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Grupo de Desarrollo en Investigación de operaciones - DINOP
Grupo de Investigación en Planeamiento Eléctrico - GP
Mauricio Granada EcheverriUniversidad Tecnológica de Pereira
Optimización combinatorial aplicada a la solución de algunos problemas de ingeniería
Contenido
1. Breve Historia1. Breve Historia
2. Problemas del mundo real (optimización)2. Problemas del mundo real (optimización)
3. Técnicas de Solución3. Técnicas de Solución
4. Aplicaciones4. Aplicaciones
4. Preguntas4. Preguntas
Breve Historia
El Grupo de Investigación en Planeamiento de Sistemas Eléctricos se creó en el año 1999, para soportar la investigación aplicada a los Sistemas Eléctricos, en la UTP.
Actualmente es un grupo de investigación reconocido por COLCIENCIAS y clasificado como tipo A
Breve Historia
Áreas de investigación:
Planeamiento de sistemas de transmisión y distribución de energía eléctrica
Calidad de la energía eléctrica
Mercado de energía
Confiabilidad de sistemas eléctricos
Investigación de operaciones y optimización matemática aplicada
Despacho hidrotérmico
Breve Historia
El grupo DINOP es creado en el año 2002 como resultado del fortalecimiento, por más de 3 años, de una de las líneas de investigación desarrolladas en la maestría del programa de ingeniería eléctrica de la Universidad Tecnológica de Pereira.
Breve Historia
Áreas de investigación:
PLANEACIÒN Y GESTIÒN OPTIMA DE PROCESOS ANÁLISIS DE RIESGOS ANÁLISIS DE DATOS OPTIMIZACIÓN COMBINATORIA Y EXACTA PROGRAMACIÓN LINEAL, ENTERA Y DINÁMICA PROGRAMACIÓN NO LINEAL MODELOS DE REDES MODELOS PROBABILISTICOS
PROBLEMAS DEL MUNDO REAL (optimización)
La optimización es el procedimiento de encontrar y comparar soluciones factibles hasta que no se pueda encontrar una mejor solución.
La optimización se refiere a encontrar una o más soluciones factibles las cuales corresponden a valores extremos de uno o más objetivos
PROBLEMAS DEL MUNDO REAL (optimización)
Problemas con soluciones Exactas
Problemas con unas buenas soluciones
Problemas del Mundo Real
Conjunto de Herramientas 1
Conjunto de Herramientas 2
Técnicas de IA
Existe cierto grado de independencia entre los problemas propios de la IA y las técnicas de solución propias de la IA
COSTO RECURSO COSTO RECURSO COSTO RECURSO COSTO RECURSOJUAN $ 1 3 HORAS $ 2 1 HORA $ 5 4 HORAS $ 6 4 HORASPEDRO $ 2 2 HORAS $ 1 3 HORAS $ 3 4 HORAS $ 10 2 HORAS
TAREA 1 TAREA 2 TAREA 3 TAREA 4
COSTOTAREA 1 TAREA 2 TAREA 3 TAREA 4 JUAN PEDROJUAN JUAN JUAN JUAN 12 HORAS 0 HORAS $ 14 INFACTIBLEJUAN JUAN JUAN PEDRO 8 HORAS 2 HORAS $ 18 FACTIBLEJUAN JUAN PEDRO JUAN 8 HORAS 4 HORAS $ 12 FACTIBLEJUAN JUAN PEDRO PEDRO 4 HORAS 6 HORAS $ 16 FACTIBLEJUAN PEDRO JUAN JUAN 11 HORAS 3 HORAS $ 13 INFACTIBLEJUAN PEDRO JUAN PEDRO 7 HORAS 5 HORAS $ 17 FACTIBLEJUAN PEDRO PEDRO JUAN 7 HORAS 7 HORAS $ 10 FACTIBLEJUAN PEDRO PEDRO PEDRO 3 HORAS 9 HORAS $ 15 INFACTIBLEPEDRO JUAN JUAN JUAN 9 HORAS 2 HORAS $ 15 INFACTIBLEPEDRO JUAN JUAN PEDRO 5 HORAS 4 HORAS $ 15 FACTIBLEPEDRO JUAN PEDRO JUAN 5 HORAS 6 HORAS $ 13 FACTIBLEPEDRO JUAN PEDRO PEDRO 1 HORA 8 HORAS $ 17 FACTIBLEPEDRO PEDRO JUAN JUAN 8 HORAS 5 HORAS $ 14 FACTIBLEPEDRO PEDRO JUAN PEDRO 4 HORAS 7 HORAS $ 14 FACTIBLEPEDRO PEDRO PEDRO JUAN 4 HORAS 9 HORAS $ 12 INFACTIBLEPEDRO PEDRO PEDRO PEDRO 0 HORAS 11 HORAS $ 16 INFACTIBLE
RECURSOS
PROBLEMAS DEL MUNDO REAL (optimización)
PROBLEMA DE ASIGNACIÓN GENERALIZADA
PROBLEMAS DEL MUNDO REAL (optimización)
Combinaciones = Agentes ^ Tareas
6988.75100 E
Si se realizan 1.000.000.000.000 operaciones por segundo, entonces en un año se tendrán 3.15E19 operaciones
5016.2 E AÑOS
EDAD DEL UNIVERSO = AÑOS 91020
PROBLEMA DE ASIGNACIÓN GENERALIZADA
PROBLEMAS DEL MUNDO REAL (optimización)
Programación óptima de horarios de clase Empaquetamiento óptimo Ubicación y dimensionamiento óptimo de
capacitores Reconfiguración óptima de alimentadores Balance óptimo de fases Diseño óptimo de circuitos impresos Diseño óptimo de mallas de puesta a
tierra
•Iridomyrmex humilis
•Linepithema humile
•Lasius niger
Comportamiento basado en comunicación directa mediada por FEROMONAS
EXPERIMENTOS REALIZADOS POR Deneubourg, & Pasteels, 1989
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: HORMIGAS REALES
LAS HORMIGAS COORDINAN SUS ACTIVIDADES EXPLOTANDO LA COMUNICACIÒN INDIRECTA MEDIADA POR MODIFICACIONES DEL AMBIENTE EN EL CUAL SE MUEVEN = COMUNICACIÓN STIGMERGY
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: HORMIGAS REALES
PROCESO AUTOCATALITICO DONDE LA HORMIGA REALIZA UNA ACTIVIDAD MICROSCOPICA QUE GENERA UN PATRON DE COMPORTAMIENTO MACROSCOPICO
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: HORMIGAS REALES
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: HORMIGAS REALES
ESTOCASTICO: QUE DEPENDE DEL AZAR
DeneubourG y colegas, 1990. : Flujo de hormigas por segundo a través de uno de los caminos v : Velocidad constante a la que se desplaza una hormiga s
cm
La hormiga deposita una unidad de feromona cada vez que pasa sobre un camino
ls ll , : Longitud del camino corto y del camino largo respectivamente cm
v
lt ss : Tiempo en el que se recorre el camino corto
ss
ll tl
lt : Tiempo en el que se recorre el camino largo
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: MODELO ESTOCÁSTICO
La probabilidad )(tpia que una hormiga llegue al
punto de decisión 2,1i y seleccione la rama
lsa , es función de la cantidad total de feromona )(tia la cual es proporcional a la cantidad de
hormigas que usen la rama durante un tiempo t .
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: MODELO ESTOCÁSTICO
Este modelo no considera la evaporación de la feromona
Variación instantánea de la feromona en las ramas
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: MODELO ESTOCÁSTICO
LOS EXPERIMENTOS ANTERIORES MUESTRAN LOS EXPERIMENTOS ANTERIORES MUESTRAN CLARAMENTE QUE LAS COLONIAS DE HORMIGAS CLARAMENTE QUE LAS COLONIAS DE HORMIGAS TIENEN CAPACIDAD DE REALIZAR UNA TIENEN CAPACIDAD DE REALIZAR UNA OPTIMIZACION CONSTRUCTIVAOPTIMIZACION CONSTRUCTIVA
Para modelar las hormigas artificiales se deben seguir los siguientes pasos:
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: HORMIGAS ARTIFICIALES
Rutas Tiempo Rastros de Feromona Toma de decisiones Actualización de los rastros de feromona Evaporación
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: MODELO
RUTAS
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: MODELO
TIEMPO
El tiempo se asume discreto (t=1,2,…) y cada hormiga se mueve a un nodo vecino a una velocidad constante de una unidad de longitud por unidad de tiempo
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: MODELO
RASTROS DE FEROMONA
Cada hormiga suma una unidad de feromona al arco que usó para moverse a un nodo vecino.
La adición de feromona se realiza en los dos sentidos
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: MODELO
TOMA DE DECISIONES Y ACTUALIZACION DE RASTROS DE FEROMONA
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: MODELO
MODELO DISCRETO
Considera el comportamiento promedio de todo el sistema y no el comportamiento estocástico de una hormiga en particular
Es un modelo discreto que evita el uso de ecuaciones diferenciales.
No se tiene en cuenta la evaporación
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: MODELO
Este algoritmo busca poder resolver problemas más complejos
Algoritmo S-ACO
El modelo discreto presenta alta probabilidad de formación de lazos
1 3
1
21
11 1
2
1
11
1.5
1
1
0.5
0.5 ( , )G N ACodificación del problema
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: RUTEO A COSTO MINIMO
Construcción de una solución probabilística basada en los rastros de feromona (sin actualización de feromona). La probabilidad cobija todas las rutas vecinas excepto la ruta anterior (esto no aplica a callejones sin salida
Las hormigas trabajan en 2 modos (forward y backward)
1 3
1
21
11 1
2
1
11
1.5
1
1
0.5
0.5
si
0 si
ki
ij kik
ilij l N
ki
j Np
j N
Qué es una hormiga ?
Técnicas de soluciónCOLONIA DE HORMIGAS: Construcción de una alternativa (forward)
Se eliminan los lazos
1 3
1
21
11 1
2
1
11
1.5
1
1
0.5
0.50-5-6-7-2-5-6-7-11
0
5 6 7
2
11
Existe un lazo
Fuente DestinoDirección de escaneo
0-5-6-7-11
Resultado de la ruta de regreso eliminando los lazos
Se actualizan los rastros de feromona del camino recorrido en la etapa forward basándose en la calidad de la solución
Beckers(1993)k
ij ij
Técnicas de soluciónCOLONIA DE HORMIGAS: Regreso y deposito de feromona (backward)
La evaporación es efectuada aplicando una regla adecuada. Por ejemplo, decaimiento a una tasa constante.
Deneubourg 1990Deneubourg 1990
1 , ( , )ij ij i j A
0,1
Técnicas de soluciónCOLONIA DE HORMIGAS: EVAPORACION DE FEROMONA
Numero de iteraciones (tiempo) Cuando todas las hormigas usan la misma
ruta
Técnicas de solución
COLONIA DE HORMIGAS: CRITERIOS DE PARADA
FUENTE DESTINO1
2
5
8
9
12
11 13
10 15 16 14
17 1918
3
46
7
APLICACIONES
COLONIA DE HORMIGAS: RUTA DE COSTO MÍNIMO
Tabla 1 Porcentaje de ensayos en los cuales S-ACO convergió al camino largo (100 ensayos independientes variando los valores de m, con 2 y 0
m 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 Actualización de feromona sin tener en
cuenta la longitud de la
ruta
50 42 26 29 24 18 3 2 1 0
Actualización de feromona teniendo en
cuenta la longitud de la
ruta
18 14 8 0 0 0 0 0 0 0
APLICACIONES
COLONIA DE HORMIGAS: RESULTADOS DEL EJEMPLO
1. Se propone una metodología consistente en la evaluación de parámetros de sensibilidad para la conformación de la población inicial de alternativas
2. Para posibilitar que el algoritmo de solución se desplace a través de la frontera llevando en cuenta soluciones factibles e infactibles se modificó el modelo matemático del problema a través de un procedimiento semejante a la relajación Lagrangeana usando factores de penalización
3. Para fines comparativos se toman como referencia resultados obtenidos usando algoritmos genéticos
APLICACIONESCOLONIA DE HORMIGAS: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN GENERALIZADA
Caso Mejor respuesta
conocida
ACO Iteraciones
A_5_100 1698 1698 18
B_10_200 2831 2831 62
C_10_200 2814 2814 141
D_10_200 12601 12634 521
APLICACIONESCOLONIA DE HORMIGAS: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN GENERALIZADA
Preguntas