Grundlegende Prinzipien der astronomischen Interferometrie · Γ(r1,r2,t1,t2) =:Γ12(τ) (3.13) Die Kohärenzfunktion hängt von der absoluten Feldstärke ab. Eine auf die Intensität

SS 2001 Interferometrie in der Astronomie

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3 Grundlegende Prinzipien der astronomischen Interferometrie

3.1 Fortpflanzung monochromatischer elektromagnetischer Wellen

3.1.1 Helmholtz-GleichungWir betrachten elektromagnetische Strahlung im Rahmen einer skalaren Theorie, d. h. Felder werden durch eine reelle, skalareGröße ),(ˆ trV als Funktion des Ortes r und der Zeit t beschrieben. Damit kann z. B. die Amplitude einer Vektorkomponentedes elektrischen Feldes dargestellt werden (d. h. ein Polarisationszustand), aber Kopplungen zwischen Polarisationszuständenkönnen nicht betrachtet werden. Dies ist zum prinzipiellen Verständnis der interferometrischen Methoden auch nicht nötig.Des weiteren betrachten wir die analytische Fortsetzung ),( trV der reellen Funktion ),(ˆ trV , die i. A. eine komplexwertigeForm ist. Der Grund ist, daß die Behandlung linearer Transformationen mit analytischen Funktionen wesentlich leichter ist.Monochromatische Wellenfunktionen sind solche, in denen der ortsabhängige und zeitabhängige Anteil in folgender Weise se-parierbar ist: [ ]tjrUtrV ωω −= exp)(),( (3.1)Die zeitunabhängige Wellenfunktion Uω( r) erfüllt dann die zeitunabhängige Wellengleichung (Helmholtz-Gleichung)

λπω

ω2;0)()( 22 ===+∇

ckrUk (3.2)

Die Lösung der Helmholtz-Gleichung beschreibt die Fortpflanzung der Wellen.

3.1.2 Huyghens-Fresnel'sches PrinzipEin populärer Ansatz zur Lösung von (3.2) besteht in dem Huyghens-Fresnel`schen Prinzip. Es besagt, daß man jeden Punkteiner Wellenfront als Ausgangspunkt einer sphärischen Sekundärwelle ansehen kann. Die Form der Wellenfront zu einemspäteren Zeitpunkt ergibt sich dann aus der Einhüllenden der Sekundärwellen. Dieses Prinzip ist von Kirchhoff auf ein mathe-matisches Fundament gebracht, und von Fresnel wesentlich verbessert worden, mit dem Resultat:


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dsrjr

rUj

rU o ∫∫∑

= )(2exp1)(1)( 1 ϑχ

λπ

λ ωω (Kirchhoff-Fresnel-Integral) (3.3)

Dabei sei die Wellenfunktion )( 1rUω auf der Fläche Σ als bekannt vorausgesetzt. ϑ ist der Winkel, den der Verbindungsvek-tor 1rro − mit der Normalen zur Wellenfront macht. Der Inklinationsfaktor )(ϑχ sorgt dafür, daß die Hauptausbreitungsrich-tung der Wellen erhalten bleibt; es gilt generell: 1)(0 ≤≤ ϑχ , 1)0( =χ .

Die Gleichung (3.3) gilt nur für λ << r ; dies ist in aller Regel der Fall. Der Term

λπ rj

r2exp1 stellt eine Kugelwelle dar, und

sonst entspricht das Integral der direkten Umsetzung des Huyghens`schen Prinzips, mit Ausnahme des Faktors )(ϑχ .Das Huyghens-Fresnelsche Prinzip beschreibt die Fortpflanzung monochromatischer Wellen im folgenden, und kann auf ein-fache Weise auf nicht-monochromatische Wellen erweitert werden (Lit.: Born & Wolf, § 8.2 und 8.3).

3.2 Die Fortpflanzung nicht - monochromatischer WellenEine beliebige, skalare Wellenfunktion läßt sich in monochromatische Komponenten (Spektralkomponenten) zerlegen:

[ ] ωωπ ω

οdtjrUtrV −= ∫

∞exp)(1),( (3.4)

Nun läßt sich das H.F.P. in Gleichung (3.4) für die einzelnen Komponenten )(rUω verwenden:

[ ] ωωϑχλ

πλπ ω dtjdsrj

rrU

jtrV

oo −

∑

= ∫∫∫

∞exp)(2exp1)(11),( 1 (3.5)

Wir ersetzen ωπ

νλ cc 2== und vertauschen die Integrale. Damit ergibt sich:


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sddcrtjrUj

cr

dsdcrtjrUj

crtrV

o

oo

∫∫ ∫

∫∫ ∫

∑

∑∞

∞

−−−=

−−−=

ωωωπ

ϑχ

ωωωωπ

ϑχ

ω

ω

exp)()(2

)(

exp)()(2

)(),(

12

12

(3.6)

Wenn man nun (3.4) nach t partiell ableitet, erhält man:

[ ] ωωωπ∂

∂ω dtjrUjtrV

t o∫∞

−−= exp)()(1),( (3.7)

Man kann also das innere Integral in (3.5) durch eine Ableitung des Feldes ersetzen:

∫∫∑

−= ds

crcrtrV

ttrV

πϑχ

∂∂

2)(,),( 10 (3.8)

Hiermit haben wir die allgemeine Beschreibung des zeitabhängigen Feldes am Ort 0r durch das Feld auf der Fläche Σ.Ein in der Praxis bedeutender Fall ergibt sich, wenn die Strahlung spektral schmalbandig ist, d. h. die Breite der spektralenVerteilung ∆ω klein ist gegen die mittlere Kreisfrequenz ϖ : ∆ω ϖ<< . Man kann dann den Faktor (-jω) im inneren Integral in(3.6) vor das Integral ziehen, und durch den Mittelwert (-jϖ) ersetzen:

∫∫ ∫∑

∞

−−= dsd

crtjrU

jcrtrV o ωω

πϖϑχ

ω0

12 exp)(2

)(),( (3.9)


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Das innere Integral ist nach Gl. (3.4) gerade

−

crtrV ,1 , so dass gilt:

∫∫∑

−= ds

crtrV

rjtrV o )(,1),( 1 ϑχ

λ(3.10)

Dabei ist ωπλ c2= die mittlere Wellenlänge der spektral schmalbandigen Strahlung. Gleichung (3.10) basiert auf dem H.F.P.und gilt daher nur für r >> λ. Es wird die Grundlage über unsere weiteren Betrachtungen über Kohärenz bilden.

3.3 Kohärenz

3.3.1 Kohärenzfunktion und komplexer KohärenzgradDie in diesem Kapitel verwendete Nomenklatur und Bezeichnungen entsprechen der Beschreibung der Kohärenz in J. W.Goodman, Statistical Optics (s. Literaturliste). Die dort verwendeten englischen Begriffe sind kursiv aufgeführt.

Kohärenzfunktionen beschreiben die Statistik 2. Ordnung (d. h. die Verteilung von Produkten mit zwei Faktoren) von e.m.Wellenfunktionen ),( trV . Sie spielen in der Beschreibung der e.m. Wellen deswegen eine große Rolle, weil die meisten De-tektoren auf die Intensität, d. h., des Betragsquadrates der komplexen Wellenfunktion gemittelt über einen Zeitraum, der sehrlang im Vergleich zu der zeitlichen Schwingungsperiode ist, messen können. Betrachten wir die Superposition zweier e.m.Wellen ),(1 trV und ),(2 trV an einem Punkt im Raum, so ergibt sich:


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( )( )

),(),(Re2),(),(

),(),(Re2),(),(

),(),(Re2),(),(

),(),(),(),(

),(),(),(

*2121

*21

22

21

*21

22

21

*2

*121

221

trVtrVtrItrI

trVtrVtrVtrV

trVtrVtrVtrV

trVtrVtrVtrV

trItrVtrV

++=

++=

++=

++=

==+

(3.11)

Die eckigen Klammern sollen einen Mittelwert beschreiben, idealerweise ein ergodisches Mittel, in der Praxis aber durch die(zeitliche) „Trägheit“ des Detektors gegeben. Die Funktion Re... ergibt den Realteil einer komplexen Zahl.

In aller Regel werden die beiden Felder V1, V2 unkorreliert sein, was bedeutet, daß der Mittelwert ),(),( *21 trVtrV ver-

schwindet. Dann ist die gemessene Intensität gerade die Summe der Intensitäten der Einzelfelder. Der interessantere Fall istaber, wenn *

21VV nicht verschwindet.

Für uns ist der Fall interessant, für welchen die komplexe Amplitude V des Feldes einer (einzigen) Quelle mit sich selbst, anverschiedenen Orten 21 und rr , und zu verschiedenen Zeiten t1 und t2 , verglichen wird. Das heißt, wir betrachten:

),(),( 111 trVtrV = sowie

),(),( 222 trVtrV =

Der Mittelwert


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),(),(:),,,( 22*

112121 trVtrVttrr ⋅=Γ (3.12)

heißt „Gegenseitige Kohärenzfunktion“ (mutual intensity) des Feldes V. Man nimmt im allgemeinen an, daß das Feld V „imweiteren Sinne zeitlich stationär“ ist, was bedeutet, daß die Statistik 2. Ordnung nur von der zeitlichen Differenz t1 – t2 ab-hängt, und nicht von der Wahl des Zeitpunktes, zu welchem man die Kohärenzfunktion mißt. Damit wird Γ nur noch von τ =t1 – t2 abhängen, und man schreibt zur Abkürzung:

)(:),,,( 122121 τΓ=Γ ttrr (3.13)

Die Kohärenzfunktion hängt von der absoluten Feldstärke ab. Eine auf die Intensität normierte Version von )(12 τΓ ist derkomplexe Kohärenzgrad (complex degree of coherence):

[ ] 2/12211

1212

)0()0(

)(:)(

Γ⋅Γ

Γ=

ττγ (3.14)

Wir werden später sehen, daß )(12 τγ zur Beschreibung der strukturellen Information über eine astronomische Quelle vollstän-dig ausreicht.

3.3.2 Zeitliche KohärenzMan unterscheidet klassisch die zeitliche Kohärenz und die räumliche Kohärenz. Bei der zeitlichen Kohärenz vergleichtman das Feld V an einem Ort r , aber zu verschiedenen Zeitpunkten. Dementsprechend heißt Γ11(τ) die „Selbst-Kohärenzfunktion“ (self coherence) und )(11 τγ der „komplexe Grad der Selbst-Kohärenz“ (complex degree of self cohe-rence). Zeitliche Kohärenz läßt sich gut mit einem Michelson-Interferometer messen, sie hängt von der spektralen Zusammen-setzung des Lichtes ab. Diese läßt sich dsher aus der Messung von )(11 τγ bestimmen (Fourier-Transform-Spektroskopie). Füruns ist wesentlich, daß man eine Kohärenzzeit τc des Feldes V aus dem komplexen Selbstkohärenzgrad bestimmen kann:

∫∞

∞−= ττγτ dc

211 )(: (3.15)


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Ist die spektrale Bandbreite der Quelle relativ schmal (∆ω << ϖ), so gilt:

ωπτ

∆≈ 2

c (3.16)

Abbildung 3-1: Links: zur räumlichen (1 - 2R) und zeitlichen (1 - 2Z) Kohärenz. Rechts: Michelson-Interferometer.

3.3.3 Räumliche KohärenzDie „räumliche Kohärenz“ ist für uns viel interessanter. Hier wird das Feld mit sich selbst an verschiedenen Orten 21, rr , aberzu nahezu gleichen Zeitpunkten miteinander verglichen. Ein einfaches Beispiel ist das Young`sche Doppelspalt-Experiment:Ein Schirm S mit zwei Öffnungen schneidet aus einer Wellenfront zwei Portionen heraus, die sich ein Stück weiter weg über-lagern und interferieren können. Nun hängt das Resultat dieses Interferenzexperiments nicht allein von den räumlichen, son-dern auch von den zeitlichen Eigenschaften von )(12 τΓ ab, da der Lichtweg von der Quelle über die Löcher 1 und 2 unter-

1

2R

2Z

S2

S1

1

2


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schiedlich lang sein kann. Wir wollen nun annehmen, daß die spektrale Bandweite der Quelle so schmal ist (bzw. τc so lang),daß zeitliche Kohärenz keine Rolle spielt. Dies bedeutet, daß

[ ])(exp)0()exp()0()()( 11222

12121222111 lllljjllll cc

−′−+′−=−=⇒<<−′−+′=λπγωτγτγττ (3.17)

Eine derartige Bedingung, nämlich daß alle relevanten Laufzeitunterschiede klein gegen die Kohärenzzeit ist, nennt man qua-simonochromatische Bedingung.

Abbildung 3-2: zum Doppelspalt-Experiment und zur räumlichen Kohärenz.

Wir nehmen der Einfachheit halber an, daß der Abstand ∆ der beiden Löcher groß sei gegen deren Durchmesser, und daß wirdie Intensitätsverteilung auf einer Ebene im Abstand Z zum Schirm S beobachten, wobei Z >> ∆. Wir nehmen die Feldampli-tuden ),( 1 trV und ),( 2 trV als konstant über die Öffnungen an. Das Feld ),( txV am Ort P der Beobachtungen läßt sich durcheine Kombination der Amplituden an den Orten 21, rr beschreiben:

zSQuelle

∆

2r

1r

l'1

l'2l2

l1 P


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−−+

−−=

crx

trVkc

rxtrVktxV 2

221

11 ,,),( (3.18)

Die Faktoren k1 und k2 beinhalten im wesentlichen den Kehrwert der Abstände von den Löchern zum Aufpunkt x . Nehmenwir an, daß der Abstand von x von der Symmetrieebene immer sehr klein gegen z ist, so ist ungefähr 21 kk ≅ .Dann ist die Intensität )(xI :

−

−

+

−+

−==

−−

−−

crx

crx

crx

crx

trVtrVkk

trVktrVktxVxI

21

21

,,Re2

,,),()(

2*

1*21

2

22

2

2

12

12

Nun seien 2

12

111,)(

−=

−c

rxtrVkxI und

2

22

222,)(

−=

−crx

trVkxI die durch die Löcher 1 und 2 verursach-

ten, individuellen Intensitäten. Mit der Definition (3.12) und (3.13) der Kohärenzfunktion erhalten wir:

)(,, 12*212

*121

21 τΓ=

−

− −−∗ kktrVtrVkk c

rxcrx (3.19)


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mit )( 121 rxrxc −−−=τ als Unterschied der Weglängen von xrxr zuundzu 21 . Ein Vergleich mit Gl. (3.10) zeigt, daß wir

k1 und k2 auch darstellen können mit 2

22

1

11

)(,

)(rxj

krxj

k−

=−

=λ

ϑχλ

ϑχ. Wir wählen die Dimensionen des Experiments so, daß

2,1ϑ klein bleibt, und somit 1)( 2,1 ≅ϑχ gilt. Nun ist aber 212121

*21

1111 kkrxrxrxjrxj

kk ⋅=−

⋅−

=−

−⋅−

=λλλλ

,

so daß wir in (3.19) den Term Γ12 (τ) ersetzen können durch den Term )(12 τγ ; siehe Gl. (3.14):

)()()(

)()0()0(

)()0()0()(

1221

12222

2112

1

1222112112*21

τγ

τγ

τγτ

⋅⋅=

⋅Γ⋅Γ=

ΓΓ=Γ

xIxI

kk

kkkk

Damit erhalten wir schließlich:

)(Re)()(2)()()( 122121 τγxIxIxIxIxI ⋅++= (3.20)

Mit der quasimonochromatischen Bedingung ist nun aber )0()( 1212 γτγ ≅ gl. Gl. (3.17). Die Intensitätsverteilung in der Be-obachtungsebene sagt also etwas über die „räumliche Kohärenz“ des die eiden Öffnungen 1 und 2 durchdringenden Feldesaus.

Man nennt die Größen:

(3.21)

Betrachten wir als

)0(1212 Γ=J gegenseitige Intensität (mu ual intensity))0(1212 γµ = komplexer Kohärenzfaktor (co plex coherence factor)

, vb

tm


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einfaches Beispiel den Fall, für den die Felder über den Öffnungen 1 und 2 monochromatisch und von gleicher Amplitudesind:

)(exp~),()(exp~),(

22

11rktjtrVrktjtrV

⋅−⋅−

ωω

Damit ergibt sich:

))((exp

))((exp

))((exp)(exp)(

21

21

2112

rrkj

rkrkttj

rktjrktj

−−=

⋅+⋅−−−=

⋅−−−⋅−=

τω

τωω

τωωτγ

Nunmehr hängt der Exponent nicht mehr von der Zeit t ab, und wir können die Mittelwertbildung weglassen:

))((exp)( 2112 rrkj −−= ωττγ

Somit ergibt sich ( ))()(cos)()(2)()()( 212121 rrkxxIxIxIxIxI −−⋅⋅++= ωτ und, wegen :1)()( 21 == xIxI

( )[ ])()(cos12)( 21 rrkxxI −−+= ωτ (3.22)

Man erhält also ein Intensitätsmuster in der Beobachtungsebene als Funktion des Ortes x . Bei geeignet gewählter Geometrie

ist )(xτ eine lineare Funktion einer Koordinatenkomponente, z. B. von x. Setzen wir zx=α , so ergibt sich näherungsweise

α⋅∆=∆+∆ 21 . Daraus folgt zcxdx

⋅⋅=)(τ und in (3.22) ergibt sich eine einfache Kosinusmodulation.


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3.4 Der Satz von van Cittert - Zernike

3.4.1 Propagation von KohärenzDer Kohärenzgrad einer e.m. Welle ist nicht für alle Orte und Zeiten gleich; er hängt von der Entfernung zur Quelle ab. Dasheißt, nicht nur die Lichtwelle pflanzt sich fort, sondern auch ihre statistischen Eigenschaften, und damit die Kohärenz, „pro-pagieren“. Wir wollen hier das Fortpflanzungsgesetz für Kohärenz kennenlernen und später auf eine bestimmte Klasse vonQuellen anwenden, nämlich auf „inkohärente Quellen“. Dazu verwenden wir das in Abschnitt 3.1 vorgestellte Huyghens-Fresnel`sche Prinzip.Das allgemeine Problem stellt sich wie folgt dar: Σ1 und Σ2 stellen zwei beliebige Flächen im Raum dar, welcher von Feld

)t,r(V durchdrungen wird. Sie seien so angeordnet, daß zuerst Σ1 von der Welle durchlaufen wird, und eine Zeit später Σ2. DerAbstand von Σ1 und Σ2 sei so groß, daß man zwischen beliebigen Punkten 21 und Σ∈Σ∈ xr das H.F.P. anwenden kann, ins-

z

α

∆2

∆1

x

d


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besondere sei 21),( Σ∈∀Σ∈∀−>> xrrxλ . Wir nehmen nun an, daß der komplexe Kohärenzgrad ),,( 21 τrrΓ auf derFläche Σ1 bekannt ist, und wir wollen nun den komplexen Kohärenzgrad ),,( 21 τxxΓ für zwei beliebige 221, Σ∈xx bestim-men.

