Guía de las Titulaciones Curso 2014 – 2015 Grado en

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD DE MURCIA

Guía de las TitulacionesCurso 2014 – 2015

Grado en Matemáticas

Programa de Estudios Simultáneos deGrado en Matemáticas y Grado en Ingeniería Informática

Licenciatura en Matemáticas (en extinción)

Máster en Matemática Avanzada y Profesional

MURCIA, SEPTIEMBRE DE 2014

Guía de las titulaciones de la Facultad de MatemáticasUniversidad de MurciaCurso académico 2014-2015

Todos los derechos reservados.

Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicaciónpública y transformación de esta obra sin contar con autorización de los titulares de la propiedad intelectual. Lainfracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 yss. del Código Penal).

c� del texto: los editores.

Editado por la Facultad de Matemáticas (Universidad de Murcia)

1a edición, septiembre de 2014

Compuesto con TEX usando LATEX.

Impreso por el Servicio de Publicaciones de la Universidad de Murcia

Impreso en España – Printed in Spain

Presentación

La Facultad de Matemáticas de la Universidad de Murcia elabora esta Guía de sus titulaciones parael curso 2014-2015 con el objetivo de que sirva como herramienta informativa de las titulaciones y de losdistintos servicios que presta la Facultad. En concreto la guía contiene información acerca de:

La Facultad: sus órganos de gobierno, servicios, representación de los alumnos, plan de accióntutorial, etc.

Las titulaciones que imparte la Facultad (Grado en Matemáticas, Programa de Estudios Simultáneosde Grado en Matemáticas y Grado en Ingeniería Informática, Licenciatura en Matemáticas y Másteren Matemática Avanzada y Profesional).

Los programas de movilidad de estudiantes en los que participa la Facultad de Matemáticas.

El calendario académico, los horarios de clases y el calendario de exámenes de las titulaciones parael curso 2014-2015.

Un resumen (presentación y programa) de las guías oficiales de las asignaturas de las titulaciones.

Las guías oficiales con competencias, metodología, bibliografía, criterios de evaluación, etc. sepueden encontrar en la web de la Facultad:

www.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/planificacion

y en el sitio de cada signatura en el Aula Virtual de la Universidad de Murcia:

aulavirtual.um.es/portal.

Toda la información de esta guía, aumentada y actualizada, se puede obtener en la página web de laFacultad de Matemáticas:

www.um.es/web/matematicas

Índice

1. La Facultad de Matemáticas 11.1. Órganos de Gobierno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Dependencias y Servicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Representación Estudiantil. Asemat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Profesorado y Departamentos. Coordinadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5. Plan de Acción Tutorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Titulaciones 42.1. Grado en Matemáticas. Estudios Simultáneos con Informática . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Licenciatura en Matemáticas (en extinción) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Máster en Matemática Aplicada y Profesional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Programas de movilidad e intercambio 9

4. Calendario - Horarios - Exámenes 104.1. Calendario Académico del curso 2014-2015 en la Facultad de Matemáticas . . . . . . . 104.2. Horarios del curso 2014-2015 (Grado, PES y Máster) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3. Fechas de exámenes del Curso 2014-2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4. Cuadro de profesores por asignatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5. Guías de asignaturas: Grado en Matemáticas 211568. Funciones de una variable real I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211569. Álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211570. Conjuntos y números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221571. Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231572. Introducción al software científico y a la programación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241573. Funciones de una variable real II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251574. Geometría afín y euclídea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261575. Topología de espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261576. Elementos de probabilidad y estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271577. Programación orientada a objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281578. Funciones de varias variables I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291579. Funciones de varias variables II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291580. Ampliación de álgebra lineal y geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301581. Cálculo numérico en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311582. Optimización lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321583. Funciones de varias variables III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331584. Ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331585. Grupos y anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351586. Análisis numérico matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351587. Topología de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361588. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381589. Geometría de curvas y superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391590. Teoría de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401591. Métodos numéricos de las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411592. Grafos y optimización discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1593. Ecuaciones en derivadas parciales y series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441594. Geometría global de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451595. Ampliación de probabilidad y procesos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461596. Ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471597. Laboratorio de modelización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481598. Inferencia estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491599. Análisis funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501600. Álgebra conmutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511601. Códigos correctores y criptografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521602. Geometría de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531603. Métodos numéricos y variacionales de las EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541604. Optimización no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551606. Álgebra no conmutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561607. Fundamentos de la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561608. Estadística multivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571609. Geometría y relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581610. Matemática de los mercados financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581611. Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . 591605. Prácticas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601612. Trabajo de Fin de Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6. Guías de asignaturas: Máster en Matemática Avanzada y Profesional 625110.Álgebras y sus representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625111.Topología algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635112.Teoría de números y criptografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635113.Códigos correctores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645114.Teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645115.Análisis no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655116.Teoría de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665117.Sistemas dinámicos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665119.Teoría del arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675120.Geometría y topología para entender el universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685121.Optimización geométrica en convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695122.Análisis de fiabilidad de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705123.Control de calidad para la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705124.Modelización y cuantificación de riesgos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715125.Cálculo estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725126.Optimización combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725127.Técnicas computacionales para la optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735128.Localización, distribución y transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745129.Programación en C/C++ y aplicaciones matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756226.Teoría de Juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766227.Estadística bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766228.Métodos estadísticos de predicción y clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775131.Prácticas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785142.Trabajo de Fin de Máster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7. Direcciones y Teléfonos 79

