

tρ (3.1)

Vid inkompressibel strömning (ρ = konstant) fås

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

zw

yv

xu (3.2)

Med vektornotation kan (3.1) och (3.2) skrivas

0)( =⋅∇+∂∂ Vρ

tρ

resp.

0=⋅∇ V . 3.1.2 Navier-Stokes ekvationer I kap. 2 studerades Newtons andra lag för ett statiskt fluidelement, där fluidelementet endast påverkades av tryckkrafter och volymskrafter (gravitationskrafter),

Vm FFa δδδ += p För en strömmande fluid påverkas fluidelementet även av viskösa krafter (friktionskrafter),

τδ+δ+δ=δ FFFa Vm p (3.3) Vid inkompressibel strömning med konstanta fluidegenskaper kan de viskösa krafterna (per volymsenhet samt rätvinkligt koordinatsystem) tecknas enligt, se White (2003):

kji ˆˆˆ2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zw

yw

xwµ

zv

yv

xvµ

zu

yu

xuµ (3.4)

Accelerationsvektorn (materiella derivatan av hastigheten), se kap. 1, skrivs enligt

zw

yv

xu

tDtD

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==VVVVVa

Insättning i ekv. (3.3) samt division med densiteten ger följande skalära ekvationer

34

x-led:

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

xpg

zuw

yuv

xuu

tu

x ρµ

ρ (3.5a)

y-led:

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

21z

vy

vx

vypg

zvw

yvv

xvu

tv

y ρµ

ρ (3.5b)

z-led:

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

21zw

yw

xw

zpg

zww

ywv

xwu

tw

z ρµ

ρ (3.5c)

Tillsammans med kontinuitetsekvationen brukar dessa s.k. impulsekvationer kallas Navier-Stokes ekvationer, se Panton (1996). Tyvärr kan de endast lösas analytiskt för ett fåtal, relativt enkla laminära strömningsproblem. I övriga fall är man hänvisad till experimentella undersökningar och/eller numeriska metoder.

Med vektornotation kan rörelseekvationerna (3.2, 3.5) skrivas mer kompakt:

0=⋅∇ V

VgVVVV 21)( ∇+∇−==∇⋅+∂∂

ρµ

ρp

DtD

t.

3.2 Cylinderkoordinater

ur

uz

uθ

r

θ

z

y

x

Figur 3-2. Cylinderkoordinater. I cylinderkoordinater fås följande rörelseekvationer vid stationär, inkompressibel strömning med konstanta ämnesstorheter:

35

Kontinuitetsekvationen:

0)()(1)(1=

∂∂

+θ∂

∂+

∂∂ θ

zuu

rrur

rzr (3.6)

Impulsekvationer:

r-led:

∂∂

−−∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂∂

++∂∂

−=

=−∂∂

+∂∂

+∂∂

θθ

θ

θ

θθ

urr

uzuu

rrur

rrρµg

rp

ρ

ru

zuuu

ru

ruu

rrrrr

zz

rrr

222

2

2

2

2

2

2111

1

(3.7a)

θ-led:

−

∂∂

+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂∂

++∂∂

−=

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

222

2

2

2

22111

1

ruu

rzuu

rru

rrrρ

µgr

pρ

ruu

zu

uu

ru

ru

u

r

rzr

θθθθθ

θθθθ

θ

θθθ

θ (3.7b)

z-led:

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂∂

++∂∂

−=

=∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2111

1

zuu

rrur

rrρµg

zp

ρ

zuuu

ru

ruu

zzzz

zz

zzr

θ

θθ

(3.7c)

3.3 Tillämpningar 3.3.1 Stationär, laminär strömning mellan två parallella plan Betrakta stationär, inkompressibel, fullt utvecklad laminär strömning mellan två oändligt breda parallella plan, s.k. plan Poiseuille-strömning, se Figur 3-3. För denna typ av strömning rör sig fluidpartiklarna i x-riktningen parallellt med planen; ingen hastighet i y- eller z-riktningarna, 0,0 == wv

0/)( =∂z. Strömningen kan även antas vara tvådimensionell, oberoende av z-

riktningen, ∂ . Vidare är tryckgradienten i x-riktningen, ==∂∂− Bxp / konstant.

36

yh

xg

u(y)

Figur 3-3. Laminär strömning mellan två parallella plan.

Då strömningen är stationär gäller 0/)( =∂∂ t . Då även ger kontinuitetsekvationen (3.2) att

0,0 == vw0/ =∂∂ xu , d.v.s. u )(yu= . Gravitationen antas verka i

negativ y-riktning, gg y −= . Ekv. (3.5) ger

x-led: 2

20

dyudµ

xp+

∂∂

−= (3.8)

y-led: yp

ρg

∂∂

−−=10 (3.9)

Efter integrering av (3.9) fås

)(xfρgyp +−= Derivering m.a.p. x ger men tryckgradienten i x-riktningen är enligt förutsättningarna konstant, vilket ger

dxdfxp // =∂∂f 1)( CBxx +−= och 1CBxρgyp +−−= . Vid

positionen kan trycket antas vara givet )0,0( == yx 0p)0,0( yxp === . Tryckfördelningen kan nu tecknas

0pBxρgyp +−−= (3.10) Insättning i ekv. (3.8) ger

.2

2konst

µB

dyud

=−=

Efter integrering fås

2CyµB

dydu

+−=

samt

322

21 CyCy

µBu ++−=

37

Randvillkoren samt 0)0( ==yu 0)( == hyu ger konstanterna C resp. C . Hastighetsfördelningen blir

2 3

)//(2

)(2

222

2 hyhyBhyhyBu −=−=µµ

(3.11)

Den maximala hastigheten fås i symmetriplanet 2/hy =

µBhu8

2

max = (3.12)

Volymflödet per breddenhet (bredd b) ges av

µBhdyyhy

µBdyudAu

bb

hy

y

hy

y

hy

y 12)(

21 3

0

2

00

=−=== ∫∫∫=

=

=

=

=

=

V& (3.13)

Medelhastigheten:

max

2

32

12u

µBh

bhAV ====

VV && (3.14)

Ett annat enkelt strömningsproblem är då t.ex. det övre planet i fallet ovan rör sig med en

konstant hastighet U i x-riktningen utan tryckgradient i x-riktningen (jfr. Ex. 1.2), s.k. Couette-strömning.

yh

xg

U

u(y)

Figur 3-4. Strömning mellan parallella plan där övre planet rör sig med hastigheten U.

Impulsekvationen i x-riktningen reduceras i detta fall till

02

2=

dyud (3.15)

Med randvillkoret vid det övre planet u Uhy == )( fås lösningen

38

hyUu = (3.16)

Då randvillkor och rörelseekvationer till strömningarna ovan (3.11) och (3.16) är linjära kan dessa lösningar superponeras vilket resulterar i s.k. Couette-Poiseuille-strömning

)(2

2yhyµ

BhyUu −+= (3.17)

3.3.2 Stationär, laminär strömning i rör med cirkulärt tvärsnitt Stationär, inkompressibel och laminär strömning i rör med cirkulärt tvärsnitt benämns vanligen Hagen-Poiseuille-strömning. Betrakta tryckdriven strömning i ett horisontellt rör med radien R, Figur 3-5.

rθ

R

y

z

g

Figur 3-5. Strömning i horisontellt cirkulärt rör.

Eftersom geometrin är cylindrisk är det lämpligt att använda ett cylindriskt koordinatsystem, ekv. (3.6, 3.7). Strömningen antas vara parallell med z-riktningen,

. Kontinuitetsekvationen (3.6) ger då att 0,0 == θuur 0/ =∂∂ zuz . Vidare gäller vid stationär, axisymmetrisk strömning att zu är oberoende av tiden och koordinaten θ vilket innebär )(ruu zz = . Vidare gäller, liksom vid strömning mellan parallella plan, att tryckgradienten i strömningsriktningen är konstant, Bzp =∂∂− / . Impulsekvationerna (3.7) förenklas under dessa förhållanden till

r-led: rpρg∂∂

−−= θsin0 (3.18a)

θ-led: θ

θ∂∂

−−=p

rρg 1cos0 (3.18b)

z-led:

+

∂∂

−=dr

dur

drd

rµ

zp z10 (3.18c)

Ekvationen för tryckfördelningen blir densamma som vid plan Poiseuille-strömning. Ekvation (3.18c) skrivs enligt

39

µB

drdur

drd

rz −=

1

Integration två gånger ger hastighetsfördelningen.

12

21 Cr

µB

drdu

r z +−=

212 ln

41 CrCr

µBuz ++−=

Då hastigheten måste vara ändlig då gäller 0→r 01 =C . Vid väggen (r = R) är hastigheten noll. Hastighetsfördelningen blir

)/1(4

)(4

222

22 RrBRrRBuz −=−=µµ

(3.19)

Volymflödet fås enligt

µππ8

24

00

RBdrrudAuR

z

R

z === ∫∫V& (3.20)

och medelhastigheten

µπ 8

2

2BR

RAV ===

VV && (3.21)

Maximal hastighet fås i centrum av röret (r = 0). Från (3.19) och (3.21) inses att maximala hastigheten är dubbla medelhastigheten, u V2max = . De fullständiga rörelseekvationerna för en Newtonsk fluid vid inkompressibel strömning (jämte en strikt matematisk härledning vilande på fysikalisk grund) presenterades så sent som 1845 av britten Sir George Gabriel Stokes (1819-1903). Motsvarande ekvationer hade tidigare (1827) publicerats av frans-mannen Claude L. M. -H. Navier (1785-1836). I Naviers arbete var dock inte viskositet klart definierat, hans härledning var dessutom baserad på en idag helt förkastlig partikel-modell. För att trots detta hedra Naviers bidrag i den historiska utvecklingen benämns ekva-tionerna idag för Navier-Stokes ekvationer.

George Gabriel Stokes

40

4. BERNOULLIS EKVATION 4.1 Newtons andra lag Enligt Newtons andra lag är nettokraften (F) på en fri kropp (partikel) med massan m lika med massan gånger accelerationen, aF m= . Ett fluidelement, en liten makroskopisk ansamling av en fluid med en viss massa, kan i varje tidsögonblick betraktas som en fri kropp. Kraftbalans för ett fluidelement med massan mδ ger

aFFFF mV δ=δ+δ+δ=δ τtervolymskrafkrafterviskösaertryckkraft

p (4.1)

I detta kapitel antas de viskösa krafterna försumbara, strömningen antas friktionsfri.

aFFF mV δ=δ+δ=δtervolymskrafertryckkraft

p (4.2)

De enda volymskrafter som beaktas i denna kurs är gravitationskrafter ( gF mV δ=δ ), således

agFF mm δ=δ+δ=δ p (4.3) Betrakta nu en stationär strömning i xz-planet där ),0,0( g−=g . Strömningsfältet kan illustreras med hjälp av s.k. strömlinjer. För en strömlinje gäller att hastighetsvektorn är tangentvektor till linjen i varje punkt. Vid stationär strömning följer fluidpartiklarna (fluidelementen) strömlinjerna d.v.s. strömlinjer är då liktydiga med partikelbanor. Betrakta nu en strömlinje längs vilken ett fluidelement förflyttar sig, se Figur 4-1.

z

x

V strömlinje (V tangentvektor)fluidelement

s

R - krökningsradie

gn

s

Figur 4-1.

Avståndet från elementets utgångsläge betecknas s, och beror av tiden, s(t). Vi tänker oss ett rätvinkligt koordinatsystem som följer strömlinjen, där betecknar enhetsvektorn längs strömlinjen och n enhetsvektorn vinkelrät mot strömlinjen. Strömlinjens lokala kröknings-

sˆ

41

radie är R. Strömningsfältet kan nu beskrivas av koordinaterna s och n med basvektorerna s resp. . Hastighetsvektorn kan skrivas:

ˆn

ssV

V (

dtdV

dV

ρ

snV ˆˆ sn VV =+= (4.4)

där sista ledet följer av att hastigheten tvärs strömlinjen per definition är noll ( 0n =V ). Fluidelementets absoluthastighet: V = V= Vs. Längs strömlinjen är dn = 0, d.v.s.

. Elementets acceleration skrivs dtdssV /) == nsa ˆˆ ns aa += .

Längs strömlinjen fås accelerationen m.h.a. kedjeregeln,

[ ]sVV

dtds

sVtsV

dtda s

s ∂∂

=∂∂

=== )( (4.5)

Accelerationen tvärs strömlinjen är elementets centripetalacceleration,

R

2n

nV

dta == (4.6)

s^n

(p-δps)δnδy

(p+δps)δnδy

(p-δpn)δsδy

(p+δpn)δsδyg

δmg

θδs δz

θδnδz Tvärs strömlinjen

δn

δs

Längs strömlinjen

Figur 4-2. Krafter på ett fluidelement längs en strömlinje (friktionsfri strömning).

4.1.1 Bernoullis ekvation längs en strömlinje Betrakta ett fluidelement som förflyttar sig längs en strömlinje enligt Figur 4-2. Fluidelementets volym är yns δδδ=δV . Elementets (partikelns) dimensioner kan antas vara extremt små, vid kontinuumsgränsen. Densiteten förutsätts variera i fältet, för elementet kring den betraktade punkten kan dock densiteten betraktas som konstant. Dess massa är

ynsρm δδδ=δ=δ V (4.7)

42

Strömlinjens vinkel mot horisontalen är betecknad med θ och gravitationskraften i s-riktningen blir

θδδ sinVρggm s −= (4.8) Elementets ändytor är vinkelräta mot strömlinjen och då ytorna är så små kan trycket över respektive yta anses vara konstant. Dessa tryck är dock inte lika utan skiljer sig beroende på den differentiella skillnad som uppstår vid en förflyttning i fältet. Trycket i elementets centrum är p och vid ändytorna (längs strömlinjen) är trycken spp δ− (vid 2/ss δ− ) respektive (vid ). Då förflyttningen spp δ+ 2/ss δ+ 2/sδ är så liten gäller

2s

sppsδ

∂∂

=δ (4.9)

Netto tryckkraft i s-riktningen:

VδδδδδδδδδδδspynpynppynppF ssss ∂∂

−=−=+−−= 2)()(,p (4.10)

Efter division av elementets volym Vδ fås enligt Newtons andra lag (insättning av 4.5, 4.8 och 4.10 i 4.3)

sVρV

spρg

∂∂

=∂∂

−− θsin (4.11)

Längs strömlinjen (dn = 0): dsdp

sp

dsdV

sV

dsdz

=∂∂

=∂∂

= ,,sinθ .

Termen dsdVV kan skrivas som

=

2

2V

dsd

dsdVV .

Efter insättning och multiplikation av ds fås slutligen

02

2=+

+ dzgρVdρdp (4.12)

vilket är Bernoullis ekvation på differentiell form. Efter integrering längs strömlinjen samt vid inkompressibel strömning (ρ = konstant) fås den mer kända formen av Bernoullis ekvation

.2

2konstzgρVρp =++ (4.13)

Konstanten i högerledet beror av vilken strömlinje som följs. Observera ekvationens inskränkningar: Stationär, friktionsfri och inkompressibel strömning längs en strömlinje.

De olika termerna i Bernoullis ekvation har alla samma dimension (tryck), och benämns vanligen

43

p statiskt tryck, det verkliga trycket

2

2Vρ dynamiskt tryck

zgρ höjdtryck (piezometriskt tryck)

Bernoullis ekvation (4.13) kan tillämpas mellan två olika punkter (1) och (2) längs en strömlinje enligt

2

22

21

21

1 22zgρVρpzgρVρp ++=++ (4.14)

För det instationära fallet skrivs ekv. (4.12), se White (2003)

02

2=+

++

∂∂ dzgρVdρdpds

tVρ (4.12b)

År 1738 publicerade matematikern och fysikern Daniel Bernoulli (1700-1782) en avhandling på latin med titeln ”Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii”. I detta verk härleds och tillämpas olika samband för friktionsfri, ideal strömning. Dessa är till sin form snarlika de ovanstående men innehåller inte det statiska trycket (p) så explicit, detta inkluderades senare (1755) av Daniels gode vän Leonhard Euler (1707-1783). I Eulers fall var sambanden härledda utifrån de fullständiga rörelseekvationerna för ett kontinuum vid friktionsfri strömning.

Daniel Bernoulli

_________________________________________________________________________

Exempel 4.1 Betrakta strömlinjerna kring en kropp nedsänkt i strömmande vatten (ρ = 1000 kg/m3), Figur E4-1. Betrakta en viss strömlinje mellan punkten A och B. Långt borta från kroppen i det ostörda strömningsfältet, punkt A, är hastigheten 3.0 m/s. Nära kroppen, vid B, trängs strömlinjerna samman och hastigheten i punkt B är 4.5 m/s. Punkterna A och B befinner sig på samma horisontella höjd. Beräkna statiska trycket i punkten B då statiska trycket i punkten A är 104 kPa och strömningen kan betraktas som friktionsfri.

44

BA

Figur E4-1. Enligt Bernoullis ekv. (4.14) fås

B

2B

A

2A

A 22zgρVρpzgρVρp B ++=++

Med fås trycket i punkt B BA zz =

=−+×=−+= )5.40.3(2

100010104)(2

2232B

2AAB VVρpp 98375 Pa

Trycket i punkt B är 98.4 kPa.

_________________________________________________________________________ 4.1.2 Bernoullis ekvation tvärs en strömlinje Newtons andra lag tillämpad tvärs strömlinjen i Figur 4-2 ger

2cos

RVρ

npρg =∂∂

−− θ (4.15)

Tvärs strömlinjen (ds = 0): dndp

np

dndz

=∂∂

= ,cosθ .

Efter insättning samt multiplikation med dn fås

02

=++ dzgρdnVρdpR

(4.16)

Speciellt för inkompressibel strömning (ρ = konstant) fås efter integration tvärs strömlinjen

∫ =++ .2

konstzgρdnVρpR

(4.17)

vilken brukar benämnas Bernoullis ekvation tvärs en strömlinje. Observera att i områden där strömningen är rätlinjig, d.v.s. där R → ∞, fås en hydrostatisk tryckvariation tvärs strömlinjer, t.ex. vid strömning i raka rör.

45

_________________________________________________________________________ Exempel 4.2 Figur E4-2 visar två olika typer av strömning med cirkulära strömlinjer, (a) s.k. stelkroppsvirvel , samt (b) potentialvirvel VrCrV 1)( = rCr /)( 2= , där C och är konstanter.

1 2C

r

n^

r

n^

V(r)

V(r)

(a) V(r) = C1r (b) V(r) = C2/r

'stelkroppsvirvel' 'potentialvirvel'y y

x x

Figur E4-2.

Strömningarna antas vara stationära, friktionsfria, inkompressibla samt oberoende av koordinatriktningen z. Strömlinjerna är cirkelformade med koordinaten n i motsatt riktning mot koordinaten r, (d/dn = −d/dr), och krökningsradien ges av R = r. Enligt ekv. (4.16) fås

rVρ

drdp 2

= . Insättning av hastigheten V för de två fallen ger

(a) rρCdrdp 2

1=

(b) 3

22

rCρ

drdp

=

Eftersom dp/dr > 0 ökar trycket med radien i bägge fallen (d.v.s. trycket minskar mot centrum). Integrering ger

(a) konstant2

)(2

21 +=

rρCrp

(b) konstant2

)( 2

22 +−=

rρC

rp

46

Vid en given radie, , antas trycket givet, 0rr = 0pp = . Konstanterna kan nu lösas och trycken fås enligt

1

1

(a)

(b)

r/r0

p/p0

(a) )(21 2

022

10 rrCρpp −=−

(b) )/1/1(21 22

0220 rrCρpp −=−

Figur E4-2b. _________________________________________________________________________

4.2 Tillämpningar av Bernoullis ekvation 4.2.1 Stagnationspunkt Betrakta strömlinjerna kring en trubbig kropp i ett homogent strömningsfält, Figur 4-3. På stort avstånd framför kroppen är strömningsfältet ostört, strömlinjerna parallella och hastigheten lika stor överallt. Exempel på sådan strömning är när ett föremål rör sig med konstant hastighet genom ett stillastående medium. Genom en betraktelse relativt den rörliga kroppen fås ett system där kroppen är stilla medan mediet strömmar mot kroppen, med samma hastighet som kroppen fast i motsatt riktning.

s spV ps

Vs

Figur 4-3. Strömlinjer kring en trubbig kropp i ett strömningsfält.

Trycket och hastigheten i det fria strömningsfältet betecknas p resp. V. För en strömlinje som lokalt närmar sig en vinkelrät anströmning vid kroppen kring punkten s kommer krökningsradien R gå mot noll, R → 0. Lokalt vid punkten s ger då Bernoullis ekvation tvärs en strömlinje (ekv. 4.16):

R

2sV

ρdndp

=−

47

Tryckvariationen vid s måste dock vara begränsad varför då R → 0 måste det också gälla att

; hastigheten i punkten s är således noll. 0→sV En punkt i ett strömningsfält där hastigheten är noll kallas stagnationspunkt.

För en strömlinje enligt ovan gäller

ssss

s zgρpzgρVρpzgρVρp +=++=++

22

22 (4.18)

Speciellt för horisontell anströmning (dz = 0) fås

0

stryckstagnation

2

2pVρpps =+=

43421 (4.19)

Trycket kallas stagnationstryck och är lika med summan av statiskt och dynamiskt tryck i den ostörda strömningen.∗

0p

4.2.2 Utströmning ur vätskebehållare Betrakta en mot omgivningen öppen vätskebehållare ur vilken det strömmar vätska, Figur 4-4.

V

h

(1)

(2) d

z

Figur 4-4. Utströmning ur vätskebehållare.

Strömningen i behållaren antas uppfylla villkoren för Bernoullis ekvation, vilken appliceras för en strömlinje mellan punkt (1) och (2).

2

22

21

21

1 22zgρ

Vρpzgρ

Vρp ++=++

∗ Allmänt är stagnationstryck det tryck som erhålls vid en tänkt förlustfri inbromsning till hastigheten noll under adiabatiska förhållanden.

48

Behållaren är så stor att hastigheten vid (1) är försumbar, V VV =<< 21

h

. Trycket i vätskestrålen vid utloppet är lika med omgivningens tryck (parallella strömlinjer, jfr. Bernoullis ekvation tvärs en strömlinje) och skillnaden mellan omgivningens tryck mellan (1) och (2) antas försumbar varför , nivåskillnaden 21 pp = zz =− 21 . Utloppshastigheten fås nu ur Bernoullis ekvation

ghV 2= (4.20) Detta brukar kallas för Torricellis teorem uppkallad efter en studie från 1644 av Evangelista Torricelli (1608-1647). I praktiken fås en något lägre hastighet p.g.a. inverkan av friktion, och ekv. (4.20) brukar korrigeras enligt

ghV 2ϕ= (4.21) där ϕ vanligtvis är av storleken 0.95 – 1.0. Är inte utloppshålet väl avrundat uppstår en kontraktion av utloppsstrålen varvid dess effektiva tvärsnittsarea blir mindre än hålets, detta fenomen brukar benämnas vena contracta. Förhållandet mellan den kontraherade utloppsstrålens area och hålarean benämns kontraktionskoefficient,

AAc /Cc = (4.22) För ett skarpkantat hål, Figur 4-5, är kontraktionskoefficienten, Cc ≈ 0.61 medan för ett väl avrundat hål Cc ≈ 1.0. Med hänsyn till friktion samt kontraktion fås massflödet

ghρAm 2Ccϕ=& (4.23)

A Ac

Cc=0.61 Cc=1.0

Figur 4-5. Skarpkantat resp. väl avundat utloppshål.

49

_________________________________________________________________________ Exempel 4.3

D = 1.0 m

d=0.1 mh

= 2.

0 m

(1)

(2) Figur E4-3. Utströmning ur behållare.

Vatten strömmar ut ur en behållare som kontinuerligt fylls på så att vätskenivån är konstant, Figur E4-3. Beräkna volymflödet då inverkan av friktion är försumbar och utloppshålet är väl avrundat. Ekvation (4.14) ger

2

22

21

21

1 22zgρ

Vρpzgρ

Vρp ++=++ (1)

Med , samt 21 pp = hzz =− 21 =ρ konst. (1000 kg/m3) fås

22

22

21 VghV

=+ (2)

Trots att vätskenivån är konstant har strömlinjerna en medelhastighet vid nivå (1) p.g.a. utflödet från tanken. För stationär inkompressibel strömning gäller att volymflödet är konstant vilket ger 2211 VAVAAV ===V&

2

2

1 VDdV

= (3)

Insättning av (3) i (2) ger utloppshastigheten

42)/(1

2Dd

ghV−

= = 4)0.1/1.0(10.281.92

−

⋅⋅ = 6.3 m/s

Volymflödet blir 049.04 2

222 =

π== VdVAV& m3/s

Hatigheten blir i detta fall 0.063 m/s. Flödet skulle inte påverkats nämnvärt om denna hastighet försummats. Från (3) inses att då

1VDd << gäller V 21 V<< . Om volymflödet då

betecknas fås det relativa förhållandet 01 ≅V 0V&

50

42

2

0 )/(1

1

DdVV

Dd −==

<<VV&

&

Med 0 blir felet med antagandet 4.0/ << Dd 01 ≅V mindre än 1%. Om behållaren inte fylls på, hur lång tid tar det då innan nivån når en höjd h då den initiella nivån är h ? 0

Hastigheten V kan tecknas som ändringen av vätskenivån per tidsenhet 1

dtdhV −=1

Vidare är enligt ovan volymflödet där 2211 VAVA ==V& gh21 =V , vilket ger en första ordningens differentialekvation för h

ghAdtdhA 221 =−

eller

dtgAA

hdh 2

1

2−=

Efter integration fås

gtAAhh 2)(2

1

20 =−

eller

2

01

2

0

/22

1

−= hgt

AA

hh .

Hur väl stämmer denna analys? Ovan har tV ∂∂ / i (4.12b) försummats och strömningen betraktats som stationär vid varje tidpunkt, s.k. kvasistationär strömning. Med en uppskattning av storleksordningen på den instationära accelerationen i relation till accelerationen längs strömlinjen visar det sig att så länge 12 AA << stämmer antagandet om stationär strömning mycket väl, se Escudier (1998).

_________________________________________________________________________

51

4.2.3 Mätning av tryck och hastighet Hastigheten hos en fluid kan enligt ekv. (4.19) bestämmas genom att mäta differensen mellan stagnationstrycket och det statiska trycket.

( )ppρ

u −= 02 (4.24)

För att bestämma stagnationstrycket kan ett s.k. Pitotrör användas, Figur 4-6a. Rörets

främre ände som placeras vinkelrät mot strömningsriktningen har ett litet hål medan den andra änden är ansluten till en manometer (tryckgivare). Eftersom ingen strömning sker genom röret fås en stagnationspunkt vid hålet. Det statiska trycket kan mätas med hjälp av ett litet hål vinkelrät genom en fast vägg vilket ansluts till en manometer, Figur 4-6b.

up p0

till manometer till manometer

(a) (b)

Figur 4-6. (a) Pitotrör, (b) statiskt tryckuttag.

För att mäta strömningshastigheten används ofta ett s.k. Prandtlrör vilket består ett yttre rör med tryckuttag för det statiska trycket och ett inre rör för stagnationstrycket, Figur 4-7. Det statiska tryckuttaget består av ett antal små hål runt diametern på det yttre röret. P.g.a. motverkande störningar i strömningen orsakade av den främre änden och den vertikala skänkeln bör dessa hål placeras ca. sex rördiametrar från den främre änden samt ca. tolv diametrar från skänkeln (Escudier 1998).

6D

D

pp0

p0

ptill manometer

12D

Figur 4-7. Principskiss av ett Prandtlrör.

52

_________________________________________________________________________ Exempel 4.4

Figur E4-4. För flygplan används vanligtvis Prandtlrör (eng. Pitot-static tube) för hastighetsmätning. Även för racerbilar t.ex. Formel 1 bilar används Prandtlrör som ett komplement till den vanliga hastighetsmätningen. När hjulen "spinner" är Prandtlrör tillförlitligare. Teoretiskt sett kan den också användas för att avgöra det optimala avståndet i "suget" efter en framförvarande bil, dvs. var luftmotståndet är lägst. Beräkna en racerbils hastighet då ett Prandtlrör på motorhuven mäter en tryckskillnad av

, då lufttrycket är 101.325 kPa (1 atm) och temperaturen 20.5°C. kPa11.10 =− pp

Ekv. 4.24 ger hastigheten ( )ppρ

−= 02

325.101) ×=RT

V . Först måste dock luftens densitet beräknas,

ideala gaslagen ger = 1.202 kg/m3. )65.2930.287/(10/( 3 ×= pρ Hastigheten (relativt luften) blir V = 43 m/s eller 155 km/h.

_________________________________________________________________________ 4.2.4 Mätning av medelhastighet och massflöde - Venturimeter Venturimetern, efter Giovanni Battista Venturi (1746-1822), är en av många flödesmätare som bygger på Bernoullis ekvation. Figur 4-8 visar en schematisk skiss av en venturimeter, vilken består av en konvergerande del följt av en svagt divergerande del. Genom att mäta skillnaden mellan de statiska trycken strax innan den konvergerande delen och i den trängsta sektionen kan medelhastigheten och därmed flödet bestämmas med hjälp av Bernoullis ekvation samt kontinuitetsvillkoret.

A1p1 A2

p2

V1 V2

12

Figur 4-8. Venturimeter.

53

Enligt kontinuitetsvillkoret måste massan som passerar de två snitten vara lika, vid inkompressibel strömning (ρ = konst.) gäller

2211 VAVA = (4.25) Då förlustfri strömning antas samt med samma horisontella höjd ger Bernoullis ekvation

22

22

2

21

1VρpVρp +=+ (4.26)

Med V ur (4.25) fås 1

212

212

)/(1/)(2

AAρppV

−

−= (4.27)

Massflödet blir ρAVm =&

212

212ideal

)/(1)(2

AAppρAmm

−

−== && (4.28)

I praktiken innebär viskösa effekter att strömningen inte är helt förlustfri varför (4.28) överskattar massflödet. Detta kan justeras för genom att införa en korrektionsfaktor,∗ , där dc

idealdverklig c mm && = (4.29) För en väl utformad venturimeter och tillräckligt högt Reynolds tal är mycket nära 1 ( ), se Escudier (1998).

dc995.0d ≈c

Andra typer av flödesmätare som bygger på Bernoullis ekvation är s.k. strypflänsar och strypbrickor, vilka finns beskrivna i t.ex. White (2003). 4.2.5 Friktionsfri rörströmning Vid all rörströmning förekommer tryckförluster p.g.a. viskösa effekter, t.ex. friktionsförluster. Rörströmning med tryckförluster behandlas i kap. 8. I vissa fall är dock dessa förluster relativt små och en approximativ lösning för medelvärden över ett tvärsnitt kan då fås ur Bernoullis ekvation.

_________________________________________________________________________ Exempel 4.5 Genom en hävertslang sugs vatten från en stor öppen tank. P.g.a. hinder i vägen måste slangen läggas så att den först går över en höjd H innan vattnet kan transporteras till sitt slutmål vilket ligger 1.5 m under vätskenivån i tanken, Figur E4-5.

∗ Utströmningskoefficient (eng. discharge coefficient).

54

1.5 m

H

(1)

(2)

(3)

vatten

Figur E4-5.

Beräkna maximal höjd H för att undvika kavitation då omgivningstrycket är 101.3 kPa och vattentemperaturen är 20°C. Kavitation (lokal kokning) kan förväntas uppstå då trycket understiger vattnets mättnadstryck vid aktuell temperatur. Vattens mättnadstryck vid 20°C är 339.2sat =p kPa och =ρ 998.2 kg/m3 (Tabell A1/A2). Strömningen antas stationär, inkompressibel och friktionsfri. Hastighetsvariationer över tvärsnitt försummas. Bernoullis ekvation tillämpas mellan tankens yta (1), slangens maximala höjd (2) samt utloppet (3).

3

23

32

22

21

21

1 222zgρ

Vρpzgρ

Vρpzgρ

Vρp ++=++=++

Här är det enklast att endast betrakta ekvationen mellan (2) och (3). Trycket vid den högsta höjden får ej understiga mättnadstrycket varför kPa339.2sat2 == pp . Vid utloppet är trycket lika med omgivningstrycket, 3.1013 =p kPa. Hastigheterna vid (2) och (3) är lika då strömningen är inkompressibel samt slangens diameter antas vara konstant. Detta ger

)( 3223 zzρgpp −=− eller

1.1081.92.998

10)339.23.101()(3

2332 =

××−

=−

=−ρg

ppzz m

=−−= 5.1)( 32 zzH 8.6 m

Kommentar: Problemet går även att lösa genom att använda Bernoullis ekvation mellan (1) och (2) men då måste först vattenhastigheten i slangen beräknas m.h.a. Bernoullis ekv. mellan (1) och (3). Observera att maximal höjd endast beror av höjdskillnaden mellan högsta höjd och utloppet. Hur långt ner i tanken slangen befinner sig har ingen betydelse. I verkligheten ger friktionsförluster en något lägre maximal höjd.

_________________________________________________________________________

55

56

5. KONTROLLVOLYMSANALYS 5.1 System och kontrollvolym De grundläggande fysikaliska lagar som styr en fluids uppträdande kan i allmänhet tillämpas med två olika betraktelsesätt, system (sys) eller en kontrollvolym (KV). Med ett system (slutet system) avses en given mängd materia, vilken kan förflytta sig, strömma och växelverka med sin omgivning. En kontrollvolym är en geometrisk avgränsning i rummet genom vilken massa kan passera. Det bör nämnas att en kontrollvolym inte nödvändigtvis har en konstant volym utan denna kan förändras med tiden. De ytor som avgränsar en kontrollvolym kallas för kontrollytor. Med en stel KV avses en kontrollvolym med fasta kontrollytor (konstant volym). En kontrollvolym med rörliga kontrollytor kallas föränderlig KV. En kontrollvolym kan antingen var rörlig eller fixerad i rummet, fix.

V

kontrollvolymsystem vid t1

system vid t2

(a)

(b)

Figur 5-1. Kontrollvolym och system. (a) Stel kontrollvolym, (b) Föränderlig kontrollvolym.

Figur 5-1 visar skillnaden mellan system och kontrollvolym i fall då dessa sammanfaller vid en viss given tid t . I fall (a) har systemet vid tiden t förflyttat sig utanför kontrollvolymens gränser (streckat) och massan i KV har ersatts av helt ny massa. I fallet (b) släpps den gas som systemet består av ut ur en ballong och systemet utgörs vid t2 av gas både i och utanför ballongen. Under tiden har kontrollvolymen som utgörs av ballongen minskat i storlek.

1 2

De grundläggande konserveringslagarna är formulerade för (slutna) system d.v.s. en bestämd mängd massa. I många fall är det dock mer praktiskt att använda sig av kontrollvolymer (öppna system) och man behöver därför kunna översätta dessa lagar på ett tillbörligt sätt. Denna översättning kallas Reynolds transportteorem. 5.2 Reynolds transportteorem Konserveringslagarna är formulerade i termer av fysikaliska storheter t.ex. massa, rörelsemängd och energi. Låt nu B representera en extensiv (massberoende) storhet och b denna storhet per massenhet, intensiv storhet. Storheten kan vara skalär eller vektoriell. Exempelvis: ger b , 2/2mVB = 2/2V= VB m= ger b V= . Mängden av den extensiva storheten för ett system vid en viss godtycklig tidpunkt, blir

57

∫=sys

sys VdbρB . (5.1)

För en kontrollvolym, KV, som vid samma ögonblick överensstämmer med ovanstående system, fås

∫=KV

KV VdbρB . (5.2)

Eftersom fluid tillåts strömma över KV:s kontrollytor kommer tidsförändringen av B:s integrerade värde över kontrollvolymen normalt sett vara skild ifrån motsvarande förändring avseende ett system, detta trots att system och KV överensstämmer vid den betraktade tidpunkten.

Reynolds transportteorem kan enkelt härledas för endimensionell strömning, d.v.s. då alla storheter betraktas som konstanta över tvärsnitt. Betrakta en kanal genom vilken en fluid strömmar och i vilken en stel och fix kontrollvolym är placerad, Figur 5-2.

V1 V2

V1δt V2δt

A1

ρ1b1

A2

ρ2b2

sys.

KVtiden t tiden t + δt

I II

Figur 5-2. Kontrollvolym och system vid strömning i kanal med variabelt tvärsnitt.

Kontrollytorna vid inlopp (1) och utlopp (2) är placerade vinkelrät mot strömningen. Hastigheterna vid (1) och (2) är V resp. V . Systemet utgörs av den fluid som vid tiden t befinner sig i kontrollvolymen, kontrollvolym och system sammanfaller således vid denna tidpunkt, . Vid tiden t

1 2

t)()( KVsys tBtB = δ+ , där tδ är extremt litet, har systemet förflyttat sig sträckan från (1) och sträckan VtV δ1 tδ2 från (2). Tidsrymden tδ är så kort att alla storheter kan antas vara lika med medelvärden över respektive tvärsnitt. I termer av den extensiva storheten B fås för resp. in- och utströmmad massa i regionerna I och II enligt Figur 5-2:

IB = tVAρb δ1111 resp. = bIIB tVAρ δ2222 . För systemet vid t tδ+ gäller,

)()()()( IIIKVsys ttBttBttBttB δ++δ+−δ+=δ+ Förändringen i Bsys under tiden tδ per tidsenhet blir

ttBttBttBttB

ttBttB

tB

δ

−δ++δ+−δ+=

δ

−δ+=

δ

δ )()()()()()( sysIIIKVsyssyssys

58

Men vilket ger )()( KVsys tBtB =

tttB

tttB

ttBttB

tB

δδ+

+δ

δ+−

δ−δ+

=δ

δ )()()()( IIIKVKVsys (5.3)

För gränsvärdet blir vänsterledet den materiella derivatan . 0→δt DtDB /sys

Gränsvärdet för den första termen i högerledet är en ren tidsderivata

∫∂∂

=∂

∂=

−+→

KV

KVKVCV0 t

)()(lim Vdρb

tB

ttBttB

t δδ

δ

In- och utflöde:

1111I

0in

)(lim bVAρ

tttB

Bt

=δ

δ+=

→δ& resp. 2222

II0

ut)(

lim bVAρt

ttBB

t=

δδ+

=→δ

&

Insättning ger Reynolds transportteorem vid endimensionell strömning:

utnetto,KV

11112222KVsys B

tB

bVAρbVAρt

BDt

DB&+

∂∂

=−+∂

∂= (5.4)

där ∫∂∂

=∂

∂

KV

KV Vdρbtt

B och . inututnetto, BBB &&& −=

För en stel kontrollvolym kan ordningen av tidsderivering och integrering kastas om vilket oftast underlättar hanteringen (av konserveringslagarna).

