Click here to load reader
Upload
bucsistvan
View
85
Download
9
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Grupuri de simetrii
Citation preview
ajtroposc kirtemmizSZilele Universitatii Alexandru Ioan Cuza
zsr ttetzsekrezS
25 octombrie 2013
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii
(ssoB ogoH 1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de gruppentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului.
In discursul inaugural de la Universitate araosimiTa (1872) -
Tendinte recente in cercetarea geometrica - spune: ind data
o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina noastra
este sa investigam acele proprietati ale unei guri din varietate
care nu se schimba prin transformarile grupului.
Se da o multim Pe si SM
grupul permutarilor lui M . Orice
subgrup G al lui SM
este un grup de transformari ale lui M.
Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de
toate elementele lui G . Deci, apriori, M nu are proprietati
geometrice, acestea sunt dictate de grupul G . O geometrie
este notata prin (M,G ).
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii
Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup
pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului.
In discursul inaugural de la Universitatea Erlangen (1872) -
Tendinte recente in cercetarea geometrica - spune: ind data
o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina noastra
este sa investigam acele proprietati ale unei guri din varietate
care nu se schimba prin transformarile grupului.
Se da o multime M si SM
grupul permutarilor lui M. Orice
subgrup G al lui SM
este un grup de transformari ale lui M.
Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de
toate elementele lui G . Deci, apriori, M nu are proprietati
geometrice, acestea sunt dictate de grupul G . O geometrie
este notata prin (M,G ).
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Geometria euclidiana (plana)
Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de
izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura
unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul
simplu al punctelor.
Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distantad : P P R :d(A,B) 0, A,B P; d(A,B) = 0 A = B;d(A,B) = d(B,A);d(A,B) d(A,C ) + d(C ,A), A,B,C P; d(A,B) =d(A,C ) + d(C ,A) A C B.
Denition
Se numeste izometrie a planului P o aplicatie f : P P cuproprietatea
d (f (A), f (B)) = d(A,B), A,B P .
Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o
aplicatie bijectiva.
Geometria euclidiana (plana)
Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de
izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura
unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul
simplu al punctelor.
Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distantad : P P R :d(A,B) 0, A,B P; d(A,B) = 0 A = B;d(A,B) = d(B,A);d(A,B) d(A,C ) + d(C ,A), A,B,C P; d(A,B) =d(A,C ) + d(C ,A) A C B.
:szemletrSe numeste izometrie a planului P o aplicatie f : P P cuproprietatea
d (f (A), f (B)) = d(A,B), A,B P .
Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o
aplicatie bijectiva.
Grupul izometriilor
Theorem
Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu
compunerea functiilor.
Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal
O(2).
O(2) = {A M2
(R) | AAt = AtA = I2
}={A Gl(2,R) | A1 = At}Clasicare
Izometrii de specia I: translatia, rotatia
Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea
dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa
simetriei
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul izometriilor
Theorem
Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu
compunerea functiilor.
Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal
O(2).
Clasicare
Izometrii de specia I: translatia, rotatia
Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea
dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa
simetriei
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
istvanSor trlve
Grupul izometriilor
Theorem
Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu
compunerea functiilor.
Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal
O(2).
O(2) = {A M2
(R) | AAt = AtA = I2
}={A Gl(2,R) | A1 = At}Clasicare
Izometrii de specia I: translatia, rotatia
Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea
dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa
simetriei
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Izometriile planului
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Simetriile unei guri
Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G , se
poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura
xata F . Aceste automorsme se numesc simetrii ale guriirespective.
Denition
Fie F P o gura xata a planului P . Se numeste simetrie a luiF o izometrie a planului, f : P P , care invariaza gura F :f (F) = F .
Theorem
Multimea simetriilor gurii F P este un subgrup al grupuluiizometriilor planului P .
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Simetriile unei guri
Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G , se
poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura
xata F . Aceste automorsme se numesc simetrii ale guriirespective.
Denition
Fie F P o gura xata a planului P . Se numeste simetrie a luiF o izometrie a planului, f : P P , care invariaza gura F :f (F) = F .
Theorem
Multimea simetriilor gurii F P este un subgrup al grupuluiizometriilor planului P .
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupuri de simetrii
Grupurile de simetrii ale unor poligoane:
grupul lui Klein: grupul simetriilor unui dreptunghi diferit de
patrat
grupurile diedrale: grupul simetriilor unui poligon regulat
subgrupurile acestora formate din rotatii
Reciproc: dat un grup de simetrii, sa determinam un poligon
care sa aiba drept grup de simetrii pe cel initial
Determinarea tuturor grupurilor nite de simetrii: teorema lui
Leonardo
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul lui Klein
V
4
= {Id , a
, b
, O
}= < a
, O
= O,pi >
Id a
b
O
Id Id a
b
O
a
a
Id O
b
b
b
O
Id a
O
O
b
a
Id
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul simetriilor patratului
Notatii:
rotatia de centru O siunghi
pi2
simetria axiala in raportcu axa orizontala h
Sunt exact opt
simetrii
Putem genera toate
simetriile pornind de
la si
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul diedral D4
{Id , h
, r
, v
, l
, O,pi2
, O, 2pi2
= O
, O, 3pi2
}D4
={, 2, 3, 4 = Id , , 2, 3,
}
2 = 4 = Id
1 = 1 = 3 2 = 2 3 = r
= v
= 2 l
= 3
v
= 2 l
= 3
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul diedral D4
{Id , h
, r
, v
, l
, O,pi2
, O, 2pi2
= O
, O, 3pi2
}D4
={, 2, 3, 4 = Id , , 2, 3,
}
2 = 4 = Id
1 = 1 = 3 2 = 2 3 = r
= v
= 2 l
= 3
v
= 2 l
= 3
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul diedral D4
{Id , h
, r
, v
, l
, O,pi2
, O, 2pi2
= O
, O, 3pi2
}D4
={, 2, 3, 4 = Id , , 2, 3,
}
2 = 4 = Id
1 = 1 = 3 2 = 2 3 = r
= v
= 2 l
= 3
v
= 2 l
= 3
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul diedral D4
Compunerea dintre o simetrie axiala fata de dreapta d si o
rotatie cu centrul apartinand dreptei d este o simetrie fata de
o dreapta ce trece prin centrul rotatiei.
Deci , 2, 3 sunt simetrii fata de drepte ce trec prin O,deci sunt aplicatii involutive.
= ()1 = 11 = 3,
2 = (2)1 = 21 = 2,
3 = (3)1 = 31 = .
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul diedral D4
Id 2 3 2 3Id Id 2 3 2 3
2 3 Id 2 3
2 2 3 Id 2 3
3 3 Id 2 3 2
3 2 Id 3 2
3 2 Id 3 2
2 2 3 2 Id 3
3 3 2 3 2 Id
C4
={Id , , 2, 3
}=< > subgrupul rotatiilor
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul diedral D4
Id 2 3 2 3Id Id 2 3 2 3
2 3 Id 2 3
2 2 3 Id 2 3
3 3 Id 2 3 2
3 2 Id 3 2
3 2 Id 3 2
2 2 3 2 Id 3
3 3 2 3 2 Id
C4
={Id , , 2, 3
}=< > subgrupul rotatiilor
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Poligoane care au ca grup de simetrii C4
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul diedral D3
= h
= O, 2pi3
2 = 3 = Id
D3
={Id , , 2, , , 2
} = ()1 = 11 = 2
2 = (2)1 = 21 =
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul diedral D3
Id 2 2Id Id 2 2
2 Id 2
2 2 Id 2
2 Id 2
2 Id 2
2 2 2 Id
C3
={Id , , 2
}
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Poligoane cu C3
drept grup de simetrii
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul diedral D6
D6
={Id , 2, 3, 4, 5, , , 2, 3, 4, 5
}, = O,pi3
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Poligon cu grup de simetrii C6
C6
= {Id , 2, 3, 4, 5}
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul diedral Dn
si subgrupul rotatiilor Cn
Avand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf V
i
poate
dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului,
de exemplu V
k
. Atunci un varf vecin lui V
i
poate dus prin
acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui V
k
. Deci in
total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat
printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc
imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca
exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv.
Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam
cu simetria axiala in raport cu h si cu rotatia de centru O(centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor
sale de simetrie) si unghi orientat
2pin
.{Id , , 2, , n1, , 2, , n1} sunt 2n simetrii alepoligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In
consecinta Dn
=< , > si subgrupul rotatiilor sale estegrupul ciclic Cn
=< > de ordin n.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Grupul diedral Dn
si subgrupul rotatiilor Cn
Avand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf V
i
poate
dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului,
de exemplu V
k
. Atunci un varf vecin lui V
i
poate dus prin
acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui V
k
. Deci in
total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat
printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc
imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca
exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv.
Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam
cu simetria axiala in raport cu h si cu rotatia de centru O(centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor
sale de simetrie) si unghi orientat
2pin
.{Id , , 2, , n1, , 2, , n1} sunt 2n simetrii alepoligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In
consecinta Dn
=< , > si subgrupul rotatiilor sale estegrupul ciclic Cn
=< > de ordin n.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Dn
Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru
primele n linii folosim n = 2 = Id si ecare linie se obtinepractic din precedenta prin compunere la stanga cu .
Pentru linia corespunzatoare lui folosim faptul ca oricecompunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie
axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel,
(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.
Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtinecare din precedenta prin compunere la stanga cu .
D1
=< > e grupul simetriilor unui triunghi isoscelneechilateral, iar C1
= {Id}.D2
=< , O,pi = O >= V4, iar C2 = {Id , O,pi} e grupulsimetriilor unui paralelogram diferit de romb.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Dn
Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru
primele n linii folosim n = 2 = Id si ecare linie se obtinepractic din precedenta prin compunere la stanga cu .
Pentru linia corespunzatoare lui folosim faptul ca oricecompunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie
axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel,
(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.
Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtinecare din precedenta prin compunere la stanga cu .
D1
=< > e grupul simetriilor unui triunghi isoscelneechilateral, iar C1
= {Id}.D2
=< , O,pi = O >= V4, iar C2 = {Id , O,pi} e grupulsimetriilor unui paralelogram diferit de romb.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Dn
Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru
primele n linii folosim n = 2 = Id si ecare linie se obtinepractic din precedenta prin compunere la stanga cu .
Pentru linia corespunzatoare lui folosim faptul ca oricecompunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie
axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel,
(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.
Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtinecare din precedenta prin compunere la stanga cu .
D1
=< > e grupul simetriilor unui triunghi isoscelneechilateral, iar C1
= {Id}.D2
=< , O,pi = O >= V4, iar C2 = {Id , O,pi} e grupulsimetriilor unui paralelogram diferit de romb.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Dn
Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru
primele n linii folosim n = 2 = Id si ecare linie se obtinepractic din precedenta prin compunere la stanga cu .
Pentru linia corespunzatoare lui folosim faptul ca oricecompunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie
axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel,
(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.
Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtinecare din precedenta prin compunere la stanga cu .
D1
=< > e grupul simetriilor unui triunghi isoscelneechilateral, iar C1
= {Id}.D2
=< , O,pi = O >= V4, iar C2 = {Id , O,pi} e grupulsimetriilor unui paralelogram diferit de romb.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Teorema lui Leonardo
Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat:
Theorem
Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup desimetrii pe Dn
si respectiv pe Cn
.
Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al
unei guri plane este de tipul Dn
sau Cn
?
Hermann Weyl (1885-1955) arma in cartea Symmetry, Princeton
University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci (1452-1519) era
preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod
sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze
capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Teorema lui Leonardo
Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat:
Theorem
Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup desimetrii pe Dn
si respectiv pe Cn
.
Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al
unei guri plane este de tipul Dn
sau Cn
?
Hermann Weyl (1885-1955) arma in cartea Symmetry, Princeton
University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci (1452-1519) era
preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod
sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze
capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Teorema lui Leonardo
Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat:
Theorem
Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup desimetrii pe Dn
si respectiv pe Cn
.
Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al
unei guri plane este de tipul Dn
sau Cn
?
Hermann Weyl (1885-1955) arma in cartea Symmetry, Princeton
University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci (1452-1519) era
preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod
sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze
capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Teorema lui Leonardo
Theorem
Singurele grupuri nite de izometrii sunt Cn
si Dn
.
Corollary
(Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este Dn
sau Cn
.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Teorema lui Leonardo
Theorem
Singurele grupuri nite de izometrii sunt Cn
si Dn
.
Corollary
(Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este Dn
sau Cn
.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Theorem
Singurele grupuri nite de izometrii sunt Cn
si Dn
.
Demonstratie
Fie G un grup nit de izometrii ale planului P . Rezulta ca acestanu poate contine translatii sau compuneri de translatii cu simetrii
axiale, deoarece acestea ar genera un subgrup innit. In consecinta
G contine doar rotatii si simetrii axiale.Caz I Presupunem ca G contine doar rotatii:
G = C1
= {Id} A, G, A, 6= Id . In aceasta situatie demonstram catoate rotatiile sunt de centru A.
Pp prin reducere la absurd ca B, G cu A 6= B. Atunci
1B,
1A,B,A, G. Dar aceasta compunere de rotatiieste o translatie diferita de Id caci suma unghiurilor
orientate ale acestor rotatii este 0. Se contrazice astfel
ipoteza ca G e grup nit.
Deci n N : nA, = A,n G si 1A, = A, G. Astfel, toateelementele grupului pot scrise sub forma A, cu 0 2pi.Fie 0
valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei
rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca A, G, k N astfel incat = k0. Deci orice rotatie agrupului este de tipul A,k0
= kA,0
, pentru un anumit k natural,
deci este generata de A,0
. In concluzie
G =< A,0
>= Cm
, mA,0
= Id .
Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala.
Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar
compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia
I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza unsubgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz,
rezulta ca acest subgrup e de tipul Cn
= {Id , , , n1}. Ampresupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.
Deci n N : nA, = A,n G si 1A, = A, G. Astfel, toateelementele grupului pot scrise sub forma A, cu 0 2pi.Fie 0
valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei
rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca A, G, k N astfel incat = k0. Deci orice rotatie agrupului este de tipul A,k0
= kA,0
, pentru un anumit k natural,
deci este generata de A,0
. In concluzie
G =< A,0
>= Cm
, mA,0
= Id .
Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala.
Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar
compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia
I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza unsubgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz,
rezulta ca acest subgrup e de tipul Cn
= {Id , , , n1}. Ampresupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.
Presupunem ca G contine m 1 izometrii de specia a II-a.Deoarece , , 2, , n1 sunt izometrii de specia a II-a,rezulta ca m n.Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu ,dau m izometrii de specia I, deci m n. In concluziem = n OrdG = 2n siG = {Id , , , n1, , , 2, , n1}.Pentru n = 1 avem G =< >= D1
, iar pentru n > 1,k, k 1, n 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece princentrul A al rotatiei . Deci G = Dn
.
Presupunem ca G contine m 1 izometrii de specia a II-a.Deoarece , , 2, , n1 sunt izometrii de specia a II-a,rezulta ca m n.Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu ,dau m izometrii de specia I, deci m n. In concluziem = n OrdG = 2n siG = {Id , , , n1, , , 2, , n1}.Pentru n = 1 avem G =< >= D1
, iar pentru n > 1,k, k 1, n 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece princentrul A al rotatiei . Deci G = Dn
.
Bibliograe
1
Mircea Ganga, Manual Algebra clasa a XII-a, Mathpress,
Ploiesti, 2003
2
George E. Martin, Transformation Geometry, An Introduction
to Symmetry, Springer, 1982
3
Liviu Ornea, Adriana Turtoi, O introducere in geometrie,
Theta, Bucuresti 2011
4
Ioan Pop, Geometrie ana, euclidiana si proiectiva, Editura
Universitatii Al.I.Cuza, Iasi, 1999
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii