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Grundmodelle für Peak Oil a.o.Univ.-Prof. Stephen Keeling stitut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechne Präsentation verlinkt auf …/dokumentation.html Modelle für: Ölentdeckung Ölproduktion Kopplung mit Nachfrage, Angebot, Kapital Entropie/Komplexität & Energie Spiele für Kooperation

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Grundmodelle für Peak Oila.o.Univ.-Prof. Stephen Keeling

Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen

Präsentation verlinkt auf …/dokumentation.html

Modelle für:• Ölentdeckung• Ölproduktion• Kopplung mit Nachfrage, Angebot, Kapital

• Entropie/Komplexität & Energie• Spiele für Kooperation

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Ölentdeckung

Wir suchen Öl in einem Gitter (der Welt):

Zu Beginn: Wahrscheinlichkeit einer zufälligen Entdeckung = N/(N+M).

X X

X

X

X X X

X

X=Ressource

□=Leer

N=Anzahl der ÖlzellenM=Anzahl der Leerzellen

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Ölentdeckung

Was sind die Wahrscheinlichkeiten der ersten paar Erfolge?

Gleiche Erfolgs- und Ausfallsverhältnisse bedeutet:

Also ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs:

dtMN

NP dttt

)10( dtmMN

NP dttt ?)(1

1)21(

nN

Mm

M

m

N

n

)!10(

/)()1(

dttt

dttt

PdtMN

N

dtNMnMnN

nNdt

nmMnN

nNnnP

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ÖlentdeckungBeispiel:

P(5 Kinder heute) = P(5->5) * P(5 Kinder gestern)

+ P(4->5) * P(4 Kinder gestern)

Ähnlicherweise:

P(n in t+dt) = P(n->n) * P(n in t)

+ P(n-1->n) * P(n-1 in t)

oder:

wobei:

pn(t) = Wahrscheinlichkeit in Zeit t, dass n Ölzellen schon gefunden.

)(*)1(

)(*)()(

1 tpnnP

tpnnPdttp

ndttt

ndtttn

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Ölentdeckung

Alles zusammen:

oder:

)()1(

)()()(

1 tpnnP

tpnnPdttp

ndttt

ndtttn

)()()()(

)( 1 tpMN

Ntp

MN

N

dt

tpdttptp nn

nnn

)()1(

)()]1(1[

1 tpnnP

tpnnP

ndttt

ndttt

)(

)(]1[

1 tpMN

Ndt

tpMN

Ndt

n

n

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ÖlentdeckungAnfangswertproblem:

Ergebnis:

Mittelwert erfüllt:

0)0(,1)0(),()()( 001

nnnn pptpMN

Ntp

MN

Ntp

tMN

Ntx

MN

Ntxtnptx

N

nn

)()()()(0

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Ölentdeckung

Realistischere Wahrscheinlichkeiten der Erfolge?

Statt:

Nimm:

dtMN

NP dttt

)10( dtmMN

NP dttt ?)(1

1)21(

nN

Mm

M

N

m

n

]1[1

)(

MnNn

nnm

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Ölentdeckung

Also ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs (…logistisch aussehend!):

Alles zusammen:

oder:

dtMN

nNndt

nmMnN

nNnnP dttt

))(1(

)()1(

)()1(

)()()(

1 tpnnP

tpnnPdttp

ndttt

ndtttn

)()1(

)(]))(1(

1[

1 tpMN

nNndt

tpMN

nNndt

n

n

)()1(

)())(1()()(

)( 1 tpMN

nNntp

MN

nNn

dt

tpdttptp nn

nnn

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ÖlentdeckungAnfangswertproblem:

Ergebnis:

Mittelwert ist ungefähr logistisch: beweisbar.

0)0(,1)0(),()1(

)())(1(

)( 001

nnnn pptpMN

nNntp

MN

nNntp

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ÖlentdeckungDas resultierende Modell der Entdeckung:

E(t) = (Erwartungswert der) Entdeckung in Zeit t

Logistisches Modell: 0)0(),()( EEEtE

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Ölproduktion

Das einfachste Modell der Produktion: Ein Brunnen

Bernoulli-Poiseuille:

gHpFLWgLp as )(

as pp

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ÖlproduktionBernoulli-Poiseuille:

Fluss:

Volumenänderung:

Produktion nicht logistisch:

gHpFLWgLp as )(

)()(

)(

)(

LW

gH

pp

gLpp

LW

LHgppF

as

as

sa

ALVV

A

A

LW

gHFVHA )0(,

)(

)1()()0()( /teALtVVtP

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ÖlproduktionSalzwasseransatz. Bernoulli-Poiseuille:

Fluss:

Volumenänderung:

Produktion ohne Mischung linear!

LHgLpFLWgLp as ,)(

)(LW

ppF sa

ALVLW

ppFV sa

)0(,

1

)(

)/1()()0()( tALtVVtP

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ÖlproduktionSalzwasseransatz. Bernoulli-Poiseuille:

Fluss:

Mit Mischung - Konzentrationsänderung:

Produktion mit Mischung nicht logistisch!

LHgLpFLWgLp as ,)(

)(LW

ppF sa

)0(,)(

SVS

SLW

ppFSSV sa

)1()]()0([)( /

teALtSS

VtP

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ÖlproduktionKopplung zwischen Entdeckung und Produktion:

Wenn gekoppelt sehen beide logistisch aus, Produktion zögert nach Entdeckung:

)()(

)()(

PEtP

EEtE

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Kopplung mit Vorrat & Kapital

Zusammenarbeit mit Herrn Stephan Kupsa:

Diskret: Ndt = Adt bestimmt Preis p

nKostenEinkommelKapita

eNachfragtVorra

)()(nProduktio

K

PV

PMPKfP

0,0,0

/)1log(Nachfrage

,0,0,

])/(1[Angebot

min

0max

0

dtNN

pdtVN

ppdtAVA

ppVA

dtdt

dtdt

dtdt

dtdtdt

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Kopplung mit Vorrat & Kapital

Zusammenarbeit mit Herrn Stephan Kupsa:

Stetig: N´ = A´ bestimmt Preis p

nKostenEinkommelKapita

eNachfragtVorra

)()(nProduktio

K

PV

PMPKfP

p

V

dt

NN

p

pV

dt

p

p

Vdt

AA

dt

dt

dt

dt

dt

dt

)1log(lim

log

1

limlim

0

0

0

00

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Kopplung mit Vorrat & Kapital

Population steigt mit V, Nachfrage fällt mit Überschuss in V, also N´ steigt schwach mit V, Angebot steigt stärker mit V:

Bedingung N´ = A´ bestimmt Preis p:

Produktion hört auf wegen Verschuldung, wird beschleunigt mit mehr K

ANpK

NPPV

PMPKKPMPKfP

nKostenEinkomme

eNachfrag

)(])0[()()( 2

0

log)1log(

p

pVA

p

VN

])0[()( 2KKKf

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Kopplung mit Vorrat & Kapital

Sogar mit diesem einfachen Modell sieht man folgende Schwingungen:

Am Peak steigen A´ & N´, bis V konsumiert, Verschuldung stoppt P, p steigt bis K>0 und Öl völlig produziert, A´ & N´ (Population) niedrig.

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Entropie/Komplexität & EnergieWas ist Entropie? TdS=dE+pdV-μdN…von der Thermodynamik…

Beispiel: Unterschiedliche Kugeln verteilt in eine Box:

System strebt zu Smax:

➀➁➂➃

➀ ➁➂➃

➀➁ ➂➃

➀ ➁ ➂➃

➀ ➁ ➂ ➃

EinigeKonfigurationen

MöglicheRealisierungen Ω

1

4

6

12

24

)log()ionKonfigurat(Entropie BkS

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Entropie/Komplexität & EnergiePräziser:

für Systeme in Gleichgewicht. !Nun gezeigt auch für Systeme nicht in Gleichgewicht [Jaynes, 1957-1998], [Dewar, 2003]:

wird maximiert, wobei Γ ein möglicher Pfad ist.

System strebt zu max Entropieproduktion: wahrscheinlichster Zustand, wahrscheinlichster Weg. (vgl. Prigogine!)

)log()log(1

/1

Br

p

rrB kppkSr

1

)log(ppkS B

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Entropie/Komplexität & EnergieEntropie fällt wegen Einschränkungen:

Z.B. S(Eis)<S(Wasser). Eis ist komplexer. Ein Maß der Komplexität:

Z.B. K(Eis)>K(Wasser).

➀ ➁ ➂ ➃

➀ ➁ ➂ ➃

EingeschränkteKonfiguration

MöglicheRealisierungen Ω

4

24

||

FreieKonfiguration 21 )24log()4log( SkkS BB

1

)log(r

rrB ppkSK

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Entropie/Komplexität & Energie

Zwei Gefäße, ein ideales Gas, gleicher P, gleiche N, aber T1 ≠ T2.Getrennt ➾ eingeschränkt ➾ komplexer.

Wenn Gefäße verbunden werden, steigt Entropie beim Gleichgewicht:

Rückkehr verlangt Energie!

21

221

4log2

5

TT

TT

kN

S

B

0oder,]1/[ 12121 TTTTQE

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Entropie/Komplexität & Energie

Wenn diese Energie investiert wird, Wärme Q1 stellt T1, T2 wieder her,

und T1 und T2 sind für Arbeit verfügbar:

wenn Q2 abgegeben wird. Verfügbare Arbeit pro Wärmeeinheit:

Neue Komplexität und verfügbare Arbeit:

Ein Taintersches Komplexitätsdiagramm.

)1(4

)2(log2

5

4log2

5 2

21

221

TT

TT

kN

K

B

]1/[ 121 TTQE

]/1[ 212 TTQW

]/1[/ 212 TTQW

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Einführung in Spieltheorie

Beispiel: Land X und Land Y entscheiden, ob sie Verschmutzung reduzieren oder nicht.