∫ ∂∂

=∂

∂

KV

KV )( Vdρbtt

B

I det generella fallet fås för en godtycklig kontrollvolym, se Young et al. (2004):

∫ ⋅+∂

∂=

A

dAρbB

DtDB

nV ˆtKVsys (5.5)

Ytnormalvektorn till kontrollytan, n , är definierad så att den pekar ut från kontrollvolymen. Ytintegralen representerar nettoflödet av B ut ur KV. Skalärprodukten

ˆ

θθ coscosˆ V==⋅ VnV där θ är vinkeln mellan vektorerna, är positiv vid utströmning ( 0cos >θ ) och negativ vid inströmning ( 0cos <θ ), Figur 5-3.

59

n

VdA

dA

θ

Figur 5-3. Godtycklig kontrollvolym För en stel kontrollvolym gäller

∫∫ ⋅+∂∂

=A

dAρbdρbtDt

DBnV ˆ)(

KV

sys V (5.6)

För en allmän (rörlig, föränderlig) KV inses att det är fluidens relativa hastighet gentemot den lokala kontrollytan som transporterar massa (och därmed storheten B) över densamma, d.v.s.

∫ ⋅+∂

∂=

A

dAbB

DtDB

nV ˆt relKVsys ρ (5.7)

där ; V är fluidens faktiska hastighet relativt ett icke-accelererande koordinatsystem och VKV den lokala kontrollytans hastighet. För en stel men rörlig KV är

lika med fluidhastigheten relativt ett koordinatsystem fixerat till kontrollvolymen.

KVrel VVV −=

relV _________________________________________________________________________ Exempel 5.1

Visa att ∫ ⋅

A

dAρb nV ˆ = 11112222 bVAρbVAρ − för det endimensionella fallet.

1ˆ V−=⋅ nV(1)

(2)

2ˆ V=⋅ nVn n

Figur E5-1.

Betrakta Figur E5-1. Eftersom n är den utåtriktade enhetsvektorn till kontrollvolymens yta fås vid sektion (1)

ˆ

1cosˆ V−=π=⋅nV V och för sektion (2) 20cosˆ V==⋅ VnV . Integralen över kontrollvolymens area kan uppdelas enligt

∫ ⋅A

dAρb nV ˆ = + + ∫ ⋅1

ˆdAρb nV ∫ ⋅2

ˆdAρb nV ∫ ⋅mantel

ˆdAρb nV

60

Den sista termen i högerledet är noll eftersom hastigheten i normalriktningen är noll vid mantelytan. Då storheterna antas vara konstanta över tvärsnitten fås

∫ ⋅1

ˆdAρb nV + = + = ∫ ⋅2

ˆdAρb nV ∫−1

1 dAρbV ∫2

2 dAρbV 11112222 bVAρbVAρ −

_________________________________________________________________________ 5.3 Kontinuitetsekvationen Reynolds transportteorem skall här tillämpas för konserveringslagen för massa med kontrollvolymsbetraktelse, den s.k. kontinuitetsekvationen. Den extensiva storheten B är således massan m, vilket innebär . Då systemets massa per definition är konstant gäller 1=b

0ˆKVsys =⋅+∂

∂= ∫

A

dAρt

mDt

DmnV , eller om KV är stel (5.6),

0ˆKV

=⋅+∂∂

∫∫A

dAρdtρ nVV . (5.8)

Ytintegralen är lika med nettomassflödet ut ur KV:

∑∑∫ −=⋅ inutˆ mmdAρA

&&nV

Lagen om massans konservering för en kontrollvolym kan nu skrivas

0inutKV =−+∂

∂ ∑∑ mmt

m&& (5.9)

Om strömningen genom kontrollvolymen är stationär, oberoende av tiden, är alla partiella tidsderivator noll vilket innebär att massflödet ut är lika med massflödet in:

∑∑ = inut mm && (5.10) _________________________________________________________________________

Exempel 5.2

A2

h0

(1)

(2)

A1

U

Figur E5-2. Utströmning ur vätskebehållare.

61

Vatten strömmar ut ur en behållare, som ursprungligen var fylld till nivån h0, genom ett väl avrundat hål i nederkanten av behållaren med tvärsnittsarean A2. Behållarens tvärsnittsarea är A1 och . Beräkna den tid det tar innan den övre vätskeytan nått nivån h. 12 AA <<Lägg en KV inuti behållaren längs dess begränsningsytor, den övre kontrollytan följer den övre vätskeytan allteftersom vatten töms ur behållaren. Detta är då en föränderlig kontrollvolym. Kontinuitetsekvationen (5.9) lyder

0inutKV =−+∂

∂ ∑∑ mmt

m&&

Massflödet in i behållaren är noll. Vattnet i behållaren kan antas ha konstant densitet. Ekv. (4.20) ger utloppshastigheten, gh22 =V , då friktionens inverkan förutsätts försumbar.

Eftersom utloppshålet är väl avrundat ges massflödet ut av ghρAVρAm 2222ut ==& . Massan i behållaren kan tecknas hρAm 1KV = där h beror av tiden. Insättning ger

0221 =+ ghρAdtdhρA

Efter separation av variabler samt integration fås

gtAA

hh 2)(21

20 =−

eller

2

01

2

0/2

21

−= hgt

AA

hh

Samma problem löstes i Exempel 4.3 där svaret naturligtvis blev detsamma.

_________________________________________________________________________ Enligt Gauss' sats eller divergensteoremet är volymintegralen av divergensen av ett vektorfält

över en volym V lika med ytintegralen av G över den slutna ytan A vilken omger V, d.v.s. G

∫∫ ⋅=⋅∇A

dAd nGG ˆ)( VV

(5.11)

Divergensteoremet insatt i Reynolds transportteorem kan användas för att härleda kontinuitetsekvationen på differentiell form för en kontrollvolym. Låt vektorfältet G i (5.11) vara Vρ , vilket ger att ytintegralen i (5.8) kan skrivas som en volymsintegral,

∫∫ ⋅∇=⋅KV

)(ˆ VdρdAρA

VnV

Substitution i (5.8) ger

62

+∂∂

∫KV

Vdtρ

∫ ⋅∇KV

)( VdρV = 0

eller

∫

⋅∇+∂∂

KV

)( Vdρtρ V = 0

Eftersom man kan låta volymen bli hur liten som helst måste detta innebära att integranden är noll överallt inom volymen,

0)( =⋅∇+∂∂ Vρ

tρ (5.12)

Ekvation (5.12) är den generella kontinuitetsekvationen på differentiell form. För ett Cartesiskt koordinatsystem fås

0)()()(=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

zρw

yρv

xρu

tρ (3.2)

Ekvationen är givetvis identiskt med det i kap. 3 härledda resultatet. 5.4 Impulsekvationen Newtons andra lag gällande en fri kropp med massan m (slutet system): Tidsförändringen av systemets linjära impuls (rörelsemängd) per tidsenhet är lika med summan av de yttre krafter som verkar på systemet, d.v.s.

∑∫ == syssys

sys)( FVV VdρDtDm

DtD (5.13)

Hastighetsvektorn V skall vara relaterad till ett icke-accelererande koordinatsystem, ett s.k. tröghetssystem.

En kontrollvolym som i varje godtycklig tidpunkt t överensstämmer med ett system kan ses som en fri kropp (vid tiden t). Detta innebär att summan av de yttre krafterna som verkar på kontrollvolymen vid varje tidpunkt är lika med motsvarande krafter som verkar på systemet,

∑∑ = KVsys FF .

Anta nu att den betraktade kontrollvolymen är stel och rör sig med en konstant hastighet relativt ett icke-accelererande koordinatsystem. Detta innebär att ett koordinatsystem fixerat till själva kontrollvolymen också är ett tröghetssystem. M.h.a. Reynolds transportteorem där

är lika fluidhastigheten relativt ett koordinatsystem fixerat vid kontrollvolymen fås impulsekvationen för en KV:

Vb =

63

∑∫∫ =⋅+∂∂

KVKV

ˆ)( FnVVVA

dAdρt

ρV (5.14)

De krafter som verkar på kontrollvolymen är masskrafter och ytkrafter. Den enda masskraft som antas verka är den p.g.a. gravitation. Ytkrafterna uppdelas i normalkrafter och skjuvkrafter. Normalkrafter verkar vinkelrätt mot ytor och skjuvkrafter tangentiellt med ytor. Den viktigaste normalkraften är den p.g.a. det statiska trycket.

För stationär strömning samt endimensionella förhållanden vid in- och utlopp:

∑∑∑ =− KVinut )()( FVV mm && (5.15a) Observera att (5.15a) är en vektorekvation. I vanliga rätlinjiga koordinater erhålls således tre ekvationer: x-led: ∑ (5.15b) ∑∑ =− KV,inut )()( xFumum &&

y-led: ∑ (5.15c) ∑∑ =− KV,inut )()( yFvmvm &&

z-led: (5.15d) ∑∑∑ =− KV,inut )()( zFwmwm &&

Med ett inlopp och ett utlopp fås vid stationär strömning

∑=− KVinut )( FVVm& (5.16)

5.4.1 Korrektionsfaktor för impulsflödet Vid strömning i rör och kanaler är den axiella hastigheten i allmänhet olikformig, fluidens hastighet är ju noll på väggarna och oftast maximal i någon central del. Om strömningen då approximeras som endimensionell, , blir impulsflödet underskattat

och kan skrivas som , där

2ˆ ρAVVmdAuρ ==⋅∫ &nV2βρAV β är en korrektionsfaktor och V är medelhastigheten.

Normalt gäller 1≥β . Vid fullt utbildad laminär strömning i cirkulära rör gäller 3/4=β (parabolisk hastighetsprofil). För turbulenta fall fås en flatare profil, korrektionsfaktorn är då nära ett. Vid ingenjörsberäkningar och turbulent strömning används vanligen . 1=β 5.5 Tillämpningar av impulsekvationen Impulsekvationen utgör väsentligen ett samband mellan krafter och hastigheter. Vid problemlösning bör man välja en sådan kontrollvolym som ur beräkningssynpunkt ger de krafter och hastigheter som fordras för problemets lösning. Det är i allmänhet mycket viktigt att noga specificera och definiera en kontrollvolym. Kontrollytor bör om möjligt placeras vinkelräta mot in- och utlopp, detta för få hastigheten i ytors normalriktning lika med beloppet av hastigheten ( )ˆ V±=⋅ nV samt att eliminera inverkan av skjuvkrafter i dessa tvärsnitt. Vid kontrollytor mellan en strömmande fluid och en fast vägg förekommer normalt tryckkrafter

64

och skjuvkrafter och dessa ger enligt Newtons 3:e lag upphov till en aktionskraft från väggen på kontrollvolymen. På väggen verkar då en reaktionskraft av samma storlek men motsatt riktad. På motsvarande sätt förekommer aktionskrafter och reaktionskrafter när kontrollytor skär genom fasta kroppar. 5.5.1 Rörströmning _________________________________________________________________________

Exempel 5.3 En fluid strömmar stationärt genom en rörkrök med given geometri och känd endimensionell strömning vid inlopp och utlopp. Figur E5-3 visar den frilagda rörkröken som ingår i ett rörsystem. Beräkna den kraft med vilken fluiden påverkar rörkröken då gravitationskraften verkar i negativ z-led.

(1)

(2)

V1

V2

θ

p2 A2

p1 A1

FA,z

z

x mg

FA,x

Figur E5-3. Fluidkrafter vid strömning genom rörkrök. En kontrollvolym läggs omedelbart innanför rörkrökens inre väggyta, kontrollytorna vid inlopp och utlopp vinkelräta mot strömningsriktningen. På kontrollvolymens ytor mot rörväggen verkar både tryckkrafter och skjuvkrafter. Dessa krafter, samt kroppskraften i form av fluidens tyngd, ger, enligt Newtons 3:e lag, upphov till en aktionskraft (FA) från väggen (komposanterna FA,x och FA,z) på fluiden. På rörkrökens inneryta verkar motsvarande reaktionskraft (R) i motsatt riktning. Impulsekvationen (5.14), ett inlopp och ett utlopp, ger för kontrollvolymen, x-led: )cos(cos 122211, VVmApApF xA −=−+ θθ &

z-led: θθ sinsin 222, VmmgApF zA &=−− Enlig kontinuitetsekv. gäller 222111 AVρAVρm ==& . Kraften på fluiden från rörkröken blir

)cos(cos 122211, VVmApApF xA −++−= θθ &

θθ sinsin 222, VmmgApF zA &++=

65

Mot rörkrökens inneryta verkar en motriktad reaktionskraft, xAx FR ,−= , . zAz FR ,−=

_________________________________________________________________________ I Exempel 5.3 studerades de krafter, från fluiden, som påverkade rörkrökens insida. Vid praktisk problemlösning är det oftast mest intressant med den totala kraft som påverkar rörets infästning, d.v.s. nettoverkan av de krafter som verkar i rörkrökens snittytor (1) och (2). För att beräkna denna infästningskraft måste kontrollvolymen väljas på ett annat sätt, vilket illustreras med Exempel 5.4. _________________________________________________________________________

Exempel 5.4

(1)

V1

V2

θ

z

x

(2)

mg mrg

po

θ

A3

A4

A5

FA,z

FA,x

Figur E5-4. Krafter på en rörkrök.

Betrakta rörkröken från Exempel 5.3. Kontrollvolymen väljs så att den som innefattar den frilagda rörkröken samt dess närmaste omgivning, se Figur E5-4; för att få med infästningskraften måste givetvis kontrollvolymen skära igenom de ytor där dessa krafter verkar. I övrigt tillkommer tryckkrafter p.g.a. omgivningens tryck, , samt kroppskraft p.g.a. rörkrökens massa,

opgmr , vilken verkar i negativ z-led. Omgivningens tryck,

,verkar på alla kontrollytor utom vid rörkrökens in- och utlopp, där resp. verkar. op 1p 2p

AF är nettokraften från infästningarna på kontrollvolymen och och dess komposanter i x- och z-riktningarna. Tryckkrafterna i x-led på kontrollvolymen blir

xAF , z,AF

θθ coscos)()( 22251113, ApAApApAApF ooxp −−−+−=

Men 35 cos AA =θ . Således

θθ coscos)()( 22,11,2211, ApApAppAppF ööooxp −=−−−=

66

där är övertrycket relativt omgivningstrycket. oö ppp −= På motsvarande sätt i z-led:

θθ sinsin)( 22,22, ApAppF öozp −=−−= Tillämpning av ekv. (5.15) ger x-led: )cos(cos 1222,11,, VVmApApF ööxA −=−+ θθ & z-led: θθ sinsin 222,, VmgmmgApF rözA &=−−− Den totala kraften på rörkrökens infästning från KV blir motriktad, . AFR −=

Jämfört med Exempel 5.3, där reaktionskraften från fluiden på rörkröken beräknades, är resultatet ovan, bortsett från inverkan av rörets tyngd, detsamma fast med den viktiga skillnaden att de absoluta trycken ersatts med tryck relativt omgivningen, oö ppp −= (”övertryck”). Infästningskrafter beror således även av omgivningens tryck. ______________________________________________________________________

Exempel 5.5 Vatten vid 25oC strömmar stationärt i ett rörsystem. På ett ställe omlänkas röret med en 180°-rörkrök, se Figur E5-5. Medelhastigheten i röret är V = 15.2 m/s; rörets inre tvär-snittsarea är konstant, . Hastighetsvariationer tvärsnitt kan försummas. Trycket vid snitt (1), innan kröken, är 206.8 kPa, vid snitt (2) efter kröken 165.5 kPa. Beräkna den totala kraft som påverkar rörkrökens infästningar (kontrollytans snitt mot rörsystemet). Eventuell inverkan av tyngdacceleration kan försummas. Omgivningstrycket är 101.3 kPa.

23 m1029.9 −×=A

y

x

V1

V2

Rx

Ry

(1)

(2)

po

Figur E5-5. Krafter på en rörkrök.

Kontrollvolymen läggs så att kontrollytan skär vinkelrät mot röret vid snittytorna (1) och (2), inlopp resp. utlopp. Låt x-riktningen vara längs inloppets hastighet. Av symmetrin framgår att nettoytkrafterna i y-led är noll och eftersom eventuella effekter av gravitation kan försummas gäller (rörkröken kan tänkas vara i ett horisontellt plan). Vid aktuell temperatur är

0=yF.997= 0ρ kg/m3 (Tabell A1 alt. formel sid. 7). Strömningen är

stationär vilket innebär att massflödet är konstant. I x-riktningen fås enligt impulssatsen

67

)()()( 122211, VVmAppAppF ooxA −−=−+−+ & Rörets tvärsnittsarea är konstant, 21 AAA == , och då strömningen kan betraktas som inkompressibel gäller även att hastigheten är konstant, m/s2.1521 === VVV . Massflöde, m 141 kg/s == ρVA&

=+−=−+−−= kN)576.1280.4()2(2 21, ApppVmF oxA & −5.86 kN

Kraften på rörkrökens infästningar är lika stor men motriktad.

_________________________________________________________________________ 5.5.2 Fria strålar Med fria strålar avses här fluidstrålar som är i kontakt med omgivningen. För en stråle i kontakt med omgivningen eller som strömmar ut i en öppen omgivning kan trycket antas vara lika med omgivningens tryck, jfr. Bernoullis ekvation tvärs en strömlinje. Detta förenklar problemlösningen då kontrollvolymen kan väljas så att nettokraften p.g.a. tryck blir noll. För problem som behandlas i detta avsnitt antas effekter av gravitation och friktion försumbara. I sådana fall fås en mycket förenklad form av impulsekvationen, där aktionskraften är lika med impulsskillnaden mellan in- och utlopp:

∑∑ −= inut )()( VVF mmA && (5.17)

V

KV

FA,x

y

x

Figur 5-4. Stråle mot plan vägg. Ett enkelt fall av sådan strömning är när en stråle från ett munstycke träffar en plan platta under en rät vinkel och strömningen avböjs 90°, Figur 5-4. Hastigheten ut från munstycket är

och massflödet från munstycket betecknas m . V s&

Eftersom strömningen avböjs vinkelrät mot inströmningsriktningen blir hastighets-komposanten i x-riktningen noll vid utloppet, hastigheten in i kontrollvolymen antas vara lika med hastigheten ut från munstycket. Trycket förutsätts likformig och lika med omgivningstrycket runt hela KV. Kraften i x-led på kontrollvolymen blir för detta fall, då inverkan av gravitation försummas,

68

VmF xA &−=, där m . sm&& = Anta nu att väggen och kontrollvolymen förflyttar sig med en konstant hastighet V i x-led, och att munstycket inte rör sig. Från ekv. (5.7) framgår att det är hastigheten relativt kontrollytan som skall användas. I detta fall, V

KV

KVrel,in VVVx −== . Massflödet in i kontrollvolymen blir nu inte lika med massflödet från munstycket,

ρAVm =s& men

)( KVrel VVρAρAVm −==& eller

VVV

mm s)( KV−

= && (5.18)

och

=xAF , VVV

mVm s

2KV

rel)( −

−=− && (5.19)

Reaktionskraften på väggen är som tidigare motriktad denna kraft, xAx FR ,−= . _________________________________________________________________________

Exempel 5.6 När en fri stråle avlänkas vid en fast yta, fås en kraft på denna yta. Om ytan är rörlig kan man få ut arbete ur strålen. Denna princip utnyttjas i t.ex. vattenturbiner. Betrakta ett fall där en fri stråle träffar en kort, krökt skena (skovel) placerad på en rörlig vagn som rör sig i strålens riktning med den konstanta hastigheten U , Figur E5-6. Strålen lämnar det fasta munstycket med hastigheten V (massflöde ). Strålen omlänkas med vinkeln sm& θ mot horisontalplanet. Det förutsätts att skoveln är såpass kort att effekter av friktion och gravitation kan försummas. Beräkna den kraft som krävs för att upprätthålla vagnens konstanta hastighet. Beräkna även den effekt som vagnen utverkar.

