Grundwissen Mathematik 6 - Lessing-Gymnasium Neu-Ulm · Grundwissen 7. Jahrgangsstufe 1.4.3 Umformen von Produkten a) Anwendung von Kommutativ- und Assoziativgesetz Kommutativgesetz:

MATHEMATIK

GRUNDWISSEN

7. KLASSE

LESSING-GYMNASIUM

NEU-ULM

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Grundwissen 7. Jahrgangsstufe

I. ALGEBRA

1. Terme

1.1 Begriff

Terme sind sinnvolle Zusammenstellungen aus Zahlen, Platzhaltern (= Variablen), Rechenzeichen und

Klammern.

Beispiele: a) 7⋅25–36 :84

b) 4⋅233⋅52–12:0,3

c) T x =7⋅x2 –3⋅x –8

d) T a;b =8⋅a⋅b2–5⋅ab

Der Malpunkt vor einer Variablen oder vor einer Klammer darf weggelassen werden.

Die Definitionsmenge D eines Terms bilden alle Zahlen aus der Grundmenge G, die beim Einsetzen

einen Ausdruck liefern, dessen Wert berechnet werden kann.

Beispiele: a) T x =x24: x−2; G=ℚ; D=ℚ∖ {2}

b) T x =25 x1x x2−9

; G=ℚ; D=ℚ∖ {0;3 ;−3 }

1.2 Berechnung von Termwerten

Werden die in einem Term auftretenden Variablen durch Zahlen aus der Definitionsmenge ersetzt, so

kann der Wert des Terms berechnet werden.

Beispiele: a) T a = 4a² – 5 a1T 3 = 4⋅32 – 5⋅3 1

= 4⋅9− 5⋅4= 36 − 20= 16

b) T x ; y = 8xy² 2x : y−2T 2;3 = 8⋅2⋅32 2⋅2 :3– 2

= 16⋅9 4 : 1= 144 4= 148

T 4;−2 = 8⋅4⋅−222⋅4: −2–2= 32⋅4 8 : −4 = 128 – 2= 126

Tritt in einem Term dieselbe Variable mehrmals auf, so muss für sie dieselbe Zahl eingesetzt werden.

Die Art eines Terms wird durch diejenige Rechenart bestimmt, die bei der Berechnung des Termwerts

zuletzt ausgeführt wird.

Beispielsweise ist der Term T x =7⋅12 – 3 x : 4 eine Differenz, da als letzte Rechenart eine

Subtraktion ausgeführt wird.

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1.3 Aufstellen von Termen

Vorgehensweise:

(1) Lege die Variable(n) fest

(2) Drücke eventuell weitere Größen durch die Variable(n) aus

(3) Suche nach Zusammenhängen oder Gesetzmäßigkeiten

(4) Stelle den Term auf

Beispiele:

a) Vom vierfachen Quadrat einer Zahl wird 18 subtrahiert und das Ergebnis durch die Summe

der Zahlen 12 und 15 dividiert.

4⋅x2−18 :1215

b) Echternacher Springprozession

Bei der Echternacher Springprozession bewegen sich die Teilnehmer rhythmisch jeweils drei

Schritte nach vorn und zwei Schritte zurück. Die Schritte nach vorn sind etwas länger als die

Schritte zurück. Ermittle, welchen Weg ein Pilger nach 5 Schritten zurückgelegt hat.

Vorwärtsschritt: Länge a

Rückwärtsschritt: Länge b

Summe von 5 Schritten: 3⋅a –2⋅b

c) Aus einem 1,2m langen Draht werden verschiedene Rechtecke geformt. Gib einen Term für

den Flächeninhalt der Rechtecke an.

Länge des Rechtecks: x

Umfang des Rechtecks: 2⋅x2⋅b = 1,2m

Breite des Rechtecks: b=0,6m– x

Flächeninhalt: Ax =x⋅0,6m−x

d) n Würfel mit der Kantenlänge a werden so zusammengeklebt, dass ein Quader entsteht. Gib

einen Term für die Oberfläche des Quaders an.

