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UNIVERSIDADE ESTADUAL DECAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística eComputação Científica
GILMAR DE SOUSA FERREIRA
Grupos de extensões para certas categorias derepresentações graduadas de uma álgebra de
Lie graduada
Campinas2019
Gilmar de Sousa Ferreira
Grupos de extensões para certas categorias derepresentações graduadas de uma álgebra de Lie
graduada
Tese apresentada ao Instituto de Matemática,Estatística e Computação Científica da Uni-versidade Estadual de Campinas como partedos requisitos exigidos para a obtenção dotítulo de Doutor em Matemática.
Orientador: Adriano Adrega de Moura
Este exemplar corresponde à versãofinal da Tese defendida pelo aluno Gil-mar de Sousa Ferreira e orientada peloProf. Dr. Adriano Adrega de Moura.
Campinas2019
Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaAna Regina Machado - CRB 8/5467
Ferreira, Gilmar de Sousa, 1984- F413g FerGrupos de extensões para certas categorias de representações graduadas
de uma álgebra de Lie graduada / Gilmar de Sousa Ferreira. – Campinas, SP :[s.n.], 2019.
FerOrientador: Adriano Adrega de Moura. FerTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de
Matemática, Estatística e Computação Científica.
Fer1. Lie, Álgebra de. 2. Cohomologia (Matemática). 3. Extensões de grupos
(Matemática). 4. Sequências espectrais (Matemática). I. Moura, AdrianoAdrega de, 1975-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto deMatemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Extension groups for certain categories of graded representationsfor a graded Lie algebraPalavras-chave em inglês:Lie algebrasCohomologyGroup extensions (Mathematics)Spectral sequences (Mathematics)Área de concentração: MatemáticaTitulação: Doutor em MatemáticaBanca examinadora:Adriano Adrega de Moura [Orientador]Marcos Benevenuto JardimKostiantyn IusenkoVyacheslav FutornyLucio CentroneData de defesa: 06-11-2019Programa de Pós-Graduação: Matemática
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-1497-2164- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/3262981472033415
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Tese de Doutorado defendida em 06 de novembro de 2019 e aprovada
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). ADRIANO ADREGA DE MOURA
Prof(a). Dr(a). MARCOS BENEVENUTO JARDIM
Prof(a). Dr(a). KOSTIANTYN IUSENKO
Prof(a). Dr(a). VYACHESLAV FUTORNY
Prof(a). Dr(a). LUCIO CENTRONE
A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no
SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de
Matemática, Estatística e Computação Científica.
Agradecimentos
Agradeço aos familiares e amigos que estiveram presentes nesse período, emparticular a minha esposa Aline, meus filhos Gabriel e Analu, e ao meu orientador Adriano.
O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamentode Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001 e tambémcom apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - Código deFinanciamento 140676/2014-7.
ResumoDada uma álgebra de Lie graduada pelos inteiros não negativos com partes graduadasde dimensões finitas, estudamos aspectos cohomológicos da subcategoria plena de suasrepresentações graduadas, com partes graduadas de dimensões finitas. Em particular,obtemos uma versão da Sequência Espectral de Lyndon-Hochschild-Serre nesta categoria ealguns resultados parciais sobre o cálculo dos grupos de extensões entre os objetos simplesda mesma. No caso de uma álgebra de correntes truncada sobre sl2, com grau máximomenor ou igual a 3, descrevemos completamente todos os grupos de extensões entre taisobjetos.
AbstractGiven a graded Lie algebra over the nonnegative integers with finite-dimensional gradedpieces, we study cohomological aspects of the full subcategory of its graded representationswith finite-dimensional graded pieces. In particular, we obtain a version of the Lyndon-Hochschild-Serre Spectral Sequence in this category as well as partial results concerningthe computation of the extension groups between its simple objects. In the case of atruncated current algebra over sl2, with maximal degree at most 3, we completely describeall extension groups between such objects.
Lista de símbolos
F Corpo algebricamente fechado de característica 0
A subcategoria abeliana da categoria dos espaços vetoriais
F funtor aditivo
Hl“ pHn
qnPZ objeto graduado de A
GradpAq categoria dos objetos graduados e morfismos de grau 0
CocomppAq categoria dos cocomplexos em A
Hn n-ésimo funtor de cohomologia
RnF n-ésimo funtor derivado à direita de F
Ml,l“ pMp,q
qpp,qqPZˆZ objeto bi-graduado
pEl,lr , dl,l
r qrě1 sequência espectral
κ˚ funtor pull-back por κ
Pκ funtor adjunto à esquerda do funtor pull-back por κ
l álgebra de Lie
Modl categoria dos l-módulos
Fplq categoria dos l-módulos de dimensão finita
Uplq álgebra envelopante de l
Z nl funtor dos n-invariantes em Modl
G nl funtor dos n-invariantes em Modln
Gpaq subcategoria plena dos a-módulos Z-graduados com partes graduadasde dimensão finita
Dκ funtor adjunto à direita do funtor pull-back por κ
Da funtor dual graduado
Grpaq subcategoria plena de Gpaq com objetos concentrados em grau r
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 COHOMOLOGIA, SEQUÊNCIAS ESPECTRAIS E FUNTORES AD-JUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Sequências Espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Sequência Espectral de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4 Funtores Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 ÁLGEBRAS DE LIE E ÁLGEBRAS DE LIE GRADUADAS . . . . . 392.1 Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Álgebras Envelopantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Álgebras Graduadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.1 Restrição de Objetos Projetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.2 Pull-back, Dualidade e Translação de Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.3 Módulos Truncados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.4 Invariantes e Dualidade para Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . 53
3 RESOLUÇÕES PROJETIVAS E INJETIVAS . . . . . . . . . . . . . 543.1 Objetos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 Adjunções e equivalências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Apresentações Projetivas e Injetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4 Resolução de Chevalley-Eilenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 GRUPOS DE EXTENSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1 Redução ao Caso de Extensões da Representação Trivial . . . . . . . 634.2 Uma Sequência de Lyndon–Hochschild–Serre . . . . . . . . . . . . . 684.3 Aplicações a Álgebras Truncadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10
Introdução
O interesse pelo estudo de representações graduadas de álgebras de Lie temcrescido bastante nos últimos anos. Uma das motivações para tal interesse é o relaciona-mento de tais categorias com aquela das representações de dimensão finita das álgebras deKac-Moody afim quantizadas. Embora nossa motivação para estudarmos tais categoriasnessa tese seja exatamente este relacionamento, em particular na direção de se entender aestrutura das chamadas afinizações minimias de grupos quânticos, é importante mencionarque o estudo das mesmas tem ido muito além das motivações originais, tendo se tornadouma área de pesquisa interessante por si só.
Sejam g uma álgebra de Lie simples de dimensão finita sobre um corpo al-gebricamente fechado de característica zero F, g “ g b Frt, t´1
s sua álgebra de laços egrts “ gb Frts sua álgebra de correntes. Após os artigos [Cha01,CM06,CM07], ficou claroque boa parte do estudo da estrutura dos módulos de Kirillov-Reshetikhin (as afinizaçõesminimais correspondentes às representações com peso máximo múltiplo de um peso funda-mental) podia ser feita trabalhando-se com certas representações graduadas para grts. Issomotivou o artigo [CG07] onde foi mostrado que a categoria dos módulos graduados paragrts com partes graduadas de dimensão finita tem várias propriedades interessantes. Emparticular, ela é uma categoria de peso máximo no sentido de Cline-Parshall-Scott.
Mais adiante foi explorado o fato que os limites clássicos de boa parte dosmódulos de Kirillov-Reshetikhin (todos se g é de tipo clássico) fatoram a módulos paraa álgebra quociente de grts pelo ideal gb t2Frts. É fácil ver que essa álgebra é isomorfaao produto semidireto g˙ gad sendo gad a representação adjunta de g vista como álgebrade Lie com a estrutura trivial. Isso motivou o estudo mais sistemático de representaçõesgraduadas para esta álgebra [CG09]. Em particular, foi mostrado que certas subcategoriassão equivalentes a categorias de módulos para certas álgebras de Koszul. Os limites clássicosdos módulos de Kirillov-Reshetikhin que fatoram a representações de g˙ gad, pertencem atais subcategorias. De fato, várias afinizações minimias mais gerais que módulos de Kirillov-Reshetikhin também têm limites clássicos em tais subcategorias [CG11,Mou10,MP11] e sãoobjetos projetivos nelas. Embora não trataremos deste assunto aqui, deixando para explorareste aspecto num futuro próximo, é interessante observar que as mesmas propriedadeshomológicas dessas subcategorias que garantem sua Koszulidade foram usadas em [CG11]para obter uma fórmula para os caráteres graduados das coberturas projetivas de seusobjetos simples e, em particular, para tais afinizações minimais. Estas fórmulas são defato recursivas, expressando o caráter graduado de um certo objeto projetivo coma somaalternada dos caráteres de outros objetos projetivos cujos pesos máximos são menores.Para um dado objeto projetivo P com quociente simples V , o coeficiente multiplicando a
Introdução 11
parcela desta soma referente ao projetivo P 1 é
p´1qr dim ExtnpV, V 1q
sendo V 1 o quociente simples de P 1, r o grau no qual V 1 está concentrado e n “ r ´ s,sendo s o grau no qual V está concentrado. Desta forma, o cálculo dos grupos de extensõesentre objetos graduados simples para g˙ gad desempenha papel crucial nesta fórmula.
Porém, nem toda afinização minimal tem limite clássico que se fatora a ummódulo para grtsg b t2Frts se g for de tipo excepcional ou Dn. Por exemplo, se g é detipo G2, precisamos considerar grts “ gb t3Frts. Nestes casos, provavelmente não temosKoszulidade, mas talvez tenhamos propriedades “próximas” de Koszulidade de modo queconsigamos estudar os caráteres dos limites clássicos de afinizações minimais de maneirasemelhante. Este trabalho é dedicado a dar um primeiro passo nessa direção, aprofundandoo estudo dos aspectos cohomológicos de tais categorias, em especial relacionado ao cálculodos grupos de extensões entre objetos simples. É interessante ressaltar que
Ext1pV, V 1q
para quaisquer dois módulos simples de dimensão finita (não necessariamente graduados)para álgebras do tipo gb A, sendo A uma F-álgebra associativa com unidade, foi descritoem completa generalidade em [K10]. Tal resultado foi estendido para álgebra de funçõesequivariantes em [NS15]. Porém, pouca informação existe para os grupos de extensões deordem superior [BDMN15,FM94].
Uma das principais técnicas para este tipo de estudo é a utilização das sequên-cias espectrais. Sequências espectrais, em particular a Sequência Espectral de Lyndon–Hochschild–Serre, aparecem no estudo de álgebras de Lie desde meados do século 20,como pode ser visto em [HS53]. Esta foi a técnica utilizada em [BDMN15,NS15] acimamencionados. A mesma técnica também foi usada em [BDMN15] para provar outros resul-tados, em particular, uma conjectura antiga de Feigin sobre a finitude da dimensão dosgrupos de cohomologia Hn
pgrts,Fq. Trocando-se grts por grtsgb trFrts, tal finitude seguede uma das chamadas conjecturas fortes de Macdonald, demonstrada em [FGT08]. Partesubstancial do presente trabalho é dedicada a obter uma versão da Sequência Espectral deLyndon–Hochschild–Serre adaptada à categoria de representações que é o foco de nossosestudos.
Passamos à descrição da organização do trabalho e seus principais resultados.Os dois primeiros capítulos contém os pré-requisitos para o trabalho. No primeiro capítulofazemos uma recordação sobre cohomologia, sequências espectrais e funtores adjuntos.Sequências espectrais são apresentadas a partir de um par exato, mas essa não é a únicaforma de definição que pode ser feita, de fato, uma abordagem alternativa pode ser vistamais explicitamente em [CE56]. No segundo capítulo introduzimos a terminologia básica
Introdução 12
sobre álgebras de Lie graduadas e suas representações e revisamos alguns resultados quenos serão relevantes.
No terceiro capítulo introduzimos a categoria de interesse do nosso estudo, acategoria plena das representações graduadas onde cada parte graduada possui dimensãofinita. A denotamos por G . Os objetos simples de G são todos concentrados em algum grau.Passamos então ao estudo de vários funtores nesta categoria e à descrição de apresentaçõesprojetivas e injetivas. O principal resultado do capítulo nos mostra que, sob certas condições,a Resolução de Chevally-Eilenberg é ainda uma resolução projetiva da representação trivialem G .
Os resultados principais do trabalho se encontram no quarto capítulo. Asprimeiras duas seções são dedicadas a obter uma variação da Sequência Espectral deLyndon–Hochschild–Serre que faça sentido em G , culminando no Teorema 4.2.6. Na últimaseção, aplicamos este teorema, assim como alguns resultados da Seção 4.1, ao caso deálgebras de Lie graduadas truncadas, isto é, com um número finito de partes gradudasnão nulas. O objetivo é descrever os grupos de extensões entre os objetos simples de G ou,mais geralmente, ExtnpF,Mq sendo F a representação trivial e M um módulo concentradoem algum grau. Em particular, o Teorema 4.3.1 é uma versão mais precisa do Teorema4.2.6 neste contexto e, a princípio, fornece um procedimento recursivo para calculargrupos de extensões para álgebras truncadas em grau k ` 1 a partir do conhecimento dosmesmos para álgebras truncadas em grau k. Infelizmente, a teoria desenvolvida ainda nãoé suficientemente forte para nos permitir fazer o cálculo de extensões de maneira geral.Todavia, no caso especial da álgebra de Lie ser da forma
sl2 b FrtstkFrts,
conseguimos usar nossos resultados para calcular todos os grupos de extensões entreobjetos simples para os casos k ď 4: Teoremas 4.3.8 e 4.3.10. Alguns resultados parciaispara álgebras mais gerais também foram obtidos nesta direção.
13
1 Cohomologia, Sequências Espectrais e Fun-tores Adjuntos
Este capítulo tem como objetivo principal relembrar e fixar notação sobrecohomologia e sequências espectrais, em particular a de Grothendieck, que serão usadasno Capítulo 4 da tese. Como se trata de um material bem conhecido, omitiremos asdemonstrações, que podem ser encontradas por exemplo em [HS70,Rot08].
Ao longo do capítulo, A, B e C denotarão subcategorias abelianas da categoriados espaços vetoriais sobre um corpo F, isto é, cada objeto será um espaço vetorial e cadamorfismo será uma transformação linear. Também, todo funtor F : A Ñ B será aditivoe, para cada morfimo A Ñ B em A, imagem deste morfismo por F será denotado porF pAÑ Bq ou F pAq Ñ F pBq (F pBq Ñ F pAq, no caso em que F seja contravariante).
Lembramos que um subobjeto de A P A é um objeto B P A tal que existe ummonomorfismo B Ñ A em A. Uma sequência
¨ ¨ ¨ Ñ An´1ϕn´1ÝÑ An
ϕnÝÑ An`1 Ñ ¨ ¨ ¨
em A é dita uma sequência exata em An se a imagem de ϕn´1 é o núcleo de ϕn. A sequênciaacima é dita uma sequência exata se é exata em cada An para n P Z. Uma sequência exata
0 Ñ AÑ B Ñ C Ñ 0
em A é dita uma sequência exata curta. Uma análise de um morfismo ϕ : AÑ B em A éuma fatoração
ϕ : A εÑ C
µÑ B
em A onde ε é um epimorfismo e µ é um monomorfismo. Necessariamente, as sequências
0 Ñ kerpϕq Ñ AεÑ C Ñ 0 e 0 Ñ C
µÑ B Ñ B Impϕq Ñ 0
em A são exatas curtas e C – Impϕq.
1.1 CohomologiaUm objeto graduado de A, ou simplesmente um objeto graduado, quando não há
perigo de confusão, é uma família pHnqnPZ
1, indexada em Z, de objetos de A. É frequentedenotar um objeto graduado de A por Hl. Diz-se que um objeto graduado Hl de A é não1 O índice pode ser subscrito ao invés de sobrescrito. No texto, utilizaremos o índice sobrescrito para
falar de cohomologias e subscrito para falar de homologias
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 14
negativo se Hn“ 0 para todo n ă 0. Dados Hl e Jl dois objetos graduados de A e a P Z,
um morfismo graduado de grau a é uma família pϕn : HnÑ Jn`aq em A. É frequente
denotar um morfismo graduado por ϕl. A categoria cujo objetos são os objetos graduadosde A e os morfismos são os morfismos graduados de grau 0, denotada por GradpAq é umacategoria abeliana.
Um cocomplexo em A, ou simplesmente um cocomplexo, quando não há perigode confusão, é um par ordenado pCl, Bl
q, onde Cl é um objeto graduado de A e Bl :Cl
Ñ Cl é um morfismo graduado de grau 1 satisfazendo BnBn´1“ 0 para todo n P Z.
Dado um cocomplexo pCl, Blq sobre A, o morfismo Bl é chamado de diferencial e Bn
é chamada de n-ésima diferencial para todo n P Z. Dados dois cocomplexos pCl, Blq e
pDl, δlq sobre A, um morfismo de cocomplexos ϕl : pCl, Bl
q Ñ pDl, δlq é um morfismo
graduado ϕl : ClÑ Dl de grau 0 satisfazendo δnϕn “ ϕn`1
Bn para todo n P Z. A
categoria onde os objetos são os cocomplexos em A e os morfismos são os morfismos decocomplexos, denotado por CocomppAq, é uma categoria abeliana. Um cocomplexo podeser “visualizado” através de uma sequência
pCl, Blq : ¨ ¨ ¨ Ñ Cn´1 Bn´1
Ñ Cn Bn
Ñ Cn`1Ñ ¨ ¨ ¨ , (1.1)
chamada de cadeia cocomplexa em A. Dados uma cadeia cocomplexa pCl, Blq em A e um
funtor F : A Ñ B, defini-se a um funtor CocomppAq Ñ CocomppBq, também denotadopor F , que transforma a cadeia cocomplexa (1.1) na cadeia cocomplexa
`
F pClq,F pBl
q˘
: ¨ ¨ ¨ Ñ F pCn´1q
F pBn´1qÑ F pCn
qF pBnqÑ F pCn`1
q Ñ ¨ ¨ ¨
sobre B.
Dado um cocomplexo pCl, Blq em A, como BnBn´1
“ 0, temos que ImpBn´1q Ď
KerpBnq Ď Cn. Defini-se o n-ésimo grupo de cohomologia de Cl por
H npCl, Bl
q “ KerpBnq ImpBn´1q.
Dados um outro cocomplexo pDl, δlq sobre A e um morfismo de cocomplexos ϕl :
pCl, Blq Ñ pDl, δl
q, pela propriedade do núcleo, o diagrama abaixo
KerpBnq //
Cn
ϕn
Bn // Cn`1
ϕn`1
Kerpδnq // Dn δn // Dn`1
em A pode ser completado de tal forma que seja comutativo. Pela propriedade de conúcleo,existe um único morfismo
H npϕl
q : H npCl, Bl
q Ñ H npDl, δl
q
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 15
tal que o diagrama abaixo
Cn´1 //
ϕn´1
KerpBnq
//H npClq
H npϕlq
// 0
Dn´1 // Kerpδnq //H npDlq // 0
em A é comutativo. Esta definição dá origem a funtor aditivo
H n : CocomppAq Ñ A
denominado n-ésimo funtor de cohomologia.
Proposição 1.1.1. Para cada sequência exata curta
0 Ñ pCl1 , B
l1 q
ϕl1Ñ pCl
2 , Bl2 q
ϕl2Ñ pCl
3 , Bl3 q Ñ 0,
em CocomppAq, existe uma sequência exata longa
¨ ¨ ¨ Ñ H npCl
1 , Bl1 q
H npϕl1 q
ÝÑ H npCl
2 , Bl2 q
H npϕl2 q
ÝÑ H npCl
3 , Bl3 q ÝÑ H n`1
pCl1 , B
l1 q Ñ ¨ ¨ ¨ .
(1.2)em A natural no sentido que, se
0 // pCl1 , B
l1 q
ϕl1 //
χl1
pCl2 , B
l2 q
ϕl2 //
χl2
pCl3 , B
l3 q
//
χl3
0
0 // pDl1 , δ
l1 q
ψl1 // pDl
2 , δl2 q
ψl2 // pDl
3 , δl3 q
// 0
é uma diagrama comutativo com linhas exatas em CocomppAq, o diagrama
H npCl
2 , Bl2 q
H npϕl2 q//
H npχl2 q
H npCl
3 , Bl3 q
//
H npχl3 q
H n`1pCl
1 , Bl1 q
H n`1pχl1 q
H n`1pϕl1 q//H n`1
pCl2 , B
l2 q
H n`1pχl2 q
H npDl
2 , δl2 q
H npψl2 q//H n
pDl3 , δ
l3 q
//H n`1pDl
1 , δl1 q
H n`1pψl1 q//H n`1
pDl2 , δ
l2 q
é comutativo com linhas exatas em A.
Os morfismos H npCl
3 , Bl3 q ÝÑ H n`1
pCl1 , B
l1 q que aparecem em (1.2) denominam-
se morfismos de conexão.
Um objeto I P A é dito injetivo em A se, para cada monomorfismo µ : AÑ B
e para cada morfismo ϕ : AÑ I, existe um morfismo ψ : B Ñ I tal que o diagrama abaixo
I
A // µ//
ϕ
OO
B
ψ__
é comutativo em A. Dado A P A, um cocomplexo pIl, Blq não negativo em A é dito uma
corresolução de A em A se:
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 16
(i) H npIlq “ 0 para todo n ą 0, isto é, o cocomplexo é acíclico;
(ii) KerpB0q – A.
Note que um cocomplexo pIl, Blq não negativo em A é uma corresolução de A em A se, e
somente se, a sequência0 Ñ AÑ I0 B0
Ñ I1 B1Ñ I2
Ñ ¨ ¨ ¨
é uma sequência exata em A. Uma corresolução pIl, Blq de A em A é dita uma corresolução
injetiva de A em A se In é um objeto injetivo em A para todo n ě 0.
Dados dois cocomplexos pCl, Blq e pDl, δl
q sobre A e um par de morfismosde cocomplexos
ϕl, ψl : pCl, Blq Ñ pDl, δl
q,
um morfismo graduado τl : ClÑ Dl de grau ´1 é uma cohomotopia entre ϕl e ψl,
denotado por τl : ϕl– ψl, se
ϕn ´ ψn “ δn´1τn ` τn`1Bn para todo n P Z.
Os dois fatos essenciais sobre cohomotopias são dados pela proposição abaixo.
Proposição 1.1.2. Sejam pCl, Blq e pDl, δl
q dois cocomplexos sobre A,
ϕl, ψl : pCl, Blq Ñ pDl, δl
q
dois morfismos de cocomplexos e τl : ϕl– ψl uma cohomotopia entre ϕl e ψl. Então
H npϕl
q “ H npψl
q : H npCl, Bl
q Ñ H npDl, δl
q.
Além disso, para cada funtor aditivo F : A Ñ B, F pτlq : F pCl
q Ñ F pDlq é uma
cohomotopia entre F pϕlq e F pψl
q.
O próximo teorema, conhecido como Teorema da Comparação, tem papelfundamental no Capítulo 4.
Teorema 1.1.3. Sejam A,B P A, pCl, Blq uma corresolução de A em A e pIl, δl
q umacorresolução injetiva de B em A. Então, para cada morfismo ϕ : A Ñ B, a menos decohomotopia, existe um único morfismo de cocomplexos ψl : pCl, Bl
q Ñ pIl, δlq tal que
o diagrama0 // A //
ϕ
C0
ψ0
B0// C1
ψ1
B1// C2
ψ2
//
0 // B // I0 δ0// I1 δ1
// I2 //
é comutativo com linhas exatas em A.
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 17
Um morfismo de cocomplexos ψl : pCl, Blq Ñ pIl, δl
q que faz o diagramaacima ser comutativo é denominado uma extensão de ϕ : AÑ B.
Um complexo em A, ou simplesmente um complexo, quando não há perigo deconfusão, é um par ordenado pCl, Blq, onde Cl é um objeto graduado de A e Bl : Cl Ñ Cl
é um morfismo graduado de grau ´1 satisfazendo BnBn`1 “ 0 para todo n P Z. Fazendo
Dn“ C´n e δn “ B´n para todo n P Z
tem-se que pDl, δlq é um cocomplexo sobre A. Defini-se, dualmente, o conceito demorfismo
de complexos, o conceito de cadeia complexa, o conceito de n-ésimo grupo do homologia, oconceito de n-ésimo funtor de homologia, o conceito de resolução projetiva e o conceito dehomotopia. Existem também duas proposições e um teorema análogos às duas proposiçõese ao teorema acima.
Dize-se que uma categoria abeliana A possui suficientes injetivos se cadaobjeto possui uma corresolução injetiva em A. Suponha que A possua suficientes injetivose, para cada objeto A P A, fixe uma corresolução injetiva pIl
A , BlAq. Para cada funtor
aditivo F : A Ñ B e cada inteiro não negativo n, o n-ésimo funtor derivado à direitade F calculado em A, denotado por RnF pAq, é o n-ésimo grupo de cohomologia de`
F pIlA q,F pB
lAq˘
. Lembramos que a associação AÑ RnF pAq não depende da particularescolha da corresolução injetiva pIl
A , BlAq. Se B P A é um outro objeto e ϕ : A Ñ B
é um morfismo, define-se RnF pϕq : RnF pAq Ñ RnF pBq como sendo H npψl
q, ondeψl : pIl
A , BlAq Ñ pIl
B , BlBq é uma extensão ϕ dada pelo Teorema da Comparação (Teorema
1.1.3).
Vamos enumerar algumas propriedades dos funtores derivados à direita:
1. Os funtores derivados à direita RnF são aditivos para todo n ě 0 e RnF pAq “ 0para todo n ă 0 e para cada objeto A P A;
2. Quando F é exato à esquerda, existe uma equivalência natural entre R0F e F ;
3. Para cada objeto injetivo I P A,
RnF pIq “ 0, para todo n ą 0; (1.3)
4. Para cada sequência exata curta
0 Ñ AÑ B Ñ C Ñ 0
em A existe uma sequência exata longa
R0F pAq Ñ R0F pBq Ñ R0F pCq Ñ ¨ ¨ ¨
¨ ¨ ¨ Ñ RnF pAq Ñ RnF pBq Ñ RnF pCq Ñ Rn`1F pAq Ñ ¨ ¨ ¨ ,
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 18
em A, tal que R0F pAq Ñ R0F pBq é um monomorfismo quando F é exato àesquerda.
Se A é uma categoria com suficientes injetivos, dados dois objetos A,B P A,defini-se o n-ésimo grupo de extensões de A por B, denotado por ExtnApA,Bq, como sendoRn HomApA,´qpBq. Mais precisamente, dada uma corresolução injetiva pIl
B , BlBq de B,
ExtnApA,Bq é o n-ésimo grupo de cohomologia da cadeia cocomplexa
0 Ñ HomApA, I0Bq Ñ HomApA, I
1Bq Ñ HomApA, I
2Bq Ñ ¨ ¨ ¨ .
Diz-se que uma categoria abeliana A possui suficientes projetivos se cada objetopossui uma resolução projetiva. Dados dois objetos numa categoria A que possua suficientesinjetivos e projetivos, para cada resolução projetiva pPl, Blq de A, o n-ésimo grupo decohomologia de
0 Ñ HomApP0, Bq Ñ HomApP1, Bq Ñ HomApP2, Bq Ñ ¨ ¨ ¨
coincide com ExtnApA,Bq.
1.2 Sequências EspectraisUm objeto bi-graduado de A, ou simplesmente um objeto bi-graduado, quando
não há perigo de confusão, é uma família pMp,qqpp,qqPZˆZ, indexada em Zˆ Z, de objetos
de A. É frequente denotar um objeto bi-graduado de A por Ml,l. Diz-se que um objetobi-graduado Ml,l de A é do tipo primeiro quadrante quando Mp,q
“ 0 se p ă 0 ouq ă 0. Dados Ml,l e Nl,l dois objetos bi-graduados de A e pa, bq P Zˆ Z, um morfismobi-graduado de bi-grau pa, bq é uma família pϕp,q : Mp,q
Ñ Np`a,q`bq em A. É frequente
denotar um morfismo bi-graduado por ϕl,l. A categoria cujo objetos são os objetosbi-graduados de A e os morfismos são os morfismos bi-graduados de bi-grau p0, 0q é umacategoria abeliana.
Uma cofiltração de um objeto graduadoMlP GradpAq é uma família pFl
p qpPZ,indexada em Z, de objetos de A tal que
F np`1 Ď F n
p ĎMn para todo pn, pq P Zˆ Z.
Uma cofiltração pFlp qpPZ de Ml é dita uma cofiltração do tipo finito se, para cada n P Z,
existem ps, tq P Zˆ Z, com s ď t, satisfazendo
0 “ F nt Ď F n
t´1 Ď ¨ ¨ ¨ Ď F ns`1 Ď F n
s “Mn.
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 19
Uma cofiltração de um cocomplexo pCl, Blq é uma família pFl
p , Blp qpPZ, indexada em Z,
de objetos de A tal que pFlp qpPZ é uma cofiltração de Cl e o diagrama
// Cn´1 Bn´1// Cn Bn // Cn`1 //
// F n´1p
Bn´1p
//
OO
F np
Bnp//
OO
F n`1p
//
OO
// F n´1p`1
Bn´1p`1//
OO
F np`1
Bnp`1//
OO
F n`1p`1
//
OO
é comutativo, onde as setas verticais são as inclusões. Como BnpF np q “ ImpBnp q para todo
pn, pq P Zˆ Z, alternativamente, pode-se definir uma cofiltração de pCl, Blq como sendo
uma cofiltração pFlp qpPZ de Cl tal que
BnpF n
p q Ď F n`1p Ď Cn`1 para todo pn, pq P Zˆ Z.
Uma cofiltração pFlp , B
lp qpPZ de um cocomplexo pCl, Bl
q em A induz uma cofiltraçãopΦl
p qpPZ do objeto graduado`
H npCl, Bl
q˘
nPZ em A definindo
Φnp “ Im
´
H n`
pFlp , B
lp q Ñ pCl, Bl
q˘
¯
. (1.4)
A verificação que a definição acima é uma cofiltração vem da observação do diagramacomutativo abaixo
H npFl
p`1, Blp`1q
//
%% %%
H npFl
p , Blp q
//
%% %%
H npCl, Blq
rΦ
$$ $$
::
::
Φnp
99
99
Φnp`1
99
99
em A, onde
H npFl
p`1, Blp`1q Ñ
rΦ Ñ H npFl
p , Blp q e H n
pFlp , B
lp q Ñ Φn
p Ñ H npCl, Bl
q
são análises de H npFl
p`1, Blp`1q Ñ H n
pFlp , B
lp q e H n
pFlp , B
lp q Ñ H n
pCl, Blq respecti-
vamente erΦ Ñ Φn
p`1 Ñ Φnp
é uma análise de rΦ Ñ Φnp . Caso F n
t “ 0 e F ns “ Cn, para alguns n, s, t P Z, então
H npFl
t , Blt q “ 0, F n
s Ñ Cn“ 1Cn e
Φnt “ Im
`
H npFl
t , Blt q Ñ H n
pCl, Blq˘
“ 0
eΦns “ Im
´
H n`
pF ns , B
ls q Ñ pCn, Bl
q˘
¯
“ H npCl
q.
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 20
Ou seja, caso a cofiltração pFlp , B
lp qpPZ seja do tipo finito, então a cofiltração pΦl
p qpPZ é dotipo finito.
Sejam pCl, Blq um cocomplexo em A e µl : pDl, δl
q Ñ pCl, Blq um mono-
morfismo. Para cada n P Z, tem-se um diagrama em A
0 // Dn µn//
δn
Cn //
Bn
CnDn //
Ωn
0
0 // Dn`1 µn`1// Cn`1 // Cn`1Dn`1 // 0
que é comutativo no lado esquerdo e pode ser completado no lado direito, pela propriedadede conúcleo, de tal que maneira que seja comutativo. Defini-se assim um cocomplexopCl
Dl,Ωlq que é o quociente de pCl, Bl
q por pDl, δlq.
Fixe um cocomplexo pCl, Blq e uma cofiltração pFl
p , Blp qpPZ de pCl, Bl
q emA. Para cada p P Z, tem-se uma sequência exata curta
0 Ñ pFlp`1, B
lp`1q
ilp`1Ñ pFl
p , Blp q
πlpÑ pFl
p Flp`1,Ωl
p q Ñ 0, (1.5)
em CocomppAq e, consequentemente, uma sequência exata longa (Proposição 1.1.1)
¨ ¨ ¨ Ñ H npFl
p`1, Blp`1q Ñ H n
pFlp , B
lp q Ñ H n
pFlp F
lp`1,Ωl
p q
Ñ H n`1pFl
p`1, Blp`1q Ñ ¨ ¨ ¨ .
Para cada par de inteiros pp, qq P Zˆ Z, introduzindo-se as notações
Dp,q1 “ H p`q
pFlp , B
lp q e Ep,q
1 “ H p`qpFl
p Flp`1,Ωl
p q (1.6)
para os pp` qq-ésimos grupos de cohomologias de pFlp , B
lp q e pFl
p Flp`1,Ωl
p q,
αp,q1 “ H p`qpilp q : Dp,q
1 Ñ Dp´1,q`11 e βp,q1 “ H p`q
pπpq : Dp,q1 Ñ Ep,q
1
para os morfismos induzidos por ilp e πlp , e
γp,q1 : Ep,q1 Ñ Dp`1,q
1
para o morfismo de conexão, a sequência exata longa acima pode ser re-escrita como
¨ ¨ ¨ Ñ Dp`1,q´11
α1ÝÑ
p´1,1q
Dp,q1
β1ÝÑ
p0,0q
Ep,q1
γ1ÝÑ
p1,0q
Dp`1,q1 Ñ ¨ ¨ ¨ , (1.7)
onde os subíndices nas setas acima indicam o bi-grau do morfismo correspondente.
Um par exato em A é uma quíntupla
pDl,l, El,l, αl,l, βl,l, γl,lq,
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 21
onde Dl,l e El,l, são objetos bi-graduados de A e αl,l : Dl,lÑ Dl,l, βl,l : Dl,l
Ñ
El,l e γl,l : El,lÑ Dl,l são morfismos bi-graduados de bi-graus pa, bq, pc, dq e pe, fq,
respectivamente,Dl,l αl,l
// Dl,l
βl,l
El,l
γl,l
\\
(1.8)
tal que para cada pp, qq P Zˆ Z, a sequência
¨ ¨ ¨ Ñ Dp´c´a,q´d´b αÝÑ
pa,bq
Dp´c,q´d βÝÑ
pc,dq
Ep,q γÝÑ
pe,fq
Dp`e,q`fÑ ¨ ¨ ¨ ,
é exata em A. O morfismo bi-graduado dl,l : El,lÑ El,l de grau pc` e, d` fq definido
pordp,q “ βp`c,q`dγp,q : Ep,q
Ñ Ep`c`e,q`d`f
é denominado diferencial do par exato. Denote a imagem de dp,q por Bp`c`e,q`d`f e seunúcleo por Zp,q.
Cada cofiltração pFlp , B
lp qpPZ de um cocomplexo pCl
p , Blp q sobre A dá origem,
por (1.7), a um par exato. Aplicando a Proposição 1.1.1 no diagrama comutativo
0 // pFlp`1, B
lp`1q
//
πlp`1
pFlp , B
lp q
//
pFlp F
lp`1,Ωl
p q// 0
0 // pFlp`1F
lp`2,Ωl
p`1q// pFl
p Flp`2,Ωlq // pFl
p Flp`1,Ωl
p q// 0
em CocomppAq com linhas exatas, obtemos o diagrama comutativo
Ep,q1
γp,q1 // Dp`1,q1
βp`1,q1
Ep,q1
// Ep`1,q1
em A, mostrando que o morfismo de conexão Ep,q1 Ñ Ep`1,q
1 é a composta βp`1,q1 γp,q1 , isto
é, a diferencial desse par exato é o morfismo de conexão da sequência exata curta decocomplexos sobre A
0 Ñ pFlp`1F
lp`2,Ωl
p`1q Ñ pFlp F
lp`2,Ωl
q Ñ pFlp F
lp`1,Ωl
p q Ñ 0. (1.9)
Descreveremos agora uma maneira de se obter um novo par exato em A
Dl,l2
αl,l2 // Dl,l
2
βl,l2
El,l2
γl,l2
[[
,
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 22
denominado de par exato derivado, a partir de (1.8). Seja
Dp,q εp,qÝÑ Impαp,qq µ
p`a,q`b
ÝÑ Dp`a,q`b (1.10)
uma análise de αp,q. Defina
Ep,q2 “ Zp,q
Bp,q, Dp,q2 “ Impαp´a,q´bq
eαp,q2 “ εp,qµp,q.
Para definir γp,q2 , lembrando que µp`e,q`e é o núcleo de βp`e,q`f , o lado esquerdo dodiagrama abaixo
Zp,q κp,q //
rγp,q
Ep,q
γp,q
Dp`e,q`f2
µp`e,q`f// Dp`e,q`f βp`e,q`f
// Dp`c`e,q`d`f
pode ser completado de maneira única de tal forma que ele se torna comutativo em A.Considerando agora uma análise
dp´c´e,q´d´f : Ep´c´e,q´d´fÑ Bp,q
Ñ Ep,q,
como dp,qdp´c´e,q´d´f “ 0, dp´c´e,q´d´f pode ser escrito como
Ep´c´e,q´d´f σp,qÑ Bp,q ιp,q
Ñ Zp,q κp,qÑ Ep,q
e, utilizando o fato que γp,qdp´c´e,q´d´f “ pγp,qβp´c,q´dqγp´c´e,q´d´f “ 0, tem-se que
Ep´c´e,q´d´f σp,qÑ Bp,q ιp,q
Ñ Zp,q rγp,qÝÑ Dp`e,q`f
2µp`e,q`fÝÑ Dp`e,q`f
é o morfimo nulo. Como σp,q é um epimorfismo e µp`e,q`f é um monomorfismo, tem-se que
Bp,q ιp,qÑ Zp,q rγp,q
ÝÑ Dp`e,q`f2
é o morfismo nulo. Pela propriedade do conúcleo, existe um único morfismo
γp,q2 : Ep,q2 Ñ Dp`e,q`f
2 ,
tal que o diagrama abaixo
Zp,q
πp,q
||
rγp,q
$$
Ep,q2 γp,q2
// Dp`e,q`f2
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 23
é comutativo em A, onde πp,q2 é o conúcleo de ιp,q. Para definir βp,q2 , aplicando o Lema daSerpente (Lema III 5.1 de [HS70]) nas linhas intermediárias do diagrama comutativo emA
Zp´a´e,q´b´frγp´a´e,q´b´f
//
κp´a´e,q´b´f
Dp´a,q´b
2αp´a,q´b2 //
µp´a,q´b
Dp,q2
Ep´a´e,q´b´fγp´a´e,q´b´f
//
ιp´a`c,q´b`dσp´a`c,q´b`d
Dp´a,q´b εp´a,q´b //
βp´a,q´b
Dp,q2
0
// 0
0 // Zp´a`c,q´b`d κp´a`c,q´b`d //
πp´a`c,q´b`d
Ep´a`c,q´b`d dp´a`c,q´b`d //
Ep´a`2c`e,q´b`2d`f
Ep´a`c,q´b`d
2// Impγp´a`c,q´b`dq // Ep´a`2c`e,q´b`2d`f
,
(1.11)existe um morfismo
βp,q2 : Dp,q2 Ñ Ep´a`c,q´b`d
2 ,
tal que a sequência
Zp´a´e,q´b´f rγÝÑ Dp´a,q´b
2α2ÝÑ Dp,q
2β2ÝÑ Ep´a`c,q´b`d
2 ÝÑ Impγp´a`c,q´b`dq (1.12)
é exata em A. Resta verificar apenas que a quíntupla acima é um par exato. Por (1.12), asequência
Zp´a´e,q´b´f rγÝÑ Dp´a,q´b
2α2ÝÑ Dp,q
2
em A é exata. Como rγp´a´e,q´b´f “ γp´a´e,q´b´f2 πp´a´e,q´b´f e πp´a´e,q´b´f é epimorfismo,tem-se que a sequência
Ep´a´e,q´b´f γ2ÝÑ Dp´a,q´b
2α2ÝÑ Dp,q
2
em A é exata. Por (1.11) e pelas definições de rγp´a`c,q´b`d e γp´a`c,q´b`d2 , o diagrama
Zp´a`c,q´b`d κ //
π
rγ
%%
Ep´a`c,q´b`d
γ
xx
Ep´a`c,q´b`d2
//
γ2
Impγp´a`c,q´b`dq
Dp´a`c`e,q´b`d`f2
µ// Dp´a`c`e,q´b`d`f
em A é comutativo. Por (1.12), a sequência
Dp,q2
β2ÝÑ Ep´a`c,q´b`d
2 ÝÑ Impγp´a`c,q´b`dq
em A é exata. Como Impγp´a`c,q´b`dq Ñ Dp´a`c`e,q´b`d`f é um monomorfismo, a sequência
Dp,q2
β2ÝÑ Ep´a`c,q´b`d
2 ÝÑ Impγp´a`c,q´b`dq Ñ Dp´a`c`e,q´b`d`f
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 24
em A é exata em Ep´a`c,q´b`d2 . Substituindo
Ep´a`c,q´b`d2 ÝÑ Impγp´a`c,q´b`dq Ñ Dp´a`c`e,q´b`d`f
porEp´a`c,q´b`d
2γ2ÝÑ Dp´a`c`e,q´b`d`f
2µÝÑ Dp´a`c`e,q´b`d`f
e pelo fato de µp´a`c`e,q´b`d`f se monomorfismo, tem-se que a sequência
Dp,q2
β2ÝÑ Ep´a`c,q´b`d
2γ2ÝÑ Dp´a`c`e,q´b`d`f
2
em A é exata. Logo, a sequência
Ep´a´e,q´b´f γ2ÝÑ
pe,fq
Dp´a,q´b2
α2ÝÑ
pa,bq
Dp,q2
β2ÝÑ
pc´a,d´bq
Ep´a`c,q´b`d2
γ2ÝÑ
pe,fq
Dp´a`c`e,q´b`d`f2 (1.13)
em A é exata, mostrando que a quíntupla definida acima é um par exato.
Para cada cofiltração pFlp , B
lp qpPZ de um cocomplexo pCl
p , Blp q sobre A defini-
se por indução uma sequência de pares exatos: (1.7) define o primeiro par exato e opr ` 1q-ésimo par exato é o par exato derivado do r-ésimo par exato
Dl,lr
αl,lr // Dl,l
r
βl,lr
El,lr
γl,lr
[[
. (1.14)
O r-ésimo par exato definido nessa sequência é denominado o r-ésimo par derivado de(1.7). O r-ésimo par derivado de (1.7) tem as seguintes propriedades:
1. A sequência longa
Ep´r`1,q`r´2r
γrÝÑ
p1,0q
Dp´r`2,q`r´2r
αrÝÑ
p´1,1q
Dp´r`1,q`r´1r
βrÝÑ
pr´1,1´rq
Ep,qr
γrÝÑ
p1,0q
Dp`1,qr (1.15)
em A é exata;
2.
Dp,qr “ Impαp`1,q´1
1 αp`2,q´21 ¨ ¨ ¨αp`r´2,q´r`2
1 αp`r´1,q´r`11 q
“ Im`
H p`qpilp`1i
lp`2 ¨ ¨ ¨ i
lp`r´2i
lp`r´1q
˘
para todo r ą 1, onde ill é definida em (1.5);
3. O bi-grau da diferencial dl,lr é pr, 1´ rq;
4. Ep,qr “ Kerpdp,qr´1q Impdp´r`1,q`r´2
r´1 q para todos r ą 1 e pp, qq P Zˆ Z.
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 25
Tem-se que (1.15) segue iterando (1.13). Daí 3 é consequência imediata desta. A afirmação4 ocorre iterando a construção do par derivado e 2 vem da expansão diagrama
Dp`3,q´3 ε // Dp`2,q´22
µ//
ε2
%% %%
Dp`2,q´2 ε // Dp`1,q´12
µ//
ε2
%% %%
Dp`1,q´1 ε // Dp,q2
µ// Dp,q
Dp`1,q´13
ε3
&& &&
99
µ299
Dp,q3
::
µ2::
Dp,q488
µ388
até o necessário (para calcular Dp,qr a primeira linha deve começar em Dp`r´1,q´r`1 e
terminar em Dp,q), onde εl,l e µl,l são definidos em (1.10) e Dp,qr
εrÑ Dp´1,q`1
r`1µrÑ Dp´1,q`1
r
é uma análise de αp,qr para r ą 1 (o diagrama acima mostra, por exemplo, que Dp`3,q´3 ε3ε2εÝÑ
Dp,q4
µµ2µ3ÝÑ Dp,q é uma análise de α3).
Uma sequência espectral em A é uma família de pares ordenados pEl,lr , dl,l
r qrě1,indexada em nos inteiros positivos, onde El,l
r é um objeto bi-graduado e dl,lr : El,l
r Ñ
El,lr é um morfismo bi-graduado de bi-grau pr, 1´ rq satisfazendo dp,qr dp´r,q`r´1
r “ 0 e
Ep,qr “ Kerpdp,qr´1q Impdp´r`1,q`r´2
r´1 q
para todos r ą 1 e pp, qq P ZˆZ. O objeto bi-graduado El,lr é chamado de r-ésima página
da sequência espectral. A r-ésima página de uma sequência espectral pode ser “visualizada”através de um diagrama:
¨ q ¨
##
¨ ¨
$$
¨ ¨ ¨
¨ ¨
$$
¨
$$
¨ ¨ ¨ ¨ ¨
¨ ¨
$$
¨ ¨
$$
¨ ¨ ¨ ¨
¨
$$
¨ ¨ ¨ ¨
$$
¨ ¨ ¨
¨
$$
¨ ¨ ¨
##
¨ ¨ ¨ ¨
¨ ¨ ¨ ¨
##
¨ ¨ ¨ ¨
¨ //¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ p
¨ ¨
OO
¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨
Para cada cofiltração pFlp , B
lp qpPZ de um cocomplexo pCl
p , Blp q em A a sequência
dos r-ésimos pares derivados dão origem a uma sequência espectral em A, denominada desequência espectral derivada de (1.7).
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 26
Sejam pEl,lr , dl,l
r qrě1 uma sequência espectral em A e pp, qq P Z ˆ Z. ComoEp,q
2 é um subquociente de Ep,q1 , existem subobjetos Zp,q
2 e Bp,q2 de Ep,q
1 satisfazendo
Bp,q2 Ď Zp,q
2 Ď Ep,q1
e Ep,q2 – Zp,q
2 Bp,q2 . Como Ep,q
3 é um subquociente de Ep,q2 , pelo Teorema da Correspondência
(Teorema 2.14 de [Rot08]), existem subobjetos Zp,q3 e Bp,q
3 de Ep,q1 satisfazendo
Bp,q2 Ď Bp,q
3 Ď Zp,q3 Ď Zp,q
2 Ď Ep,q1
e Ep,q3 – Zp,q
3 Bp,q3 . Continuando o raciocínio, encontra-se uma sequência
Bp,q2 Ď Bp,q
3 Ď ¨ ¨ ¨ Ď Bp,qr Ď Zp,q
r Ď ¨ ¨ ¨ Ď Zp,q3 Ď Zp,q
2 Ď Ep,q1
satisfazendo Ep,qr – Zp,q
r Bp,qr para r ą 1. Defini-se
Zp,q8 “
č
rą1Zp,qr , Bp,q
8 “ď
rą1Bp,qr
e o termo limite da sequência espectral
Ep,q8 “ Zp,q
8 Bp,q8 .
Uma sequência espectral pEl,lr , dl,l
r qrě1 converge a um objeto graduado Hl,denotado por
Ep,qr ñ Hp`q,
se existe uma cofiltração de Hl do tipo finito pFlp qpPZ tal que, para cada pp, qq P Zˆ Z,
valeEp,q8 – F p`q
p F p`qp`1 .
Seja pFlp , B
lp qpPZ uma cofiltração do tipo finito de um cocomplexo pCl, Bl
q
sobre A e relembre a definição de pΦlp qpPZ dada em (1.4). Fixado pp, qq P ZˆZ, a sequência
espectral derivada de (1.7), tem as seguintes propriedades para r suficientemente grande:
1. Ep`r,q1 “ 0;
2. Ep´r,q1 “ 0;
3. Ep,qr “ Ep,q
8 ;
4. Dp,qr “ 0;
5. Dp´r,qr “ Φp`q´r
p´1 ;
6. A sequência0 ÝÑ Φp`r
p`1αrÝÑ Φp`r
pβrÝÑ Ep,q
r ÝÑ 0
é exata em A;
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 27
7. Ep,qr ñ H p`q
pCl, Blq.
Como a filtração é do tipo finito, existem ps0, t0q P Zˆ Z tal que
F p`q`rt0 “ 0 e F p`q´r
s0 “ Cp`q´r.
Caso p` r ě t0, isto é, r suficientemente grande, tem-se que
F p`q`rp`r F p`q`r
p`r`1 “ 00 “ 0,
donde Ep`r,q1 “ H p`q`r
pFlp`rF
lp`r`1,Ωp`rq “ 0. Isso verifica 1. Caso p´r`1 ď s0 tem-se
queF p`q´rp´r F p`q´r
p´r`1 “ Cp`q´rCp`q´r
“ 0,
donde Ep´r,q1 “ H p`q´r
pFlp´rF
lp´r`1,Ωp´rq “ 0. Isso verifica 2. Para r suficientemente
grande, Ep`r,q`1´rr “ 0 e Ep´r,q`r´1
r “ 0, já que são subquocientes de Ep`r,q`1´r1 “ 0 e
Ep´r,q`r´11 “ 0, respectivamente. Assim, dp´r,q`r´1
r e dp,qr são morfismos nulos, ou seja,Ep,qr`1 – Ep,q
r e daíBp,qr Ď Bp,q
r`1 Ď Zp,qr`1 Ď Zp,q
r Ď Ep,q1
eZp,qr B
p,qr – Zp,q
r`1Bp,qr`1 –
´
Zp,qr`1B
p,qr
¯
´
Bp,qr`1B
p,qr
¯
.
Logo, Bp,qr`1B
p,qr “ 0, isto é, Bp,q
r`1 – Bp,qr , e Zp,q
r`1Bp,qr “ Zp,q
r Bp,qr , isto é, Zp,q
r`1 – Zp,qr .
Pela definição de termo limite, Zp,q8 – Zp,q
r , Bp,q8 – Bp,q
r e 3 é verificado. Escolhendo r sufici-entemente grande tal que F p`q´1
p`r´1 “ F p`qp`r´1 “ F p`q`1
p`r´1 “ 0, tem-se que H p`qpFl
p`r´1q “ 0.Como
Dp,q2 “ Im
`
H p`qpFl
p`r´1q Ñ H p`qpFl
p`1q˘
,
4 segue. Escolhendo r suficientemente grande tal que F p`q´rp´r`1 “ Cp`q´r, tem-se que
ip`q´rp´r`1ip`q´rp´r`2 ¨ ¨ ¨ i
p`q´rp´2 ip`q´rp´1
é o morfismo F p`q´rp´1 Ñ Cp`q´r. Logo, 5 é verificado. A afirmação 6 é (1.15) para r
suficientemente grande e 7 vem da definição de convergência de uma sequência espectral,considerando a cofiltração pΦl
p qpPZ de`
H npCl, Bl
q˘
nPZ.
Concentremos a atenção agora para uma sequência espectral pEl,lr , dl,l
r qrě1
em A tal que cada página é do tipo primeiro quadrante. Fixado pp, qq P Zě0 ˆ Zě0, dador suficientemente grande para que p´ r ă 0 e q ´ r ` 1 ă 0, tem-se que Ep´q,q`r´1
“ 0 eEp`r,q´r`1
“ 0. Daí, Ep,qr`1 “ Ep,q
r . Logo,
Ep,q8 – Ep,q
r , para r suficientemente grande.
Suponha que a sequência espectral convirja para um objeto graduado Hl em A nãonegativo tal que a filtração do tipo finito pFl
p qpPZ satisfaça
0 “ F nn`1 Ď F n
n Ď ¨ ¨ ¨ Ď F n1 Ď F n
0 “ Hn, para todo n ě 0. (1.16)
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 28
A sequência espectral pEl,lr , dl,l
r qrě1 e o objeto graduado Hl tem as seguintes proprieda-des:
1. H0– E0,0
8 ;
2. A sequência0 ÝÑ E1,0
8 ÝÑ H1ÝÑ E0,1
8 ÝÑ 0
é exata em A;
3. E0,nr`1 – Kerpd0,n
r q, para todos r ą 0 e n ě 0;
4. Para todos r ą n` 1 ą 1, E0,nr`1 – En,0
r . Em particular, E0,n8 – En,0
r ;
5. E0,nr`1 Ď E0,n
r , para todos r ą 0 e n ě 0. Em particular, E0,n8 Ď E0,n
r ;
6. A sequência0 ÝÑ Impdn´r,r´1
r q ÝÑ En,0r ÝÑ En,0
r`1 ÝÑ 0
é exata em A para todos r ą 1 e n ě 0. Em particular, En,0r`1 é o conúcleo de dn´r,r´1
r ;
7. Para todos r ą n ě 1, En,0r`1 – En,0
r . Em particular, En,08 – En,0
r ;
8. Para todos n ě 0 e r ą 1 existe uma epimorfismo En,0r Ñ En,0
8 ;
9. En,08 Ď Hn para todo n ě 0;
10. A sequência0 ÝÑ E1,0
2 ÝÑ H1ÝÑ E0,1
2d2ÝÑ E2,0
2 ÝÑM2
é exata em A.
Como0 “ F 0
1 Ď F 00 “ H0
e E0,08 – F 0
0 F01 , 1 é imediato. Como
0 “ F 12 Ď F 1
1 Ď F 10 “ H1,
E0,18 – F 1
0 F11 e E1,0
8 – F 11 F
12 , tem-se que E0,1
8 – H1E1,0
8 . Daí segue 2. Como E´r,n`r´1“
0,E0,nr`1 – Kerpd0,n
r q Impd´r,n`r´1r q – Kerpd0,n
r q0 – Kerpd0,nr q.
Daí segue 3. Como Er,n`1´rr “ 0, 4 é consequência de 3. Como Kerpd0,n
r q é um subobjetode E0,n
r , 5 segue de 3. Como En`r,1´r“ 0,
En,0r`1 – Kerpdn,0r q Impdn´r,r´1
r q – En,0 Impdn´r,r´1
r q.
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 29
Daí resulta 6. Como En´r,r´1“ 0, 7 é consequência de 6. A afirmação 8 é imediata de 6.
Como0 “ F n
n`1 Ď F nn Ď F n
0 “ Hn
e En,08 – F n
n Fnn`1, 9 é imediato. Para 10, tem-se a sequência exata curta
0 ÝÑ Kerpd0,12 q ÝÑ E0,1
2d2ÝÑ E2,0
2 ÝÑ E2,02 Impd0,1
2 q ÝÑ 0
em A. Por 3, 4, 6 e 7, também temos a sequência exata
0 ÝÑ E0,18 ÝÑ E0,1
2d2ÝÑ E2,0
2 ÝÑ E2,08 ÝÑ 0.
Considerando a inclusão E2,08 Ñ H2 dada em 9 e a sequência exata
0 ÝÑ E1,08 ÝÑ H1
ÝÑ E0,18
dada em 2, obtêm-se a sequência exata
0 ÝÑ E1,08 ÝÑ H1 ϕ
ÝÑ E0,12
d2ÝÑ E2,0
2ψÝÑ H2,
onde ψ é a composição H1ÝÑ E0,1
8 ÝÑ E0,12 e ψ é a composição E2,0
2 ÝÑ E2,08 Ñ H2.
Segue agora de 7 que E1,08 – E1,0
2 .
Considere uma sequência pEl,lr , dl,l
r qrě1 em A e um objeto graduado Hl emA como no parágrafo anterior tal que a cofiltração pFl
p qpPZ que satisfaça (1.16). Comopela definição de sequência espectral temos
En,08 – F n
n , En´1,18 – F n
n´1Fnn , ¨ ¨ ¨ , E0,n
8 – HnF n
1
se A é uma categoria semissimples temos que
Hn– En,0
8 ‘ En´1,18 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ E0,n
8 . (1.17)
Considere um sequência espectral pEl,lr , dl,l
r qrPZ em A e um objeto graduadoHl em A como no parágrafo anterior tal que a cofiltração pFl
p qpPZ que satisfaça (1.16) esuponha que exista uma reta R tal que
Ep,q2 “ 0, para todo pp, qq R R.
Fixado n ě 0, vamos olhar para a reta S : p` q “ n. Caso S e R não se intersectem noprimeiro quadrante temos que Ep,n´p
8 “ 0, já que este é um subquociente de Ep,n´p2 “ 0, e
0 “ F nn “ ¨ ¨ ¨ “ F n
0 “ Hn.
Caso S e R se intersectem no primeiro quadrante e sejam concorrentes, seja pp0, n´ p0q
tal intersecção p0 P t0, . . . , nu. Então
0 “ F n0 “ ¨ ¨ ¨ “ F n
p0`1 Ď F np0 “ ¨ ¨ ¨ “ F n
0 “ Hn e Hn– Ep0,n´p0
8 .
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 30
Como o domínio de dp0´r0,pn´p0q`r0´1r0 e o contradomínio de dp0,n´p0
r0 estão sobre a reta
pr0 ´ 1qp` r0q “ pr0 ´ 1qp0 ` r0pn´ p0q, (1.18)
caso R seja diferente desta para qualquer r0 ě 1 tem-se que essas diferenciais são nulas e
Hn– Ep0,n´p0
8 – Ep0,n´p02 . (1.19)
Caso R tenha a forma (1.18) para algum valor de r0, tem-se que dp0´r,pn´p0q`r´1r e dp0,n´p0
r
são nulas para r ‰ r0 eHn
– Ep0,n´p08 – Ep0,n´p0
r0 .
A principal aplicação de sequências espectrais é o cálculo do cocomplexo totalde um bicocomplexo, que será relembrado na próxima seção.
1.3 Sequência Espectral de GrothendieckUm bi-cocomplexo em A é uma trinca ordenada pMl,l,∆l,l
h ,∆l,lv q, onde
Ml,l é um objeto bi-graduado de A, ∆l,lh : Ml,l
ÑMl,l é um morfismo bi-graduado degrau p1, 0q e ∆l,l
v : Ml,lÑMl,l é um morfismo bi-graduado de grau p0, 1q satisfazendo
∆p`1,qh ∆p,q
h “ 0, ∆p,q`1v ∆p,q
v “ 0 e ∆p,q`1h ∆p,q
v “ ∆p`1,qv ∆p,q
h para todo pp, qq P Zˆ Z.
Um bi-cocomplexo pode ser “visualizado” através de um diagrama:
¨ q ¨ ¨ ¨∆h // ¨
¨ ¨ ¨
∆v
OO
¨ ¨∆h
//
∆v
OO
¨
∆v
OO
¨ ¨ ¨
∆v
OO
∆h
// ¨ ¨ ¨
¨∆h
// ¨∆h
// ¨
∆v
OO
∆h
// ¨
∆v
OO
∆h
// ¨∆h
// ¨
¨ //¨ ¨
∆v
OO
¨ ¨ p
¨ ¨
OO
¨
∆v
OO
¨ ¨ ¨
Dado um bi-cocomplexo pMl,l,∆l,lh ,∆l,l
v q e p P Z, tem-se uma cadeia co-complexa
pMp,l,∆p,lv q : ¨ ¨ ¨ ÑMp,q´1 ∆p,q´1
vÑ Mp,q ∆p,q
vÑ Mp,q`1
Ñ ¨ ¨ ¨ .
De uma maneira análoga, para cada q fixo, tem-se uma cadeia cocomplexa
pMl,q,∆l,qh q : ¨ ¨ ¨ ÑMp´1,q ∆p´1,q
hÑ Mp,q ∆p,q
hÑ Mp`1,q
Ñ ¨ ¨ ¨ .
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 31
Para cada n P Z, seja
Cn“
à
p`q“n
Mp,q“à
pPZMp,n´p,
e, para cada p P Z, seja
F np “
à
iěp
Mi,n´i “Mp,n´p ‘Mp`1,n´p´1 ‘Mp`2,n´p´2 ‘ ¨ ¨ ¨ .