Abbildung 3-3: zur Propagation von Kohärenz.

Wir können das Feld an den Orten 21 xundx mit der Gleichung (3.10) hinschreiben:

∫∫∑

−=

1

11

11

11 ,

)(),( σ

λϑχ

dcStrV

SjtxV , ∫∫

∑

−=

1

22

22

22 ,

)(),( σ

λϑχ

dc

StrV

SjtxV

111 rxS −=

1r

2r

1x

2x

1ϑ

2ϑ

222 rxS −=

1Σ2Σ


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Damit wird

212*

12

2

1

12

*121

1 1

21 ,,)()(

),(),(),,( σστλϑχ

λϑχ

ττ ddtrVtrVSS

txVtxVxx cS

cS∫∫ ∫∫

∑ ∑

−

−+=+=Γ

Hier kann man Integration und Mittelwertbildung vertauschen:

( ) 21211

212

2

1

1

212*

12

2

1

121

1 1

1 1

21

)(,,)()(

),(),()()(

),,(

σστλϑχ

λϑχ

σστλϑχ

λϑχ

τ

ddSSrrSS

ddtrVtrVSS

xx

c

cS

cS

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∑ ∑

∑ ∑

−−Γ=

−−+=Γ

(3.23)

Somit haben wir die Propagation des komplexen Kohärenzgrades beschrieben. Insbesondere gilt für die gegenseitige Intensität:

∫∫ ∫∫∑ ∑

Γ=Γ= −

1 1

122121

2

2

1

12121 ,,

)()()0,,(),( σσ

λϑχ

λϑχ

ddrrSS

xxxxJ cSS

Unter der Bedingung der Quasimonochromasie ist:

−−⋅=

−−Γ=Γ − )(2exp),()(2exp)0,,(),,( 1221122121

12 SSjrrJSSjrrrr cSS

λπ

λπ

Damit wird

∫∫ ∫∫∑ ∑

−−=

1 1

2112212

2

1

121 )(2exp),(

)()(),( σσ

λπ

λϑχ

λϑχ

ddSSjrrJSS

xxJ (3.24)


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3.4.2 Gegenseitige Intensität einer inkohärenten QuelleDer Fall, auf den wir die Gleichung (3.24) anwenden wollen, ist der einer inkohärenten Quelle. Dies ist eine Lichtquelle, beider verschiedene Punkte der Oberfläche völlig unkorrelierte Felder aussenden, d.h. für 21 rundr auf der leuchtenden Oberfläche,gilt: 1221 0),,( rrrr ≠∀≡Γ τ . Für die gegenseitige Intensität läßt sich dies mit Hilfe einer Dirac`schen Delta-Funktion

)(rδ schreiben:

)()(),( 2112

21 rrrIrrJ −= δπλ (3.25)

Für die Delta-Funktion gelten folgende Beziehungen:

∫∫∫∫

=−

=

≠=

=

)()()(

1)(

0wenn,00wenn,unbestimmt

)(

xfrdxrrf

rdr

rr

r

δ

δ

δ

(3.26)

Die Delta-Funktion hat die angenehme Eigenschaft, einen Funktionswert an einer bestimmten Stelle „herauszupicken“. Diesmachen wir uns im folgenden zunutze. Gleichung (3.25) in (3.24) eingesetzt, ergibt:

∫∫

∫∫ ∫∫

∑

∑ ∑

−−=

−−−=

1

1 1

112121

21

12122112

2

2

1

121

)(2exp)()()(1

)(2exp)()()()(

),(

σλπϑχϑχ

π

σσλπδ

πλ

λϑχ

λϑχ

dSSjrISS

ddSSjrrrISS

xxJ

(3.27)

Um von hier aus weiterzukommen, betrachten wir die folgende Geometrie (Abbg. 3-4).


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Abbildung 3-4: zum Satz von van Cittert - Zernike.

Für alle astronomischen Quellen ist der Abstand Z zum Beobachter immer sehr groß. Damit wird 221

111ZSS

≅⋅ . Zudem sind

alle Winkel ϑ klein, d. h., 1)()( 21 == ϑχϑχ . Nun wollen wir noch die Differenz S2 - S1 bestimmen. Dazu setzen wir:)0,,();,,( 111 ηξ== rzyxx iii . Es gilt

ZyxZS

ZyxZyxZrxS

2)()(

,2

)()()()(

212

212

22

112

11211

211

22111

ηζηζηξ −+−+≅

−+−+≅−+−+=−= (3.28)

2x

zx

η

ξ

1r

y1x

Quelle


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Damit ist die Differenz:

[ ][ ]

( )( )11211221

21

22

22

1111121221

21

22

22

211

211

212

21212

)()(2)()(21

2222)()(21

)()()()(21

ηζ

ηζηζ

ηζηζ

yyxxyxyxZ

yxyxyxyxZ

yxyxZ

SS

−+−−+−+=

++−−+−+=

−−−−−+−=−

(3.29)

Nun ersetzen wir Koordinaten:

2111

1212 ),,(,,),,(,,z

dd

zzyxyyyxxx

σϑδαϑ

ηδ

ςα ====∆∆=∆−=∆−=∆ (3.30)

Damit wird aus Gleichung (3.27):

( )

2111

1

21

21

22

22

21

1121

21

22

221

112121

2121

1

1

1

2exp)()()(

exp1

)(2)()(22exp)(1

)(2exp)()()(1),(

z

dz

yz

xjrIz

yxyxj

z

dyxyxyx

zjrI

dSSjrISS

xxJ

σηζλπ

λπ

π

σηζ

λπ

π

σλπϑχϑχ

π

∫∫

∫∫

∫∫

∑

∑

∑

∆+⋅∆⋅⋅

+−+−=

⋅∆+⋅∆−+−+−=

−−

⋅⋅

=

(3.31)

Der Exponentialterm vor dem Integral ist praktisch 1, wovon wir uns wie folgt vergewissern: In den Term)()( 2

121

22

22 yxyx +−+ gehen nur die Koordinaten von Punkten in der Eintrittsöffnung quadratisch ein; und es ist sicherlich:


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2221

21

22

22 )()( ∆=∆≤+−+ yxyx (3.32)

Der Exponentialterm wird dann

∆⋅∆−

Zj

λπexp .

Z∆ ist der Winkel, unter dem die Eintrittsöffnungen von der Quelle aus er-

scheint – dieser Winkel ist sicherlich sehr, sehr klein. ∆λ ist ungefähr die Winkelauflösung des Instruments. Dieser Winkel ist

viel größer, und somit ist Z⋅<<∆ λ2 . Damit ist der Exponentialterm ungefähr gleich 1. Wir erhalten durch Einsetzen von(3.30) in (3.31):

( )

∫∫

∫∫

∑

∑

−

−=

∆+⋅∆=

1

1

21

21

2exp)(1

2exp)(1),(

ϑλ

ϑπϑπ

ϑδαλπϑ

π

dxxjI

dyxjIxxJ

(3.33)

Dies ist der Satz von van Cittert - Zernike. Der Satz besagt damit, dass die gegenseitige Intensität an zwei Orten 21, xx ,welche den Grad der räumliche Kohärenz einer Quelle I misst, sich aus der Fouriertransformierten der Winkelverteilung derIntensität bei der Winkelfrequenz λ/)( 21 xx − ergibt.

Das Integral erstreckt sich zunächst über das Objekt )(ϑI . Erweitern wir die Grenzen der Integration in das als "leer" ange-nommene Unendliche, so stellt (3.33) eine Fourier-Transformation dar. Konjugierte Koordinaten sind die zweidimensionalenWinkel ϑ , der einen Punkt im Objekt beschreibt, sowie die dimensionslose Größe λ/)( 21 xx − , die Koordinaten in der Ein-trittsöffnung beschreibt.


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Die gegenseitige Intensität )( 21 xxJ − ist offensichtlich eine stationäre Funktion, d. h.:

)(),( 2121 xxJxxJ −= (3.34)

Wenn wir absolute Helligkeiten außer Betracht lassen, so reicht zur Beschreibung der Struktur eines Objektes der komplexe

Kohärenzfaktor µ völlig aus. Wir betrachten daher in Zukunft die Intensität )(ϑI normiert auf den Fluß ∫∫∑

Ω

1

)(1 dI ϑπ

, und

erhalten dann:

∫∫

∆⋅−=∆ ϑϑ

λπ

ϑµ dj

I ˆ2

exp)()( (3.35)


IA_03.doc Seite 3-20 19.06.01

3.4.3 Beispiele für den Satz von van Cittert - Zernike

3.4.3.1 DoppelquelleDie Intensitätsverteilung zweier unaufgelöster Sterne im Winkelabstand 0ϑ und den Intensitäten I1 und I2 ist gegeben mit

( ) )2()2( 21 οο ϑϑδϑϑδϑ +⋅+−⋅= IIIDamit wird der komplexe Kohärenzfaktor bei der Basislänge ∆ zwischen den beiden Teleskopen

∆+

∆−

+=∆ οο ϑ

λπϑ

λπµ jIjI

IIexpexp1)( 21

21Sind die beiden Intensitäten der Sterne gleich groß, so gilt 21 II = und man erhält

λϑπ

ϑλπϑ

λπµ

ο

οο

∆=

∆+

∆−=∆

cos

expexp21)( jj

3.4.3.2 Gleichmäßig beleuchtete Scheibe (aufgelöster Stern)Die Intensitätsverteilung bei einem aufgelösten Stern läßt sich näherungsweise durch eine gleichmäßig helle, kreisförmigeScheibe mit scheinbarem Durchmesser 0ϑ darstellen:

)()( 0ϑϑϑ Π=IDamit ergibt sich der komplexe Kohärenzfaktor zu

( )1

11)(

−

−

∆

∆=∆

λϑ

λϑµ

ο

οJ


IA_03.doc Seite 3-21 19.06.01

Die gleichförmig helle Scheibe stellt die erste Näherung für die interferometrische Bestimmung von Sterndurchmessern dar.Sie wird dann herangezogen, wenn die Basislängen zu kurz sind, um jenseits der ersten Nullstelle zu messen.

3.4.3.3 Sternscheibe mit Mitte-Rand - VariationSterne zeigen eine Mitte-Rand - Variation (MRV) der Heligkeit, wenn sie einen Temperaturgradienten in der Atmosphäre auf-weisen. Die Intensität wird damit eine Funktion des Radius ρ auf der Scheibe. Aufgrund von Modellen des Strahlungstrans-ports in einer Atmosphäre ergibt sich typischerweise der folgende Verlauf:

βρβρ

+−+=

111)(

2I

Der Parameter hängt β vom Temperaturgradienten in der Sternatmosphäre ab. Die zweidimensionale Fouriertransformationläßt sich über eine eindimensionale FT berechnen:

( ) ( )

Π=∆=∆ ∫

−−− dyyxI

x2111 ),(2

οληλη

Die Fouriertransformation ist gegeben mit:

)Tairy()Airy()1()( 111 −−− ∆⋅+∆−=∆ λβλβλη ,wobei die Funktionen "Airy" und "Tairy" (third order Airy) gegeben sind mit:

31

111

1

11

)(

)cos()sin(3)Tairy(

)(2)Airy(

−

−−−

−

−

∆

∆∆⋅−∆=∆

∆

∆=∆

λπ

λπλπλπλπ

λπJ


IA_03.doc Seite 3-22 19.06.01

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Mitte-Rand - Variation

Normierter Radius

Inte

nsitä

t

0 2 4 6 8 103

2

1

0

b = 0b = 0.32b = 0.6b = 0.9

Kontrastfunktion eines Sterns mit MRV

Frequenz

log

Mu


IA_03.doc Seite 3-23 19.06.01

3.5 Bildentstehung und elementare Beugungstheorie

3.5.1 Optische Systeme als lineare SystemeOptische Systeme, wie astronomische Fernrohre, oder Mikroskope, Diaprojektoren etc. lassen sich oft mit sehr guter Näherungals lineare Systeme betrachten. Ein lineares System ist darstellbar mit einem Operator S[⋅] der eine „Eigenfunktion“ )(xf aufeine Bildfunktion )x(F abbildet, so daß gilt:

[ ][ ]

[ ] )'()'()()()()'()()'(

2121 xGcxFcxgcxfcSxgSxGxfSxF

+=+⇒==

(3.36)

Insbesondere gibt es eine „Systemantwort“ )'(xΡ , so daß:

xdxxxfxF ∫∫ −Ρ⋅= )'()()'( (3.37)

Bei einem astronomischen Teleskop kann man )(xF mit )(ϑI , also der Winkelverteilung der Objektintensität, identifizieren;

sowie )'(xF mit

efffxI - dies ist die Intensitätsverteilung im Fokus, dargestellt mit der linearen Skala x im Fokus dividiert

durch die effektive Brennweite feff des Teleskops am Ort des Detektors. Die Systemantwort P ist in diesem Falle die „Punkt-verbreitungsfunktion“, die abhängt von der Form und Ausdehnung der Eintrittsöffnung, der Wellenlänge des Lichtes sowie dendem System eigenen Aberrationen.

P( )xf ( )xF


IA_03.doc Seite 3-24 19.06.01

Die Beschreibung eines Teleskops als lineares System ist eine starke Idealisierung. Sie fordert Invarianz des Systems bezüglichder Koordinate ϑ ; d. h. P muß von der Richtung der Quelle unabhängig sein. Im allgemeinen gibt es jedoch richtungsabhän-gige Bildfehler, so daß der Zusammenhang zwischen )(xf und )'(xF nicht so einfach ist, wie im Faltungsintegral (3.37) dar-gestellt. Diese Eigenschaft, )',( xxΡ=Ρ , nennt man Anisoplanasie. Für unsere Belange ist die Anisoplanasie zunächst bedeu-tungslos, da die damit verbundenen Dimensionen groß gegen die Feinstrukturen in der Quelle sind. Bildfehler sind über Bo-genminuten konstant, während wir uns für Bogensekunden interessieren. Wir können P daher als „ideal konstant“ annehmen,und betrachten im folgenden OBDA ein kleines Gebiet um die optische Achse herum.Wir wollen nun den Zusammenhang (3.37) näher quantifizieren. Dazu betrachten wir nacheinander:• die Empfängerfläche, dargestellt durch eine Funktion )(rW , die überall dort gleich Eins ist, wo sich der Empfänger befin-

det (bzw. wo sich die Teleskopöffnung befindet), und außerhalb der Fläche gleich Null ist,• die Funktion des Objektivs (Abbg. 3-5). Dieses transformiert eine parallele Wellenfront idealerweise in eine konvergieren-

de, sphärische Wellenfront mit Krümmungsradius f. Die Phase der Wellenfront wird durch das Objektiv verzögert, undzwar um einen Betrag

2rff λ

πφ −=

Dies läßt sich durch den komplexen Faktor

− 2exp rf

jλπ beschreiben. Die Transmissionsfunktion )(rW und die Ob-

jektivfunktion werden zur Pupillenfunktion )(rP verbunden:

−= 2exp)()( r

fjrWrPλπ (3.38)

• Aberrationen der Optik. Diese lassen sich im Rahmen der hier getroffenen Annahmen als eine ortsabhängige Phasenver-zögerung Aφ darstellen, und führen zu einem weite-ren multiplikativen Exponentialfaktor Ajφexp . Der Einfachheit halberwird dieser mit in die Pupillentransmission )(rW einbezogen. Damit ist )(rW i. A. eine komplexe Funktion.


IA_03.doc

r

1r

2r

Seite 3-25 19.06.01

Abbildung 3-5: Geometrie einer Linse.

Abbildung 3-6: zur Geometrie der Beugung an einer Öffnung.

f

S1

z x

η

ξ y

x

S2


IA_03.doc Seite 3-26 19.06.01

3.5.2 Propagation monochromatischer elektromagnetischer Ferlder in paraxialer Näherung3.5.2.1 Paraxiale Näherung des Kirchhoff-Fresnel-IntegralsWir betrachten einige Vereinfachungen des Kirchhoff-Fresnel - Integrals (3.3) für den Fall der paraxialen Näherung, d. h. füreinen Fall, in welchem es eine ausgezeichnete Richtung der Wellenausbreitung - längs der z-Richtung in Abbg. 3-6 - gibt. Da-zu untersuchen wir die monochromatische Feldverteilung Uω in den zwei Ebenen (ζ,η) und (x,y) senkrecht zur Ausbreitungs-richtung. Unser Ziel ist es, eine vereinfachte Beschreibung des Feldes in der zweiten Ebene aus der als bekannt vorausgesetz-ten Feldverteilung in der ersten Ebene vorzunehmen. Dazu formulieren wir Gl. (3.3) um:

dsrjr

rUj

xU ∫∫∑

= )(2exp1)(1)( 1 ϑχ

λπ

λ ωω (3.39)

mit 1rxr −= . Wir setzen

=ης

ρ1 als Projektion von 1r auf die (ζ,η) - Ebene und

=yx

2ρ als Projektion von 2r auf die

(x,y) - Ebene.In der Paraxialen Näherung wird vorausgesetzt, daß alle Winkel von Strahlen zwischen den betrachteten Aufpunkten gegen-über der z-Richtung klein sind. Dies bedeutet:

( )

zr

z11

,,,1

21

≈

>>=

ρρϑχ

(3.40)

Wir berechnen zunächst z

zrzrxr2

2122

1222

12 ρρ

ρρ−

+≈⇒−+=−= uns setzen diews sowie (3.40) in (3.39) ein.

Damit erhalten wir


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[ ]1

212

12 22exp)(2exp)( ρ

ρρλπρ

λλπρ ωω d

zjU

zjzjU ∫∫

−= . (3.41)

Die Integration kann sich über die gesamte (ζ,η) - Ebene erstrecken, wenn man voraussetzt, daß die Amplitude ( )1ρωU außer-halb eines geeigneten Gebiets verschwindet.

Entwickeln wir 2112

22

212 2 ρρρρρρ +−=− , so erhalten wir

[ ]1

2121

1

22

2 2expexp)(exp2exp)( ρλρρπ

λρπ

ρλρπ

λλπρ ωω d

zj

zj

Uz

jzjzjU

−

= ∫∫ (3.42)

Eine nähere Inspektion von (3.42) läßt eine Fourier-Transformation zu einer Frequenz z

sλρ2= erkennen:

[ ]

zs

zj

Uz

jzjzjU

λρ

ωω λρπ

ρλρπ

λλπρ

2

21

1

22

2 exp)(exp2exp)(

=

−

= F (3.43)

Wir haben somit die paraxiale Propagation des Feldes auf eine Fourier-Transformation zurückgeführt.


IA_03.doc Seite 3-28 19.06.01

3.5.2.2 Operatoren und der Fresnel-PropagatorWir vereinfachen die Schreibweise der zur Beschreibung der Propagation erforderlichen mathematischen Operationen durchdie Einführung einer Operatorschreibweise1 wie folgt.

( ) ( )[ ] [ ]

( ) ( )ρρλπρ

ρρ

fajf

sff

aa

ss

≡

≡≡

≡+−−

2

1

exp: Operator -QPM

, Operator -Fourier

: Operator -sSkalierung

QQ

FFFF

VV

(3.44)

("QPM" steht für "Quadratischer Phasen-Multiplikator). Die Größen s bei Vs und a bei Qa sind als Parameter der Operatorenzu verstehen. Der QPM-Operator hat als quadratische Variable in der Exponentialfunktion immer die Variable der rechts vonihm stehenden Funktion.Mit Hilfe von (3.44) definieren wir den Fresnel-Propagator (Fresnel free space propagation operator):

[ ]( ) zzzz zj

zj111

2exp QFVQR λλλπ≡ . (3.45)

Hiermit können wir die Propagation (3.43) vereinfacht darstellen mit:

( ) ( ) [ ]( ) ( )111112

2exp ρλ

λπρρ ωλωω UzjzjUU zzzz

== QFVQR (3.46)

Wir haben damit die paraxiale Propagation des monochromatischen Feldes als Folge einiger einfacher mathematischer Opera-tionen dargestellt.Eine alternative Form des Fresnel-Propagators erhalten wir aus der paraxialen Formulierung des HFP in Gl. (3.41), indem wir

ausnutzen, daß sich die Integration dort als eine Faltung der terme )( 1ρωU und

zj

λρ

π2

2exp2

1 darstellt. Mit Hilfe der Re-

1 Nazarathy, M; Shamir, J. (1980) J. Opt. Soc. Am. 70,2 150-159


IA_03.doc Seite 3-29 19.06.01

geln und Sätze für Fourier-Transformationen kann man die Faltungsoperation in die Operatorschreibweise von (3.44) übertra-gen. Dann ergibt sich der Fresnel-Propagator wie folgt:

[ ] FQFR zz zj 212exp λλπ −

−≡ (3.47)

Die Feldverteilung )( 2ρωU berechnet sich dann mit:

[ ]( ) )(2exp)()( 11

12 2 ρλπρρ ωλωω UzjUU zz FQFR −−== . (3.48)

3.5.2.3 BeispieleAbbg. 3-7 zeigt die mit Hilfe von Gl. (3.48) berechnete Propagation eines e.m. Feldes im freien Raum über verschiedene Di-stanzen. Dabei wurde die Feldamplitude in der (ζ,η)-Ebene als konstant angenommen innerhalb der einer Pupille mit einemDurchmesser von 80 mm (grau). Die Darstellungen zeigen die Intensitätsverteilungen (Negativdarstellung) nach der Propaga-tion über Distanzen z von bis zu 200 m, für Wellenlängen λ von 1 µm, 2.2µm und 10µm.Man beachte die starke Wellenlängenabhängigkeit der Intensitätsverteilungen bei gleichem z. Für längere Wellenlängen sindBeugungseffekte deutlich stärker, kurze Wellenlängen führen zu eher "geometrischen" Schattenbildern der Pupille. Bei 10µmund für z = 200m ähnelt die Intensitätsverteilung dem Fraunhofer'schen Beugungsbild.Das rechte Paneel zeigt den Einfluß von Abweichungen der Ausgangs-Wellenfronten von einer ebenen Welle auf die Propaga-tion. Hier ist eine zufällige Deformation, wie sie durch die Propagation durch Luft hervorgerufen werden kann, zu Grunde ge-legt. Schon kurze Distanzen z fühern zu klar sichtbaren Fluktuationen der Intensität.


IA_03.doc Seite 3-30 19.06.01

Abbildung 3-7: Fresnel-Propagation eines durch die Eintrittsöffnung eines Teleskops auf 80 mm Durchmesser begrenztenLichtbündels bei verschiedenen Wellenlängen und über verschiedenen Distanzen. Links: ebene Wellenfronten, rechts: durchatmosphärische Turbulenz deformierte Wellenfronten.


IA_03.doc Seite 3-31 19.06.01

3.5.3 Intensität in der Fokalebene eines TeleskopsZur Herleitung der Intensität in der Fokalebene des Instruments benutzen wir die Geometrie von Abbg. 3-6. Punkte in der Pu-pille werden mit den Koordinaten 21 und rr bezeichnet. Das e.m. Feld unmittelbar vor der Pupille sei ),( trV , unmittelbarhinter der Pupille sei es:

),()(),( trVrPtrVt ⋅= (3.49)

Damit ist die gegenseitige Intensität:

),()()(

),(),()()(

),(),(),(

212*

1

2*

12*

1

2*

121

rrJrPrP

trVtrVrPrP

trVtrVrrJ ttt

=

=

=

(3.50)

Nun betrachten wir die Intensitätsverteilung in einem Abstand z von der Pupille, wobei wieder dieselben Einschränkungen wiefür das Huyghens-Fresnelsche Prinzip gelten sollen. Wir nehmen wie oben an, daß z so groß ist, daß man Inklinationsfaktoren

1)( ≡υχ setzen kann. Damit ergibt sich aus (3.24):

1212212*

12

1212212

)(2exp),()()()(

1

)(2exp),()(

1),()(

rdrdSSjrrJrPrPz

rdrdSSjrrJz

xxJx

t

−−=

−−≅

=Ι

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∑ ∑

∑ ∑

λπ

λ

λπ

λ(3.51)


IA_03.doc Seite 3-32 19.06.01

Nun nehmen wir zwei Vereinfachungen vor:• Wir ersetzen:

)(),( 12021 rrrrJ −Ι= µ• Wir führen die paraxiale Näherung ein:

( )

)(22

221

12

21

22

122

12

212

rrzx

zr

zr

rrxrrz

SS

−−−=

−−−≅−

Damit erhalten wir aus (3.51):

1212122

12

22*

12 )()(2expexpexp)()()(

)( rdrdrrrrxz

jrz

jrz

jrPrPZ

x −

−

−Ι≅Ι ∫∫ ∫∫

∑ ∑µ

λπ

λπ

λπ

λο

Unter Verwendung von (3.38) erhalten wir:

121212

21

22

22

21212

)(2exp)(

expexpexpexp)()()(

)(

rdrdrrxz

jrr

rz

jrz

rf

jrf

jrWrWZ

x

−−

⋅

−

−Ι≅Ι ∫∫ ∫∫∑ ∑

λπµ

λπ

λπ

λπ

λπ

λο

Nun stellen wir fest, daß sich die Exponentialterme mit 22

21 und rr gerade dann wegheben, wenn wir die Intensität im Fokus

z = f beobachten:

1212122*

12 )(2exp)()()()(

)( rdrdrrxf

jrrrWrWf

x

−−Ι≅Ι ∫∫ ∫∫∑ ∑ λ

πµλο (3.52)


IA_03.doc Seite 3-33 19.06.01

Der komplexe Kohärenzfaktor µ und der übriggebliebene Exponentialterm hängen nur noch von der Differenz 12 rr −=∆ ab.Wir wenden daher die folgende Variablensubstitution an:

∆=

+=−=

+=−=∆

∆∆

ddrdrd

rr

rrrr

σ

σσ

σ

12

2221

2121

12

;

)(;

Damit ergibt sich aus (3.52):

∆

∆⋅∆+−Ι≅Ι ∫∫ ∫∫∑ ∑

∆∆ dfxjdWW

fx

λπµσσσ

λο 2exp)()()()(

)( 2*

22 (3.53)

Eine genauere Betrachtung von (3.53) zeigt, daß die verschachtelten Doppelintegrale separiert werden können in einen Anteil,welcher nur vom Teleskop abhängt (die innere Integration über σ ), und einem Term, der als objektabhängigen Anteil den Ko-härenzfaktor ( )∆µ enthält. Wir definieren die Energie-Übertragungsfunktion ETF:

( ) ( )∫∫∑

∆∆ +−=∆ σσσ dWWETF 2*

2)( (3.54)

Somit ist:

∆

∆∆∆Ι≅Ι ∫∫∑

dfxjETF

fx

λπµ

λο 2exp)()()(

)( 2 (3.55)

(Satz von Schell)


IA_03.doc Seite 3-34 19.06.01

Um von hier aus weiterzukommen, müssen wir etwas über µ wissen. Für astronomische Quellen verwenden wir den Satz vonvan Cittert - Zernike (3.35):

υλ

ϑπϑµ djQ

∆⋅−Ι=∆ ∫∫ 2exp)()(

Dies in (3.45) eingesetzt, ergibt:

∆

−∆−∆ΙΙ≅

∆

−∆−Ι∆Ι≅Ι

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∑

∑

ddfxjETF

f

ddfxjETF

fx

Q

Q

ϑϑλ

πϑλο

ϑϑλ

πϑλο

2exp)()()(

2exp)()()(

)(

2

2

(3.56)

Der Ort x in der Fokalebene dividiert durch die Brennweite f entspricht einem Ortswinkel 'ϑ an der Himmelskugel. Wir set-zen daher:

'; ϑϑ fxfx ==′

Desgleichen ersetzen wir λ/∆ durch die Winkelfrequenz

sddss 2,; λλλ

=∆=∆∆=

und erhalten:

[ ]∫∫∫∫∑

−−ΙΙ=Ι sddsjsETFf

fQ

ϑϑϑπλϑοϑ )'(2exp)()()'( 2 (3.57)


IA_03.doc Seite 3-35 19.06.01

Wir definieren die Energieverbreitungsfunktion ESF:

[ ]∫∫ −= sdsjsETFESF ϑπϑ 2exp)()( (3.58)

Insbesondere erhält man für

( )[ ]

−=′−−∫∫∑ λ

ϑϑλ

ϑϑπλ '12exp)(2

ESFsdsjsETF

Damit ergibt sich schlußendlich:

ϑλϑϑϑ

λοϑ dESFf

fQ

′−ΙΙ=Ι ∫∫ )()'(

22 (3.59)

Dies ist ein Faltungsintegral der Objektintensitätsverteilung )(ϑΙ mit einer rein instrumentellen Größe ( )ϑ−ESF . Dabei ist zubeachten:

• ESF hat die Dimension [m4] und kompensiert damit den Vorfaktor 22 −− fλ .• ESF skaliert mit λ dergestalt, daß sie „auseinandergezogen“ wird, wenn λ größer wird.

In der Praxis wird eine normierte Form der ETF verwendet, nämlich die Optische Übertragungsfunktion OTF. Bei gegebe-ner Pupillen-Transmissionsfunktion )rW( ist sie gegeben mit:

( ) ( )sWsWA

dsWsWA

sOTF λλσλσλσ ∗=

+

−= ∫∫

122

1)( * (3.60)

mit der Äquivalentfläche A:


IA_03.doc Seite 3-36 19.06.01

σσ dWA 2)(∫∫∑

= (3.61)

Die Normierung bewirkt, daß die OTF im Ursprung ( 0=σ ) gleich Eins wird, während die ETF einen Zusammenhang zwi-schen der Öffnung des Teleskops und der Gesamthelligkeit des Bildes in der Fokalebene herstellt. Für die strukturelle Infor-mation über die Quelle ist die Normierung ohne Belang, daher verwendet man der Einfachheit halber die OTF.Die normierte Version der Energieverbreiterungsfunktion ist die Punktverbreitungsfunktion PSF. Sie ergibt sich aus derFourier-Tgransformierten der OTF:

[ ] sdsjsOTFPSF ϑπϑ 2exp)()( −= ∫∫ (3.62)

Ima allgemeinen ist die OTF komplexwerig. Mit dem Satz von Wiener-Khinchine (2.31) erkennt man, dass die PSF positivsemidefinit ist, da sie sich als Betragsquadrat darstellen läßt.

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Grundlegende Prinzipien der astronomischen Interferometrie · Γ(r1,r2,t1,t2) =:Γ12(τ) (3.13) Die Kohärenzfunktion hängt von der absoluten Feldstärke ab. Eine auf die Intensität