Länge des Quaders: n⋅a

Breite des Quaders: a

Höhe des Quaders: a

O n; a = 4⋅na⋅a2⋅a2 = 4na22a2



e) Eine Telefongesellschaft macht folgende Angebote:

A: Bei einer monatlichen Grundgebühr von 4,50€ kostet die Gesprächsminute 15 Cent.

B: Bei einer monatl. Grundgebühr von 7,50 € sind 20 Minuten frei, danach werden 20 Cent

pro Minute abgerechnet.

Stelle Terme für die Gesamtkosten auf und entscheide, welches Angebot günstiger ist.

Aufstellen der Terme:

A: TA x =4,50 €0,15€⋅x; x ist die Gesprächsdauer in Minuten; x0

B: TB x =7,50 €0,2 €⋅x – 20; x20

TB x =7,50€ f. x20

Wertetabelle:

Einsetzen verschiedener Werte für x liefert eine Wertetabelle für beide Terme:

x 0 10 20 30 40 50

TA(x) 4,50 6,00 7,50 9,00 10,50 12,00

TB(x) 7,50 7,50 7,50 9,50 11,50 13,50

Es zeigt sich, dass Tarif A günstiger ist; die Kosten sind für verschiedene Gesprächsdauern

kleiner oder gleich denen von Tarif B.

Darstellung in einem Diagramm:

Die Ergebnisse, die in die Wertetabelle

eingetragen wurden, können in einem

Diagramm veranschaulicht werden:

Alle Punkte, die zu Tarif A gehören, liegen

im Diagramm unterhalb derer von B (bzw.

sie sind für x = 20 Minuten identisch),

damit zeigt sich wieder, dass Tarif A

günstiger ist.


0 10 20 30 40 50 600

2

4

6

8

10

12

14

16

Tarif A Tarif B

Gesprächsdauer in Minuten

Kos

ten


1.4 Umformung von Termen

1.4.1 Äquivalente Terme

Zwei Terme heißen äquivalent oder gleichwertig in der Menge G, wenn sie für jede Belegung der

Variablen den gleichen Wert liefern.

Beispiele:

T1(x) = 3(x+5) – 2x und

T2(x) = x + 15 sind äquivalent in G=ℚ

T3(x) = (x+1)² und

T4(x) = x² + 1 sind nicht in äquivalent in G=ℚ ,

da z.B. T3(1) = (1 + 1)² = 4,

aber T4(1) = 1²+1 = 2

T5(x;y) = 3x – 7(y – x) und

T6(x;y) = 10x – 7y sind äquivalent in G=ℚ

T7(a;b) = (a – b)² und

T8(a;b) = a² + b² sind nicht in äquivalent in G=ℚ ,

da z.B. T7(1;1) = (1 – 1)² = 0,

aber T8(1;1) = 1² + 1² = 2

1.4.2 Zusammenfassen gleichartiger Terme

Terme heißen gleichartig, wenn sie dieselben Variablen in jeweils gleicher Potenz besitzen.

Beispiele: 5x²y³ und 8x²y³ sind gleichartig,

5x²y und 8xy² sind nicht gleichartig.

Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Koeffizienten addiert bzw.

subtrahiert. Die Variablen bleiben unverändert.

Beispiele:

a) 3x – 7x – 2x = – 6x

b) 5a + 3b – 2a – 8b = 3a – 5b

c) 2x² – 4x – 6x² – 5x = – 4x² – 9x

d) 3,2ab² + 8ab – 2a²b – 4,5ab – 1,7ab² – 4a²b = 1,5ab² + 3,5ab – 6a²b



1.4.3 Umformen von Produkten

a) Anwendung von Kommutativ- und Assoziativgesetz

Kommutativgesetz: a⋅b=b⋅a

In einem Produkt dürfen die Faktoren vertauscht werden.

Assoziativgesetz: a⋅b⋅c =a⋅b⋅c=a⋅b⋅c

In einem Produkt dürfen Klammern gesetzt oder weggelassen

werden.

