Grupos e Seus Automorfismos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISINSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS

Departamento de Matematica

Monografia

Grupos e seus automorfismos

Daila Silva Seabra de Moura Fonseca

Orientadora: Ana Cristina Vieira

19 de junho de 2008

Lista de Sımbolos

xg conjugado de x por g, ou seja, gxg−1

[x, y] comutador de x e y, i.e., x−1y−1xy

[A,B] 〈[a, b]|a ∈ A, b ∈ B〉

G′ subgrupo derivado de G, ou seja, [G,G]

Hg uma classe lateral de H em G

Z (G) centro do grupo G

|G : H| ındice do subgrupo H em G

CG(H) centralizador do subgrupo H em G

NG(H) normalizador do subgrupo H em G

Im(f) imagem da funcao f

〈s〉 grupo gerado por s

/ subgrupo normal

× produto direto

n produto semi-direto

Cn grupo cıclico de ordem n

Aut(G) grupo dos automorfismos de G

End(G) conjunto dos endomorfismos de G

Inn(G) grupo dos automorfismos internos de G

O(g) ordem de um elemento g ∈ G

|G| ordem do grupo G

Cl(g) classe de conjugacao de g ∈ G

[x] maior inteiro menor ou igual a x

ker(ϕ) nucleo do homomorfismo ϕ

G ∼= H G e isomorfo a H

Zn ={

0, 1, 2, . . . , n− 1}

conjunto das classes dos restos modulo n.

Sumario

Agradecimento 4

Resumo 5

Abstract 6

Introducao 7

1 Automorfismos de grupos 8

1.1 Fatos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 O grupo dos automorfismos Aut(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Automorfismos de grupos cıclicos e abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Automorfismos de alguns grupos nao abelianos . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Automorfismos de grupos simetricos 36

2.1 Grupos simetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Grupos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Automorfismos de S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A Apendice 46

A.1 Resultados sobre Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A.2 Resultados Tecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Referencias Bibliograficas 53

3

Agradecimento

Agradeco a Deus por este sonho realizado, pela forca e pela luz que me deu durante

esta caminhada. A professora Ana Cristina agradeco por ter aceitado me orientar neste

trabalho, pela paciencia, dedicacao e pelo incentivo durante a elaboracao do mesmo.

Agradeco ao meu marido Allan, pelo amor, paciencia e por estar ao meu lado me apoi-

ando, dando forca e ajudando em todos os momentos de duvidas. Finalmente agradeco

aos meus familiares e amigos, pelo apoio e carinho em todos os momentos.

4

Resumo

Neste trabalho estudaremos algumas propriedades de grupos e de seus grupos de

automorfismos. Classificaremos o grupo de automorfismo de um grupo cıclico e daremos

exemplos de grupos de automorfismos de grupos abelianos e nao-abelianos. Em especial,

estudaremos o grupo de automorfismos do grupo simetrico Sn.

5

Abstract

In this work, we study some properties of groups and their automorphism groups.

We classify the automorphism group of a cyclic group and give some examples of au-

tomorphism groups for abelian and non-abelian groups. In particular, we study the

automorphism group of the symmetric group Sn.

6

Introducao

Neste trabalho, estudaremos algumas propriedades de grupos e de seus automorfis-

mos. Veremos como a estrutura de um grupo G pode influenciar na estrutura do grupo

Aut(G) e mostraremos que grupos isomorfos produzem grupos de automorfismos iso-

morfos mas que a recıproca nao e verdadeira. Estudaremos particularmente o grupo dos

automorfismos do grupo simetrico Sn.

No Capıtulo 1, relembraremos alguns fatos importantes para uma melhor compre-

ensao sobre os grupos e seus automorfismos. Veremos tambem algumas propriedades

de automorfismos, como por exemplo se H e K dois grupos finitos com ordens relativa-

mente primas, entao Aut(H ×K) ∼= Aut(H) × Aut(K). Mostraremos alguns exemplos

de automorfismos de grupos abelianos e nao abelianos.

No Capıtulo 2, estudaremos o grupo dos automorfismos do grupo simetrico e algumas

de suas propriedades. Veremos que, para n 6= 6, Aut(Sn) ∼= Sn e, algumas caracterısticas

de Aut(S6).

O apendice contem alguns resultados sobre grupos que serao utilizados no decorrer

do texto, alguns sem demonstracao como o classico Teorema de Sylow. Faremos tambem

observacoes sobre representacoes permutacionais de grupos, destacando a representacao

nas classes laterias de um subgrupo e resultados sobre grupos transitivos. O apendice

tambem possui alguns resultados tecnicos de algebra elementar. Esses resultados usarao

a numeracao precedida da letra A.

7

Capıtulo 1

Automorfismos de grupos

1.1 Fatos basicos

Nesta secao veremos alguns resultados preliminares para uma melhor compreensao

dos grupos e de seus automorfismos.

Definicao 1.1 Sejam G e H dois grupos.

(i) Um homomorfismo f : G → H e uma funcao tal que f(ab) = f(a)f(b) paratodo a, b ∈ G.

(ii) Um monomorfismo f : G→ H e um homomorfismo injetor.

(iii) Um epimorfismo f : G→ H e um homomorfismo sobrejetor.

(iv) Um isomorfismo f : G→ H e um homomorfismo bijetor.

Quando existe um isomorfismo entre dois grupos G e H, dizemos que eles sao iso-

morfos e denotamos por G ∼= H.

Exemplo 1.2 Homomorfismo canonico de G em um quociente:

Se N / G entao a aplicacao:π : G −→ G/N

g 7−→ Ng

e um epimorfismo.

8

1.1 - Fatos basicos

Exemplo 1.3 Homomorfismo de grupos cıclicos:

1. Se G e um grupo cıclico infinito, G = 〈g〉 = {gm|m ∈ Z}, entao definimos:

ϕ : Z −→ Gm 7−→ gm.

2. Se G e um grupo cıclico finito de ordem n, G = {1, g, g2, . . . , gn−1}, entao definimos:

ψ : G −→ Zn

gm 7−→ m.

Temos que ϕ e ψ sao isomorfismos.

Propriedades Elementares:

Seja f : G→ H um homomorfismo de grupos. Entao:

1. f(1G) = 1H onde 1G e o elemento neutro de G e 1H e o elemento neutro de H.

De fato,

f(1G) = f(1G1G) = f(1G)f(1G)⇒ f(1G)f(1G)−1 = f(1G)f(1G)f(1G)−1

⇒ 1H = f(1G).

2. f(g−1) = f(g)−1 para todo g ∈ G.

De fato,

f(gg−1) = f(1G) = 1H ⇒ f(g)f(g−1) = 1H ⇒ f(g−1) = f(g)−1.

3. ker(f) := {x ∈ G|f(x) = 1H} e um subgrupo normal de G chamado nucleo do

homomorfismo f .

Com efeito, observemos que 1G ∈ ker(f) e dados x, y ∈ ker(f), temos:

f(xy) = f(x)f(y) = 1H1H = 1Hf(x−1) = f(x)−1 = (1H)−1 = 1H .

Assim pela Proposicao A.1, temos que ker(f) < G. Para provar que ker(f) / G

devemos mostrar que gxg−1 ∈ ker(f), para todo g ∈ G e para todo x ∈ ker(f).

De fato, temos

f(gxg−1) = f(g)f(x)f(g−1) = f(g)1Hf(g)−1

= f(g)f(g)−1 = 1H .

. �

9

1.1 - Fatos basicos

4. Im(f) = {y ∈ H|y = f(g) para algum g ∈ G} e um subgrupo de H chamado

Imagem de f .

De fato, ja temos que 1H = f(1G) entao f(1G) ∈ Im(f). Logo, Im(f) 6= ∅. Temos

tambem que se f(g1), f(g2) ∈ Im(f) segue que f(g1)f(g2)−1 = f(g1g−12 ) ∈ Im(f)

para todo g1, g2 ∈ G e o resultado esta demonstrado. . �

A partir de agora, nao faremos distincao entre os elementos neutros de dois grupos

G e H. Usaremos 1 para qualquer um deles.

Proposicao 1.4 Sejam G e H grupos com identidades e f : G→ H um homomor-fismo. Entao f e injetiva se, e somente se, ker(f) = 1.

Demonstracao: (⇒) Suponha f injetiva. Portanto

x ∈ ker(f)⇒ f(x) = 1⇒ f(x) = f(1)⇒ x = 1⇒ ker(f) = 1.

(⇐) Suponha ker(f) = 1. Como

f(x) = f(y)⇒ f(xy−1) = 1⇒ xy−1 ∈ ker(f) = {1} ⇒ x = y

temos que f e injetiva. . �

O teorema que segue e um resultado fundamental, pois auxilia na caracterizacao do

quociente de um grupo.

Teorema 1.5 (Teorema do Homomorfismo)Sejam G e H grupos e f : G→ H um homomorfismo, entao:

G/ker(f) ∼= Im(f).

Demonstracao: Sejam N = ker(f) / G e G = G/N . Vamos definir

f : G −→ Im(f)g 7−→ f(g).

Primeiramente f esta bem definida, pois

g = h⇒ gh−1 ∈ N ⇒ f(gh−1) = 1⇒ f(g) = f(h).

10

1.1 - Fatos basicos

E ainda, Im(f) = Im(f), ou seja, f e sobrejetiva. Agora, sejam x, y ∈ G. Temos:

f(x · y) = f(x · y) = f(x · y) = f(x) · f(y) = f(x) · f(y),

e

f(x) = 1⇔ f(x) = 1⇔ x ∈ ker(f)⇔ x = 1,

o que implica que f e um homomorfismo injetor. Assim f e um isomorfismo de G sobre

Im(f), ou seja, G/ker(f) ∼= Im(f). . �

Daqui em diante, vamos focar nosso interesse em homomorfismos de um grupo nele

mesmo. Isto motiva a seguinte definicao:

Definicao 1.6 Seja G um grupo.

(i) Um homomorfismo f : G→ G e dito um endomorfismo de G.

(ii) Um isomorfismo f : G→ G e dito um automorfismo de G.

Claramente a funcao identidade e um automorfismo de G e sera o elemento neutro

de Aut(G).

Observacao 1.7 O conjunto de todos os endomorfismos de um grupo G sera denotado

por End(G) = {ϕ : G→ G| ϕ e um homomorfismo }.

O conjunto End(G) nao e necessariamente um grupo, pois nao podemos assumir que

todos os seus elementos possuem inverso. Mas, quando G e um grupo abeliano, End(G)

e um anel com as operacoes definidas por

(f + g)(a) = f(a) · g(a)(f · g)(a) = f ◦ g(a),

onde f, g ∈ End(G) e a ∈ G.

Um endomorfismo ϕ ∈ End(G) pode ser um monomorfismo sem ser um automor-

fismo, por exemplo:

Seja G = Z, fixe k ∈ Z e defina:

ϕ : Z −→ Zn 7−→ kn temos ϕ ∈ End(Z).

11

1.1 - Fatos basicos

Note que ϕ e um monomorfismo, para qualquer valor de k 6= 0, mas se k > 1 entao ϕ

nao e um automorfismo (nao e sobrejetor, pois nao existe m ∈ Z tal que ϕ(m) = 1).

De maneira analoga, um endomorfismo ϕ ∈ End(G) pode ser um epimorfismo sem

ser um automorfismo. De fato, seja G = C∗ o grupo multiplicativo dos complexos nao

nulos e fixe n ∈ N, n > 1. Defina:

ϕ : C∗ −→ C∗x 7−→ xn.

Temos ϕ ∈ End(C∗).Desde que qualquer complexo tenha sua n-esima raiz em C, ϕ e

um epimorfismo. Como ker(ϕ) = {x ∈ C∗|xn = 1} e o conjunto das raızes n-esimas de

unidade temos que ker(ϕ) 6= 1, ou seja, ϕ nao e um monomorfismo.

Denotamos o conjunto de todos os automorfismos de um grupo G por Aut(G). Note

que um automorfismo preserva qualquer propriedade teorica de grupo. A saber, se

σ ∈ Aut(G) entao para quaisquer dois subgrupos H e K de G tais que K ⊂ H, temos:

σ(H) ∼= H e |σ(H) : σ(K)| = |H : K| .

E ainda, K / H implica σ(K) / σ(H) e H/K ∼= σ(H)/σ(K). Em geral,

NG(σ(H)) = σ(NG(H)) e CG(σ(H)) = σ(CG(H)).

Proposicao 1.8 Aut(G) e um grupo sob a operacao de composicao de funcoes.

Demonstracao: Sejam σ, ρ ∈ Aut(G).Entao (σ ◦ ρ)(xy) = σ(ρ(xy)) = σ(ρ(x)ρ(y)) =

σ(ρ(x))σ(ρ(y)) = (σ ◦ ρ(x))(σ ◦ ρ(y)) para todo x, y ∈ G. Como a composicao σ ◦ ρ de

funcoes bijetivas e tambem bijetiva temos σ ◦ ρ ∈ Aut(G).

Se σ ∈ Aut(G) entao para quaisquer x′, y′ ∈ G existem x, y ∈ G tais que x′ = σ(x) e

y′ = σ(y). Assim,

σ−1(x′y′) = σ−1(σ(x)σ(y)) = σ−1(σ(xy)) = (σ−1 ◦ σ)(xy) = xy = σ−1(x′)σ−1(y′)

e isto demonstra que σ−1 ∈ Aut(G). . �

12

1.1 - Fatos basicos

Construiremos um caso particular de automorfismo:

Dados um grupo G e g ∈ G podemos definir uma funcao

τ : G −→ Gx 7−→ gxg−1 = xg.

Observe que τ e:

1. um homomorfismo, pois para todo x, y ∈ G, temos que

τ(xy) = g(xy)g−1 = (gxg−1)(gyg−1) = τ(x)τ(y);

2. injetora, pois se x ∈ ker(τ) temos que

xg = 1⇒ gxg−1 = 1⇒ gx = g ⇒ x = 1

3. sobrejetora, pois escolhendo a ∈ G, existe um elemento b ∈ G tal que τ(b) = a.

Tome b = g−1ag ∈ G. Logo,

τ(b) = τ(g−1ag) = g(g−1ag)g−1 = a.

Portanto τ e um automorfismo de G. Isto sugere a seguinte definicao:

Definicao 1.9 Se g e um elemento de um grupo G, entao o automorfismo

x 7→ xg = gxg−1

e chamado automorfismo interno induzido por g, que denotamos por τg.

Notemos que, para todo x ∈ G:

τgh(x) = xgh = (gh)x(gh)−1 = ghxh−1g−1 = τg(hxh−1) = τgτh(x).

Entao τgτh = τgh, ou seja, a composicao de automorfismos internos e um automorfismo

interno.

O teorema abaixo fornecera algumas propriedades dos automorfismos internos.

13

1.1 - Fatos basicos

Teorema 1.10 O conjunto dos automorfismos internos de G, Inn(G) = {τg|g ∈ G},e:

(i) um subgrupo normal de Aut(G);

(ii) isomorfo ao grupo quociente G/Z (G), onde Z (G) e o centro de G. Ou seja,

Inn(G) ∼= G/Z (G).

Demonstracao: (i) Que Inn(G) e um subgrupo de Aut(G) segue do seguinte:

1. Id ∈ Inn(G):Id : τ1 : G −→ G

x 7−→ x1 = x.

2. Se τg, τh ∈ Inn(G) entao τgτh = τgh ∈ Inn(G).

3. Se τg ∈ Inn(G) entao (τg)−1 = τg−1 , pois τgτg−1 = Id = τg−1τg.

Com isso ja temos que Inn(G) ≤ Aut(G). Mostraremos que Inn(G) e normal em

Aut(G). Sejam σ ∈ Aut(G) e τg ∈ Inn(G). Para todo x ∈ G temos:

(σ ◦ τg ◦ σ−1)(x) = σ ◦ τg(σ−1(x)) = σ(gσ−1(x)g−1)= σ(g)xσ(g)−1 = τσ(g)(x)

o que implica σ ◦ τg ◦ σ−1 = τσ(g) ∈ Inn(G), como querıamos.. �

(ii) Basta observar que a funcao,

τ : G −→ Aut(G)g 7−→ τg : G −→ G

x 7−→ xg

e um homomorfismo tal que: Im(τ) = Inn(G) e ker(τ) = Z (G). De fato, ja sabemos

que τ e um homomorfismo e que Im(τ) = Im(G). Porem, g ∈ G esta em ker(τ) se, e

somente se, τg = Id, ou seja, τg(x) = x, para todo x ∈ G. Logo, gx = xg. Sendo assim

ker(τ) = Z (G). Portanto, pelo Teorema 1.5 temos que:

Inn(G) ∼= G/Z (G).

. �

14

1.2 - O grupo dos automorfismos Aut(G)

Corolario 1.11 Se Z (G) = {1} entao Inn(G) ∼= G.

Do corolario acima, se Z (G) = {1} podemos identificar Inn(G) com G. Assim,

consideramos a funcao g → τg como uma imersao de G em Aut(G) e podemos ver G

como um subgrupo de Aut(G).

Definicao 1.12 O grupo quociente Aut(G)/Inn(G) e dito o grupo das classesdos automorfismos externos e denotado por Out(G).

1.2 O grupo dos automorfismos Aut(G)

Observemos inicialmente que se G e H sao grupos isomorfos entao os grupos Aut(G)

e Aut(H) tambem sao grupos isomorfos. De fato, se ϕ : G→ H e um isomorfismo entao

ao considerar σ ∈ Aut(G), podemos definir σ = ϕσϕ−1 ∈ Aut(H) e temos

Gϕ−1

←− Hσ ↓ ↓ σ = ϕσϕ−1

G−→ϕ H

Portanto,ϕ : Aut(G) −→ Aut(H)

σ 7−→ σ

e um isomorfismo.

O grupo de automorfismos aparece frequentemente no estudo de grupos. Uma das

razoes e o seguinte resultado:

Teorema 1.13 Dado um subgrupo H de um grupo G temos que

CG(H) / NG(H).

E ainda, o grupo quocienteNG(H)

CG(H)e isomorfo a um subgrupo de Aut(H).

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Demonstracao: Se tomarmos g ∈ NG(H) e x ∈ CG(H) vamos ter gxg−1 ∈ CG(H). De

fato, se h ∈ H entao

h(gxg−1) = (hg)xg−1

= (gh)xg−1, para algum h ∈ H= gx(hg−1)= (gxg−1)h.

Portanto, CG(H) / NG(H). Para provar a segunda afirmacao, primeiramente notemos

que se g ∈ NG(H) segue que ghg−1 ∈ H, para todo h ∈ H. E facil ver que a aplicacao:

ϕg : H −→ Hh 7−→ ghg−1

e um automorfismo de H. Assim, definindo

ϕ : NG(H) −→ Aut(H)g 7−→ ϕg

para todo h ∈ H e quaisquer g1, g2 ∈ G

ϕg1g2(h) = g1g2h(g1g2)−1

= g1(g2hg−12 )g−1

1

= g1(ϕg2(h))g−11

= ϕg1ϕg2(h).

Logo, ϕ e um homomorfismo. Alem disso

ker(ϕ) = {g ∈ NG(H)|ϕg = Id}= {g ∈ NG(H)|ϕg(h) = h,∀h ∈ H}= {g ∈ NG(H)|gh = hg,∀h ∈ H}= CG(H).

Pelo Teorema do Homomorfismo,

NG(H)

CG(H)∼= Im(ϕ)

e o teorema esta provado. . �

O resultado acima mostra que Aut(H) controla o grupo quociente NG(H)/CG(H).

Veremos como a ordem de um grupo finito G estima a ordem do grupo Aut(G) e que

automorfismos preservam a ordem dos elementos.

16


Teorema 1.14 Se G e um grupo finito de ordem n entao |Aut(G)| < na, ondea = [log2 n].

Demonstracao: Considere G = 〈X〉, onde X = {x1, x2, . . . , xm} e um conjunto mi-

nimal de geradores para G. Logo, qualquer automorfismo ϕ ∈ Aut(G) e unicamente

determinado a partir do conhecimento dos m elementos, ϕ(x1), ϕ(x2), . . . , ϕ(xm). De

fato, como qualquer elemento g ∈ G pode ser escrito como um produto finito

g = u1u2 . . . ur,

onde ui ∈ X ou ui ∈ X−1 = {g−1|g ∈ X}. Assim

ϕ(g) = ϕ(u1)ϕ(u2) . . . ϕ(ur)

sendo que cada ϕ(ui), 1 ≤ i ≤ r, e escrito como o produto de elementos ϕ(xj) ou

ϕ(x−1j ) = ϕ(xj)

−1, 1 ≤ j ≤ m. Entao ϕ(g) e unicamente determinado por ϕ(x1), ϕ(x2),

. . . , ϕ(xm), onde cada ϕ(xj) pode ser qualquer um dos n elementos de G. Portanto,

|Aut(G)| < nm. (1.1)

Agora, defina uma cadeia de subgrupos Hi ≤ G, 1 ≤ i ≤ m, por

H0 = {1}Hi = 〈x1, . . . , xi〉 .

Claramente, Hm = G e Hi−1 ⊆ Hi. Se Hj−1 = Hj para algum j entao o elemento

xj poderia ser removido do conjunto X, pois xj seria escrito a partir dos elementos

x1, . . . , xj−1. Mas, isto contradiz a minimalidade de m. Assim, H0, H1, . . . , Hm sao

todos distintos, donde segue

[Hi : Hi−1] ≥ 2.

Como

{1} = H0 ≤ H1 ≤ . . . ≤ Hm−1 ≤ Hm = G

entao

|G| = [Hm : Hm−1]︸︷︷︸≥2

[Hm−1 : Hm−2]︸︷︷︸≥2

. . . [H2 : H1]︸︷︷︸≥2

[H1 : H0]︸︷︷︸≥2

≥ 2m.

17


Como |G| = n entao n ≥ 2m, ou seja, m ≤ [log2 n] e assim, voltando em (1.1), temos

|Aut(G)| < na,

onde a = [log2 n], como querıamos.

Observe que um automorfismo preserva a ordem dos elementos. De fato, sejam G

um grupo, ϕ ∈ Aut(G) e g ∈ G tal que O(g) = n. Portanto,

ϕ(g)n = ϕ(g) · ϕ(g) · . . . · ϕ(g)︸︷︷︸n vezes

= ϕ(g · g · . . . · g︸︷︷︸n vezes

) = ϕ(gn) = ϕ(1) = 1.

Veremos que n e o menor inteiro tal que ϕ(g)n = 1. Para isso, suponha por absurdo

que existe um k < n tal que ϕ(g)k = 1 ⇒ ϕ(gk) = 1. Pela injetividade de ϕ temos

gk = 1, o que e um absurdo, pois contradiz a minimalidade da ordem de g.

Falaremos brevemente sobre o produto semi-direto, o qual e uma ferramenta muito

importante na classificacao e na construcao de grupos atraves dos grupos de automor-

fismos.

Sejam H e K dois grupos quaisquer e suponhamos que podemos definir um homo-

morfismo:ϕ : H −→ Aut(K)

h 7−→ ϕh : K −→ Kk 7−→ ϕh(k).

Nesta situacao, dizemos que H age sobre K. Uma acao trivial e aquela em que

ϕh = Id, para todo h ∈ H, ou seja,

ϕ : H −→ Aut(K)h 7−→ ϕh : K −→ K

k 7−→ k.

Consideremos uma acao ϕ : H → Aut(K) e o conjunto dos pares ordenados:

H ×K = {(h, k) | h ∈ H e k ∈ K} .

Podemos definir um produto em H ×K que depende da acao ϕ por:

(h1, k1)(h2, k2) = (h1h2, k1ϕh1(k2)) , h1, h2 ∈ H e k1, k2 ∈ K.

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Com este produto assim definido, o conjunto H × K se torna um grupo, onde o

elemento neutro e (1, 1) e o inverso de (h, k) e (h−1, ϕh−1(k−1)), pois para h ∈ H e para

k ∈ K, temos:

(h, k)(1, 1) = (h · 1, kϕh(1)) = (h, k · 1) = (h, k),

(1, 1)(h, k) = (1 · h, 1ϕ1(k)) = (h, 1 · k) = (h, k)

e

(h, k)(h−1, ϕh−1(k−1)

)=(hh−1, kϕh

(ϕh−1(k−1)

))= (1, kk−1) = (1, 1).

Este grupo e o produto semi-direto de H e K denotado por H nK.

Note que, quando a acao ϕ e trivial, o produto semi-direto e, na verdade, o produto

direto H × K, pois temos ϕh(k) = k para todo h ∈ H e para todo k ∈ K e assim

(h1, k1)(h2, k2) = (h1h2, k1k2).

Exemplo 1.15 Consideremos H = 〈a〉 e K = 〈b〉 dois grupos cıclicos de ordem 2 e 3,

respectivamente. Logo, H ∼= Z2 e K ∼= Z3.

E facil ver que b 7→ b−1 define um automorfismo de K, o que induz a acao de H sobre

K:ϕ : H −→ Aut(K)

a 7−→ ϕa : K −→ Kb 7−→ ϕa(b) = b−1.

Portanto, temos definido um produto semi-direto Z2nZ3 = {(1, 1), (1, b), (1, b−1), (a, 1), (a, b), (a, b−1)}.

Note que este grupo nao e isomorfo a Z6, pois nao e abeliano:

(a, 1)(a, b−1) = (a · a, 1ϕa(b−1)) = (1, b)

(a, b−1)(a, 1) = (a · a, b−1ϕa(1)) = (1, b−1).

Logo, Z2 n Z3∼= S3.

Em geral, um exemplo de um produto semi-direto e o grupo diedral de ordem 2n.

De fato, tome H ∼= Z2 (cıclico gerado por a) e K ∼= Zn (cıclico gerado por x), com n ≥ 3

e considere a acaoϕ : H −→ Aut(K)

a 7−→ ϕa : K −→ Kx 7−→ x−1.

19


Portanto, H nK ∼= D2n.

O proximo resultado trata dos automorfismos de produtos diretos, pois caso consiga-

mos escrever um grupo como o produto direto de dois grupos com ordens relativamente

primas, poderemos afirmar como sera o seu grupo de automorfismos.

Teorema 1.16 Sejam H e K dois grupos finitos com ordens relativamente primas.Entao Aut(H ×K) ∼= Aut(H)× Aut(K).

Demonstracao: Seja ψ ∈ Aut(H) × Aut(K) tal que ψ = (σ, ϕ) onde σ ∈ Aut(H) e

ϕ ∈ Aut(K). Considere a funcao:

ψ : H ×K −→ H ×K(h, k) 7−→ (σ(h), ϕ(k)).

Claramente ψ ∈ Aut(H ×K). Defina

F : Aut(H)× Aut(K) −→ Aut(H ×K)

ψ 7−→ ψ.

AFIRMACAO: F e um isomorfismo.

Sejam ψ1 = (σ1, ϕ1), ψ2 = (σ2, ϕ2) ∈ Aut(H)×Aut(K). Queremos mostrar que F e

um homomorfismo, ou seja,

F(ψ1ψ2) = ψ1ψ2 = ψ1 ψ2 = F(ψ1)F(ψ2).

Mas,

ψ1 ψ2(h, k) = ψ1(σ2(h), ϕ2(k)) = (σ1σ2(h), ϕ1ϕ2(k)) = ψ1ψ2(h, k),

como querıamos.

Agora, vamos mostrar que F e injetiva. Suponha que ψ ∈ ker(F). Entao F(ψ) = 1,

ou seja, ψ = 1. Logo, para todo h ∈ H e para todo k ∈ K temos que:

ψ(h, k) = 1⇒ (σ(h), ϕ(k)) = 1⇒ σ(h) = 1 e ϕ(k) = 1.

20


Portanto, σ = ϕ = 1, ou seja, ψ = 1. Para encerrar a prova mostraremos que F e

sobrejetiva. Tome |H| = n e |K| = m com mdc(n,m) = 1. Dado w um automorfismo

de H ×K, devemos construir um automorfismo wH de H e um automorfismo wK de K

tais que

w = F(wH , wK). (1.2)

Tome as seguintes projecoes ΠH : H × K → H e ΠK : H × K → K. Logo,

ΠH(h, k) = h e ΠK(h, k) = k. Agora, considere o homomorfismo γ : K → H definido

por:

K −→ H ×K w−→ H ×K ΠH−→ Hk 7−→ (1, k) 7−→ w(1, k) 7−→ ΠH(w(1, k))

ou seja, γ(k) = ΠH(w(1, k)). Pelo teorema do homomorfismo temos K/ker(γ) ∼= Im(γ)

o que implica que |K : ker(γ)| divide |H| = n. Por outro lado, |K : ker(γ)| tambem

divide |K| = m. Logo, |K : ker(γ)| = 1, ou seja, K = ker(γ). Portanto γ(k) = 1, para

todo k ∈ K.

Definindo o homomorfismo δ : H → K por

H −→ H ×K w−→ H ×K ΠK−→ Kh 7−→ (h, 1) 7−→ w(h, 1) 7−→ ΠK(w(h, 1))

ou seja, δ(h) = ΠK(w(h, 1)), pelo mesmo raciocınio acima temos δ(h) = 1, para todo

h ∈ H.

Agora defina os endomorfismos wH e wK respectivamente por

wH : H −→ Hh 7−→ ΠH(w(h, 1))

ewK : K −→ K

k 7−→ ΠK(w(1, k)).

Agora, se w(h, k) = (h, k) temos ΠH(w(h, k)) = h e ΠK(w(h, k)) = k. Assim,

F(wH , wK)(h, k) = (wH(h), wK(k))= (ΠH(w(h, 1)), 1)(1,ΠK(w(1, k)))= (ΠH(w(h, 1)), δ(h))(γ(k),ΠK(w(1, k)))= (ΠH(w(h, k)),ΠK(w(h, k)))= w(h, k).

21

1.3 - Automorfismos de grupos cıclicos e abelianos

Portanto, existe wH ∈ End(H) e wK ∈ End(K) nas condicoes de (1.2), ou seja,

w(h, k) = (wH(h), wK(k)), para todo h ∈ H e para todo k ∈ K. Resta-nos mostrar que

estes endomorfismos sao bijecoes. Para isto, e suficiente que sejam injetivos, pois H e K

sao grupos finitos. Suponha wH(h) = 1. Assim temos que

wH(h) = ΠH(w(h, 1)) = ΠH(h, k) = h = 1

entao

w(h, 1) = (1, k) = (wH(h), wK(1)).

Como wK(1) = ΠK(w(1, 1)) = ΠH(1, 1) = 1 = k entao w(h, 1) = (1, 1). Como w e

um automorfismo entao h = 1. Sendo assim, ker(wH) = {1}.

De maneira analoga, mostramos que ker(wK) = {1}. Portanto, wH e wK sao auto-

morfismos, o que completa a demonstracao. . �

1.3 Automorfismos de grupos cıclicos e abelianos

Nesta secao trataremos os automorfismos dos grupos cıclicos e daremos alguns exem-

plos de automorfismos de grupos abelianos.

Proposicao 1.17 Se G e um grupo cıclico entao Aut(G) e um grupo abeliano.

Demonstracao: Seja G um grupo cıclico e seja g um gerador de G. Considerando

f1, f2 ∈ Aut(G), queremos mostrar que f1f2 = f2f1. Para isto e suficiente mostrarmos

que (f1f2)(g) = (f2f1)(g).

Suponha que f1(g) = gr e f2(g) = gs. Assim

(f1f2)(g) = f1(f2(g)) = f1(gs) = f1(g)s = grs

e

(f2f1)(g) = f2(f1(g)) = f2(gr) = f2(g)r = grs,

22


como querıamos demonstrar. . �

Pelo exemplo 1.3 temos que

G ∼= Z, se G e cıclico infinito, eG ∼= Zn, se G e cıclico com |G| = n <∞.

Portanto, para conhecer o grupo de automorfismos de grupos cıclicos, devemos estu-

dar Aut(Z) e Aut(Zn).

Proposicao 1.18 Aut(Z) ∼= Z2.

Demonstracao: Considere G = 〈g〉 cıclico infinito, f ∈ Aut(G) e f(g) = gk. Como

Im(f) = G entao gk e um gerador de G, pois G = Im(f) = 〈f(g)〉 =⟨gk⟩.

Com isso g = gkl, para algum l ∈ Z. Como G e infinito entao kl = 1 implica k = 1 e

l = 1 ou k = −1 e l = −1.

Desta maneira, um grupo cıclico infinito possui apenas dois automorfismos:

g 7−→ g g 7−→ g−1

ou seja, Aut(G) e um grupo de ordem 2, e portanto, cıclico. Isto implica Aut(Z) ∼= Z2..�

Agora vamos aproveitar a demonstracao anterior para determinar a ordem de Aut(G)

quando G e cıclico finito de ordem n.

Usando a informacao acima, vemos que gkl−1 = 1. Logo, se |G| = n entao n|(kl− 1).

Portanto, kl + sn = 1, para algum s ∈ Z o que implica, pela Proposicao A.12, que

mdc(k, n) = 1. Assim, os automorfismos de um grupo cıclico finito de ordem n sao

dados por:

g 7−→ gk

onde mdc(k, n) = 1, 1 ≤ k ≤ n − 1. Logo, temos φ(n) automorfismos de G, lembrando

que φ e conhecida com a funcao de Euler. Assim, segue que |Aut(G)| = φ(n).

23


Exemplo 1.19 Seja G cıclico de ordem 9. Entao seus automorfismos sao:

g 7−→ g g 7−→ g2 g 7−→ g4

g 7−→ g5 g 7−→ g7 g 7−→ g8

Portanto Aut(G) e um grupo abeliano de ordem 6, ou seja, Aut(G) ∼= Z6.

Para caracterizar Aut(Zn), recordemos que uma unidade em um anel comutativo R

com unidade e um elemento que possui inverso multiplicativo em R. O grupo multipli-

cativo das unidades e denotado por U(R).

E facil ver que U(Zn) = {a ∈ Zn|mdc(a, n) = 1}, e que portanto, tem ordem φ(n).

Alem disso, pela Proposicao A.3, U(Zn) coincide com o conjunto dos geradores do grupo

Zn.

Proposicao 1.20 Aut(Zn) ∼= U(Zn).

Demonstracao: Se f : Zn = 〈1〉 → Zn e um automorfismo entao f(1) e um gerador de

Zn. Logo, f(1) ∈ U(Zn). Podemos portanto definir:

ψ : Aut(Zn) −→ U(Zn)f 7−→ f(1).

Iremos verificar que ψ e um isomorfismo de grupos. Sejam f, g ∈ Aut(Zn) tais que

f(1) = z1 e g(1) = z2. Temos

ψ(gf) = (gf)(1) = g(f(1)) = g(z1)

= g(1 + 1 + . . .+ 1︸︷︷︸z1 vezes

) = g(1) + g(1) + . . .+ g(1)

= z2 + z2 + . . .+ z2 = z2 + z2 + . . .+ z2︸︷︷︸z1 vezes

= z2z1

= z2z1 = ψ(g)ψ(f).

Portanto ψ e homomorfismo. Como

ψ(f) = 1⇔ f(1) = 1⇔ f(r) = f(r · 1) = r · 1 = r,

24


para todo r, segue que ψ e injetivo. Agora, vamos mostrar que ψ e sobrejetiva. Seja

r ∈ U(Zn). Agora tome o homomorfismo:

fr : Zn −→ Zn

1 7−→ r.

Podemos definir tal homomorfismo, pois O(r) divide n = O(1). Como r ∈ U(Zn) entao

r e um gerador de Zn o que implica fr ∈ Aut(Zn). Como ψ(fr) = fr(1) = r temos a

sobrejetividade e o resultado esta provado. . �

Proposicao 1.21 Se p e primo entao Aut(Zp) ∼= Zp−1.

Demonstracao: Pela proposicao anterior, temos que Aut(Zp) ∼= U(Zp). O Teorema

2.16 da referencia [6], nos diz que: se F e um corpo finito entao o grupo multiplicativo de

F e cıclico. Como Zp e um corpo finito e U(Zp) e seu grupo multiplicativo entao U(Zp)

e cıclico. Como |U(Zp)| = p− 1 temos U(Zp) ∼= Zp−1. Sendo assim, Aut(Zp) ∼= Zp−1. .�

Recordemos que quando m e n sao naturais tais que mdc(m,n) = 1 entao Cm×Cn ∼=

Cmn. Portanto, se n = pα11 · pα2

2 ...pαkk onde pi sao primos distintos temos que

Cn ∼= Zpα11× · · · × Zp

αkk.

Assim, utilizando o Teorema 1.16, para estudar os automorfismos de um grupo cıclico

Cn, basta estudar os automorfismos dos grupos Zpα , pois

Aut(Cn) ∼= Aut(Zpα11

)× · · · × Aut(Zpαkk

).

Para demonstrarmos o proximo Teorema, utilizaremos o seguinte Lema:

Lema 1.22 Seja Hm um grupo multiplicativo tal que:

Hm = {a ∈ Z2m : a e ımpar} .

Se m ≥ 3, entaoHm =

⟨−1, 5

⟩ ∼= Z2 × Z2m−2 .

25


Demonstracao: Lembremos que se p e primo entao φ(pm) = (p− 1)pm−1, e que Hm =

U(Z2m) ∼= Aut(Z2m), entao |Hm| = φ(2m) = 2m−1. Por inducao sobre m e possıvel

mostrar que

52m−3

= (1 + 4)2m−3 ≡ 1 + 2m−1(mod 2m).

Como 5 ∈ Hm entao a ordem de 5 e uma potencia de 2, ou seja, O(5) = 2s, onde

s ≥ m − 2, pois caso contrario teremos 52m−3 ≡ 1(mod 2m) que nao e possıvel, pois

1 + 2m−1 ≡/ 1(mod 2m). Agora O(−1) = 2 .

Mostraremos que 〈5〉∩⟨−1⟩

= {1}. Suponha por absurdo, que existe a ∈ 〈5〉∩⟨−1⟩,

a 6= 1, entao a = 5v = −1 assim 5v ≡ −1(mod 2m). Como 2m| 5v + 1 e 22 ≤ 2m entao,

para m ≥ 3 teremos que 22| 5v + 1, ou seja, 5v ≡ −1(mod 4). Mas 5v − 1 = 5v − 1v =

(5− 1) · q = 4 · q, para algum v, q ∈ N. Logo 5v ≡ 1(mod 4). Assim teremos um absurdo.

Relembrando ainda que se G e abeliano, H1, H2 / G e H1 ∩ H2 = {1}, implica que

H1H2 = H1 × H2. Entao como Hm = U(Z2m) e abeliano e 〈5〉 ∩⟨−1⟩

= {1}, teremos

que: ∣∣〈5〉 × ⟨−1⟩∣∣ = |〈5〉|︸︷︷︸

≥2m−2

∣∣⟨−1⟩∣∣︸︷︷︸

≥2

≥ 2m−1 = |Hm|.

Sendo assim,

Hm =⟨−1⟩× 〈5〉 ∼= Z2 × Z2m−2 .

. �

Teorema 1.23

Aut(Z2m) ∼=

{1}, se m = 1Z2, se m = 2Z2 × Z2m−2 , se m ≥ 3.

Se p e um primo ımpar,Aut(Zpn) ∼= Zpn−1(p−1).

Demonstracao: Pela Proposicao 1.20, temos que Aut(Z2m) ∼= U(Z2m) e portanto sua

ordem sera φ(2m). O teorema e assegurado para m ≤ 2, pois φ(2) = 1 e φ(4) = 2. Se

m ≥ 3 entao o teorema segue pelo Lema 1.22.

26


Assumindo p um primo ımpar, temos que para n = 1, o resultado e a Proposicao

1.21 entao vamos demonstrar para n ≥ 2. Denotaremos U(Zpn) por G. Assim, |G| =

φ(pn) = (p− 1)pn−1. Mostraremos que G ∼= Zp−1 × Zpn−1 .

Seja B = {b ∈ G| b ≡ 1(mod p)}. Temos que B e um subgrupo de G, pois 1 ∈ B e

se a, b ∈ B entao ab ≡ 1(mod p), ou seja, ab ∈ B.

Temos que |B| = pn−1. De fato, se 1 ≤ b < pn entao b pode ser escrito de maneira

unica na base p:

b = b0 + b1p+ b2p2 + . . .+ bn−1p

n−1

com 0 ≤ bi ≤ p− 1 e 0 ≤ i ≤ n− 1. Entao b ∈ B se, e somente se, b0 = 1.

Vamos mostrar agora que B =⟨1 + p

⟩. Para ver isto basta mostrar que 1 + p ter

ordem pn−1, ou seja, (1+p)pn−2 ≡/ 1(mod pn). Usaremos inducao sobre n para provarmos

a incongruencia.

Para n = 2 temos

1 + p ≡ 1(mod p2)⇒ p ≡ 0(mod p2)⇒ p2|p,

o que e uma contradicao.

Suponhamos a afirmacao valida para n− 1, ou seja, que (1 + p)pn−3 ≡/ 1(mod pn−1).

Pela Proposicao A.13 sabemos que 1 + p ≡ 1(mod p). Portanto,

(1 + p)pn−3 ≡ 1(mod pn−2)

Entao, por hipotese de inducao (1 + p)pn−3

= 1 + kpn−2, com k ≡/ 0(mod p).

Assim,

((1 + p)pn−3

)p = (1 + kpn−2)p

(1 + p)pn−2

= (1 + kpn−2)p

= 1 +

(p

1

)kpn−2 +

(p

2

)(kpn−2)2 + . . .+

(p

p

)(kpn−2)p︸︷︷︸

multiplo de pn

≡ 1 + kpn−1(mod pn)≡/ 1(mod pn).

27


Com isso mostramos que G tem um subgrupo B cıclico de ordem pn−1. O grupo

G = U(Zpn) e abeliano, portanto ele e um produto direto de seus subgrupos de Sylow.

Como |G| = (p − 1)pn−1 entao o subgrupo em Sylp(G) tem ordem pn−1. Ja mostramos

que o grupo G tem um subgrupo B cıclico de ordem pn−1 entao B ∼= Zpn−1 e G = B×A

onde A e um subgrupo de ordem p− 1. Considere f : G→ U(Zp) definida por f(a) = a

onde a e a classe de congruencia de a modulo p. Percebemos que f e sobrejetiva com o

nucleo igual a B, entao

G/B ∼= U(Zp) ∼= Zp−1.

Como G/B ∼= A teremos que A ∼= Zp−1. Assim

G ∼= Zp−1 × Zpn−1∼= Z(p−1)pn−1 .

. �

Exemplo 1.24 Tome um grupo cıclico G de ordem 24 · 32 · 11. Vejamos o que ocorre

com o Aut(G) usando o Teorema 1.16. Temos o seguinte grupo Z24 × Z32 × Z11. Como

eles possuem ordem relativamente primas entre si entao teremos que:

Aut(Z24 × Z32 × Z11) ∼= Aut(Z24)× Aut(Z32)× Aut(Z11)

Pelo Teorema 1.23 e pela Proposicap 1.21:

Aut(Z1584) ∼= Aut(Z24)× Aut(Z32)× Aut(Z11) ∼= Z2 × Z4 × Z6 × Z10.

Exemplo 1.25 Automorfismos de (Q,+)

Aut(Q) ∼= Q∗.

Para ver isto, definimos:

ψ : Aut(Q) −→ Q∗σ 7−→ σ(1),

28


sendo que:σ : Q −→ Q

1 7−→ σ(1),

σ(1) 6= 0, pois σ e um automorfismo e σ(1) ∈ Q∗.

Inicialmente, mostremos que se σ(1) = r entao σ(x) = rx, para todo x ∈ Q. De fato

se n ∈ N temos

σ(n) = σ(1 + . . .+ 1︸︷︷︸n vezes

) = σ(1) + . . .+ σ(1) = nr.

Para racionais do tipo1

n, com n ∈ N, temos:

1

n+ . . .+

1

n= 1⇒ σ

(1

n+ . . .+

1

n

)= σ(1)⇒ nσ

(1

n

)= r ⇒ σ

(1

n

)= r

1

n,

e para racionais do tipop

q, com p, q ∈ N, temos:

σ

(p

q

)= σ

(p

1

q

)= pσ

(1

q

)= r

p

q.

Desde que σ(−1) = −r, claramente, o resultado vale tambem para os racionais

negativos.

Temos que:

1. ψ e homomorfismo:

Se σ, ϕ ∈ Aut(Q), entao ψ(σϕ) = ψ(σ)ψ(ϕ), pois fazendo σ(1) = r e ϕ(1) = s,

teremos:ψ(σϕ) = (σϕ)(1)

= σ(ϕ(1))= σ(s)= rs= σ(1)ϕ(1)= ψ(σ)ψ(ϕ).

2. ψ e injetiva:

σ ∈ ker(ψ)⇒ σ(1) = 1⇒ σ(x) = x, ∀ x ∈ Q⇒ σ = Id.

29


3. ψ e sobrejetiva:

Dado a ∈ Q∗, considere um endomorfismo σ ∈ End(Q) tal que σ(1) = a. Ja

sabemos que σ(x) = ax, para todo x ∈ Q.

Queremos garantir que σ ∈ Aut(Q).

Agora, tome ϕ ∈ End(Q) tal que ϕ(1) =1

a, para todo x ∈ Q. Assim ϕ(x) =

1

ax,

e portanto:

σϕ(x) = σ(ϕ(x)) = σ

(1

ax

)= a

1

ax = x⇒ σϕ = Id.

Logo, σ possui inverso e assim e um automorfismo. Portanto, dado a ∈ Q∗, existe

σ ∈ Aut(Q) tal que ψ(σ) = a.

Isto mostra que ψ e um isomorfismo e assim Aut(Q) ∼= Q∗.. �

Exemplo 1.26 Automorfismo do grupo de Klein

O grupo de Klein e um grupo de ordem 4 onde todo elemento nao trivial tem ordem

2, digamos K4 = {1, a, b, ab}. Desde que automorfismos preservam ordem de elementos,

os automorfismos de K4 serao:

f1 : a 7−→ a f2 : a 7−→ a f3 : a 7−→ bb 7−→ b b 7−→ ab b 7−→ a

f4 : a 7−→ b f5 : a 7−→ ab f6 : a 7−→ abb 7−→ ab b 7−→ a b 7−→ b.

Logo |Aut(K4)| = 6, mas nao e abeliano, pois f2f3 = f5 e f3f2 = f4.

Portanto Aut(K4) ∼= S3.

Com isso observamos que o automorfismo de um grupo abeliano nao e necessaria-

mente abeliano.

30

1.4 - Automorfismos de alguns grupos nao abelianos

Exemplo 1.27 Automorfismos de Zp × · · · × Zp︸︷︷︸n

Quando n = 2 e p = 2 temos K4 = Z2 × Z2 o grupo de Klein e sabemos que

Aut(K4) ∼= S3. Mas por exemplo, para Z2 × · · · × Z2︸︷︷︸n

? E outros valores de p?

Acontece que em geral, um grupo G = Zp× · · · ×Zp e um grupo abeliano onde todo

elemento tem ordem p, a operacao e de adicao componente a componente. Este grupo

vai ser gerado por

(1, 0, · · · , 0), (0, 1, · · · , 0), · · · , (0, 0, · · · , 1)

ou seja, tem n geradores. Como podemos somar estes elementos, vamos obter que G e

um espaco vetorial de dimensao n sobre o corpo Zp.

Os automorfismos de G serao transformacoes lineares invertıveis de G em G, ou seja,

serao matrizes n× n com entradas em Zp.

O conjunto de todas as matrizes invertıveis n× n com entradas em um corpo F e o

grupo linear geral de grau n dado por

GLn(F ) = {M ∈Mn(F ) | det(M) 6= 0}.

No nosso caso, F = Zp entao temos o isomorfismo

Aut(Zp × · · · × Zp︸︷︷︸n

) ∼= GLn(Zp).

Note que e conhecido que GL2(Z2) ∼= S3, por isso temos o resultado do grupo de

Klein.

1.4 Automorfismos de alguns grupos nao abelianos

Nesta secao daremos alguns exemplos de grupos de automorfismos de grupos nao

abelianos.

31


Exemplo 1.28 Automorfismos de grupos diedrais

ConsidereD8, o grupo diedral de ordem 8. Sabemos queD8 = 〈r, θ| r2 = 1, θ4 = 1, rθ = θ−1r〉

onde r e uma reflexao e θ e uma rotacao de um quadrado. Seus automorfismos sao:

f1 : r 7−→ r f2 : r 7−→ r f3 : r 7−→ rθ f4 : r 7−→ rθθ 7−→ θ θ 7−→ θ−1 θ 7−→ θ θ 7−→ θ−1

f5 : r 7−→ rθ2 f6 : r 7−→ rθ2 f7 : r 7−→ rθ−1 f8 : r 7−→ rθ−1

θ 7−→ θ θ 7−→ θ−1 θ 7−→ θ θ 7−→ θ−1.

Com isso vemos que Aut(D8) possui ordem 8 com O(f2) = 2, O(f3) = 4 e f2f3 =

f−13 f2. Portanto Aut(D8) = 〈f2, f3〉 ∼= D8. Note que D8

∼= Z2 n Z4 e U(Z4) ∼= Z2. Com

isso, Aut(D8) ∼= U(Z4) n Z4.

Em geral considere D2n o grupo diedral de ordem 2n, ou seja,

D2n =⟨a, b| an = 1, b2 = 1, ab = a−1

⟩.

Sabemos que

D2n = {1, a, a2, . . . , an−1, b, ab, a2b, . . . , an−1b}.

Alem disso, se γ ∈ Aut(D2n) entao γ(a) ∈ 〈a〉 e γ(b) /∈ 〈a〉, pois O(ajb) = 2 6= n,

1 ≤ j ≤ n− 1. Assim,

γ(a) = as, 1 ≤ s ≤ n− 1, com mdc(s, n) = 1 eγ(b) = atb, 0 ≤ t ≤ n− 1,

e portanto,γ(ai) = ais

γ(aib) = ais+tb.

Deste modo, um automorfismo γ de D2n fica determinado por inteiros s e t, onde

1 ≤ s ≤ n− 1 com mdc(s, n) = 1 e 0 ≤ t ≤ n− 1. Escrevemos γ = γs,t ∈ Aut(D2n).

Agora vamos considerar uma acao de U(Zn) sobre Zn por

ϕ : U(Zn) −→ Aut(Zn)s 7−→ ϕs : Zn −→ Zn

t 7−→ st

32


Portanto teremos o produto semi-direto U(Zn) n Zn, com um produto definido por

(s1, t1)(s2, t2) = (s1s2, t1 + ϕs1(t2)) = (s1s2, t1 + s1t2).

Definindoψ : Aut(D2n) −→ U(Zn) n Zn

γs,t 7−→ (s, t)

temos ψ um isomorfismo. De fato, ψ e um homomorfismo:

ψ (γs1,t1)ψ (γs2,t2) = (s1, t1)(s2, t2)= (s1s2, t1 + ϕs1(t2))= (s1s2, t1 + s1t2)

e(γs1,t1γs2,t2) (aib) = γs1,t1 (ais2+t2b)

= a(is2+t2)s1+t1b,= ais2s1+(t2s1+t1)b.

o que implica ψ (γs1,t1γs2,t2) = (s1s2, t1 + s1t2) = ψ (γs1,t1)ψ (γs2,t2).

Claramente ψ e sobrejetiva. A injetividade segue diretamente do fato:

γs,t ∈ ker(ψ)⇒ ψ(γs,t) = (1, 0)⇒ γs,t = Id.

Isto mostra o seguinte teorema:

Teorema 1.29 Aut(D2n) ∼= U(Zn) n Zn.

Exemplo 1.30 Automorfismos do grupo dos quaternios

Aut(Q) ∼= S4

lembrando que Q = 〈a, b| a4 = 1, a2 = b2, ab = ba−1〉 e o grupo dos quaternios de ordem

8.

Construiremos todos os possıveis automorfismos dos quaternios:

σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6 σ7 σ8 σ9 σ10 σ11 σ12

i i i i i −i −i −i −i j j j jj j −j −k k −j j k −k k −i i −kk k −k j −j k −k j −j i k −k i

33


σ13 σ14 σ15 σ16 σ17 σ18 σ19 σ20 σ21 σ22 σ23 σ24

i −j −j −j −j k k k k −k −k −k −kj i −k k −i i −i j −j −i i −j jk k i −i −k j −j −i i j −j −i i

Com isso temos os seguintes geradores de Aut(Q):

σ

i −→ −ij −→ kk −→ j

ϕ

i −→ kj −→ −jk −→ i

θ

i −→ −jj −→ −ik −→ −k

sendo que O(σ) = O(ϕ) = O(θ) = 2. Sendo assim, temos que Aut(Q) = 〈σ, ϕ, θ〉 e

|Aut(Q)| = 24. Criaremos entao o seguinte homomorfismo injetor:

Aut(Q) −→ S4

σ 7−→ (1 2)θ 7−→ (1 3)ϕ 7−→ (1 4).

Pela Proposicao A.7 temos que S4 e gerado por (1 2), (1 3) e (1 4). Logo temos que a

funcao definida acima e um isomorfismo.. �

Exemplo 1.31 Automorfismos do grupo simetrico S3:

Aut(S3) ∼= S3

Sabemos que o grupo simetrico S3 e dado por S3 = 〈x, y| x2 = y3 = 1, xy = y−1x〉.

Seus automorfismos sao:

f1 : x −→ x f2 : x −→ x f3 : x −→ xy−1

y −→ y y −→ y−1 y −→ y

f4 : x −→ xy−1 f5 : x −→ xy f6 : x −→ xyy −→ y−1 y −→ y y −→ y−1.

Logo, |Aut(S3)| = 6 e Aut(S3) nao e abeliano, pois f2f5 = f6 e f5f2 = f4.

Portanto Aut(S3) ∼= S3.. �

34


Observe que cada automorfismo f ∈ Aut(S3) e interno:

f1 : induzido por 1f2 : induzido por xf3 : induzido por y−1

f4 : induzido por xyf5 : induzido por yf6 : induzido por y−1.

Portanto |Inn(S3)| = 6. Ou seja, Aut(S3) = Inn(S3) ∼= S3.

Em geral, vamos mostrar, no Capıtulo 2, que Aut(Sn) ∼= Sn, sempre que n ≥ 3 e

n 6= 6.

Podemos observar ainda que Aut(K4) ∼= Aut(S3) ∼= S3, mas os grupos K4 e S3 nao

sao isomorfos.

35

Capıtulo 2

Automorfismos de grupos simetricos

Neste capıtulo veremos quais sao os grupos de automorfismos de grupos simetricos e

algumas de suas propriedades.

2.1 Grupos simetricos

Nesta secao veremos alguns resultados basicos sobre a estrutura cıclica, geradores e

classes de conjugacao dos grupos simetricos.

Sabemos que Sn, n ≥ 3, e o conjunto das permutacoes de n sımbolos e e um grupo

nao abeliano de ordem n! chamado grupo simetrico de grau n.

Definicao 2.1 Seja α ∈ Sn um r-ciclo e seja β ∈ Sn um s-ciclo. As permutacoes αe β sao disjuntas se nenhum elemento de {1, 2, . . . , n} e movido por ambas.

E claro que se α, β ∈ Sn sao ciclos disjuntos entao αβ = βα. O primeiro resultado e:

Teorema 2.2 Toda permutacao nao trivial α ∈ Sn, n ≥ 3, pode ser escrita (demaneira unica, a menos de ordenacao) como um produto de ciclos disjuntos.

Demonstracao: Como α ∈ Sn e sendo α 6= id, temos que existe um a1 ∈ {1, 2, . . . , n},

tal que α(a1) 6= a1. Com isso obtemos a seguinte sequencia a1, α(a1), α2(a1), . . . , αr1−1(a1),

36

2.1 - Grupos simetricos

sendo que r1, 2 ≤ r1 ≤ n, e tal que a1, α(a1), α2(a1), . . . , αr1−1(a1) sao todos distintos e

αr1(a1) = a1.

Dessa forma, teremos que a restricao de α ao conjunto {a1, α(a1), α2(a1), . . . , αr1−1(a1)}

e tal que

γ1 := α|{a1,α(a1),...,αr1−1(a1)} = (a1 α(a1) α2(a1) . . . αr1−1(a1)).

Observe que γ1 e um r1-ciclo. Se tivermos que a restricao de α ao complementar de

{a1, α(a1), . . . , αr1−1(a1)} e a identidade entao α = γ1. Caso contrario, tomaremos

a2 ∈ {1, 2, . . . , n}\{a1, α(a1), . . . , αr1−1(a1)} tal que α(a2) 6= a2. Utilizando um processo

analogo ao anterior para um inteiro r2 ≥ 2 teremos que

γ2 := α|{a2,α(a2),...,αr2−1(a2)} = (a2 α(a2) α2(a2) . . . αr2−1(a2)).

Se a restricao de α ao complementar do conjunto {a1, α(a1), . . . , αr1−1(a1), a2, α(a2) . . . αr2−1(a2)}

for a identidade, como γ1 e γ2 sao disjuntos, entao α = γ1γ2 = γ2γ1. Caso nao seja ver-

dade tomaremos um a3 ∈ {1, 2, . . . , n}\{a1, α(a1), . . . , αr1−1(a1), a2, α(a2) . . . αr2−1(a2)}

tal que α(a3) 6= a3 e iremos fazer o mesmo processo anterior. Observe que teremos um

numero finito de etapas para o processo anterior, pois o nosso conjunto e finito. Com

isso, iremos obter que

α = γ1γ2 . . . γt

onde γ1, γ2, . . . , γt sao ciclos disjuntos de comprimento maior que um.

Para a unicidade, tome α = σ1σ2 . . . σs com σi, 1 ≤ i ≤ s, ciclos disjuntos com

comprimento maior ou igual que 2. Como σ1 . . . σs(a1) = α(a1) 6= a1 e os ciclos σi’s

sao disjuntos entao existe apenas um ciclo σj tal que σj(a1) = α(a1). Ja que os ciclos

comutam entre si, sem perda de generalidade, suponha que j = 1. Consequentemente

σ1(a1) = α(a1). Mostraremos que σ1 = γ1. Como o ciclo σ1 nao fixa α(a1), pois σ manda

a1 sobre α(a1), e os σi’s sao ciclos disjuntos entao, para todo j ≥ 2, σj deixa α(a1) fixo.

Portanto α(α(a1)) = σ(α(a1)), ou seja, σ1(α(a1)) = α2(a1). De forma analoga obtemos

que σ1(αk−1(a1)) = αk(a1), para todo k ≥ 0, e concluımos que σ1 = γ1. De forma

semelhante, mas com a2, obtemos σ2 = γ2. Continuando o processo teremos que s = t

e, a menos de ordem, que γj = σj, para 1 ≤ j ≤ t. . �

37


A maneira com a qual escrevemos uma permutacao σ ∈ Sn como produto de ci-

clos disjuntos e dita estrutura cıclica de σ. Ciclos de comprimento 2 sao chamados

transposicoes.

Corolario 2.3 Cada elemento de Sn pode ser escrito com um produto (nao necessa-riamente disjuntos) de transposicoes.

Demonstracao: Basta mostrar, pelo teorema anterior, que cada ciclo e o produto de

transposicoes. De fato, e = (a1a2)(a1a2) e para r > 1, teremos que (a1a2 . . . ar) =

(a1ar)(a1ar−1) . . . (a1a3)(a1a2).. �

O numero de transposicoes na decomposicao de uma permutacao e sempre par ou

ımpar (veja Proposicao A.11). Com isso definimos que uma permutacao e par se pode

ser escrita como um produto de um numero par de transposicoes e notamos que ciclos de

comprimento ımpar sao permutacoes pares. Alem disso, o conjunto An das permutacoes

pares de Sn e um subgrupo normal de ordem n!/2, chamado subgrupo alternado de Sn.

O proximo resultado mostra um conjunto gerador para Sn com n− 1 elementos.

Teorema 2.4 Para n ≥ 3, temos os seguinte Sn = 〈(1 2), (2 3), . . . , (n− 1 n)〉.

Demonstracao: Considerando uma transposicao (i j) com i < j − 1 podemos escrever

(i j) = (j − 1 j)(i j − 1)(j − 1 j). Repetindo o raciocınio, desde que toda permutacao e

um produto de transposicoes, o resultado esta provado.. �

Dado um elemento σ ∈ Sn, denotamos sua classe de conjugacao por Cl(σ), ou seja,

Cl(σ) = {σα| α ∈ Sn} .

O proximo resultado garante que a conjugacao em Sn preserva estrutura cıclica.

Teorema 2.5 Duas permutacoes α, β ∈ Sn sao conjugados em Sn se, e somente se,α e β tem a mesma estrutura cıclica.

38


Demonstracao: (⇒) Suponha αγ = β e considere

α = σ1σ2 · · ·σs,

onde σ′is sao ciclos disjuntos. Vemos que β = σγ1σγ2 · · ·σγs . Digamos que σi = (ai1 · · · airi).

Entao

σγi = (γ(ai1) · · · γ(airi))

e assim β possui mesma estrutura cıclica que α.

(⇐) Suponha α = c1c2 · · · cs e β = c1c2 · · · cs, onde os c′is e c′is sao ciclos disjuntos onde

ci e ci tem o mesmo comprimento, digamos

ci = (ai1 · · · airi) e ci = (ai1 · · · airi).

Defina a permutacao γ ∈ Sn por ail 7→ ail. Claramente temos que cγi = ci, para todo i o

que implica αγ = β, como querıamos.. �

O seguinte lema e muito importante para a proxima secao.

Lema 2.6 Sejam n 6= 6 e t ∈ Sn um elemento de ordem 2 que e um produto de ktransposicoes disjuntas. Entao:

(i) o tamanho da classe de conjugacao de t e n!2k(n−2k)!k!

.

(ii) Se k > 1 entao |Cl(t)| 6= |Cl(τ)|, para qualquer transposicao τ de Sn.

Demonstracao: De fato Sn possui um elemento de ordem 2 que e produto de k trans-

posicoes disjuntas, pois como |Sn| = n! e 2| n!, pelo Teorema A.4 (Cauchy), temos que

existe t ∈ Sn, t 6= 1 tal que o(t) = 2. Sua estrutura cıclica, consequentemente, consiste de

k 2-ciclos disjuntos. Assim t consiste em um produto de k transposicoes disjuntas onde

1 ≤ k ≤ n

2, pois cada transposicao possui dois elementos distintos que nao se repetirao

em nenhuma outra e temos no maximo n elementos para serem distribuıdos. Fixado o

numero de transposicoes, vemos que t fixa no maximo n− 2k pontos.

Contaremos o tamanho da classe de conjugacao de t em termos de k e n. Sabemos

que t se escreve como produto de k transposicoes disjuntas, vemos entao que as possibi-

lidades de escrever a primeira transposicao saon(n− 1)

2. Nossa proxima possibilidade

39


de escolha para a segunda transposicao sera(n− 2)(n− 3)

2pois, ao escolhermos a pri-

meira transposicao, dois elementos ja nao podem mais serem escolhidos, dessa forma, a

proxima escolha sera entre n − 2 elementos. Continuando a contagem dessa maneira,

por combinatoria, sabemos que a possibilidade total de escolhas sera dada pelo produto,

entao teremosn!

2k(n− 2k)!k!

maneiras de escrever o produto de k transposicoes disjuntas, onde k! e a quantidade de

permutacoes entre as transposicoes disjuntas. Logo o tamanho da classe de conjugacao

de t sera dado por

|Cl(t)| = n!

2k(n− 2k)!k!.

Se k = 1, t e uma transposicao, logo

|Cl(t)| = n!

2(n− 2)!.

Queremos garantir que para k > 1, o tamanho da classe de t e diferente do tamanho

da classe de uma transposicao, ou seja,

n!

2(n− 2)!6= n!

2k(n− 2k)!k!

para k > 1.

Vamos provar entao que

2k(n− 2k)!k! 6= 2(n− 2)!, para 1 < k ≤ n

2. (2.1)

Se k = 2, e facil ver que 4(n− 4)!2! 6= 2(n− 2)!, n ≥ 4. Assumimos entao que k ≥ 3

o que nos da 3 transposicoes disjuntas, ou seja, temos n ≥ 6. Mas por hipotese n 6= 6.

Assim teremos n > 6. Observe que teremos uma igualdade em (2.1) caso n = 6 e k = 3,

o que comprova a necessidade de nossa hipotese. Para mostrarmos (2.1), mostraremos

que

2k(n− 2k)!k! < 2(n− 2)!

40

2.2 - Grupos completos

que e o mesmo que

2k−1(n− 2k)!k! < (n− 2)!.

Pela definicao de numero binomial temos

1 ≤(n− kk

)=

(n− k)!

k!(n− 2k)!

e daı segue que

k!(n− 2k)! ≤ (n− k)!

ou entao

2k−1k!(n− 2k)! ≤ 2k−1(n− k)!.

Assim, basta mostrar que

2k−1 < (n− 2)(n− 3) . . . (n− (k − 1)), (2.2)

pois daı teremos, nossa relacao desejada.

Para mostrar (2.2), observe que no lado direito dessa inequacao temos k − 2 fatores

com o de menor valor sendo (n−(k−1)). Uma vez visto que este fator excede 4, teremos

que os demais fatores tambem excederao 4. De fato, como n > 6 e 1 < k ≤ n

2, temos

0 < k− 1 ≤ n

2− 1 =

n− 2

2. Mas para termos o menor valor de (n− (k− 1)) precisamos

que k − 1 seja o maior possıvel, ou seja,n− 2

2. Logo, chegamos que

n−(n− 2

2

)=n+ 2

2> 4

para n > 6. Temos entao que o lado direito de (2.2) excede 4k−2 = 22(k−2) ≥ 2k−1 como

querıamos.. �

2.2 Grupos completos

Nesta secao veremos o que sao grupos completos e quais sao os grupos dos automor-

fismos de Sn, com n 6= 6.

41

2.2 - Grupos completos

Definicao 2.7 Um grupo G e completo se Z(G) = 1 e todo automorfismo de G einterno.

Consequentemente, G completo implica Aut(G) ∼= G, pelo Teorema 1.10.

Teorema 2.8 Se n 6= 6 entao todo automorfismo de Sn e interno.

Demonstracao: Sejam σ ∈ Aut(Sn) e t uma transposicao em Sn. Sabemos que um

automorfismo leva conjuntos com r elementos em conjuntos com r elementos, ou seja, σ

levan!

2(n− 2)!elementos da classe de t em

n!

2(n− 2)!elementos. Pelo Lema 2.6, temos

que uma classe com este tamanho so possui transposicoes, assim σ leva transposicoes em

transposicoes.

Tome si = (i i + 1) para 1 ≤ i ≤ n − 1 e seja ti = σ(si). Para i = 1 escreva

t1 = (a1 a2). Observando que s1 = (1 2) e s2 = (2 3) nao comutam, temos que t1 e t2

tambem nao comutam, pois

t1t2 = σ(s1)σ(s2) = σ(s1s2) 6= σ(s2s1) = t2t1.

Podemos escrever entao t2 = (a2 a3) com a3 6= a1. Pelo mesmo raciocınio t3 nao comuta

com t2, pois s3 nao comuta com s2. Assim t3 deve possuir a2 ou a3. No entanto, uma vez

que s1 comuta com s3, t1 comuta t3. Desta forma t3 = (a3 a4) onde a4 /∈ {a1, a2, a3}. Da

mesma forma, t4 possui intersecao com t3 e e disjunto de t1, t2. Assim sendo t4 = (a4 a5),

a5 /∈ {a1, a2, a3, a4}. Continuando deste modo podemos escrever ti = (ai ai+1) com

a1, . . . , an diferentes, ai ∈ {1, 2, . . . , n}.

Seja g ∈ Sn uma permutacao tal que g(i) = ai. Entao (si)g = ti. Se α e automorfismo

interno induzido por gα : Sn −→ Sn

x 7−→ xg

mostraremos que α−1σ fixa cada si. Pelo Teorema 2.4 temos que o conjunto {si} gera

Sn e se α−1σ fixar todo si. Logo, α−1σ fixara todo elemento de Sn, ou seja, α−1σ = Id.

42

2.3 - Automorfismos de S6

Sabemos que ti = σ(si), o que nos leva a α−1(σ(si)) = α−1(ti). Como

α−1 : Sn −→ Snx 7−→ xg

−1

e ti = sgi temos

α−1(σ(si)) = α−1(ti) = α−1(sgi ) = (sgi )g−1

= si.

.

Assim α = σ e automorfismo interno, como querıamos demonstrar.. �

Corolario 2.9 Sn e grupo completo, para n 6= 6.

Note que o isomorfismo Sn ∼= Aut(Sn) nao vale para n = 6. Mostraremos na proxima

secao eu S6 tem de fato um automorfismo que nao e interno.

2.3 Automorfismos de S6

Nesta secao iremos mostrar algumas propriedades do grupo S6 e do seu grupo de

automorfismos.

Lembremos que os unicos subgrupos normais de Sn, n 6= 4, sao {Id}, An e Sn.

Agora se n = 4, entao os unicos subgrupos normais de S4 sao {Id}, A4, S4 e K4 =

{1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}.

Lema 2.10 Existe um subgrupo transitivo K de S6 com ordem 120 que nao contemtransposicoes.

Demonstracao: Dado um grupo G e um subgrupo H, podemos definir o seguinte

homomorfismo:ϕ : G −→ Sim(X)

g 7−→ ϕg : X −→ XaH 7−→ gaH

43


onde X = {aH| a ∈ G} vamos considerar G = S5, P ∈ Syl5(S5) e H = NG(P ). Pela

definicao A.8, temos que ϕ e a representacao permutacional de G nas classes laterais de

NG(P ). Pelo Teorema A.6 (Teorema de Sylow) temos que n5 ≡ 1 (mod 5) e que n5|24,

portanto n5 = 6 ja que P nao e normal em S5. Entao [G : NG(P )] = 6.

Logo no homomorfismo inicial temos |X| = 6 e |Sim(X)| = 6! o que implica que

Sim(X) ∼= S6. Deste modo, no homomorfismo acima temos ϕ : S5 → S6. Queremos

mostrar que ele e injetor, para isso vejamos que

ker(ϕ) = {g ∈ S5| ϕg = Id}= {g ∈ S5| aH = gaH, ∀a ∈ G}.

Mas em particular se a = 1, entao H = gH, ou seja, g ∈ H. Logo ker(ϕ) ≤ H e assim

[G : ker(ϕ)] ≥ [G : H]. Como ker(ϕ) / S5 teremos duas opcoes: ker(ϕ) = 1 ou A5. Pelo

fato que [S5 : ker(ϕ)] ≥ 6 entao ker(ϕ) = 1, mostrando que ϕ e um homomorfismo

injetor. Assim |Im(ϕ)| = |S5| = 120 e Im(ϕ) ≤ S6. Portanto Im(ϕ) e um subgrupo

transitivo de S6 de acordo com a Observacao A.10, com ordem 120.

Seja K = Im(ϕ) mostraremos que K nao possui transposicoes. K contem um ele-

mento α de ordem 5 que deve ser um 5-ciclo, digamos α = (1 2 3 4 5). Suponha que (i j)

seja uma transposicao em K. Como K e transitivo, existe um β ∈ K tal que β(j) = 6

entao β−1(6) = j. Portanto β(i j)β−1 ∈ K, ou seja, e igual a (l 6) para algum l 6= 6.

Conjugando (l 6) por todas as potencias de α teremos que (1 6), (2 6), (3 6), (4 6) e

(5 6) pertencem a K . Mas pelo Torema 2.4 esses elementos geram o S6, assim K = S6.

Absurdo!. �

Com isso, mostraremos o seguinte teorema:

Teorema 2.11 Existe um automorfismo de S6 que nao e interno.

Demonstracao: Ja temos K um subgrupo transitivo de S6 de ordem 120 e que nao

possui transposicoes. Se ϕ : S6 → Sim(X), onde X = {α1K,α2K, . . . , α6K}, podemos

mostrar, pelo mesmo raciocınio anterior, que ϕ e injetiva. Como |Sim(X)| = |S6| entao

ϕ e sobrejetiva. Logo ϕ : S6 → S6 e um isomorfismo, ou seja, ϕ ∈ Aut(S6).

44


Suponha ϕ ∈ Inn(S6), assim ϕ seria uma conjugacao e preservaria estrutura cıclica

pelo Teorema 2.5, com isso

ϕ((1 2)) = ϕ(1 2) (2.3)

e uma transposicao. Mas

ϕ : S6 −→ S6

(1 2) 7−→ ϕ(1 2) : X −→ XαiK 7−→ (1 2)αiK,

para cada i. Como ϕ(1 2) e transposicao entao alguma classe αiK tem que ser fixada,

ou seja, existe i tal que (1 2)αiK = αiK. Se isto acontecer, α−1i (1 2)αiK = K, teremos

que α−1i (1 2)αi ∈ K. Absurdo, pois α−1

i (1 2)αi e uma transposicao e K nao possui

transposicoes.

Entao, ϕ(1 2) nao fixa as classes laterais. Portanto ϕ(1 2) nao e uma transposicao, o

que contradiz (2.3). Logo, ϕ ∈/ Inn(S6), ou seja, S6 possui um automorfismo que nao e

interno. . �

Corolario 2.12 S6 nao e um grupo completo.

45

Apendice A

Apendice

A.1 Resultados sobre Grupos

Proposicao A.1 Seja G um grupo e H um subconjunto de G. As seguintes condicoessao equivalentes:

(i) H e um subgrupo de G.

(ii) (a) 1 ∈ H(b) ∀ a, b ∈ H tem-se ab ∈ H(c) ∀ a ∈ H tem-se a−1 ∈ H.

(iii) H 6= ∅ e ∀ a, b ∈ H tem-se ab−1 ∈ H.

Demonstracao: (i) ⇒ (ii): Segue imediatamente das definicoes e da unicidade da

identidade e da unicidade do inverso de cada elemento de G.

(ii) ⇒ (i): Basta observar que a condicao (b) nos diz que a operacao de G induz uma

operacao em H e essa operacao sera tambem associativa, pois a operacao e associativa

em G.

(ii) ⇒ (iii): Primeiramente, se 1 ∈ H entao H 6= ∅, e se b ∈ H entao b−1 ∈ H por

(c). Assim, se a, b ∈ H temos a, b−1 ∈ H e por (b) segue ab−1 ∈ H como querıamos

demonstrar.

46

A.1 - Resultados sobre Grupos

(iii) ⇒ (ii): Se H 6= ∅ entao existe a ∈ H. Portanto, 1 = aa−1 ∈ H. Agora, se

a ∈ H segue a−1 = 1a−1 ∈ H. Finalmente se a, b ∈ H tem-se a, b−1 ∈ H e daı teremos

ab = a(b−1)−1 ∈ H. . �

Proposicao A.2 Seja G = 〈a〉 um grupo cıclico de ordem infinita. Entao:

(i) A funcao f : (Z,+)→ (G, ·), f(z) = az, e um isomorfismo.

(ii) O elemento az gera G se, e somente se, z = 1 ou z = −1.

Demonstracao: (i) A funcao f : (Z,+)→ (G, ·), f(z) = az, e um homomorfismo pois

f(z1 + z2) = az1+z2 = az1az2 = f(z1)f(z2), ∀ z1, z2 ∈ Z.

Claramente f e uma bijecao e portanto um isomorfismo.

(ii) Temos que az gera G se, e somente se, z gera Z. Agora, os unicos elementos que

geram Z sao 1 e −1. . �

Proposicao A.3 Seja G = 〈a〉 um grupo cıclico de ordem finita n. Entao:

(i) A funcao h : (Zn,⊕)→ (G, ·), h(m) = am, e um isomorfismo.

(ii) O elemento am gera G se, e somente se, mdc(m,n) = 1.

Demonstracao: (i) Como vimos na prova da proposicao anterior, a funcao f : Z→ G

dada por z 7→ az e um homomorfismo, claramente sobrejetor. Assim, o grupo Z/ker(f)

e isomorfo a G e portanto tem n elementos. Logo, ker(f) = nZ e assim h : Zn → G

definida por h(m) = am e um isomorfismo.

(ii) Como a funcao m 7→ am e um isomorfismo temos que, am gera G se, e somente

se, m gera (Zn,⊕), o que e equivalente a mdc(m,n) = 1. . �

O seguinte lema e conhecido como Teorema de Cauchy.

47


Teorema A.4 Seja G um grupo finito e p um numero primo que divide |G|. Entaoexiste um elemento x ∈ G de ordem p.

Corolario A.5 Seja G um grupo finito e seja p um numero primo. Seja pm a maiorpotencia p que divide |G|. Entao existe um subgrupo de G de ordem pm.

Sejam G um grupo finito, p um primo e pm a maior potencia de p que divide |G|. Os

subgrupos de G que tem ordem pm (cuja existencia esta garantida pelo corolario acima)

sao chamados p-subgrupos de Sylow de G. O teorema abaixo e chamado Teorema de

Sylow onde Sylp(G) denota o conjunto formado por todos os p-subgrupos de Sylow de

G, para um fixado primo p.

Teorema A.6 Seja G um grupo finito de ordem pαm, onde p e um primo emdc(p,m) = 1. Entao,

(i) Para cada β, 0 ≤ β ≤ α existe um subgrupo de G de ordem pβ;

(ii) Se P ∈ Sylp(G) e np e o numero de p-subgrupos de Sylow de G entao np = [G :NG(P )] e consequentemente np ≡ 1 (mod p) e np|m;

(iii) Todos os p-subgrupos de Sylow de G sao conjugados;

(iv) Todo p-subgrupo de G esta contido em algum p-subgrupo de Sylow de G.

As demonstracoes dos Teoremas A.4 e A.6 encontram-se na referencia [2] nas paginas

235 a 241.

Proposicao A.7 Para n ≥ 3, Sn e gerado pelo conjunto {(1 2), (1 3), · · · , (1 n)}.

Demonstracao: Basta conjugar os elementos (1 k) por (1 k+1) para todo 2 ≤ k ≤ n−1

e obter os geradores dados pelo Teorema 2.4.

Definicao A.8 Um homomorfismo ϕ : G → Sim(X) e dito uma representacaopermutacional de um grupo G sobre o conjunto X ou no grupo de permutacoes doconjunto X:

ϕ : G −→ Sim(X)g 7−→ ϕg : X −→ X

x 7−→ ϕg(x).

48


Uma aplicacao importante e a Representacao nas classes laterais de um sub-

grupo H.

Basta considerar um subgrupo H de G e X = { xH | x ∈ G }. Temos [G : H] = |X|

(numero de classes laterais de H em G) e

ϕ : G −→ Sim(X)g 7−→ ϕg : X −→ X

xH 7−→ gxH.

Definicao A.9 Um subgrupo K de Sim(X), o grupo de permutacoes sobre o con-junto X, e transitivo se, para cada par de elementos x, y ∈ X, existir uma per-mutacao σ ∈ K tal que σ(x) = y.

Exemplo: K4 = {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} e um subgrupo transitivo de S4,

pois para cada para i, j ∈ {1, 2, 3, 4}, existe σ ∈ K4 tal que σ(i) = j.

Observacao A.10 Sejam H um subgrupo de um grupo G e X = {aH| a ∈ G}. Dado

ρ : G −→ Sim(X)g 7−→ ρg : X −→ X

aH 7−→ gaH

entao Im(ρ) e um subgrupo transitivo de Sim(X).

De fato, se tomamos x, y ∈ X entao existem a, b ∈ G tal que x = aH e y = bH. Ao

considerar g = ba−1 ∈ G, temos σ = ρg ∈ Im(ρ) e ρg(aH) = gaH = ba−1aH = bH. Ou

seja, existe σ ∈ Im(ρ) tal que σ(x) = y.

Proposicao A.11 Se α = τ1 · · · τr e α = µ1 · · ·µs sao duas fatoracoes de uma per-mutacao α de Sn em produto de transposicoes (nao necessariamente disjuntas), entaotemos que r ≡ s (mod 2).

Demonstracao: Associamos a α o polinomio Pα =∏

1≤i<j≤n

(xα(j) − xα(i)) e observamos

que seus fatores sao tambem os fatores do polinomio P =∏

1≤i<j≤n

(xj − xi).

49

A.2 - Resultados Tecnicos

Definimos ψ : Sn → {±1} por

ψ(α) =

{1, se P = Pα

−1, se P = −Pα.

E facil ver que ψ e um homomorfismo e que garante o resultado.

A.2 Resultados Tecnicos

Proposicao A.12 Sejam a e b inteiros nao simultaneamente nulos. Entao existeminteiros x e y tais que mdc(a, b) = xa+ yb.

Demonstracao: No caso de um deles ser nulo, por exemplo a, temos que

mdc(a, b) = mdc(0, b) = |b| = 0x+ (±1)b

para qualquer inteiro x e y = ±1, dependendo se b e positivo ou negativo.

Se ambos sao nao-nulos, devemos provar o resultado para inteiros positivos. De fato,

se mdc(|a|, |b|) = x|a|+ y|b| para certos inteiros x e y, entao mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|) =

(±)ax+ (±)by.

Sejam a e b inteiro positivos. Se b divide a, entao mdc(a, b) = b = a.0 + b.1. Se b nao

divide a, entao mdc(a, b) pode ser calculado pelo algoritmo de Euclides e a demonstracao

sera feita por inducao no numero de passos do algoritmo. Para isso, suponhamos que,

ao aplicarmos o algoritmo de Euclides aos numeros inteiros positivos a e b, obtenhamos

o primeiro resto nulo rn apos (n + 1) passos e que, nessa situacao, existam inteiros x e

y tais que rn = xa+ yb.

A afirmacao e verdadeira se dois passos sao necessarios, pois, se r2 = 0, entao

a = q1b+ r1, 0 < r1 < bb = q2r1

ou seja,

r1 = a− q1b = 1a+ (−q1)b.

50


Suponhamos que a afirmativa seja verdadeira toda vez que n + 1 passos forem ne-

cessarios para se obter o primeiro resto nulo. Consideremos a e b inteiros tais que,

aplicando-se o algoritmo de Euclides a eles, obtemos o primeiro resto nulo apos n + 2

passos:a = q1b+ r1, 0 < r1 < bb = q2r1 + r2, 0 < r2 < r1

r1 = q3r2 + r3, 0 < r3 < r2... =

...rn−2 = qnrn−1 + rn, 0 < rn < rn−1

rn−1 = qn+1rn + rn+1, 0 < rn+1 < rnrn = qn+2rn+1 + rn.

Logo, aplicando-se o algoritmo de Euclides a b e r1, obtemos o primeiro resto nulo

apos n+ 1 passos. Portanto, pela hipotese de inducao, existem inteiros w e x tais que

rn+1 = mdc(b, r1) = wb+ xr1.

Mas, como a = qb + r1, temos que r1 = a− q1b; portanto,

rn+1 = wb+ x(a− q1b) = xa+ (w − q1x)b,

que e o resultado desejado com y = w − q1x. . �

Proposicao A.13 Seja p um primo. Se a ≡ b(mod p) entao apn−1 ≡ bp

n−1(mod pn),

para todo n ∈ N.

Demonstracao: Inicialmente, lembremos que se p e primo entao

(p

i

)e multiplo de p,

1 ≤ i ≤ p− 1. Usaremos inducao sobre n.

Para n = 1, temos que a ≡ b(mod p).

Suponha que seja verdadeiro para n ≥ 1, ou seja, apn−1 ≡ bp

n−1(mod pn). Queremos

mostrar que apn ≡ bp

n(mod pn+1).

51


Por hipotese de inducao, temos que:

apn−1 ≡ bp

n−1(mod pn) ⇒

apn−1

= bpn−1

+ pnk, para algum k ∈ Z ⇒(ap

n−1)p = (bp

n−1+ pnk)p ⇒

apn

= bpn

+ bpn−1

(p

1

)pnk + . . .+ b

(p

p− 1

)(pnk)p−1 + (pnk)p︸︷︷︸

multiplo de pn+1

⇒

apn ≡ bp

n(mod pn+1).

. �

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Referencias Bibliograficas

[1] FERNANDES, A. M. V. Fundamentos de Algebra, Belo Horizonte: Editora UFMG,

2005.

[2] GARCIA, A. & LEQUAIN, Y. Elementos de Algebra, Rio de Janeiro: IMPA, 2002.

[3] GONCALVES, A. Introducao a Algebra, Rio de Janeiro: IMPA, 1979.

[4] HILLAR, Christopher J. & RHEA, Darren L. Automorphisms of Finite Abe-

lian Groups, American Mathematical Monthly, a ser publicado. Disponıvel em:

http://www.math.tamu.edu/˜chillar/files/autabeliangrps.pdf.

[5] ISAACS, I. M. Algebra, A Graduate Course, California: Brooks/Cole Publishing

Company, 1994.

[6] ROTMAN, J.J. An Introduction, The Theory of Groups Massachusetts: Allyn and

Bacon, Inc., 1984.

[7] Properties of Dihedral Groups. Disponıvel em:

http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=8175

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Grupos e Seus Automorfismos