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Guía 71: Información de varios pasos
CH-FyA-0487
2
Guía
71 Meta 24
GRADO 7
GUÍA DEL ESTUDIANTE
INFORMACIÓN DE VARIOS
PASOS: ÁRBOLES DE CONTEO
Y EVENTOS COMPUESTOS
3
Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas
Fe y Alegría Colombia
Fe y Alegría Colombia
Víctor Murillo
Director Nacional
Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
Jaime Benjumea - Marcela Vega
Autores de la guía 71
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
Coordinación pedagógica
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
GRUPO LEMA www.grupolema.org
Revisores
Jaime Benjumea
Francy Paola González Castelblanco
4
Guía
71 GRADO 7
INFORMACIÓN DE VARIOS PASOS: ÁRBOLES DE CONTEO Y EVENTOS COMPUESTOS
GRADO 7 - META 24 - PENSAMIENTO ALEATORIO
Guía 70
(Duración 13 h)
• Población y variable estadística
• Muestras representativas y no
representativas
• Partición e intervalos
• Histogramas
• Polígonos de frecuencia
• Máximos y mínimos en gráficas de
línea
• Tendencias de cambio
Guía 71
(Duración 13 h)
ACTIVIDAD 1
• Conteo usando árboles
• El principio de multiplicación para
conteos
ACTIVIDAD 2
• Experimentos multi-paso
• Eventos simples y eventos
compuestos
• Probabilidad de un evento
Guía 72
(Duración 13 h)
• Análisis de histogramas
• Medidas de tendencia en datos
agrupados
• Análisis de juegos de probabilidad
• Juegos justos y sesgados
• Simulación de experimentos
aleatorios mediante juegos
META DE APRENDIZAJE N. 24
Analizo muestras representativas de poblaciones de variables como frecuencias de lectura, gastos en la
canasta familiar, entre otras, usando tablas de frecuencias, histogramas, polígonos de frecuencias y otras
representaciones donde agrupo datos; calculo medidas de tendencia central (moda, mediana y promedio).
Hallo la probabilidad de un evento compuesto en experimentos de uno o más pasos, la represento con ayuda
de tablas y diagramas de árboles, y la expreso como fracción, decimal o porcentaje. Así, aprendo a generar
nueva información general a partir de información simple y cotidiana.
PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 71: ● ¿Cómo puedo contar objetos que se construyen tomando varias decisiones? ¿Qué operaciones nos sirven para
esto? ● ¿Cómo se relaciona un árbol de conteo con una tabla? ● ¿Qué es un experimento multi-paso? ¿Cómo se ve el espacio muestral? ● ¿Cómo puedo calcular la probabilidad de un evento, ya sea simple o compuesto?
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 71
● Comprendo qué representa un diagrama de árbol ● Interpreto una situación de conteo usando un diagrama de árbol ● Comprendo y uso el principio de multiplicación para contar cosas ● Entiendo la diferencia entre un evento nulo, simple y compuesto ● Describo eventos en palabras, dado un experimento de azar ● Reconozco probabilidades en experimentos de un solo paso ● Razono para hallar probabilidades en experimentos multi-paso
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GUÍA 71
GRADO 7
ACTIVIDAD
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ACTIVIDAD 1: CONTEMOS USANDO ÁRBOLES
Aprendamos a representar formas de hacer cosas usando árboles y utilicemos los árboles para
contar de cuántas formas podemos hacer algo, usando sumas, restas y multiplicaciones.
A) Activando saberes previos: diagramas de árboles
RECUERDA QUE...
● Un DIAGRAMA DE ÁRBOL (o simplemente ÁRBOL) es una forma de representar distintas opciones
o decisiones, y nos sirve para representar objetos o formas de hacer alguna cosa, viéndolas todas de
forma organizada.
○ El árbol tiene un NODO (punto) inicial (su raíz) y luego se abre en ramas.
○ Un árbol DE 1 PASO solo tiene un nivel de ramificación. Un árbol MULTI-PASO es uno
donde, cada rama se puede abrir en más ramas. Es decir, hay por al menos 2 pasos de
ramificación.
■ Cada ramificación representa una decisión en el proceso.
○ Los NODOS FINALES son los que representan los objetos que queríamos contar.
○ Al contar usando un árbol, MULTIPLICAMOS las opciones en cada ramificación.
PRACTICA
i) Clasifica cada árbol según sea de 1
PASO o MULTI-PASO, y cuenta sus
nodos finales:
ii) Para viajar de un lugar a otro puedes hacerlo a
pie, en bicicleta, en autobús o en motocicleta. Dibuja un
árbol de 1 paso que represente estas opciones.
iii) Para viajar de un lugar a otro puedes hacerlo a
pie, en bicicleta o en autobús.
