Upload
lamhuong
View
227
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Grup Hasil Kronstruksi dariHasilkali Kronecker Pada
Representasi Grup Quaternion
OlehYanita
Universitas Andalas Padang
Seminar Nasional Komunitas Peminat AljabarPadang 8-9 November 2018
.Yanita 1/ 13
Latar Belakang
Yanita 1/ 13
Representasi Grup Quaternion dan Hasilkali Kronecker
• Grup quaternion Q8 dapat direpresentasikan sebagai subgrupdari grup linier GL2(C). Representasi ini diberikan oleh :1 7→
[1 00 1
], i 7→
[i 00 −i
], j 7→
[0 1−1 0
], k 7→
[0 ii 0
],
−1 7→[−1 00 −1
],−i 7→
[−i 00 i
],−j 7→
[0 −1−1 0
],
−k 7→[
0 −i−i 0
]• Hasilkali Kronecker : Misalkan A ∈Mmn(F ) dan B ∈Mst(F ).
Matriks mp× nq yang didefinisikan dengan [aijB] disebut sebagaihasilkali kroneckerA dan B, biasanya disimbolkan dengan A⊗B.
Yanita 2/ 13
Representasi Grup Quaternion dan Hasilkali Kronecker
• Langkah1 : Misalkan masing-masing bentuk representasidiberi simbol sebagai berikut :I 7→
[1 00 1
], B1 7→
[i 00 −i
], B1 7→
[0 1−1 0
], B3 7→
[0 ii 0
],
B4 7→[−1 00 −1
], B5 7→
[−i 00 i
], B6 7→
[0 −1−1 0
],
B7 7→[
0 −i−i 0
]• Langkah2 : lakukan hasilkali Kronecker pada masing masing
matriks di Langkah 1 ke ssetiap matriks (setiap matriks padaLangkah 1 terdapat 8 kali proses hasilkali Kronecker.
• Langkah3 : Daftarkan seluruh matriks yang diperoleh padaLangkah 2
• Langkah4 : Buat Tabel Cayley untuk matriks-matriks yangdiperoleh pada Langkah 3 dengan operasi perkalian matriks.
Yanita 3/ 13
Matriks yang diperoleh dari Hasilkali Kroneceker padaRepresentasi grup quaternion
Yanita 4/ 13
Tabel Cayley
Yanita 5/ 13
Representasi Grup Quaternion dan Hasilkali Kronecker
• Himpunan semua matriks yang diperoleh dari HasilkaliKronecker pada representasi grup quaternion adalah grupdengan operasi perkalian matriks biasa, dimisalkan dengan G,yaitu
G = {Ak = [aij ]|i, j = 1, 2, · · · , 32}• Grup ini adalah grup non abelian berorde 32, dengan jumlah
subgrup sejati 72 dengan seluruh subgrup adalah normal dan25 diantaranya adalah subgrup siklik.
• Grup ini memiliki dua unsur sebagai sentral, yaitu A1 dan A2.
• Grup ini memiliki 32 kelas konjugasi, yaitu setiap unsurmerupakan kelas konjugasi.
Yanita 6/ 13
Diagram Lattice untuk subgrup dari G
Yanita 7/ 13
Analisis grup G• Dedekind → ya
• Solvabel → ya
• Nilpoten → tidak
• Metasiklik → tidak
• Supersolvabel → tidak
• Polisiklik → tidak
• Monolitik → tidak
Yanita 8/ 13
Tipe unsur-unsur GPerhatikan bahwa unsur-unsur pada G mempunyai tipe sebagaiberikut :
• Unsur-unsur yang bersifat a2 = e (e adalah unsur identitas),yaituA1, A2, A11, A12, A13, A14, A15, A16, , A19, A20, A21, A22, A23,A24, A27, A28, A29, A30, A30, A31, A32.
• Unsur-unsur yang bersifat a4 = e , yaituA3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A17, A18, A25, A25, dan untuksetiapa, b ∈ A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A17, A18, A25, A25
memiliki sifat a2 = b2
Yanita 9/ 13
Selanjutkan perhatikan pola pada tabel berikut
Yanita 10/ 13
Presentasi grup GBerdasarkan pola pada tabel Cayley dan tipe unsur-unsur pada grup G, makagenerator dari presentasi grup G ada 4 buah, misalkan a, b, c, d. Relasi yangmemenuhi generatornya sebagai berikut :
• Relasi berdasarkan tipe unsur untuk presentasi grup G adalaha4 = e, b4 = e, c2 = e, dan d2 = e atau a4 = b4 = c2 = d2 = e, a2 = b2
• Relasi yang dapat menghubungkan seluruh unsur adalahab = ba−1, acd = dca−, bcd = dcb−1.
Berdasarkan relasi ini diperoleh presentasi grup untuk G, adalah
P = 〈a, b, c, d|a4 = b4 = c2 = d2, a2 = b2, ab = ba−1, acd = dca−1, bcd =dcb−1〉
Jadi unsur dalam presentasi grup G adalah•e, a, b, c, d •a3, b3, c2, d3
•ab, a2b, a3b •ac, a2c, a3c•ad, a2d, a3d •bc, a2bc, a3bc•bd, a2bd, a3bd •cd, a2cd, a3cd•abc, abd, acd, bcd •abcd
Yanita 11/ 13
KAJIAN LANJUT
Generalisasi dari presentasi grup ini adalahP = 〈a, b, c, d|a2n = b2n = cn = dn, an = bn, ab = ba−1, acd =dca−1, bcd = dcb−1〉 untuk n > 2.
Pengembangan lainnya pada
• Grup fundamental pertamaπ1(P = 〈a, b, c, d|a4 = b4 = c2 = d2, a2 = b2, ab =ba−1, acd = dca−1, bcd = dcb−1〉)• Grup fundamental keduaπ2(P = 〈a, b, c, d|a4 = b4 = c2 = d2, a2 = b2, ab =ba−1, acd = dca−1, bcd = dcb−1〉)
Yanita 12/ 13
TERIMA KASIH
Yanita 13/ 13