Guia de la Facultad de Matemáticas La Facultad de Matemáticas 1

1. La Facultad de Matemáticas

La Facultad de Matemáticas es el centro de la Universidad de Murcia encargado de la gestión admi-nistrativa y de la organización académica de las enseñanzas conducentes a la obtención de los títulos deLicenciado en Matemáticas, Graduado en Matemáticas, Máster en Matemática Avanzada y Profesional yDoctor en Matemáticas.

También gestiona y organiza, en colaboración con la Facultad de Informática, el Programa de EstudiosSimultáneos de Grado en Matemáticas y Grado en Ingeniería Informática.

Los departamentos, cada uno de los cuales engloba una o más áreas de conocimiento, son los encar-gados de desarrollar las enseñanzas de las asignaturas correspondientes a sus áreas de conocimiento.

1.1. Órganos de Gobierno

El Decano es la máxima autoridad académica de la Facultad, la representa, ejerce su gobierno ordi-nario y preside su Junta de Centro, cuyos acuerdos ejecuta. El equipo decanal es el siguiente:

Decano: Francisco Esquembre Martínez.

Secretario: Manuel A. Pulido Cayuela.

Vicedecano para la Calidad: José Antonio Pastor González.

Vicedecano de Organización Académica: Víctor Jiménez López.

Vicedecano de Alumnos y Extensión Universitaria: José Fernández Hernández.

La Junta de Facultad es el órgano de gobierno colegiado de la Facultad, y en ella están representadoslos profesores, los alumnos y el personal de administración y servicios. Su composición y funcionamien-to se rigen por los Estatutos de nuestra Universidad y por su propio Reglamento de Régimen Interno(www.um.es/web/matematicas/contenido/normativa).

1.2. Dependencias y Servicios

Las dependencias y servicios de la Facultad de Matemáticas comparten edificio con el Aulario Generaldel Campus de Espinardo, y son entre otras las siguientes:

Conserjería. Atendida por Manuel Pintado, Roberto Abad y Teresa Rodríguez.

Decanato. Alberga los despachos del equipo decanal y de la Secretaria del Decano, María TeresaOrenes, que lo asiste en la gestión administrativa y económica del Centro.

Secretaría. Atendida por Manuel Noguera y Carmen Martínez, que apoyan al decano en la gestiónacadémica del Centro, y en particular tramitan las matrículas y los expedientes.

Salón de Actos. En él tienen lugar los actos académicos organizados por la Facultad de Matemáticasy por los Departamentos de Matemáticas y de Estadística e Investigación Operativa.

Aulas y seminarios. La Facultad dispone para el desarrollo de sus actividades docentes ordinariasde diversas aulas y seminarios del Aulario General, especialmente las del segundo piso.

Salas de ordenadores. En las ADLA (aulas de docencia y libre acceso) Milano (S.02), Mosquitero(S.01) y Mérgulo (1.25) se desarrollan las clases prácticas de las asignaturas; fuera de los horariosde clases, los alumnos pueden hacer reservas de puestos de trabajo en las Secretarías Virtuales. Enel edificio también se encuentra el ADLA Merla (0.03), que no es gestionada por la Facultad.

2 Profesorado y Departamentos. Coordinadores Universidad de Murcia

CADI (Centro de Apoyo a la Docencia y la Investigación). Contiene libros de la Facultad y de losDepartamentos de Matemáticas y de Estadística e Investigación Operativa, libremente accesiblesdesde los 100 puestos de su sala de lectura. Existe un servicio de préstamo de libros y la posibilidadde solicitar nuevas adquisiciones.

Espacios de trabajo en grupo. Disponen de mesas y pizarras que permiten a los alumnos de laFacultad trabajar en grupos pequeños.

Delegación de Alumnos. En ella desarrollan su actividad de representación los delegados de cursoy de centro. Junto a ella se encuentra el despacho de la Junior empresa ASEMAT.

1.3. Representación Estudiantil. Asemat

En los órganos colegiados de gobierno (Junta de Facultad, Consejos de Departamento) un 30 % de losmiembros son representantes del alumnado. Las convocatorias de elecciones para cubrir esta representa-ción se realizan tan pronto como se dispone de listas definitivas de alumnos.

También en ese momento se elige un delegado y un subdelegado en cada curso, y un delegado yun subdelegado de Facultad, que asumen la representación de los alumnos de la Facultad en el Consejode Estudiantes de la Universidad (CEUM, www.um.es/alumnos/participacion/ceum/), cuyopresidente forma a su vez parte del Consejo de Gobierno de la Universidad.

ASEMAT, Asociación de Estadística y Matemáticas

Fue creada en enero de 1998 y consiguió la denominación de Junior Empresa en noviembre de 1999,convirtiéndose así en la primera Junior Empresa europea dedicada a las Matemáticas.

Sus socios son estudiantes de la Facultad, y su finalidad es dotarlos de una formación complemen-taria y ayudarlos a introducirse en el mundo laboral. Para ello funciona como una empresa en todos susaspectos, ofreciendo como tal una serie de servicios relacionados con las Matemáticas y la Estadística.

1.4. Profesorado y Departamentos. Coordinadores

El profesorado está altamente cualificado. Se compone principalmente de doctores pertenecientes alos cuerpos docentes de la Universidad que trabajan a tiempo completo y desarrollan investigación decalidad (www.um.es/web/matematicas/contenido/investigacion).

Los departamentos a los que pertenecen estos profesores son los siguientes (pueden visitarse en(www.um.es/web/matematicas/contenido/centro/departamentos):

Estadística e Investigación Operativa (Facultad de Matemáticas).

Director: Carmen Noemí Zoroa Alonso. Secretario: Pascual Fernández Hernández.

Electromagnetismo y Electrónica (Facultad de Química).

Director: José Margineda Puigpelat. Secretario: Gregorio José Molina Cuberos.

Ingeniería de la Información y las Comunicaciones (Facultad de Informática).

Director: Benito Úbeda Miñarro. Secretario: Eduardo Martínez Graciá.

Matemáticas (Facultad de Matemáticas).

Director: Juan Jacobo Simón Pinero. Secretario: Eliseo Chacón Vera.

Guia de la Facultad de Matemáticas Plan de Acción Tutorial 3

Coordinadores

La Junta de Facultad de Matemáticas nombra anualmente un coordinador en cada uno de los cursos.En el curso 2014-2015 serán:

Coordinador de 1er Curso (Grado): Ángel Ferrández Izquierdo.

Coordinador de 2o Curso (Grado): Blas Pelegrín Pelegrín.

Coordinador de 3er Curso (Grado): Carmen Noemí Zoroa Alonso.

Coordinador de 4o Curso (Grado): Víctor Jiménez López.

Coordinador de Grado: Alberto del Valle Robles.

Coordinadores del Programa de Estudios Simultáneos: Francisco Esquembre Martínez y Juan An-tonio Sánchez Laguna.

Coordinador de Posgrado: Víctor Jiménez López.

1.5. Plan de Acción Tutorial

La Facultad, en colaboración con el Vicerrectorado de Estudiantes y Empleo, desarrolla un Plan deAcción Tutorial para sus estudiantes, cuyos objetivos son:

- Dar información a los alumnos sobre servicios, normativas, posibilidades de empleo, etc.

- Facilitar la integración de los alumnos de nuevo ingreso.

- Promover la responsabilidad y el compromiso de los estudiantes hacia su formación académica.

- Orientar a los alumnos para la mejora de su rendimiento académico.

- Orientar a los alumnos en la gestión de sus itinerarios curriculares.

La organización del Plan de Acción Tutorial comprende las siguientes acciones:

Acogida de los alumnos de nuevo ingreso; presentación de la Facultad y de los distintos serviciosque les ofrece la Universidad.

Tutorización académica, mediante la asignación de un tutor a cada alumno y la realización de en-trevistas entre ambos para desarrollar los objetivos del Plan de carácter académico.

Orientación profesional, que incluye charlas impartidas por personal especializado y presentacionesde potenciales empleadores.

Divulgación del desarrollo de la matemática y sus aplicaciones, a través de ciclos de conferenciasimpartidos por profesores o profesionales relacionados con las matemáticas.

Coordinación y evaluación del Plan, mediante el nombramiento de un Coordinador que organizala asignación de tutores, supervisa el desarrollo del plan y presenta un informe anual a la Juntade Facultad. Actualmente el coordinador es José Fernández Hernández, Vicedecano de Alumnos yExtensión Universitaria .

4 Grado en Matemáticas. Estudios Simultáneos con Informática Universidad de Murcia

2. Titulaciones

2.1. Grado en Matemáticas. Estudios Simultáneos con Informática

El plan de estudios del Grado en Matemáticas tiene una carga lectiva global de 240 créditos, de losque 30 son optativos. Está estructurado en 4 cursos y todas sus asignaturas son cuatrimestrales, por lo quepuede entenderse como estructurado en 8 cuatrimestres C1, C2, . . . , C8.

Todas las asignaturas tienen una carga de 6 créditos, salvo el Trabajo de Fin de Grado que tiene 12.Sus códigos y su distribución temporal aparecen en el cuadro que sigue.

Primer Curso – C1 Primer Curso – C21568 - Funciones de una variable real I 1573 - Funciones de una variable real II1569 - Álgebra lineal 1574 - Geometría afín y euclídea1570 - Conjuntos y números 1575 - Topología de espacios métricos1571 - Física 1576 - Elementos de probabilidad y estadística1572 - Introd software científico y programación 1577 - Programación orientada a objetosSegundo Curso – C3 Segundo Curso – C41578 - Funciones de varias variables I 1583 - Funciones de varias variables III1579 - Funciones de varias variables II 1584 - Ecuaciones diferenciales ordinarias1580 - Ampliación de álgebra lineal y geometría 1585 - Grupos y anillos1581 - Cálculo numérico en una variable 1586 - Análisis numérico matricial1582 - Optimización lineal 1587 - Topología de superficiesTercer Curso – C5 Tercer Curso – C61588 - Funciones de variable compleja 1593 - Ec derivadas parciales y series de Fourier1589 - Geometría de curvas y superficies 1594 - Geometría global de superficies1590 - Teoría de la probabilidad 1595 - Ampl probabilidad y procesos estocásticos1591 - Métodos numéricos de las ec diferenciales 1596 - Ecuaciones algebraicas1592 - Grafos y optimización discreta 1597 - Laboratorio de modelizaciónCuarto Curso – C7 Cuarto Curso – C81598 - Inferencia estadística1599 - Análisis funcional 1612 - Trabajo de Fin de Grado (12 créditos)1600 - Álgebra conmutativa1601 - Códigos correctores y criptografía 1605 - Prácticas externas1602 - Geometría de Riemann 1606 - Álgebra no conmutativa1603 - Mét numér y variacionales de las EDPs 1607 - Fundamentos de la matemática1604 - Optimización no lineal 1608 - Estadística multivariante

1609 - Geometría y relatividad1610 - Matemát de los mercados financieros1611 - Teoría cualitativa de las ec dif ordinarias

Observaciones: Las asignaturas de primer curso (1568-1577) son de formación básica, lo cual tiene surepercusión en lo que se refiere al reconocimiento de créditos; véase el Reglamento sobre Reconocimiento

y transferencia de Créditos en las enseñanzas de Grado y Máster...en la sección de Normas Académicasde https://sede.um.es/sede/normativa/consultaNormativas.seam.

Las asignaturas 1578-1600 y 1612 son obligatorias. Las asignaturas 1601-1611 son optativas.Para obtener el título se deben superar los 210 créditos de básicas y obligatorias y 30 créditos de

optativas (de cualquier cuatrimestre), que pueden rebajarse a 24 si se obtienen 6 créditos CRAU poractividades universitarias; véase el Reglamento de reconocimiento de créditos en títulos de Grado por la

realización de actividades universitarias (CRAU) en la misma web del párrafo anterior.

Guia de la Facultad de Matemáticas Grado en Matemáticas. Estudios Simultáneos con Informática 5

Programa de Estudios Simultáneos (PES) con el Grado en Ingeniería Informática

Este programa se enmarca en la normativa general sobre programas de estudios simultáneos de laUniversidad de Murcia. Su objetivo es la obtención de dos títulos, el de Grado en Matemáticas (M) y elde Grado en Ingeniería Informática (I) cursando asignaturas de ambos por un total de 372 créditos, con lasiguiente planificación temporal en 5 años (10 cuatrimestres):

Primer Curso – C1 Primer Curso – C2(M) Funciones de una variable real I (M) Funciones de una variable real II(M) Álgebra lineal (M) Geometría afín y euclídea(M) Conjuntos y números (M) Topología de espacios métricos(I) Fundamentos de computadores (I) Estructura y tecnología de computadores(I) Introducción a la programación (I) Tecnología de la programación(I) Fundamentos lógicos de la informática (I) Fundamentos físicos de la informáticaSegundo Curso – C3 Segundo Curso – C4(M) Funciones de varias variables I (M) Elementos de probabilidad y estadística(M) Funciones de varias variables II (M) Funciones de varias variables III(M) Ampliación de álgebra lineal y geometría (M) Ecuaciones diferenciales ordinarias(I) Algoritmos y estructuras de datos I (I) Algoritmos y estructuras de datos II(I) Introducción a los sistemas operativos (I) Programación concurrente y distribuida(I) Programación orientada a objetos (I) Redes de comunicacionesTercer Curso – C5 Tercer Curso – C6(M) Cálculo numérico en una variable (M) Análisis numérico matricial(M) Optimización lineal (M) Grupos y anillos(M) Teoría de la probabilidad (M) Topología de superficies(I) Ampliación de estructura de computadores (I) Bases de datos(I) Ampliación de sistemas operativos (I) Compiladores(I) Arquitectura de redes (I) Servicios telemáticos(I) Autómatas y lenguajes formalesCuarto Curso – C7 Cuarto Curso – C8(M) Funciones de variable compleja (M) Ec derivadas parciales y series de Fourier(M) Geometría de curvas y superficies (M) Laboratorio de modelización(M) Grafos y optimización discreta (M) Ampl de probabilidad y procesos estocást(M) Métodos numéricos de las ec diferenciales (M) Ecuaciones algebraicas(I) Arquitectura y organización de computadores (I) Gestión de proyectos de desarrollo de software(I) Sistemas inteligentes (I) Procesos de desarrollo de sofware(I) Tecnología y desarrollo de softwareQuinto Curso – C9 Quinto Curso – C10(M) Inferencia estadística (M) Geometría global de superficies(M) Análisis funcional (I) 2 asignaturas oblig de un módulo específico(M) Álgebra conmutativa Trabajo de Fin de Grado (12 créds)(I) 4 asignaturas oblig de un módulo específico

En promedio, cada cuatrimestre se cursan 3 asignaturas de cada uno de los grados, y los horarios decada grado lo permitirán mientras se siga la planificación temporal prevista.

En primer curso hay un grupo que contiene a todos los alumnos del PES junto a otros del Grado.El plan de estudios del Grado en Ingeniería Informática, con la descripción de los módulos específicos,

puede verse en www.um.es/informatica/index.php?pagina=estudios

6 Licenciatura en Matemáticas (en extinción) Universidad de Murcia

Para determinadas parejas de asignaturas de ambos títulos, la verificación de conocimientos se efectúauna única vez y la calificación surte efecto en ambos grados, según se establece en la siguiente tabla.

Asignaturas impartidas Asignaturas equivalentes (obligatorias)(I)Introducción a la programación (M) Introd al software científico y la programación(I) Fundamentos físicos de la informática (M) Física(I) Tecnología de la programación (M) Programación orientada a objetos(M) Funciones de una variable real I (I) Cálculo(M) Álgebra lineal (I) Álgebra y matemática discreta(M) Elementos de probabilidad y estadística (I) Estadística(M) Optimización lineal (I) Gestión de organizaciones y habilidades profes(M) Laboratorio de Modelización (I) Destrezas profesionales de la ing informáticaAsignaturas impartidas Asignaturas equivalentes (optativas)(I) Autómatas y lenguajes formales (M) Códigos correctores y criptografía(I) Algoritmos y estructuras de datos I (M) Optimización no lineal(I) Algoritmos y estructuras de datos II (M) Métodos numéricos y variacionales de EDPs(I) Programación concurrente y distribuida (M) Estadística multivariante(I) Bases de datos (M) Matemática de los mercados financieros(M) Teoría de la probabilidad (I) Tecnologías Específicas en la Ing. Informática(M) Cálculo numérico en una variable (I) asignatura optativa de módulo específico(M) Análisis numérico matricial (I) asignatura optativa de módulo específico

Más información enwww.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/grados/pes/normativa

En particular, hay un enlace al acuerdo del Consejo de Gobierno sobre este Programa en cuyo anexo IIse pueden consultar las equivalencias para asignaturas optativas de cada módulo específico.

2.2. Licenciatura en Matemáticas (en extinción)

La Licenciatura en Matemáticas está completando su proceso de extinción. Desde el curso 2013-2014 ya no se imparte ninguna docencia, y sólo está prevista la realización de exámenes. Cuando secierre el periodo de matrícula se planificarán los exámenes de las asignaturas en las que haya alumnosmatriculados.

Para más información sobre el plan de estudios, véanse las guías de cursos anteriores o la web de laFacultad. Los programas de las asignaturas en extinción son los del último curso en el que se impartieron.

Guia de la Facultad de Matemáticas Máster en Matemática Aplicada y Profesional 7

2.3. Máster en Matemática Aplicada y Profesional

El plan de estudios establece 2 itinerarios y 6 perfiles, según el siguiente cuadro:

Itinerario Perfil

Iniciación a la Investigación

1 - Álgebra2 - Análisis Matemático3 - Geometría4 - Estadística e Investigación Operativa

Profesional5 - Matemáticas para las Finanzas1

6 - Matemáticas para la Empresa

A continuación se reflejan las asignaturas propias de este Máster2. Para cada una, se indica el cua-trimestre en el que se imparte y el número de créditos, así como su tipo (I=Introducción a la Investigación;P=Profesional; IP=mixto) y el perfil o perfiles en los que es obligatoria.

Cód. Asignatura Tipo Cua. Cr. Oblig. en perfil5110 Álgebras y sus representaciones I 1 6 15111 Topología algebraica I 2 6 1 35112 Teoría de números y criptografía I P 1 6 15113 Códigos correctores I P 2 3 15114 Teoría de conjuntos I 1 3 1 25115 Análisis no lineal I 2 3 25116 Teoría de la medida I 1 6 2 35117 Sistemas dinámicos discretos I 2 3 25118 Métodos numéricos para las finanzas3 P 1 6 55119 Teoría del arbitraje I P 1 6 2 55120 Geometría y topología para entender el universo I 1 6 35121 Optimización geométrica en convexidad I 2 6 35122 Análisis de fiabilidad de sistemas I P 1 3 4 65123 Control de calidad para la industria P 1 3 65124 Modelización y cuantificación de riesgos I P 1 6 4 55125 Cálculo estocástico I P 1 3 2 55126 Optimización combinatoria I P 1 6 4 65127 Técnicas computacionales para la optimización I P 2 35128 Localización, distribución y transporte I P 2 6 4 65129 Programación en C/C++ y aplicaciones matemáticas P 1 3 65130 Software matemático para las finanzas3 P 2 3 55131 Prácticas externas P 2 12 5 65142 Trabajo de fin de Máster (TFM) I P 2 12 1 2 3 4 5 66226 Teoria de juegos I P 1 3 46227 Estadística bayesiana I P 2 3 66228 Métodos estadísticos de predicción y clasificacion I P 1 3

1El perfil de Matematicas para las finanzas no se impartira el curso 2014-2015.2En los perfiles 5 y 6 se deberán elegir asignaturas optativas de otros másteres, como se indica más adelante.3Esta asignatura no se imparte en el curso 2014-2015.