Beispiele:

a) 3a2b⋅2ab3=3⋅2⋅a2⋅a⋅b⋅b3=6a3 b4

b) −2xy⋅−4xy2⋅3x4 =−2⋅−4⋅3⋅x⋅x⋅x 4⋅y⋅y2 = 24x6 y3

c) 4a2b32=4a2 b34a2 b3 =4⋅4⋅a2⋅a2⋅b3⋅b3=16a4b6

b) Rechenregeln für Potenzen

◦ Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

z.B.: x 3⋅x4=x7

a2⋅a3=a5

an⋅am=anm; a∈ℚ; n,m∈ℕ

◦ Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten

z.B.: x 2⋅y2=x⋅x ⋅y⋅y =x⋅y ⋅x⋅y =x⋅y 2

a3⋅b3=a⋅a⋅a⋅b⋅b⋅b=a⋅b 3

a⋅b n=an⋅bn ; a ,b∈ℚ ; n∈ℕ

◦ Potenzieren von Potenzen

z.B.: a23=a2⋅a2⋅a2=a6

x 42=x4⋅x4=x8

anm=an⋅m ; a∈ℚ ; n ,m∈ℕ

Es gilt (–a)n = an , falls n gerade, a∈ℚ

(–a)n = – an , falls n ungerade

z.B.:

(–2)4 = 24 = 16 ;

(–2)³ = –2³ = –8



1.4.4 Auflösen von Klammern

Anwendung des Distributivgesetzes:a⋅bc=a⋅ba⋅c ; a,b ,c∈ℚ

Beispiele:

a) 2x(3y-4z) = 6xy – 8xz

b) 7a²(a³ + 2a – 1) = 7a5 + 14a3 – 7a2

c) 5ab (2a² – 3b) = 10 a³b – 15ab²

d) –4x(2x – 7 + 3y) = –8x² + 28x – 12xy

Speziell gilt:

Steht ein Pluszeichen vor der Klammer, so kann die Klammer weggelassen werden:

a + (b + c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

Beispiele:

a) 4a + (5b – 3a) = 4a + 5b – 3a = a + 5b

b) 2x + (4y – 8x) = 2x + 4y – 8x = 4y – 6x

Wegen a – bc=a−1⋅bc =a−b –c =a –b– c gilt:

Steht ein Minuszeichen vor der Klammer, so müssen beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen in

der Klammer geändert werden:

a – (b + c) = a – b – c

a – (b – c) = a – b + c ; a ,b , c ∈ℚ

Beispiele:

a) 3x – (2x + 5y) = 3x – 2x – 5y = x – 5y

b) 8a – (6a – 7b) = 8a – 6a + 7b = 2a + 7b

c) 2a(a – 3b) – 3b(2a – b) = 2a² – 6ab – 6ba + 3b² = 2a² – 12ab + 3b²

d) 3x(5x – (2x + 4y)) – 2y(y – 6x) =

3x(5x – 2x – 4y) – 2y² + 12xy =

3x(3x – 4y) – 2y² + 12xy =

9x² – 12xy – 2y² + 12xy =

9x² – 2y²



1.4.5 Multiplizieren von Summen

Anwendung des Distributivgesetzes a⋅cd=a⋅ca⋅d liefert:

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd ; a ,b , c ,d∈ℚ

Zwei Summen werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied der ersten Summe mit jedem

Glied der zweiten Summe unter Berücksichtigung der Vorzeichen multipliziert und die Produkte

addiert.

Beispiele: a) (2x + 3y)(3x – 5y) = 6x² – 10xy + 9xy – 15y² = 6x² – xy – 15y²

b) (4a – 2b)(a – 3b) = 4a² – 12ab – 2ab + 6b² = 4a² – 14ab + 6b²

c) (x – 2)(x + 3)(2x – 1) = (x² + 3x – 2x – 6)(2x – 1) = (x² + x – 6)(2x – 1) =

= 2x³ – x² + 2x² – x – 12x +6 = 2x³ + x² – 13x + 6

Durch Ausmultiplizieren ergeben sich die nützlichen

Binomischen Formeln:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

(a + b)(a – b) = a² – b² ; a ,b∈ℚ

Beispiele: a) (2x² + 3y)² = 4x4 + 12x²y + 9y²

b) (4a – 5b)² = 16a² – 40ab + 25b²

c) (8r + 3s)(8r – 3s) = 64r² – 9s²

1.4.6 Faktorisieren von Termen

Die Umformung einer Summe in ein Produkt bezeichnet man als Faktorisieren. Enthält in einer Summe

jeder Summand den gleichen Faktor, so kann dieser gemeinsame Faktor ausgeklammert werden:

a⋅ba⋅c=a⋅bc Distributivgesetz

Beispiele: a) 8x + 12y = 4(2x + 3y)

b) 2x²y – 4xy² = 2xy(x – 2y)

c) 3ab² – ab = ab(3b – 1)

d) 4a(x + y) + 3b(x + y) = (x + y)(4a + 3b)

e) 2a(x – y) + b(y – x) = 2a(x – y) – b(x – y) = (x – y)(2a – b)

Zum Faktorisieren von Termen ist neben dem Ausklammern häufig die Anwendung der binomischen

Formeln erforderlich.

Beispiele: a) 4a² + 4ab + b² = (2a + b)²

b) 25x² – 16y² = (5x – 4y)(5x + 4y)

c) 64x² – 16x + 1 = (8x – 1)²

d) 3a² – 6ab + 3b² = 3(a² – 2ab + b²) = 3(a – b)²

e) 18x4 – 2x² = 2x²(9x² – 1) = 2x²(3x – 1)(3x + 1)

f) 8x5y – 24x³y² + 18xy³ = 2xy(4x4 – 12x²y + 9y²) = 2xy (2x² – 3y)²

g) 72a4b – 18a²b³ = 18a²b(4a² – b²) = 18a²b(2a – b)(2a + b)



2. Lineare Gleichungen

2.1 Äquivalenzumformungen von Gleichungen

Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.

z.B.: Die Gleichungen x + 7 = 12 und 2x – 3 = 7 sind äquivalent, da in der Grundmenge G=ℚ

beide die Lösungsmenge L = {5} besitzen.

Ändert sich bei einer Umformung einer Gleichung die Lösungsmenge nicht, so liegt eine

Äquivalenzumformung vor.

Eine Äquivalenzumformung liegt vor, wenn man

(1) auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl oder denselben Term addiert oder subtrahiert,

(2) beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ≠0 multipliziert oder durch dieselbe Zahl

≠0 dividiert.

2.2 Lösen von linearen Gleichungen

Vorgehensweise:

(1) Vereinfache beide Seiten so weit wie möglich (Klammern ausmultiplizieren, gleichartige

Terme zusammenfassen!)

(2) Führe Äquivalenzumformungen durch, so dass auf einer Seite nur ein Term mit x und auf der

anderen Seite kein x steht.

(3) Bestimme x durch geeignete Division oder Multiplikation.

(4) Gib die Lösungsmenge L an.

Beispiele:

a) 3x – 12 = x – 3 | – x ; G=ℚ

2x – 12 = – 3 | + 12

2x = 9 | : 2

x = 4,5

L = { 4,5 }

b) 8x – 3(5 – 2x)= 6(2x + 3) – 9 ; G=ℚ

8x – 15 + 6x = 12x + 18 – 9

14x – 15 = 12x + 9 | – 12x

2x – 15 = 9 | +15

2x = 24 |:2

x = 12

L = {12}



c) 2(x – 4)² = (2x + 5)(x – 6) + 35 ; G=ℚ

2(x² – 8x + 16) = 2x² – 12x + 5x – 30 + 35

2x² – 16x + 32 = 2x² – 7x + 5 | – 2x²

– 16x + 32 = – 7x + 5 | + 7x

– 9x + 32 = 5 | – 32

– 9x = – 27 | : (– 9)

x = 3

L = {3}

d) 21−12

x −3 x−13 = 0 ; G=ℚ

2 − x − 3x 1 = 03 − 4x = 0 ∣ −3−4x =−3 ∣:−4

x = 34

L = {34 }

e) x(x + 3) + 2 = (x + 4)(x – 1) + 6 ; G=ℚ

x² + 3x + 2 = x² – x + 4x – 4 + 6

x² + 3x + 2 = x² + 3x + 2 | – x²

3x + 2 = 3x + 2 | – 3x

2 = 2

L = ℚ

Eine Gleichung mit L=ℚ heißt allgemeingültig in der Grundmenge G.

f) (x – 2)(x + 6) = x(x + 4) + 2 ; G=ℚ

x² + 6x – 2x – 12 = x² + 4x + 2

x² + 4x – 12 = x² + 4x + 2 | – x²

4x – 12 = 4x + 2 | – 4x

– 12 = 2

L = { }

Eine Gleichung mit L = { } heißt unerfüllbar.



2.3 Bearbeitung von Anwendungsaufgaben

Vorgehensweise:

(1) Variable (z.B. x) festlegen, evtl. andere Größen durch diese Variable ausdrücken

(2) Gleichung aufstellen

(3) Gleichung lösen

(4) Anhand der Aufgabenstellung überprüfen, ob das Ergebnis sinnvoll ist

(5) Antwort formulieren

Beispiele:

a) Der Umfang eines Rechtecks, dessen Breite um 6cm kleiner ist als die Länge, beträgt 60cm. Wie

lang und wie breit ist das Rechteck?

Länge in cm: x

Breite in cm: x – 6

2(x + x – 6) = 60

4x – 12 = 60 |+12

4x = 72 | :4

x = 18 (Länge in cm) => Breite in cm: x – 6 = 18 – 6 = 12

Das Rechteck ist 18cm lang und 12cm breit.

b) Die Summe von drei Zahlen, von denen die zweite um 7 kleiner ist als die erste und die dritte

dreimal so groß wie die zweite ist, ist 112.

1. Zahl: x

2. Zahl: x – 7

3. Zahl: 3⋅x –7

Summe: x + x – 7 + 3⋅ x –7 = 112

2x – 7 + 3x – 21 = 112

5x – 28 = 112 | + 28

5x = 140 | :5

x = 28 (1. Zahl) => 2. Zahl: x – 7 = 28 – 7 = 21;

=> 3. Zahl: 3⋅x –7=3⋅28−7=3⋅21=63

Die erste Zahl ist 28, die zweite 21 und die dritte 63.

c) Eine 4-köpfige Familie ist zusammen 140 Jahre alt. Der Sohn ist halb so alt wie die Mutter, die 5

Jahre jünger als der Vater ist. Die Tochter ist 3 Jahre jünger als ihr Bruder. Wie alt sind die Mitglieder

der Familie? Alter des Sohnes: x

Alter der Mutter: 2x

Alter des Vaters: 2x + 5

Alter der Tochter: x – 3

Summe: x + 2x + 2x + 5 + x – 3 = 140

6x + 2 = 140| – 2

6x = 138| : 6

x = 23 (Sohn) => Mutter: 2⋅23=46

=> Vater: 2⋅235=51

=> Tochter: 23 – 3 = 20

Der Sohn ist 23 Jahre, die Tochter 20 Jahre, die Mutter 46 Jahre und der Vater 51 Jahre alt.



II. Daten, Diagramme und Prozentrechnung

1. Diagramme

Zur grafischen Darstellung von Daten können verschiedene Diagramme verwendet werden.

1.1 Säulendiagramm

z.B. Notenverteilung einer Schulaufgabe

1.2 Balkendiagramm

z.B.: täglicher Wasserverbrauch pro Person in Deutschland

1.3 Kreisdiagramm

z.B.: Sitzverteilung im Bundestag

1.4 Liniendiagramm

z.B. Temperaturverlauf während eines Tages


1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Note

An

zah

l

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Baden/Duschen Toilettenspülung Wäsche w aschen

Kochen/Trinken Sonstiges

CDU/CSU239

SPD146

FDP93

GRÜNE68

LINKE76

6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

5

10

15

20

25

Zeit

Tem

pera

tur i

n °C


2. Das arithmetische Mittel

Den Mittelwert (das arithmetische Mittel) x einer Menge von Zahlen x1, x2, … , xn erhält man,

indem man die Summe der Zahlen durch ihre Anzahl dividiert.

x =x1x2…x n

n

Beispiel:

Notendurchschnitt bei einer Schulaufgabe

Note 1 2 3 4 5 6

Anzahl 2 5 9 6 2 1

Durchschnittswert: 1⋅22⋅53⋅94⋅65⋅26⋅1

25= 79

25= 3,16

3. Prozentrechnung

Grundgleichung der Prozentrechnung:

Prozentsatz⋅Grundwert = Prozentwert

Beispiele:

a) 3% von 75kg = 0,03⋅75kg = 2,25kg

b) Der Eintrittpreis für das Freibad wurde um 30 Cent auf 2,70€ erhöht. Um wie viel Prozent wurde

der Preis erhöht?

Grundwert: 2,40 €

Prozentwert: 0,30 €

Prozentsatz = ProzentwertGrundwert

= 0,30 €2,40 €

= 0,125 = 12,5 %

Der Eintrittspreis wurde um 12,5% erhöht.

c) Die Miete einer Wohnung wurde um 4% auf 780€ erhöht. Wie hoch war die Miete vorher?

104% vonx=780 €

1,04⋅x=780 € | :1,04

x=780 €1,04

=750 €

Die Miete betrug vorher 750 € .



III. Geometrie

1. Symmetrie

1.1 Achsensymmetrie

Definition:

Lässt sich eine Figur so falten, dass beide Teile zur Deckung kommen, so heißt

diese achsensymmetrisch. Die Faltlinie nennt man Symmetrieachse.

Zwei Figuren, die durch Spiegelung an einer Achse a ineinander

übergehen, heißen achsensymmetrisch bezüglich der Achse a.

1.1.1 Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren

• Die Verbindungsstrecke zweier symmetrischer Punkte A und A´ steht immer senkrecht auf

der Achse a. Sie wird von dieser stets rechtwinklig halbiert.

• Zueinander symmetrische Winkel bzw. Strecken sind gleich groß.

• Der Umlaufsinn der Winkel verändert sich.

• Punkte auf der Achse heißen Fixpunkte. Nur diese Punkte haben von dem Punkt A und dem

Bildpunkt A' die gleiche Entfernung.

• Zueinander symmetrische Geraden schneiden einander auf der Symmetrieachse oder sind zu

ihr parallel.

1.1.2 Konstruktion von Spiegelpunkten und Symmetrieachse

a) Konstruktion zueinander symmetrischer Punkte

Geg.: P, a

Ges: P'

Konstruktion:

• Auswahl eines beliebigen Achsenpunktes A. Kreis kA um A durch P.

• Auswahl eines zweiten Achsenpunktes B. Kreis kB um B durch P.

• kA∩ kB={P '}

b) Konstruktion der Symmetrieachse

Geg.: P, P'

Ges.: a

Konstruktion:

• Kreis um P mit Radius r > 0,5 PP' .

• Kreis um P' mit demselben Radius.

• Die Schnittpunkte der Kreise legen die Achse a fest.



1.1.3 Grundkonstruktionen

a) Mittelsenkrechte einer Strecke

Konstruiere die Symmetrieachse zu den beiden Endpunkten A und B der

Strecke.

b) Ein Lot errichten

Geg.: Gerade g, Punkt P∈g .

Konstruktionsbeschreibung:

• Finde zwei Punkte A und B auf g, die von P den gleichen Abstand haben:

Kreis um P, dieser schneidet g in A und B.

• Konstruiere die Symmetrieachse a zu diesen beiden Punkten.

• a ist das Lot zu g: g⊥a

c) Ein Lot fällen

Geg.: Gerade g, Punkt P∉g .


• Kreis um P schneidet g in A und B.

• Konstruiere die Symmetrieachse zu den Punkten A und B.

d) Winkelhalbierende

Geg.: Winkel αKonstruktionsbeschreibung:

• Finde zwei Punkte A und B auf den Schenkeln, die

vom Scheitel S den gleichen Abstand haben: Kreis

um S.

• Konstruiere die Symmetrieachse w zu diesen

beiden Punkten.

• w ist die Winkelhalbierende von α.

• Beachte: S muss natürlich Fixpunkt sein, d.h. auf

der Winkelhalbierenden w liegen.

e) Konstruktion einer Parallelen

Geg.: Gerade g und Punkt P


• Fälle das Lot l von P auf g

• Errichte das Lot h zu l in P

• h ist die Parallele

zu g durch P



1.2 Punktsymmetrie

Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn man sie so um 180 ° um einen Punkt Z

(Symmetriezentrum) drehen kann, dass diese mit sich selbst zur Deckung kommt.