Fixado pp, qq P Zˆ Z, sejam ιp,q : Mp,qÑ Cp`q a inclusão com respeito a soma direta e
Bp`q : Cp`q
Ñ Cp`q`1
o único morfismo tal que
Bp`qιp,q “ ιp`1,q∆p,q
h ` p´1qpιp,q`1∆p,qv .
Segue que pFlp qpPZ é uma cofiltração de pCl
q que satisfaz BnpF np q Ď F n`1
p para todopn, pq P Z ˆ Z, dando origem a um morfismo Bnp : F n
p Ñ F n`1p . O cocomplexo total de
pMl,l,∆l,lh ,∆l,l
v q em A é definido por pCl, Blq. A primeira cofiltração do cocomplexo
total de pMl,l,∆l,lh ,∆l,l
v q em A é definida por pFlp , B
lp qpPZ. Fixado p P Z, como o
diagrama0 // F n
p`1//
Bnp`1
F np
//
Bnp
Mp,n´p //
p´1qp∆p,n´pv
0
0 // F n`1p`1
// F n`1p
//Mp,n´p`1 // 0
é comutativo para todo n P Z, tem-se que a primeira página da sequência espectral derivadade (1.7) com relação a primeira filtração do complexo total é
Ep,q1 “ H p`q
pFlp F
lp`1,Ωpq “ H q
pMp,l, p´1qp∆p,lv q “ H q
pMp,l,∆p,lv q. (1.20)
A diferencial dp,q1 : Ep,q1 Ñ Ep`1,q
1 , por (1.9), é o morfismo de conexão para a sequênciaexata curta
0 Ñ`
Mp`1,l´1, p´1qp`1,l´1∆p`1,l´1˘Ñ
`
Mp`1,l´1‘Mp,l,Ωl
˘
Ñ`
Mp,l, p´1qp∆p,lv
˘
Ñ 0
em CocomppAq, com
Ωp`qpxp`1,q´1 ` xp,qq “ p´1qp`1∆p`1,q´1
v pxp`1,q´1q `∆p,qh pxp,qq ` p´1qp∆p,q
v pxp,qq
para todos xp`1,q´1 P Mp`1,q´1 e xp,q P Mp,q. Para determinar dp,q1 , basta analisar odiagrama
Mp`1,q´1 ‘Mp,q π //
Ωp`q
Mp,q // 0
0 //Mp`1,q µ//Mp`1,q ‘Mp,q`1
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 32
da seguinte forma: dado x PMp,q tal que ∆p,qv pxq “ 0, tem-se que
$
&
%
πpxq “ x
µ`
∆p,qh pxq
˘
“ Ωp`qpxq
donde dp,q1`
x ` Imp∆p,q´1q˘
“ ∆p,qh pxq ` Imp∆p`1,q´1
h q. Como ∆p,lh : pMp,l,∆p,l
v q Ñ
pMp`1,l,∆p`1,lv q é um morfismo de cocomplexos, tem-se que
dp,q1 “ H qp∆p,l
h q.
Notando que pEl,q1 , dl,q
1 q é um cocomplexo em A para cada q P Z, pode-se escrever
Ep,q2 “ H p
pEl,q1 , dl,q
1 q “ H p`
H qpMl,l,∆l,l
v q,H qp∆l,l
h q˘
(1.21)
que é denominada de primeira cohomologia iterada do bi-cocomplexo pMl,l,∆l,lh ,∆l,l
v q.
O bi-cocomplexo transposto de pMl,l,∆l,lh ,∆l,l
v q é definido por
Np,q“M q,p, δp,qh “ ∆q,p
v e δp,qv “ ∆q,ph .
O cocomplexo total de pNl,l, δl,lh , δl,l
v q coincide com o cocomplexo total de
pMl,l,∆l,lh ,∆l,l
v q.
A primeira cofiltração de pNl,l, δl,lh , δl,l
v q é denominada de segunda cofiltração do com-plexo total do bi-cocomplexo pMl,l,∆l,l
h ,∆l,lv q. A primeira página da sequência espectral
derivada de (1.7) com respeito a segunda cofiltração é
Ep,q1 “ H q
pNp,l, δp,lv q “ H qpMl,p,∆l,p
h q. (1.22)
A diferencial da primeira página é dada por
dp,q1 “ H qpδp,lh q “ H q
p∆l,pv q
e a segunda página é dada por
Ep,q2 “ H p
pEl,q1 , dl,q
1 q “ H p`
H qpMl,l,∆l,l
h q,H qp∆l,l
v q˘
, (1.23)
que é denominada de segunda cohomologia iterada do bi-cocomplexo pMl,l,∆l,lh ,∆l,l
v q.
O teorema abaixo é denominado Teorema da Sequência Espectral de Grothen-dieck. Como consequência imediata dele, temos o Teorema da Sequência Espectral deLyndon-Hochschild-Serre, tanto para teoria de grupos como para teoria de álgebras deLie. Pela sua importância teórica, ao contrário do que vinha acontecendo, incluímos umademonstração para este teorema (Teorema 10.47 de [Rot08]).
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 33
Teorema 1.3.1. Sejam G : A Ñ B e F : B Ñ C funtores aditivos. Suponha que F
seja exato à esquerda e que A e B possuam suficientes injetivos. Suponha ainda queRqF
`
GpJq˘
“ 0 para todo q ą 0 e todo objeto J P A injetivo. Então, para cada A P A,existe uma sequência espectral E tal que
Ep,qr ñ Rp`q
pF ˝ G qpAq,
com Ep,q2 “ RqF
`
RpG pAq˘
.
Demonstração. Seja pIl, Blq uma coresolução injetiva de A. Para simplificar a notação,
sejam
Hn“ H n
pG pIlq,G pB
lqq, Bn
“ ImpG pIn´1Ñ Inqq, Zn
“ KerpG pIn Ñ In`1qq,
RnF “ F n e RnG “ G n,
para todo n ě 0. Pela notação, Z0“ H0 e pela definição de funtores derivados à direita,
Hn“ G n
pAq. Para cada p ě 0, temos as sequências exatas curtas
0 Ñ Bp`1Ñ Zp`1
Ñ Hp`1Ñ 0 e 0 Ñ Zp
Ñ G pIpq Ñ Bp`1Ñ 0.
Fixado p ě 0, sejam
pBp`1,l, δp`1,lq : 0ÝÑBp`1,0 δp`1,0
ÝÑ Bp`1,1 δp`1,1ÝÑ Bp`1,2
¨ ¨ ¨ (1.24)
pHp,l, δp,lq : 0 ÝÑ Hp,0 δ
p,0
ÝÑ Hp,1 δp,1
ÝÑ Hp,2¨ ¨ ¨ (1.25)
coresoluções injetivas de Bp`1 e Hp, respectivamente. Introduza a notação Z0,q“ H0,q para
todo q ě 0. Pelo Lema da Ferradura (Proposição 6.24 de [Rot08]), existem corresoluçõesinjetivas
pZp`1,l, φp`1,lq : 0 ÝÑ Zp`1,0 φp`1,0
ÝÑ Zp`1,1 φp`1,1ÝÑ Zp`1,2
¨ ¨ ¨ (1.26)
pDp,l, φp,lq : 0 ÝÑ Dp,0 φ
p,0
ÝÑ Dp,1 p,φ1
ÝÑ Dp,2¨ ¨ ¨ (1.27)
de Zp`1 e G pIpq, respectivamente, tais que as sequências
0 Ñ Bp`1,qÑ Zp`1,q
Ñ Hp`1,qÑ 0 e 0 Ñ Zp,q
Ñ Dp,qÑ Bp`1,q
Ñ 0,
são ainda exatas curtas, para p, q ě 0. Defina Mp,q“ F pDp,q
q,
∆p,qv “ F pφ
p,qq e ∆p,q
h “ F pDp,qÑ Bp`1,q
Ñ Zp`1,qÑ Dp`1,q
q (1.28)
para todos p, q ě 0. Essa definição dá origem à um bicocomplexo M em A. Seja pCl, Blq
o cocomplexo total de pMl,l,∆l,lh ,∆l,l
v q.
Calcularemos a segunda página da sequência espectral associada a primeiracofiltração do cocomplexo total de pMl,l,∆l,l
h ,∆l,lv q. Fixe p ě 0. Como pDp,l, φ
l
p q é
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 34
uma corresolução injetiva de G pIpq, lembrando da definição de funtores derivados à direita,tem-se que
Ep,q1
1.20“ H q
pMp,l,∆p,lv q–F q
pG pIpqqhipótese“
$
&
%
F pG pIpqq, se q “ 0
0, caso o contrário.
Assim, com exceção da reta q “ 0, isto é, do cocomplexo
pEl,01 , dl,0
1 q “ pF ˝ G qpIl, Blq : 0 Ñ F pG pI0
qq Ñ G pF pI1qq Ñ F pG pI2
qq Ñ ¨ ¨ ¨ .
a primeira página é nula, e por seguinte a segunda página, já que esta é obtida porsubquocientes da primeira página. Como tal reta não é da forma (1.18), pelos comentáriosem volta dessa equação, tem-se que
H npCl, Bl
q – En,02 “ pF ˝ G qnpAq. (1.29)
Calcularemos agora a segunda página da sequência espectral associada a segundacofiltração do cocomplexo total de M . Fixe p ě 0. Para cada q ě 0, as sequências
0 Ñ Bq`1,pÑ Zq`1,p
Ñ Hq`1,pÑ 0 e 0 Ñ Zq,p
Ñ Dq,pÑ Bq`1,p
Ñ 0,
cindem, já que Bq,p`1 e Zq,p são injetivos. Como F é aditivo, as sequências
0 Ñ F pBq`1,pq Ñ F pZq`1,p
q Ñ F pHq`1,pq Ñ 0
e0 Ñ F pZq,p
q ÑM q,pÑ F pBq`1,p
q Ñ 0,
são exatas curtas. Desta forma, temos que
F pDq,pÑ Bq`1,p
q
é epimorfismo eF pBq`1,p
Ñ Zq`1,pÑ Dq`1,p
q
é monomorfismo, para cada q ě 0. Pela definição de ∆q,ph dada em (1.28), temos que
Imp∆q,ph q “ F pBq`1,p
q e Kerp∆q,ph q “ F pZq,p
q. Assim, temos as sequências exatas curtas
0 Ñ Imp∆q´1,ph q Ñ Kerp∆q,p
h q Ñ F pHq,pq Ñ 0, (1.30)
quando q ě 1, e0 Ñ F pH0,p
q ÑM0,pÑ Imp∆0,p
h q Ñ 0. (1.31)
Portanto,
Ep,q1
1.22– H q
pMl,p,∆l,ph q
$
&
%
(1.30)– F pHq,p
q se q ě 1(1.31)– F pH0,p
q, se q “ 0.
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 35
Ou seja, Ep,q1 “ F pHq,p
q, para p, q ě 0. Para a segunda página, fixado q, pHq,l, δq,lq é
uma corresolução injetiva de G qpAq. Assim,
Ep,q2
1.23“ H p
pF pHq,lq,F pδ
q,lqq – F p
`
G qpAq
˘
.
Logo, pela proposição item 7 na página 27, para esta segunda filtração,
Ep,qr ñ H p`q
pCl, Blq
(1.29)– pF ˝ G qp`qpAq,
e Ep,q2 “ F p
`
G qpAq
˘
.
1.4 Funtores AdjuntosSejam F : A Ñ B e G : B Ñ A funtores aditivos. Dizemos que F é adjunto à
esquerda de G se existe uma equivalência natural de bifuntores ϕ : HomB`
F plq,l˘
Ñ
HomA`
l,G plq˘
, onde
ϕVM : HomB`
F pV q,M˘
Ñ HomA`
V,G pMq˘
é uma transformação linear. Neste caso, também diremos que que G é adjunto à direita deF e denotamos tal fato por ϕ : F % G . Dizemos que ϕ é uma adjunção. A naturalidadede ϕ é equivalente à igualdade
ϕV 1M 1
´
h ˝ g ˝`
F pfq˘
¯
“ G phq ˝ ϕVMpgq ˝ f, (1.32)
para quaisquer h P HomBpM,M 1q, g P HomB
`
F pV q,M˘
e f P HomApV1, V q. Uma
adjunção dá origem a duas transformações naturais,
ε : 1A Ñ G ˝F , V ÞÑ εV “ ϕVF pV qp1F pV qq : V Ñ G`
F pV q˘
, (1.33)
denominada unidade, e
δ : F ˝ G Ñ 1B, M ÞÑ δM “ ϕ´1p1G pMqq : F
`
G pMq˘
ÑM, (1.34)
denominada counidade. Essas transformações determinam completamente a ϕ, uma vezque
ϕVMpgq “ G pgq ˝ εV , para todo g P HomB`
F pV q,M˘
, (1.35)
eϕ´1VMpfq “ δM ˝F pfq, para todo f P HomA
`
V,G pMq˘
.
Vamos destacar, na proposição abaixo, um fato que usaremos recorrentementesobre funtores adjuntos.
Proposição 1.4.1. Seja F um funtor aditivo adjunto à esquerda de um funtor aditivo G .Então F é exato à direita e G é exato à esquerda. Além disso,
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 36
1. Se F é exato, então a imagem de qualquer objeto injetivo por G é injetivo;
2. Se G é exato, então a imagem de qualquer objeto projetivo por F é projetivo.
Sejam R e S álgebras associativas com unidade sobre o corpo F e κ : S Ñ R
um homomorfismo de álgebras associativas com unidade. Para cada R-módulo M , sejaκ˚pMq o mesmo espaço vetorial M e com estrutura de S-módulo dada por
s ¨ v “ κpsqm, para todos s P S e m PM.
Dados R-módulos M e N e um homomorfismo de R-módulos g : M Ñ N , temos que
κ˚pgq :“ g : κ˚pMq Ñ κ˚pNq
é um homomorfismo de S-módulos. De fato,
gps ¨mq “ gpκpsqmq “ κpsq`
gpmq˘
“ s ¨`
gpmq˘
, para todos s P S e m PM.
Assim, pela definição nos morfismos, κ˚ : ModR Ñ ModS dá origem a funtor aditivo eexato, denominado de “funtor pull-back por κ”. Em particular, se T é uma outra álgebraassociativa com unidade sobre o corpo F e ν : T Ñ S é um homomorfismo de álgebrasassociativas com unidade, segue que
pκνq˚ “ ν˚κ˚.
Defina Pκ : ModS Ñ ModR por
PκpV q “ RbS V, Pκpfq “ 1Rbf, para todos V, V 1 P ModS e f P HomModRpV, V1q,
onde a estrutura de S-módulo à direita em R é dada por
r ¨ s “ rκpsq, para todos r P R e s P S.
Pela importância da proposição abaixo no decorrer da tese, forneceremos umademonstração (Teorema 12.5 [HS70]).
Proposição 1.4.2. Sejam R e S álgebras associativas com unidade sobre F e κ : S Ñ R
um homomorfismo de álgebras associativas com unidade. Então, o funtor Pκ é adjuntoà esquerda do funtor pull-back por κ. Em particular, para cada S-módulo projetivo V ,PκpV q é um R-módulo projetivo. Caso R seja um S-módulo à direita plano, para cadaR-módulo injetivo M , κ˚pMq é um S-módulo injetivo.
Demonstração. Dados objetos V P ModS e M P ModR, seja
ϕVM : HomModR`
PκpV q,M˘
Ñ HomModS`
V, κ˚pMq˘
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 37
dada por`
ϕVMpgq˘
pvq “ gp1b vq, para todos g P HomModR`
PκpV q,M˘
e v P V.
Para mostrar que ϕVM está bem definida, precisamos mostrar que ϕVMpgq é um homo-morfismo de S-módulos. Fixado s P S, temos que
`
ϕVMpgq˘
psvq “ gp1b svq “ g`
1κpsq b v˘
“ g`
κpsq b v˘
“ g`
κpsqp1b vq˘
“ κpsqgp1b vq “ s ¨´
`
ϕVMpgq˘
pvq¯
,
para qualquer v P V . Daí segue que ϕVMpgq é um homomorfismo de S-módulos, paraqualquer g P HomModR
`
PκpV q,M˘
. Mostraremos agora que ϕVM é linear. Fixadosg, h P HomModR
`
PκpV q,M˘
e t P F, temos que`
ϕVMpg ` thq˘
pvq “ pg ` thqp1b vq “ gp1b vq ` t`
hp1b vq˘
“`
ϕVMpgq˘
pvq `´
t`
ϕVMphq˘
¯
pvq “`
ϕVMpgq ` tϕVMphq˘
pvq
para todo v P V . Logo, ϕVMpg`thq “ ϕVMpgq`tϕVMphq, donde ϕVM é uma transformaçãolinear. Mostremos agora a naturalidade de ϕ. Para isto, fixe h P HomModRpM,M 1
q,g P HomModR
`
F pV q,M˘
e f P HomModSpV1, V q. Daí, para cada u P V 1, temos, por um
lado que´
ϕV 1M 1
`
h ˝ g ˝Pκpfq˘
¯
puq “ h´
g`
Pκpfqp1b uq˘
¯
“ h´
g`
1b fpuq˘
¯
,
e por outro que`
κ˚phq ˝ ϕVMpgq ˝ f˘
puq “ κ˚phq´
ϕVMpgq`
fpuq˘
¯
“ h´
g`
1b fpuq˘
¯
.
Pela igualdade (1.32), segue que ϕ é natural. Assim, mostramos que ϕ é uma transformaçãonatural. Resta mostrar que é uma equivalência natural. Dados V P ModS e M P ModR,seja
ψVM : HomModS`
V, κ˚pMq˘
Ñ HomModR`
PκpV q,M˘
dada por
pψVMpfqqpr b vq “ rfpvq, para todos f P HomModS`
V, κ˚pMq˘
, r P R e v P V.
Dado g P HomModR`
PκpV q,M˘
, temos que
ψVM`
ϕVMpgq˘
prbvq “ r´
`
ϕVMpgq˘
pvq¯
“ rgp1bvq “ gprbvq, para todos r P R e v P V.
Assim, ψVM ˝ ϕVM “ 1HomModR
`
PκpV q,M˘. Agora, dado f P HomModS
`
V, κ˚pMq˘
, temosque
´
ϕVM`
ψVMpfq˘
¯
pvq “ pψVMpfqqp1b vq “ 1fpvq “ fpvq, para todo v P V.
Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 38
Daí, ϕVM ˝ ψVM “ 1HomModS
`
V,κ˚pMq˘. Logo,
ψVM “ pϕVMq´1,
donde ϕ é um equivalência natural. O restante das afirmações é consequência imediata daproposição 1.4.1, juntamente com o fato de que κ˚ é um funtor exato e, caso R seja umS-módulo à direita plano, Pκ é um funtor exato.
39
2 Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Gradua-das
Este capítulo tem a intenção de relembrar algumas definições de álgebras deLie e destacar algumas propriedades importantes de representações de álgebras de Liegraduadas. Todos os espaços vetoriais e tensores serão sobre um corpo fixado F, excetoquando dito ou denotado o contrário. Mais detalhes podem ser encontrados em [Hum72].
2.1 Álgebras de LieSeja l um espaço vetorial. Um colchete de Lie em l é uma aplicação bilinear
r, s : lˆ lÑ l, satisfazendorx, xs “ 0
e a identidade de Jacobi
rx, ry, zss ` ry, rz, xss ` rz, rx, yss “ 0,
para quaisquer x, y, z P l.
Uma álgebra de Lie é um par pl, r, sq, onde l é um espaço vetorial e r, s é umcolchete de Lie em l. É comum fazer referência “à álgebra de Lie l”, ficando subentendidoo colchete r, s. Dada outra álgebra de Lie c, um homomorfismo de álgebras de Lie é umatransformação linear κ : lÑ c tal que
κprx, ysq “ rκpxq, κpyqs, para todos x, y P l.
Um isomorfismo de álgebras de Lie é um homomorfismo de álgebras de Lie bijetor. Aclasse de todas as álgebras de Lie juntamente com os homomorfismos de álgebras de Lie éuma categoria denotada por Lie.
Exemplo 2.1.1. Seja Alg a categoria das álgebras associativas com unidade. Para cadaálgebra associativa com unidade A P Alg, seja LpAq o espaço vetorial A com colchetedado por
ra, bs “ ab´ ba, para todos a, b P A.
Temos que LpAq é uma álgebra de Lie, onde o colchete é usualmente chamado de comutador.Dada outra álgebra associativa com unidade B e um homomorfismo de álgebras associativascom unidade φ : AÑ B, é imediato que φ é um homomorfismo de álgebras de Lie. Temosassim definido um funtor L : Alg Ñ Lie. Um caso particular é glpV q “ L
`
EndFpV q˘
, aÁlgebra de Lie do Grupo Geral Linear, onde V é um espaço vetorial.
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 40
Dada uma álgebra de Lie l, um subespaço c Ď l é uma subálgebra de Lie se
rx, ys P c, para todos x, y P c.
Um subespaço n Ď l é um ideal se
rx, ys P n, para todos x P n e y P l.
Dado um ideal n de l, o espaço vetorial ln é uma álgebra de Lie com o colchete sendo
rx` n, y ` ns “ rx, ys ` n.
Dados uma álgebra de Lie l, uma subálgebra c e um ideal n, dizemos que l é produtosemidireto de c por n se l “ c‘ n como espaços vetoriais. Denotamos tal fator por
l “ c˙ n.
Uma representação de uma álgebra de Lie l é um homomorfismo de álgebras deLie κ : lÑ glpV q, onde V é um espaço vetorial. Neste caso, dizemos que V é um l-módulo.Escrevendo
`
κpxq˘
pvq “ xv, para todos x P l e v P V,
temos que uma representação é equivalente a uma operação lˆ V Ñ V satisfazendo:
1. px` tyqv “ xv ` tpyvq,
2. xpv ` tuq “ xv ` tpxuq,
3. rx, ysv “ xpyvq ´ ypxvq,
para todos x, y P l, u, v P V e t P F.
Exemplo 2.1.2. O corpo F é um l-módulo, para qualquer álgebra de Lie l, chamada derepresentação trivial, definindo
xt “ 0, para todos x P l e t P F.
Exemplo 2.1.3. Seja n um ideal de uma álgebra de Lie l. Então, n é um l-módulodefinindo
xv “ rx, vs, para todos x P l e v P n.
Essa representação é denominada de representação adjunta.
Exemplo 2.1.4. Dados l-módulos V e U , onde l é uma álgebra de Lie, o espaço vetorialHomFpV, Uq é um l-módulo definindo
pxfqpvq “ x`
fpvq˘
´ fpxvq, para todos x P l, f P HomFpV, Uq e v P V.
Em particular, o espaço dual V ˚ é um l-módulo.
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 41
Exemplo 2.1.5. Dados l-módulos V e U , onde l é uma álgebra de Lie, o espaço vetorialV b U é um l-módulo definindo
xpv b uq “ pxvq b u` v b pxvq, para todos x P l, v P V e u P U.
Sejam l uma álgebra de Lie e V um l-módulo. Um subespaço U Ď V é uml-submódulo se
xu P U, para todos x P l e u P U.
Dado um l-submódulo de um l-módulo V , o espaço vetorial V U é um l-módulo definindo
xpv ` Uq “ pxvq ` U, para todos x P l e v P V.
Dados uma álgebra de Lie l e l-módulos V e U , dizemos que uma transformaçãolinear f : V Ñ U é um homomorfismo de l-módulos se
fpxvq “ x`
fpvq˘
, para todos x P l e v P V.
Um isomorfismo de l-módulos é um homomorfismo de l-módulos bijetor. Denotamos porHomlpV, Uq o subconjunto das transformações lineares V Ñ U que são homomorfismos del-módulos. A classe dos l-módulos juntamente com os homomorfismos de l é uma categoriaabeliana denotada por Modl. Dada uma Álgebra de Lie l, denota-se por Fplq a categoriaonde os objetos são os l-módulos de dimensão finita e os morfismos são os homomorfismosde l-módulos.
Sejam l uma álgebra de Lie e n um ideal de l. Dado um l-módulo V , seja
V n“ tv P V : xv “ 0, para todo x P nu.
Então, V n é um l-submódulo de V , denominado submódulo dos invariantes por n. Dadooutro l-módulo U e um homomorfismo de l-módulos f : V Ñ U , é fácil concluir quefpV n
q Ď Un. Então, f induz um homomorfismo de l-módulos f n : V nÑ Un. A definição
Z nl pV q “ V n, Z n
l pfq “ f n (2.1)
dá origem a um funtor aditivo Z nl : Modl Ñ Modl, denominado “funtor dos n-invariantes
em Modl”.
Proposição 2.1.6. Sejam l uma álgebra de Lie e n um ideal de l. Então, o funtor Z nl é
exato à esquerda.
Demonstração. Seja0 Ñ V
fÑ U
gÑ W
uma sequência exata em Modl. Então
Kerpf nq “ Kerpfq X V n
“ 0X V n“ 0
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 42
egn ˝ f n
“ pg ˝ fqn “ 0n“ 0.
Seja agora u P Kerpgnq “ UnXKerpgq. Assim, gpuq “ 0, donde, pela exatidão da sequência,
existe v P V , tal que fpvq “ u. Dado x P n, segue que
0 “ xu “ xfpvq “ fpxvq,
pois u P Un. Logo, xv P Kerpfq “ 0, donde, v P V n e u “ f npvq. Assim, a sequência
0 Ñ V n fnÑ Un gn
Ñ W n
é exata.
Observação 2.1.7. Dados uma álgebra de Lie l, um ideal n e um l-módulo V ,
HomnpF, V q Ñ V n, f ÞÑ fp1q,
é um isomorfismo de l-módulos.
Sejam l uma álgebra de Lie e n um ideal de l. Dada uma representaçãoκ : lÑ glpV q, suponha que
nV “ 0,
isto é, κpnq “ 0. Então, existe uma única representação pκ : lnÑ glpV q tal que κ “ pκ ˝ π,onde π : lÑ ln é a projeção canônica. Em detalhes,
πpxqv “ xv, para todo x P l. (2.2)
Como nV n“ 0, para todo l-módulo V , seja G n
l pV q o espaço vetorial V n com estrutura de ln-módulo dada por (2.2). É rotina checar que, dados outro l-módulo U e um homomorfismo del-módulos f : V Ñ U , G n
l pfq :“ f n : G nl pV q Ñ G n
l pUq é um homomorfismo de ln-módulos.Temos assim definido um funtor G n
l : Modl Ñ Modln.
2.2 Álgebras EnvelopantesDada uma álgebra de Lie l, uma álgebra universal envelopante de l é um par
pA, ιlq, onde A é uma álgebra associativa com unidade e ιl : lÑ LpAq é um homomorfismode álgebras de Lie satisfazendo a seguinte propriedade universal: para cada homomorfismode álgebras de Lie κ : lÑ LpBq, onde B é uma álgebra associativa com unidade, existeum único homomorfismo de álgebras associativas com unidade φ : AÑ B tal que φιl “ κ.É fácil concluir que dadas duas álgebras universais envelopantes pA, ιlq e pA1, ι1lq de umaálgebra de Lie l, existe um único isomorfismo de álgebras universais com unidade φ : AÑ A1
tal que φιl “ ι1l.
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 43
Para mostrar que dada uma álgebra de Lie l existe uma álgebra universalenvelopante de l, sejam T plq a álgebra livre sobre alguma base de l e I o ideal bilateral deT plq gerado pelos elementos
xy ´ yx´ rx, ys, com x, y P l.
Sejam Uplq o quociente T plqI e ιl : lÑ Uplq é a composição
lÑ T plqπÑ Uplq,
sendo π a projeção canônica. O par pUplq, ιlq é uma álgebra universal envelopante de l.
Dado um homomorfismo de álgebras de Lie κ : lÑ c, seja Upκq : Uplq Ñ Upcq
o único homomorfismo de álgebras associativas tal que
ιb ˝ κ “ Upκq ˝ ιl.
Essa definição dá origem a um funtor U : Lie Ñ Alg. A propriedade universal da álgebrauniversal envelopante pode ser caracterizada pela proposição abaixo.
Proposição 2.2.1. Existe uma adjunção U % L tal que ι : 1Lie Ñ L ˝ U é a unidade.
O próximo teorema é conhecido como Torema de Poincaré-Birkhoff-Witt (PBW)e sua demonstração pode ser encontrada em [Hum72].
Teorema 2.2.2. Seja l uma álgebra de Lie e B uma base completamente ordenada de l.Então,
tιlpx1q ¨ ¨ ¨ ιlpxnq : n ě 0, xj P B, para j “ 1, . . . , n e x1 ď ¨ ¨ ¨ ď xnu
é uma base de Uplq.
Observação 2.2.3. Segue do Teorema de PBW que ιl : l Ñ L`
Uplq˘
é homomorfismoinjetor de álgebras de Lie. Assim, identificamos l com sua imagem. Desta maneira,
l Ď Uplq, para toda álgebra de Lie l P Lie.
Dada uma subálgebra de Lie c de l, identificamos Upcq como sendo a subálgebra associativacom unidade de Uplq gerada por
tx1 ¨ ¨ ¨ xn P Uplq : n ě 0 e xj P cu.
Seja l uma álgebra de Lie. Dada uma representação κ : l Ñ glpV q da álge-bra de Lie l, pela propriedade universal da álgebra universal envelopante, existe umarepresentação φ : Uplq Ñ EndFpV q da álgebra associativa com unidade Uplq que estendeκ. Reciprocamente, cada representação φ : Uplq Ñ EndFpV q da álgebra associativa comunidade Uplq dá origem a uma representação κ “ Lpφq|l : l Ñ glpV q da álgebra de Lie
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 44
l tal que φ é uma extensão de κ. Essa associação dá origem a uma equivalência entre acategoria Modl e ModUplq. De agora em diante, não faremos distinção entre elas.
Dado um homomorfismo de álgebras de Lie κ : lÑ c, seja
κ˚ “`
Upκq˘˚ : Modc Ñ Modl
o funtor pull-back por Upκq definido na página 36.
Observação 2.2.4. Sejam l uma álgebra de Lie, c uma subálgebra de Lie de l e κ : lÑglpV q uma representação. Se φ : c Ñ l é a inclusão, φ é um homomorfismo de álgebrasde Lie e κ ˝ φ : c Ñ glpV q é uma representação. Denominamos a representação κ ˝ φ derestrição a c. A estrutura de c-módulo da restrição a c é a mesma do funtor φ˚, sendoassim, o c-módulo φ˚pV q será ainda denotado por V . Dessa maneira podemos identificarModl Ď Modc.
