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Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton
Solución:
a)
Como k no depende de j, 2k es constante a la sumatoria.
b)
c)
d)
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
e)
f)
g)
h)
Las demás se resuelven de la misma forma.
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
Solución:
a)
b)
Como es una sumatoria telescópica se salva el primero y el último.
c)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno
en la variable dentro de la sumatoria.
Solución:
De esta sección solo realizare el primero, dada la simplicidad de los ejercicios.
Dado los valores del enunciado para .
Solución:
a)
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
e)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno
en la variable dentro de la sumatoria.
f)
g)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno
en la variable dentro de la sumatoria.
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
h)
i)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno
en la variable dentro de la sumatoria.
j)
k) J
Para la sumatoria que esta más a la derecha el 2 elevado a la i, es independiente de j.
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Solución:
Solución:
6) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( )nksksksks ++++++++ K32
116)12*104()10(
412
565
202
=+−=+−=∧=⇒
=+=+
ss
sk
ks
ks
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 6202
)110(101240
2
)110(1012)4(101032
10
1
10
1
=++−=+
++−=+=++++++++
∑
∑
=
=
i
i
iks
iksksksksks K
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7) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( )nksksksks ++++++++ K32
34
4
=+=+
nks
ks
( ) 2471
=+∑=
n
i
iks
Calculemos la sumatoria:
( ) ( )
( ) 4942
4942
2472
2472
1
2
2
1
=++=++
=++
=++=+∑=
kknsn
knknsn
nnksn
nnksniks
n
i
Ahora, sumemos las dos ecuaciones del enunciado.
382
34
4
=++=+
=+
knks
nks
ks
Reemplazando, ( ) 1349438 =⇒= nn
8) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( )nksksksks ++++++++ K32
( )
( ) 2700
200
100
51
50
1
=+
=+
∑
∑
=
=
i
i
iks
iks
Calculemos la sumatoria:
( ) ( )
200127550
2002
1505050
50
1
=+
=++=+∑=
ks
ksiksi
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
( ) ( ) ( )
( )
( )
29005050100
29002
1100100100
2900
2700
100
1
200
50
1
100
1
100
51
=+
=++
=+
=+−+=+
∑
∑∑∑
=
=
===
ks
ks
iks
iksiksiks
i
iii43421
Tomado las dos ecuaciones;
200127550 =+ ks (1)
29005050100 =+ ks (2)
2*(1) - (2) ( ) 40029001275*25050 −=− k
( )5,211
25002500
=⇒==sk
k
9) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( )nksksksks ++++++++ K32
( )
( )3
360000
360000
40
31
40
1
=+
=+
∑
∑
=
=
i
i
iks
iks
Calculemos la sumatoria:
( ) ( )
36000082040
3600002
1404040
40
1
=+
=++=+∑=
ks
ksiksi
( ) ( ) ( )
( )
24000046530
1200002
1303030360000
12000030
1
360000
40
1
40
31
−=−−
=
++−
=+−+=+ ∑∑∑===
ks
ks
iksiksiksiii
43421
Tomado las dos ecuaciones;
36000082040 =+ ks (3)
24000046530 =+ ks (4)
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3*(3) –4* (4) ( ) 240000*4360000*3465*43*820 −=− k
( )4900200
120000600
=⇒==
sk
k
10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( )
−−==++++
+
=∑
r
raraararara
nn
i
in
1
11
0
2K
4
729
54
6
3
=
=
ar
ar
Resolviendo:
( )
162
3
4
72954
4
72954
54
3
63
3
=⇒=
=
=
=
−
−
ar
r
rr
ra
∑∑==
=n
i
in
i
ira
00 2
316
Solución:
Considere que,
Para r<1.
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Ahora, debemos calcular:
Solución:
10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( )
−−==++++
+
=∑
r
raraararara
nn
i
in
1
11
0
2K
320
40
6
3
=
−=
ar
ar
Resolviendo:
( )
52
8
32040
32040
40
3
3
63
3
=⇒−=−=
=−
=−
−=−
−
ar
r
r
rr
ra
El décimo termino es igual a ( ) 25602*599 −=−=ar
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( ) ( ) ( )( )1
1
00
213
5
21
21525
++
==−−=
−−−−=−= ∑∑ n
nn
i
in
i
ira
Solución:
Usando que,
Simplificar y calcular.
Resolveremos los más difíciles, pues en los demás se puede utilizar la calculadora
facilmente.
Pero sabemos que,
Ahora, restemos a la ultima ecuación los terminos que no estan en la primera sumatoria.
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Resover (ultimo),
Si consideramos, a=2 y b=1
La unica diferecia con nuestra primera ecuación, es que una parte desde 1 y la otra
desde cero. Consideremos la ultima ecuación y separemos el primer termino.
Solución:
a)
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Solución:
a)
( )
kx
kk
k kxx
kkx
kx
k
k kxx
kxk
x
k kxx
+−∑=
=
+
−−∑=
=
+
−
∑
=
=
+
7732
7
0
772
23
73
722
7
0
772
23
732
27
0
772
23
Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al 11
x , basta igualar el
exponente del k
x+7
a 11.
4
117
==+
k
k
Entonces, para 4=k encontraremos el coeficiente que acompaña a 11
x .
33
42
4
7
1133
42
4
747473
42
4
7
=
=+−
Coef
xx
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b)
3254
272
27
0
2727
2
23
2543272
27
0
2727
2
23
272
23127
0
2727
2
23
kkx
k
k kx
x
kx
k
xk
k kx
x
kx
k
x
k kx
x
++−−∑=
=
+
+−−∑=
=
+
−
−
∑=
=
+
3754
272
27
0
2727
2
23k
xk
k kx
x+−−∑
=
=
+
Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al 2
x , basta igualar el
exponente de 3754 k
x+−
a 2.
24
23
754
=
=+−
k
k
Entonces, para 24=k encontraremos el coeficiente que acompaña a 2
x .
32
24
27
324*754
24272
24
27
=
+−−
Coef
x
c) Es análogo a los dos anteriores.
d)
( )
( ) kxk
r
k k
rrx
krk
xr
k k
rrx
21
4
0
442
1
412
4
0
442
1
−∑=
=
−
−
−∑
=
=
−
Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al r
x2
, basta igualar el
exponente de k
x2
a 2r.
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rk
rk
== 22
Entonces, para rk = encontraremos el coeficiente que acompaña a r
x2
.
( )
( )rr
rCoef
rxr
r
r
14
21
4
−
=
−
19. Encuentre los términos centrales en el desarrollo de
a) 10
63
−a
a
( )
( )
( ) ka
kk
k kaa
kka
kak
k kaa
ka
k
ak kaa
2101036
10
0
10106
3
103
106
10
0
10106
3
103610
0
10106
3
−−−∑=
=
−
−−−−∑=
=
−
−
−∑=
=
−
Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio 10
63
−a
a ,
basta tomar el 5=k , pues la sumatoria va desde 0 a 10 siendo el termino central el
5=k .
Entonces, el término central es igual a:
( ) ( ) ( ) ( )5185
105185
105356
5
1010*210510356
5
10
−=−
=−
=−−−
a
b)
5
2
5
5
4
−x
x
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kx
kk
k kx
x
kx
kk
x
k
k kx
x
kx
k
xk kx
x
255
5
4
2
55
0
55
2
5
5
4
55
5
4
2
55
0
55
2
5
5
4
5
5
4
2
55
0
55
2
5
5
4
−−
−∑=
=
−
−−
−
−∑=
=
−
−
−∑=
=
−
Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio
5
2
5
5
4
−x
x,
basta tomar el 2=k y el 3=k , pues la sumatoria va desde 0 a 5 existiendo dos
términos centrales, debido a que son 6 términos los del desarrollo.
Entonces, el
término central
es igual a:
c) ( )24xbxa −+− , con ba <<0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) kxb
kxa
k kxbxa
kxb
kxa
kk
xbxa
−−−∑=
=−+−
−−−∑=
=−+−
2424
0
2424
2424
0
2424
Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio
( )24xbxa −+− , basta tomar el 12=k , pues la sumatoria va desde 0 a 24 siendo
el termino central el 12=k .
Entonces, el término central es igual a:
110
3
5
5
24
2
5
12
5
43
2
5
3
53
5
42
2
5
2
5
3*2535
5
43
2
5
3
52*2525
5
42
2
5
2
5min
−
−
=
−
−
=
−−
−
+−−
−
=
xx
xx
xxoTer
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( ) ( )
( ) ( )66
12
24
122412
12
24min
xbxa
xbxaoTer
−−
=
−−−
=
20. Encontrar el término independiente de x en el desarrollo.
a)
9
3
1
2
23
−
x
x
kx
k
kk
kx
x
kx
k
kk
x
k
kx
x
k
kx
k
xkx
x
3189
0
9
2
3
3
199
3
1
2
23
2189
0
9
2
3
3
199
3
1
2
23
9
0
9
2
23
3
199
3
1
2
23
−∑=
−
−
=
−
−∑=
−
−
−
=
−
∑=
−
−
=
−
Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio
9
3
1
2
23
−
x
x,
basta igualar a cero el exponente de k
x318−
, pues el termino independiente de x esta
elevado a la cero.
6
0318
==−
k
k
Entonces, el término independiente es:
3
36
696
6
1
6
9
2
3
3
1
6
9
6*318
2
3
3
1
6
9depen)Termino(in
=
=
−
−
=
−
x
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
a)
n
x
x
3
2
1
−
( )
( )
( )∑=
−−
=
−
∑=
−−−
=
−
∑=
−
−
=
−
n
k
knxk
k
nn
x
x
n
k
knx
kxk
k
nn
x
x
n
k
knx
k
xk
nn
x
x
3
0
331
33
2
1
3
0
321
33
2
1
3
0
32
133
2
1
Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio
n
x
x
3
2
1
− ,
basta igualar a cero el exponente de kn
x33 −
, pues el termino independiente de x esta
elevado a la cero.
nk
kn
==− 033
Entonces, el término independiente es:
( )
( )n
nnn
n
n
xn
n
13
13
depen)Termino(in33
−
=
−
= −
21. Calcular el valor numérico del término independiente de x.
n
x
xx
3
2
12
653
−
+
Solución:
( )
( )
( ) ( )∑=
−−
+∑
=+−−
=
−
+
∑=
−−−
+=
−
+
∑=
−
−
+=
−
+
n
k
knxk
k
nn
k
knxk
k
nn
x
xx
n
k
knx
kxk
k
nx
n
x
xx
n
k
knx
k
xk
nx
n
x
xx
3
0
3312
33
0
653313
33
2
12
653
3
0
321
32
653
3
2
12
653
3
0
32
132
653
3
2
12
653
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio
n
x
xx
3
2
12
653
−
+ , basta igualar a cero el exponente de
6533 +− knx y el de
knx
33 −, pues por cada sumatoria podría existir un termino independiente de x.
Para la primera sumatoria:
3
65
06533
+=
=+−
nk
kn
Como el k no es un número entero positivo, implica que ese término no existe.
Para la segunda sumatoria:
nk
kn
==− 033
Entonces, el término independiente es:
( )
( )n
nnn
n
n
xn
n
123
123
depen)Termino(in33
−
=
−
= −
Es decir, la primera sumatoria no aporta nada.
22. Calcular el coeficiente de 2−
x en el desarrollo de x:
28
2
122
−
x
xx
( )
( )
( )∑=
−−
=
−
∑=
−−
=
−
∑=
−−−
=
−
∑=
−
−
=
−
28
0
4581
2828
2
122
28
0
4561
28228
2
122
28
0
25621
28228
2
122
28
0
282
2
128228
2
122
k
kxk
kx
xx
k
kxk
kx
x
xx
k
kx
kxk
kx
x
xx
k
kx
k
xkx
x
xx
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
Como nos piden encontrar el coeficiente de 2−
x del binomio 28
2
122
−
x
xx , basta
igualar a -2 el exponente de k
x458−
, lo que permitirá conocer el k necesario para
encontrar el coeficiente
15
2458
=−=−
k
k
Entonces, el coeficiente de 2−
x
( )
−=
−=
−
=
−
−
15
28
15
28
115
28min
2
15*45815
Coef
x
xoTer
23. Determinar el valor de a para los coeficientes de 7
x y 6
x en el desarrollo de:
( ) ( )325 axax −+ sean iguales.
Solución:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
∑=
−
−∑
=−+
+∑
=−+
−∑
=−+
=
∑=
−
−∑
=−
+∑
=−
−∑
=−
=
∑=
−
−+−=−+
∑=
−
−=−+
5
0
858
5
0
71512
5
0
6256
5
0
535
5
0
558
5
0
5512
5
0
556
5
0
55
5
0
5538
212
26
3325
5
0
5532325
3223
k
ka
kx
kk
ka
kx
kk
ka
kx
kk
ka
kx
k
k
ka
kx
ka
k
ka
kx
kxa
k
ka
kx
kax
k
ka
kx
kx
k
ka
kx
kaxaaxxaxax
k
ka
kx
kaxaxax
- Tenemos cuatro sumatoria que nos aportaran coeficientes para 7
x y 6
x .
- Como nos piden encontrar el coeficiente de 6
x del binomio ( ) ( )325 axax −+ , basta
igualar a 6 el exponente de 3+k
x , 2+k
x , 1+k
x y k
x , lo que permitirá conocer el k
necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria:
Primera sumatoria:
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
3
63
==+
k
k
2
3
535
3
5
1aaCoef
=−
=
Segunda sumaria
4
62
==+
k
k
2
4
56
46
4
56
2aaCoef
−=−
−=
Tercera sumaria
5
61
==+
k
k
2
5
512
57
5
512
3aaCoef
=−
=
Cuarta sumaria
6=k
No aporta nada, debido a que el mayor valor que puede tomar k es 5.
28
212
230
210
2
5
512
2
4
56
2
3
5
321
6
6
6
6
aCoef
aaaCoef
aaaCoef
CoefCoefCoefCoef
−=
+−=
+
−
=
++=
- Como nos piden encontrar el coeficiente de 7
x del binomio ( ) ( )325 axax −+ , basta
igualar a 7 el exponente de 3+k
x , 2+k
x , 1+k
x y k
x , lo que permitirá conocer el k
necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria:
Primera sumatoria:
4
73
==+
k
k
aaCoef
=−
=
4
545
4
5
1
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
Segunda sumaria
5
72
==+
k
k
aaCoef
−=−
−=
5
56
56
5
56
2
Tercera sumaria
6
71
==+
k
k
No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5.
Cuarta sumaria
7=k
No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5.
aCoef
aaCoef
aaCoef
CoefCoefCoef
−=−=
−
=
++=
7
7
7
7
65
5
56
4
5
21
Ahora, igualando el 7Coef a 6Coef .
( ) 018
82
76
=−−=−
=
aa
aa
CoefCoef
Es decir, para 8
10 21 =∧= aa los coeficientes de
7x y
6x son iguales.
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
24. Hallar el coeficiente de 7
x en el desarrollo de: ( )n
xx32
1 −−
Desarrollo:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ik
i
kn
k
kn
ik
i
kn
k
kn
kkn
k
kn
n
k
knkn
xi
kx
k
nxx
xi
kx
k
nxx
xxk
nxx
xxk
nxx
∑∑
∑∑
∑
∑
==
==
=
=
−
−
=+−
−
=+−
+−
=+−
+−
=+−
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
22
111
111
1111
1111
Para la sumatoria que depende de i, los términos que dependen de k son constantes.
Como nos piden encontrar el coeficiente de 7
x del polinomio ( )n
xx32
1 −− , basta
igualar a 7 el exponente de ik
x+2
, de esa manera conoceremos los posibles valores que
pueden tomar k e i.
72 =+ ik
Con las siguientes restricciones,
nki ≤≤≤0
Ahora,
⇒⇐=⇒= 70 ik Debido a que ki ≤
⇒⇐=⇒= 51 ik Debido a que ki ≤
⇒⇐=⇒= 32 ik Debido a que ki ≤
13 =⇒= ik Este caso cumple con nki ≤≤≤0
⇒⇐−=⇒= 14 ik Debido a que nki ≤≤≤0
Luego, la única solución es con 13 =⇒= ik
( )( ) ( )∑∑=
+
=
−
=+−
n
k
ikk
i
kn
xi
k
k
nxx
0
2
0
2111
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
( )
−=
−
=
1
3
3
11
3
3
3
ncoef
ncoef
25.
i) ∑=
⋅
144
0
144
k kk
Desarrollo:
( )
423423
0
423423
0
423423
0
423
0
2423
11423
11423423
=
+=
=
∑
∑
∑∑
=
=
−
==
k
k
kk
kk
k
k
kk
ii) ( )∑=
−
1012
0
10121
k
k
k
Desarrollo:
( ) ( )
( ) ( )
( ) 01012
1
111012
1
1110121012
1
1012
0
10121012
0
10121012
0
1012
0
=
−
−=
−
−
=
−
∑
∑
∑∑
=
=
−
==
k
k
k
k
kk
kk
k
k
k
kk
iii) ∑=
⋅
144
0
144
k kk
Desarrollo:
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∑
∑
∑
∑∑
=
=
=
==
+−⋅−=
−+−⋅−=
−⋅−=
−⋅⋅=
⋅
144
1
144
1
144
1
144
1
144
1
1143!1
!144
11144!1
!144
144!1
!144
144!
!144144
k
k
k
kk
kk
kk
kk
kkk
kk
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
−=
−−⋅−=
−−⋅−⋅=
−−⋅−=
144
1
144
1
144
1
144
1
1
143144
1143!1
!143144
1143!1
144!143
1143!1
!144
k
k
k
k
k
kk
kk
kk
( )143
143
143143
0
143
0
2144
11144
11143
144
143144
143
143
142
143
2
143
1
143
0
143144
⋅=
+⋅=
⋅⋅
=
=
+
++
+
+
⋅=
−
=
=
∑
∑
kk
k
k
k
k
K
iv) ( )( )∑=
⋅
++
1998
0
1998
21
1
k kkk
Desarrollo:
Multiplicaremos por 1, para reordenar la combinatoria.
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
∑
∑
∑
∑
∑
∑∑
=
=
=
=
=
==
+⋅=
+−⋅+⋅=
+−−⋅+⋅=
⋅−⋅+=
⋅⋅
−⋅⋅
++=
⋅⋅
⋅
++=
⋅
++
1998
0
1998
0
1998
0
1998
0
1998
0
1998
0
1998
0
2
2000
20001999
1
!22000!2
!2000
20001999
1
!221998!2
!2000
20001999
1
20001999
1
!1998!2
!2000
20001999
20001999
!1998!
!1998
21
1
20001999
200019991998
21
11998
21
1
k
k
k
k
k
kk
k
kk
kk
kk
kkkk
kkkkkk
+
++
+
+
+
⋅=
2000
2000
1999
2000
5
2000
4
2000
3
2000
2
2000
20001999
1K
Ahora, sumemos cero dentro del paréntesis.
−
−
⋅=
−
−
+
++
+
+
⋅=
−
+
−
+
++
+
⋅=
∑=
=
=
1
2000
0
20002000
20001999
1
1
2000
0
2000
2000
2000
1999
2000
2
2000
1
2000
0
2000
20001999
1
1
2000
1
2000
0
2000
0
2000
2000
2000
3
2000
2
2000
20001999
1
2000
0
0
0
k k
K
44 344 21
44 844 76
K
( )
[ ]2001220001999
1
1
2000
0
20002
20001999
1
1
2000
0
200011
20001999
1
1
2000
0
200011
2000
20001999
1
2000
2000
2000
20002000
0
−⋅
=
−
−
⋅=
−
−+
⋅=
−
−⋅
⋅= −
=∑ kk
k k
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
26. Determine:
i) 7a en nnan
k
k 62
1
+=∑=
Desarrollo:
Partamos con algo conocido,
( )
nnk
nnk
n
k
n
k
+=
+=
∑
∑
=
=
2
1
1
2
2
1
Sumemos a toda la ecuación 5n.
nnk
nnk
nnk
nnnnk
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
652
652
6152
552
2
1
2
11
2
11
2
1
+=+
+=+
+=+
++=+
∑
∑∑
∑∑
∑
=
==
==
=
Por enunciado,
19
52
652
7
1
2
1
=+=
=+=+ ∑∑==
a
ka
annk
k
n
k
k
n
k
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
ii) 7t en
723
+y
xx
3
7
77
772
7
31
7
7
723
17
7
0
723
17
0
77
23
xty
xxt
k
y
x
k
xk
t
kkt
k
y
x
k
x
k ky
xx
k
=⇒−
=
−
=
∑=
=−
∑=
=
+
iii) 5t en
20
23
2
5
34
+
x
x
15
115
3
25
5
4
5
20
520
23
25
5
34
5
20
20
23
2
5
3420
20
0
20
23
2
5
3420
0
2020
23
2
5
34
5
5
x
t
x
xt
k
x
kx
kt
kkt
k
x
kx
k kx
x
k
=
−
=
−
=
∑=
=−
∑=
=
+