En kontrollvolym placeras runt skenan med kontrollytor vinkelräta mot inlopp och utlopp. Rätlinjig strömning vid in- och utlopp innebär att trycket vid både in- och utlopp är lika med omgivningstrycket. Eftersom trycket är lika runt kontrollvolymen fås inget nettobidrag från tryckkrafterna. Beteckna de relativa hastigheterna vid inlopp och utlopp med resp. . rel,1V rel,2V

69

Figur E5-6. Vattenstråle mot rörlig vagn.

Impulssatsen ger nu

)( 1,rel2,rel VVFF −== mA & eller

)cos( 1,rel2rel,, VVmF xA −= θ&

)0sin( 2rel,, −= θVmF yA & Det förutsätts att den krökta skenan är såpass kort att effekter av friktion och gravitation kan försummas. Rätlinjig strömning vid in- och utlopp innebär då trycket vid både in- och utlopp är lika med omgivningstrycket. Eftersom inverkan av gravitation är försumbar måste därför, enligt Bernoullis ekvation, beloppen av hastigheterna vid in- och utlopp vara lika,

UVVV −== 1,rel2,rel Kraftkomposanter:

)1)(cos(, −−= θUVmF xA &

θsin)(, UVmF yA −= & där

VUVmm s

)( −= &&

70

Reaktionskraften i x-led, , uträttar ett arbete, WxAx FR ,−= sRx ⋅= vid konstant kraft (s är förflyttningen i kraftens riktning). Effekten är lika med arbetet per tidsenhet,

. Effekten blir således URx ⋅=dtdsRdtdWW x== //&

UUVmW )cos1)(( θ−−= &&

eller

)cos1()( 2 θ−−=VUUVmW s&

& .

En s.k. Peltonturbin, en typ av vattenturbin, bygger på ovanstående impulsprincip. Med flera skovlar i en krans lämpligt placerade runt periferin på ett hjul kan hela massflödet omlänkas, d.v.s.

sm&

UUVmW s )cos1)((Pelton θ−−= &&

För mer detaljer, se t.ex. White (2003).

_________________________________________________________________________ 5.5.3 Strömning i öppna kanaler Vid problem där strömning sker i öppna kanaler, d.v.s. då den övre vätskeytan är i kontakt med atmosfären, måste hänsyn tas till att det hydrostatiska trycket i vätskan varierar med djupet, se kap. 2. _________________________________________________________________________

Exempel 5.7 Slussporten i Figur E5-7 används för kontroll av vattenflödet i en öppen, bred och rektangulär kanal. Vattendjupen vid (1) och (2) samt medelhastigheten vid (2) förutsätts kända. Bestäm den horisontella kraften som verkar på slussporten, per breddenhet.

p0 FA,x

V1

(1) (2)

V2h2

h1

p0

z

x

Figur E5-7. Slussport.

Givet: ρ , h , h , V 1 2 2Sökt: (slussbredd b , i y-led) bF xA /,

71

De vertikala kontrollytorna placeras vinkelrät mot den antagna endimensionella strömningen i horisontell led (slussporten förutsetts vara tillräckligt bred). Kontrollytan efter slussporten placeras där vattendjupet uppnått ett konstant djup (ytan horisontell). Tryckfördelningen över denna yta (liksom den vid 1) kan då förutsättas vara hydrostatisk (jfr. ekv. 4.17). Trycket varierar då linjärt med djupet. Den horisontella nettotryckkraften på de vertikala kontrollytorna blir, se ekv. (2.13)

2211, )2/()2/( AhρgAhρgF xp −= där och . Insättning i impulsekvationen ger 11 bhA = 22 bhA =

)()2/()2/( 122211, VVmbhhρgbhhρgF xA −=−+ & . Inkompressibel, stationär strömning innebär att volymflödet är konstant, d.v.s.

2211 bhVbhV = eller V . Omstuvning ger kraften per breddenhet: 2121 )/( Vhh=

)(211 2

122

1

22

22

, hhρghh

hρVb

F xA −+

−=

Kraften på slussporten blir motriktad.

_________________________________________________________________________ 5.6 Impulsmomentet För många praktiska situationer är det vridande momentet (vridmomentet) av stort intresse, t.ex. turbomaskiner. Turbomaskiner är en sammanfattande benämning på vissa slags turbiner, kompressorer, pumpar och fläktar där arbetsmediet strömmar genom omväxlande stationära och roterande gitter.

Vi kommer dock inte att närmare gå in på dessa maskiner utan nöjer oss med att presentera impulsmomentekvationen för en stel och fix kontrollvolym, vid stationära förhållanden:

∑∫ ×=⋅× KV)(ˆ)( FrnVVrA

dAρ (5.20)

För detaljer och tillämpningar hänvisas till t.ex. White (2003) och Young et al. (2004).

72

6. DIMENSIONSANALYS, LIKFORMIGHET Alla ekvationer som beskriver fysikaliska fenomen och samband måste vara dimensions-mässigt homogena. Detta innebär att genom en väl vald omkonstruktion av de fysikaliska dimensionsstorheter som ingår i beskrivningen kan dessa ekvationer göras dimensionslösa, varvid vissa dimensionslösa grupper kan erhållas. Sökandet efter dimensionslösa grupper som beskriver fysikaliska fenomen kallas dimensionsanalys. Som en följd av dimensionsanalys av de ekvationer som beskriver strömning uppträder vissa speciella dimensionslösa grupper eller tal, t.ex. Reynolds tal. Via de dimensionslösa ekvationerna framträder vissa likformighets-samband. Dimensionsanalys och likformighet har stor betydelse för bl.a. uppläggning och utförande av experimentella undersökningar då det t.ex. ger en möjlighet till maximal reduktion av antalet variabler för ett givet problem. Via likformighet kan t.ex. resultat från modellskala överföras till fullskala (prototypskala). 6.1 Buckinghams Π - teorem Antag att ett visst fysikaliskt samband beskrivs av n oberoende dimensionsstorheter

, vilka innehåller k primära dimensioner (nϑϑϑϑ ,...,,, 321 4≤k ). Detta samband kan då beskrivas av mrn − = dimensionslösa grupper mΠΠΠΠ ,...,,, 321 , där r . k≤

Med andra ord, en ekvation som beskriver ett fysikaliskt samband som en funktion f enligt

),...,,( 321 nf ϑϑϑ=ϑ (6.1) kan ersättas med en funktion φ bestående av m dimensionslösa grupper,

),...,,( 211 mΠΠΠφ=Π . (6.2) Detta kallas för Buckinghams teorem. −Π

Reduktionsgraden r är alltid mindre eller lika med antalet primära dimensioner i den ursprungliga ekvationen. I de flesta fall är reduktionsgraden lika med antalet primära dimensioner, , vilket förutsätts nedan. Hur undantag behandlas, se Panton (1996). För att forma de m dimensionslösa grupperna, väljs en kärna av k dimensionsstorheter, som innehåller de primära dimensionerna, och som själva inte kan bilda en dimensionslös grupp

. M.h.a. dessa kärnstorheter bildas sedan dimensionslösa grupper av övriga storheter. Observera att dimensionsstorheterna måste vara oberoende, d.v.s. det måste gå att variera var och en av dessa oberoende av de andra (t.ex.

kr =

Π

ρ och µ men inte ρ , µ och ν , ty ν ). ρµ /=_________________________________________________________________________

Exempel 6.1 Vid inkompressibel strömning samt om inverkan av ev. fria vätskeytor kan försummas beror strömningsmotståndet, , kring en sfär av dess diameter, d, strömningshastigheten, U, den strömmande fluidens densitet,

DFρ , och fluidens viskositet, µ .

),,,(D µρUdfF =

73

Storheterna innehåller primära dimensioner enligt { , { , ,

och { .

2D MLT} −=F L} =d 1LT}{ −=U

3ML}{ −=ρ 1-1TML} −=µAntalet primära dimensioner är 3=k , (M, L och T), antalet storheter ( , d, U, 5=n DF ρ och µ ). Storheterna d, U och ρ kan tillsammans inte bilda en −Π grupp, (endast ρ innehåller dimensionen för massa och endast U innehåller dimensionen för tid), reduktionsgraden är därför lika med antalet primära dimensioner, 235 =−=k−= nm .

teoremet innebär att det ursprungliga sambandet mellan 5 oberoende dimensionsstorheter alltså kan reduceras till ett mellan 2 oberoende dimensionslösa storheter, Π

−Π

)( 21 Π= φ .

Välj nu d, U, ρ som de kärnstorheter (repeterande variabler) med vilka övriga storheter skall göras dimensionslösa. Dessa storheter är oberoende och kan inte tillsammans bilda en

grupp. För att göra dimensionslös fås följande ekvation:1 −Π DF

zyxzyx ρUdF )(ML)(LT(L))(MLT}{TLM}{ 312D

0001

−−− ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==Π Detta ger följande linjära ekvationssystem: M: 1 0=+ z L: 1 03 =−++ zyx T: 02 =−− y med lösningen 2,1 −=−= yz och 2−=x .

22D122

D1dρU

FρUdF =⋅⋅⋅=Π −−−

På motsvarande sätt fås:

zyxzyx ρUdµ )(ML)(LT(L))T(ML}{TLM}{ 311-10002

−−− ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==Π M: 1 0=+ z L: 031 =−++− zyx T: 01 =−− y med lösningen 1,1 −=−= yz och 1−=x .

ρUdµρUdµ =⋅⋅⋅=Π −−− 111

2

1 Exponenten för variabeln som skall göras dimensionslös kan väljas fritt, skild från noll!

74

Enligt ekv. (6.1) gäller

)( 21 Π=Π φ eller

φ=ρUd

µdρU

F22

D

Det ursprungliga sambandet mellan 5 variabler har reducerats till 2, en väsentlig minskning i komplexitet om det betänks hur mycket information som behöver samlas in för att fullständigt beskriva ett fysikaliskt samband mellan 5 variabler. Det är tillåtet att omarrangera -termer, varför kan ersättas med den mer kända formen

(Reynolds tal). Vidare är proportionell mot sfärens projicerade area

( 4 ). Strömningsmotståndet brukar i allmänhet tecknas som

Π )/(ρUdµ

dµρUd /Re =

/2dA π=

2

2

2

DDρUACF =

där är den s.k. motståndskoefficienten (kap. 7). För problemet ovan gäller således

. Detta samband kan bestämmas en gång för alla, dimensionsanalys visar att vi inte behöver variera alla de ursprungliga storheterna oberoende av varandra. Det räcker t.ex. att variera Reynolds tal över ett tillräckligt stort intervall och bestämma C vid varje mätpunkt för att bestämma strömningsmotståndet vid en viss given kombination av U, d,

DCf= (Re)DC

D

ρ och µ . _________________________________________________________________________ 6.2 Likformighet och dimensionslösa grupper Via dimensionsanalys visades i exemplet ovan att dimensionslöst strömningsmotstånd för en omströmmad kropp (sfär), vid inkompressibel strömning utan inverkan av fria vätskeytor, endast är en funktion av Reynolds tal. Detta innebär att strömningsmotståndet för en prototyp kan bestämmas m.h.a. experimentella undersökningar på en modell, i en annan geometrisk skala. För fallet ovan kan resultatet uttryckas enligt följande: ( ) ( ) ⇒= modellprototyp ReRe

modell2

D

prototyp2

D

=

AρUF

AρUF

. (6.3)

Ovanstående samband är ett uttryck för Reynolds likformighetslag:

Strömning vid geometriskt likformiga kroppar blir likformig om Reynolds tal är lika.

Med geometriskt likformade kroppar menas att hela den geometriska strömningssituationen är geometriskt likformig, alla geometriska dimensioner står i samma förhållande till varandra i

75

modell- och prototypskala. Reynolds likformighetslag gäller generellt för strömningsfall där de enda krafterna av betydelse är tröghetskrafter (acceleration), viskösa krafter (friktionskrafter) och tryckkrafter.

Genom att studera vilka krafter som är av betydelse för olika strömningsfall, kan dimensionslösa grupper, likt Reynolds tal, formuleras via förhållandena mellan dessa krafter. Anta att vi studerar stationär strömning av en Newtonsk fluid med konstanta ämnesstorheter. De krafter som kan tänkas uppträda är gravitationskraft (volymskraft), tryckkraft , viskös kraft , tröghetskraft , samt ytspänningskraft . Låt L vara en karakteristisk längd, V en karakteristisk hastighet och

gF

σFpF

τF aFσ ytspänningskoefficienten vid fria vätskeytor.

Följande samband kan då tecknas (∝ = proportionell mot):

gravitationskraft; mg gρLFg

3∝ tryckkraft; pA∆ 2pLFp ∆∝

viskös kraft; Adyduµ µVLF ∝τ

tröghetskraft; ma 22LρVFa ∝

ytspänningskraft*; A

+

21

11RR

σ LF σσ ∝

Nedan följer en sammanfattning av några viktiga dimensionslösa grupper (tal) vilka är av betydelse för strömningsproblem. Reynolds tal: Vid strömning som kan betraktas som inkompressibel och i frånvaro av fria vätskeytor, t.ex. rörströmning, flygande luftskepp, strömning kring bilar, ubåtar i undervattensläge, är Reynolds tal den enda parametern av dynamisk betydelse. Reynolds tal är ett mått på förhållandet mellan tröghetskrafter och viskösa krafter för ett visst strömningsfall.

Rekraft viskös

afttröghetskr 22==∝=

µρVL

µVLLρV

FFa

τ (6.4)

Machs tal: Vid höga hastigheter (Ma > 0.3) kan strömningen inte längre betraktas som inkompressibel och effekten av densitetsskillnader blir påtaglig, se White (2003). Sådan (kompressibel) strömning beror av förhållandet mellan den lokala hastigheten och ljudhastigheten, vilket benämns Machs tal eller Machtal,

cV

=Ma , (6.5)

* och är krökningsradier i ytan. 1R 2R

76

där c är den lokala ljudhastigheten enligt (1.15).

Webers tal: I gränsytor mellan vätskefas och gasfas är förhållandet tröghetskrafter och ytspänningskrafter av betydelse. Ett mått på förhållandet mellan dessa kallas Webers tal,

We222

==∝σσσ

LρVLLρV

FFa (6.6)

vilket ibland tecknas som σ/We ρLV= . Ytspänningskoefficientens värde för några vätskor i kontakt med luft ges i Tabell A3 (20oC). Froudes tal: För strömningsfall där gravitationspåverkade vågrörelser vid en vätskeyta förekommer är kvoten mellan tröghetskrafter och gravitationskrafter av dynamisk betydelse:

gLV

gρLLρV

FF

g

a2

3

22

nskraftgravitatioafttröghetskr

=∝=

Ofta definieras Froudes tal enligt

gLV

=Fr (6.7)

Froudes tal har betydelse vid strömning med inverkan av fria vätskeytor, t.ex. vågbildning kring fartyg. På grunt vatten, grunt i förhållande till våglängden, är utbredningshastigheten för små ytvågor gh , där h är det ostörda djupet. Froudes tal ghV /=Fr , där V t.ex. är fartygets hastighet blir då likt ett Machtal vid strömning med fria vätskeytor. Eulers tal: Eulers tal uttrycker ett mått på förhållandet mellan tryckkrafter och tröghetskrafter:

Euafttröghetskr

tryckkraft222

2=

∆=

∆∝=

ρVp

LρVLp

FF

a

p

Vad likformighet egentligen handlar om är att det i olika geometriska skalor är möjligt att få identiska strömningsförhållanden. Om alla geometriska längder står i ett visst förhållande till varandra (geometrisk likformighet) och samtidigt alla krafter som verkar på fluidelement i motsvarande punkter och tider också står i ett visst förhållande till varandra (dynamisk likformighet) så är båda fallen fullständigt likformiga.

Ofta brukar en sammanfattande likformighetslag, för inkompressibla (stationära) strömningsfall utan inverkan av ytspänningseffekter, skrivas: Strömning vid geometrisk likformighet är likformig om Reynolds tal och Froudes tal är lika.

77

7. OMSTRÖMMADE KROPPAR, STRÖMNINGSMOTSTÅND OCH LYFTKRAFT Krafter på omströmmade kroppar har stor betydelse inom många tekniska områden. Inom bil- och flygindustrin bedrivs en omfattande forskning för att på ett så korrekt sett som möjligt kunna bestämma de krafter och moment som påverkar en bil eller ett flygplan i rörelse. Ett annat område är byggnadsindustrin, en byggnad eller bro bör konstrueras så att den klarar de påfrestningar den utsätts vid hårda vindar, t.ex. orkaner. Ett mer trivialt område är idrotten där man t.ex. strävar efter att få fram dräkter med så litet strömningsmotstånd som möjligt för bl.a. simmare och backhoppare. För backhoppare krävs dessutom en stor lyftkraft. 7.1 Strömningsmotstånd och lyftkraft En fast kropp som befinner sig i ett strömningsfält påverkas av normalkrafter (tryckkrafter),

och tangentialkrafter (friktionskrafter), , Figur 7-1. Resultanten till dessa krafter F kan uppdelas i tre komposanter: Strömningsmotstånd (eng. drag) som verkar i det ostörda strömningsfältets riktning samt lyftkraft (eng. lift) och tvärkraft som verkar vinkelrät mot det ostörda strömningsfältets riktning. Vid strömning som kan betraktas som tvådimensionell, t.ex. en bred vinge eller omströmmade rotationssymmetriska kroppar t.ex. en sfär, kan medelvärdet av tvärkraften försummas. För dessa fall kan medelkraften delas upp i ett strömningsmotstånd och en lyftkraft, Figur 7-1.

pF τF

DF

LF

pτ

FL

FD

F pdA τdA

dAθ

U

z

x

Figur 7-1. Krafter på en omströmmad kropp.

Strömningsmotståndet, kraftkomposanten i det ostörda strömningsfältets riktning, x-riktningen i Figur 7-1, fås som,

∫∫∫ +== dAdApdFF x θτθ sincosD (7.1)

Lyftkraften är definierad uppåt vinkelrät mot den ostörda strömningsriktningen, z-riktningen,

∫∫∫ +−== dAdApdFF z θτθ cossinL (7.2)

För att kunna utföra integrationerna ovan måste förutom kroppens geometri, fördelningar av skjuvspänningen τ och trycket p längs kroppsytan vara kända. Dessa fördelningar är dock i allmänhet mycket svåra att ta bestämma analytiskt. Analytiska lösningar finns endast för mycket enkla och idealiserade fall. Man måste därför i allmänhet förlita sig på experiment.