Lema 2.2.5. Sejam κ : lÑ c um homomorfismo de álgebras de Lie, n um ideal de c e m
um ideal de l. Então, se κpmq “ n,
Z ml ˝ κ
˚“ κ˚ ˝Z n
c .
Demonstração. Considere um objeto V P Modl. Mostremos primeiramente que κ˚pV nq Ď
`
κ˚pV q˘m. Dados v P κ˚pV n
q e x P m, temos que
xv “ κpxqv “ 0,
pois κpxq P n e v P V n. Logo, v P`
κ˚pV q˘m. Mostremos agora que
`
κ˚pV q˘mĎ κ˚pV n
q.Dados v P
`
κ˚pV q˘m e y P n, como κpmq “ n, existe x P m tal que y “ κpxq. Assim,
yv “ κpxqv “ xv “ 0.
Logo, v P V n, e o resultado segue.
Proposição 2.2.6. Sejam l uma álgebra de Lie, n um ideal de l e σ : lÑ ln a projeçãocanônica. Então o funtor σ˚ : Modln Ñ Modl é adjunto à esquerda do funtor G n
l :Modl Ñ Modln. Em particular, G n
l transforma objetos injetivos em objetos injetivos.
Demonstração. Dados V P Modl e W P Modln defina
ϕWV : HomModl
`
σ˚pW q, V˘
Ñ HomModln
`
W,G nl pV q
˘
por`
ϕWV pγq˘
pwq “ γpwq para todos γ P HomModl
`
σ˚pW q, V˘
e w P W . De fato, γpwq PV n, pois se x P n, xγpwq “ γpxwq “ γ
`
σpxqw˘
“ γp0q “ 0. É rotina checar que
ψVW : HomModln
`
W,G nl pV q
˘
Ñ HomModl
`
σ˚pW q, V˘
dado por`
ψVW pβq˘
pwq “ βpwq, para todos β P HomModln
`
W,G nl pV q
˘
e w P W , é seumorfismo inverso e que ϕ é natural em W e V . Agora, como σ˚ é exato, pela Proposição1.4.1, a segunda afirmação do lema segue.
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 45
Dados uma álgebra de Lie l e um ideal n de l, é um fato conhecido sobreálgebras de Lie que Upnq é um l-módulo com a estrutura
ζ ¨ η “ rζ, ηs “ ζη ´ ηζ, para todos ζ P Uplq e η P Upnq. (2.3)
Em outras palavras, L`
Upnq˘
é um ideal da álgebra de Lie L`
Uplq˘
e (2.3) é a representaçãoadjunta. Supondo que l “ c˙ n é um produto semidireto de álgebras de Lie, temos quea restrição a c da representação adjunta é uma representação κ1 : c Ñ gl
`
Upnq˘
. Poroutro lado, como Upnq é uma álgebra associativa, a multiplicação pela esquerda dá origema uma representação κ2 : n Ñ gl
`
Upnq˘
. Logo, existe uma única transformação linearκ : lÑ gl
`
Upnq˘
tal que a restrição a c é κ1 e a restrição a n é κ2.
Lema 2.2.7. A transformação linear κ : lÑ gl`
Upnq˘
é uma representação.
Demonstração. Devemos mostrar que κprx, ysq “ κpxq ˝ κpyq ´ κpyq ˝ κpxq, para todox, y P l. Se x, y P c ou x, y P n isso é verdade, pois κ1 e κ2 são representações. Pelalinearidade de κ, basta mostrar o caso em que x P c e y P n. Neste caso, para cadaη P Upnq,
κpxq`
κpyqpηq˘
“κ1pxq`
κ2pyqpηq˘
“κ1pxqpyηq
“xpyηq ´ pyηqx
“pxyqη ´ pyxqη ` ypxηq ´ ypηxq
“rx, ysη ` yrx, ηs
“κ2prx, ysqpηq ` κ2pyq`
κ1pxqpηq˘
“`
κ2prx, ysq ` κ2pyq ˝ κ1pxq˘
pηq
“`
κprx, ysq ` κpyq ˝ κpxq˘
pηq.
Logo, o resultado segue.
2.3 Álgebras GraduadasUma Z-graduação de uma Álgebra de Lie a é uma sequência de subespaços
tarpsupPZ tal quea “
à
pPZarps e rarps, arqss Ď arp` qs,
para todos p, q P Z. Uma álgebra de Lie Z-graduada é um par constituido de uma álgebrade Lie a e uma Z-graduação. Um morfismo de álgebras de Lie Z-graduadas é um morfismosde álgebras de Lie ϕ : a Ñ b tal que ϕparpsq Ď brps. De maneira análoga, definem-seos conceitos de a-módulos Z-graduados e morfismos de a-módulos Z-graduados. UmaZ-graduação em a induz uma Z-graduação na álgebra universal envelopante Upaq onde
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 46
a p-ésima parte graduada é o subespaço vetorial gerado ou pelos elementos da formax1x2 ¨ ¨ ¨ xk para algum k ě 0, com xi P arqis e q1 ` q2 ` ¨ ¨ ¨ ` qk “ p.
Dada uma álgebra de Lie Z-graduada a, denote por Gpaq a subcategoria plenados a-módulos Z-graduados M tais que dimpM rpsq ă 8, para todo p P Z. Caso existax P ar0szt0u, então Upaq R Gpaq, já que tx1x2 ¨ ¨ ¨ xk : xi “ x, i “ 1, . . . , k, k ą 0u é umsubconjunto linearmente independente e infinito de Upaqr0s. Um objeto M P Gpaq é geradoem grau p se
M rqs “ Upaqrq ´ psM rps, para todo q P Z.
Observação 2.3.1. O corpo F será um objeto em Gpaq munido da graduação Fr0s “ F eFrps “ 0, para p ‰ 0.
2.3.1 Restrição de Objetos Projetivos
Nesta subseção, fixe duas álgebras de Lie Z-graduadas a e b. Denote porGradpaq e Gradpbq a categoria dos a-módulos Z-graduados e dos b-módulos Z-graduados,respectivamente.
Seja κ : bÑ a um homomorfismo de álgebras de Lie Z-graduadas. Para cadaM P Gradpbq, consideremos a estrutura de a-módulo em Homb
´
κ˚`
Upaq˘
,M¯
utilizandoa multiplicação pela direita de Upaq, isto é,
px ¨ fqpηq “ fpηxq, para todos x P a, f P Homb
´
κ˚`
Upaq˘
,M¯
e η P Upaq. (2.4)
Considerando em κ˚`
Upaq˘
a graduação em Upaq, dizemos que f P Homi
´
κ˚`
Upaq˘
,M¯
é de grau p sef
ˆ
´
κ˚`
Upaq˘
¯
rks
˙
ĎM rp` ks, para todo k P Z
e denotamos porˆ
Homb
´
κ˚`
Upaq˘
,M¯
˙
rps sua parte graduada de grau p. Seja
QκpMq “à
pPZ
˜
ˆ
Homb
´
κ˚`
Upaq˘
,M¯
˙
rps
¸
e, para cada ψ P HomGradpbqpM,Nq, defina Qκpψq : QκpMq Ñ QκpNq por`
Qκpψq˘
pfq “ ψ ˝ f.
É rotina checar que a definição acima da origem a funtor aditivo Qκ : Gradpbq Ñ Gradpaq.
Lema 2.3.2. Seja κ : bÑ a um homomorfismo de álgebras de Lie Z-graduadas. Então ofuntor Qκ é exato.
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 47
Demonstração. Considere a sequência exata curta
0 Ñ AψÑ B
ϕÑ C Ñ 0
em Gradpbq.
1. Qκpψq é um monomorfismo. Se f P QκpAq satisfaz`
Qκpψq˘
pfq “ 0, então ψ ˝ f “ 0.Como ψ é um monomorfismo, segue que f “ 0 donde Qκpψq é um monomorfismo.
2. Im`
Qκpψq˘
Ď Ker`
Qκpϕq˘
. Dado f P QκpAq, temos que`
Qκpϕq˘
´
`
Qκpψq˘
pfq¯
“
ϕ ˝ ψ ˝ f “ 0, já que ϕ ˝ ψ “ 0, por hipótese.
3. Ker`
Qκpϕq˘
Ď Im`
Qκpψq˘
. Dado g P QκpBq tal que`
Qκpϕq˘
pgq “ 0, temos queϕ`
gpηq˘
“ 0, para todo η P Upaq. Pela exatidão da sequência acima, existe a P A talque gpηq “ ψpaq. Como ψ é um monomorfismo, é bem definida a função f : Upaq Ñ A
fpηq “ a, se gpηq “ ψpaq.
É rotina checar que f é um homomorfismo de b-módulos. Se g é de grau p e η é degrau k então gpηq é de grau k`p como também o elemento a P A tal que gpηq “ ψpaq.Assim, fpηq possui grau k` p e f tem grau p. Se g “ g1` ¨ ¨ ¨ ` gn, onde gi tem graupi e tp1, . . . , pnu é um conjunto de inteiros distintos, então gi P Ker
`
Qκpϕq˘
e daráorigem a um homomorfismo de b-módulos fi como acima. Assim, fi terá grau pi ef “ f1` ¨ ¨ ¨ ` fn P QκpAq satisfaz gpηq “ ψpaq “ ψ
`
fpηq˘
, ou seja, g “`
Qκpψq˘
pfq
e g P Im`
Qκpψq˘
.
4. Qκpϕq é um epimorfismo. Sejam c um subespaço vetorial Z-graduado de a tal quea “ κpbq ‘ c e β1 uma base ordenada de c constituída de elementos homogêneos.Defina
β “ tx1 ¨ ¨ ¨ xn : xj P β1 e x1 ď ¨ ¨ ¨ ď xnu.
Por PBW, cada η P Upaq pode ser escrito de maneira única
η “ÿ
bPβ
χbb, com χb P Upbq.
Seja h P QκpCq. Como ϕ é um epimorfismo, para cada b P β, existe vb P B tal queϕpvbq “ hpbq. Defina g : Upaq Ñ B por
gpηq “ÿ
bPβ
χbvb, se η “ÿ
bPβ
χbb.
É rotina checar, como no item acima, que g P QκpBq e que h “ ϕ ˝ g, uma vez quehpbq “ ϕpvbq “ ϕ
`
gpbq˘
, para todo b P β. Assim, h “`
Qκpϕq˘
pgq e Qκpϕq é umepimorfismo.
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 48
Proposição 2.3.3. Seja κ : b Ñ a um homomorfismo de álgebras de Lie Z-graduadas.Então κ˚ : Gradpaq Ñ Gradpbq é adjunto à esquerda do funtor Qκ : Gradpbq Ñ Gradpaq.Em particular, κ˚ transforma objetos projetivos em objetos projetivos.
Demonstração. Dados M P Gradpbq e V P Gradpaq, defina
ψVM : HomGradpbq`
κ˚pV q,M˘
Ñ HomGradpaq`
V,QκpMq˘
por´
`
ψVMpfq˘
pvq¯
pηq “ fpηvq para todos f P HomGradpbq`
κ˚pV q,M˘
, v P V e η P Upaq.Vamos mostrar que ψVM está bem definida.
Sejam f P HomGradpbq`
κ˚pV q,M˘
e, primeiramente, v P V rps. Se η P`
Upaq˘
rqs
então´
`
ψVMpfq˘
pvq¯
pηq PM rp` qs,
mostrando que`
ψVMpfq˘
pvq é uma transformação linear de grau p e ψVMpfq é umatransformação linear de grau 0. Para mostrar que
`
ψVMpfq˘
pvq é um homomorfismo deb-módulos, seja y P b. Então
´
`
ψVMpfq˘
pvq¯
py ¨ ηq “ f`
py ¨ ηqv˘
“ f`
pκpyqηqv˘
“ f`
κpyqpηvq˘
“ f`
y ¨ pηvq˘
“ y`
fpηvq˘
“ y
ˆ
´
`
ψVMpfq˘
pvq¯
pηq
˙
.
Logo,`
ψVMpfq˘
pvq P`
QκpMq˘
rps. Supondo agora que v “ v1 ` ¨ ¨ ¨ ` vn é soma deelementos homogêneos, então
`
ψVMpfq˘
pvq “`
ψVMpfq˘
pv1q ` ¨ ¨ ¨ ``
ψVMpfq˘
pvnq é somade elementos homogêneos também e
`
ψVMpfq˘
pvq P QκpMq. Para verificar que ψVMpfq éum homomorfismo de a-módulos, seja x P a. Então,
´
`
ψVMpfq˘
pxvq¯
pηq “ f`
ηpxvq˘
“ f`
pηvqx˘
“
´
`
ψVMpfq˘
pvq¯
pηxq “
ˆ
x´
`
ψVMpfq˘
pvq¯
˙
pηq.
Agora, é rotina checar que ψ é natural em V eM . Agora, como a transformaçãolinear
ϕVM : HomGradpaq`
V,QκpMq˘
Ñ HomGradpbq`
κ˚pV q,M˘
definida por`
ϕVMpgq˘
pmq “`
gpmq˘
p1q, para todo m PM , satisfazˆ
´
ψVM`
ϕVMpgq˘
¯
pvq
˙
pηq “`
ϕVMpgq˘
pηvq “`
gpηvq˘
p1q
“
´
η`
gpvq˘
¯
p1q “`
gpvq˘
p1ηq “`
gpvq˘
pηq
e´
ϕVM`
ψVMpfq˘
¯
pvq “´
`
ψVMpfq˘
pvq¯
p1q “ fp1vq “ fpvq
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 49
para todos v P V e η P Upaq, temos que ϕVM é a inversa de ψVM . Finalmente, a segundaafirmação decorre imediatamente do Lema 2.3.2 e da Proposição 1.4.1.
Com as equivalências naturais construídas na Proposição 2.3.3 pode-se mostrarde uma maneira direta a segunda afirmação desta. De fato, seja V P Gradpaq um objetoprojetivo e considere um diagrama da forma
κ˚pV q
χ
M ε // // N
em Gradpbq. Aplique o funtor Qκ nesse diagrama. Como ele é exato tem-se que o diagrama
V
θ
ψV κ˚pV qp1κ˚pV qq//Qκ
`
κ˚pV q˘
Qκpχq
QκpMqQκpεq
// //QκpNq
pode ser completado. Defina θ “ ϕVMprθq, ou seja, rθ “ ψVMpθq. Assim,
ψV Npχq1.35“ Qκpχq ˝ ψV κ˚pV qp1κ˚pV qq “ Qκpεq ˝ rθ “ Qκpεq ˝ ψVMpθq
1.35“ Qκpεq ˝Qκpθq ˝ ψV κ˚pV qp1κ˚pV qq “ Qκpεθq ˝ ψV κ˚pV qp1κ˚pV qq 1.35
“ ψV Npεθq.
Como ψV N é um isomorfismo, segue que χ “ εθ. Assim o diagrama pode ser completado eκ˚pV q é projetivo em Gradpbq.
Lema 2.3.4. Seja a uma álgebra de Lie Z-graduada. Se M P Gpaq é projetivo, então Mtambém é projetivo como elemento de Gradpaq.
Demonstração. Considere um diagrama da forma
M
ϕ
U ε // // V
em Gradpaq. Seja V 1 “ Impϕq e U 1 “ ε´1pV 1q. Como estes são a imagem e pré-imagem
de objetos em Gpaq eles estão em Gpaq. Assim, o diagrama abaixo pode ser completado
M
ϕ1
ψ
~~
U 1ε1 // //
j
V 1
i
Uε // // V
em Gpaq, onde i e j são as inclusões e ϕ “ iϕ1. Logo, M é um objeto projetivo emGradpaq.
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 50
Corolário 2.3.5. Seja κ : b Ñ a um homomorfismo de álgebras de Lie Z-graduadas.Então o funtor κ˚ : Gpaq Ñ Gpbq transforma resoluções projetivas em resoluções projetivas.
Demonstração. Seja P P Gpaq um objeto projetivo. Pelo Lema 2.3.4 P é um objetoprojetivo em Gradpaq. Pela Proposição 2.3.3 κ˚pP q é um objeto projetivo em Gradpbq,donde é um objeto projetivo em Gpbq, já que esta é uma subcategoria plena. Assim, κ˚
transforma objetos projetivos em objetos projetivos. Como ele também é exato, ele preservaresoluções.
2.3.2 Pull-back, Dualidade e Translação de Grau
Sejam a e b álgebras de Lie Z-graduadas e κ : b Ñ a um homomorfismode álgebras de Lie Z-graduadas. O funtor pull-back por κ, κ˚ : Moda Ñ Modb, ébem comportado com respeito a graduações no sentido que, dados M,N P Gpaq e f PHomGpaqpM,Nq, então
κ˚pMq, κ˚pNq P Gpbq e κ˚pfq P HomGpbq`
κ˚pMq, κ˚pNq˘
.
Temos então definido um funtor Gpaq Ñ Gpbq que ainda será denotado por κ˚. PelaObservação 2.2.4, podemos identificar Gpaq Ď Gpbq quando κ é a inclusão.
Exemplo 2.3.6. Sejam a uma álgebra de Lie Z-graduada, g “ ar0s e ev : aÑ g a projeçãocom respeito a decomposição de a em partes graduadas. Então, para cada A P Gpgq,
arrs ev˚pAq “ 0, para todo r ‰ 0.
Sejam a uma álgebra de Lie Z-graduada e i Ď a um ideal Z-graduado. DadoM P Gpaq, tM i
XM rpsupPZ é uma graduação em M i, donde M iP Gpaq. Assim como o
funtor pull-back, os funtores Z ia e G i
a definem funtores Gpaq Ñ Gpaq e Gpaq Ñ Gpaiq queainda serão denotados por Z i
a e G ia, respectivamente.
Dada uma álgebra de Lie Z-graduada a e um objeto M P Gpaq, seja M˚rps
o subespaço dos funcionais lineares f : M Ñ F de grau p, isto é, fpM rqsq “ 0, se queq ‰ ´p. Seja
DapMq “
à
pPZM˚rps. (2.5)
É fácil verificar que DapMq é um a-submódulo de M˚ e que h P Da
pMq se, e somentese, hpM rpsq ‰ 0 apenas para um número finito de índices p P Z. Dados um outro objetoN P Gpaq e um morfismo f : M Ñ N , defina
Dapfq : Da
pNq Ñ DapMq,
`
Dapfq
˘
phq “ h ˝ f, para todos h P DapNq.
Essa definição dá origem a um funtor aditivo contravariante Da : Gpaq Ñ Gpaq, chamadode “funtor dual graduado”.
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 51
Proposição 2.3.7. Seja a uma álgebra de Lie Z-graduada e suponha que F seja umobjeto injetivo em Fpar0sq. Então Da : Gpaq Ñ Gpaq é um funtor contravariante exatoe Da
˝ Da é equivalente ao funtor identidade. Em particular, transforma corresoluçõesinjetivas (projetivas) em resoluções projetivas (injetivas).
Demonstração. Considere uma sequência exata curta
0 ÑM 1 fÑM
gÑM2
Ñ 0
em Gpaq.
1. Ker`
Dapgq
˘
“ t0u. Dado h P Ker`
Dapgq
˘
, então h˝g “ 0. Como g é um epimorfismo,h “ 0.
2. Im`
Dapgq
˘
Ď Ker`
Dapfq
˘
. Dado h P DapM2
q, Dapfq
`
Dapgqphq
˘
“ ph ˝ gq ˝ f “
h ˝ pg ˝ fq “ 0.
3. Ker`
Dapfq
˘
Ď Im`
Dapgq
˘
. Seja h P DapMq tal que hf “ 0. Então, Ker
`
g˘
“
Im`
f˘
Ď Ker`
h˘
. Logo, existe um funcional linear ph : M2Ñ F tal que phg “ h.
Como g é epimorfismo phpM2rpsq “ t0u, se hpM rpsq “ t0u, donde ph P Da
pM2q. Logo,
h “`
Dapgq
˘
pphq.
4. Dapfq é epimorfismo. Dado um funcional linear h P pM 1
q˚rps, como F é um objeto
injetivo em Fpar0sq, existe um funcional linear ph : M Ñ F tal que phpmq “ 0, sem P M rqs, com q ‰ ´p, e hpm1
q “ ph`
fpm1q˘
, para todo m1P M 1
r´ps. Assim,ph P Da
pMq e, como h tem grau p, h “`
Dapfq
˘
pphq.
Assim, Da é exato. Para mostrar que é involutivo, para cada M P Gpaq, considere agora atransformação linear ΨM : M Ñ Da
`
DapMq
˘
dada por`
ΨMpmq˘
phq “ hpmq, para todos m PM e h P DapMq. (2.6)
Como, para cada x P a, m PM e DapMq temos
`
ΨMpxmq˘
phq “ hpxmq “ ´pxhqpmq “ ´`
ΨMpmq˘
pxhq “´
x`
ΨMpmq˘
¯
phq,
segue que ΨM é um morfismo de a-módulos Z-graduados. Como ΨM é um monomorfismo,e dimpM rpsq “ dim
´
`
pM rpsq˚˘˚¯
“ dimˆ
´
Da`
DapMq
˘
¯
rps
˙
, para todo p P Z, a Propo-
sição 2.3.11 garante que ΨM é um isomorfismo em Gpaq. É fácil ver que Ψ : 1Gpaq Ñ Da˝Da
é uma equivalência natural.
Lema 2.3.8. Sejam a e b álgebras de Lie Z-graduadas e κ : bÑ a um homomorfismo deálgebras de Lie Z-graduadas. Então, para cada V P Gpaq, as ações de b em κ˚
`
HomFpV,Fq˘
e HomF`
κ˚pV q,F˘
coincidem. Em particular, o funtor dual graduado comuta com o funtorpull-back por κ.
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 52
Demonstração. Fixe V P Gpaq, v P V e x P b. Se f P κ˚`
HomFpV,Fq˘
, então
px ¨ fqpvq “ pϕpxq ¨ fqpvq “ ´f`
κpxq ¨ v˘
.
Por outro lado, se g P HomF`
κ˚pV q,F˘
, então
px ¨ gqpvq “ ´gpx ¨ vq “ ´gpκpxq ¨ vq.
Logo, as ações coincidem. Em particular, olhando apenas para as partes graduadas,κ˚ ˝Da
“ Db˝ κ˚.
Dada uma álgebra de Lie Z-graduada a, o funtor τr : Gpaq Ñ Gpaq, chamado“funtor translação de grau por r”, onde r P Z, é definido nos objetos preservando a estruturade a-módulo e com a graduação
`
τrpMq˘
rps “M rp´ rs, para todos p P Z e M P Gpaq.
O funtor τr não altera os morfismos e, para cada s P Z,
τr ˝ τs “ τr`s.
2.3.3 Módulos Truncados
Nesta subseção, fixe uma álgebra de Lie Z-graduada a. Para cada p P Z, sejaGppaq a subcategoria plena de Gpaq dada pelos objetos M P Gpaq tais que
M rqs “ 0, para todo q ‰ p.
Se M P Gppaq é um objeto, então
arqsM “ 0, para todo q ‰ 0.
Cada V P Fpar0sq pode ser interpretado como um objeto em G0paq equipado com agraduação V r0s “ V e V rps “ 0, quando p ‰ 0 (vide observação 2.3.1). Desta formaidentificamos Fpar0sq com G0paq e temos que Gppaq “ τp
`
G0paq˘
, para todo p P Z.
Um objeto M P Gpaq é dito truncado inferiormente em grau p, com p P Z, seM rqs “ 0, para todo q ă p. Denote por Bpaq a subcategoria plena dos objetos truncadosinferiormente. Dados dois objetos M,N P Bpaq, suas Z-graduações induzem uma Z-graduação no produto tensorial M b N onde a q-ésima parte graduada é o subespaçovetorial gerado pelos elementos da forma mb n, com m PM ris, n P N rjs e i` j “ q. Acategoria Bpaq é tensorial, no sentido que se M,N P Bpaq, então M bN P Bpaq.
De uma maneira dual, um objeto M P Gpaq é dito truncado superiormente emgrau p, com p P Z, se M rqs “ t0u, para todo q ą p. Denote por B˚paq a subcategoria plenados objetos truncados superiormente. Como Bpaq, B˚paq é uma categoria tensorial.
Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 53
Todos os funtores visto até o momento restringem-se a funtores nessas categoriase os funtores induzidos continuarão com a mesma notação. A demonstração da proposiçãoa seguir é imediata.
Proposição 2.3.9. A imagem de Bpaq (respectivamente B˚paq) pelo funtor dual graduadoé B˚paq (respectivamente Bpaq).
2.3.4 Invariantes e Dualidade para Produtos Tensoriais
Nesta subseção, fixe uma álgebra de Lie Z-graduada a.
Lema 2.3.10. Sejam i Ď a um ideal Z-graduado e M,N P Gpaq objetos. Se M i“ M ,
entãopM bNqi “M bN i.
Demonstração. Como a inclusão M bN iĎ pM bNqi é óbvia, vamos mostrar que pM b
Nqi Ď M bN i. Sejamÿ
iPI
mi b ni P M bN i, com mi linearmente independentes, e x P i.
Então0 “ x
´
ÿ
iPI
mi b ni
¯
“ÿ
iPI
mi b pxniq.
Como mi, com i P I, foram escolhidos linearmente independentes, o resultado segue.
A demonstração do lema a seguir é imediata.
Lema 2.3.11. Sejam M,N P Gpaq e f P HomGpaqpM,Nq um monomorfismo. Então, sedimpM rpsq – dimpN rpsq, para todo p P Z, f é um isomorfismo.
Lema 2.3.12. SejamM,N P Bpaq. Então DapMqbDa
pNq – DapMbNq como a-módulos
Z-graduados.
Demonstração. Considere o morfismo ϕ : DapMq bDa
pNq Ñ DapM bNq definido por
pϕpf b gqqpmb nq “ fpmqgpnq.
Então ϕ é um monomorfismo de a-módulos Z-graduados. Agora, como espaços vetoriais, ap-ésima parte graduada da esquerda é`
DapMq bDa
pNq˘
rps –à
rPZDapMqrrs bDa
pNqrp´ rs –à
rPZpM r´rsq˚ b pN rr ´ psq˚
tem a mesma dimensão que a p-ésima parte graduada da direita, pois,
DapM bNqrps – pM bN r´psq˚ – p
à
rPZM r´rsbN rr´psq˚ –
à
rPZpM r´rsq˚bpN rr´psq˚,
para cada p P Z. Agora, o resultado segue da Lema 2.3.11.
54
3 Resoluções Projetivas e Injetivas
Neste capítulo, fixaremos uma álgebra de Lie Z-graduada a tal que dimparqsq ă8 e arps “ 0 para todo p, q P Z, p ă 0. Denote por g a parte graduada ar0s e por a` oideal
à
pą0arps.
Com essa notação, é imediato que a é o produto semidireto
a “ g˙ a`.
O objetivo deste capítulo é encontrar os objetos simples em Gpaq, resoluçõesprojetivas e corresoluções injetivas para os objetos simples em Gpaq e mostrar que Bpaq éuma categoria com suficientes projetivos e B˚paq é uma categoria com suficientes injetivos.
3.1 Objetos simplesSeja P` um conjunto que parametrize a classes de isomorfismos dos objetos
simples em Fpgq. Para cada λ P P`, escolha um objeto simples V pλq para representar essaclasse. Defina Λ “ P` ˆ Z e V pλ, rq “ τrpV pλqq, para cada pλ, rq P Λ (consulte Subseções2.3.2 e 2.3.3).
Proposição 3.1.1. Para cada objetos simples M P Gpaq, existe um único φ P Λ tal queM – V pφq como objetos de Gpaq.
Demonstração. Como M ‰ t0u, existe r P Z tal que M rrs ‰ t0u. Seja N “ ‘qěrM rqs.Então, N é um subobjeto de M e N ‰ t0u. Logo, M “ N donde M rks “ 0, para k ă r.Seja agora U “ ‘pąrM rps. Então, U é um subobjeto de M e U ‰ M . Logo, U “ t0udonde M rks “ 0, para cada k ą r. Assim, M “ M rrs. Em particular, M é um objetosimples em Fpgq e existe único λ P S tal que M – V pλq, como g-módulos. Neste caso,M – V pλ, rq.
3.2 Adjunções e equivalênciasSejam b uma álgebra de Lie Z-graduada e κ : bÑ a um morfismo de álgebras
de Lie Z-graduadas. A álgebra associativa com unidade Upaq é um Upbq-módulo à direitadefinindo
η ¨ ξ “ η`
rκpξq˘
, para todos η P Upaq e ξ P Upbq, (3.1)
Capítulo 3. Resoluções Projetivas e Injetivas 55
onde rκ : Upbq Ñ Upaq é o único morfismo de álgebras associativas com unidade tal querκpxq “ κpxq, para todo x P b. Para cada V P Bpbq, definimos uma Z-graduação emUpaq bUpbq V como a p-ésima parte graduada sendo o subespaço gerado pelos elementosda forma
x1x2 ¨ ¨ ¨ xkbv, onde xi P arqis, para i “ 1, . . . , k, v P V rqs e q1`¨ ¨ ¨` qk` q “ p. (3.2)
assim como pelos elementos da forma 1b v, com v P V rps.
Proposição 3.2.1. Suponha que κ`
br0s˘
“ g. Considere a estrutura de Upbq-móduloà direita em Upaq dada por (3.1) e, para cada V P Bpbq, considere em Upaq bUpbq V aZ-graduação dada por (3.2). Então Upaq bUpbq V P Gpaq, onde a estrutura de a-módulo éa multiplicação pela esquerda.
Demonstração. Pode-se escolher c um subespaço vetorial Z-graduado de a tal que a “
c‘ κpbq1 e uma base ordenada β1 de c composta de elementos homogêneos. Seja β Ď Upaq
o subconjunto composto pelo elemento 1 assim como pelos elementos da forma x1x2 ¨ ¨ ¨ xk,com xj P β
1, j “ 1, . . . , k, k ą 0, e x1 ď x2 ď ¨ ¨ ¨ ď xk. Segue do Teorema de PBW que βé um subconjunto linearmente independente. Denote por Upcq o subespaço gerado por β econsidere a graduação semelhante à de Upaq. Temos que
`
Upcq b V˘
rps –p´rà
q“0
´
`
Upcq˘
rqs¯
b`
V rp´ qs˘
,
onde r é um inteiro tal que V rks “ t0u, para todo k ă r. Por hipótese, gX c “ 0, dondecada elemento de β tem grau positivo, com exceção do 1, isto é, o grau de x1x2 ¨ ¨ ¨ xk épelo menos k. Assim,
dim´
`
Upcq˘
rqs¯
ď dimpcqq ` 1
e`
Upcq˘
rqs tem dimensão finita, donde também`
Upcq b V˘
rps.
Agora, dada uma base β2 de V composta por elementos homogêneos, a trans-formação linear ψ : Upcq b V Ñ Upaq bUpbq V que satisfaz
ψpbb vq “ bb v, para todos b P β e v P β2
é um isomorfismo linear graduado. Assim,`
Upaq bUpbq V˘
rps tem dimensão finita, paratodo p P Z.
Proposição 3.2.2. Existe uma adjunção ϕ : Pκ % κ˚, onde
Pκ “ Upaq bUpbq l : Bpbq Ñ Bpaq1 No caso Fpgq seja uma categoria semissimples c pode se escolhido de tal maneira que pertencá a
categoria Bpgq
Capítulo 3. Resoluções Projetivas e Injetivas 56
e κ˚ : Bpaq Ñ Bpbq é definido na página 44. Em particular, PκpV q é um objeto projetivoem Bpaq, para cada objeto projetivo V P Bpbq. Se κ é um monomorfismo de álgebras deLie Z-graduadas, então κ˚pMq é um objeto injetivo em Bpbq, para cada objeto injetivoM P Bpaq.
Demonstração. A demonstração é a mesma da Proposição 1.4.2 e notar que se κ é mono-morfismo então b – κpbq e que Upaq é um κpbq-módulo livre.
Dados uma álgebra de Lie Z-graduada b e um homomorfismo de álgebras deLie Z-graduadas κ : bÑ a, defina
I κ “ Da˝Pκ ˝Db : B˚pbq Ñ B˚paq.
Temos uma proposição análoga à Proposição 3.2.2.
Proposição 3.2.3. Sejam b uma álgebra de Lie Z-graduada e κ : bÑ a um homomorfismode álgebras de Lie Z-graduadas. Então, existe uma adjunção ψ : κ˚ % I κ. Em particular,I κpV q é um objeto injetivo em V P B˚paq, para cada objeto injetivo V P B˚pbq e κ˚pMqé um objeto projetivo em B˚pbq, para cada objeto projetivo M P B˚paq.
Quando κ : ar0s Ñ a é a inclusão, Pκ e I κ serão denotados por Pa e I a,respectivamente.
Proposição 3.2.4. Considere Upa`q com a estrutura de a-módulo definida no Lema 2.2.7e considere Upa`q b ev˚plq sendo um funtor Bpgq Ñ Bpaq, onde ev˚ é como no Exemplo2.3.6. Então, existe uma equivalência natural
ϕ : Upa`q b ev˚plq – Pa.
Além disso,Upa`q b ev˚pV q “ Pa`pV q, para cada V P Bpgq,
como a`-módulos Z-graduados. Em particular, Pa`pV q P Bpaq.
Demonstração. Fixe V P Bpgq, η P Upa`q, v P V , x P g e y P a`. Por definição, Pa`pV q éo a`-módulo Upa`q b V com a multiplicação pela esquerda. Agora, a estrutura usual dea`-módulo no produto tensorial Upa`q b ev˚pV q nos dá
ypη b vq “ pyηq b v ` η b pevpyqvq “ pyηq b v ` η b p0vq “ pyηq b v,
que também é a multiplicação pela esquerda. Logo, a estrutura de a`-módulo coincide.Podemos então equipar Pa`pV q com uma estrutura de a-módulo.
Capítulo 3. Resoluções Projetivas e Injetivas 57
Para a primeira afirmação, considere a transformação linear ϕV : Upa`q bev˚pV q Ñ PapV q dada por ϕV pη b vq “ η b v, para todos η P Upa`q e v P V . Por PBW,ϕV é um isomorfismo linear. Além disso, se x P g e y P a`,
ϕV pxpη b vqq “ ϕV`
pxηq b v ´ pηxq b v ` η b pxvq˘
“ pxηq b v ``
´ pηxq b v ` η b pxvq˘
“ xpη b vq “ x`
ϕV pη b vq˘
,
eϕV
`
ypη b vq˘
“ ϕV`
pyηq b v˘
“ pyηq b v “ ypη b vq “ y`
ϕV pη b vq˘
.
Assim, ϕ é um isomorfismo de a-módulos Z-graduados. É rotina checar a naturalidade emV .
3.3 Apresentações Projetivas e InjetivasPara a adjunção da Proposição 3.2.2 seja δ : Pκ ˝ κ
˚Ñ 1Bpaq a counidade (ver
a definição em (1.34)).
Proposição 3.3.1. Sejam b uma álgebra de Lie Z-graduada e κ : bÑ a um homomorfismode álgebras de Lie Z-graduadas. Então,
(a) Para cada M P Bpaq tal que κ˚pMq P Bpbq é um objeto projetivo,
Pκ
`
κ˚pMq˘ δMÑM Ñ 0
é uma apresentação projetiva;
(b) A apresentação projetiva acima é uma cobertura projetiva, caso M P Grpaq, paraalgum r P Z, e κ
`
br0s˘
“ ar0s.
Demonstração. Tem-se que δM : Pκ
`
κ˚pMq˘
Ñ M satisfaz δpη bmq “ ηm para todosη P Upaq e m P M . Como δMp1 b mq “ m para todo m P M , segue que δM é umepimorfismo.
Supondo que M P Grpaq para algum r P Z, N P Bpaq e
h P HomGpaq
´
N,Pκ
`
κ˚pMq˘
¯
é tal que δMh é um epimorfismo, mostraremos que h é um epimorfismo. Dado m PM existen P N tal que δMphpnqq “ m. Em particular, hpnq tem grau r. Como Pκ
`
κ˚pMq˘
rrs “
Upgq bUpbq M , segue que hpnq “ÿ
iPI
µi bmi, com µi P Upgq e mi P M , para todo i P I.
Pela definição de δM , m “ÿ
iPI
µimi. Segue da hipótese que µi “ rκpξiq, onde ξi P Upbq e
rκ : Upbq Ñ Upaq é definido em (3.1). Logo,
µi bmi “ 1µi bmi “ 1rκpξiq bmi “ 1 ¨ ξi bmi “ 1b ξi ¨mi “ 1b rκpξiqmi “ µimi
Capítulo 3. Resoluções Projetivas e Injetivas 58
e, dado η P Upaq,
ηbm “ ηp1bmq “ η
ˆ
1bÿ
iPI
µimi
˙
“ η
ˆ
ÿ
iPI
1bµimi
˙
“ η
ˆ
ÿ
iPI
µibmi
˙
“ ηhpnq “ hpηnq.
Assim, h é um epimorfismo.
Para a adjunção da Proposição 3.2.3 seja ε : 1B˚paq Ñ I κ ˝ κ˚ a unidade (ver a
definição em (1.33)).
Proposição 3.3.2. Sejam b uma álgebra de Lie Z-graduada e κ : bÑ a um homomorfismode álgebras de Lie Z-graduadas. Então,
(a) Para cada M P B˚paq tal que κ˚pMq P B˚pbq é um objeto injetivo,
0 ÑMεMÑ I κ
`
κ˚pMq˘
é uma apresentação injetiva;
(b) A apresentação injetiva acima é uma cobertura injetiva, caso M P Grpaq, para algumr P Z, e κ
`
br0s˘
“ ar0s.
Proposição 3.3.3. Seja M P Bpaq um objeto projetivo. Então M é também é um objetoprojetivo em Gpaq. Em particular, para qualquer par de objetos M,N P Bpaq,
ExtnBpaqpM,Nq – ExtnGpaqpM,Nq, para todo n ě 0.
Demonstração. Seja r P Z tal que M rps “ 0 quando p ă r e considere um diagrama daforma
M
ϕ
U ε // // V
em Gpaq. Sejam V 1 “ÿ
pěr
V rps e U 1 “ ε´1pV 1q. Note que ϕpMq Ď V 1. Então, V 1, U 1 P Bpaq
e temos um diagramaM
ϕ1
ψ
~~
U 1 ε1 // //
j
V 1
i
Uε // // V
em Bpaq que pode ser completado, já que M é um objeto projetivo em Bpaq, onde i, j sãoas inclusões e ϕ “ iϕ1. Assim podemos o completar o primeiro diagrama com jψ.
Em particular, cada resolução projetiva em Bpaq é uma resolução projetiva emGpaq.
Capítulo 3. Resoluções Projetivas e Injetivas 59
Proposição 3.3.4. Seja M P B˚paq um objeto injetivo. Então M é também é um objetoinjetivo em Gpaq. Em particular, para qualquer par de objetos M,N P B˚paq,
ExtnB˚paqpM,Nq – ExtnGpaqpM,Nq, para todo n ě 0.
3.4 Resolução de Chevalley-EilenbergDe agora em diante, suponha que Fpgq seja uma categoria semissimples. A
primeira consequência dessa hipótese é a proposição abaixo.
Proposição 3.4.1. A categoria Gpgq é semissimples.
Demonstração. Seja V P Gpgq um objeto e W Ď V um subobjeto. Como Fpgq é semis-simples, para cada p P Z, existe um objeto U rps P Fpgq tal que V rps “ W rps ‘ U rps.Defina
U “ ‘pPZU rps.
Segue que U P Gpgq e V “ W ‘ U .
Proposição 3.4.2. Para cada par de objetos V P Bpgq e W P B˚pgq, PapV q P Bpaq éum objeto projetivo e I apW q P B˚paq é um objeto injetivo. Além disso, a categoria Bpaqpossui suficientes projetivos e a categoria B˚paq possui suficientes injetivos.
Demonstração. Como a categoria Gpgq é semissimples, pela Proposição 3.4.1, segue queV é um objeto projetivo e W um objeto injetivo. Assim, pelas Proposições 3.2.2 e 3.2.3,segue que PapV q P Bpaq é um objeto projetivo e I apW q P B˚paq é um objeto injetivo. Asegunda parte é consequência imediata da Proposição 3.4.1 combinada com as Proposições3.3.1 e 3.3.2.
A Z-graduação de a induz uma Z-graduação em ^na` onde a q-ésima parte
graduada é o subespaço vetorial gerado pelos elementos da forma x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xn, comxi P arqis, q1 ď q2 ď ¨ ¨ ¨ ď qn e q1 ` ¨ ¨ ¨ ` qn “ q, para todo n P Z. Consideremos aResolução de Chevally–Eilenberg da álgebra a`, [HS70],
pPl, Blq : ¨ ¨ ¨ Ñ P2B2Ñ P1
B1Ñ P0 Ñ 0, (3.3)
onde Pn “ Upa`q b ev˚p^na`q, para n ě 0, e as diferenciais são dadas pelas fórmulas
Bnpη b x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq “nÿ
i“1p´1qi`1ηxi b x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ¨ ¨ ¨ ^ xn
`ÿ
1ďiăjďnp´1qi`jη b rxi, xjs ^ x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxj ^ ¨ ¨ ¨ ^ xn,
(3.4)
Capítulo 3. Resoluções Projetivas e Injetivas 60
para η P Upa`q, xi P a`, i “ 1, . . . , n e n ą 0. Definindo a p-ésima parte graduada de Pncomo a definida no produto tensorial como na página 52 temos uma Z-graduação. Com aestrutura de a-módulo dada pelo lema 2.2.7 em Upa`q e a estrutura usual de a-módulousual no produto tensorial temos que Pn – Pa`p^
na`q P Bpaq. O lema abaixo mostra queas diferenciais são homomorfismo de a-módulos Z-graduados.
Lema 3.4.3. As diferenciais da Resolução de Chevalley–Eilenberg são homomorfismo dea-módulos Z-graduados. Em particular, (3.3) é uma resolução projetiva do corpo F emGpaq.
Demonstração. A única coisa que precisa ser demonstrada é que são homomorfismos deg-módulos. Fixe η P Upa`q, xi P a`, i “ 1, . . . , n, n ą 0 e z P g. Para simplificar a notação,denotaremos x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xn simplesmente por x1 ¨ ¨ ¨ xn. Como
zpη b x1 ¨ ¨ ¨ xnq “ z`
ηp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
“ pzηqp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq
“ rz, ηsp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq ´ pηzqp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq
“ rz, ηsp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq ´ η`
zpx1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
temos que
Bn`
zpη b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
“ rz, ηs`
Bnp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
´ η´
Bn`
zp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
¯
.
Logo, seBn`
zp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
“ z`
Bnp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
teremos que
Bn`
zpη b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
“ rz, ηs`
Bnp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
´ η´
z`
Bnp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
¯
“ rz, ηs`
Bnp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
´ pηzq`
Bnp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
“ pzηq`
Bnp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
“ z´
η`
Bnp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
¯
“ z´
Bn`
ηp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
¯
“ z`
Bnpη b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘
.
Assim, basta verificar que δn é homomorfismo de a-módulos Z-graduados para os elementosda forma 1b x1 ¨ ¨ ¨ xn. Tendo em mente que
zp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq “nÿ
p“11b x1 . . . rz, xps . . . xn,
Capítulo 3. Resoluções Projetivas e Injetivas 61
obtemos
Bn`
z ¨ p1b x1 . . . xnq˘
“ÿ
1ďiăpďnp´1qi`1xi b x1 . . . pxi . . . rz, xps . . . xn (3.5)
`
nÿ
p“1p´1qp`1
rz, xps b x1 . . . pxp . . . xn (3.6)
`ÿ
1ďpăiďnp´1qi`1xi b x1 . . . rz, xps . . . pxi . . . xp (3.7)
`ÿ
1ďiăjăpďnp´1qi`j1b rxi, xjsx1 . . . pxi . . . pxj . . . rz, xps . . . xn (3.8)
`ÿ
1ďiăpďnp´1qi`p1b rxi, rz, xpssx1 . . . pxi . . . pxp . . . xn (3.9)
`ÿ
1ďiăpăjďnp´1qi`j1b rxi, xjsx1 . . . pxi . . . rz, xps . . . pxj . . . xn (3.10)
`ÿ
1ďpăjďnp´1qj`p1b rrz, xps, xjsx1 . . . pxp . . . pxj . . . xn (3.11)
`ÿ
1ďpďiăjďnp´1qi`j1b rxi, xjsx1 . . . rz, xps . . . pxi . . . pxj . . . xn. (3.12)
Por outro lado
z ¨ Bnp1b x1 . . . xn bmq “nÿ
r“1p´1qr`1
rz, xrs b x1 . . . pxr . . . xn (3.13)
`ÿ
1ďqărďnp´1qr`1xr b x1 . . . rz, xqs . . . pxr . . . xn (3.14)
ÿ
1ďrăqďnp´1qr`1xr b x1 . . . pxr . . . rz, xqs . . . xn (3.15)
`ÿ
1ďrăsďnp´1qr`s1b rrz, xrs, xssx1 . . . pxr . . . pxs . . . xn (3.16)
`ÿ
1ďrăsďnp´1qr`s1b rxr, rz, xsssx1 . . . pxr . . . pxs . . . xn (3.17)
`ÿ
1ďqărăsďnp´1qr`s1b rxr, xssx1 . . . rz, xqs . . . pxr . . . pxs . . . xn
(3.18)
`ÿ
1ďrăqăsďnp´1qr`s1b rxr, xssx1 . . . pxr . . . rz, xqs . . . pxs . . . xn
(3.19)
`ÿ
1ďrăsăqďnp´1qr`s1b rxr, xssx1 . . . pxr . . . pxs . . . rz, xqs . . . xn.
(3.20)
Agora basta notar que (3.5) “ (3.15), (3.6) “ (3.13), (3.7) “ (3.14), (3.8) “ (3.20), (3.9)“ (3.17), (3.10) “ (3.19), (3.11) “ (3.16) e (3.12) “ (3.18), donde Bn é um homomorfismode a-módulos. Como (3.3) é uma resolução de F e Pn é projetivo, pela Proposição 3.2.4, asegunda afirmação segue.
Capítulo 3. Resoluções Projetivas e Injetivas 62
Tem-se que (3.3) é uma resolução projetiva de F tanto em Bpaq quanto emBpa`q, pelo Lema 3.4.3. Dado V P Bpgq e tensorizando (3.3) por V temos uma resoluçãoprojetiva
pP Vl , B
Vlq : ¨ ¨ ¨ Ñ P2 b ev˚pV q d2b1V
Ñ P1 b ev˚pV q d1b1VÑ P0 b ev˚pV q Ñ 0, (3.21)
de ev˚pV q em Bpaq assim como em Bpa`q, já que o funtor lb ev˚pV q é exato nas duascategorias, com Pn b ev˚pV q “ Pa`p^
na` b V q. Em particular, se V P Grpaq, para algumr P Z, (3.21) é uma resolução projetiva de V em Bpaq e em Bpa`q.
Observação 3.4.4. Dado M P Grpaq, para algum r P Z, aplique o funtor Da em (3.21)para V “M˚
“ DapMq. Então, o cocomplexo
`
Da`pP Vl q,D
a`pBVlq˘
0 Ñ Da``
Pa`pM˚q˘
Ñ D`a`
Pa`pa`q bM˚˘
Ñ D`a`
Pa`p^2a` bM
˚q˘
Ñ ¨ ¨ ¨ (3.22)
é uma coresolução injetiva de M em B˚paq e B˚pa`q.
63
4 Grupos de Extensões
Sejam a, a`, g e Fpgq como no Capítulo 3 com Fpgq semissimples. Este capítuloé motivado pela seguinte pergunta natural: Calcule ExtnGpaqpV,W q sendo V e W objetossimples de Gpaq. A primeira seção deste capítulo mostra que esta pergunta é equivalenteà de calcular ExtnGpa`qpF,Mq com M P Grpaq para algum r P Z. Em vários contextos,o cálculo deste último é feito utilizando-se a chamada Sequência Espectral de Lyndon–Hochschild–Serre (LHS). Porém, este procedimento não é diretamente aplicável no nossocontexto como explicado abaixo.
Originalmente, LHS é obtida do Teorema 1.3.1 com G “ HomipF,lq e F “
HomaipF,lq. Tentando aplicar o Teorema 1.3.1 para G “ HomGpiqpF,lq tem-se o contra-tempo que G pMq não é um ai-módulo quando i ‰ a` pois, se x P arps com p ą 0, então,para cada ψ P G pMq,
px` iqψ “ xψ tem grau p e xψ R G pMq.
Tentando aplicar o Teorema 1.3.1 para G “ HomipF,lq tem-se o contratempo que, comouma corresolução injetiva em Gpaq não é necessariamente uma corresolução injetiva emModi,
RqG ‰ Extqi pF,lq.
Assim, boa parte da segunda seção deste capítulo é dedicada a calcular RqG
quando G “ HomipF,lq : B˚paq Ñ B˚paiq e i Ď a` é um ideal concentrado em algumgrau. Neste caso, o Teorema 4.2.6 apresenta uma variação da Sequência Espectral LHSpara a categoria Gpaq. Na terceira seção aplicamos o resultado no caso em que a é truncadaem grau k0 ` 1, isto é, ark0s ‰ 0 e arks “ 0, para todo k ą k0, obtendo para i “ ark0s oTeorema 4.3.1, que garante a existência de uma sequência espectral pEl,l
r , dl,lr qrą0 tal que
Ep,qr ñ Extp`qGpaqpF,Mq,
comEp,q
2 “ ExtpGpaark0sq
´
F,`
^qpark0sq
˘˚bM
¯
,
para todo M P Grpaq.
4.1 Redução ao Caso de Extensões da Representação TrivialLema 4.1.1. Seja κ : gÑ a a inclusão. Dados V P Bpgq eM P Bpaq, existe um isomorfismode g-módulos
ϕVM : HomBpa`q`
Upa`q b V,M˘
Ñ HomBp0q`
V, κ˚pMq˘
Capítulo 4. Grupos de Extensões 64
natural em V e M .
Demonstração. A Proposição 1.4.2 aplicada a Pa` e ao pull-back da inclusão 0 Ñ a`
garante a existência do isomorfismo linear ϕVM natural em V e M . Para verificar que éum isomorfismo de g-módulos, sejam x P g, v P V e g P HomBpaqpPκpV q,Mq. Daí`
ϕVMpxgq˘
pvq “ pxgqp1b vq “ x`
gp1b vq˘
´ g`
xp1b vq˘
“ x´
`
ϕVMpgq˘
pvq¯
´ g`
1b pxvq˘
“ x´
`
ϕVMpgq˘
pvq¯
´`
ϕVMpgq˘
pxvq
“
´
x`
ϕVMpgq˘
¯
pvq.
Logo, ϕVM é um morfismo de g-módulos.
Proposição 4.1.2. Sejam M P Grpaq e N P Gspaq, onde r, s P Z. Então
ExtnBpaqpM,Nq –`
ExtnBpa`qpM,Nq˘g para todo n ě 0.
Demonstração. Para calcularmos ExtnBpa`qpM,Nq, aplique HomBpa`qpl, Nq em (3.21) comV “M . Assim,
ExtnBpa`qpM,Nq – H n`
HomBpa`qpPMl , Nq,HomBpa`qpB
Ml , Nq
˘
.
Como Fpgq é semissimples, cada objeto é projetivo, donde g : Fpgq Ñ Fpgq é exato ecomuta com o funtor cohomologia, já que este funtor é equivalente a HomgpF,lq. Logo,
`
ExtnBpa`qpM,Nq˘g–
´
H n`
HomBpa`qpPMl , Nq,HomBpa`qpB
Ml , Nq
˘
¯g
– H n
ˆ
”
HomBpa`qpPMl , Nq
ıg
,”
HomBpa`qpBMl , Nq
ıg˙
Agora, para quaisquer objetos W,U P Bpaq, tem-se que
HomBpaqpW,Uq “`
HomBpa`qpW,Uq˘g. (4.1)
De fato, um morfismo f P HomBpaqpW,Uq é um morfismo de grau 0 tal que xf “ 0,para todo x P a. Por outro lado, um morfismo g P
`
HomBpa`qpW,Uq˘g é um morfismo
g P HomBpa`qpW,Uq tal que yg “ 0, para todo y P g. Mas, como g P HomBpa`qpW,Uq, g éum morfismo de grau 0 tal que zg “ 0, para todo z P a`. Logo, as definições coincidem e(4.1) segue. Assim,
`
ExtnBpa`qpM,Nq˘g–H n
ˆ
”
HomBpa`qpPMl , Nq
ıg
,”
HomBpa`qpBMl , Nq
ıg˙
(4.1)– H n
`
HomBpaqpPMl , Nq,HomBpaqpB
Ml , Nq
˘
–ExtnBpaqpM,Nq,
e o resultado segue.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 65
Proposição 4.1.3. Sejam M P Grpaq e N P Gspaq, onde r, s P Z. Então
ExtnBpaqpM,Nq – ExtnBpaqpF,M˚bNq para todo n ě 0.
Demonstração. Pela Proposição 4.1.2, basta mostrar o resultado para a` no lugar de a.Note agora que Gp0q é a categoria dos espaços vetoriais Z-graduados com partes graduadasde dimensão finita. Lembramos que para quaisquer espaços vetoriais de dimensão finita A,B e C tem-se que
HomF`
AbB,C˘
– HomF`
A,HomFpB,Cq˘
.
Para calcular ExtnBpa`qpM,Nq, aplique HomBpa`qpl, Nq em (3.21) com V “M . Daí, peloLema 4.1.1,
HomBpa`q`
PMn , N
˘
– HomBp0q`
ev˚p^na`q bM,N˘
– HomF`
p^na`qrs´ rs bM,N
˘
– HomF`
p^na`qrs´ rs,HomFpM,Nq
˘
– HomBp0q`
^na`,HomFpM,Nq
˘
– HomBpa`q`
Pn,HomFpM,Nq˘
.
Como tais isomorfismos são naturais, são compatíveis com as diferenciais, no sentido queo cocomplexo HomBpa`q
`
PlpMq, N˘
é isomorfmo ao cocomplexo
HomBpa`q`
PlpFq,HomFpM,Nq˘
.
Como HomF`
M,N˘
–M˚bN como g-módulos, o resultado segue.
Pelas Proposições 3.3.3, 4.1.2 e 4.1.3, para calcular
ExtnGpaq`
V,W q,
onde V e W são objetos simples de Gpaq, é suficiente calcular
ExtnBpa`qpF,Mq
para todo M P Grpaq e para todo r P Z.
Pelo Lema 4.1.1, existe um isomorfismo natural de g-módulos
ϕn : HomBpa`q`
Pa`p^na`q,M
˘
Ñ HomBp0qp^na`,Mq
para todo M P Grpaq. Para cada n ě 1. Em particular, se M é concentrado em algumgrau r P Z temos que
HomBp0qpN,Mq “ HomFpN rrs,Mq
para todo N P Bpa`q, e podemos entender ϕn como um isomorfismo de
HomBpa`q`
Pa`p^na`q,M
˘
Ñ HomF`
p^na`qrrs,M
˘
.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 66
A composta ϕn ˝ δn ˚˝ ϕn´1 dá origem há um homomorfismo de g-módulos
∆n : HomF`
p^n´1a`qrrs,M
˘
Ñ HomF`
p^na`qrrs,M
˘
.
Para f P HomF`
p^n´1a`qrrs,M
˘
, xi P a`, i “ 1, . . . , n, temos
`
∆npfq
˘
px1^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq “nÿ
i“1p´1q1`ixifpx1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq
`ÿ
1ďiăjďnp´1qi`jfprxi, xjs ^ x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxj ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq
“ÿ
1ďiăjďnp´1qi`jfprxi, xjs ^ x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxj ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq,
já que fpx1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq PM e xM “ 0 para todo x P a`, pois M é concentradoem grau r. Note que ∆0
“ 0. Um raciocínio análogo ao da demonstração do Lema 3.4.3mostra que δn : ^na` Ñ ^
n´1a` definido por
δnpx1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq “ÿ
1ďiăjďnp´1qi`jrxi, xjs ^ x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ . . .^ pxj ^ . . .^ xn (4.2)
é um homomorfismo de g-módulos para todo n ą 1. Complete a definição fazendo δ0 “ 0.Temos que ∆n
“ δ˚n para todo n ě 0. Logo, temos um isomorfismo ϕl entre os complexos´
HomBpa`q`
Pa`p^la`q,M
˘
,HomBpa`q`
Bl,M˘
¯
e`
HomF`
p^la`qrrs,M
˘
,HomFpδl,Mq˘
.
Esse raciocínio demonstra a proposição abaixo.
Proposição 4.1.4. Seja M P Grpaq. Então,
ExtnBpa`qpF,Mq –g H n`
HomF`
p^la`qrrs,M
˘
,HomFpδl,Mq˘
para todo n ě 0.
Corolário 4.1.5. Seja M P Grpaq com r ă 0. Então
ExtnBpaqpF,Mq “ 0 para todo n ě 0.
Demonstração. Pela Proposição 4.1.2, basta mostrar o resultado para a` no lugar de a.Pela Proposição 4.1.4, como
p^na`qrrs “ 0 para todo n ě 0,
o cocomplexo que iremos calcular a cohomologia é nulo, logo a cohomologia é nula.
Proposição 4.1.6. Suponha que a` seja uma álgebra de Lie abeliana. Então, seM P Grpaq,para algum r P Z, temos que
ExtnBpaqpF,Mq – Homgpp^na`qrrs,Mq para todo n ě 0. (4.3)
Capítulo 4. Grupos de Extensões 67
Demonstração. Como a` é abeliana, segue que (4.2) dada na Proposição 4.1.4 é nula,donde
H n`
HomF`
p^la`qrrs,M
˘
,HomFpδl,Mq˘
– HomF`
p^la`qrrs,M
˘
.
Logo, pela Proposição 4.1.4 temos que
ExtnBpa`qpF,Mq – HomBp0qp^na`,Mq – HomF
`
p^na`qrrs,M
˘
.
Daí, pela Proposição 4.1.2,
ExtnBpaqpF,Mq –”
HomF`
p^na`qrrs,M
˘
ıg
– Homg
`
p^na`qrrs,M
˘
.
Supondo que arks “ 0 para k ą 1, temos que a` é uma álgebra de Lie abeliana.Sejam pλ, rq, pµ, sq P Λ. Combinando as Proposições 4.1.3 e 4.1.6 temos que
ExtnBpaq`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
– ExtnBpaq`
F, V pλ, rq˚ b V pµ, sq˘
– Homg
`
p^na`qrs´ rs, V pλ, rq
˚b V pµ, sq
˘
.
Como ^na` é concentrado em grau n, segue que p^na`qrs´ rs “ 0 caso n ‰ s´ r. Logo,juntando isso ao fato que Homg
`
p^na`qrs ´ rs, V pλ, rq˚ b V pµ, sq
˘
– Homg
`
p^na`qrs ´
rs b V pλ, rq, V pµ, sq˘
e à Proposição 3.3.3, segue que
ExtnGpaq`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
–
$
&
%
0 caso n ‰ s´ r
Homg
`
p^na`qrs´ rs b V pλ, rq, V pµ, sq
˘
caso n “ s´ r.
(4.4)Esse resultado é a Proposição 3.2 de [CG09].
Teorema 4.1.7. Sejam a “ gb Frts, pλ, rq, pµ, sq P Λ. Então
Ext1Gpaq
`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
“
$
&
%
0 se s´ r ‰ 1
Homg
`
V pλq b g, V pµq˘
caso contrário.
Demonstração. Se M P Gpaq é um objeto concentrado em grau t o Teorema 4.1.4 dá que
Ext1Bpa`qpF,Mq “
kerpδ˚2 qImpδ˚1 q
rts – Homg
´
`
kerpδ1q Impδ2q˘
rts,M¯
(4.5)
Como δ1 é identicamente nula,`
kerpδ1q˘
rts “ a`rts. Assim, para t ď 0,`
kerpδ1q˘
rts “ 0 eExt1
Bpa`qpF,Mq “ 0, por (4.5). Como g é simples, em particular não é abeliana, existemx, y P g com rx, ys ‰ 0. Se t ą 1, a equação a` b “ t possui solução com inteiros positivos,logo
δ2pxb ta^ y b tbq “ rx, ys b ta`b ‰ 0,
Capítulo 4. Grupos de Extensões 68
donde, por (4.29), a restrição de δ2 à parte de grau t é um epimorfismo e, por (4.5),Ext1
Bpa`qpF,Mq “ 0. Agora, para t “ 1, p^2a`qrts “ 0 e, por (4.29), a restrição de δ2
à parte de grau 1 é nula, donde Ext1Bpa`qpF,Mq “ Homgpg,Mq, por (4.5). Tomando
M “`
V pλ, rq˘˚b V pµ, sq o resultado segue combinando as Proposições 3.3.3, 4.1.2 e
4.1.3.
Assim encerramos essa seção com um método alternativo para se calcular ogrupo de extensões entre objetos simples. Na próxima seção introduziremos mais ummétodo para se calcular o grupo de extensões entre objetos simples que pode ser usadopara complementar o método visto acima e de fato isso será feito na Seção 4.3.
4.2 Uma Sequência de Lyndon–Hochschild–SerreNesta seção fixe um ideal i Ď a` Z-graduado de a, σ : a Ñ ai a projeção
canônica e π : Upa`q Ñ Upa`iq o único homomorfismo de álgebras associativas comunidade tal que πpxq “ x` i para todo x P a`. Pela Proposição 2.2.6,
G “ G ia : B˚paq Ñ B˚paiq
é um funtor exato à esquerda que transforma objetos injetivos de B˚paq em objetos injetivosde B˚paiq. Seja F “ HomB˚paiqpF,lq : B˚paiq Ñ Fpgq. Segue então de (1.3) que
RqF pG pIqq“ExtqB˚paiq`
F,G pIq˘
“ 0, para todos q ą 0 e objeto injetivo I P B˚paq,
donde estamos nas condições do Teorema 1.3.1. Assim, para cada M P B˚paq, existe umasequência espectral pEl,l
r , dl,lr qrě1 tal que
Ep,qr ñ Rp`q
pF ˝ G qpMq,
comEp,q
2 “ RpF`
RqpG qpMq
˘
“ExtpB˚paiq`
F,RqG pMq˘
.
O lema abaixo melhora substancialmente esse resultado.
Lema 4.2.1. Existe uma equivalência natural ϕ : F ˝ G Ñ HomB˚paqpF,lq.
Demonstração. Dado M P B˚paq, seja
ϕM : HomB˚paiqpF,M iq Ñ HomB˚paqpF,Mq
definida por`
ϕMpfq˘
p1q “ fp1q para toda f P HomB˚paiqpF,M iq. Para verificar que ϕMpfq
é um homomorfismo de a-módulos, seja x P a e veja que´
x ¨`
ϕMpfq˘
¯
p1q “ x´
`
ϕMpfq˘
p1q¯
´`
ϕMpfq˘
px1q “ x`
fp1q˘
´ 0(2.2)“ px` iqfp1q “ f
`
px` iq1˘
“ 0.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 69
Logo, ϕM está bem definida. Para mostrar que é um homomorfismo de g-módulos, sejax P g. Então, para cada f P HomB˚paiqpF,M i
q,
ϕMpx ¨ fq(2.2)“ ϕM
`
px` iq ¨ fq “ ϕMp0q “ 0 “ x ¨`
ϕMpfq˘
.
É rotina checar que ϕ é natural em M e que
ψM : HomB˚paqpF,Mq Ñ HomB˚paiqpF,M iq
definida por`
ψMpgq˘
p1q “ gp1q é a inversa de ϕM .
Corolário 4.2.2. Existe uma sequência espectral pEl,lr , dl,l
r qrě1 tal que
Ep,qr ñ Extp`qB˚paqpF,Mq,
comEp,q
2 “ RpF`
RqpG qpMq
˘
“ExtpB˚paiq`
F,RqG pMq˘
,
para cada M P B˚paq.
Demonstração. Basta aplicar o Teorema 1.3.1 e o Lema 4.2.1.
A seguir, iremos procurar condições sobre i para que seja possível calcularRqpG qpMq com M P Grpaq para algum r P Z.
A Proposição 3.2.4 fornece uma estrutura de a-módulo em Pa`pV q, a saber
x ¨ η b v “ px ¨ ηq b v ` η b`
evpxqv˘
para todos x P a, η P Upa`q e v P V, (4.6)
onde x¨η é dado pelo Lema 2.2.7. A mesma proposição fornece uma estrutura de ai-móduloem Pa`ipV q, a saber
px` iq ¨`
πpηqbv˘
“`
πpx ¨ηq˘
bv`πpηqb`
evpxqv˘
para todos x P a, η P Upa`q e v P V,
já que π é um homomorfismo de a-módulos. Tem-se que σ˚`
Pa`ipV q˘
é um a-módulocom estrutura
x¨`
πpηqbv˘
“`
πpx¨ηq˘
bv`πpηqb`
evpxqv˘
para todos x P a, η P Upa`q e v P V. (4.7)
Lembramos ainda que (2.2) define uma estrutura de ai-módulo em Homi
`
Pa`pV q,F˘
por
px` iq ¨ f “ xf para toda f P Homi
`
Pa`pV q,F˘
.
Proposição 4.2.3. (i) Existe um equivalência natural
ϕ : Homi
`
Pa`plq,F˘
Ñ HomF
´
σ˚`
Pa`iplq˘
,F¯
,
de funtores Bpgq Ñ Moda tal que ϕM preserva as partes graduadas para todoM P Bpgq;
Capítulo 4. Grupos de Extensões 70
(ii) Existe um equivalência natural
ϕ : Homi
`
Pa`plq,F˘
Ñ HomF`
Pa`iplq,F˘
,
de funtores Bpgq Ñ Modai tal que ϕM preserva as partes graduadas para todoM P Bpgq.
Demonstração. As duas partes são demonstradas de maneira análoga com a mesmaequivalência natural. Demonstraremos que ela é um homomorfismo de a-módulos. DadoM P Bpgq, defina
ϕM : Homi
`
Upa`q b ev˚pMq,F˘
Ñ HomF`
Upa`iq b ev˚pMq,F˘
por`
ϕMpfq˘`
πpηq bm˘
“ fpη bmq para f P Homi
`
Upa`q b ev˚pMq,F˘
, η P Upaq e m PM.
Para mostrar que ϕM está bem definida, note que, como i ¨ f “ 0, então Upaqi ¨ f “ 0.Logo, se η ´ ζ P Upaqi,
0 “`
pη´ζq¨f˘
p1bmq “ ´f`
pη´ζqp1bmq˘
“ fpζbmq´fpηbmq, para qualquer m PM.
Agora, para mostrar que é homomorfismo de a-módulos, sejam x P a, f P Homi
`
Upa`q b
ev˚pMq,F˘
e m PM . Então, por um lado`
ϕMpx ¨ fq˘`
πpηq bm˘
“ px ¨ fqpη bmq “ ´f`
x ¨ pη bmq˘
(4.6)“ ´f
`
px ¨ ηq bm˘
´ f´
η b`
evpxqm˘
¯
.
Por outro lado,´
x ¨`
ϕMpfq˘
¯
`
πpηq bm˘
“ ´`
ϕMpfq˘`
x ¨ pπpηq bmq˘
(4.7)“ ´
`
ϕMpfq˘`
πpx ¨ ηq bm˘
´`
ϕMpfq˘
´
πpηq b`
evpxqm˘
¯
“ ´f`
px ¨ ηq bm˘
´ f´
η b`
evpxqm˘
¯
.
Agora é rotina checar que ϕM preserva partes graduadas, que é natural em M , e que ohomomorfismo
ψM : HomF`
Upa`iq b ev˚pMq,F˘
Ñ Homi
`
Upa`q b ev˚pMq,F˘
, g ÞÑ g ˝ pπ b 1Mq
é o morfismo inverso de ϕM .
Relembre a definição do funtor dos i-invariantes em Moda definida em (2.1).
Corolário 4.2.4. Temos que:
Capítulo 4. Grupos de Extensões 71
(i) Existe uma equivalência natural
Z ia ˝Da
˝Pa` – σ˚ ˝Dai˝Pa`i
de funtores Bpgq Ñ B˚paq;
(ii) Existe uma equivalência natural
G ia ˝Da
˝Pa` – Dai˝Pa`i
de funtores Bpgq Ñ B˚paiq.
Demonstração. Basta repetir a demonstração da Proposição 4.2.3 e utilizar o Lema 2.3.8para mostrar que Da
˝ σ˚ “ σ˚ ˝Dai.
O Corolário 4.2.4 indica um outro cocomplexo para se estudar os funtoresderivados de G i
a. Analisaremos as diferenciais desse novo cocomplexo. Queremos encontrarhomomorfismos de a-módulos Z-graduados
∆n : Pa`ip^na`q Ñ Pa`ip^
n´1a`q
para todo n ě 1 tais que
Dai`
Paip^n´1a`q
˘ Daip∆nq//
ψ^n´1a`
Dai`
Paip^na`q
˘
ψ^na`
G ia
´
Da`
Pap^n´1a`q
˘
¯ G ia
`
DapBnq
˘
// G ia
´
Da`
Pap^na`q
˘
¯
com ψ dada na demonstração da Proposição 4.2.3 e Bn dada em (3.3). Assim, basta que∆n satisfaça
∆n ˝ π b 1^na` “ π b 1^n´1a` ˝ Bn.
Como π b 1^na` é um epimorfismo, para a existência de ∆n é suficiente que
Kerpπ b 1^na`q “`
Upa`q ¨ i˘
b^na` Ď Kerpπ b 1^n´1a` ˝ Bnq.
Mas, como Bn é homomorfismo de a-módulos, em particular de i-módulos, temos que
Bn
´
`
Upa`q¨i˘
b^na`
¯
Ď i¨´
Bn`
Upa`qb^na`
˘
¯
Ď`
Upa`q¨i˘
b^n´1a` Ď Kerpπb1^n´1a`q.
Logo, temos garantida a existência de ∆n e que esse homomorfismo de a-módulos Z-graduados satisfaz
∆npπpηq b y1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ ynq “nÿ
i“1p´1qi`1πpηyiq b y1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pyi ¨ ¨ ¨ ^ yn
`ÿ
1ďiăjďqp´1qi`jπpηq b ryi, yjs ^ y1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pyi ^ ¨ ¨ ¨ ^ pyj ^ ¨ ¨ ¨ ^ yn,
(4.8)
para todos η P Upa`q e yj P a` com j “ 1, . . . , n. Essa análise demonstra parcialmente aproposição abaixo.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 72
Proposição 4.2.5. Temos os seguintes isomorfismos
RnZ iapMq –B˚paq σ
˚
ˆ
Dai´
H n
`
Pa`ip^la` bM
˚q,∆l b 1M˚
˘
¯
˙
eRnG i
apMq –B˚paiq Dai´
H n
`
Pa`ip^la` bM
˚q,∆l b 1M˚
˘
¯
para todo M P Grpaq e r P Z.
Demonstração. Juntando o Corolário 4.2.4 com a análise acima, só falta serem verificadosos seguintes fatos:
Pa`ip^la` bM
˚q “ Pa`ip^
la`q bM˚,
H n˝ σ˚ ˝Dai
“ σ˚ ˝Dai˝H n e H n
˝Dai“ Dai
˝H n.
Mas o primeiro decorre da definição de Pai e o segundo e terceiro dos funtores σ˚ e Dai
serem exatos.
A Proposição 4.2.5 dá que
σ˚`
RnG iapMq
˘
– RnZ iapMq (4.9)
para todo M P Grpaq e r P Z. Pela dificuldade do cálculo do funtor derivado RnG iapMq
iremos primeiramente calcular o funtor derivado RnZ iapMq, uma vez que a estrutura de
ai-módulo dada por (2.2) recupera o funtor derivado desejado, uma vez que σ˚ ˝G ia “ Z i
a.De fato, dados V P Gpaq, x P a e v P pσ˚ ˝ G i
aqpV q “ V i temos que
x ¨ v “ σpxqv(2.2)“ xv.
Logo, a ação de a em pσ˚ ˝G iaqpV q coincide com a ação em Z i
apV q. Ainda pela dificuldadedo cálculo de RnZ i
apMq, iremos calcular sua estrutura apenas de b-módulo graduado,isto é, sua restrição κ˚
`
RqZ iapMq
˘
, onde κ : bÑ a é a inclusão e b “ g˙ i.
Como o funtor pull-back é exato e comuta com os funtores dos i-invariantes emModa e o dual graduado temos
κ˚ ˝H n˝Z i
a ˝Da“ H n
˝ κ˚ ˝Z ia ˝Da
“ H n˝Z i
b ˝ κ˚˝Da
“ H n˝Z i
b ˝Db˝ κ˚.
Como, para calcular κ˚`
RqZ iapMq
˘
devemos aplicar κ˚ ˝H n˝Z i
a ˝Da em (3.21) comV “M˚, podemos aplicar H n
˝Z ib ˝Db
˝κ˚ em (3.21) com V “M˚. Mas pelo Corolário2.3.5, κ˚ aplicado em (3.21) com V “M˚ é uma resolução projetiva de κ˚pM˚
q “M˚ emBpbq. Portanto,
κ˚`
RqZ iapMq
˘
– RqZ ibpMq. (4.10)
Capítulo 4. Grupos de Extensões 73
Para a álgebra de Lie b, temos que br0s “ g, b` “ i e Upb`iq “ F. Então, a primeiraparcela de (4.8) é nula, já que ηyi P b` ¨ F “ 0. Temos ainda que Pb`i “ Fbl. Supondoainda i um ideal abeliano, a segunda parcela de (4.8) também é nula e daí a Proposição4.2.5 dá isomorfismos de g-módulos
pσκq˚`
RqG iapMq
˘ (4.9)– κ˚
`
RqZ iapMq
˘ (4.10)– RqZ i
bpMq–D i`
p^qiq bM˚
˘
. (4.11)
O seguinte teorema é o resultado principal deste trabalho e pode ser visto comouma versão da sequência espectral de Lyndon–Hochschild–Serre em G paq.
Teorema 4.2.6. Seja i Ď a` um ideal graduado concentrado em algum grau. Então existeuma sequência espectral pEl,l
r , dl,lr qrą0 tal que
Ep,qr ñ Extp`qGpaqpF,Mq,
comEp,q
2 “ ExtpGpaiq´
F,`
^qpiq˘˚bM
¯
,
para todo M P Grpaq.
Demonstração. Suponha p concentrado em grau k. Em particular i possui dimensão finitae D i
`
p^qiq bM˚
˘
“`
^qpiq˘˚bM . Como i Ď a` devemos ter k ą 1. Como i é um ideal,
temos que ri, is Ď i. Como a é graduada devemos ter ri, is Ď ar2ks. Assim,
ri, is Ď iX ar2ks “ 0,
já que i é concentrado em grau k e 2k ‰ k. Logo i é abeliano. Aplicando (4.11) temos que
RqG iapMq –g
`
^qpiq˘˚bM, (4.12)
para todo M P Grpaq. Assim, RqG iapMq é concentrado em grau r´ qk e qualquer que seja
a ação de a` neste devemos ter
a` ¨RqG i
apMq “ 0.
Logo o isomorfismo dado em (4.12) é de a-módulo e o resultado segue do Corolário4.2.2.
4.3 Aplicações a Álgebras TruncadasSupondo a truncada em grau k0 ` 1 e tomando i “ ark0s o Teorema 4.2.6 pode
ser reescrito na forma abaixo.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 74
Teorema 4.3.1. Seja a truncada em grau k0 ` 1. Para cada M P Grpaq, existe umasequência espectral pEl,l
r , dl,lr qrą0 tal que
Ep,qr ñ Extp`qGpaqpF,Mq,
comEp,q
2 “ ExtpG`
apark0sq˘
´
F,`
^qpark0sq
˘˚bM
¯
.
Corolário 4.3.2. Sejam a truncada em grau k0 ` 1 e pλ, rq, pµ, sq P Λ. Então existe umasequência espectral pEl,l
r , dl,lr qrą0 tal que
Ep,qr ñ Extp`qGpaqpV pλ, rq, V pµ, sqq,
comEp,q
2 “ ExtpG`
apark0sq˘
`
V pλ, rq b ^qpark0sq, V pµ, sq˘
.
Demonstração. Basta utilizar o Teorema 4.3.1 com M “ V pλ, rq˚ b V pµ, sq em conjuntocom a Proposição 4.1.3.
Exemplo 4.3.3. Sejam a uma álgebra de Lie truncada em grau 2 e pλ, rq, pµ, sq P Λ.Como apar1sq – g, a segunda página da sequência espectral dada pelo Corolário 4.3.2 é
Ep,q2 “
$
&
%
0 se p ‰ 0,
HomGpgq`
V pλ, rq b ^qpar1sq, V pµ, sq˘
se p “ 0,
já que a categoria Gpgq é semissimples. Mais precisamente temos que a segunda página édada por
Ep,q2 “
$
&
%
0 se pp, qq ‰ p0, s´ rq,
Homg
`
V pλq b ^r´spar1sq, V pµq˘
se pp, qq “ p0, r ´ sq.
Escolhendo uma reta qualquer que contenha o ponto p0, r ´ sq e não seja da forma (1.18),segue que
ExtnGpaq`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
– E0,n2 “
$
&
%
0 se n ‰ s´ r,
Homg
`
V pλq b ^r´spar1sq, V pµq˘
se n “ r ´ s.
Assim, recuperamos o resultado dado em (4.4). Por um raciocínio análogo, dadoM P Grpaq,o Teorema 4.3.1 dá que
ExtnGpaqpF,Mq –
$
&
%
0 se n ‰ r,
Homg
`
F,`
^rpar1sq
˘˚bM
¯
se n “ r.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 75
A princípio, o Teorema 4.3.1 parece nos fornecer um método indutivo, sobre ograu de truncamento da álgebra, para se calcular grupos de extensões. Assim, uma vezresolvido o problema para álgebras truncadas em grau 2, passamos para álgebras truncadasem grau 3 para mostrar que esse processo não é tão simples assim.
Suponha que a uma álgebra de Lie truncada em grau 3 eM P Grpaq para algumr P Z. Como apar2sq é truncada em grau 2, pelo Exemplo 4.3.3 temos que a segundapágina Ep,q
2 da sequência espectral dada pelo Teorema 4.3.1 é
ExtpG`
apar2sq˘
´
F,`
^qpar2sq
˘˚bM
¯
–
$
&
%
0 se p` 2q ‰ r,
Homg
´
^ppar1sq b ^qpar2sq,M
¯
se p` 2q “ r.
(4.13)Veja que p ` 2q “ r é da forma (1.18) para r0 “ 2. Assim, sabemos que a sequênciaespectral converge na página 3, mas a complexidade de trabalhar com a diferencial dasegunda página é, em geral, a mesma ou maior do que a de se trabalhar com a diferencialde (4.2) para calcular o grupo de extensões de forma direta.
De fato, uma vez que`
HomF`
N,M˘˘g
– Homg
`
N,M˘
,
as Proposições 4.1.2 e 4.1.4 implicam que ExtnGpaqpF,Mq é o n-ésimo grupo de cohomologiado complexo
¨ ¨ ¨δ˚n´1ÝÑ Homg
`
p^n´1a`qrrs,M
˘ δ˚nÝÑ Homg
`
p^na`qrrs,M
˘ δ˚n`1ÝÑ ¨ ¨ ¨ (4.14)
E daí temos que
ExtnGpaqpF,Mq “kerpδ˚n`1q
Impδ˚nqrrs – Homg
´
`
kerpδnq Impδn`1q˘
rrs,M¯
(4.15)
Para calcular p^na`qrrs, lembramos o seguinte fato sobre potências exteriores de espaçosvetoriais. Dados m,n P Zą0 e família Vi, 1 ď i ď m, de espaços vetoriais, temos
^n
ˆ
mà
i“1Vi
˙
–à
~nPZmn
^n1pV1q b ^
n2pV2q b ¨ ¨ ¨ b ^nmpVmq
onde
Zmn :“#
pn1, . . . , nmq P Změ0 :mÿ
i“1ni “ n
+
.
Em particular, se cada espaço Vi for graduado e concentrados em grau i, temosˆ
^n
ˆ
mà
i“1Vi
˙˙
rrs –à
~nPZmn rrs^n1pV1q b ^
n2pV2q b ¨ ¨ ¨ b ^nmpVmq (4.16)
onde
Zmn rrs :“#
pn1, . . . , nmq P Zmn :mÿ
i“1ini “ r
+
.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 76
Evidentemente, cada uma dessas parcelas será diferente de zero se, e só se,
ni ď dimpViq para todo 1 ď i ď m. (4.17)
Aplicando isso à família Vi “ aris, temos
p^na`qrrs –
à
~pPZmn rrs^p1par1sq b ^p2par2sq b ¨ ¨ ¨ b ^pk0 park0sq. (4.18)
Como estamos supondo k0 “ 2, segue que
p^na`qrrs –
à
p,q
^ppar1sq b ^qpar2sq, (4.19)
onde a soma é sobre as soluções pp, qq P Z2ě0 da equação p` 2q “ r. Em particular, como
^ppar1sq b ^qpar2sq “ 0 se p ą m1 :“ dimpar1sq ou q ą m2 :“ dimpar2sq
segue queExtnGpaqpF,Mq “ 0 se r ą m :“ m1 ` 2m2. (4.20)
Além disso, segue de (4.19) que as partes possivelmente não nulas de (4.13) e do complexo(4.14) são fortemente relacionadas e dependentes das soluções da equação Diofantinap` 2q “ r.
Proposição 4.3.4. Com as hipóteses e notações fixadas acima, temos:
(i) Se r “ 0, ExtnGpaqpF,Mq “ 0 se n ‰ 0.
(ii) Se r “ 1, ExtnGpaqpF,Mq “ 0 se n ‰ 1 e Ext1GpaqpF,Mq – Homgpar1s,Mq.
(iii) Se r “ m ´ 1, ExtnGpaqpF,Mq “ 0 se n ‰ m1 ` m2 ´ 1 e Extm1`m2´1Gpaq pF,Mq –
Homgppar1sq˚,Mq.
(iv) Se r “ m, ExtnGpaqpF,Mq “ 0 se n ‰ m1 `m2 e Extm1`m2Gpaq pF,Mq – HomgpF,Mq.
Demonstração. Para r “ 0, 1,m´ 1,m, a segunda página da sequência espectral consisteapenas de Ep,q
2 com pp, qq a única solução de p` 2q “ r, a saber
p0, 0q, p1, 0q, pm1 ´ 1,m2q, pm1,m2q,
respectivamente. Portanto, ela converge na segunda página e daí, nesses casos, os únicosgrupos de extensões que não são nulos são
Extp`qGpaqpF,Mq – Ep,q2 .
Usando (4.13) e o fato que, se V P Fpgq e dimpV q “ d, então
^d´1V –g V
˚, (4.21)
todos os itens da proposição seguem. A mesma conclusão segue utilizando (4.14) já que(4.19) nos diz que apenas um termo do complexo será não nulo nestes casos.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 77
Corolário 4.3.5. Com as hipóteses e notações fixadas acima da Proposição 4.3.4 epλ, rq, pµ, sq P Λ, temos:
(i) Se s “ r, ExtnGpaq`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
“ 0 se n ‰ 0.
(ii) Se s “ r ` 1, ExtnGpaq`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
“ 0 se n ‰ 1 e Ext1Gpaq
`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
–
Homg
`
V pλ, rq b ar1s, V pµ, sq˘
.
(iii) Se s “ r `m´ 1, ExtnGpaq`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
“ 0 se n ‰ m´ 1 e
Extm1`m2´1Gpaq
`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
– Homg
`
V pλ, rq b par1sq˚, V pµ, sq˘
.
(iv) Se s “ r `m, ExtnGpaq`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
“ 0 se n ‰ m1 `m2 e
Extm1`m2Gpaq
`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
– Homg
`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
.
A demonstração da Proposição 4.3.4 se baseia no fato que, para r P t0, 1,m´1,mu, a equação p` 2q “ r tem única solução satisfazendo
0 ď p ď m1 e 0 ď q ď m2. (4.22)
Assim, é natural considerarmos a seguir os casos em que esta equação tem exatamenteduas soluções sob estas condições. As soluções em Z2 são
pr ´ 2k, kq com k P Z. (4.23)
Em particular, se tivermos exatamente duas soluções satisfazendo (4.22), elas tem que serda forma pp, qq e pp´ 2, q ` 1q sendo pp, qq a solução que maximiza p` q. Neste caso, asegunda página da sequência espectral consiste apenas de Ep,q
2 e Ep´2,q`12 . Em particular,
ExtnGpaqpF,Mq “ 0 se n ‰ p` q, p` q ´ 1. (4.24)
Continuaremos a análise utilizando (4.14) ao invés da sequência espectral. Dequalquer maneira, precisamos saber a estrutura de a` e, por isso, vamos então supor
m1 “ m2 :“ d,
que é o caso quandoa “ gb Frtspgb t3Frtsq (4.25)
sendo d “ dimpgq. Neste caso, (4.22) se torna
0 ď p, q ď d. (4.26)
Capítulo 4. Grupos de Extensões 78
Denote por Sr o conjunto solução de p ` 2q “ r satisfazendo (4.26). Analisando (4.23),obtemos a seguinte tabela dos valores de r para os quais #Sr “ 2. Na tabela tambémindicamos a condição imposta sobre d, os elementos de Sr e o valor máximo de p` q.
r d Sr p` q max2 ě 2 p2, 0q, p0, 1q 2
3d´ 2 ě 2 pd, d´ 1q, pd´ 2, dq 2d´ 13 ě 3 p3, 0q, p1, 1q 3
3d´ 3 ě 3 pd´ 1, d´ 1q, pd´ 3, dq 2d´ 24 2 ou 3 p2, 1q, p0, 2q 35 3 ou 4 p3, 1q, p1, 2q 46 3 p2, 2q, p0, 3q 47 3 ou 4 p3, 2q, p1, 3q 5
(4.27)
De agora em diante, supomos que a é da forma (4.25) com g semissimplessobre C. Em particular, se g “ sl2, segue de (4.27) que #Sr ď 2 para todo r. Neste caso,seremos capazes de resolver completamente o cálculo de ExtnGpaqpF,Mq, como veremos noTeorema 4.3.8. Antes de passarmos para sl2, para fins ilustrativos, observe que, para r “ 2,utilizando (4.27), (4.14) se torna
0 Ñ Homg
`
ar2s,M˘ δ˚2ÝÑ Homg
`
p^2ar1s,M
˘
Ñ 0 Ñ 0 Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨ . (4.28)
De agora em diante, trabalharemos com g “ sl2 munida da base tx, y, husatisfazendo
rx, ys “ h, rh, xs “ 2x, e rh, ys “ ´2y.
A categoria Fpsl2q é semissimples e, portanto, todo módulo é injetivo e, para todomonomorfismo f : A Ñ B em Fpsl2q, f˚C é um epimorfismo para todo C P Fpsl2q.Lembramos que, para cada m P Zě0, existe única, a menos de isomorfismo, representaçãosimples de dimensão m` 1, que denotaremos por V pmq. Tal representação é gerada porum vetor v satisfazendo
hv “ mv, xv “ 0 “ ym`1v.
Em particular, V p0q “ F é isomorfa à representação trivial e V p2q é isomorfa a representaçãoadjunta. O vetor v é dito um vetor de peso máximo para V pmq sendo m seu peso. ComoFpgq é semissimples, se f : A Ñ B é um homomorfismo em Fpsl2q, V é um submódulosimples de A e v P V é um vetor de peso máximo, segue que
f |V ‰ 0 ô fpvq ‰ 0 ô f |V é um monomorfismo. (4.29)
Lembramos também o Teorema de Clebsh-Gordan:
V pmq b V pnq –mintm,nuà
p“0V pm` n´ 2pq. (4.30)
Capítulo 4. Grupos de Extensões 79
Como aplicação de (4.30) podemos desenvolver bases no produto tensorialde representações de sl2 que serão usadas nos próximos teoremas. Sejam A, B e Crepresentações de sl2 isomorfas a V p2q e
v0 P A, (4.31)
w0 P B e u0 P C vetores de peso máximo 2. Defina
v1 “ yv0 e v2 “ yv1.
Tem-se quehv1 “ 0, hv2 “ ´2v2, xv1 “ 2v0 e xv2 “ 2v1.
De maneira análoga, defina w1, w2, u1 e u2. Por (4.30) tem-se que
AbB – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q.
Considere em AbB os vetoresv0 b w0, (4.32)
v0 b w1 ´ v1 b w0 (4.33)
ev1 b w1 ´ v0 b w2 ´ v2 b w0. (4.34)
Lema 4.3.6. Na notação do parágrafo anterior temos que (4.32) é um vetor de pesomáximo 4, (4.33) é um vetor de peso máximo 2 e (4.34) é um vetor de peso máximo 0.
Demonstração. Observando que
hpv0 b w0q “ 2pv0 b w0q ` 2pv0 b w0q “ 4pv0 b w0q,
hpv0 b w1 ´ v1 b w0q “ 2pv0 b w1q ´ 2pv1 b w0q “ 2pv0 b w1 ´ v1 b w0q,
hpv1bw1´v0bw2´v2bw0q “ p0`0qpv1bw1q´p2´2qpv0bw2q´p´2`2qpv2bw0q “ 0
expv0 b w0q “ 0b w0 ` v0 b 0 “ 0,
xpv0 b w1 ´ v1 b w0q “ 2pv0 b w0q ´ 2pv0 b w0q “ 0,
xpv1 b w1 ´ v0 b w2 ´ v2 b w0q “ 2pv0 b w1q ` 2pv1 b w0q ´ 2pv0 b w1q ´ 2pv1 b w0q “ 0
vemos que v0 b w0, v0 b w1 ´ v1 b w0 e v1 b w1 ´ v0 b w2 ´ v2 b w0 são vetores de pesomáximo 4, 2 e 0.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 80
Agora, novamente por (4.30) tem-se que
AbB b C – V p6q ‘`
V p4q˘‘2
‘`
V p2q˘‘3
‘ V p0q.
Considere em AbB b C os vetores
v0 b w0 b u0, (4.35)
v0 b w0 b u1 ´ v0 b w1 b u0, (4.36)
v1 b w0 b u0 ´ v0 b w1 b u0, (4.37)
v0 b w1 b u1 ´ v0 b w2 b u0 ´ v0 b w0 b u2, (4.38)
v1 b w0 b u1 ´ v0 b w0 b u2 ´ v2 b w0 b u0, (4.39)
v1 b w1 b u0 ´ v0 b w2 b u0 ´ v2 b w0 b u0 (4.40)
e
v1bw2bu0´v2bw1bu0`v2bw0bu1´v0bw2bu1`v0bw1bu2´v1bw0bu2. (4.41)
Lema 4.3.7. Na notação do parágrafo anterior temos que (4.35) é um vetor de pesomáximo 6, (4.36) e (4.37) são vetores de peso máximo 4, (4.38), (4.39) e (4.40) são vetoresde peso máximo 2 e (4.41) é um vetor de peso máximo 0.
A demonstração segue raciocínio análogo ao do Lema 4.3.6.
Teorema 4.3.8. Se M P Grpaq, então
ExtnGpaqpF,Mq – Homsl2pN,Mq
onde N é dado por:
N “ V p0q se pn, rq “ p0, 0q, p6, 9q;
N “ V p2q se pn, rq “ p1, 1q, p5, 8q;
N “ V p4q ‘ V p2q se pn, rq “ p2, 3q, p4, 6q;
N “ V p4q ‘ V p0q se pn, rq “ p3, 4q, p3, 5q;
N “ 0, caso contrário.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 81
Demonstração. Os casos r “ 0, 1, 8, 9 foram tratados na Proposição 4.3.4. Resta então2 ď r ď 7. Denotaremos por zn a imagem de z b tn P sl2rts pela projeção canônicasl2rts Ñ a.
Para r “ 2 temos que estudar o cocomplexo (4.28). Como sl2-módulos, temosque ^2
par1sq – ar2s – V p2q. Observando que tomando v0 “ h1 ^ x1 satisfazemos (4.31) evemos que h1 ^ x1 é um vetor de peso máximo 2. Como
δ2ph1 ^ x1q “ ´2x2,
segue de (4.29) que a restrição de δ2 à parte de grau 2 é um isomorfismo e, assim,
ExtnGpaqpF,Mq “ 0 para todo n.
Para r “ 3, usando (4.18) e (4.27), (4.14) se torna
0 Ñ 0 Ñ Homsl2
`
ar1s b ar2s,M˘ δ˚3Ñ Homsl2
`
^3par1sq,M
˘
Ñ 0 Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨ .
E, por (4.15),Ext3
GpaqpF,Mq “ Homsl2
´
`
kerpδ3q Impδ4q˘
r3s,M¯
(4.42)
eExt2
GpaqpF,Mq “ Homsl2
´
`
kerpδ2q Impδ3q˘
r3s,M¯
. (4.43)
Como sl2-módulos temos que ^3par1sq – V p0q e ar1s b ar2s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q.
Observando que tomando v0 “ h1 ^ x1 ^ y1 satisfazemos (4.31) e vemos que h1 ^ x1 ^ y1
é um vetor de peso máximo 0. Como
δ3ph1^x1^y1q “ ´rh, xs2^y1`rh, ys2^x1´rx, ys2^h1 “ 2y1^x2`2x1^y2´h1^h2 ‰ 0,(4.44)
segue de (4.29) que a restrição de δ3 à parte de grau 3 é um monomorfismo e, por (4.42),Ext3
GpaqpF,Mq “ 0. Além disso, a restrição de δ2 à parte de grau 3 é nula já que ar3s “ 0.Portanto temos kerpδ2qr3s “ p^2a`qr3s –
`
V p4q‘V p2q˘
‘ Impδ3q e, por (4.43), concluímosque o único grupo de extensão que não é nulo é
Ext2GpaqpF,Mq – Homsl2
`
V p4q ‘ V p2q,M˘
.
Para r “ 4, (4.14) se torna
0 Ñ 0 Ñ Homsl2
`
^2par1sq,M
˘ δ˚3Ñ Homsl2
`
^2par1sq b ar2s,M
˘
Ñ 0 Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
E, por (4.15),Ext3
GpaqpF,Mq “ Homsl2
´
`
kerpδ3q Impδ4q˘
r4s,M¯
(4.45)
eExt2
GpaqpF,Mq “ Homsl2
´
`
kerpδ2q Impδ3q˘
r4s,M¯
. (4.46)
Capítulo 4. Grupos de Extensões 82
Como sl2-módulos temos que ^2par1sq b ar2s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q e ^2
par2sq – V p2q.Observando que tomando v0 “ h1 ^ x1 e w0 “ x2 satisfazemos (4.33) e vemos queh1 ^ x1 ^ h2 ´ 2x1 ^ y1 ^ x2 é um vetor de peso máximo 2. Como
δ3`
h1 ^ x1 ^ h2 ´ 2x1 ^ y1 ^ x2˘
“ ´rh, xs2 ^ h2 ` 2rx, ys2 ^ x2 `
:0rh, hs3 ^ x1
´ 2:0
rx, xs3 ^ y1 ´
:0rx, hs3 ^ h1 ` 2p
:0ry, xs3 ^ x1q
“ 4h2 ^ x2 ‰ 0, (4.47)
segue de (4.29) que a restrição de δ3 à parte de grau 4 é um epimorfismo e, por (4.46),Ext2
GpaqpF,Mq “ 0. Além disso, a restrição de δ4 é nula já que p^4a`qr4s “ 0 e, por (4.45),concluímos que o único grupo de extensão não nulo é
Ext3GpaqpF,Mq – Homsl2
`
V p4q ‘ V p0q,M˘
.
Para r “ 5, (4.14) se torna
0 Ñ 0 Ñ 0 Ñ HomF`
ar1s b ^2par2sq,M
˘ δ˚4Ñ HomF
`
^3par1sq b ar2s,M
˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
E, por (4.15),Ext4
GpaqpF,Mq “ Homsl2
´
`
kerpδ4q Impδ5q˘
r5s,M¯
(4.48)
eExt3
GpaqpF,Mq “ Homsl2
´
`
kerpδ3q Impδ4q˘
r5s,M¯
. (4.49)
Como sl2-módulos temos que ^3par1sq b ar2s – V p2q e ar1s b ^2
par2sq – V p4q ‘ V p2q ‘V p0q. Observando que tomando v0 “ h1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 satisfazemos (4.31) e vemos queh1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 é um vetor de peso máximo 2. Como
δ4ph1 ^ x1 ^ y1 ^ x2q “ ´
:0rh, xs2 ^ y1 ^ x2 ` rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ´
:0
rh, xs3 ^ x1 ^ y1
´ rx, ys2 ^ h1 ^ x2 `
:0rx, xs3 ^ h1 ^ y1 ´
:0
ry, xs3 ^ h1 ^ x1
“ ´2px1 ^ x2 ^ y2q ` h1 ^ h2 ^ x2,
segue de (4.29) que a restrição de δ4 à parte de grau 5 é um monomorfismo e, por(4.48), Ext4
GpaqpF,Mq “ 0. Além disso, a restrição de δ3 à parte de grau 5 é nula já quep^
2a`qr5s “ 0. Portanto temos que kerpδ3qr5s “ p^3a`qr5s “`
V p4q ‘ V p0q˘
‘ Impδ4q e,por (4.49) concluímos que o único grupo de extensão não nulo é
Ext3GpaqpF,Mq – Homsl2
`
V p4q ‘ V p0q,M˘
.
Para r “ 6, (4.14) se torna
0 Ñ 0 Ñ 0 Ñ Homsl2
`
^3par2sq,M
˘ δ˚4Ñ Homsl2
`
p^2par1sq b ^2
par2sq,M˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
Capítulo 4. Grupos de Extensões 83
E, por (4.15),Ext4
GpaqpF,Mq “ Homsl2
´
`
kerpδ4q Impδ5q˘
r6s,M¯
(4.50)
eExt3
GpaqpF,Mq “ Homsl2
´
`
kerpδ3q Impδ4q˘
r6s,M¯
. (4.51)
Como sl2-módulos temos que ^2par1sqb^2
par2sq – V p4q‘V p2q‘V p0q e ^3par2sq – V p0q.
Observando que tomando v0 “ h2 ^ x2 ^ y2 satisfazemos (4.31) e vemos que h2 ^ x2 ^ y2
é um vetor de peso máximo 0. Como
δ4ph1 ^ x1 ^ h2 ^ y2q “ ´rh, xs2 ^ h2 ^ y2 `
:0rh, hs3 ^ x1 ^ y2
´
:0rh, ys3 ^ x1 ^ h2 ´
:0
rx, hs3 ^ h1 ^ y2
`
:
0rx, ys3 ^ h1 ^ h2 ´
:0
rh, ys4 ^ h1 ^ x1
“ 2ph2 ^ x2 ^ y2q, (4.52)
segue de (4.29) que a restrição de δ4 à parte de grau 6 é um epimorfismo e, por (4.51),Ext3
GpaqpF,Mq “ 0. Além disso, a restrição de δ5 é nula já que p^5aqr6s “ 0 e, por (4.50),concluímos que o único grupo de extensão não nulo é
Ext4GpaqpF,Mq – Homsl2
`
V p4q ‘ V p2q,M˘
.
Para r “ 7, (4.14) se torna
0 Ñ 0 Ñ 0 Ñ 0 Ñ Homsl2
`
ar1sb^3par2sq,M
˘ δ˚5Ñ Homsl2
`
^3par1sqb^2
par2sq,M˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
Como sl2-módulos temos que ^3par1sq b ^2
par2sq – ar1s b ^3par2sq. Observando que
tomando v0 “ h1^x1^ y1^h2^x2 satisfazemos (4.31) e vemos que h1^x1^ y1^h2^x2
é um vetor de peso máximo 2. Como
δ5ph1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2q “ ´
:0rh, xs2 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ` rh, ys2 ^ x1 ^ h2 ^ x2
´
:0rh, hs3 ^ x1 ^ y1 ^ x2 `
:0
rh, xs3 ^ x1 ^ y1 ^ h2
´
:0rx, ys ´ 2^ h1 ^ h2 ^ x2 `
:0
rx, hs3 ^ h1 ^ y1 ^ x2
´
:0rx, xs3 ^ h1 ^ y1 ^ h2 ´
:
0ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ x2
`
:0
ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ h2 ´
:0
rh, xs4 ^ h1 ^ x1 ^ y1,
segue de (4.29) que a restrição de δ5 é um isomorfismo e, assim,
ExtnGpaqpF,Mq “ 0, par todo n.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 84
Corolário 4.3.9. Se pλ, rq, pµ, sq P Λ, então
ExtnGpaq`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
– Homsl2
`
V pλ, rq bM,V pµ, sq˘
onde M é dado por
M “ V p0q, se pn, s´ rq “ p0, 0q, p6, 9q;
M “ V p2q, se pn, s´ rq “ p1, 1q, p5, 8q;
M “ V p4q ‘ V p2q se pn, s´ rq “ p2, 3q, p4, 6q;
M “ V p4q ‘ V p0q se pn, s´ rq “ p3, 4q, p3, 5q;
M “ 0 caso contrário.
Agora vamos estudar o caso a “ sl2 b Frtspsl2 b t4Frtsq. A sequência espectraldada pelo Teorema 4.3.1 tem como segunda página
Ep,q2 “ Extp
G`
apar3sq˘
´
F,`
^qpar3sq
˘˚bM
¯
.
para cada M P Grpaq. Como apar3sq – sl2 b Frtspsl2 b t3Frtsq a segunda página dasequência espectral não seja nula devemos ter que
pp, r ´ 3qq P tp0, 0q, p1, 1q, p2, 3q, p3, 4q, p3, 5q, p4, 6q, p5, 8q, p6, 9qu (4.53)
pelo Teorema 4.3.8.
Teorema 4.3.10. Sejam a o quociente de sl2rts pelo ideal sl2b t4Frts e M P Grpaq. Então
ExtnGpaqpF,Mq – Homsl2pN,Mq
com N dado por:
N “ V p0q se pn, rq “ p0, 0q, p3, 7q, p6, 11q, p9, 18q;
N “ V p2q se pn, rq “ p1, 1q, p2, 4q, p7, 14q, p8, 17q;
N “ V p4q se pn, rq “ p2, 3q, p7, 15q;
N “ V p6q se pn, rq “ p4, 9q, p5, 9q;
N “ V p4q ‘ V p0q se pn, rq “ p3, 5q, p6, 13q;
N “ V p6q ‘ V p2q se pn, rq “ p4, 7q, p5, 11q;
N “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q se pn, rq “ p4, 8q, p5, 10q;
N “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q se pn, rq “ p3, 6q, p6, 12q;
N “ 0 caso contrário.
Demonstração. Denotaremos zn a imagem de z b tn P sl2rts pela projeção canônicasl2rts Ñ a. Chamamos a atenção para o fato que
xi P aris, (4.54)
Capítulo 4. Grupos de Extensões 85
hi ^ xi P ^2parisq (4.55)
são vetores de peso máximo 2, para i “ 1, 2, 3 e
hi ^ xi ^ yi P ^3parisq (4.56)
é um vetor de peso máximo 0, para i “ 1, 2, 3. Para r “ 0, 1 e 5 (4.53) dá que segundapágina da sequência espectral consiste apenas de
E0,02 , E1,0
2 e E3,02 ,
respectivamente. Portanto ela converge na segunda página e daí, nesses casos, os únicosgrupos de extensões não nulos são, por (1.17) e (1.19)
ExtnGpaqpF,Mq –
$
’
’
’
&
’
’
’
%
Homsl2
`
V p0q,M˘
se pn, rq “ p0, 0q
Homsl2
`
V p2q,M˘
se pn, rq “ p1, 1q
Homsl2
`
V p4q ‘ V p0q,M˘
se pn, rq “ p3, 5q.
Para r “ 2 (4.53) dá que a segunda página é nula e
ExtnGpaqpF,Mq “ 0 par todo n.
Para r “ 3, (4.14) se torna
0 Ñ HomF`
par3s,M˘ δ˚2Ñ Homsl2
`
ar1s b ar2s,M˘ δ˚3Ñ Homsl2
`
p^3par1sq,M
˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
E por (4.15)Ext3
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ3q Impδ4q,M˘
, (4.57)
Ext2GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ2q Impδ3q,M˘
(4.58)
eExt1
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ1q Impδ2q,M˘
. (4.59)
Como sl2-módulos temos que ^3par1sq – V p0q, ar1s b ar2s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q e
ar3s – V p2q. Combinando (4.54) e (4.33) vemos que x1 ^ h2 ´ h1 ^ x2 é um vetor de pesomáximo 2. Como
δ2px1 ^ h2 ´ h1 ^ x2q “ ´rx, hs3 ` rh, xs3 “ 4x3,
segue de (4.29) que a restrição de δ2 à parte graduada de grau 3 é um epimorfismo e, por(4.59),
Ext1GpaqpF,Mq “ 0,
Capítulo 4. Grupos de Extensões 86
Por (4.44) a restrição de δ3 à parte de grau 3 é um monomorfismo e, por (4.57),
Ext3GpaqpF,Mq “ 0.
Além disso, como kerpδ2q “ V p4q ‘ Impδ3q, por (4.58) concluímos que o único grupo deextensão que não é nulo é, por (4.58),
Ext2GpaqpF,Mq – Homsl2
`
V p4q,M˘
.
Para r “ 4, (4.14) se torna
0 Ñ 0 Ñ Homsl2
`
^2par2sq ‘ ar1s b ar3s,M
˘ δ˚3Ñ Homsl2
`
^2par1sq b ar2s,M
˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
E por (4.15)Ext3
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ4q Impδ3q,M˘
(4.60)
eExt2
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ2q Impδ3q,M˘
. (4.61)
Como sl2-módulos temos que ^2par1sq b ar2s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q, ^2
par2sq – V p2qe ar1s b ar3s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q. Combinando (4.55), (4.54), (4.32) vemos que θ “x1 ^ y1 ^ h2 ` h1 ^ x1 ^ y2 ´ h1 ^ y1 ^ x2 é vetor de peso máximo 4. Como, lembrandode (4.56),
δ3`
h1 ^ x1 ^ x2˘
“ ´
:0rh, xs2 ^ x2 ` rh, xs3 ^ x1 ´
:0rx, xs3 ^ h1 “ ´2px1 ^ x3q
e
δ3`
θ˘
“ ´
:0rx, ys2 ^ h2 ´ rh, xs2 ^ y2 ` rh, ys2 ^ x2
` rx, hs3 ^ y1 ` rh, ys3 ^ x1 ´ rh, xs3 ^ y1
´ ry, hs3 ^ x1 ´ rx, ys3 ^ h1 ` ry, xs3 ^ h1
“ 2ph1 ^ h3 ` 2y1 ^ x3 ` 2x1 ^ y3q, (4.62)
segue de (4.29) que a restrição de δ3 à parte de grau 4 é um monomorfismo, já que por(4.47) a imagem da restrição de δ3 à parte de grau 4 contém uma cópia de V p2q, e, por(4.60),
Ext3GpaqpF,Mq “ 0.
Além disso, como kerpδ2q “ V p2q ‘ Impδ3q, por (4.61) concluímos que o único grupo deextensão não nulo é, por (4.61),
Ext2GpaqpF,Mq – Homsl2
`
V p2q,M˘
.
Para r “ 6, (4.14) se torna
0 Ñ 0 Ñ Homsl2
`
^2par3sq,M
˘ δ˚3Ñ Homsl2
`
^3par2sq ‘
`
ar1s b ar2s b ar3s˘
,M˘
δ˚4Ñ Homsl2
`
^2par1sq b ^2
par2sq ‘`
^3par1sq b ar3s
˘
,M˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
Capítulo 4. Grupos de Extensões 87
E por (4.15)Ext4
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ4q Impδ5q,M˘
, (4.63)
Ext3GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ3q Impδ4q,M˘
(4.64)
eExt2
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ2q Impδ3q,M˘
. (4.65)
Como sl2-módulos temos que Como sl2-módulos temos que ^2par1sq b ^2
par2sq – V p4q ‘V p2q ‘ V p0q, ^3
par1sq b ar3s – V p2q, ^3par2sq – V p0q, ar1s b ar2s b ar3s – V p6q ‘
`
V p4q˘‘2
‘`
V p2q˘‘3
‘ V p0q e ^2par3sq – V p2q. Como, por (4.55),
δ3py1 ^ x2 ^ x3q “ ´ry, xs3 ^ x3 `
:0ry, xs4 ^ x2 ´
:0
rx, xs5 ^ y1 “ h3 ^ x3,
segue de (4.29) que a restrição de δ3 à parte graduada de grau 6 é um epimorfismo e, por(4.65),
Ext2GpaqpF,Mq “ 0.
Além disso, como a restrição de δ4 à ^2par1sq b ^2
par2sq é um monomorfismo, por (4.52),e como
δ4pa1 ^ b1 ^ c1 ^ d3q “ ´ra, bs2 ^ c1 ^ d3 ` ra, cs2 ^ b1 ^ d3 ´
:
0ra, ds4 ^ b1 ^ c1
´rb, cs2 ^ a1 ^ d3 `
:
0rb, ds4 ^ a1 ^ c1 ´
:0
rc, ds4 ^ a1 ^ b1,
“ δ3pa1 ^ b1 ^ c1q ^ d3
para todos a, b, c, d P sl2, temos que a restrição de δ4 à ^3par1sq b ar3s é ∆3 b 1ar3s, onde
∆3 é a restrição δ3 à parte graduada de grau 3, que por (4.44) é um monomorfismo, dondeconcluímos que a restrição de δ4 à parte graduada de grau 6 é um monomorfismo e, por(4.63),
Ext4GpaqpF,Mq “ 0.
Como kerpδ3q “`
V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q˘
‘ Impδ4q, concluímos que o único grupo deextensão não nulo é, por (4.64),
Ext3GpaqpF,Mq – Homsl2
`
V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q,M˘
.
Para r “ 7, (4.14) se torna
¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2
`
ar1s b ^2par3sq ‘ ^2
par2sq b ar3s,M˘ δ˚4Ñ
Homsl2
`
ar1s b ^3par2sq ‘ ^2
par1sq b ar2s b ar3s,M˘ δ˚5Ñ
Homsl2
`
^3par1sq b ^2
par2sq,M˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
E por (4.15)Ext5
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ5q Impδ6q,M˘
, (4.66)
Capítulo 4. Grupos de Extensões 88
Ext4GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ4q Impδ5q,M˘
(4.67)
eExt3
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ3q Impδ4q,M˘
. (4.68)
Como sl2-módulos temos que ^3par1sq b ^2
par2sq – V p2q, ar1s b ^3par2sq – V p2q,
^2par1sq b ar2s b ar3s – V p6q ‘
`
V p4q˘‘2
‘`
V p2q˘‘3
‘ V p0q, ar1s b ^2par3sq – V p4q ‘
V p2q ‘ V p0q e ^2par2sq b ar3s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q. Observando que por (4.53) apenas
as páginas Ep1,2q2 e Ep3,1q2 da sequência espectral do Teorema 4.3.1 são não nulas vemos que
Ext5GpaqpF,Mq “ 0,
por (1.19), o que dá que a restrição de δ5 à parte de grau 7 é um monomorfismo, por(4.66). Observe que dados a, b, c, d P sl2 temos que
δ4pa1 ^ b1 ^ c2 ^ d3q “ ´ra, bs2 ^ c2 ^ d3 ` ra, cs3 ^ b1 ^ d3 ´
:
0ra, ds4 ^ b1 ^ c2
´rb, cs3 ^ a1 ^ d3 `
:
0rb, ds4 ^ a1 ^ c2 ´
:0
rc, ds5 ^ a1 ^ b1
“ δ3pa1 ^ b1 ^ c2q ^ d3. (4.69)
Combinando (4.54) e (4.55) vemos que h2 ^ x2 ^ x3 e x1 ^ h3 ^ x3 são vetores de pesomáximo 4. Como, por (4.69),
δ4px1 ^ y1 ^ x2 ^ x3q “ ´rx, ys2 ^ x2 ^ x3 `
:
0rx, xs3 ^ y1 ^ x3 ´ ry, xs3 ^ x1 ^ x3
“ ´ph2 ^ x2 ^ x3q ´ px1 ^ h3 ^ x3q,
δ4ph1 ^ x1 ^ h2 ^ x3q “ ´rh, xs2 ^ h2 ^ x3 `
:0rh, hs3 ^ x1 ^ x3 ´
:0
rx, hs3 ^ h1 ^ x3
“ 2ph2 ^ x2 ^ x3q,
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 7 contém uma cópia de`
V p4q˘‘2. Combinando (4.54), (4.55) e (4.33) vemos que h2 ^ x2 ^ h3 ´ 2x2 ^ y2 ^ x3 e
h1 ^ h3 ^ x3 ´ 2x1 ^ x3 ^ y3 são vetores de peso máximo 2. Como
δ4px1 ^ h2 ^ x2 ^ y2q “ ´rx, hs3 ^ x2 ^ y2 `
:
0rx, xs3 ^ h2 ^ y2 ´ rx, ys3 ^ h2 ^ x2
´
:0rh, xs4 ^ x1 ^ y2 `
:0
rh, ys4 ^ x1 ^ y2 ´
:0rx, ys4 ^ x1 ^ y2
“ ´ph2 ^ x2 ^ h3 ´ 2x2 ^ y2 ^ x3q.
e, por (4.69) e (4.62),
δ4pθq “ 2ph1 ^ h3 ` 2y1 ^ x3 ` 2x1 ^ y3q ^ x3
“ 2ph1 ^ h3 ^ x3 ´ 2x1 ^ x3 ^ y3q,
Capítulo 4. Grupos de Extensões 89
onde θ “ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x3 ` h1 ^ x1 ^ y2 ^ x3 ´ h1 ^ y1 ^ x2 ^ x3, segue de (4.29) que aimagem da restrição de δ4 à parte de grau 7 contém uma cópia de
`
V p2q˘‘2. Combinando
(4.54), (4.55) e (4.41) vemos que
θ “ h1 ^ y1 ^ h2 ^ x3 ` 2x1 ^ y1 ^ y2 ^ x3 ´ h1 ^ y1 ^ x2 ^ h3
´h1 ^ x1 ^ y2 ^ h3 ` h1 ^ x1 ^ h2 ^ y3 ´ 2x1 ^ y1 ^ x2 ^ y3
é um vetor de peso máximo 0. Como
δ4ph1 ^ y1 ^ h2 ^ x3 ` 2x1 ^ y1 ^ y2 ^ x3q “ ´prh, ys2 ^ h2 ` 2rx, ys2 ^ y2q ^ x3
p
:0rh, hs3 ^ y1 ` 2rx, ys3 ^ y1q ^ x3
´pry, hs3 ^ h1 `
:0ry, ys3 ^ x1q ^ x3
“ ´4h2 ^ y2 ^ x3 ´ 2y1 ^ h3 ^ x3
´2h1 ^ x3 ^ y3,
δ4p´h1 ^ y1 ^ x2 ^ h3 ´ h1 ^ x1 ^ y2 ^ h3q “ prh, ys2 ^ x2 ` rh, xs2 ^ y2q ^ h3
´prh, xs3 ^ y1 ` rh, ys3 ^ x1q ^ h3
pry, xs3 ^ h1 ` rx, ys3 ^ h1q ^ h3
“ 4x2 ^ y2 ^ h3 ´ 2y1 ^ h3 ^ x3
`2x1 ^ h3 ^ y3
e
δ4ph1 ^ x1 ^ h2 ^ y3 ´ 2x1 ^ y1 ^ x2 ^ y3q “ ´prh, xs2 ^ h2 ´ rx, ys2 ^ x2q ^ y3
`p
:0rh, hs3 ^ x1 ´
:0
rx, xs3 ^ y1q ^ y3
´prx, hs3 ^ h1 ´ ry, xs3 ^ x1q ^ y3
“ 3h2 ^ x2 ^ y3 ´ 2h1 ^ x3 ^ y3
`x1 ^ h3 ^ y3.
temos que
δ4pθq “ ´p4x2 ^ y2 ^ h3 ` 4h2 ^ y2 ^ x3
´3h2 ^ x2 ^ y3q ´ p4h1 ^ x3 ^ y3 ` 4y1 ^ h3 ^ x3 ´ 3x1 ^ h3 ^ y3q
e segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 7 contém uma cópia deV p0q. Como
kerpδ4q – V p6q ‘ V p2q ‘ Impδ5q e kerpδ3q – V p0q ‘ Impδ4q,
por (4.67) e (4.68), concluímos que os únicos grupos de extensão não nulos são
Ext4GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
V p6q ‘ V p2q,M˘
e Ext3GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
V p0q,M˘
.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 90
Para r “ 8, (4.14) se torna
¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2
`
ar2s b ^2par3sq,M
˘ δ˚4Ñ
Homsl2
`
^2paqr1s b ^2
par3sq ‘ ar1s b ^2par2sq b ar3s,M
˘ δ˚5Ñ
Homsl2
`
^3par1sq b ar2s b ar3s ‘ ^2
paqr1s b ^3par2sq,M
˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨ .
E por (4.15)Ext5
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ5q Impδ6q,M˘
, (4.70)
Ext4GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ4q Impδ5q,M˘
(4.71)
eExt3
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ3q Impδ4q,M˘
. (4.72)
Como sl2-módulos temos que ^2paqr1s b ^3
par2sq – V p2q, ^3par1sq b ar2s b ar3s –
V p4q‘V p2q‘V p0q, ar1sb^2par2sqbar3s – V p6q‘
`
V p4q˘‘2‘`
V p2q˘‘3‘V p0q, ^2
paqr1sb^
2par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q e ar2s b ^2
par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q. Combinando(4.55) e (4.31) vemos que h1 ^ x1 ^ h3 ^ x3 é um vetor de peso máximo 4. Como
δ4ph1 ^ x1 ^ h3 ^ x3q “ ´rh, xs2 ^ h3 ^ x3 “ ´2x2 ^ h3 ^ x3,
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 8 contém uma cópia deV p4q. Combinando agora (4.55) e (4.33) vemos que θ “ h1^x1^x3^y3´h1^y1^h3^x3
é um vetor de peso máximo 2. Como
δ4pθq “ ´rh, xs2 ^ x3 ^ y3 ` rx, ys2 ^ h3 ^ x3
“ ´2x2 ^ x3 ^ y3 ` h2 ^ h3 ^ x3,
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 8 contém uma cópia deV p2q. Combinando (4.55) e (4.34) vemos que φ “ 2x1 ^ y1 ^ x3 ^ y3 ´ h1 ^ x1 ^ h3 ^ y3 ´
h1 ^ y1 ^ h3 ^ x3 é um vetor de peso máximo 0. Como
δ4pφq “ ´2rx, ys2 ^ x3 ^ y3 ` rh, xs2 ^ h3 ^ y3 ` rh, ys2 ^ h3 ^ x3
“ ´2h2 ^ x3 ^ y3 ` 2x2 ^ h3 ^ y3 ´ 2y2 ^ h3 ^ x3,
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 8 contém uma cópia deV p0q. Assim, a restrição de δ4 à parte de grau 10 é um epimorfismo e, por (4.72),
Ext3GpaqpF,Mq “ 0.
Combinando (4.54), (4.56) e (4.31) vemos que h1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ x3 é um vetor de pesomáximo 4. Como
δ5ph1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ x3q “ rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ x3
´rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ x3 ´ ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ x3
“ 2x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ` h1 ^ h2 ^ x2 ^ x3
`h1 ^ x1 ^ h3 ^ x3,
Capítulo 4. Grupos de Extensões 91
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ5 à parte de grau 8 contém uma cópia de V p4q.Combinando agora (4.54), (4.55), (4.56), (4.31) e (4.33) vemos que θ1 “ h1^x1^h2^x2^y2
e θ2 “ h1^ x1^ y1^ x2^ h3´ h1^ x1^ y1^ h2^ x3 são vetores de peso máximo 2. Como
δ5pθ1q “ ´rh, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ` rh, ys3 ^ x1 ^ h2 ^ x2
´rx, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ´ rx, ys3 ^ h1 ^ h2 ^ x2
“ ph1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ` 2x1 ^ h2 ^ x2 ^ y3 ` 2y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3q
`2p´h1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ` x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ´ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3q
e
δ5pθ2q “ rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ h3 ´ rh, xs3 ^ x1 ^ y1 ^ h3 ´ rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ h3
rh, xs2 ^ y1 ^ h2 ^ x3 ´ rh, ys2 ^ x1 ^ h2 ^ x3 ` ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ x3
“ ph1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ` 2x1 ^ h2 ^ x2 ^ y3 ` 2y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3q
`2p´x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ` x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ´ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y3q
`2px1 ^ y1 ^ h3 ^ x3 ´ 2h1 ^ x1 ^ x3 ^ y3q
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 8 contém uma cópiade
`
V p2q˘‘2. Combinando (4.54), (4.56) e (4.34) vemos que φ “ φ1 ` 2φ2 ` 2φ3 é um
vetor de peso máximo 0, onde φ1 “ h1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ h3, φ2 “ h1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ y3 eφ3 “ h1 ^ x1 ^ y1 ^ y2 ^ x3. Como
δ5pφ1q “ ´rh, xs2 ^ y1 ^ h2 ^ h3 ` rh, ys2 ^ x1 ^ h2 ^ h2
`rx, hs3 ^ h1 ^ y1 ^ h3 ´ ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ h3
“ ´2y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ` 2x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3
´2h1 ^ y1 ^ h3 ^ x3 ` 2h1 ^ x1 ^ h3 ^ y3,
δ5pφ2q “ rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ y3 ´ rh, xs3 ^ x1 ^ y1 ^ y3
´rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ y3 ´ ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ y3
“ ´2x1 ^ x2 ^ y2 ^ y3 ´ 2x1 ^ y1 ^ x3 ^ y3
`h1 ^ h2 ^ x2 ^ y3 ` h1 ^ x1 ^ h3 ^ y3
e
δ5pφ3q “ ´rh, xs2 ^ y1 ^ y2 ^ x3 ´ rh, ys3 ^ x1 ^ y1 ^ x3
´rx, ys2 ^ h1 ^ y2 ^ x3 ` rx, ys3 ^ h1 ^ y1 ^ x3
“ 2y1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ´ 2x1 ^ y1 ^ x3 ^ y3
`h1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ` h1 ^ y1 ^ h3 ^ x3
Capítulo 4. Grupos de Extensões 92
temos que
δ5pφq “ ´2y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ` 2x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ´ 2x1 ^ x2 ^ y2 ^ y3
`2h1 ^ h2 ^ x2 ^ y3 ` 4y1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ` 2h1 ^ h2 ^ y2 ^ x3
`2ph1 ^ x1 ^ h3 ^ y3 ´ 2x1 ^ y1 ^ x3 ^ x3q
e segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 8 contém uma cópia deV p0q. Assim, a restrição de δ5 à parte de grau 8 é um monomorfismo e, por (4.70),
Ext5GapF,Mq “ 0.
Como kerpδ4q “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ Impδ5q, concluímos que o único grupo de extensãonão nulo é
Ext5GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q,M˘
.
Para r “ 9, (4.14) se torna
¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2
`
^3par3sq,M
˘ δ˚4Ñ
¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2
`
ar1s b ar2s b ^2par3sq ‘ ^3
par2sq b ar3s,M˘ δ˚5Ñ
Homsl2
`
^2paqr1s b ^2
par2sq b ar3s ‘ ^3par2sq b ^2
par3sq,M˘ δ˚6Ñ
Homsl2
`
^3par1sq b ^3
par2sq,M˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨ .
E por (4.15)Ext6
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ6q Impδ7q,M˘
, (4.73)
Ext5GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ5q Impδ6q,M˘
, (4.74)
Ext4GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ4q Impδ5q,M˘
(4.75)
eExt3
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ3q Impδ4q,M˘
. (4.76)
Como sl2-módulos temos que ^3paqr1s b ^3
par2sq – V p0q, ^2par1sq b ^2
par2sq b ar3s –V p6q‘
`
V p4q˘‘2
‘`
V p2q˘‘3
‘V p0q, ^3par1sqb^2
par3sq – V p2q, ar1sb ar2sb^2par3sq –
V p6q ‘`
V p4q˘‘2
‘`
V p2q˘‘3
‘ V p0q, ^3paqr2s b ar3sV p2q e ^3
par3sq – V p0q. Combinando(4.56) e (4.31) vemos que σ “ h1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 é um vetor de peso máximo 0.Como
δ6pσq “ rh, xs3 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ y2 ´ rh, ys3 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2
`rx, hs3 ^ h1 ^ y1 ^ x2 ^ y2 ` rx, ys3 ^ h1 ^ y1 ^ h2 ^ x2
´ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ` ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ h2 ^ y2
“ 2x1 ^ y1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ` 2x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y3
´2h1 ^ y1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ` h1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3
´2h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ y3 ´ h1 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3,
Capítulo 4. Grupos de Extensões 93
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 9 é um monomorfismo.Assim, por (4.73),
Ext6GpaqpF,Mq “ 0.
Combinando agora (4.56) e (4.31) vemos que h3 ^ x3 ^ y3 é um vetor de peso máximo 0.Como
δ4ph1 ^ x2 ^ h3 ^ y3q “ ´rh, xs3 ^ h3 ^ y3 “ 2ph3 ^ x3 ^ y3q,
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 9 é um epimorfismo.Assim, por (4.76),
Ext3GpaqpF,Mq “ 0.
Dados a, b, c, d, e P sl2 temos que
δ5pa1 ^ b1 ^ c2 ^ d2 ^ e3q “ ´ra, bs2 ^ c2 ^ d2 ^ e3 ` ra, cs3 ^ b1 ^ d2 ^ e3
´ra, ds3 ^ b1 ^ c2 ^ e3 ´ rb, cs3 ^ a1 ^ d2 ^ e3
`rb, ds3 ^ a1 ^ c2 ^ e3
“ δ4pa1 ^ b1 ^ c2 ^ d2q ^ e3. (4.77)
Combinando (4.54), (4.55) e (4.35) vemos que h1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 é um vetor de pesomáximo 6. Como, por (4.77),
δ5ph1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ x3q “ 0
segue de (4.29) que o núcleo da restrição de δ5 à parte de grau 9 contém uma cópia deV p6q. Combinando (4.54), (4.55), (4.36) e (4.37) vemos que θ1` 2θ2 e θ1` 2θ3 são vetoresde peso máximo 4, onde θ1 “ h1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3, θ2 “ ´h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 eθ3 “ ´x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3. Como, por (4.77),
δpθ1 ` 2θ2q “ 2px1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ´ 2x1 ^ x2 ^ x3 ^ y3q
eδpθ1 ` 2θ3q “ 2p2x1 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ´ h1 ^ x2 ^ h3 ^ x3q
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ5 à parte de grau 9 contém uma cópiade
`
V p4q˘‘2. Combinando (4.54), (4.55), (4.56), (4.33), (4.38), (4.39) e (4.40) vemos que
φ “ h1^x1^y1^h3^x3, φ1´φ5´φ6, φ2´φ4´φ6 e φ3´φ4´φ5 são vetores de peso máximo2, onde φ1 “ h1^x1^x2^y2^h3, φ2 “ x1^y1^h2^x2^h3, φ3 “ 2x1^y1^x2^y2^x3,φ4 “ h1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3, φ5 “ h1 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 e φ6 “ ´h1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y3.Como
δ5pφq “ ´rh, xs2 ^ y1 ^ h3 ^ x3 ` rh, ys2 ^ x1 ^ h3 ^ x3 ´ rx, ys2 ^ h1 ^ h3 ^ x3
“ h1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ` 2y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ` 2x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3
Capítulo 4. Grupos de Extensões 94
e, por (4.77),
δ5pφ1 ´ φ5 ´ φ6q “ ´ph1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ` 2y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ` 2x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3q
`2ph1 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ x2 ^ h3 ^ y3q
´2ph2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q,
δ5pφ2 ´ φ4 ´ φ6q “ ph1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ` 2y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ` 2x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3q
´2px1 ^ h2 ^ x3 ^ y3 ` x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ x2 ^ h3 ^ y3q
`2ph2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q
e
δ5pφ2 ´ φ4 ´ φ6q “ ´2ph1 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ x2 ^ h3 ^ y3q
`2px1 ^ h2 ^ x3 ^ y3 ` x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ x2 ^ h3 ^ y3q
´2ph2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ5 à parte de grau 9 contém uma cópia de`
V p2q˘‘4. Como a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 9 é uma cópia de V p0q segue
que o núcleo da restrição de δ5 à parte de grau 9 contém uma cópia de V p0q. Assim temosque kerpδ5q “ V p6q ‘ Impδ6q e kerpδ4q “ V p6q ‘ Impδ5q concluímos que os únicos gruposde extensões não nulos são
Ext4GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
V p6q,M˘
“ Ext5GpaqpF,Mq.
Para r “ 10, (4.14) se torna
¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2
`
ar1s b ^3par3sq ‘ ^2
par2sq b ^2par3sq,M
˘ δ˚5Ñ
Homsl2
`
^2paqr1s b ar2s b ^2
par3sq ‘ ar1s b ^3par2sq b ar3s,M
˘ δ˚6Ñ
Homsl2
`
^3par1sq b ^2
par2sq b ar3s,M˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨ .
E por (4.15)Ext6
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ6q Impδ7q,M˘
, (4.78)
Ext5GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ5q Impδ6q,M˘
(4.79)
eExt4
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ4q Impδ5q,M˘
. (4.80)
Como sl2-módulos temos que ^3par1sqb^2
par2sqbar3s – V p4q‘V p2q‘V p0q, ^2paqr1sb
ar2sb^2par3sq – V p6q‘
`
V p4q˘‘2‘`
V p2q˘‘3‘V p0q, ar1sb^3
par2sqbar3s – V p4q‘V p2q‘V p0q, ar1s b ^3
par3sq – V p2q e ^2par2sq b ^2
par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q. Observando
Capítulo 4. Grupos de Extensões 95
que por (4.53) apenas as páginas E1,3 e E3,2 da sequência espetral do Teorema 4.3.1 sãonão nulas vemos que
Ext6GapF,Mq “ 0
e, por (4.78), a restrição de δ6 à parte de grau 10 é um monomorfismo. Dados a, b, c, d, e P sl2temos que
δ5pa1 ^ b1 ^ c2 ^ d3 ^ e3q “ ´ra, bs2 ^ c2 ^ d3 ^ e3 ` ra, cs3 ^ b1 ^ d3 ^ e3
´
:0ra, ds4 ^ b1 ^ c2 ^ e3 `
:0
ra, es4 ^ b1 ^ c2 ^ d3
´rb, cs3 ^ a1 ^ d3 ^ e3 `
:0rb, ds4 ^ a1 ^ c2 ^ e3
´
:0
rb, es4 ^ a1 ^ c2 ^ d3 ´
:0rc, ds5 ^ a1 ^ b1 ^ e3
`
:0
rc, es5 ^ a1 ^ b1 ^ d3 ´
:0
rd, es6 ^ a1 ^ b1 ^ c2
“ δ3pa1 ^ b1 ^ c2q ^ d3 ^ e3 (4.81)
e
δ5pa1 ^ b2 ^ c2 ^ d2 ^ e3q “ ´ra, bs3 ^ c2 ^ d2 ^ e3 ` ra, cs3 ^ b2 ^ d2 ^ e3
´ra, ds3 ^ b2 ^ c2 ^ e3 `
:0ra, es4 ^ b2 ^ c2 ^ d2
´
:0rb, cs4 ^ a1 ^ d2 ^ e3 `
:0
rb, ds4 ^ a1 ^ c2 ^ e3
´
:0
rb, es5 ^ a1 ^ c2 ^ d2 ´
:0
rc, ds4 ^ a1 ^ b2 ^ e3
`
:0
rc, es5 ^ a1 ^ b2 ^ d2 ´
:0
rd, es5 ^ a1 ^ b2 ^ c2
“ δ4pa1 ^ b2 ^ c2 ^ d2q ^ e3. (4.82)
Combinando (4.55) e (4.31) vemos que h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 é um vetor de peso máximo 4.Como
δ5px1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q “ ´ph2 ^ x2 ^ h3 ^ x3q,
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ5 à parte de grau 10 contém uma cópia deV p4q. Combinando agora (4.54), (4.55), (4.56) e (4.33) vemos que x2^ y2^h3^ x3´h2^
x2 ^ x3 ^ y3 e x1 ^ h3 ^ x3 ^ y3 são vetores de peso máximo 2. Como, por (4.81)
δ5px1 ^ y1 ^ h2 ^ h3 ^ x3q “ 2px1 ^ h3 ^ x3 ^ y3q
e, por (4.82),
δ5px1^h2^x2^y2^h3´h1^h2^x2^y2^x3q “ ´2px2^y2^h3^x3´h2^x2^x3^y3q,
Capítulo 4. Grupos de Extensões 96
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ5 à parte de grau 10 contém uma cópia de`
V p2q˘‘2. Combinando (4.54) e (4.34) vemos que θ “ h1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ` 2x1 ^ h2 ^
x2 ^ y2 ^ y3 ` 2y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3 é um vetor de peso máximo 0. Como, por (4.82),
δ5pθq “ 2p2x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ´ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ´ h2 ^ x2 ^ h3 ^ y3q,
segue de (4.29) que a imagem de δ5 à parte de grau 10 contém uma cópia de V p0q. Assima restrição de δ5 à parte de grau 10 é um epimorfismo e, por (4.80),
Ext4GapF,Mq “ 0.
Como kerpδ5q “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ Impδ6q e kerpδ4q “ Impδ5q concluímos que o únicogrupo de extensão não nulo é, por (4.79),
Ext5GpaqpF,Mq – Homsl2
`
V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q,M˘
.
Para r “ 11, (4.14) se torna
¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2
`
ar2s b ^3par3sq,M
˘
δ˚5Ñ Homsl2
`
^2par1sq b ^3
par3sq ‘ ar1s b ^2par2sq b ^2
par3sq,M˘
δ˚6Ñ Homsl2
`
^3par1sq b ar2s b ^2
par3sq ‘ ^2par1sq b ^3
par2sq b ar3s,M˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
E por (4.15)Ext6
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ6q Impδ7q,M˘
, (4.83)
Ext5GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ5q Impδ6q,M˘
, (4.84)
eExt4
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ4q Impδ5q,M˘
. (4.85)
Como sl2-módulos temos que ^2par1sqb^3
par2sqbar3s – V p4q‘V p2q‘V p0q, ^3par1sqb
ar2sb^2par3sq – V p4q‘V p2q‘V p0q, ar1sb^3
par3sq – V p6q‘`
V p4q˘‘2‘`
V p2q˘‘3‘V p0q,
ar1s b ^2par2sq b ^2
par3sq – V p2q e ar2s b ^3par3sq – V p2q. Combinando (4.54), (4.55),
(4.56) e (4.31) vemos que h1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 e h1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3 sãovetores de peso máximo 4. Como
δ6ph1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3q “ rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ h3 ^ x3
´rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ h3 ^ x3
“ ´2x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ` h1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3
e
δ6ph1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q “ rh, ys3 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ x3
´rx, ys3 ^ h1 ^ h2 ^ x2 ^ x3
“ ´2x1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` h1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3
Capítulo 4. Grupos de Extensões 97
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 11 contém uma cópia de`
V p4q˘‘2. Combinando (4.54), (4.55) e (4.33) vemos que θ1 “ h1^x1^h2^x2^y2^h3´
2x1^ y1^h2^x2^ y2^x3 e θ2 “ h1^x1^ y1^h2^h3^x3´ 2h1^x1^ y1^x2^x3^ y3
são vetores de peso máximo 2. Como
δ6pθ1q “ ´rh, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ` rh, ys3 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3
´rx, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ´ 2rx, ys3 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3
`2ry, hs3 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ´ 2ry, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3
“ 2ph1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ` y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3q
` 2p2x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ´ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ y3 ´ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3q
e
δ6pθ2q “ ´rh, xs2 ^ y1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ` rh, ys2 ^ x1 ^ h2 ^ h3 ^ x3
´ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ h3 ^ x3 ´ 2rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ x3 ^ y3
`2rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` 2ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ x3 ^ y3
“ 2p2x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ´ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ y3q
´ 2ph1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ y3q
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 11 tem uma cópia de`
V p2q˘‘2. Combinando (4.54), (4.55) e (4.34) vemos que θ “ h1^ y1^ h2^ x2^ y2^ x3´
h1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ y3 ` x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 é um vetor de peso máximo 0.Como
δ6pθq “ ´rh, ys3 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ´ ry, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ^ x3
`ry, xs3 ^ h1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ` rh, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ y3
`rx, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ^ y3 ` rx, ys3 ^ h1 ^ h2 ^ x2 ^ y3
´ry, hs3 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3
“ ´2y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ´ 2h1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ` h1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3
´2x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ` 2h1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ´ h1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ y3
´2y1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ y3
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 11 tem uma cópia deV p0q. Assim concluímos que o núcleo da restrição de δ6 à parte de grau 11 é uma cópia deV p0q e, por (4.83),
Ext6GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
V p0q,M˘
.
Combinando (4.54), (4.56) e (4.33) vemos que x2^h3^x3^y3 é um vetor de peso máximo2. Como
δ5ph1 ^ x1 ^ h3 ^ x3 ^ y3q “ ´2px2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q
Capítulo 4. Grupos de Extensões 98
segue de (4.29) que a restrição de δ5 à parte de grau 11 é um monomorfismo. Assim, por(4.85),
Ext4GpaqpF,Mq “ 0.
Como kerpδ5q “ V p6q ‘ V p2q ‘ Impδ6q concluímos que o único grupo de extensões nãonulo é, por (4.84),
Ext5GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
V p6q ‘ V p2q,M˘
.
Para r “ 12, (4.14) se torna
¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2
`
ar1s b ar2s b ^3par3sq ‘ ^3
par2sq b ^2par3sq,M
˘
δ˚6Ñ Homsl2
`
^3par1sq b ^3
par3sq ‘ ^2par1sq b ^2
par2sq b ^2par3sq,M
˘
δ˚7Ñ Homsl2
`
^3par1sq b ^3
par2sq,M˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
E por (4.15)Ext7
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ7q Impδ8q,M˘
, (4.86)
Ext6GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ6q Impδ7q,M˘
, (4.87)
eExt5
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ5q Impδ6q,M˘
. (4.88)
Como sl2-módulos temos que ^3par1sqb^3
par2sqbar3s – V p2q, ^3par1sqb^3
par3sq – V p0q,^
2par1sqb^2
par2sqb^2par3sq – V p6q‘
`
V p4q˘‘2‘`
V p2q˘‘3‘V p0q, ar1sbar2sb^3
par3sq –V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q e ^3
par2sq b ^2par3sq – V p2q. Combinando (4.54), (4.56) e (4.31)
vemos que h1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3 é um vetor de peso máximo 2. Como
δ7ph1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q “ ´rh, ys3 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3
`rx, ys3 ^ h1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3
´ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3
`ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3
“ ´2x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3
`h1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3
`2h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3
´h1 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ7 à parte de grau 12 é um monomorfismo e,assim por (4.86),
Ext7GpaqpF,Mq “ 0.
Capítulo 4. Grupos de Extensões 99
Combinando (4.56) e (4.31) vemos que h1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y3 é um vetor de pesomáximo 0. Como
δ6ph1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y3q “ ´rh, xs2 ^ y1 ^ h3 ^ x3 ^ y3
`rh, ys2 ^ x1 ^ h3 ^ x3 ^ h3
´rx, ys2 ^ h1 ^ h3 ^ x3 ^ y3
“ 2y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 ` 2x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
`h1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 12 tem uma cópia deV p0q. Combinando (4.54), (4.55) e (4.31) vemos que x1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 é um vetor depeso máximo 4. Como
δ6px1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3q “ ´ry, hs3 ^ x1 ^ x2 ^ h3 ^ x3
“ ´2px1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 12 tem uma cópia deV p4q. Combinando (4.54), (4.55), (4.56), (4.31) e (4.33) vemos que h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3
e h1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 ´ x1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 são vetores de peso máximo 2. Como
δ6pθ1q “ ´rx, ys2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 “ ´ph2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3q
e
δ6pθ2q “ rx, ys3 ^ h1 ^ x2 ^ x3 ^ y3
`ry, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ x3 ^ y3
“ h1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
´x1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ^ y3,
onde θ1 “ x1^y1^x2^y2^h3^x3 e θ2 “ h1^x1^x2^y2^x3^y3´x1^y1^h2^x2^x3^y3,segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 12 tem uma cópia de`
V p4q˘‘2. Assim concluímos que a restrição de δ6 à parte de grau 12 é um epimorfismo e,
por (4.88),Ext5
GpaqpF,Mq “ 0
e, como ker pδ6q “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q Impδ7q, o único grupo de extensão não nuloé, por (4.87),
Ext6GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q,M˘
.
Para r “ 13, (4.14) se torna
¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2
`
^2par2sq b ^3
par3sq,M˘
δ˚6Ñ Homsl2
`
^2par1sq b ar2s b ^3
par3sq ‘ ar1s b ^3par2sq b ^2
par3sq,M˘
δ˚7Ñ Homsl2
`
^3par1sq b ^2
par2sq b ^2par3sq,M
˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
Capítulo 4. Grupos de Extensões 100
E por (4.15)Ext7
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ7q Impδ8q,M˘
, (4.89)
Ext6GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ6q Impδ7q,M˘
, (4.90)
eExt5
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ5q Impδ6q,M˘
. (4.91)
Como sl2-módulos temos que ^3par1sqb^2
par2sqb^2par3sq – V p4q‘V p2q‘V p0q, ar1sb
^3par2sqb^2
par3sq – V p4q‘V p2q‘V p0q, ^2par1sqbar2sb^3
par3sq – V p4q‘V p2q‘V p0qe ^2
par2sq b ^3par3sq – V p2q. Observando que por (4.53) apenas as páginas E3,3 e E1,4
da sequência espetral do Teorema 4.3.1 são não nulas vemos que
Ext7GapF,Mq “ 0
e, por (4.78), à restrição de δ7 a parte de grau 13 é um monomorfismo. Combinando (4.55),(4.56) e (4.31) vemos que h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 é um vetor de peso máximo 2. Como
δ6px1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3q “ rx, ys3 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3 “ ´ph2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q
segue de (4.29) que a restrição de δ6 à parte graduada de grau 13 é um epimorfismo e, por(4.90),
Ext5GpaqpF,Mq “ 0.
Assim concluímos que o único grupo de extensão não nulo é, por (4.90),
Ext6GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
V p4q ‘ V p0q,M˘
.
Para r “ 14, (4.14) se torna
¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2
`
ar1s b ^2par2sq b ^3
par3sq,M˘
δ˚7Ñ Homsl2
`
^3par1sq b ar2s b ^3
par3sq ‘ ^2par1sq b ^3
par2sq b ^2par3sq,M
˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
E por (4.15)Ext7
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ7q Impδ8q,M˘
(4.92)
eExt6
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ6q Impδ7q,M˘
. (4.93)
Como sl2-módulos temos que ^2par1sq b ^3
par2sq b ^2par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q,
^3par1sq b ar2s b ^3
par3s – V p2q e ar1s b ^2par2sq b ^3
par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q.Combinando (4.54), (4.55), (4.56) e (4.31) vemos que x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 é umvetor de peso máximo 4. Como
δ7ph1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3q “ rh, ys3 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3
“ 2x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
Capítulo 4. Grupos de Extensões 101
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ7 à parte de grau 14 contém uma cópia deV p4q. Combinando (4.54), (4.56) e (4.31) vemos que h1^ x1^ y1^ x2^ h3^ x3^ y3 é umvetor de peso máximo 2. Como
δ7ph1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q “ rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
´rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
“ ´2x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
`h1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3,
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ7 à parte de grau 14 contém uma cópia deV p2q. Combinando (4.55), (4.56) e (4.34) e vemos que θ “ 2x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^
y3´ h1^ x1^ h2^ x2^ y2^ h3^ y3´ h1^ y1^ h2^ x2^ y2^ h3^ x3 é um vetor de pesomáximo 0. Como
δ7pθq “ rx, ys3 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` ry, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ^ y3
´rh, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ y3 ´ rx, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ y3
`rh, ys3 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ´ ry, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3
“ ´4h1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 ` x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
´4y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3,
segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ7 à parte de grau 14 contém uma cópia deV p0q, logo é epimorfismo. Assim, por (4.93),concluímos que
Ext6GpaqpF,Mq “ 0
e o único grupo de extensão não nulo, por (4.92), é
Ext7GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
V p2q,M˘
.
Para r “ 15, (4.14) se torna
¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2
`
^3par2sq b ^3
par3sq,M˘
δ˚7Ñ Homsl2
`
^2par1sq b ^2
par2sq b ^3par3sq,M
˘
δ˚8Ñ Homsl2
`
^3par1sq b ^3
par2sq b ^2par3sq,M
˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
E por (4.15)Ext8
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ8q Impδ9q,M˘
, (4.94)
Ext7GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ7q Impδ8q,M˘
(4.95)
eExt6
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ6q Impδ7q,M˘
. (4.96)
Capítulo 4. Grupos de Extensões 102
Como sl2-módulos temos que ^3par1sqb^3
par2sqb^2par3sq – V p2q, ^2
par1sqb^2par2sqb
^3par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q e ^3
par2sq b ^3par3sq – V p0q. Combinando (4.55), (4.56)
e (4.31) vemos que h1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 é um vetor de peso máximo 2.Como
δ8ph1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3q “ ´rh, ys3 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3
´ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3
“ 2x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
´2h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
segue de (4.29) que a restrição de δ8 à parte de grau 15 é um monomorfismo. Assim, por(4.94),
Ext8GpaqpF,Mq “ 0.
Combinando (4.56) e (4.31) vemos que h2^ x2^ y2^ h3^ x3^ y3 é vetor de peso máximo0. Como
δ7px1 ^ y1 ^ x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q “ ´rx, ys2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
“ ´ph2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q
segue de (4.29) que a restrição de δ7 à parte de grau 15 é um epimorfismo e, por (4.96),
Ext6GpaqpF,Mq “ 0.
Assim, kerpδ7q “ V p4q ‘ Impδ8q e concluímos que o único grupo de extensão não nulo é,por (4.95),
Ext7GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
V p4q,M˘
.
Para r “ 16, (4.14) se torna
¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2
`
ar1s b ^3par2sq b ^3
par3sq,M˘
δ˚8Ñ Homsl2
`
^3par1sq b ^2
par2sq b ^3par3sq,M
˘
Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨
E por (4.15)Ext8
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ8q Impδ9q,M˘
(4.97)
eExt7
GpaqpF,Mq “ Homsl2
`
kerpδ7q Impδ8q,M˘
. (4.98)
Como sl2-módulos temos que ^3par1sq b ^2
par2sq b ^3par3sq – V p2q e ar1s b ^3
par2sq b^
3par3sq – V p2q. Combinando (4.54), (4.56) e (4.31) vemos que x1^h2^x2^y2^h3^x3^y3
é um vetor de peso máximo 2. Como
δ8ph1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q “ ´rh, ys2 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3
“ 2x1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3,
Capítulo 4. Grupos de Extensões 103
segue de (4.29) que a restrição de δ8 à parte de grau 16 é um isomorfismo e, por (4.97) e(4.98), temos que
ExtnGpaqpF,Mq “ 0, para todo n.
Para r “ 17 temos que`
^npa`q
˘
r17s “ 0, se n ‰ 8, e`
^8pa`q
˘
r17s – V p2q.Logo, por (4.15)
Ext17GpaqpF,Mq – Homsl2
`
V p2q,M˘
.
Para r “ 18 temos que`
^npa`q
˘
r18s “ 0, se n ‰ 9, e`
^9pa`q
˘
r18s – V p0q.Logo, por (4.15)
Ext18GpaqpF,Mq – Homsl2
`
V p0q,M˘
.
Corolário 4.3.11. Se pλ, rq, pµ, sq P Λ, nas hipóteses do teorema anterior,
ExtnGpaq`
V pλ, rq, V pµ, sq˘
– Homsl2
`
V pλ, rq bM,V pµ, sq˘
com M dado por:
M “ V p0q se pn, s´ rq “ p0, 0q, p3, 7q, p6, 11q, p9, 18q;
M “ V p2q se pn, s´ rq “ p1, 1q, p2, 4q, p7, 14q, p8, 17q;
M “ V p4q se pn, s´ rq “ p2, 3q, p7, 15q;
M “ V p6q se pn, s´ rq “ p4, 9q, p5, 9q;
M “ V p4q ‘ V p0q se pn, s´ rq “ p3, 5q, p6, 13q;
M “ pV p6q ‘ V p2q se pn, s´ rq “ p4, 7q, p5, 11q;
M “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q se pn, s´ rq “ p4, 8q, p5, 10q;
M “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q se pn, s´ rq “ p3, 6q, p6, 12q;
M “ 0 caso contrário.
104
Referências
B. D. Boe, C. M. Drupieski, T. R. Macedo, and D. K. Nakano. Extensions for GeneralizedCurrent Algebras. https://arxiv.org/abs/1511.00024, 2015.
H. Cartan and S. Eilenberg. Homological Algebra. Princenton University Press, 1956.
V. Chari and J. Greenstein. Current algebras, highest weight categories and quivers.Advances in Mathematics 216, 2007.
V. Chari and J. Greenstein. A family of Koszul algebras arising from finite-dimensionalrepresentations of simple Lie algebras. Advances in Mathematics. 220, 2009.
V. Chari and J. Greenstein. Minimal afnizations as projective objects. Journal ofGeometry Physics 61, 2011.
V. Chari. On the fermionic formula and the Kirillov-Reshetikhin conjecture. InternationalMathematics Research Notices, 2001.
V. Chari and A. Moura. The restricted Kirillov-Reshetikhin modules for the current andtwisted current algebras. Communications in Mathematical Physics 266, 2006.
V. Chari and A. Moura. Kirillov-Reshetikhin modules associated to G2,. ContemporaryMathematics 442, 2007.
A. Fialowski and F. Malikov, Extensions of modules over loop algebras, American JournalMathematics 116 (1994), no. 5, 1265–1281.
S. Fishel, I. Grojnowski, and C. Teleman, The strong Macdonald conjecture and Hodgetheory on the loop Grassmannian, Annals of Mathematics (2) 168 (2008), no. 1, 175–220.
G. Hochschild and J-P. Serre. Cohomology of Lie Algebras. Princenton University Press,1953.
P. J. Hilton and U. Stammbach. A Course in Homological Algebra. Springer, 1970.
James E. Humphreys. An Introduction to Lie Algebras and Representation Theory.Springer-Verlag, 1972.
R. Kodera, Extensions between finite-dimensional simple modules over a generalizedcurrent Lie algebra, Transformation Groups 15 (2010), no. 2, 371–388.
A. Moura. Restricted limits of minimal afnizations. Pacific Journal Mathematics 244,2010.
A. Moura and F. Pereira. Graded limits of minimal afnizations and beyond: the multiplicityfree case for type E6. Algebra and Discrete Mathematics 12, 2011.
W. Nakai and T. Nakanishi. Paths, tableaux and q-characters of quantum afine algebras:The Cn case. Journal Physics. A 39, 2006.
Referências 105
E. Neher and A. Savage. Extensions and block decompositions for finite-dimensionalrepresentations of equivariant map algebras. Transformation Groups: Volume 20, Issue 1(2015), Page 183-228.
Joseph J. Rotman. An Introduction to Homological Algebra. Springer, 2008.