● Si decides viajar en bicicleta, puedes usar la tuya o
la de tu tía.
● Si decides viajar en autobus, tienes 3 buses
distintos posibles.
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GUÍA 71
GRADO 7
ACTIVIDAD
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Dibuja un árbol que represente estas opciones. ¿Cuántas
opciones hay en total: ¿5, 6, 8, 18? El árbol que dibujaste
es multi-paso. ¿Por qué?
(Verifica las respuestas con tu profesor)
B) Conceptos: usando árboles para contar
Exploremos: ¿Cuántos menús?
Estás conformando un restaurante de comidas deliciosas y saludables para mejorar la nutrición de la gente
en tu comunidad.
● Para el plato principal cuentas con 4 opciones: tilapia, garbanzo, lentejas o pollo.
● Para la bebida tienes 2 opciones: limonada o jugo de fresa.
● Para el postre tienes 2 opciones: pan de banano o galleta de avena.
Un menú consiste en elegir una opción de plato principal, una bebida y un postre. Queremos
visualizar y contar todos los menús que se pueden hacer. Para eso representas los menús con
una tabla y también con un árbol, de la siguiente forma:
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El árbol ejemplifica la representación de este menú: “garbanzo, jugo de fresa, galleta de avena”. En la
tabla la ves como una casilla triangular; en el árbol, como una rama completa (que tiene 3 troncos).
Al contar, ya sea en la tabla o en el árbol, descubres que hay 16 menús distintos para elegir. Esto es porque
las elecciones de plato fuerte, bebida y postre pueden ser tomadas una sin depender de la otra, y 16 = 4 ×
2 × 2 (o 2 × 4 × 2, según el árbol).
Cada RAMA COMPLETA desemboca en un NODO FINAL que representa un menú distinto. Por ejemplo, la
rama de más arriba corresponde a este menú: jugo de limonada con pescado con galleta de avena.
Analicemos más a fondo la situación, respondiendo algunas preguntas:
1. ¿Qué pasa si un día no hay limonada sino solo jugo de fresa? ¿Cuántos menús habrían?
R: Mirando la tabla o el árbol, nos quedaríamos con solo la mitad de opciones.
Habría 8 menús. Verifícalo contando los menús.
2. ¿Qué sucede si, para cuidar del azúcar, no se pudiera elegir menús con jugo de fresa y pan de
banano? ¿Cuántos menús habrían?
R: Mirando el árbol, contamos las ramas completas que tengan jugo de fresa y
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GUÍA 71
GRADO 7
ACTIVIDAD
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banano. Hay 4. Así, habrá 12 menús (pues 16 − 12 = 4). También lo puedes ver usando
la tabla.
3. Si el restaurante NO ofreciera postre, ¿cuántos menús habrían?
R: basta pensar en el árbol pero sin la última ramificación. Vemos que hay 8
menús, si no incluimos la opción del poste. (Mira el árbol a la derecha).
4. Si un cliente es vegetariano, ¿cuántos menús puede elegir?
R: Podemos responder pensando en las multiplicaciones. Como ahora solo hay
2 opciones para el plato principal (garbanzos, lentejas), entonces hay solo 2
× 2 × 2 = 8 menús. Verifícalo mirando la tabla.
5. Supongamos que llega un nuevo sabor de jugo (mandarina). ¿Ahora cuántos
menús habrá?
R: imaginamos ahora un árbol que abre primero en 3 ramas, luego en 4 y
finalmente en 2. NO lo necesitamos dibujar. Contar las ramas completas es
sencillo: multiplicamos 3 × 4 × 2 = 24 menús.
Usando la tabla, lo que haríamos es añadir una nueva fila, luego el menú crece
en un 50%, pasando de 16 a (150%) × 16 = (3/2) × 16 = 24.
Responde:
a) Además del árbol y la tabla, ¿se te ocurre otra representación para el número de menús? ¡Sé creativo!
b) ¿El árbol que hicimos es el único posible? Se te ocurre algún otro que sea equivalente y represente lo
mismo? Dibújalo usando letras para abreviar los ingredientes y sabores.
c) Un amigo dice que el número de menús en realidad es 2 + 4 + 2 = 8. ¿En qué caso sería correcto esto?
¿Qué tendríamos que cambiar en la situación?
d) ¿Se te ocurre cómo hacer para que haya exactamente 27 menús? ¿Qué debemos cambiar?
MINI-EXPLICACIÓN: Conteo usando árboles
CONTEO USANDO
ÁRBOLES
Y
EL PRINCIPIO DE
MULTIPLICACIÓN
Supongamos que vamos a crear (en la realidad o mentalmente) objetos, y cada
objeto lo podemos construir en varios pasos, tomando una serie de decisiones, con
una o varias opciones por cada decisión o paso. Entonces:
• Podemos representar el proceso de construcción del objeto usando un árbol.
• El árbol tiene un nodo inicial llamado raíz.
• Cada paso de ramificación representa una decisión.
• Cada nodo final (o cada rama completa que va de la raíz del árbol hasta ese
nodo) representa un único objeto construido.
• PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN (O PRODUCTO): el número de objetos es
igual al producto de los números de opciones de cada paso.
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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A veces nos interesa contar cuántos de los objetos tienen cierta condición, y
podemos usar el árbol para razonar y encontrar la respuesta, usando sumas,
restas, multiplicación y división, de manera flexible.
POR
TURNOS Describamos menús y conjuntos de menús
Formen grupos de 4 estudiantes. Vamos a trabajar en una situación similar a la anterior, pero con otro
restaurante Esta vez hay:
● 3 platos principales: sopa, ensalada y atún.
● 2 bebidas: limonada y agua de jamaica.
● 2 opciones de postre: flan y dulce de papayuela.
Cada menú consta de una única elección de cada una de
las anteriores. Veamos un árbol posible:
i) Cada persona crea un
nuevo árbol en una hoja
(arráncala de tu
cuaderno), que
represente la misma
situación (p. ej, se
podría comenzar por
seleccionar el postre).
Hablen primero para
asegurarse de no
dibujar el mismo árbol.
ii) Compartan
y entiendan
sus árboles.
Discutan si
faltan
árboles (y
cuál o cuáles),
pero no los
dibujen.
iii) Por turnos
En cada turno:
• Una persona piensa en un
menú y lo dice en voz alta
(ej: Sopa con agua con flan).
• Las demás personas
señalan ese menú en sus
árboles y revisan las
respuestas.
(Mínimo 2 turnos por persona)
iv) Por turnos
En cada turno:
• Una persona piensa en un
conjunto de menús con una
propiedad y lo dice en voz alta
(ej: menús que tienen flan).
• Las demás personas señalan
cómo ver ese conjunto en sus
árboles y revisan las respuestas.
(Mínimo 2 turnos por persona)
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ACTIVIDAD
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Ejemplo: diseñemos un juego
Laura quiere diseñar un juego de mesa.
● Quiere que el número de jugadores sea siempre igual, y que sea 5, 6, 7 u 8 jugadores.
● Quiere elegir un tema para su juego, de los siguientes:
Energías
renovables
Economía
colaborativa
Viajes por
Colombia
Viajes por
Perú
Viajes por
Ecuador
● Quiere escoger uno de estos 3 métodos para moverse en el tablero:
(i) con dados, (ii) con cartas, o (iii) los jugadores deciden cuánto moverse en cada turno.
El orden en que ella decida estos 3 aspectos no importa. Es decir, no hay incidencia entre ellos.
a) Cuántos juegos de mesa puede diseñar Laura?
R: Utilizando el principio de multiplicación, y dado que las decisiones no dependen entre sí (por ejemplo, el
tema no depende del número elegido de jugadores, sabemos que hay 4 × 5 × 3 = 60 posibles juegos.
b) Cuántos juegos hay para 6 jugadores?
R: Por el principio del producto, y como
ahora solo hay una posible elección para el
# de jugadores, hay 1 × 5 × 3 = 15 juegos.
Esto es 1/4 del total inicial de juegos
(¡piensa por qué!).
Otra forma de entender esto: ya NO tenemos que decidir sobre el # de jugadores, es decir, ahora solo
hay dos decisiones. Entonces hay 3 × 5 = 15 juegos de los que queremos hacer.
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ACTIVIDAD
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c) ¿Cuántos juegos en donde haya azar podemos crear?
R: Revisemos el aspecto del método: hay 3 opciones, 2 de las cuales (dados, cartas) son de azar.
Entonces por el principio del producto, hay 4 × 5 × 2 = 40 juegos. Observa que esto es igual a 2/3 del
total original de juegos.
Otra manera de razonar: De todos los juegos, 1/3 son de dados, 1/3 de cartas y 1/3 no de azar. Esto lo
podemos ver si armamos el árbol comenzando con el método. Por ende, hay 20 + 20 = 40 juegos con azar.
60 juegos en total
1/3
1/3
1/3
d) ¿Cuántos juegos que NO sean de viajes podemos crear?
R: Revisemos el aspecto del tema: hay 5 opciones, 3 de las cuales son de viajes. Entonces por el principio
del producto, hay 4 × 2 × 3 = 24 juegos.
e) ¿Cuántos juegos que sean de viaje y de azar (al tiempo) hay?
R: Por el principio del producto, hay 4 × 3 × 2 = 24 juegos. (Hemos usado que hay 3 opciones para tema
de viaje, y 2 opciones para método de azar).
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ACTIVIDAD
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Completa este ejemplo: Capas y máscaras
Supongamos que para disfrazarnos tenemos 12 opciones para la
máscara y 3 opciones para la capa. Además, podemos elegir no usar
capa, pero queremos siempre elegir máscara.
De las 12 máscaras, 6 son verdes, 3 son azules claras y 3 son azules
oscuras.
a) Por cada máscara que elijamos tenemos 4 opciones para la capa:
capa#1, capa#2, capa#3 y NO capa. Según esto, ¿de cuántas formas
podemos disfrazarnos? Haz un árbol de todas las elecciones (¡es un
árbol gigante!)
b) Si elimináramos una de las máscaras como opción, entonces
quitaríamos 4 opciones para disfrazarnos, quedando con 44.
Si elimináramos una de las capas como opción, ¿cuántas opciones quitaríamos para disfrazarnos? Táchalas
de tu árbol para entender más el proceso.
c) Completa la siguiente tabla.
Recuerda: hay 12 máscaras (obligatorio usar) y 3 capas (opcional).
Distribución de máscaras: 6 verdes, 3 azules claras y 3 azules oscuras.
Formas de disfrazarme con la siguiente
condición:
Multiplicación
(opciones máscara × opciones capa)
Total
Uso la capa #1 12 × 1 12
Uso la capa #3 12
No uso capa
Uso una de las 7 máscaras de gato que hay 28
Uso una máscara verde
Uso una máscara azul clara
Uso una máscara azul
Uso una máscara que no sea azul oscura
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Uso la capa #2 y una máscara verde 6
1-2-4: Tu turno (individual, en parejas y después en grupos de 4)
Individualmente elige una situación en donde tengas que contar cosas usando un árbol. Dibuja el
árbol en una hoja separada y explica algunas de sus ramas completas. Incluye otra información
que quieras y te parezca importante.
Comparte tu árbol con otro estudiante. Intercambien los árboles. Ahora tú estarás a cargo de
explicar lo que hizo tu compañero.
Júntense con otra pareja y compartan sus árboles, dándose retroalimentación. ¡Debes exponer
las ideas de tu compañero! (A ver si realmente las entendiste). Finalmente, busquen a su
profesor para dialogar y compartir sus creaciones, aclarando los conceptos.
Finalmente utilicen la brújula
para evaluar cómo les fue con
esta tarea (la pueden usar
durante la socialización o al
final).
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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C) Resuelve y practica
1) Dibuja todos los árboles que puedas que tengan
8 nodos finales y escribe a 8 como el producto de
las opciones en cada paso del árbol.
Aquí hay un ejemplo (4 × 2 = 8):
2) Quieres crear un personaje para un cuento que
vas a escribir. Para el nombre tienes las siguientes
posibilidades: Alina, Darcy o Gabriela.
Para el apellido: Borges, Estupiñán, Zárate.
a) Haz el árbol de posibilidades y cuenta cuántas
hay. Elige tu favorita.
b) Si eliminamos a Gabriela como posible nombre,
¿cuántas opciones tendríamos ahora?
Sombrea la parte del árbol que quedaría.
3) Quieres crear un personaje para un cuento que
vas a escribir. Para el nombre tienes estas
posibilidades: Alan, Diego o Gustavo.
Para el apellido: Bonilla, Ecko, Hernández, Zorro.
a) Sin hacer el árbol, ¿cuántos nombres
completos (nombre y apellido) puedes crear?
¿Cuál es tu favorito?
b) Si añadimos a Fredy como posible nombre, y
eliminamos a Zorro como posible apellido,
¿cuántas opciones tendríamos ahora?
5) Dibuja todos los árboles que tengan 36 nodos
finales y escribe 36 como el producto de las
opciones en cada paso.
Aquí hay un ejemplo (6 × 2 × 3 = 36):
6) Repensemos la bandera de Colombia
Como sabemos, la bandera de Colombia es
Amarillo (parte arriba 50%), azul (mitad, 25%) y
rojo (abajo, 25%). Vamos a pensar de cuántas
manera podríamos hacer de nuevo esta bandera,
usando los mismos colores.
a) Suponiendo que podemos repetir los colores,
hay 27 banderas posibles. Haz un árbol
explicando este conteo y dibujando cada una de
las 27 banderas en cada nodo final.
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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15
Dibuja tus ideas.
4) Un edificio tiene 5
pisos. Cada piso está
todo apagado o todo
prendido. ¿De cuántas
formas distintas puede
estar el edificio?
Explica.
b) Si ahora queremos que cada bandera tenga 3
colores (es decir, que no haya repetición de
color), ¿cuántas banderas podemos hacer? ¿Cuál
es tu favorita?
Haz un árbol para explicar tu respuesta.
c) Si ahora queremos que cada bandera tenga 3
colores (es decir, que no haya repetición de
color), pero agregamos al verde como opción
¿cuántas banderas podemos hacer? Haz un árbol
para explicar tu respuesta.
7) Vas a dibujar los lados y colorear el interior
triángulo equilátero. Para dibujar todo el
perímetro debes elegir entre rojo y negro; para
dibujar el interior, debes elegir entre negro y
azul. ¿De cuántas formas puedes hacer este
trabajo? Explora primero la situación.
PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY
(Mira el video y responde las preguntas
https://es.khanacademy.org/math/probability/probabil
ity-geometry/counting-permutations/e/fundamental-
counting-principle
Acá hay un ejemplo:
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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D) Resumen
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ACTIVIDAD
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Tema ⚫⚪⚪ Todavía no
entiendo los
conceptos
⚫⚫⚪ Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien
el tema
Comprendo qué
representa un
diagrama de
árbol
Interpreto una
situación de
conteo usando un
diagrama de
árbol
Comprendo y uso
el principio de
multiplicación para
contar cosas
ii) Preguntas de comprensión
1) Si tengo a opciones de hacer una cosa y
b opciones de hacer otra cosa, y las
decisiones son independientes, entonces
tengo
[ ] a × b opciones de hacer ambas cosas.
[ ] a + b opciones de hacer ambas cosas.
2) El nodo inicial de un árbol indica...
[ ] el objeto que construí.
[ ] que todavía no he decidido nada.
4) Para hacer un evento tengo 3 opciones
de lugares y 4 opciones de decoración.
¿Cuántos eventos distintos puedo hacer?
[ ] 12.
[ ] 7.
3) Para beber un jugo tengo 4 vasos y 7
tazas. ¿De cuántas formas puedo beber mi
jugo?
[ ] 28.
[ ] 11.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
iii) Resuelvo un problema
Voy a hacer un postre de chocolate y frutas.
Tengo 5 opciones para salsas y 3 opciones para frutas (fresas, mora, lulo). Sin embargo, decido poner
una salsa si y solo si mi fruta NO es mora.
¿De cuántas formas puedo hacer mi postre? Dibuja un árbol para visualizar tus ideas.
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GRADO 7
ACTIVIDAD
2
18
ACTIVIDAD 2: PROBABILIDAD DE UN EVENTO COMPUESTO
Aprendamos sobre eventos compuestos: qué son, en qué se parecen y diferencian de un evento
simple y cómo calculamos la probabilidad (en general) de un evento. Además conozcamos
experimentos multi-paso, en donde podemos usar un árbol para visualizar el espacio muestral.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
● En un experimento de azar, el ESPACIO MUESTRAL es el conjunto de sus resultados posibles.
Ejemplos:
○ Al lanzar un dado, el espacio muestral es: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } (hay 6 resultados posibles).
○ Al lanzar una moneda, el espacio muestral es: { C, S } (hay 2 resultados posibles).
○ Al lanzar una moneda y un dado, el espacio muestral es una colección con 12 elementos:
{ (C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6), (S, 1), (S, 2), (S, 3), (S, 4), (S, 5), (S, 6) }.
○ Al lanzar 2 monedas (numerándolas: Moneda 1 y Moneda 2), hay 4 resultados posibles:
CARA y CARA, CARA y SELLO, SELLO y CARA, SELLO y SELLO.
○ Al lanzar 2 dados (numerados Dado #1 y Dado #2), el espacio muestral tendrá 36 elementos (ya
que 6 × 6 = 36). (En este experimento, el resultado “(1, 5)” es distinto de “(5, 1)”.)
● Un EVENTO SIMPLE es un conjunto de un único resultado posible. Se llama simple precisamente
porque solo se compone de un resultado.
○ Ejemplo: El evento { 4 } es un evento simple al lanzar un dado. Decimos que “sacar 4” es un evento
simple para este experimento.
○ Suponiendo que todos los resultados posibles del experimento son EQUIPOSIBLES (o
EQUIPROBABLES, es decir con la misma probabilidad de ocurrir), definimos la PROBABILIDAD de
un evento simple como P = 1/N, siendo N el número total de resultados posibles. P es un número en el
intervalo [0, 1], que podemos ver como fracción, decimal y porcentaje, entre otros.
PRACTICA
i) Tengo una bolsa con 3 bolas de
colores distintos: Amarillo, Azul
y Rojo. Saco una bola al azar.
¿Cuál es el espacio muestral?
ii) Tengo una bolsa con 3 bolas de
colores distintos. Saco 2 bolas al
azar. ¿Cuál es el espacio
muestral?
iv) Un dado de 6 caras está marcado con: 1, 2, 3, 5, 5, 5.
Lanzamos el dado y anotamos el resultado.
a) • Derly dice que hay 6 resultados posibles (algunos dan el mismo
valor, pero podemos contarlos con repetición).
• Félix dice que solo hay 4 resultados posibles: 1, 2, 3 y 5.
¿Cuál de los dos enfoques es más útil en tu opinión? ¿Es posible que
ambos? Justifica tus ideas y compáralas con las de los demás.
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GRADO 7
ACTIVIDAD
2
19
iii) Elijo un entero del 5 al 30 al
azar y calculo sus unidades. Ej:
para 458, obtengo 8. ¿Cuál podría
ser el espacio muestral? (Hay 2
respuestas posibles.)
b) Nos piden calcular la probabilidad de sacar un 5:
• Derly escribe: P = 1
6+
1
6+
1
6=
3
6 (50%).
• Félix escribe: P = 1
4(25%).
¿Quién tiene razón? Explica cuál fue el error que uno de ellos
cometió. ¿Cómo simularías este experimento de azar?
(Verifica las respuestas con tu profesor)
B) Conceptos
Exploremos: La ruleta de la naturaleza
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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20
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GUÍA 71
GRADO 7
ACTIVIDAD
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21
Antes de pasar a la siguiente página:
¿Qué patrones observas en la ruleta? ¡Anótalos!
Esta ruleta está dividida en 12 sectores iguales, de la misma área. Si la giramos, hay 12 resultados
posibles, todos con la misma probabilidad. El espacio muestral es la colección de los 12 sectores.
Los eventos simples son los que corresponden con los 12 sectores.
Hay 12 eventos simples. La probabilidad de cada evento simple es de 1
12, es decir, 0,083 o 8,3%.
Por ejemplo: la probabilidad de que la ruleta caiga en el sector 10 es
del 8,3% (poco probable).
Además de los eventos simples, hay eventos que llamaremos
EVENTOS COMPUESTOS, que incluyen más de un sector de la ruleta.
¡De hecho hay más de 4 000 eventos compuestos! Analicemos algunos.
Evento: “colección de sectores que tienen la letra A”:
Este evento se compone de 6 elementos (pues hay 6 sectores con la letra A). Cada uno “aporta” 1
12a las
posibilidades de que el evento suceda. Entonces:
La probabilidad de al girar la ruleta salga un sector con A es igual a 6 ×1
12=
6
12(50%).
Esto tiene sentido, pues exactamente la mitad del área de la ruleta “tiene” la letra A. Así, podemos
interpretar calcular una probabilidad como medir el tamaño (en este caso el área) de una región,
suponiendo que el área de la ruleta entera fuera igual a 1.
En general, entonces, si un evento contiene K resultados posibles, su probabilidad de ocurrir será igual a
𝑘 ⋅1
12=
𝑘
12. Entonces debemos siempre contar cuántos resultados posibles tiene el evento dado.
La siguiente tabla nos permite calcular la probabilidad de eventos de forma ordenada:
Evento E (lo podemos describir como un conjunto, o simplemente
dando la propiedad de sus elementos)
Tamaño del evento E (para eso contamos los
resultados favorables)
P(E) (“probabilidad de E”) (Resultados favorables
dividido resultados totales)
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GRADO 7
ACTIVIDAD
2
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Conjunto de sectores que tienen una planta. 4 4
12
Que la ruleta caiga en un sector que tiene un
animal.
12 − 4 = 8 8
12
Que la ruleta caiga en A o en B. 6 + 3 = 9 9
12
Conjunto de sectores que tienen una nube y una
planta (es decir: que la ruleta caiga en un sector
que tiene simultáneamente una nube y una planta).
0.
(Este es un evento
“NULO” o imposible).
0
Responde:
a) Verifica que:
● la probabilidad de caer en un sector con lluvia es 1
4.
● la probabilidad de obtener un sector con una planta es 1
3.
b) ¿Es verdad que la probabilidad de
obtener un sector que tenga lluvia o una
planta (o ambas) es igual a 1
4+
1
3?
Justifica tu respuesta.
MINI-EXPLICACIÓN
EVENTOS
COMPUESTOS
En un experimento de azar con espacio muestral, un EVENTO COMPUESTO es un
conjunto de 2 o más resultados simples. Por eso se llama compuesto (se compone de
2 o más resultados simples). [Nota: un EVENTO NULO es uno que tiene 0 resultados simples.]
PROBABILIDAD
DE UN EVENTO
(CASO EN DONDE
LOS
RESULTADOS
POSIBLES SON
EQUIPROBABLES)
Tomemos un experimento de azar con N resultados posibles, donde todos ellos
tienen la misma probabilidad (es decir, 1/N).
Dado un evento E (nulo, simple o compuesto), su probabilidad de ocurrencia, que
escribimos P(E), es igual al siguiente número de 0 a 1:
P(E) = K/N, donde K es el tamaño de E.
Así, la probabilidad nos da “tamaño relativo” de una colección, en relación con el
tamaño N del espacio muestral, suponiendo que cada evento simple tiene el mismo
tamaño. Por esto, es una buena idea usar espacios muestrales donde los resultados
posibles son equiprobables. (Revisa el problema iv) de dados en la sección A).
POR
TURNOS Inventemos eventos
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ACTIVIDAD
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23
Formen grupos de 4
estudiantes. Vamos
a usar la misma
ruleta y esta escala
de probabilidad:
En este
juego vas a
ganar
puntos cada
vez que
inventes un
evento.
Sugerimos
mínimo 2
turnos por
persona.
i) Por turnos. Cada turno:
• Una persona selecciona una de las 13 fracciones de la
escala (por ejemplo: 6/12).
• Las demás personas simplifican la fracción, e inventan
cada uno un evento con esa probabilidad (Ej: “caer en un
sector con un sol” o “caer en un sector con un número
par”). SE DEBE ESCRIBIR EL EVENTO.
Puntos: • 1 punto por dar un evento con la probabilidad dada. • 1 punto extra si el evento combina más de una
característica (número, letra, clima o ser vivo).
Probabilidades en experimentos multi-paso
Vamos ahora a explorar experimentos de azar “multi-paso”, en donde el resultado posible se obtiene con
una secuencia de dos o más pasos. Para ello vamos a utilizar árboles.
Ejemplo: Un dado y una moneda “numérica”
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Tomamos una moneda y la marcamos con “0” y “6” (o convenimos en que
CARA = 0, SELLO = 6) y tomamos un dado de 6 caras. El experimento de
azar consiste en lanzar al tiempo la moneda y el dado, y escribir el
resultado de cada una.
- Espacio muestral: utilizamos un árbol para representar el espacio
muestral. Como el orden no importa, podríamos comenzar por la moneda
y luego por el dado, o viceversa. Escogemos la primera opción ( orden:
(moneda, dado)).
Como vemos, hay 12 resultados posibles:
(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6).
Calculemos algunas probabilidades utilizando el hecho de que los 12
resultados posibles tienen la misma probabilidad (1/12) de ocurrir. Esto
es dado que ni la moneda ni el dado están cargados, y el resultado de una
no influye en el resultado de la otra.
La clave es recordar que los nodos finales representan los resultados posibles. El conteo de casos
favorables se hace dentro de este conjunto.
a) Evento: “sacar 6 en la moneda y en el dado”: solo hay 1
forma de hacer esto: sacar (6, 6). Entonces la probabilidad
es P = 1
12. Este es un evento simple. Este evento lo podemos
visualizar usando un rectángulo de área 1 (todos los
resultados posibles) dividido en 12 baldosas que representan
los resultados posibles, sombrear todas las baldosas favorables (solo una), y hallar el área de la región
sombreada (1/12).
b) Evento: “sacar PAR en ambos valores”: si contamos los nodos finales del árbol con esta propiedad,
vemos que hay 6: (0, 2), (0, 4), (0, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6). Entonces P = 6
12=
1
2.
Otra forma de pensarlo: como la moneda siempre va a caer par, y la moneda es independiente del dado, en
últimas lo que buscamos se reduce a que el dado salga par. Pero afortunadamente responder esto es muy
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25
fácil: como la mitad de los valores del dado son pares, entonces P = 1
2 .
De nuevo, podemos entender esta probabilidad usando áreas.
La región sombreada es 1
2 del área total.
c) Evento: “que la suma de la moneda más el dado pertenezca
al intervalo [4, 9]”.
Al calcular todas las posibles sumas y ponerlas en cada uno de
los resultados posibles, podemos verificar cuáles son favorables
(✔). Hay 6 de 12, luego la probabilidad es igual a 1
2.
¡Observa que esta situación nos ayuda a simular un dado de 12
caras! Es decir, lanzar la moneda (de 0 y 6) y el dado de 6 caras, y
sumar los resultados, es equivalente a lanzar un dado de 12 caras.
Completa este ejemplo: Lanzar cuatro monedas
Tenemos cuatro monedas A, B, C, D y las lanzamos al tiempo (pero recordamos cuál es cuál).
a) Si solo hubiéramos lanzado 2
monedas, este sería el árbol de
resultados (4 resultados: CC, CS,
SC, SS):
c) Completa la siguiente tabla de eventos. Recuerda que un evento
es un conjunto. No tienes que calcular probabilidades.
Evento Elementos
Todos los dados caen
en lo mismo
Hay 2: CCCC, SSSS.
Sale exactamente 1
cara.
Hay 4: CSSS, _____, _____, _____.
Salen exactamente 2
sellos.
Hay 6: _____, _____, _____,
_____, _____, _____.
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26
¿Cómo es el árbol en la situación de
4 monedas? Dibújalo y dí cuál es el
espacio muestral. [Ayuda: el árbol
tiene 2 × 2 × 2 × 2 nodos finales.]
b) ¿Cuál es la probabilidad de que
las 4 monedas caigan en lo mismo?
(es decir, todas en cara o todas en
sello).
Salen al menos 3 caras.
d) Un amigo dice que te dará $500 pesos si al lanzar los 4 dados
salen exactamente 2 caras, pero si esto no pasa, tú le debes dar
$500. Desde un punto de vista probabilístico, ¿decidirías jugar
este juego? Explica brevemente tus ideas.
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C) Resuelve y practica
1) Una bolsa tiene 4 pelotas azules y 16
pelotas verdes. Si sacamos una pelota al
azar, calcula la probabilidad de que la
pelota sea verde.
2) Una bolsa tiene 6 pelotas azules, 10
pelotas verdes y 4 pelotas rosadas. Si
sacamos una pelota al azar, calcula la
probabilidad de que la pelota no sea azul.
3) Si lanzas un dado de 6 caras 500 veces,
¿aproximadamente cuántas veces esperas
que salga un número menor o igual a 2?
Explica tu respuesta.
4) Recuerda la ruleta que ya exploramos:
Calcula la probabilidad de que la ruleta
caiga en…
a) Un sector con un número impar.
b) Un sector con un sol y una planta.
c) Un sector sin nubes.
d) Un sector con A o C.
5) Llena la siguiente tabla, escribiendo en cada casilla un
experimento de azar de un paso o multi-paso, y un evento
asociado simple o compuesto. (Debes llenar 6 casillas en
total: 2 para describir experimentos y 4 para describir
eventos asociados a ellos).
Experimento
▶
De 1 paso: Multi-paso:
Evento
simple ▶
Evento
compuesto
▶
6) Se lanza un dado: si cae 1 se repite el lanzamiento,
hasta que caiga un valor mayor que 1, y se anota el
resultado.
¿Cuál es la probabilidad de anotar un número par? Explica.
7) Se lanza un dado: si NO cae 1, se anota el resultado.
Pero si cae 1, se vuelve a lanzar y se anota el resultado más
1.
Ejemplos: Si cae 3, se anota 3
Si cae 1, se relanza; si cae 1, se anota 2.
Si cae 1, se relanza; si cae 6, se anota 7.
a) Haz un árbol que represente esta situación.
b) ¿Cuál es la probabilidad de anotar un número mayor o
igual a 3? Explica.
PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY
(Mira los videos y responde las preguntas)
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e) Un sector con un número impar y lluvia.
f) Un sector con un animal o sin lluvia.
https://es.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-
ap/probability-multiplication-rule/e/compound-events
https://es.khanacademy.org/math/probability/probability-
geometry/probability-geometry/probability-
basics/a/theoretical-and-experimental-probability-coin-flips-
and-die-rolls?modal=1
D) Resumen
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Tema ⚫⚪⚪ Todavía no
entiendo los
conceptos
⚫⚫⚪ Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien
el tema
Entiendo la
diferencia entre
un evento nulo,
simple y
compuesto
Describo eventos
en palabras, dado
un experimento
de azar
Reconozco
probabilidades en
experimentos de
un solo paso
Razono para
hallar
probabilidades en
experimentos
multi-paso
ii) Preguntas de comprensión
1) Al lanzar un dado, “no sacar 1” es un
evento...
[ ] simple.
[ ] compuesto.
2) Una bolsa tiene 1 ficha blanca y 3 fichas
rojas. Si sacamos una ficha al azar, la
probabilidad de que sea blanca es...
[ ] 25%.
[ ] 33.3%.
3) Al lanzar dos monedas, ¿cuál es más
probable?
[ ] Sacar dos sellos.
[ ] Sacar una cara y otra sello (sin que
importe el orden).
4) Tenemos 3 camisas (azul, verde, gris) y
3 pantalones (azul, verde, gris). Si
elegimos al azar una prenda de cada tipo,
¿cuál es la probabilidad de que sean de
colores distintos?
[ ] 6/9.
[ ] 8/9.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
iii) Resuelvo un problema
Tenemos dos bolsas: en una hay 4 canicas rojas y 2 verdes. En la otra hay 3 fichas grises y 1 azul. El
experimento es sacar 1 objeto de cada bolsa.
a) Explica por qué podemos decir que hay 24 resultados posibles.
b) Calcula la probabilidad de sacar 1 canica verde y 1 ficha gris.