79

I kap. 6 definierades en motståndskoefficient (eng. drag coefficient) enligt:

2

2D

DρUA

FC =

A är en för kroppen karakteristisk area, för trubbiga kroppar vanligtvis den projicerade arean vinkelrät mot strömningsriktningen, för mer "slanka" kroppar, t.ex. vingprofiler, är det vanligare med den projicerade arean i strömningsriktningen (”planarean”). Figur 7-2 ger exempel på karakteristiska areor för några olika strömningsfall. U är den ostörda anströmningshastigheten.

Ub

d

b

d

U

l

bU

l = korda

b

Vinkelrät anströmmad cylinder

Vinkelrät anströmmad rektangel

Tangentiellt anströmmad plan platta

U

A = bd A = bd A = bl A = bl

Figur 7-2. Karakteristisk area för några olika strömningsfall.

Vid stationär, inkompressibel strömning utan inverkan av fria vätskeytor beror C endast av kroppens geometriska form samt Reynolds tal. Storleken på kroppen har alltså ingen betydelse. Strömningsmotståndet kan skrivas

D

2

2

DDρUACF = (7.3)

På motsvarande sätt fås lyftkraften,

2

2

LLρUACF = (7.4)

där C är lyftkraftskoefficienten (eng. lift coefficient) L_________________________________________________________________________

Exempel 7.1 För att ta reda på strömningsmotståndet för en prototyp, vid en viss hastighet, utförs mätningar i en vindtunnel på en skalenlig modell, skala 1:5. Mätningen utförs vid samma Reynolds tal som för prototypen. För modellen uppmätts strömningsmotståndet 22.8 N. Hur stor blir strömningsmotståndet för prototypen då det antas att den strömmande fluidens (luftens) fysikaliska egenskaper är lika för modell och prototyp? Reynolds likformighetslag ger

80

( ) ( ) ⇒= prototypmodell ReRe modell

2D

prototyp2

D

=

AρUF

AρUF

.

Samma densitet ger modellD,modell

2prototyp

2

prototypD,)(

)(F

AU

AUF = .

Skala 1:5 innebär 5modell

prototyp =LL

, 2LA ∝ således 2552

modell

prototyp ==AA

Hastighetsförhållandet fås från sambandet att Reynolds tal är lika,

⇒

=

modellprototyp µρUL

µρUL 5

modell

prototyp

prototyp

modell ==LL

UU

N8.22modellD,modellD,

2

modell

prototyp2

prototyp

modellprototypD, ==

= FF

LL

LL

F .

_________________________________________________________________________ 7.2 Strömning kring en cirkulär cylinder Strömning kring en vinkelrätt anströmmad cirkulär cylinder (cylinder med cirkulärt tvärsnitt) är ett av de mest undersökta strömningsfallen och motståndskoefficienten som funktion av Reynolds tal är väl dokumenterad, se Figur 7-6.

Figur 7-3 visar i grova drag strömningens karaktär inom olika intervall i Reynolds tal, (d är cylinderns diameter och U är friströmshastigheten). Upp till ca.

är angivna kritiska Reynolds tal i praktiken oberoende av cylinderytans skrovlighet och andra små störningar, t.ex. i form av turbulenta hastighetsvariationer i den anströmmande fluiden. Vid turbulent strömning, ca. , förutsätts att cylindern är tillräckligt lång i förhållande till sin diameter, vilket innebär att strömningen över cylinderns centrala delar kan betraktas som tvådimensionell i medel, se Norberg (1994).

µUdρ /Re = 310Re =

300Re >

För ca. (Figur 7-3a) dominerar de viskösa krafterna (friktionskrafterna), både nära och långt ifrån cylindern och det strömmande mediet förmår följa cylinderytan utan ”släpp” (avlösning). I intervallet 5 (Figur 7-3b) bildas en sluten avlösningsbubbla (med två motroterande virvlar) vid cylinderns baksida. Det strömmande mediet kan inte längre följa kroppskonturen. Avlösningsbubblans storlek ökar med stigande Reynolds tal. Fortfarande gäller att friktionskrafterna har stor betydelse. Vid

5Re <

47Re <<

47Re ≈ (Figur 7-3c) blir avlösningsbubblan instabil vilket leder till att de motroterande virvlarna lämnar cylinderytan på ett periodiskt alternerande sätt och dras med nedströms. Ett periodiskt men laminärt virvelmönster utbildas, en s.k. von Kármáns virvelgata (eng. Kármán vortex street). Det område i strömningsfältet inom vilket de viskösa krafterna har stor betydelse minskar med ökande Reynolds tal. Samtidigt ökar den relativa betydelsen av tröghetskrafter. Vid ca.

övergår virvelgatan till att bli turbulent med kraftiga inslag av tredimensionella effekter (Figur 7-3d). Närmast cylindern, i området för avlösning och virvelbildning, är dock strömningen fortfarande laminär.

300Re =

81

Vid (ca.) har det utbildats ett (laminärt) gränsskikt på framsidan av cylindern. Gränsskiktet löser av (släpper) från cylinderytan vid en position ca. 90° från stagnationslinjen (d.v.s. vid

310Re =

≈ 90°θ ). Vid ökande Reynolds tal kommer avlösningen att sakta förflyttas mot stagnationslinjen för att vid vara ca. 510Re = °= 78θ . P.g.a. den växelvisa virvelavkastningen (eng. vortex shedding) oscillerar dock avlösningens position något kring denna vinkel.

(a) (b)

(c)

(e) (f)

θ

(d)

Figur 7-3. Strömning kring cirkulär cylinder.

För (Figur 7-3e) kommer gränsskiktet på cylinderns framsida att i ökande

utsträckning övergå från ett laminärt till ett turbulent gränsskikt. Som följd kommer avlösningen att förskjutas längre nedströms (längs cylinderytan) vilket leder till att det avlösta området på cylinderns baksida, den s.k. vaken, får en mindre utsträckning tvärs anströmningsriktningen. Mellan ca. och finns ingen tydligt identifierbar virvelgata. Vid ytterligare högre Reynolds tal (Figur 7-3f) återkommer dock en tydlig virvelgata. Omslag till turbulent strömning sker nu redan innan gränsskiktet släpper från ytan och med ökat Reynolds tal kryper detta omslag närmre och närmre stagnationspunkten. Vid ytterligare ökning i Reynolds tal förväntas inga större förändringar i den allmänna strömningsbilden. Experiment indikerar att strömningsmönstret enligt Figur 7-3f finns kvar även vid extremt höga Reynolds tal ( Re ). En mer detaljerad beskrivning av olika strömningsområden ges i Williamson (1996).

5102Re ×>

5104Re ×= 6103Re ×=

910>

Figur 7-4 visar tryckfördelningar kring en cylinder vid höga Reynolds tal. Den s.k. tryckkoefficienten definieras enligt

2/2UρppC p∞−

= (7.5)

Trycket står för det statiska trycket på stort avstånd från cylindern (längs stagnationslinjen). Den streckade linjen i Figur 7-4 representerar tryckfördelningen vid friktionsfri strömning. Från (främre) stagnationslinjen ( ökar hastigheten, trycket

sjunker och når ett minimum vid . För ökar trycket igen, hastigheten minskar

∞p

)0o=θo90=θ o90>θ

82

och vid är hastigheten åter noll (stagnationspunkt) och trycket blir detsamma som vid . Betrakta nu strömning med friktion, med gränsskiktsutveckling på cylinderns framsida (ca. ). Maximal hastighet utanför gränsskiktet (och minimalt tryck på cylinderytan) uppnås då innan . När hastigheten (utanför gränsskiktet) sedan minskar (och trycket ökar) finns det en risk att fluidpartiklarna allra närmast ytan bromsas upp så mycket att de faktiskt stannar. Fluidpartiklar i ett gränsskikt kan endast motstå en liten till måttlig hastighetsminskning utanför skiktet innan de stannar. När fluidpartiklar stannar närmast ytan blir det till slut en så stor ansamling att ytterligare ankommande partiklar tvingas ut från ytan, strömningen ”löser av”, släpper från ytan. På grund av denna avlösning ändras tryckfördelningen och i det avlösta området är trycket relativt konstant. Hur långt fluidpartiklarna förmår förflytta sig längs cylinderytan, d.v.s. var avlösning sker, beror på hur mycket kinetisk energi som finns tillgänglig i gränsskiktet. Denna energi är som regel större i ett turbulent än i ett laminärt gränsskikt och som följd sker avlösningen mer nedströms för ett turbulent gränsskikt. Ett turbulent gränsskikt är således mer ”resistent” mot avlösning jämfört med ett laminärt d:o. Observera att grunden till avlösning är väggfriktion och att den endast kan ske i områden med ökande tryck i strömningsriktningen.

o180=θo0

Re=θ

310>o90=θ

0 40-3

-2

-1

0

1

Cp

fD,pD, C+C=

θ20

60 80 100 120 140 160 180

Re = 6.7E5

Re = 8.4E6

Re = 1.1E5

Friktionsfri strömning

Figur 7-4. Tryckfördelning kring cylinder vid höga Reynolds tal (Roshko 1961). Ur tryckfördelningarna i Figur 7-4 kan vissa detaljer ang. gränsskikt och avlösning

urskiljas. För fallet med sker ett första tryckminimum vid ca. 5101.1Re ×= °= 70θ , därefter ökar trycket för att sedan vara nästan konstant över hela baksidan. Som nämnts tidigare är gränsskiktet laminärt vid detta Reynolds tal. Detta innebär att fluidpartiklar som följer nära ytan inte kan stå emot någon nämnvärd tryckökning och avlösning sker därför strax efter tryckminimum, vid °≈ 78θ . Observera att trycket i det avlösta området, i den s.k. vaken, är relativt konstant. Motståndskoefficienten för detta fall är ca. , och strömningsmotståndet är helt dominerat av de tryckkrafter som verkar mot ytan.

2.1D =C

Allmänt sett kan motståndskoefficienten delas upp i två delar, en p.g.a. tryckkrafter (C ) och en p.g.a. ytfriktion (C ):

pD,

fD,

DC (7.6)

83

Strömningsmotståndet p.g.a. tryckkrafter brukar benämnas formmotstånd (eng. form drag). Av benämningen kan det uttydas att det väsentligen är kroppens form som påverkar tryckfördelningen kring en omströmmad kropp. Den relativa betydelsen av friktionskrafter (ytfriktion) minskar med ökat Reynolds tal. För alla kroppar som ger upphov till stora avlösta områden (vid tillräckligt höga Reynolds tal) blir slutligen kroppens form den helt avgörande faktorn för tryckfördelningens utseende och därmed för värdet på . Mer om detta i senare avsnitt. För den cirkulära cylindern gäller approximativt:

pD,C

Re5.3

fD, =C (7.7)

Av ekv. (7.6) framgår att andelen friktionsmotstånd är ca. 1% vid Re . 5101.1 ×=

För fallet med i Figur 7-4 sker tryckminimum vid ca. 5107.6Re ×= °= 82θ , därefter en svag tryckökning liknande den vid Re . Tryckökningen stannar dock upp vid ca. 5101.1 ×=

°= 105θ . Efter denna platå sker en kraftig ökning av trycket för att slutligen vara nästan konstant från ca. °= 120θ och vidare bakåt. För detta (kritiska) fall sker först en laminär avlösning vid ca. °= 92θ , därefter sker ett snabbt omslag till turbulent strömning i den avlösta strömningen. Detta innebär en lokalt ökad kinetisk energi och därmed en ökad vidhäftningsförmåga. Närheten till ytan gör att det faktiskt sker en återanläggning av strömningen mot ytan (eng. reattachment). Detta sker vid platån i tryckfördelningen, vid

°≈ 105θ . Vid återanläggningen är gränsskiktet turbulent vilket innebär en ökad resistens mot tryckökningar. Först efter ca. halva den kraftiga tryckökningen sker slutligen turbulent avlösning, vid °≈ 115θ . Det höga trycket i vakområdet innebär en låg motståndskoefficient, i det här fallet ca. C , endast ca. 25% jämfört med det tidigare fallet. 3.0D =

Slutligen för fallet med Re (Figur 7-3) så saknas en platå i tryckfördelningen och tryckminimum sker vid ungefär samma position som i första fallet. Den kraftiga tryckökningen upp till ca.

6104.8 ×=

°= 105θ samt frånvaro av platå visar att avlösningen i detta fall sker efter omslag till turbulent gränsskikt. Den faktiska avlösningen sker här vid ca. °= 95θ . Tryckkoefficienten i vakområdet är liksom tidigare relativt konstant fast på en nivå mellan de tidigare. Detta gäller även motståndskoefficienten som för detta (överkritiska) fall är

, se Roshko (1961). 70.0D =C

θ0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

-1.2

-0.6

0

0.6

1.2

Re = 36, Mätning, Thom (1933)Re = 45, -"-Re = 40, Beräkning, Apelt (1958)Re = 40, Beräkning, Kawaguti (1953)Cp

Figur 7-5. Tryckfördelning kring cylinder vid låga Reynolds tal.

84

Figur 7-5 visar experimentella och teoretiska tryckfördelningar över cylinderytan vid låga

Reynolds tal, . Strömningen är laminär, stationär och tvådimensionell (över större delen av cylinderns fulla längd). Strömningsmotståndet p.g.a. friktion är av samma storleksordning som det p.g.a. tryckkrafter. Grovt sett ser dock tryckfördelningarna ut som vid högre Reynolds tal, trycket har sitt maximum i stagnationspunkten för att sedan sjunka till ett minimum följt av en tryckökning och slutligen ett relativt konstant tryck i det avlösta området. Viskositetens direkta inverkan vid dessa förhållandevis låga Reynolds tal innebär att avlösningen sker ganska så långt nedströms (vid ca.

40Re ≈

°= 120θ ), samt att trycket aldrig riktigt blir konstant i vakområdet (där två motroterande virvlar snurrar, jämför Figur 7-3b). Viskösa effekter innebär dessutom att tryckkoefficienten i stagnationspunkten är högre än ett, vilket är det förväntade värdet vid friktionsfri uppbromsning (jfr. Bernoullis ekvation). Figur 7-5 indikerar en mycket bra överensstämmelse mellan numeriska beräkningar och experiment. Detta kan dock inte sägas om nyligen beräknade (simulerade) resultat vid väsentligt högre Reynolds tal, högre än ca. 300 d.v.s. då virvelbildningen är turbulent och strömningen kraftigt tredimensionell (och givetvis tidsberoende), se t.ex. Norberg (2003). Att simulera turbulent strömning in i dess minsta detaljer i både tid och rum kräver ofantligt stor datorkraft och minneskapacitet. Utvecklingen går dock fortfarande starkt framåt och i framtiden förväntas datorsimuleringar kunna ersätta många kostsamma och tidsödande experiment.

0.1 1 10 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5 1E+60.01

0.1

1

10

100

1 000

sfär

cirkulär cylinder

CD

Re

(a)

(c) (d)

(e)

(b)

Figur 7-6. Motståndskoefficient för strömning kring cylinder och sfär.

Figur 7-6 visar hur motståndskoefficienten varierar med Reynolds tal för både strömning

kring en cirkulär cylinder och en sfär (ett klot). Noterbart är att utseendet på kurvorna är likartade. Detta gäller i grovt sett även för strömningens karaktär. En tydlig skillnad är nivån på vid höga Reynolds tal, högre än ca. 300. För sfären ligger nivån väsentligt lägre, t.ex.

vid platån mellan ca. Re och gäller för sfären C , motsvarande värde för cylindern är

DC410= 5102Re ×=

05.020.103.046.0D ±=

D ±≈C . Denna skillnad beror av det undertryck som utbildas i vakområdet. Trycknivån i detta område beror väsentligen av trycket kring avlösning, vilket i sin tur beror av den hastighet som uppträder utanför gränsskiktet strax innan avlösning. För sfären är denna hastighet väsentligt lägre (och trycket därmed högre enligt Bernoullis ekvation), vilket beror på det uppenbara faktum att strömningen möter ett mjukare hinder jämfört med en lång rak cylinder; strömningen har så att säga fler alternativ att

85

komma runt kroppen vilket innebär en lägre hastighet. Den plötsliga minskning i motståndskoefficient som för både sfären och cylindern sker vid Re brukar på engelska benämnas "drag crisis", se White (2003). Som beskrivits ovan hänger fenomenet samman med en plötslig förändring av vakvidden som följd av en förskjutning nedströms av den slutliga positionen för avlösning (via återanläggning av strömningen). Minskningen i motståndskoefficient med ökat Reynolds tal är så stort så att till och med strömningsmotståndet minskar med ökande hastighet.• Fenomenet upptäcktes av den franske ingenjören Gustave Eiffel (1832-1923), publicerat år 1912.

5103×≈

310300×

=µ 107.17 ×

Vid strömning kring en cylinder och för Reynolds tal över ca. 47 utbildas, som nämnts tidigare, en alternerande virvelavkastning med ett karakteristiskt virvelmönster (von Kármáns virvelgata). Virvelavkastningen är oftast starkt periodisk och virvelfrekvensen, , kan uttryckas med ett s.k. Strouhals tal St enligt

Sf

VdfSSt = (7.8)

Från och upp till ca. är virvelavkastningen laminär och Strouhals tal ökar från ca. St till St . Från

47Re ≈=

190Re =19.12.0 0= 300Re ≈ och upp till Re är Strouhals tal

relativt konstant, St=

20.0= (± ), se Norberg (1994)∗. Inom samma intervall är också motståndskoefficienten relativt konstant,

%71.1D =C ( %15± ), se Figur 7-6. Även för sfären

sker en form av periodisk virvelavkastning. För mer detaljer, se Achenbach (1974). _________________________________________________________________________

Exempel 7.2 En sfär med diametern 10 cm anströmmas horisontellt av en luftström med hastigheten 15 m/s. Lufttemperaturen är 10°C och det ostörda trycket 100 kPa. Beräkna den kraft som krävs för att hålla sfären stilla.

F

U

Figur E7-2.

Luft av 10°C och 100 kPa: =××

==15.2830.287

10100 3

RTpρ 1.23 kg/m3, sPa6− .

Reynolds tal: 56 1005.1

107.1710.01523.1Re ×=

×

××==

−µρUd . Figur 7-5 ger CD ≈ 0.47.

≈=2

2

DDρUACF =

×× N

21523.1

410.047.

22π0 0.51 N.

_________________________________________________________________________

• Strömningsmotståndet är prop. mot C , för sfären gäller . 2

D Re 8/Re/ 2D

2 CFD πµρ =∗ Strömningen på kompendiets framsida är vid ca. . 3105Re ×=

86

Exempel 7.3

En sfär med diametern 10 cm faller fritt i vindstilla luft av 10°C och 100 kPa. Beräkna sfärens maximala fallhastighet om dess densitet är (a) 10 kg/m3 (plast) resp. (b) 2700 kg/m3 (aluminium).

FB + FD

mg Figur E7-3. Fallande sfär.