• Kosten für Reduzieren: 7 Einheiten• Gewinn von Reduzieren: 5 Einheiten für beide genießbar

Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y)

Selbe Struktur wie Gefangenendilemma: Gleichgewicht in (0,0).

Strafe für Nichteinhaltung? Wer macht die Durchsetzung?

X: Y: verschmutzen: reduzieren:

verschmutzen: (0,0) (5,-2)

reduzieren: (-2,5) (3,3)

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Einführung in Spieltheorie

Beispiel: Neue Bedingung,• Kosten für Reduzieren: 7 Einheiten• Gewinn von Reduzieren: 5 Einheiten für beide• Kosten wenn beide nichts tun: 4 Einheiten

Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y)

Selbe Struktur wie Angsthasenspiel: Gleichgewichte in (-2,5) & (5,-2).

Wer bedroht, kann das Gleichgewicht entscheiden.

Wer den ersten Zug hat, kann das Gleichgewicht entscheiden.

X: Y: verschmutzen: reduzieren:

verschmutzen: (-4,-4) (5,-2)

reduzieren: (-2,5) (3,3)

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Einführung in Spieltheorie

Beispiel: Land X und Land Y entscheiden, ob sie zu einem Allgemeinwohl beitragen.

• Kosten eines Beitrags: 8 Einheiten• Gewinn: 12 Einheiten für beide, nur wenn beide beitragen.

Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y)

Selbe Struktur wie Sicherungsspiel: Gleichgewichte in (0,0) & (4,4).

Kooperative Lösung selbstdurchsetzend, ohne Anreiz nicht zu halten.

In Wiederholung des Spiels gibt es Anreiz zur kooperativen Lösung.

X: Y: nicht beitragen: beitragen:

nicht beitragen: (0,0) (0,-8)

beitragen: (-8,0) (4,4)

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Einführung in Spieltheorie

Beispiel: Kontinuum von Strategien, z.B. wie viel will man beitragen?

N Länder spielen. Land i trägt zi bei. Gesamtbeitrag is Z=Σi=1N zi.

Land i hat Gewinn Bi(Z) und Kosten Ci(zi).

Zu maximieren ist: Bi(Z)-Ci(zi).

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Einführung in Spieltheorie

Beispiel: Kein reines Gleichgewicht, also

X und Y spielen gemischte Strategien:

P(a)=q, P(b)=1-q, P(c)=p, P(d)=1-p

q*=3/4➾X-Gewinne gleich in 3/4. p*=3/8➾X-Gewinne gleich in -3/4.

Y: q 1-q

X: Strategie a Strategie b X-Gewinn:

p Strategie c (2,-2) (-3,3) 5q-3

1-p Strategie d (0,0) (3,-3) 3-3q

Y-Gewinn: -2p 6p-3

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Einführung in Spieltheorie

Beispiel: Spiel gegen Natur, Entscheidungstheorie.

k=Kosten zur Zweigbibliothek, θk=Kosten zur Zentralbibliothek

K(c)<K(d) wenn 1/θ <q gilt, also geh erst zur Zweigbibliothek.

Natur: q 1-q

X: Möglichkeit a Möglichkeit b X-Kosten:

Strategie c k (1+θ)k qk+(1-q)(1+ θ)k

Strategie d θk θk qθk+(1-q)θk

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Einführung in Spieltheorie

Beispiel: Evolutionär stabile Strategien.

q*=7/12 ➾ Eindringlinge-Gewinne gleich in 25/4.Spezies stabil gegen Eindringlinge.

Spezies: q 1-q Eindringlinge-

Eindringlinge: Falke Taube Gewinne:

Falke (-25,-25) (50,0) -25q+50(1-q)

Taube (0,50) (15,15) 0q+15(1-q)

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Einführung in Spieltheorie

Beispiel: Wiederholtes Gefangenendilemma, T>R>U>S, R>(S+T)/2.

P(1.Spiel)=1, P(2.Spiel)=p, P(3.Spiel)=p2, usw.

Gewinn durch Kooperieren = R+pR+p2R+…=R/(1-p)

Gewinn durch Überlaufen beim mten Zug =

R+pR+p2R+…+pm-1R + pmT + pm+1U+pm+2U+…

=[R(1-pm)+(1-p)pmT+pm+1U]/(1-p)

Kleiner als R/(1-p) wenn p>(T-R)/(T-U), also kooperieren.

X: Y: kooperieren überlaufen

kooperieren: (R,R) (S,T)

überlaufen: (S,T) (U,U)

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Modell der Ressourcenteilung[Pallage]: Zwei Länder, wählen in [t,t+1] eigene• Konsum ct

• Kapital kt+1

• Ressourcennachschub xt

• Transfer τt

Produktion einer Ware yt=f(kt) beschädigt die Umwelt durch g(yt)

Ressource at entwickelt sich so: at+1 = at + [xt1-g(yt

1)] + [xt2-g(yt

2)]

Unter natürlichen Einschränkungen soll eigene Utilität maximiert werden: Σt=0

∞βt U(ct,at+1)

Länder kooperieren wenn Anfangsressource oder Anfangskapital genügend knapp sind oder wenn β groß genug ist.