Zwei Figuren heißen punktsymmetrisch zum Zentrum Z, wenn sie

durch Drehung um 180° um den Punkt Z ineinander überführt

werden können.

Dieser Drehung um 180° entspricht eine Punktspiegelung an einem Punkt Z (Spiegelzentrum).

1.2.1 Eigenschaften punktsymmetrischer Figuren

• Punkt, Bildpunkt und Zentrum liegen auf einer Geraden.

• Punkt und Bildpunkt liegen auf einem Kreis um Z.

• Zueinander punktsymmetrische Strecken/Halbgeraden/

Geraden sind parallel

• Zueinander symmetrische Strecken gleich lang.

• Zueinander symmetrische Winkel sind gleich groß und haben

denselben Umlaufsinn.

1.2.2 Konstruktionen zur Punktsymmetrie

a) Konstruktion des Bildpunktes

Geg.: P, Z

Ges.: P'

Konstruktion:

• Gerade PZ

• Kreis k(Z; r = PZ )

• PZ ∩ k={P '}

b) Konstruktion des Symmetriezentrums

Geg.: P, P'

Ges.: Z

Konstruktion:

• Konstruiere die Symmetrieachse m von P und P'

• m ∩ PP'={Z}


Q

P Q'

P'

R Z

R'


1.3 Symmetrische Vierecke


Rechteck- vier rechte Winkel- zwei Symmetrieachsen- Punktsymmetrie- Diagonalen halbieren sich

Parallelogramm- Punktsymmetrie- gegenüberliegende Seiten gleich lang- Diagonalen halbieren sich

Drachenviereck- eine Symmetrieachse- Diagonalen stehen senkrecht aufeinander

Raute- alle Seiten gleich lang- Punkt- und Achsensymmetrie- Diagonalen halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander

Quadrat- vier Symmetrieachsen

Gleichschenkliges Trapez- Achsensymmetrie- Diagonalen gleich lang


2. Winkelbetrachtungen

2.1 Winkel an Geradenkreuzungen

• α und β heißen Nebenwinkel. Nebenwinkel haben

einen Schenkel gemeinsam und ergänzen sich zu

180°: α + β= 180°

• α und γ heißen Scheitelwinkel. Scheitelwinkel haben nur

den Scheitel gemeinsam und sind gleich groß.

2.2 Winkel an Doppelkreuzungen

Stufenwinkel an parallelen Geraden sind stets gleich groß (α1 = α2).

Sind an einer Doppelkreuzung die Stufenwinkel gleich groß, so sind die

entsprechenden Geraden parallel.

Wechselwinkel an parallelen Geraden sind stets gleich groß (α1 = γ2).

Sind an einer Doppelkreuzung die Wechselwinkel gleich groß, so sind die

entsprechenden Geraden parallel.

2.3 Winkelsumme im Dreieck

α, β und γ heißen die Innenwinkel des Dreiecks ABC.

α*, β* und γ* heißen die Außenwinkel des Dreiecks ABC.

Es gilt:

Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt stets 180°.

Die Summe der Außenwinkel an einem Dreieck beträgt stets 360°.

2.4 Winkelsumme im Vieleck

Die Winkelsumme im 4-Eck beträgt 360°.

Die Winkelsumme im 5-Eck beträgt 540°.

....

Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n – 2)·360°.



3. Besondere Linien im Dreieck

3.1 Mittelsenkrechte und Umkreis

Auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegen alle

Punkte, die von A und B die gleiche Entfernung besitzen.

Die Mittelsenkrechten halbieren die Seiten des Dreiecks

rechtwinklig. Sie schneiden sich im Mittelpunkt U des

Umkreises, dem Umkreismittelpunkt.

3.2 Winkelhalbierende

Ein Punkt P liegt genau dann auf einer Winkelhalbierenden

zweier sich schneidender Geraden, wenn er von beiden

Geraden gleichen Abstand hat.

Alle Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in

einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt I.

3.3 Höhen

Fällt man ein Lot von einer Ecke des Dreiecks auf

die gegenüberliegende Seite, so erhält man eine

Höhe des Dreiecks. Alle drei Höhen (oder deren

Verlängerungen außerhalb des Dreiecks) schneiden

sich im Höhenschnittpunkt H.

3.4 Seitenhalbierende

Die Seitenhalbierende verbindet die Seitenmitte

mit der gegenüberliegenden Ecke. Alle

Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.



4. Kongruenz und Dreiecke

4.1 Kongruente Figuren

Definition:

Zwei deckungsgleiche Figuren F1 und F2 nennt man kongruent.

Man schreibt F1≃F2 .

Kongruente Figuren stimmen in Form und Größe überein.

Beispiel: A1 B1 C1≃ A2 B2 C2

4.2 Kongruenzsätze

Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie:

- in allen drei Seiten (sss),

- in zwei Seiten und dem dazwischen liegenden Winkel (sws),

- in zwei Winkeln und der dazwischen liegenden Seite (wsw),

- in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel (Ssw)

übereinstimmen.

Es gilt:

Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar,

wenn drei einem Kongruenzsatz entsprechende Stücke gegeben sind.

4.3 Besondere Dreiecke

4.3.1 Das gleichschenklige Dreieck

Gleichschenklige Dreiecke

- haben zwei gleich lange Seiten (Schenkel) und eine Basis.

- haben zwei gleich große Winkel (Basiswinkel) und einen Winkel an

der Spitze.

- sind achsensymmetrisch, d.h. die Höhe auf die Basis halbiert diese.

4.3.2 Das gleichseitige Dreieck

Gleichseitige Dreiecke

- haben drei gleich lange Seiten.

- haben drei gleich große Winkel (60°).

- haben drei Symmetrieachsen, die sich alle in einem Punkt schneiden.



4.3.3 Das rechtwinklige Dreieck

Ein Dreieck mit einem rechten Winkel heißt rechtwinkliges Dreieck.

- Der rechte Winkel ist stets der größte Winkel in einem rechtwinkligen

Dreieck.

- Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse,

- die dem rechten Winkel anliegenden Seiten nennt man die Katheten.

4.4 Satz des Thales

Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel,

wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über [AB] liegt.

4.5 Kreis und Gerade

4.5.1 Bezeichnungen

Definition:

- Eine Tangente berührt den Kreis in einem Punkt B

(Berührpunkt).

- Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten A

und B.

- Die Strecke [AB] heißt Sehne.

- Eine Passante schneidet den Kreis in keinem Punkt.

4.5.2 Tangentenkonstruktionen

a) Konstruktion der Tangente an k durch einen Punkt P∈k

Die Tangente steht senkrecht auf dem Kreisradius.

Deshalb:

Errichte in P ein Lot auf MP.



b) Konstruktion der Tangente an k durch einen Punkt P∉k

• Konstruiere den Thaleskreis kT über

[MP].

• k∩k T={B1 ,B2}

4.6 Dreieckskonstruktionen

Bei der Konstruktion von Dreiecken wird üblicherweise nach folgendem Schema vorgegangen:

1. Zeichne zuerst eine Planfigur (Skizze), in der die gegebenen Angaben farbig markiert werden.

2. Nach Überlegung anhand der Planfigur erstellt man einen Konstruktionsplan, in welchem die

einzelnen Konstruktionsschritte genau aufgegliedert sind.

3. Zuletzt führt man die Konstruktion mit Hilfe des Konstruktionsplanes in Originalgröße nur mit

Zirkel und Lineal durch.

Beispiel: Konstruiere ein Dreieck ABC mit a = 4,5 cm, c = 7cm und hc = 4cm

Planfigur:

Konstruktionsplan:

• A und B sind durch AB=7cm gegeben.

• C liegt 1. auf der Parallelen zu AB im Abstand hc = 4cm

2. auf dem Kreis k um B mit Radius a

• Zwei Lösungen!

Konstruktion:


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Grundwissen Mathematik 6 - Lessing-Gymnasium Neu-Ulm · Grundwissen 7. Jahrgangsstufe 1.4.3 Umformen von Produkten a) Anwendung von Kommutativ- und Assoziativgesetz Kommutativgesetz: