grupos-ufrj

7/28/2019 grupos-ufrj

1/10

E s t r u t u r a s A l g b r i c a s M e s t r a d o M a t e m t i c a U F R J

2 0 1 2 - 1

P a r t e I - G r u p o s

S u m r i o

1 G r u p o s , m o r s m o s 1

1 . 1 G r u p o s , s u b g r u p o s , o r d e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 2 M o r s m o s , s u b g r u p o s n o r m a i s , g r u p o s q u o c i e n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 3 T e o r e m a s d e h o m o m o r s m o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 4 G r u p o d e p e r m u t a e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 A e s d e g r u p o s , s u b g r u p o s d e S y l o w 5

2 . 1 A e s d e g r u p o s e m c o n j u n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 . 2 O s t e o r e m a s d e S y l o w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 . 3 A p l i c a e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 G r u p o d e r i v a d o - g r u p o s r e s o l v e i s 8

3 . 1 C e n t r o , g r u p o d e r i v a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 . 2 S r i e s s u b n o r m a i s e d e c o m p o s i o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 . 3 G r u p o s s o l v e i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

1 G r u p o s , m o r s m o s

P r e r e q u i s i t o s : t e o r i a d o s c o n j u n t o s e l e m e n t a r .

1 . 1 G r u p o s , s u b g r u p o s , o r d e m

U m g r u p o G

o u(G, )

u m c o n j u n t o ( n o v a z i o ) m u n i d o d e u m a o p e r a o

a s s o c i a t i v a q u e a d m i t e

u m a i d e n t i d a d e e

p e l a q u a l t o d o e l e m e n t o t e m u m s i m t r i c o . I s s o :

x,y ,z G, x (y z) = (x y) ze G, x e = e x = x

x G, x G, x x = x x = e

S e , a l m d i s s o a o p e r a o c o m u t a t i v a :x, y G, x y = y x

,G

d i t o a b e l i a n o .

D e n o t a m o s a o p e r a o p o r

,

,

o u p o r n a d a , s e e l a c o m u t a t i v a d e n o t a m o s e m g e r a l

+. S e v e r i c a

f a c i l m e n t e q u e a i d e n t i d a d e n i c a , d e n o t a d a

e,

1o u

0n o c a s o a b e l i a n o ; o s i m t r i c o d e

x t a m b m

n i c o , d e n o t a d o x1

o u x ( c a s o a b e l i a n o ) .

U m s u b g r u p o H

d eG

u m s u b c o n j u n t o q u e e l e p r p r i o u m g r u p o c o m a m e s m a o p e r a o d e G

,

d e n o t a m o s H G

. P o r e x e m p l o , {e}

eG

s o s u b g r u p o s d e G

, c h a m a d o s s u b g r u p o s t r i v i a i s .

E x e r c c i o 1 . 1 . 1

S eH

u m s u b c o n j u n t o n i t o d e u m g r u p o G

, e s t v e l p e l a o p e r a o . M o s t r e q u e

H u m s u b g r u p o d e

G. D u m c o n t r a e x e m p l o n o c a s o d e c a r d i n a l i n n i t o .

E x e r c c i o 1 . 1 . 2

( T e o r e m a d e L a g r a n g e )

S e j a

Gu m g r u p o ,

Hu m s u b g r u p o e

xu m e l e m e n t o d e

G. D e n o t a m o s

xHo c o n j u n t o

{xh : h H}d e t o d a s c l a s s e s l a t e r a i s ( a e s q u e r d a ) d e

He mG

.

1 ) M o s t r e q u e a r e l a o xRy y xH

u m a r e l a o d e e q u i v a l n c i a .

1


2/10

2 ) M o s t r e q u e a s c l a s s e s d e e q u i v a l n c i a s o d o t i p o xH

e e s t o e m b i j e o c o m H

. O c o n j u n t o

q u o c i e n t e , i s s o o c o n j u n t o d a s c l a s s e s d e e q u i v a l n c i a d e n o t a d o G/H

. O s e u c a r d i n a l c h a m a -

s e o n d i c e d eH

e mG

, d e n o t a d o [G : H]

.

3 ) S o b q u a l c o n d i o t e m o s

xH = H? Q u a i s c l a s s e s d e e q u i v a l n c i a s o s u b g r u p o s ?

4 ) D e m o s t r e o t e o r e m a d e L a g r a n g e : s eH G ( n i t o ) , e n t o |H| u m d i v i s o r d e |G|.

5 ) D e n i m o s i g u a l m e n t e a s c l a s s e s d e e q u i v a l n c i a d i r e i t a , d o t i p o Hx

. M o s t r e q u e a s c l a s s e s

d i r e i t a e s t o e m b i j e o c o m H e q u e o c o n j u n t o q u o c i e n t e e m b i j e o c o m o c o n j u n t o d a s c l a s s e s

e s q u e r d a .

E x e r c c i o 1 . 1 . 3

S e j a H

u m s u b g r u p o d e n d i c e n i t o d e G

, eK

u m s u b g r u p o d e G

c o n t e n d o H

.

M o s t r e q u e e l e d e n d i c e n i t o e m G

e q u e

[G : H] = [G : K][K : H]

E x e r c c i o 1 . 1 . 4

S e j a G

u m g r u p o ,

Su m s u b c o n j u n t o . P o r q u e p o d e m o s f a l a r d o s u b g r u p o g e r a d o

p o r

S ? D e n o t a m o - l o

< S >.

U m g r u p o n i t a m e n t e g e r a d o q u a n d o G =< S >

c o mS

n i t o , e l e d i t o c c l i c o s e g e r a d o p o r

u m n i c o e l e m e n t o G =< x >

, c h a m a d o d e g e r a d o r . E l e p o d e s e r i n n i t o {. . . , x1, 1, x , x2, x3, . . . }

o u n i t o {1, x , x2, . . . , xn1}a c o m o (Z, +) o u (Z/nZ, +) e Un .O o r d e m d e u m e l e m e n t o

xd e u m g r u p o

G o c a r d i n a l |x| d o s u b g r u p o g e r a d o p o r x ( i . e . o m e n o r

i n t e i r o n > 0

t a l q u e xn = e

, e s e t a l n

n o e x i s t e , d i z e m o s q u e x

t e m o r d e m i n n i t o ) .

b

a

D e n o t a m o s xk o p r o d u t o d e x p o r e l e m e s m o k v e z e s . P o r c o n v e n o x0 = e e xk = (x1)k s e k f o r n e g a t i v o b

T a m b m u s a m o s a p a l a v r a o r d e m p r a d e s i g n a r o c a r d i n a l d e u m c o n j u n t o n i t o . . .

o b v i o q u e t o d o g r u p o c c l i c o a b e l i a n o . O s g r u p o s c c l i c o s s o e x e m p l o s i m p o r t a n t e s q u e a p a r e c e m

e m v r i o s a s p e c t o s d a t e o r i a .

E x e r c c i o 1 . 1 . 5

1 ) D e t e r m i n e t o d o s o s s u b g r u p o s d e u m g r u p o c c l i c o i n n i t o e l o g o n i t o d e o r d e m n

( t e m - s e u m

s u b g r u p o d e o r d e m d

p a r a c a d a i n t e i r o d

d i v i s o r d e n

) .

2 ) M o s t r e q u e o s g e r a d o r e s d e G =< x >

s o d o t i p o xk

o n d e k

p r i m e i r o c o m n := |G|. D e t a l h e

o c a s o n = 12

e l o g o q u a n d o n

p r i m e i r o . D e n o t a m o s (n)

o n m e r o d e g e r a d o r e s d e u m g r u p o

c c l i c o d e o r d e m n

; e s s a f u n o c h a m a - s e d e i n d i c a t r i z d e E u l e r .

3 ) C a l c u l e (p), (p)

( c o m p

p r i m e i r o ) . D e m o n s t r e q u e :

x N

,d|n

(d) = n

4 ) D e m o n s t r e u m a r e c i p r o c a d e 1 ) p a r a c o n c l u i r q u e u m g r u p o n i t o d e c a r d i n a l n

c c l i c o s e e s s e

p o r c a d a d

d i v i s o r d e n

e x i s t e u m n i c o s u b g r u p o d e c a r d i n a l d

. D e d u z a q u e t o d o s u b g r u p o n i t o

( m u l t i p l i c a t i v o ) d e u m c o r p o c c l i c o .

E x e r c c i o 1 . 1 . 6

1 ) M o s t r e q u e u m g r u p o G

t a l q u e t o d o e l e m e n t o ( d i f e r e n t e d e e

) t e m o r d e m 2

a b e l i a n o .

2 ) M o s t r e q u e t o d o g r u p o c o m

pe l e m e n t o s ,

pp r i m o c c l i c o .

3 ) P r o v e q u e e x i s t e d o i s g r u p o s c o m q u a t r o e l e m e n t o s , a m b o s a b e l i a n o s . A q u e l e q u e n o c c l i c o

c h a m a - s e o g r u p o d e K l e i n .

2


3/10

1 . 2 M o r s m o s , s u b g r u p o s n o r m a i s , g r u p o s q u o c i e n t e s

U m m o r s m o d e g r u p o s f

u m m a p a e n t r e g r u p o s G G r e s p e i t a n d o a s o p e r a e s :

x, y G, f(xy) = f(x)f(y)

T o d o m o r s m o t r a z a i d e n t i d a d e n a i d e n t i d a d e , o s i m t r i c o d a i m a g e m a i m a g e m d o s i m t r i c o e f

,

f1t r a z s u b g r u p o s e m s u b g r u p o s .

C h a m a m o s d e n c l e o d ef

, d e n o t a d o ker f

, o c o n j u n t o d o s a n t e c e d e n t e s d a i d e n t i d a d e . U m m o r s m o

i n j e t o r s e e s s e ker f = {e}

.

S e u m m o r s m o b i j e t o r , e n t o f1

u m m o r s m o . O s d o i s g r u p o s s o d i t o s i s o m o r f o s e e s c r e v e m o s

G = G . U m i s o m o r s m o d e u m g r u p o e m e l e m e s m o u m a u t o m o r s m o . O c o n j u n t o d o s a u t o m o r s m o s d e

G u m g r u p o p e l a o p e r a o d e c o m p o s i o ; d e n o t a d o

Aut(G).

E x e r c c i o 1 . 2 . 1

M o s t r e q u e x x2 d e G e m G u m m o r s m o s e e s s e G a b e l i a n o . Q u a n d o

G n i t o , s o b q u a l c o n d i o u m a u t o m o r s m o ? ( R e p a r e q u e s e

Gc o n t e m u m e l e m e n t o d e o r d e m

2 , e n t o |G| p a r p o r L a g r a n g e ) .

E x e r c c i o 1 . 2 . 2

S e j a x

u m e l e m e n t o q u a l q u e r d e G

. D e n o t a m o s ix o m a p a :

ix : G Gg xgx1

M o s t r e q u e ix u m a u t o m o r s m o d e G ( c h a m a d o d e a u t o m o r s m o i n t e r n o ) . M o s t r e q u e o c o n -

j u n t o d o s a u t o m o r s m o s i n t e r n o s u m s u b g r u p o d e

Aut(G)( d e n o t a d o

Int(G)) .

U m s u b g r u p o H

d eG

n o r m a l e mG

s e t o d a c l a s s e a e s q u e r d a c l a s s e a d i r e i t a , i . e .x G, xH =

Hx. a E s c r e v e m o s e n t o :H G

N o c a s o a b e l i a n o , t o d o s u b g r u p o d e G

n o r m a l . O s d o i s s u b g r u p o s t r i v i a i s {e}

eG

s o s e m p r e

n o r m a i s , q u a n d o s o o s n i c o s d i z e m o s q u e G u m g r u p o s i m p l e s b

.

S eH G

e n t o o c o n j u n t o q u o c i e n t e G/H

p o d e s e r m u n i d o d e u m a e s t r u t u r a d e g r u p o c o m p a t v e l

c o mG

, n o s e n t i d o q u e a p r o j e o GG/H

d e n i d a p o r x xH

s e j a u m m o r s m o d e g r u p o s .

a

I s s o n o s i g n i c a q u e o s e l e m e n t o s d e

Gc o m u t a m c o m o s e l e m e n t o s d e

H.

b

O s g r u p o s s i m p l e s s o a s p a r t c u l a s e l e m e n t a r e s q u e p e r m i t e m , e m g r a n d e p a r t e , r e c o n s t r u i r t o d o s o s g r u p o s ( c f .

c a p . 3 . 2 ) . O s g r u p o s s i m p l e s n i t o s s o t o d o s c o n h e c i d o s ( m a s a c l a s s i c a o c o m p l e t a m u i t o c o m p l i c a d a . . . ) .

E x e r c c i o 1 . 2 . 3

P r o v e e s s a l t i m a a r m a o .

E x e r c c i o 1 . 2 . 4

M o s t r e q u e o

Int(G) s u b g r u p o n o r m a l d e

Aut(G).

E x e r c c i o 1 . 2 . 5

M o s t r e q u e u m g r u p o a b e l i a n o s i m p l e s i s o m o r f o a Z/pZ

o n d e p

p r i m o .

E x e r c c i o 1 . 2 . 6

M o s t r e q u e u m s u b g r u p o d e n d i c e 2 s e m p r e n o r m a l .

E x e r c c i o 1 . 2 . 7

D e m o n s t r e q u e p o d e m o s c a r a t e r i z a r u m s u b g r u p o n o r m a l H e m G p o r u m a d a s

s e g u i n t e s c o n d i e s :

a ) e s t v e l p e l o s a u t o m o r s m o s i n t e r n o s

b ) o n c l e o d e u m m o r s m o d e G

n u m o u t r o g r u p o

E x e r c c i o 1 . 2 . 8

S u p o n h a m o s K H G

, q u a i s i m p l i c a e s s o v e r d a d e i r a s ?

K G K HK H K G

K He

H G K G

E x e r c c i o 1 . 2 . 9

S e j a f

u m m o r s m o d e G

e mG

, q u e p o d e m o s d i z e r d a i m a g e m i n v e r s a ( r e s p . d a

i m a g e m d i r e i t a ) d e u m s u b g r u p o n o r m a l d e G

( r e s p .

G) ?

3


4/10

E x e r c c i o 1 . 2 . 1 0

( T e o r e m a d e c o r r e s p o n d n c i a d e N o e t h e r )

S e j a H G

. M o s t r e q u e o m a p a K K/H

u m a b i j e o d o c o n j u n t o d o s s u b g r u p o s K

t a i s q u e

H K Gn o c o n j u n t o d o s s u b g r u p o s d e

G/H. P r o v e q u e e l a t a m b m u m a b i j e o e n t r e t a i s

K

n o r m a i s e o s s u b g r u p o s n o r m a i s d e G/H

.

1 . 3 T e o r e m a s d e h o m o m o r s m o s

E x e r c c i o 1 . 3 . 1

( T e o r e m a d e f a t o r a o )

S e j a f : G G u m m o r s m o d e g r u p o s . S e j a H G, s u p o n h a H ker f. M o s t r e q u e p o d e m o s

d e n i r u m m o r s m o f : G/HG

t a l q u e fp = f

, o n d e p

a p r o j e o c a n n i c a d e G

s o b r e G/H

.

E x e r c c i o 1 . 3 . 2

( 1

T e o r e m a d e h o m o m o r s m o )

D e d u z a q u e u m m o r s m o d e G

e mG

, i n d u z u m i s o m o r s m o d e G/ ker f

e mIm f G

.

E x e r c c i o 1 . 3 . 3

S e j a m G

u m g r u p o , H G

,K G

d o i s s u b g r u p o s . D e n i m o s o c o n j u n t o

HK = {hk : h H, k K} .

1 ) D e m o n s t r e q u e HK

u m s u b g r u p o s e e s s e HK = KH

.

2 ) Q u a l o c a r d i n a l d e

HKq u a n d o a m b o s s u b g r u p o s s o n i t o s ?

3 ) M o s t r e q u e s e HK = {e}

, e n t o o s e l e m e n t o s d e HK

t m u m a e s c r i t u r a n i c a c o m o p r o d u t o hk

.

4 ) S e j a G = Z/6Z

eH =< 2 >

,K =< 3 >

. V e r i q u e q u e G = HK

e a u n i c i d a d e d a e s c r i t u r a .

E x e r c c i o 1 . 3 . 4

( 2


S e j a m H

eK

d o i s s u b g r u p o s d e G

. S u p o n h a m o s K G

. M o s t r e q u e H K H

e

H

H K=HK

K

E x e r c c i o 1 . 3 . 5

( 3


S e j a m H e K d o i s s u b g r u p o s n o r m a i s d e G. S u p o n h a m o s K H . P r o v e q u e H/K G/K e

(G/K)

(H/K)=G

H

E x e r c c i o 1 . 3 . 6

( L e m a d e P o i n c a r )

S u p o n h a m o s H G

eK G

a m b o s d e n d i c e n i t o . D e m o n s t r e q u e H K

d e n d i c e n i t o

p r o v a n d o :

[G : H K] [G : H][G : K]

( D i c a : a c h e u m m o n o m o r s m o d e G/H K

n u m c o n j u n t o n i t o ) . D u m e x e m p l o o n d e a d e s i g u a l d a d e

e s t r i t a , u m o u t r o o n d e t e m o s i g u a l d a d e .

1 . 4 G r u p o d e p e r m u t a e s

D e n o t a m o s Sn o c o n j u n t o d a s b i j e e s d e {1, 2, . . . , n} e m e l e m e s m o ; o s s e u s e l e m e n t o s s o t a m b m

c h a m a d o s d e p e r m u t a e s . O g r u p o d e p e r m u t a e s s e c h a m a t a m b m o g r u p o s i m t r i c o .

U m c a s o p a r t i c u l a r d e p e r m u t a o s o a s p e r m u t a e s c i r c u l a r e s o ur

- c i c l o s , o n d e r {2, 3, . . . , n},

q u a n d o e x i s t e (i1, i2, . . . , ir) i n t e i r o s d i s t i n t o s e m {1, 2, . . . , n} t a i s q u e :

(i1) = i2, (i2) = i3, . . . , (ir) = i1

t o d o s d e m a i s i n t e i r o s s e n d o i n v a r i a n t e s . D e n o t a m o s

= (i1, i2, . . . , ir)o u

(i1i2 . . . ir). U m

2- c i c l o

c h a m a d o d e t r a n s p o s i o .

E x e r c c i o 1 . 4 . 7

D e s c r e v e o s g r u p o s S1 , S2 , S3 .

4


5/10

E x e r c c i o 1 . 4 . 8

V e r i q u e q u e a n i c a p e r m u t a o q u e c o m u t a c o m t o d o s d e m a i s a i d e n t i d a d e

q u a n d o n 3

. ( D i c a : p r o c u r e a p e n a s o s e l e m e n t o s q u e c o m u t a m c o m a s t r a n s p o s i e s . )

E x e r c c i o 1 . 4 . 9 ( D e c o m p o s i o e m c i c l o s )

1 ) D e m o n s t r e q u e u m r

- c i c l o d e o r d e m r

.

2 ) C h a m a m o s s u p o r t e d e u m r

- c i c l o c

o c o n j u n t o d o s i n t e i r o s {i1, i2, . . . , ir}. M o s t r e q u e d o i s c i c l o s

c o m s u p o r t e s d i s j u n t o s c o m u t a m .

3 ) D e m o n s t r e q u e q u a l q u e r p e r m u t a o s e e s c r e v e d e f o r m a n i c a c o m o p r o d u t o d e c i c l o s a s u p o r t e

d i s j u n t o s .

4 ) U m e x e m p l o , s e j a

a p e r m u t a o d e {1, 2, . . . , n}

d e n i d a p o r (i) = n + 1 i

. D e t e r m i n e s u a

c o m p o s i o e m c i c l o s .

E x e r c c i o 1 . 4 . 1 0

D e m o n s t r e q u e o

r- c i c l o

c = (i1i2 . . . ir) c o m p o s t o d e r1 t r a n s p o s i e s . D e d u z a q u e

Sn g e r a d o p e l a s t r a n s p o s i e s .

A s t r a n s p o s i e s g e r a m Sn m a s n o a n i c a p o s s i b i l i d a d e .

E x e r c c i o 1 . 4 . 1 1

M o s t r e q u e Sn g e r a d o p o r c a d a u m d o s s e g u i n t e s c o n j u n t o s :

a s t r a n s p o s i e s (1, i)

a s t r a n s p o s i e s

(i, i + 1)

o c i c l o (1, 2 . . . , n)

e a t r a n s p o s i o (1, 2)

E x e r c c i o 1 . 4 . 1 2

( A s s i n a t u r a )

1 ) M o s t r e q u e :

(ab)(ax1x2 . . . xkby1y2 . . . yl) = (ax1x2 . . . xk)(by1y2 . . . yl)(ab)(ax1x2 . . . xk)(by1y2 . . . yl) = (ax1x2 . . . xkby1y2 . . . yl)

2 ) D e n i m o s a f u n o s i n a l ( o u a s s i n a t u r a ) d e Sn

e m{1, 1}

p o r :

() = (1)nk

o n d e

k o n m e r o d e c i c l o s ( a s u p o r t e s d i s j u n t o s ) a c r e s c e n t a d o d o n m e r o d e p o n t o s x o s d e

.

1

M o s t r e q u e

u m m o r s m o .

3 ) Q u a n d o o s i n a l 1 d i z e m o s q u e a p e r m u t a o p a r , m p a r s e n o . Q u a l a p a r i d a d e d e u m r

- c i c l o ?

C o m o d e t e r m i n a r a p a r i d a d e c o n h e c e n d o a d e c o m p o s i o e m c i c l o s ?

4 ) C h a m a m o s d e g r u p o a l t e r n a d o o n c l e o d a a s s i n a t u r a ; a s s i m u m s u b g r u p o d i s t i n g u i d o d e n d i c e

2 d eSn . D e n o t a m o s - l o An . M o s t r e q u e g e r a d o p e l o s 3 - c i c l o s ( p o r n > 2) .

5 ) D e m o n s t r e q u e An t a m b m g e r a d o p e l o s 3 - c i c l o s d o t i p o (1, 2, i).

2 A e s d e g r u p o s , s u b g r u p o s d e S y l o w

2 . 1 A e s d e g r u p o s e m c o n j u n t o s

U m a a o d e u m g r u p o G

n u m c o n j u n t o

X u m a o p e r a o e x t e r n a .

I s s o u m m a p a :

: GX X(g, x) g.x

v e r i c a n d o :

g, g G, x X, g.(g.x) = (gg).x

x X, e.x = x

1

E s s e n m e r o k s e c h a m a n m e r o d e r b i t a s d e : o n m e r o d e r b i t a s d a a o d e < > s o b r e {1, . . . , n} ( v e r c a p t u l o s e g u i n t e ) .

5


6/10

E x e r c c i o 2 . 1 . 1

M o s t r e q u e e s s a n o o e q u i v a l e n t e a d a r - s e u m h o m o m o r s m o : G SX, o n d e

SX g r u p o s i m t r i c o d e X ( i . e . SX = {f : X X; f b i j e o }) .

A n o o d e a o d e g r u p o a g e o m e t r i z a o d a n o o d e g r u p o . D e f a t o t o d o g r u p o a g e p e l o m e n o s

e m e l e - m e s m o .

E x e r c c i o 2 . 1 . 2

( T e o r e m a d e C a y l e y )

D e m o n s t r e q u e t o d o g r u p o n i t o i s o m o r f o a u m g r u p o d e p e r m u t a e s ( i . e . u m s u b g r u p o d e Sn ) .

D i c a : c o n s i d e r e a a o d e G

e m s i m e s m o p e l a t r a n s l a o a e s q u e r d a :g.a = ga

e u s e o e x e r c c i o a c i m a .

A l g u m a s d e n i e s :

1 . S e x X, a r b i t a d e x, d e n o t a d a Gx d e n i d a p o r :

Gx = {y X : g G, y = g.x}

2 . S e x X, o e s t a b i l i z a d o r d e x , q u e d e n o t a r e m o s Gx d e n i d o p o r :

Gx = {g

G: g.x = x}

3 . O n c l e o d a a o o c o n j u n t o d o s e l e m e n t o s d e G

t a i s q u e p a r a t o d o s x

d eX

,g.x = x

.

O b v i a m e n t e o n c l e o d e

. U m a a o d i t a e l q u a n d o o n c l e o t r i v i a l ( n e s s e c a s o , G

i s o m o r f o a u m s u b g r u p o d e Sn ( c f . e x . 2 . 1 . 1 ) ) .

E x e r c c i o 2 . 1 . 3

1 ) M o s t r e q u e o e s t a b i l i z a d o r Gx d e u m e l e m e n t o x d e X s e m p r e u m s u b g r u p o d e G. P r o v e q u e s e

Gf o r n i t o , e n t o

|Gx| = [G : Gx] .

2 ) C o m o d e s c r e v e r o n c l e o d e u m a a o p o r m e i o d o s e s t a b i l i z a d o r e s ?

3 ) M o s t r e q u e s e a a o n o e l , p o d e m o s c o n t u d o d e n i r u m a a o e l d e G/ ker

o n c l e o d a

a o .

E x e r c c i o 2 . 1 . 4

D e s c r e v a o s e s t a b i l i z a d o r e s e a s r b i t a s d a a o d e G

e m s i m e s m o p o r a u t o m o r s m o

i n t e r n o . O s p r i m e i r o s s o o s c e n t r a l i z a d o r e s e a s s e g u n d a s a s c l a s s e s d e c o n j u g a o .

E x e r c c i o 2 . 1 . 5

M e s m a s q u e s t e s p e l a a o d e G = GL(n,K)

e mX = Mn(K) d a d a p o r :

P.M = P M P1

E x e r c c i o 2 . 1 . 6

( F o r m u l a d a s c l a s s e s )

S u p o n h a m o s X n i t o . C o n s i d e r e o o c o n j u n t o d o s e l e m e n t o s d e X t a i s q u e t o d a r b i t a e n c o n t r a n u m n i c o p o n t o . ( D i z - s e q u e

u m a t r a n s v e r s a l . ) D e m o n s t r e :

|X| =

x

|G|

|Gx|

O s d o i s s e g u i n t e s e x e r c c i o s s o a p l i c a e s i m p o r t a n t e s d a f o r m u l a d a s c l a s s e s .

E x e r c c i o 2 . 1 . 7

( T e o r e m a d e C a u c h y )

P r o v e q u e s e G u m g r u p o n i t o d e c a r d i n a l n e s e p u m f a t o r p r i m o d e n , e n t o e x i s t e u m e l e m e n t o d e o r d e m

pe mG

. P o r i s s o , i n t r o d u z a o s u b c o n j u n t o

E = {(x1, x2, . . . , xp) : x1x2 . . . , xp = 1}

e p a s s e a s s e g u i n t e e t a p a s :

6


7/10

1 ) M o s t r e q u e Z/pZ

a g e n a t u r a l m e n t e e m E

, e q u e c a d a r b i t a t e m 1 o u p

e l e m e n t o s . C a r a t e r i z e a s

r b i t a s d e u m e l e m e n t o .

2 ) C a l c u l e o c a r d i n a l d e E

e d e d u z a o r e s u l t a d o u s a n d o a f o r m u l a d a s c l a s s e s .

U m g r u p o n i t o u m p

- g r u p o (p

p r i m o ) q u a n d o o s e u c a r d i n a l u m a p o t n c i a d e p

.

E x e r c c i o 2 . 1 . 8

S e j a G

u m g r u p o , e l e a g e e m s i m e s m o p o r a u t o m o r s m o i n t e r n o .

1 ) S e x Z(G)

( o c e n t r o d e G

, v e r ( 1 ) n o c a p . 3 . ) , q u a l a r b i t a d e x

?

2 ) M o s t r e q u e :

|G| = |Z(G)| +

x

|G|

|Gx|

o n d e

u m a t r a n s v e r s a l p e l o c o n j u n t o d a s r b i t a s n o r e d u z i d a s a u m p o n t o .

3 ) D e d u z a q u e t o d o s g r u p o s d e c a r d i n a l pn

, o n d e p

p r i m o , t m u m c e n t r o n o t r i v i a l ( i . e . = {e} ) .C o m o o c e n t r o u m s u b g r u p o n o r m a l , d e d u z i m o s q u e u m

p- g r u p o n o a b e l i a n o n u n c a s i m p l e s .

E x e r c c i o 2 . 1 . 9

( F o r m u l a d e B u r n s i d e )

S e j a G

u m g r u p o n i t o a g i n d o n u m c o n j u n t o n i t o X

. D e n o t a m o s N

o n m e r o d e r b i t a s , e Fix(g)

o c o n j u n t o d o s p o n t o s x o s d e g

( i . e . o s x

t a i s q u e g.x = x

) . M o s t r e :

N =1

|G|

gG

|Fix(g)|

D i c a : e n u m e r e o c o n j u n t o d a s d u p l a s (g, x)

o n d e g.x = x

d e d o i s m a n e i r a s d i s t i n t a s .

E x e r c c i o 2 . 1 . 1 0

U m e x e m p l o d e a p l i c a o . u m a r o d a d e l o t e r i a d i v i d i d a e m n

s e t o r e s ; c a d a u m

c o l o r i d o p o r u m a c o r e s c o l h i d a d e n t r o d e p

c o r e s d i s t i n t a s . Q u a l o n m e r o d e r o d a d e l o t e r i a s

p o s s v e i s ( n o d i s t i n g u i m o s c o l o r a e s q u e s e d e d u z e m u m a d a o u t r a p o r r o t a o d a r o d a ) ?

2 . 2 O s t e o r e m a s d e S y l o w

P o rG

n i t o , |G| = pkm

c o mp

p r i m o e p m

; u mp

- S y l o w u m s u b g r u p o d e G

d e o r d e m pk

.

E x e r c c i o 2 . 2 . 1

S e j a G

u m g r u p o d e o r d e m pkm

o n d e p

p r i m o e mdc(p, m) = 1

.

1 ) C h a m a m o s

o c o n j u n t o d o s s u b c o n j u n t o s d e G

t e n d o pk

e l e m e n t o s . A s s i m , G

a g e e m

p o r

t r a n s l a o a e s q u e r d a ( g.X = gX

) . C a l c u l e o c a r d i n a l d e

e d e m o n s t r e q u e e x i s t e a o m e n o s u m a

r b i t a c u j o c a r d i n a l n o d i v i s v e l p o r p

.

2 ) S e j a A u m a t a l r b i t a , GX o e s t a b i l i z a d o r d e u m e l e m e n t o X d e A. D e m o s t r e q u e GX u mp

- S y l o w d e G

. D e d u z a o p r i m e i r o t e o r e m a d e S y l o w : t o d o g r u p o n i t o c u j o o r d e m d i v i s v e l

p o rp

c o n t e m u m p

- S y l o w .

3 ) T r o c a m o s d e a o . S e j a S u m p- S y l o w d e G, e H u m p - g r u p o d e G. F a z e n d o a g i r H e m G/S p o rt r a n s l a o a e s q u e r d a , d e m o s t r e q u e

H i n c l u d o n u m c o n j u g a d o d e

S. E m p a r t i c u l a r , t o d o s o s

p- S y l o w d e

Gs o c o n j u g a d o s a

S. I s s o o s e g u n d o t e o r e m a d e S y l o w .

4 ) D e d u z a q u e s e u m g r u p o a d m i t e s o m e n t e u m p

- S y l o w , e s s e l t i m o n o r m a l e m G, e r e c i p r o c a m e n t e

s eG

c o n t e m u m p

- S y l o w n o r m a l , e l e o n i c o p

- S y l o w d e G

.

5 ) S e j a Np o n m e r o d e p- S y l o w d e G, u s e a a o p o r c o n j u g a o d e S n o s p - S y l o w p o r d e m o n s t r a r :

Np 1 mod (p) e Np|m

I s s o o t e r c e i r o t e o r e m a d e S y l o w .

7


8/10

2 . 3 A p l i c a e s

E x e r c c i o 2 . 3 . 1

1 . D e t e r m i n e o s p

- S y l o w d e Z/nZ

, d eZ/6Z Z/12Z, e d e D2n ( p = 2 o u p d i v i s o r d e n) .

2 . P r o c u r e o s 2

- S y l o w d e S4 e d e S5 .

E x e r c c i o 2 . 3 . 2

U s a n d o o t e r c e i r o t e o r e m a d e S y l o w , d e m o n s t r e q u e n o e x i s t e g r u p o s i m p l e s t e n d o

3 0 , 4 2 o u 1 0 5 e l e m e n t o s .

E x e r c c i o 2 . 3 . 3

( E s t u d o d o g r u p o A5 )

E s s e g r u p o c o n s t i t u d o d a s p e r m u t a e s p a r e s d e 5 e l e m e n t o s . E n u m e r e o s d i a g r a m e s d e Y o u n g p a r a

d e t e r m i n a r q u e A5 c o n t e m ( a l m d a i d e n t i d a d e ) :

1 5 e l e m e n t o s d e o r d e m 2 ( a s d u p l a s t r a n s p o s i e s )

2 0 e l e m e n t o s d e o r d e m 3 ( o s 3 - c i c l o s )

2 4 e l e m e n t o s d e o r d e m 5 ( o s 5 - c i c l o s )

1 ) D e m o n s t r e q u e o s 3 - c i c l o s f o r m e m u m a c l a s s e d e c o n j u g a o e m A5 . E s t u d e i g u a l m e n t e a s d u p l a s

t r a n s p o s i e s .

2 ) D e m o n s t r e q u e s e H A5 c o n t e m u m e l e m e n t o d e o r d e m 5 , e n t o e l e o s c o n t e m t o d o s . ( D i c a :s e g u n d o t e o r e m a d e S y l o w ) .

3 ) U s a n d o q u e u m s u b g r u p o n o r m a l r e u n i o d e c l a s s e s d e c o n j u g a e s , d e m o n s t r e q u e A5 s i m p l e s .

O s e g u i n t e e x e r c c i o m o s t r e q u e o g r u p o a l t e r n a d o s i m p l e s p o r

n > 5. O s c a s o s

n = 2, 3, 4s e t r a t a m

f a c i l m e n t e :n = 2

, o g r u p o a l t e r n a d o t r i v i a l ; n = 3

, o g r u p o a l t e r n a d o d e o r d e m 3

, e l e s i m p l e s ;

p o rn = 4

, o g r u p o a l t e r n a d o c o n t e m u m s u b g r u p o n o r m a l , o g r u p o d a s d u p l a s t r a n s p o s i e s .

E x e r c c i o 2 . 3 . 4

( S i m p l i c i d a d e d o g r u p o a l t e r n a d o ( c a s o g e r a l ) )

S u p o n h a m o s n > 5

e s e j a H An . S e j a u m e l e m e n t o d e H , d i f e r e n t e d a i d e n t i d a d e .

1 ) S e

u m a p e r m u t a o q u a l q u e r d e An , m o s t r e q u e

11p e r t e n c e a

H.

2 ) T o m a n d o i

t a l q u e (i) = j

,j = i

, e u s a n d o k

d i s t i n t o d e i,j,(j)

, c o n s t r u a u m 3

- c i c l o

, t a l q u e

11d e i x a x o p e l o m e n o s

n 5 e l e m e n t o s .

3 ) A p a r t i r d o e x e r c c i o a n t e r i o r e d a s d u a s q u e s t e s a c i m a s , v e r i q u e q u e H d e v e c o n t e r u m 3- c i c l o e d e d u z a o r e s u l t a d o .

E x e r c c i o 2 . 3 . 5

R e - d e m o n s t r e o t e o r e m a d e C a u c h y u s a n d o o t e o r e m a d e S y l o w .

3 G r u p o d e r i v a d o - g r u p o s r e s o l v e i s

3 . 1 C e n t r o , g r u p o d e r i v a d o

E x i s t e m v r i a s m a n e i r a s d e m e d i r a n o - c o m u t a t i v i d a d e d e u m g r u p o G

. C o m o v i s t o a n t e r i o r m e n t e ,

p o d e m o s u t i l i z a r o c e n t r o d e G, c o n j u n t o d o s e l e m e n t o s d e G q u e c o m u t a m c o m t o d o s d e m a i s :

Z(G) = {z G : x G, xz = zx} ( 1 )

M a i o r e l e , m a i s p r x i m o G

d e s e r u m g r u p o c o m u t a t i v o .

t a m b m p o s s v e l i n t r o d u z i r o c h a m a d o g r u p o d e r i v a d o a s s i m d e n i d o : d e n o t a m o s [x, y] = xyx1y1 ,o c o m u t a d o r d e

xe

y. O g r u p o d e r i v a d o d e

G o g r u p o g e r a d o p e l o s c o m u t a d o r e s d e n o t a d o

G

o uD(G)

. M e n o r e l e , m a i s p r x i m o G

d e s e r u m g r u p o c o m u t a t i v o .

8


9/10

E x e r c c i o 3 . 1 . 1

M o s t r e q u e Z(G) G e q u e

G/Z(G) = Int(G)

E x e r c c i o 3 . 1 . 2 M o s t r e q u e D(G) G. D i z e m o s q u e u m s u b g r u p o c a r a c t e r s t i c o e m G s e e l e

e s t v e l p o r t o d o s o s a u t o m o r s m o s d e G

.D(G)

c a r a c t e r s t i c o e m G

?

E x e r c c i o 3 . 1 . 3

D e t e r m i n e

G/Z(G)p o r

G = Dne

G = Sn.

E x e r c c i o 3 . 1 . 4

D e n e Z1 = Z(G). M o s t r e q u e p o d e m o s d e n i r u m s u b g r u p o Z2 d e G p o r :

Z2/Z1 = Z(G/Z1)

e q u e o g r u p o n o r m a l , e m e s m o c a r a c t e r s t i c o e m G

. C o m o i t e r a r e s s a c o n s t r u o ? E x e m p l i q u e n o

c a s o d e u m g r u p o d i e d r a l . V e r i q u e q u e Z2 p o d e s e r d e n i d o p o r :

a Z2 b G, [a, b] Z1

E x e r c c i o 3 . 1 . 5

1 ) M o s t r e q u e Gab := G/ D(G) a b e l i a n o , o a b e l i a n i z a d o d e G.

2 ) S e j a H G, m o s t r e q u e G/H c o m u t a t i v o s s e H D(G).

3 ) M o s t r e q u e s e

D(G) H Ge n t o

H G.

4 ) D e m o n s t r e q u e t o d o m o r s m o f

d eG

n u m g r u p o c o m u t a t i v o G

s e f a t o r a p e l o a b e l i a n i z a d o .

3 . 2 S r i e s s u b n o r m a i s e d e c o m p o s i o

U m a s r i e s u b n o r m a l ( o u n o r m a l ) d e G u m a s e q u e n c i a c r e s c e n t e n i t a d e e s t r i t a s i n c l u s e s d e

s u b g r u p o s (Hi)i :

{e} = H0 H1 H2 Hn = Gt a l q u e Hi n o r m a l e m Hi+1 ( e n o n e c e s s a r i a m e n t e e m G) . U m r a n a m e n t o d e u m a s r i e s u b n o r m a l

(Hi)i u m a s r i e (Ki)i d a q u a l a s e q u e n c i a (Hi)i u m a s u b s e q u e n c i a . O c o m p r i m e n t o m a x i m o d e u m a s r i e s u b n o r m a l u m a m e d i d a d e q u a n t o

G d i s t a n t e d e s e r s i m p l e s .

a

U m a s r i e d e c o m p o s i o ( o u s r i e d e J o r d a n - H l d e r ) u m a s r i e s u b n o r m a l

{e} = H0 H1 Hn = G

o n d e t o d o s o s f a t o r e s Hi+1/Hi s o s i m p l e s .

a

S e

G s i m p l e s , a n i c a s r i e s u b n o r m a l

G {e}.

E x e r c c i o 3 . 2 . 1

M o s t r e q u e p o d e m o s s e m p r e r a n a r u m a s r i e s u b n o r m a l n u m a s r i e d e c o m p o s i o .

E x e r c c i o 3 . 2 . 2

D e s c r e v e a s s r i e s s u b n o r m a i s d e Sn .

E x e r c c i o 3 . 2 . 3

S e j a G

u mp

- g r u p o d e o r d e m pn

.

1 ) D e m o n s t r e q u e s e H

u m s u b g r u p o p r p r i o d e G

e n t o , o u H

n o r m a l e m G

, o u e x i s t e u m

c o n j u g a d o d e H i n c l u d o n o n o r m a l i z a d o r d e H e m G. D i c a : u t i l i z e a a o p o r a u t o m o r s m o s

i n t e r n o s d e H

e m s e u s c o n j u g a d o s .

2 ) D e d u z a q u e t o d o s u b g r u p o m a x i m a l d e G

n o r m a l e m G

d e n d i c e p

.

3 ) D e m o n s t r e q u e G

a d m i t e s u b g r u p o s n o r m a i s d e o r d e m pi

p o r c a d a 1 i n . D i c a : r a c i o c i n a p o r

r e c u r s o u s a n d o o c e n t r o .

4 ) D e d u z a q u e c a d a s u b g r u p o H

d eG

i n i c i a u m a s r i e s u b n o r m a l H = H0 H1 Hn = G

c o m

[Hi : Hi+1] = p .

9


10/10

E x e r c c i o 3 . 2 . 4

( L e m a d a b o r b o l e t a )

S e j a m d u a s p a r e s d e s u b g r u p o s d e G

,H1 H2 e K1 K2 . D e m o n s t r e q u e :

H1(H2 K1) H1(H2 K2) e K1(K2 H1) K1(K2 H2)

e q u e o s g r u p o s q u o c i e n t e s s o i s o m o r f o s a o g r u p o

(H2 K2)/(H1 K2)(H2 K1)

S e r t i l f a z e r u m e s q u e m a d a o r g a n i z a o d o s g r u p o s i n t e r v i n d o n e s s e l e m a e d a e n t e n d e r p o r q u e s e

c h a m a o l e m a d a b o r b o l e t a .

D u a s s r i e s s u b n o r m a i s s o e q u i v a l e n t e s s e e l a s t m o m e s m o c o m p r i m e n t o e o s m e s m o s f a t o r e s ( a

m e n o s i s o m o r s m o ) .

E x e r c c i o 3 . 2 . 5

( T e o r e m a s d e S c h r e i e r e d e J o r d a n - H l d e r )

1 ) U t i l i z e o l e m a d a b o r b o l e t a p a r a d e m o n s t r a r q u e d u a s s r i e s n o r m a i s t m r a n a m e n t o s e q u i v a l e n t e s .

I s s o o t e o r e m a d e S c h r e i e r . D e d u z a q u e o c o m p r i m e n t o m a x i m o d e u m a s r i e s u b n o r m a l b e m

d e n i d o e q u e a s s r i e s d e c o m p o s i o s o a s s r i e s s u b n o r m a l d e c o m p r i m e n t o m a x i m o .

2 ) D e d u z a q u e t o d a s s r i e s d e c o m p o s i e s d e u m g r u p o s o e q u i v a l e n t e s . E s s e r e s u l t a d o o t e o r e m a

d e J o r d a n - H l d e r , e l e d i z q u e ( a s c l a s s e s d e i s o m o r s m o d e ) o s f a t o r e s d e u m a s r i e d e c o m p o s i o

d e p e n d e m a p e n a s d o g r u p o . E l e s s o o s f a t o r e s d e c o m p o s i o d eG

.

3 . 3 G r u p o s s o l v e i s

U m g r u p o s o l v e l q u a n d o s e u s f a t o r e s d e c o m p o s i o s o a b e l i a n o s .

E x e r c c i o 3 . 3 . 1

M o s t r e q u e u m g r u p o s i m p l e s n o c o m u t a t i v o n o s o l v e l .

E x e r c c i o 3 . 3 . 2

E x a m i n e a s o l u b i l i d a d e d o s g r u p o s Sn .

O s s e g u i n t e s r e s u l t a d o s s e r o t i l n o e s t u d o d e s o l u b i l i d a d e p o r r a d i c a i s n a t e o r i a d e G a l o i s .

E x e r c c i o 3 . 3 . 3

D e m o n s t r e q u e u m g r u p o G

n i t o s o l v e l s e e s s e e l e c o n t e m u m a s r i e c c l i c a ,

i s s o u m a s r i e s u b n o r m a l

{e} = H0 H1 Hn = G

c o m o s f a t o r e s Hi+1/Hi c c l i c o s . M o s t r e q u e p o d e m o s r e q u e r e r q u e o s f a t o r e s t e n h a m o r d e m p r i m o .

E x e r c c i o 3 . 3 . 4

D e n o t a m o s G

(i)a s e q u e n c i a d o s g r u p o s d e r i v a d o s s u c e s s i v o s d e

G:

G(0) = G, G(i+1) = (G(i))

a s r i e d e r i v a d a d eG

.

1 ) M o s t r e q u e a s e q u e n c i a d e c r e s c e n t e e q u e G

r e s o l v e l s e e s s e e x i s t e n

t a l q u e G

(n) = {e}.

2 ) V e r i q u e q u e s u b g r u p o s e g r u p o s q u o c i e n t e s d e g r u p o s s o l v e i s s o s o l v e i s .

3 ) P r o v e a r e c i p r o c a : s e j a H G

, e n t o G

s o l v e l s e e s s e H

eG/H

s o s o l v e i s .

R e f e r n c i a s

[ 1 ] P . A l u . A l g e b r a : C h a p t e r 0 . A M S G r a d u a t e S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s ( V o l . 1 0 4 ) , 2 0 0 9 .

[ 2 ] J . D e l c o u r t . T h o r i e d e s g r o u p e s . D u n o d , 2 0 0 7 .

[ 3 ] A . G o n a l v e s . I n t r o d u o l g e b r a . I M P A , 1 9 7 9 .

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