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Leyes de Kirchhoff Circuitos en Serie RLC Circuitos Paralelo RLC - Guillermo Bermeo - Juan Castillo - Daniel Ochoa

Grupo6 monografía

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Leyes de Kirchhoff Circuitos en Serie RLC Circuitos Paralelo RLC

- Guillermo Bermeo - Juan Castillo - Daniel Ochoa

LEYES DE KIRCHHOFF

LEY DE CORRIENTES.

ESTA LEY TAMBIÉN ES LLAMADA LEY DE NODOS O PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF Y ES COMÚN QUE SE USE LA SIGLA LCK PARA REFERIRSE A ESTA LEY. LA LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF NOS DICE QUE:EN CUALQUIER NODO, LA SUMA DE LA CORRIENTE QUE ENTRA EN ESE NODO ES IGUAL A LA SUMA DE LA CORRIENTE QUE SALE. DE IGUAL FORMA, LA

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SUMA ALGEBRAICA DE TODAS LAS CORRIENTES QUE PASAN POR EL NODO ES IGUAL A CERO.

LA LEY SE BASA EN EL PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA CARGA DONDE LA CARGA EN COULOMB ES EL PRODUCTO DE LA CORRIENTE EN AMPERIOS Y EL TIEMPO EN SEGUNDOS.

LEY DE TENSIONES.

ESTA LEY ES LLAMADA TAMBIÉN SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF, LEY DE LAZOS DE KIRCHHOFF Y ES COMÚN QUE SE USE LA SIGLA LVK PARA REFERIRSE A ESTA LEY.EN TODA MALLA LA SUMA DE TODAS LAS CAÍDAS DE TENSIÓN ES IGUAL A LA TENSIÓN TOTAL SUMINISTRADA. DE FORMA EQUIVALENTE, EN TODA MALLA LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS DIFERENCIAS DE POTENCIAL ELÉCTRICO ES IGUAL A CERO.

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CIRCUITOS EN SERIE

UN CIRCUITO EN SERIE ES AQUEL CIRCUITO EL DONDE LOS RECEPTORES, RESISTENCIAS, CONDESADORES, ETC .SON CONECTADOS DE FORMA SECUENCIAL.

LA INTENSIDAD ES LA MISMA EN TODO EL CIRCUITO; LA TENSION SE REPARTE ENTRE LOS RECEPTORES

CIRCUITOS EN SERIE RLC

L = BOBINA O INDUCTOR

C = CONDESDOR O CAPACITOR

R = RESITENCIA

UN CIRCUITO RLC ES AQUEL QUE TIENE COMO COMPONENTES UNAQ RESISTENCIA, UNA CONDESADOR Y UN INDUCTOR CONECTADOS EN SERIE

CAIDAS DE VOLTAJE

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INDUCTOR: L . didt

RESISTOR: i .R

CAPACITOR: 1C q

TENIENDO EN CUENTA LA SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF REALIZAMOS LA SUMATORIA DE TODAS LAS CAIDAD DE VOLTAJE DEL SISTEMA:

∑ f=L didt

+iR+ iCq

LA IGUALAMOS CON LA TENSION TOTAL SUMINISTRADA

E( t)=L didt

+ iR+ iCq

COMO SABEMOS LA CARGA q (t) SE RELACIONA CON LA CORRIENTE i (t)

CON i=dqdt ENTONCES TENDREMOS LA SIGIENTE ECUACION

Ld2qd t 2

+R dqdt

+ 1Cq=E (t)

CIRCUITOS EN PARALELO

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EL CIRCUITO PARALELO ES UNA CONEXIÓN DONDE, LOS BORNES O TERMINALES DE ENTRADA DE TODOS LOS DISPOSITIVOS (GENERADORES, RESISTENCIAS, CONDENSADORES, ETC.) CONECTADOS COINCIDAN ENTRE SÍ,

LO MISMO QUE SUS TERMINALES DE SALIDA.

LA TENSION ES LA MISMA EN TODOS LOS PUNTOS DEL CIRCUITO.

CIRCUITOS EN PARALELO RLC

CUANDO SE CONECTA UN CIRCUITO RLC (RESISTENCIA, BOBINAYCONDENSADOR ) EN PARALELO, ALIMENTADO POR UNA SEÑALALTERNA (FUENTE DE TENSIÓN DECORRIENTE ALTERNA), HAY UN EFECTO DE ÉSTA EN CADA UNO DE LOS COMPONENTES.EN EL CONDENSADOR O CAPACITOR APARECERÁ UNA REACTANCIA CAPACITIVA, Y EN LA BOBINA O INDUCTOR UNA REACTANCIAINDUCTIVA. ESTOS CIRCUITOS OBEDECEN LA PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF LEY DE LAS CORRIENTES ENTONCES SE TIENE QUE:

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i (t )= v (t)R

i (t )= 1L∫ v (t)

i (t )=C dv (t)dt

i (t )=C dv (t)dt

+ 1L∫ v (t)+ v (t)

R

Ley General para todo tipo de circuito:

E ( t )=L didt

+Ri ( t )+ 1C∫0

t

i (τ )d τ

PARÁMETRIOS Y COMPONENTES

EL PARÁMETRO RESISTIVO

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN UN CIRCUITO MERAMENTE RESISTIVO, NO TIENE EFECTO SINO EN LAS FUNCIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE:

CUYA TRANSFORMADA ES:

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ESTOS RESULTADOS SE PUEDEN OBSERVAR EN LA FIGURA:

PARÁMETRO INDUCTIVO

OBSERVE LA FIGURA, Y DETALLE QUE PARA UNA INDUCTANCIA L EN HENRYS, QUE POSEE UNA CORRIENTE INICIAL DE I (0+) A EN LA DIRECCIÓN DE LA CORRIENTE I (T), SE TRANSFORMA EN EL DOMINIO DE S COMO UNAIMPEDANCIA SL EN OHMIOS, EN SERIE CON UNA FUENTE DE VOLTAJE CUYO VALOR EN S ES LI (T) Y QUE VA EN LA DIRECCIÓN DE LA CORRIENTE I(S).

LA ECUACIÓN QUE DESCRIBE EL COMPORTAMIENTO DEL INDUCTOR EN EL DOMINIO DEL TIEMPO ES:

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CUYA RESPECTIVA TRANSFORMADA ES:

PARÁMETRO CAPACITIVO

LA FIGURA QUE SE OBSERVA EN ESTA SECCIÓN, MUESTRA UNA CAPACITANCIA DE C FARADS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO; EN EL DOMINIO DE S, ÉSTA SE TRANSFORMA EN UNA IMPEDANCIA Y UNA FUENTE DE VOLTAJE EN SERIE OPONIÉNDOSE A LA CORRIENTE I (T), CUYOS VALORES SE OBSERVAN TAMBIÉN EN DICHA FIGURA:

EN EL DOMINIO DEL TIEMPO SE TIENE:

TRANSFORMAMOS ESTA ECUACIÓN, Y OBTENEMOS:

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FUENTES

EN CUANTO A FUENTES, LA TRANSFORMADA DEPENDE DE LA FUNCIÓN QUE CARACTERICE A DICHA FUENTE. OTRA HERRAMIENTA QUE DEBEMOS APRENDER, ES EL INTERCAMBIO DE FUENTES:

EN LA PRIMERA FIGURA, SE CUMPLE:

DESPEJAMOS I(S):

RESULTADO QUE NOS CONDUCE A LA SEGUNDA FIGURA. ESTAS TRANSFORMACIONES SON BIDIRECCIONALES, ES DECIR, SI TENEMOS UNA FUENTE DE CORRIENTE EN PARALELO CON UNA IMPEDANCIA SE CONVERTIRÁN EN UNA FUENTE DE VOLTAJE EN SERIE CON LA IMPEDANCIA, Y VICEVERSA.

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COMO SEGUNDA INSTANCIA, SE APRENDERÁN A RESOLVER CIRCUITOS QUE CONTENGAN LOS ANTERIORES PARÁMETROS, E INVOLUCREN CORRIENTES, VOLTAJES Y CONDICIONES INICIALES.

APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES

CONSIDERE EL CIRCUITO DE LA FIGURA, DONDE LA CORRIENTE INICIAL DEL INDUCTOR ES AMPERIOS, Y EL VOLTAJE INICIAL EN EL CONDENSADOR ES VOLTS, CON LA POLARIDAD INDICADA:

SI APLICAMOS LVK, OBTENEMOS LA ECUACIÓN INTEGRO-DIFERENCIAL:

E (t )=Ri ( t )+L di(t)dt

+ 1C∫ i ( t )dt

APLICAMOS TRANSFORMADA DE LAPLACE, Y SE OBTIENE:

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E ( s)=RI (s )+sLI (s )−L i0+1sCI ( s)+ Ec(0)

s

ARREGLAMOS ESTA ECUACIÓN

I ( s )=[ 1

R+sL+ 1sC ][E (s )+Lio−

Ec (0)s ]

EL PRIMER FACTOR PUEDE SER EXPRESADO DE LA SIGUIENTE FORMA:

Y (s )=[ 1

R+sL+ 1sC ]

Y DADA LA RELACIÓN ENTRE ADMITANCIA E IMPEDANCIA:

Z ( s)= 1Y ( s)

PODEMOS DEDUCIR QUE:

Z ( s)=R+sL+ 1sC

AHORA, DEJAMOS TODO EN UNA SOLA FRACCIÓN:

Z ( s)= s2 LC+sRC+1

sC

SI DETALLAMOS LA ÚLTIMA ECUACIÓN ESCRITA, Y LA RELACIONAMOS CON LA ECUACIÓN DONDE ESTÁ DESPEJADA I(S), VEREMOS QUE LOS CEROS DE Z(S) SON LOS QUE EN ÚLTIMAS

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DETERMINAN EL COMPORTAMIENTO DEL CIRCUITO. LO ANTERIOR, ESCRITO EN UNA ECUACIÓN SERÍA:

s2+RLs+ 1LC

=0

DESPUÉS DE TENER EN CUENTA TODAS ESTAS CONSIDERACIONES, LO ÚNICO QUE RESTA ES ENCONTRAR LA RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO; SIN EMBARGO, NO SE PUEDE GENERALIZAR UNA RESPUESTA DEBIDO A QUE DEPENDIENDO DE LAS FUNCIONES DE EXCITACIÓN Y DE LAS CONDICIONES INICIALES, LA RESPUESTA EN EL TIEMPO CAMBIA. LO QUE HAREMOS ENTONCES ES PLANTEAR LA ECUACIÓN DE TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE:

i(t)=L−1 I (s)=L−1 E ( s )+L io−Ec(0)s

Z (s )

COMO PODEMOS OBSERVAR LA ECUACIÓN ES SIMILAR A LA QUE UTILIZAMOS EN SISTEMAS RESORTE MASA.

SI E(T)=0, SE DICE QUE LAS VIBRACIONES ELÉCTRICAS DEL CIRCUITO ESTÁN LIBRES.

SI TENEMOS QUE LA ECUACIÓN AUXILIAR PARA 3 DADA POR Lm2+Rm+ 1

C=0 HAY TRES FORMAS DE SOLUCIÓN CON R≠0

,DEPENDIENDO DEL DISCRIMINANTE, ES DECIR:

SOBREAMORTIGUADO R2−4 L/C>0

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CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO R2−4 L/C=0

SUBAMORTIGUADO R2−4 L/C<0

EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1

Dado el circuito de la figura, con las siguientes condiciones iniciales:

Encuentre i(t), utilizando la transformada de Laplace.

SOLUCIÓN:

Como primer paso, incluimos las condiciones iniciales en el circuito del dominio del tiempo, y luego transformamos todo el circuito al dominio de la frecuencia:

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La ecuación principal para resolver el problema, es:

Ahora planteamos dos ecuaciones de malla, teniendo en cuenta que la segunda ecuación corresponde a la malla exterior del circuito:

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despejamos estas ecuaciones:

Y reemplazando en la ecuación principal:

separamos el primer sumando en fracciones parciales, ya que el segundo sumando ya posee coeficiente:

hallamos estos coeficientes:

con lo cual la función respuesta en el dominio de la frecuencia, es:

Esta ecuación podemos convertirla directamente al dominio del tiempo:

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EJEMPLO 2

Según el circuito de la figura, encuentre:

a) b) h (t)

c) i2(t) si

SOLUCIÓN:

a) Transformamos el circuito al dominio de la frecuencia:

Planteamos las siguientes ecuaciones de malla:

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Organizando estas ecuaciones:

despejamos de la segunda ecuación el valor de I1(s), y lo reemplazamos en la primera ecuación:

Esta última ecuación es una función de transferencia del circuito.

b) Para saber el equivalente de H(s) en el dominio del tiempo, aplicamos fracciones parciales:

En esta ocasión, empleamos el planteamiento de ecuaciones para hallar los coeficientes A y B:

resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

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con lo cual, la función H(s) queda:

ecuación a la que aplicamos directamente la tabla de transformadas inversas, lo que se traduce en una respuesta en el dominio del tiempo:

c) Tomamos la función de transferencia H(s) y despejamos el valor de I2(s) en términos de Vs(s):

Aplicamos la transformada de Laplace a la función vs (t), y reemplazamos el resultado en la anterior ecuación:

hallamos estos coeficientes, utilizando la misma técnica que se uso en el ítem anterior:

ordenando:

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resolviendo este sistema, obtenemos:

con lo cual la función I2(s) se puede rescribir como:

y finalmente, aplicando pares de transformadas para regresar al dominio del tiempo, se llega a:

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EJEMPLO 3

Problema modelo: planteo y resolución El circuito RLC de la figura está formado por un resistor R, un capacitor C y un inductor L conectados en serie a una fuente de voltaje e(t). Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t=0, tanto la carga en el capacitor como la corriente resultante en el circuito son cero. El objetivo es determinar la carga q(t) en el capacitor y la corriente resultante i(t) en el circuito en el tiempo t, sabiendo que R=160,L=1,C=10^-4,E(t)=20.

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Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito antes mostrado, se obtiene:

E( t)=L didt

+ iR+ iCq

Usando al ecuación (2), se tiene:

Ld2qd t 2

+R dqdt

+ 1Cq=E (t)

Sustituyendo los valores dados para R, C, L y e(t) se obtiene:

d2qd t 2

+160 dqdt

+104q=20

Ésta será la ecuación diferencial que se deberá resolver. Entonces, aplicando la transformada de Laplace en ambos lados, se llega a la siguiente ecuación:

(s¿¿2+160 s+104)Q (s )=[ sq (0 )+q (0 ) ]+160 (0 )+ 20s

¿

Donde Q(s) es la transformada de q(t). Se supone que q(0)=0, q’(0)=0 y i(0)=0, con lo cual la ecuación anterior se reduce simplemente a:

(s2+160 s+104)Q (s )=20s

Esto es,

Q (s )= 20

s (s2+160 s+104)

Haciendo el desarrollo en fracciones simples se obtiene:

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Luego, la corriente resultante en el circuito i(t) está dada por:

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Ejemplo 4

Se conecta en serie una fuente de voltaje V = 1.5 V, una resistencia R =20 ohmios, un capacitor de 103 F y un inductor L = 0.1 H. Determinar la carga en el capacitor y la corriente que circula por el circuito en todo tiempo, si inicialmente el capacitor está totalmente descargado y no fluye corriente sobre el circuito. La ecuación diferencial asociada al circuito RLC en serie de este ejemplo es

con las condiciones iniciales Q(0) = 0 C & I(0) = 0 A. Esta ecuación es similar a la ecuación diferencial de un resorte amortiguado sometido a una fuerza constante externa. La ecuación auxiliar es

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Cuyas raíces son r1;2 =- 100. Como las raíces son iguales, la solución general de la ecuación homogénea es de la forma

Por otra parte, una solución particular es Q(t) =15/ 10000=0.0015. Así que la carga está dada por:

Y la corriente por:

Usando las condiciones iniciales Q(0)=0, I(0)=0, obtenemos el sistema de ecuaciones

De donde, c1 = -0.0015 & c2 = -0.15. Finalmente, la carga y la corriente son, para tiempos t >= 0,

Observe que la corriente tiene un máximo cuando di/dt=0

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Ejemplo 5

Se conecta en serie una fuente de voltaje V = 110V, un capacitor de 103 F y un inductor L = 0.1 H. Determinar la carga en el capacitor y la corriente que circula por el circuito en todo tiempo, si inicialmente el capacitor estaba totalmente descargado y no fluía corriente sobre el circuito.

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Ejemplo 6

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Ejemplo 7

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Ejemplo 8

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Ejemplo 9

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Ejemplo 10

Ejercicios propuestos

1) Determine la carga, q(t), y la corriente, i(t), en un circuito en serie, en el que l = 1 h, r = 20 r, c = 0.01 f, e(t) = 120 sen(10t) v, q(o) = 0 c e i(o) = 0 a. ¿cuál es la corriente de estado estable?

2) Un capacitor de 10 uf y un inductor de 2 H están conectados en serie con una fuente de 100 v y 60 Hz. Determine la intensidad de corriente por el circuito.

3) Se conecta un resistor de 12 ohmios, un capacitor de 0:1 F, un inductor de 2 H y una fuente de voltaje V = 20 V, formando un circuito RLC. Si inicialmente se encuentra descargado el capacitor y no circula corriente por el circuito, determinar en todo tiempo posterior expresiones para la carga y la corriente.

4) ¿Cuál es la cargar y la corriente para un t=0.7seg en un circuito rlc en serie donde L=0.8 H , R=100 ohmios, c=0,005 f y

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E(t)=120cos(5t) teniendo en cuenta que la carga y la corriente en condiciones iniciales son nulas

5) Se conecta en serie un resistor R=5 ohmios, un capacitor de 0.04 F, un inductor de 0.5 H y una fuente de voltaje V=120 V. Determinar la carga en el capacitor y la corriente por el circuito en el tiempo t, si inicialmente la carga es de 10 C y la corriente de 5 A.

6) Un circuito RLC está formado por un resistor R =3.2 ohmios, un inductor L=0.4 H y un capacitor C=0.1 F. Si colocamos una fuente de voltaje directa de 50 V en t=0 s, y la suspendemos en t = π/3 s, determinar la carga en el capacitor y la corriente sobre el circuito antes y después de t =π/3 s, suponiendo que inicialmente el capacitor tiene una carga de 5 C y circula una corriente de 12 A.

7) Se conecta en serie un resistor de 4 ohmios, un capacitor de 0.05 F y un inductor de 0.2 H a una fuente de voltaje V=50 V formando un circuito RLC. Determinar la carga en el capacitor y la corriente por el circuito en el tiempo t, si inicialmente la carga es de 2 C y no circula corriente por el circuito. ¿En qué tiempo el capacitor obtiene su mayor carga?

8) En un circuito RLC en serie formado por un generador que produce 110 volts con una frecuencia de 60 Hz., un inductor de 0.2 H, un capacitor de 50 μ f. y una resistencia de 90 Ω. hallar la corriente en el circuito si la corriente en t=0s es cero.

9) En el circuito de la figura de terminar las cargas i1 (t), i2 (t) e i3 (t). si E (t) = 20 sen (4 ×104t) V, R1 = 8Ω, R2 = 4Ω, L = 0,2mH y C = 3,125µF.

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10) Monte el circuito RLC con Vef = 7 V para la fuente con R = 330 Ω, L = 9 mH y C = 5,7 µF. Mida i(t), VR , VL , VC con i(0)=0.

Conclusiones

La resolución de los problemas con ayuda de los teoremas de Laplace resulta de gran ayuda ya que el trabajo resulta mucho más fácil y además optimiza el tiempo de resolución.

En estos tipos de problemas se utilizan muchos teoremas de Laplace como por ejemplo los teoremas de traslación, Laplace de una integral, Laplace de una derivada lo cual hace que estos tipos de ejercicios sean muy completos

Las leyes de kirchhoff son fundamentales para la teoría de los circuitos rlc ya que con ellas se deducen las ecuaciones de corriente y voltaje

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Los ejercicios de circuitos se podrían resolver también con los otros métodos para resolver una ecuación diferencial

Recomendaciones

Para poder resolver los ejercicios se necesita saber los teoremas de Laplace o los métodos para resolver una ecuación deferencial así que se recomienda repasar lo antes mencionado

Al momento de resolver los ejercicios tomar en cuenta que tipo de circuito es y qué es lo que se pide para dar paso al planteamiento y utilizar las ecuaciones correspondientes