Sfären påverkas nedåt av tyngdkraften och motverkas uppåt av flytkraften och strömningsmotståndet. Newtons 2:a lag ger )( DB FFgmam +−= , där m är sfärens massa. Då sfären uppnått sin maximala fallhastighet är accelerationen noll. Således är

, där BD FgmF −=2

2

DDρUACF = och gρF V=B . Enligt exemplet ovan är

, 3kg/m23.1=ρ =µ sPa107. 6−×17 , d.v.s. 61044.1 −×== µ/ρν m2/s.

Sfärens massa är m , där är sfärens densitet och Vsρ= sρ 6/3dπ=V . Den projicerade arean är , d.v.s. 4/2dA π= 3// A 2d=V .

Lös ut hastigheten: D

s

D Cρρdg

AρCFgm

3)1/(4

2/B −=

−=V

I fall (a) är och med antaget 13.8/ =ρρs 45.0D =C fås 8.4=U m/s vilket ger

31034Re ×==νVd . Figur 7-6 ger CD ≈ 0.45. Antagandet var alltså OK. Om flytkraften

försummas fås U = 4.9 m/s, d.v.s. ganska liten inverkan i detta fall.

I fall (b) är (försumbar flytkraft) och med antaget C fås

vilket ger , d.v.s.

2194/ =ρρs

Re

45.0D =

m/s80=U 61056.0 ×= 10.0D ≈C enligt Figur 7-6 (kritisk

strömning). Med detta nya värde insatt fås 169=U m/s vilket ger . Diagrammet i Figur 7-6 slutar vid , men försiktig extrapolation ger

61012.0

2.1Re ×=

D610Re = ≈C

d.v.s. m/s samt Re , vilket i sin tur ger i princip samma motståndskoefficient. Vårt svar skulle i detta fall kunna anges som ca. 160 m/s, men … vid denna höga hastighet är Machtalet ca. 0.5 vilket indikerar kompressibel strömning d.v.s. inverkan av densitetsförändringar. Inom ca.

155=U 6101.1 ×=

0.1Ma3.0 << fås en ökad motstånds-koefficient jämfört med (inkompressibel strömning), vilket i detta fall skulle minska maxhastigheten. Med

3.0<.0D

Ma20=C fås 120=U m/s. Eftersom strömningen

dessutom är kring det kritiska området i Figur 7-6 bör vi nog inte svara mer exakt än att den maximala fallhastigheten troligen ligger mellan 120 och 150 m/s.

_________________________________________________________________________

87

7.3 Inverkan av ytskrovlighet Då strömningen är turbulent ökar i allmänhet strömningsmotståndet om ytan är skrovlig. Det är därför viktigt att t.ex. flygplansvingar är så släta som möjligt, utskjutande grader eller nitar kan avsevärt öka strömningsmotståndet. Det finns dock undantag till detta, i vissa Reynolds-talsintervall kan en ökad ytskrovlighet faktiskt minska strömningsmotståndet, t.ex. för cylindrar eller sfärer. Ytråheten ε är ett mått på skrovligheten hos ytan och brukar anges i dimensionslös form som d/ε , där d är diametern. I Figur 7-6 framgår det att motståndskoefficienten minskar vid ett Reynolds tal av ca. 3×105, vilket är kopplat till övergången (omslaget) från laminärt till turbulent gränsskikt. Genom att t. ex. göra en golfbolls yta "skrovlig" i form av urgröpningar, s.k. dimples, kan omslaget till turbulent gränsskikt ske vid en lägre hastighet (Reynolds tal) vilket minskar C och därmed strömningsmotståndet, Figur 7-7. Även lyftkraften (Magnuseffekten)∗ påverkas gynnsamt av urgröpningarna, se Bearman & Harvey (1976).

D

1 E+6 1E+70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1 E+51 E+4

golfboll

ε/d = 1.25E-2

ε/d = 5E-3

ε/d = 1.5E-3

ε/d = 0 (slät)

CD

Re

Figur 7-7. Inverkan av ytråhet på motståndskoefficient för sfärer (Bearman & Harvey 1976). 7.4 Motståndskoefficient för kroppar och ytor När en plan platta anströmmas tangentiellt börjar ett laminärt gränsskikt utvecklas vid plattans framkant. På ett visst avstånd från plattans framkant börjar störningar uppträda, dessa tillväxer efterhand och omslag från laminärt till turbulent gränsskikt sker, Figur 7-8. Gränsskiktets tjocklek δ är definierat enligt, Uuy 99.0där == δ . Det kritiska avstånd vid vilket strömningen ej förmår behålla sin laminära karaktär bestäms av ett kritiskt Reynolds tal,

. Ett vanligt värde på är . Om ytan är skrovlig kan omslaget ske vid lägre värden (d.v.s. mer uppströms).

ν/=Rekr Ux krRe 5105 ×

∗ Då bollen roterar sker en omlänkning av strömningen. Om bollen roterar moturs och rör sig till höger (underskruv) omlänkas strömningen nedåt; denna impulsförändring motsvarar en kraft uppåt på bollen (lyftkraft). Denna s.k. Magnuseffekt studerades av den tyske fysikern Heinrich Gustav Magnus (1802-1870).

88

UU

yx

laminärt gränsskikt omslag turbulent gränsskikt

xkr

u(y)δ (gränsskikttjocklek)

Figur 7-8. Gränsskikt för tangentiellt anströmmad platta.

Strömningsmotståndet för en tangentiellt anströmmad plan platta domineras av väggfriktion. Trycket tvärs strömningen är konstant och lika med trycket utanför gränsskiktet. För den laminära delen av gränsskiktet (och för tillräckligt höga Re) finns en analytisk lösning, framtagen redan 1908 av Prandtls student Heinrich Blasius (1883-1970). För strömningsmotståndet (över ena sidan) från plattans framkant ( 0=x ) till gäller enligt Blasius:

l=x

lRe328.1

fD, == CCD (7.9)

där Re ( 500ν= /ll U krReRe << l ).

För en tangentiellt anströmmad plan platta med turbulent gränsskikt i bakkant gäller approximativt (för ena sidan):

llRe1440

Re031.0

7/1fD, −== CCD då 5kr 105×=Re (7.10)

För många omströmmade kroppar uppnås ett approximativt konstant värde på motståndskoefficienten när ett visst Reynolds tal uppnåtts, se Figur 7-9; jfr avsnitt 7.2. I Tabell 7-1, 7-2 och 7-3 listas motståndskoefficient och referensarea för några vanliga geometrier.

Figur 7-9. Motståndskoefficient för rund (cirkulär) platta i vinkelrät anströmning.

89

Tabell 7-1. Motståndskoefficient C för några olika geometrier (Young et al. 2004). D

Geometri (kropp) Referensarea, A DC Giltighetsområde Halvcirkel (skal)

d

bdA = → 2.3 ← 1.1

4102Re ×> 1/ >>db

Halvcirkel (solid)

d

bdA = → 2.1 ← 1.1

410Re > 1/ >>db

Rektangel l

d

bdA =

l/d CD

<= 0.1 1.9 0.5 2.5

0.65 2.9 1.0 2.2 2.0 1.6 3.0 1.3

510Re > 1/ >>db

Halvsfär

d

4

2dA π= → 1.17

← 0.42 410Re >

Halvsfäriskt skal

d

4

2dA π= → 1.42

← 0.38 410Re >

Kub

2dA = 1.05 410Re >

Kub

2dA = 0.80 410Re >

Tunn cirkelskiva

d

4

2dA π= 1.1 410Re >

Cirkulär stav l

d

4

2dA π=

l/d CD

0.5 1.1 1.0 0.93 2.0 0.83 4.0 0.85

510Re >

Kon

θ d

4

2dA π=

CD

10 0.30 30 0.55 60 0.80 90 1.15

θ

410Re >

90

Tabell 7-2. Motståndskoefficient C för några olika kroppar, (Young et al. 2004). DKropp Referensarea, A DC Giltighetsområde Människa, normalbyggd

Stående

Sittande

Hopkrupen

81.0D ≈AC m2

54.0D ≈AC m2

22.0D ≈AC m2

Lastbil Frontarea 0.17.0 −

d

l

FlaggadA l=

l/d CD

1.0 0.07 2.0 0.12 3.0 0.15

Träd Frontarea

≈ 0.43 ≈ 0.26 ≈ 0.20

10=U m/s 20=U m/s 30=U m/s

Delfin Våt yta 0.0036 6106Re ×=

d

Fallskärm 4

2dA π= 1.4

Tabell 7-3. Motståndskoefficient C och för några olika bilmodeller. D ACD Bilmodell DC ACD Honda Insight (1999) 0.25 0.48 Opel Calibra (1999) 0.26 0.51 Volvo S80 (2002) 0.28 0.63 Audi A4 (1997) 0.29 0.62 SAAB 9-5 (2001) 0.29 0.63 Porsche 911 C4 (1999) 0.30 0.57 Lamborghini Diablo (2001) 0.31 0.54 Volvo XC90 (2001) 0.38 0.99 Jeep Cherokee (2002) 0.42 1.12 Hummer H3 (2006) 0.57 1.56

7.5 Lyftkraft på vingprofiler Lyftkraft och strömningsmotstånd på t.ex. en vingprofil beror av både Reynolds tal och anfallsvinkeln α , vinkeln mellan profilens kordalinje och friströmshastigheten U, Figur 7-10. Kordalinjen för en vingprofil är den raka linje som förbinder framkant och bakkant. Vingprofilens projicerade area beror av anfallsvinkeln. Man har därför valt att som

91

karakteristisk area använda sig av den maximala projicerade arean i strömningsriktningen, , där b är vingprofilens bredd (vingbredden) och l medelkordan (medellängd över b). bA l=

=C α

LC

C 2L =

l

U

Uα

anfallsvinkel

Figur 7-10. Beteckningar för vingprofil.

Figur 7-11 visar ett typiskt samband mellan lyftkraftskoefficienten och LC α för en något asymmetrisk (välvd) och tvådimensionell vingprofil. P.g.a. välvningen är C svagt positiv redan då kordalinjen ligger i strömningsriktningen (

L0α ) Med ökande anfallsvinkel ökar

sedan , till att börja med linjärt med L α (upp till ca. °= 8 ); sedan minskar lutningen och når ett maximum (vid ca. °= 17α ). Därefter minskar C kraftigt p.g.a. avlösning på

vingens översida som snabbt förflyttas till vingens framkant, s.k. överstegring (eng. stall). Vid approximativt tvådimensionell strömning är maximala förhållandet ofta av storleksordningen 50 och uppnås vid relativt liten anfallsvinkel (den s.k. gynnsammaste glidvinkeln). För en verklig tredimensionell vinge är den faktiska lyftkraftskoefficienten lägre och motståndskoefficienten högre. Detta beror av förekomsten av vingspetsvirvlar (eng. trailing vortices), vilka orsakas av läckageflöde vid vingspetsarna p.g.a. tryckskillnaden mellan överdel och underdel på vingen, se Fox & McDonald (1994).

L

DLC / C

0 3 6 9 12 15 18 21 240

0.4

0.8

1.2

1.6

2

CL

Anfallsvinkel, α [grader] Figur 7-11. Lyftkraftskoefficient för vingprofil NACA 23015 (Fox & McDonald 1994).

För små anfallsvinklar α och (mycket) höga Reynolds tal kan lyftkraftskoefficienten för otvistade, välvda, tredimensionella vingar skrivas på följande sätt

b/21)sin(

l++ βαπ (7.11)

där är den s.k. välvningsvinkeln ( h är maximal välvning). l/2tan 1 h−=β

92

8. RÖRSTRÖMNING I kapitel 4 härleddes Bernoullis ekvation, vilken gäller vid stationär, inkompressibel och friktionsfri (förlustfri) strömning. I praktiken är dock alla strömningsfall förlustbehäftade. Vid rörströmning ger skjuvspänningen (friktionen) vid väggar upphov till förluster, även andra irreversibla effekter förekommer, t.ex. virvelförluster vid strömning genom ventiler och rörkrökar. 8.1 Energiekvationen vid rörströmning – Bernoullis utvidgade ekvation Enligt termodynamikens första huvudsats kan energiekvationen för en kontrollvolym (Figur 8.1) med ett homogent inlopp (index 1) och ett homogent utlopp (index 2) och vid stationär strömning skrivas, se Çengel & Boles (2002),

12

21

22

12t 22ˆˆ gzgz

VVhhwq −+−+−=− (8.1)

(1)

(2) g

z

Figur 8-1. Rörströmning mellan två godtyckliga tvärsnitt. Via teckenkonvention räknas värmeutbyte ( ) positivt om det ”tillförs”, omvänt för arbetsutbyte ( ). Observera att i ekv. (8.1) är det tekniska arbetsbytet, axelarbete (t.ex. pump- och turbinarbete) eller elektriskt arbete,

qw tw

int,outt,t www −= . Entalpin kan enligt

definition skrivas , där är den inre energin (per massenhet), den lodräta koordinaten z avser lämpligt medelvärde. Antas strömningen vara inkompressibel kan ekv. (8.1) omarrangeras enligt

ρpuh /ˆˆ += u

)ˆˆ(22 12t2

22

21

21

1 quuρwρgzVρpρgz

Vρp −−++++=++

För en process utan interna förluster (internt reversibel process) blir den sista termen i högerledet noll, jämför Çengel & Boles (2002). För verkliga processer uppträder alltid ett visst mått av irreversibilitet, t.ex. förluster via friktion och virvelbildning. Enligt termodynamikens andra huvudsats gäller då att denna term alltid är större än noll. Vid rörströmning är det mer relevant att teckna termen som en tryckförlust,

0)ˆˆ( f12 >∆=−− pquuρ . Mellan två godtyckliga punkter (snitt) i ett rörsystem fås

93

ft2

22

21

21

1 22pρwρgz

Vρpρgz

Vρp ∆++++=++ (8.2)

Ekv. (8.2) skiljer sig från Bernoullis ekvation endast genom de två sista termerna i högerledet och brukar kallas för Bernoullis utvidgade ekvation. Ekvationen gäller vid stationär, inkompressibel strömning med homogena in- och utloppsförhållanden. Om ekvationen divideras med gρ får termerna istället dimensionen längd; motsvarigheten till tryckförlust kallas då förlusthöjd, se t.ex. Young et al. (2004). 8.1.1 Korrektionsfaktor för kinetisk energi Vid rörströmning är den axiella hastigheten i allmänhet olikformig varför termerna motsvarande den kinetiska energin (dynamiska trycket) i ekv. (8.2) underskattas (jfr. korrektion av impulsflöde i avsnitt 5.7). Med en sådan korrektion fås Bernoullis ekvation enligt:

ft2

22

221

21

11 22pρwρgzVρpρgzVρp ∆++++=++ αα

där 1α och 2α är korrektionsfaktorer för olikformighet i hastigheten över respektive tvärsnitt.

Vid fullt utbildad laminär strömning i rör med cirkulärt tvärsnitt är korrektionsfaktorn 2=α . Vid turbulent strömning är olikformigheten i hastigheten betydligt mindre och

korrektionsfaktorn vid fullt utbildad strömning ligger i intervallet 1 1.10. ≤< α (Tabell 8-1). Ofta är effekterna av denna korrektion av liten betydelse. Vid ingenjörsmässiga tillämpningar och turbulent strömning används vanligtvis 1=α . 8.2 Laminär och turbulent rörströmning Vid laminär rörströmning fås en parabolisk hastighetsprofil, se Figur 8-2. I rör med cirkulärt tvärsnitt är då medelhastigheten halva centrumhastigheten, V 2/maxu= , se kap. 2. Vid Reynolds tal ( µρ /Re Vd=

4000) högre än ca. 2100 börjar vanligtvis turbulenta effekter uppträda

och vid har strömningen i allmänhet blivit fullt turbulent. Hastighetsprofilen vid turbulent strömning är betydligt jämnare än i det laminära fallet, se Figur 8-2. Observera att hastighetsprofilen i det turbulenta fallet är tidsmedelvärderad.

Re ≈

Laminär strömning Turbulent strömning

Ry

Figur 8-2. Laminär och turbulent hastighetsprofil. I Schlichting (1979) föreslås en empirisk ekvation för hastighetsprofilen vid turbulent strömning,

94

n

Ryuu

/1

max

= (8.3)

där n varierar mellan 6 och 10 i intervallet , se Tabell 8-1. För medelhastigheten gäller

63 102.3Re104 ×≤≤×

)21)(1(2/

2

max nnnuV++

== κ (8.4)

Vid tekniska tillämpningar, t.ex. rörsystem för färskvatten, är ofta Reynolds tal inom

; medelhastigheten är då ca. 80% av medelhastigheten (Tabell 8-1). 54 1010 − Tabell 8-1. κ enligt (8.4) samt korrektionsfaktor α vid olika Re för slätt rör.

n 6 7 10 Re 4×103 1.1×105 3.2×106 κ 0.79 0.82 0.86 α 1.08 1.06 1.03

Eftersom hastighetsprofilens derivata vid väggen är större vid turbulent än vid laminär strömning, blir väggskjuvspänningen större och därmed även tryckförlusten. Observera att (8.3) inte kan användas för att beräkna hastighetsderivatan vid väggen. _________________________________________________________________________

Exempel 8.1

Luft vid 100 kPa och 20°C strömmar i ett slätt rör med innerdiametern mm. M.h.a. ett Prandtlrör uppmäts skillnaden i stagnationstryck och statiskt tryck i rörets centrum. En U-rörsmanometer kopplad till Prandtlröret ger ett utslag av 8.0 mm vattenpelare (h = 8.0 mm). Beräkna medelhastigheten i röret.

25=d

h

p0

ptill manometer

pp0

Figur E8-1. Bestämning av hastighet.

Medelhastighet, maxuV κ= , där 15.0 <≤ κ . Då hastigheten mäts i centrum av röret fås

maxhastigheten enligt ekv. (4.24), )(20 pp

ρ−max =u ; U-rörsmanometer, ekv. (2.11):

; manometervätskans (vattnets) densitet ur Tabell A1:

; luftens densitet ur ideala gaslagen, . Insättning med

ger u .

)ρ−3

11max =

(0 ρghpp m=−

kg/m2.998=mρ2m/s81.9=g

3kg/m189.1=ρ

m/s5.

95

Är strömningen laminär eller turbulent? Med fås sPa102.18 6−×=µ

µdρuµρVd //Re maxκ== κ31019×= , vilket är högre än 4000 eftersom 15.0 <≤ κ .

Strömningen är således turbulent. Med 8.0=κ ( 2.9=V m/s) fås Re , vilket enligt Tabell 8-1 ger

= 31015 ×8.0≈κ . Medelhastigheten är således ca. 9.2 m/s.

_________________________________________________________________________ 8.3 Hydraulisk diameter Vid beräkning av Reynolds tal och för rör med icke-cirkulära tvärsnitt används den s.k. hydrauliska diametern som karakteristisk längd (tvärdimension), hd hd=l . Den hydrauliska diametern är definierad som kvoten mellan 4 gånger strömningstvärsnittsarean ( A4 ) och den ”våtlagda” omkretsen (perimetern) . P

PAd 4

h = (8.5)

µρVdhRe = (8.6)

För det cirkulära tvärsnittet är den hydrauliska diametern lika med rörets diameter,

dd

dd =π

π=

4/4 2

h

Vid inte allt för extrema tvärsnitt gäller att 2100Re < garanterar laminär strömning och att

med stor sannolikhet innebär fullt utvecklad turbulent strömning. 4000Re > 8.4 Strömningsförhållanden i inloppsområdet När en fluid strömmar in i ett rör börjar ett gränsskikt bildas längs rörets väggar, Figur 8-3. Fluiden antas ha en likformig hastighet då den strömmar in i röret. Hastigheten är noll vid väggen och antar den s.k. kärnans hastighet vid gränsskiktets rand.

kärna

gränsskikt

fullt utbildadströmning

U0

xLe

Figur 8-3. Inloppsområdet.

En typisk hastighetsprofil i inloppsområdet visas i Figur 8-4.

96

gränsskikt

gränsskikt

kärna

Figur 8-4. Typisk hastighetsprofil i inloppsområdet.

Gränsskikten växer i tjocklek i strömningsriktningen och växer så småningom ihop över tvärsnittet. Hastighetsfältet sägs då vara fullt utbildat. I inloppsområdet medför den större hastighetsgradienten vid väggen en ökad friktionsförlust, detta plus en impulsförlust över inloppsområdet ger upphov till större tryckförlust jämfört med fullt utbildad strömning. Man brukar definiera en inloppssträcka som avståndet mellan inloppet och den position där hastighetsfältet kan sägas vara fullt utbildat. Vid laminär strömning i cirkulära rör anges ofta, se t.ex. White (2003):

eL

Re06.0lam

e ≈

dL

(8.7)

För turbulent strömning gäller approximativt

6/1

turb

e Re4.4≈

dL

(8.8)

Ekv. (8.7) och (8.8) stämmer i allmänhet hyfsat även för rör med icke-cirkulärt tvärsnitt. 8.5 Tryckförluster Tryckförlusten i (8.2) kan delas upp i två delar, tryckförlust p.g.a. friktion mot rörets väggar samt så kallade engångsförluster (eng. minor losses). Engångsförluster är förluster som orsakas av t.ex. virvelbildning vid plötsliga areaändringar, ventiler och rörkrökar. Tryckförlusten p.g.a. av friktion (eng. major losses) brukar anges enligt:

2

hf 2

VρdLfp =∆ (8.9)

där f är Darcys friktionsfaktor. f beror av Reynolds tal och rörets relativa ytråhet h/ dε , )/(Re, hdff ε= . Vid laminär strömning är friktionsfaktorn oberoende av ytråheten.

De s.k. engångsförlusterna över en rörkomponent brukar skrivas

2

Lf 2VρKp =∆ (8.10)

97

där förlustkoefficienten KL beror av Reynolds tal vid given geometri som orsakar förlusten. Vid höga Reynolds tal minskar detta beroende och ofta anges att KL vid turbulent strömning endast beror av geometrin. Ett rörsystem kan bestå av ett godtyckligt antal i hopkopplade rörsektioner av olika dimensioner samt ett godtyckligt antal av komponenter j som orsakar engångsförluster. Total tryckförlust mellan två godtyckliga positioner i ett rörsystem:

∑∑ +

=∆

j

jj

i

i

i

VρK

Vρ

dLfp

2)(

2

2

L

2

hf (8.11)

KL är oftast baserad på medelhastigheten i det uppströms anslutna röret. 8.5.1 Friktion

Laminär strömning Vid fullt utbildad laminär strömning i rör med godtyckligt (men konstant) tvärsnitt kan tryckfallet över en rörlängd L bestämmas analytiskt. För friktionsfaktorn gäller,

ReCf = (8.12)

där konstanten C beror av kanalens geometri. För cirkulära tvärsnitt är C , d.v.s. 64=

Re64

=f (8.13)

Tabell 8-2 ger konstanten C för några andra tvärsnitt. Observera att vid laminär strömning är friktionsfaktorn oberoende av ytråheten, skrovligheten på rörytan.

Turbulent strömning För turbulent strömning finns inga analytiska lösningar och man är hänvisad till empiriska formler eller diagram som bygger på experimentella undersökningar. För invändigt släta rör används ofta Blasius formel (Blasius 1913),

25.0Re316.0

=f (8.14)

vilken gäller i intervallet 4 . 53 10Re10 ≤≤× För råa eller skrovliga ytor har liknande uttryck för friktionsfaktorn f utvecklats. I Figur 8-5 visas uppmätta värden av friktionsfaktorn dom funktion av Reynolds tal och vid olika relativa ytråheter. Vid Nikuradses mätningar (Nikuradse 1933) var rörens innerytor belagda med siktad sand av olika medelstorlekar k (s ssk ε=2 ).

98

Tabell 8-2. Konstanten vid laminär strömning för några olika rörtvärsnitt. RefC =Konfiguration Hydraulisk

diameter dh

RefC =

a b

a/b 1.0 0.7 0.5 0.3 0.2 0.1

a

1.17a 1.30a 1.43a 1.50a 1.55a

64 65 67 72 74 77

a b

b/a 1.0

1.25 2.0 3.0 5.0 10 20 ∞

a

1.11a 1.33a 1.50a 1.67a 1.82a 1.90 2a

57 58 62 68 76 85 90 96

a

60o

0.58a 53

1 000 1 E+4 1 E+5 1 E+60,01

0,05

0,1

f = 64/Re (laminar)

0.0020, Nikuradse (sand roughness)0.0040

0.00077, Galavics (commercial rough)

frikt

ions

fakt

or, f

Re

≈ds /ε0.00790.0170.0330.067

≈d/ε

Figur 8-5. Friktionsfaktorn för skrovliga rör (Schlichting 1979).

99

Kommersiella rör, rör som kan köpas i handeln, har som regel en viss skrovlighet. (Ibland används benämningen kommersiellt skrovliga rör.) Friktionsfaktorn för sådana rör skiljer sig något från kurvorna enligt Nikuradse. I Colebrook (1939) presenteras en implicit funktion för friktionsfaktorn för kommersiellt skrovliga rör (lg står för 10-logaritmen, ): loglg 10=

+−=

fd

f Re51.2

7.3/lg0.21 hε (8.15)

Eftersom formeln är implicit måste en iterativ metod användas för att beräkna friktionsfaktorn. Haalands explicita formel (Haaland 1983) ger dock i allmänhet tillräcklig noggrannhet vid bestämning av friktionsfaktorn,

+

−=

Re9.6

7.3/

lg8.11 11.1hd

fε (8.16)

I Figur 8-6 visas det s.k. Moody-diagrammet som bygger på Colebrooks funktion (8.15) och som presenterades 1944 av amerikanen Lewis Fry Moody (1880-1953). Till höger om den streckade linjen i Figur 8-6 (”Fully rough”) kan friktionsfaktorn anses vara oberoende av Reynolds tal och endast en funktion av d/ε . Kommersiella rör "kalibreras" vanligen mot detta diagram varvid ett lämpligt värde på ε kan anges av tillverkaren/försäljaren, se Tabell 8-3. Tabellen gäller nya rör, för rostiga rör eller rör med avlagringar ökar ytråheten drastiskt.

103 104 105 106 107 1082 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7

Re

0.010

0.100

2

3

4

5

6

7

8

9

f

0.050.040.03

0.020.015

0.0080.0060.004

0.002

0.01

0.0010.00080.00060.0004

0.0002

0.0001

5E-4

1E-4

Fully rough

Laminar flow

Recr

Smooth

ε/d

Figur 8-6. Moody-diagrammet – friktionsfaktorn s.f.a. Reynolds tal.

100

Tabell 8-3. Ytråhet ε för några olika rör. Rörmaterial ytråhet ε [mm] Nitade rör 0.9 – 9.0 Betongrör 0.3 – 3.0 Gjutna järnrör 0.26 Galvaniserade järnrör 0.15 Kommersiella stålrör 0.045 Dragna rör 0.0015 8.5.2 Engångsförluster Ett rörsystem kan, som tidigare nämnts, omfatta ett antal komponenter som ger upphov till tryckförluster. Enligt (8.10) kan tryckförlusten p.g.a. en sådan komponent skrivas

2

Lf 2VρKp =∆

För några få fall kan förlustkoefficienten KL tas fram på analytisk väg (laminär strömning), men i allmänhet är man hänvisad till experimentella data eller uppgifter från tillverkare/leverantör.

Kontraktion och expansion Betrakta en plötslig expansion (areaökning), Figur 8-7. De virvlar som bildas efter expansionen ger upphov till irreversibla effekter som medför en tryckförlust. En kontrollvolym placeras med en del av den vänstra kontrollytan (1) strax efter expansionen. Är Reynolds tal tillräckligt högt kommer strömningen p.g.a. sin tröghet att vilja strömma rakt fram utan möjlighet att följa de vertikala väggarna vid expansionen. Över den del av tvärsnittet som motsvarar kan hastigheten antas vara lika med hastigheten innan expansionen, hastigheten i resten av tvärsnitt (1) är mycket liten och dessutom huvudsakligen motriktad huvudströmningsriktningen. En bit nedströms (2) har strömningen anpassat sig till den större arean. Vid turbulent strömning kantrycket över respektive tvärsnitt antas vara konstant. Friktionen längs kontrollvolymens mantelyta är försumbar i sammanhanget, tryckkrafterna på kontrollvolymen är helt dominerande.

1A

(1) (2)A1

A2

Figur 8-7. Plötslig areaökning.

M.h.a. impulsekvationen, kontinuitetsekvationen och Bernoullis utvidgade ekvation kan följande samband för kontrollvolymen kan nu tecknas:

)()( 12221 VVmApp −=− &

2211 AρVAρVm ==&

101

f

22

2

21

1 22p

Vρp

Vρp ∆++=+

22

21

L

22

2VρK

Vρp ++=

Kombineras kontinuitetsekvationen med impulsekvationen och Bernoullis utvidgade fås

−=− 1)(

2

1

2

12121 A

AAA

ρVpp

respektive

21

2

21

L

2

2

12

121

VρKAAVρpp =

−+−

Kombineras dessa fås

=LK

−12

2

1

2

1AA

AA

2

2

11

−+

AA =

2

2

11

−

AA

2

2

1L 1

−=

AA

K (plötslig expansion) (8.17)

Figur 8-8. Förlustkoefficient vid plötslig areaändring, White (2003).

Figur 8-8 visar förlustkoefficienten vid plötslig expansion och kontraktion. Med beteckningar enligt figuren kan (8.17) skrivas

102

2

2

2

L 1

−=

DdK

För en plötslig kontraktion (areaminskning), är tryckförhållandena mer komplicerade. Förlustkoefficienten baserad på hastigheten vid den trängre sektionen kan med tillräcklig noggrannhet beräknas med den anpassade formeln,

−≈

2

1L 142.0

AA

K (plötslig kontraktion) (8.18)

eller

−≈ 2

2

L 142.0DdK

där och d anger den trängre sektionen. I detta undantagsfall är KL baserad på medelhastigheten nedströms.

1A

För koniska kontraktioner, Figur 8-9, är förlustkoefficienten vanligtvis ganska liten, se Tabell 8-3. För små vinklar blir konan lång och hänsyn måste även tas till väggfriktion. För större vinklar kan approximativt ekv. (8.18) användas. Tabell 8-3. Förlustkoefficient vid gradvis kontraktion (Fox & McDonald 1994).

Konvinkel, β2 10° 15°-40° 50°-60° 90° 120°

LK ( ) 5.0/ 21 =AA 0.05 0.05 0.06 0.12 0.18

LK ( ) 1.0/ 21 =AA 0.05 0.05 0.08 0.19 0.29

V1 V22β V2V1 2β

konisisk expansion (diffusor)konisisk kontraktion (munstycke)

Figur 8-9. Konisk kontraktion och expansion.

Strömningen i en diffusor är ofta komplex och förlustkoefficienten bl.a. beroende av både konvinkel och Reynolds tal, se White (2003). För t.ex. konvinklar mellan 40° och 60° blir förlusterna större än vid en plötslig expansion.

Inloppsförluster beror i hög grad av inloppsgeometrin, se Figur 8-10, ett väl avrundat inlopp ger betydligt lägre förlust än ett skarpkantat inlopp. Vid helt nedsänkta utlopp utgörs förlusten helt av viskös dissipation, se White (2003), varför utloppsgeometrin inte spelar någon roll. För en sådan utloppsförlust gäller 1L ≈= αK .

103

Figur 8-10. Förlustkoefficienten vid rörinlopp, White (2003).

Andra komponenter

Förlustkoefficienter för olika rörkomponenter kan fås från tillverkare eller handböcker, se t.ex. Blevins (1984) och VDI-Wärmeatlas (1994). För rörkrökar beror KL bl.a. av Reynolds tal, avlänkningsvinkel och förhållandet mellan krökningsradie och rörradie. I Tabell 8-4 finns ungefärliga värden för några vanliga komponenter. Tabell 8-4. Förlustkoefficient för komponenter. Komponent KL Rörkrök 90°, släta rör, flänsat förband

2×105 =Re

r

R

R /r 2 4 8 15 30 skarp krök

≈ 0.25 ≈ 0.18 ≈ 0.22 ≈ 0.28 ≈ 0.48 ≈ 1.2

Rörkrök 180 , flänsförband 0.2

Gängat rörförband 0.08

Avstängningsventil, helt öppen 4 – 10

Vinkelventil 2 – 3

104

Inloppssträckan Hänsyn till den högre tryckförlusten över inloppssträckan behöver endast tas för relativt korta rör. För en rörlängd av utgör den extra tryckförlusten vid laminär strömning ca. 3% av den totala tryckförlusten, se Shah & London (1978). Vid turbulent strömning blir bidraget ännu mindre. För hela inloppssträckan fås vid laminär strömning en tryckförlust som motsvarar en engångsförlust av .

eL

e10LL =

.1L ≈K 3_________________________________________________________________________

Exempel 8.2

Vatten (20°C) strömmar ut ur en stor tank genom ett horisontellt cirkulärt rör som ligger 2.0 m under tankens fria vätskeyta, Figur E8-2. Rörets innerdiameter är mm. Inloppshålet till röret är skarpkantat. Beräkna utloppshastigheten då rörets längd L = 7.5 m. Ev. extra tryckförlust över rörets inloppssträcka kan försummas. Röret kan anses vara slätt.

10=d

D >> d

d = 0.010 m

h = 2.0 m

(1)

(2)

L Figur E8-2. Ekv. (8.2) ger

f2

22

21

21

1 22pρgz

Vρpρgz

Vρp ∆+++=++

Trycket vid tankens vätskeyta är lika med trycket vid utloppet, , höjdskillnaden

. Vidare är hastigheten i tanken försumbar ( ) och eventuella friktionsförluster från strömningen i tanken också försumbara. Vi få nu

21 pp =dD >>m0.221 ==− hzz

ρghVρp =+∆

2

22

f (1)

där tryckförlusten består av friktionsförlusten i röret samt engångsförlusten vid rörets inlopp, ekv. (8.11)

L

22

22

hf 22

KVρ

Vρ

dLfp +=∆

Med d och insatt i (1) fås d=h

ghKdLfV

=

++ 1

2 L

22

105

eller

1

2

L

2++

==K

dLf

ghVV (2)

Det skarpkantade inloppet innebär KL = 0.50 (Figur 8-10). Eftersom hastigheten är okänd kan inte friktionsfaktorn tas fram direkt. Beräknandet kräver ett iterativt förfarande. Vi gissar därför en friktionsfaktor, säg 02.0=f

02

, därefter beräknas en hastighet, sedan ett Reynolds tal vilket ger oss en ny friktionsfaktor, vilket ger en ny, förhoppningsvis mer korrekt, hastighet, o.s.v. Med fås .0=f 542.1=V m/s, motsvarande

=×

××==

−310002.1010.0542.12.998Re

µρVd 410536.1 × (turbulent)

Ekv. (8.14) ger ==25.0Re

316.0f 0.0284

Från (2) fås V m/s 312.1= ⇒ 410307.1Re ×= ⇒ 0296.0=f m/s. Ytterligare iterationer ger V m/s. Antalet värdesiffror i indata är två varför vi som svar anger att utloppshastigheten ( = medelhastigheten) är 1.3 m/s.

⇒ 288.1=V284.1=

Iterativa beräkningar är vanligt då flödet eller medelhastigheten skall bestämmas, speciellt om strömningen är turbulent. Hur långt behöver röret vara för att strömningen skall bli laminär?

Om gränsen för laminär strömning är Re 2100= fås 21.0Re ==ρdµV m/s.

Friktionsfaktorn vid laminär strömning är 0305.0Re64

==f . Längden löses ut från (2)

=

−−= 12L2 K

Vgh

fdL 289 m. För att garantera laminär strömning krävs således en

rörlängd av ca. 300 m. __________________________________________________________________________

Exempel 8.3

Vatten (20°C) pumpas genom ett rörsystem från en damm till en position som ligger 8 m högre ( h m), se Figur E8-3. Kontrollytor är placerade (1) dammens vätskeyta, (2) omedelbart efter pumpen som är placerad 0.50 m

0.8=50.0( 1 =h m) över vätskenivån och (3)

vid rörets utlopp. Tryckförlusterna mellan (1) och (2) motsvarar en engångsförlust med baserad på hastigheten efter pumpen där diametern är 0.2 m. Mellan (2) och

(3) består rörsystemet av 10 m rör (0.3=)( 1LK

102 =L( 3

m) direkt efter pumpen med innerdiametern m som avslutas med 20 m rör 20.02 =d 20=L m) med innerdiametern m.

Engångsförlusterna efter pumpen kan uppskattas till 10.03 =d

5.1)( 2L =K baserad på hastigheten

106

efter pumpen ( ) samt 2d 0.2)( 3L =K baserad på hastigheten vid den mindre diametern ( d ). Beräkna pumpeffekten då pumpens verkningsgrad är 3 89.0=η och volymflödet

=V& 24 liter/s. Rörens ytråhet är 15.0=ε mm.

da

(1)

o

2 ρρgz +1p +

3ρgz ∆++2p +

∆ j ρK )( L

op=

−p2 2)1

VρK L

−2p )( 2LK −+

inP,w

)( 1LK

+P,wρ

mm

pump

h = 8 m

(2)

(3)

p

Figur E8-3. Bernoullis utvidgade ekvation mellan (1) och (2)

12ft

22

21

21

22pwVρpρgzVρ ∆+++=+

resp. mellan (2) och (3)

23f

23

32

22

22p

Vρpρgz

Vρ +=+

där ∑∑ +

=

j

j

i

i

i

VVρ

dLfp

22

22

hf

I uttrycket ovan gäller pp = 31 (omgivningstrycket). Efter insättning av ∆ kan ekvationerna ovan skrivas

fp

=op (12

2t1 ρwρgh

+−−− resp.

+−= )( 1hhρgpo 21)(

21

23

3L3

33

22

2

22

VρK

dL

fVρdLf

+++

.

Eftersom arbete tillförs pumpen är negativt enligt teckenkonventionen. Med

fås tw

tw−=

21)(

2)(

23

3L3

33

22

2L2

22in

VρK

dL

fVρKdLfρgh

+++

++=

107

Tabell för vatten ger kg/m3 och . 2.998=ρ sPa10002.1 3−×=µ

Hastigheten V ger )4//(/ 2dA π== VV && =2V 0.76 m/s och 06.33 =V m/s. Reynolds tal

( Re ) blir Re resp. . Strömningen är således klart turbulent.

µ 52 1052.1 ×=ρVd /= 51004.3 ×=3Re

Haalands ekvation för skrovliga rör,

+

ε×−=

Re9.6

7.3/lg8.11 11.1

hdf

, ger

020.02 =f och 022.03 =f

inP, = ρwm&, d.v.s. Pa. Pumpens effekt till vattnet blir

således kW. P.g.a. förluster i själva pumpen, beskrivet med en verkningsgrad, fås effekten som måste tillföras pumpen (pumpeffekten) enligt:

3inP, 105.114 ×=wρ

75.2=inP,in = w V&P,W&

1.3/inP,pump == ηWW && kW.

__________________________________________________________________________

Exempel 8.4

Vatten vid 5 pumpas från en insjö via ett enkelt rörsystem, se Figur E8-4. C0. °

sjö

pump

7.8 m

4.2

m

5oC

3.1

m

Figur E8-4.

Inloppet till pumpen ligger 3.1 m högre än sjöns vattenyta. Omgivningstrycket är 100 kPa. Rörets innerdiameter är 50 mm och dess totala längd fram till pumpen 12 m. Rörets inneryta har en ytråhet motsvarande 050.0=ε mm. Rörkröken ( ) är av ordinär, gängad typ (regular, threaded). Följande gäller för förlustkoefficienterna: Inlopp:

; rörkrök: , d.v.s.

°90

80.0L =K 5.1L =K 3.2L =ΣK . Vattnets temperatur kan antas vara konstant. Bestäm högsta möjliga volymflöde som inte ger kavitation. Givet: m, kPa, 1.3=H 100=ap m2.41 =L , 8.72 =L m, ( m),

, 0.12==Σ LLi

mm 0=50=d 050.ε mm, vatten 5 , ordinär (gängad) rörkrök. C0. ° Sökt: Maximalt volymflöde ( ) som ej ger kavitation. maxV&

108

Kavitation uppträder om , där är ångtrycket; lägsta tryck sker vid inloppet till pumpen (sektion 2). Med sektion 1 vid den fria vattenytan (

vpp < vp01 =V , , app =1 01 =z ;

, ) gäller enligt Bernoullis utvidgade ekvation: vpp =2 Hz =2

f2 2/ pVρρgHpp va ∆+++= , där V , . )/(4 2dπ= V& 2/)/( 2

Lf VρKdLfp Σ+=∆ Detta ger

)3.3/()(2

)4/( 2

+−−

=dLfρ

gHρppd vaπV& , där )/(Re, df εφ= , µVdρ /Re = .

Tabell A1: kg/m3, ; Tabell A2: 1000=ρ sPa10518.1 3−×=µ Pa5.872=vp .

Med m/s2 fås 81.9=g 3.3240/02302.0 +×= fV& . Antag turbulent strömning.

Friktionsfaktorn ges då t.ex. av Haalands formel:

+×−=

11.1

7.3/

Re9.6lg8.11 d

fε .

Antag (högt Re , 02.0≅f 0010.0/ =dε ). Med 02.0=f fås ,

; /sm1009.8 33−×=V&

m/s12.4=V 610× .036.1=Re 02143=⇒ f3− .4

(OK, turbulent strömning). m3/s, 10×92.7=02143⇒.0=f V& 03=V m/s, 6 02146.0=⇒ f ⇒10×33.1Re =

31092.7 −×=V& m3/s; OK, ingen skillnad d.v.s. klart. Svar: m3/s (7.9 liter per sekund). 3

max 109.7 −×=V&

__________________________________________________________________________

109

Referenser

• Achenbach, E. (1974), Vortex shedding from spheres, J. Fluid Mech., Vol. 62, 209-221. • Anderson, Jr., J. D. (2003), Modern Compressible Flow: With Historical Perspective, 3rd

Edition, McGraw-Hill. • Apelt, C. J. (1958), The steady flow of a viscous fluid past a circular cylinder at Reynolds

numbers 40 and 44, Aeronautical Research Council, Reports and Memoranda No 3175. • Bearman, P. W. & Harvey, J. K. (1976), Golf ball aerodynamics, Aeronautical Quarterly,

Vol. 27, 112-122. • Blasius, H. (1913), Das Ähnlichkeitsgesetz bei Reibungsvorgängen in Flüssigkeiten,

Forsch. Arb. Ing. Wes, No. 134, 1-41. • Blevins, R. D. (1984), Applied Fluid Dynamics Handbook, Krieger Publishing Co. • Çengel Y. A. & Boles M. A. (2002), Thermodynamics: An Engineering Approach, 4th

Edition, McGraw-Hill. • Colebrook, C. F. (1938), Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition

between smooth and rough pipe laws, J. Inst. Civ. Eng. London, Vol. 11, 133-156. • Escudier, M. (1998), The Essence of Engineering Fluid Mechanics, Prentice Hall. • Fox, R. W. & McDonald, A. T. (1994), Introduction to Fluid Mechanics, 4th Edition, John

Wiley & Sons, Inc.. • Haaland, S. E. (1983), Simple and explicit formulas for the friction factor in turbulent pipe

flow, Trans. ASME, Journal of Fluids Engineering, Vol. 105, 89-90. • Kawaguti, M. (1953), Numerical solution of the Navier-Stokes' equations for the flow

around a circular cylinder at Reynolds number 40, J. Phys. Soc. Japan, Vol. 8, 747-757. • Nikuradse, J. (1933), Strömungsgesetze in rauhen Rohren, Forsch. Arb. Ing. Wes , No.

361; även NACA TM 1292, Nov. 1950. • Norberg, C. (1994), An experimental investigation of the flow around a circular cylinder:

influence of aspect ratio, J. Fluid Mech., Vol. 258, 287-316. • Norberg, C. (2003), Fluctuating lift on a circular cylinder: review and new measurements,

Journal of Fluids and Structures, Vol. 17, 57-96. • Panton, R. L. (1996), Incompressible Flow, 2nd Edition, John Wiley & Sons, Inc.. • Roshko, A. (1961), Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds

number, J. Fluid Mech., Vol. 10, 345-356. • Schlichting, H. (1979), Boundary-Layer Theory, 7th Edition, McGraw-Hill. • Shah, R. K. & London, A. K. (1978), Laminar flow forced convection in ducts, Advances

in Heat Transfer, Academic Press. • Thom, A. (1933), The flow past cylinders at low speeds, Proceedings of the Royal Society

(London), Vol. A141, 651-669. • VDI Värmeatlas (1994), VDI Verlag. • Williamson, C. H. K. (1996), Vortex dynamics in the cylinder wake, Annual Review of

Fluid Mechanics, Vol. 28, 477-539. • White, F. M. (2003), Fluid Mechanics, 5th Edition, McGraw-Hill. • Young, D. F., Munson, B. R. & Okiishi, T. H. (2004), A Brief Introduction to Fluid

Mechanics, 3rd Edition, John Wiley & Sons, Inc..

110

Tabell A1. Fysikaliska data för vatten och luft Medium Temp.

T [°C]

Värmekapac. cp [J/kg K]

Densitet ρ [kg/m3]

Värmekon-duktivitet, λ [W/m K]

Dynamisk viskositet, µ [Pa s]⋅106

Termisk diffusivitet [m2/s] ⋅106

Prandtls tal Pr = µcp/λ

Vatten 0 4219 999.84 0.561 1791 0.133 13.5 Vätska vid 5 4205 1000.0 0.571 1518 0.136 11.2 p = 1 atm 10 4195 999.7 0.580 1306 0.138 9.44 (101.325 kPa) 15 4188 999.1 0.589 1138 0.141 8.08 20 4184 998.2 0.598 1002 0.143 7.00 25 4181 997.0 0.607 890.1 0.146 6.13 30 4180 995.6 0.616 797.4 0.148 5.42 35 4179 994.0 0.623 719.3 0.150 4.82 40 4179 992.2 0.631 653.0 0.152 4.33 45 4180 990.2 0.637 596.1 0.154 3.91 50 4181 988.0 0.644 546.8 0.156 3.55 55 4183 985.7 0.649 504.0 0.158 3.25 60 4185 983.2 0.654 466.4 0.159 2.98 70 4190 977.8 0.667 403.9 0.162 2.55 80 4197 971.8 0.670 354.4 0.164 2.22 M = 18.016 90 4205 965.3 0.675 314.4 0.166 1.96 kg/kmol 100 4216 958.4 0.679 281.7 0.168 1.75 Vatten 0.01 1884 0.00486 0.0171 9.22 1866 1.017 mättad ånga 20 1906 0.01731 0.0182 9.73 552 1.017 40 1931 0.05124 0.0196 10.3 198 1.016 R = 461.5 60 1965 0.1304 0.0212 10.9 82.7 1.014 J/(kgK) 80 2012 0.2937 0.0230 11.6 38.9 1.014 100 2080 0.5982 0.0251 12.3 20.2 1.017 Källa: NIST 12, Version 5.2 (J. Phys. Chem. Ref. Data, 13(1):175-183, 1984 samt 31(2):387-535, 2002) Medium Temp.

T [°C]

Värmekapac. cp [J/kg K]

Densitet ρ [kg/m3]

Värmekon-duktivitet, λ [W/m K]

Dynamisk viskositet, µ [Pa s]⋅106

Termisk diffusivitet [m2/s] ⋅106

Prandtls tal Pr = µcp/λ

Luft (torr) −100 1009 2.019 0.0162 11.8 7.95 0.734 −80 1007 1.808 0.0179 12.9 9.84 0.728 p = 100 kPa −40 1006 1.496 0.0212 15.2 14.1 0.718 −20 1006 1.377 0.0228 16.2 16.5 0.714 −10 1006 1.324 0.0236 16.7 17.7 0.713 0 1006 1.276 0.0244 17.2 19.0 0.711 10 1006 1.231 0.0251 17.7 20.3 0.710 20 1006 1.189 0.0259 18.2 21.6 0.708 30 1007 1.149 0.0266 18.7 23.0 0.707 M = 28.96 40 1007 1.112 0.0274 19.2 24.4 0.706 kg/kmol 60 1008 1.046 0.0288 20.1 27.3 0.704 R = 287.0 80 1010 0.986 0.0302 21.0 30.4 0.702 J/(kgK) 100 1012 0.933 0.0316 21.9 33.5 0.700 140 1016 0.843 0.0343 23.6 40.1 0.699 200 1025 0.736 0.0382 26.0 50.7 0.698 300 1045 0.608 0.0444 29.8 70.0 0.702 400 1069 0.517 0.0502 33.3 90.9 0.708 500 1093 0.450 0.0558 36.5 113 0.715 600 1115 0.399 0.0611 39.6 138 0.722 700 1136 0.358 0.0663 42.5 163 0.728 800 1154 0.324 0.0714 45.3 190 0.733 900 1171 0.297 0.0763 48.0 220 0.737 1000 1185 0.274 0.0811 50.6 250 0.740 OBS: 106 i tabellhuvudet innebär att tabellerade värden är multiplicerade med 106. Ex: Dynamisk viskositet för torr luft vid 20 C: Pa s. 6101.18 −×=µ

111

Tabell A2. Mättnadsdata för vatten T p vf vg hf hg sf sg

°C kPa m3/kg m3/kg kJ/kg kJ/kg kJ/kg K kJ/kg K 0.01 0.6117 0.001000 206.00 0.0006 2500.9 0.0000 9.1556 5 0.8725 0.001000 147.03 21.020 2510.1 0.0763 9.0249 6.97 1.0000 0.001000 129.19 29.303 2513.7 0.1059 8.9749 10 1.2281 0.001000 106.32 42.022 2519.2 0.1511 8.8999 13.02 1.5000 0.001001 87.964 54.688 2524.7 0.1956 8.8270 15 1.7057 0.001001 77.885 62.982 2528.3 0.2245 8.7803 17.50 2.0000 0.001001 66.990 73.433 2532.9 0.2606 8.7227 20 2.3392 0.001002 57.762 83.915 2537.4 0.2965 8.6661 25 3.1698 0.001003 43.340 104.83 2546.5 0.3672 8.5567 30 4.2469 0.001004 32.879 125.74 2555.6 0.4368 8.4520 35 5.6291 0.001006 25.205 146.64 2564.6 0.5051 8.3517 40 7.3851 0.001008 19.515 167.53 2573.5 0.5724 8.2556 45 9.5953 0.001010 15.251 188.44 2582.4 0.6386 8.1633 50 12.352 0.001012 12.026 209.34 2591.3 0.7038 8.0748 55 15.763 0.001015 9.5639 230.26 2600.1 0.7680 7.9898 60 19.947 0.001017 7.6670 251.18 2608.8 0.8313 7.9082 65 25.043 0.001020 6.1935 272.12 2617.5 0.8937 7.8296 70 31.202 0.001023 5.0396 293.07 2626.1 0.9551 7.7540 75 38.597 0.001026 4.1291 314.03 2634.6 1.0158 7.6812 80 47.416 0.001029 3.4053 335.02 2643.0 1.0756 7.6111 85 57.868 0.001032 2.8261 356.02 2651.4 1.1346 7.5435 90 70.183 0.001036 2.3593 377.04 2659.6 1.1929 7.4782 95 84.609 0.001040 1.9808 398.09 2667.6 1.2504 7.4151 99.97 101.325 0.001043 1.6734 419.06 2675.6 1.3069 7.3545 100 101.42 0.001043 1.6720 419.17 2675.6 1.3072 7.3542 110 143.38 0.001052 1.2094 461.42 2691.1 1.4188 7.2382 150 476.16 0.001091 0.39248 632.18 2745.9 1.8418 6.8371 200 1554.9 0.001157 0.12721 852.26 2792.0 2.3305 6.4302 250 3976.2 0.001252 0.050085 1085.7 2801.0 2.7933 6.0721 300 8587.9 0.001404 0.021659 1344.8 2749.6 3.2548 5.7059 374 22064 0.003106 0.003106 2084.3 2084.3 4.4070 4.4070 Data från Y. A. Çengel & M. Boles, Thermodynamics – An Engineering Approach, Fifth Edition in SI Units, McGraw-Hill, 2006.

Tabell A3. Ämnesdata för några vätskor vid 1 atm, 20oC Vätska Kemisk formel Densitet, ρ

[kg/m3] Ytspänning, σ §

[N/m] Viskositet, µ

[Pa s] C **

[-] Etanol C2H5OH 789 2.28E-02 1.20E-04 5.7 Metanol CH3OH 791 2.25E-02 5.98E-04 4.6 Koltetraklorid CCl4 1590 2.70E-02 9.58E-04 4.4 Vatten H2O 998 7.28E-02 1.00E-03 7.2 Saltvatten 3.5% - 1025 7.3E-02 1.07E-03 7.3 Kvicksilver Hg 13550 4.84E-01 1.56E-03 1.1 SAE 10W-30* - 870 - 1.20E-01 12 Glycerin C3H8O3 1260 6.33E-02 1.49E+00 28 Data från F. M. White, Fluid Mechanics, 5th Edition, McGraw-Hill, 2003, m.fl. §I kontakt med luft. *Typiska värden.

**Viskositetens temperaturberoende approximativt enligt [ ]

−

≈

°1

K293exp

20 TC

Cµµ .

113

114

Sakregister acceleration 6, 34 gränsskiktstjocklek 88 anfallsvinkel 91 Arkimedes princip 30 Haalands formel 100 avlösning 81-83, 92 Hagen-Poiseuille-strömning 39 hastighetsvektor 5, 42 Bernoulli, Daniel 44 hydraulisk diameter 96 Bernoullis ekvation 41-45, 54 hydrostatisk kraft 28 Bernoullis utvidgade ekvation 93-94 hydrostatisk tryckfördelning 22 Buckinghams pi-teorem 73 höjdtryck (piezometriskt tryck) 44 cartesiskt koordinatsystem 5 icke-newtonsk fluid 11 Couette-strömning 38 ideal gas 7, 16 ideala gaslagen 4, 7 deformationshastighet 9 impulsekvationen 63 densitet, 4, 7, 8, 111, 113 impulsmoment 72 deviationsmoment 29, 30 infästningskraft 66-68 dimensionsanalys 73-75 inkompressibel strömning 17, 34 dimensionshomogenitet 4 inloppssträcka 97, 105 drag crisis 86 intensiv (massoberoende) storhet dynamisk viskositet 9, 10 dynamiskt tryck 44 kavitation 8, 55 kinematisk viskositet 10, 11 energiekvationen 93 kommunicerande kärl 24 engångsförluster 97, 101 kompressibel strömning 17 Eulers tal 77 kontinuitetsekvationen 33, 34, 61, 63 extensiv (massberoende) storhet 57 kontinuumshypotesen 3 kontraktionskoefficient 49 fluid 3 kontrollvolym (öppet system) 57 fluidelement (fluidpartikel) 3, 8, 19, 41 kordalinje 91 flytkraft 30 korrektionsfaktor för impulsflöde 64 formmotstånd 84 korrektionsfaktor för kinetisk energi 94, 95 fri stråle 68 kritiskt Reynolds tal 12, 15 fri vätskeyta 21 kvasistationär strömning 51 friktionsfaktor 97-100 kvicksilver 27, 113 friktionsfri strömning 15, 41, 83 Froudes tal 77 laminär strömning 11-12, 81, 94, 98, 106 likformighet 73, 75 gaskonstant 7 linjär impuls (rörelsemängd) 63 Gauss sats 30, 62 ljudhastighet 16, 17 gravitation (tyngdacceleration) 20, 76 luft (fysikaliska data) 9, 10, 11, 111 grundenhet 4 lyftkraft 76, 91 gränsskikt 15, 82-85, 88, 89 lyftkraftskoefficient 80, 92

115

Mach, Ernst 17 stråklinje 8 Machs tal (machtal) 16, 76, 87 strömlinje 8, 41 Magnuseffekt 88 strömningsmotstånd 79 manometri, manometer 24-27 system (slutet system) 57 massflöde 14 materiell derivata 5, 6, 59 tekniskt arbete 93 medelhastighet 13, 14 Torricellis teorem 49 medelkorda 92 tryck 7, 19 motståndskoefficient 75, 80 tryckcentrum 29 tryckförlust 93, 97 Navier, Claude L. M.-H. 40 tryckgradient 20 Navier-Stokes ekvationer 34, 35 tryckkoefficient 82 Newtons andra lag 3, 41, 63, 87 tröghetskraft 76, 81 Newtons tredje lag 65 tröghetsmoment 29, 30 Newtonsk fluid 9 turbulent strömning 7, 11, 12, 81, 94, 98 no-slip 13 utloppsförlust 103 partikelbana 8, 41 utströmningskoefficient 54 Pascals lag 7, 19 vak 82 Peltonturbin 71 vatten (fysikaliska data) 8, 10, 11, 111, 113 Pitotrör 52 Webers tal 77 Prandtl, Ludwig 16 vena contracta 49 primär dimension 3, 73 Venturimeter 53 virvelavkastning 82 reaktionskraft 65 volymflöde 13 Reynolds likformighetslag 75, 80 volymitet 7, 113 Reynolds tal 11-12, 36, 39, 81, 94, 98, 106 von Kármáns virvelgata 81, 82 Reynolds transportteorem 57 Reynolds, Osborne 12 ytskrovlighet (ytråhet) 88, 97-100 rörströmning 93 ytspänning 76, 77, 113 skjuvspänning (viskös) 9 återanläggning 84 specifik tyngd 21 stagnationspunkt 47, 48, 83 stagnationstryck 48 standardatmosfär 23 stationär strömning 7, 41, 51 statiskt tryck 44 Stokes, George Gabriel 40 Strouhals tal 86 strypfläns, strypbricka 54