8 Máster en Matemática Aplicada y Profesional Universidad de Murcia

Los perfiles del itinerario de Iniciación a la Investigación tienen 36 créditos obligatorios (incluyendo 12del TFM). Los 24 restantes deben elegirse entre las asignaturas anteriores, y en el perfil de Geometría almenos 6 deben ser de materias de tipo mixto (I-P) o profesional (P).

Los perfiles del itinerario Profesional tienen 48 créditos obligatorios (incluyendo 12 del TFM y 12 deprácticas externas). Los 12 restantes deben elegirse entre asignaturas de otros Másteres, a saber:

En el perfil de Matemáticas para la Empresa se elegirán entre las siguientes asignaturas del Másteren Dirección de Empresas (Facultad de Economía y Empresa) y del Máster en Informática (Facultad deInformática):

Máster Cód. Asignatura Cua. Cr.Informática 5139 Software como servicio y distribuido 1 3Informática 5140 Análisis inteligentes de datos 1 6Informática 5141 Sistemas de eventos discretos e híbridos 1 3Dirección de Empresas 5913 Oportunidades de negocio 2 3Dirección de Empresas 5914 Estrategia y competitividad 1 6Dirección de Empresas 5915 Tecnologías de la información para la gestión 2 3

Más información enwww.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/masteres/matematicas

Estudios Simultáneos con el Máster en Formación del Profesorado

Existe la posibilidad de cursar simultáneamente el Máster en Formación del Profesorado y el Másteren Matemática Avanzada y Profesional en ciertas condiciones. La información puede obtenerse a travésdel Coordinador de Posgrado, Prof. Víctor Jiménez López.

Guia de la Facultad de Matemáticas Programas de movilidad e intercambio 9

3. Programas de movilidad e intercambio

Los alumnos de la Facultad Matemáticas pueden realizar parte de sus estudios en otras universidadesespañolas o extranjeras. Los cursos realizados serán reconocidos por la Universidad de Murcia siempreque se realicen dentro de los programas de intercambio en los que participa la Facultad.

El coordinador de estos programas es José Fernández Hernández ([email protected]).

A continuación se relacionan los principales programas en los que participa la Facultad de Matemá-ticas. En cada uno se citan las páginas web de la Universidad en las que se puede encontrar informaciónactualizada sobre las plazas ofrecidas y el procedimiento para participar. Hay información adicional enwww.um.es/web/internacionalizacion/.

Séneca-Sicue

sicue.um.es

Es un programa de intercambio y movilidad entre universidades españolas. Actualmente la Facultadde Matemáticas tiene convenio con las universidades Autònoma de Barcelona, Autónoma de Madrid, deAlicante, de Almería, de Cantabria, de Extremadura, de Granada, de Oviedo, de Zaragoza, de Santiago deCompostela, de Sevilla, de Valencia, Politécnica de Madrid y Politécnica de Cataluña.

Erasmus +

erasmus.um.es

Es un programa de intercambio y movilidad entre universidades europeas, cuyo funcionamiento es-bozamos aquí:

La beca Erasmus permite cursar parte de los estudios de Matemáticas en una universidad europeacon pleno reconocimiento de los estudios realizados.

Supone no tener que pagar la matrícula en la universidad de destino (aunque sí en nuestra universi-dad) y una ayuda para pagar los gastos adicionales que conlleva vivir en el extranjero.

El plazo para solicitarla suele comenzar en noviembre y hay que hacerlo a través de la página webdel Servicio de Relaciones Internacionales de la Universidad de Murcia. En esta misma página seencuentran los requisitos generales para poder solicitarla y mucha más información adicional.

Actualmente la Facultad de Matemáticas tiene convenio con diversas universidades de Alemania, Aus-tria, Bélgica, Eslovaquia, Francia, Grecia, Italia, Polonia, Portugal, República Checa, Rumanía y Turquía.

ISEP

isep.um.es www.isep.org

Es una red de más de 255 universidades repartidas por 39 países de todo el mundo, con 25 años deexperiencia en el intercambio de estudiantes. El programa permite la movilidad de estudiantes de grado yposgrado entre la Universidad de Murcia y más de 120 instituciones de los Estados Unidos.

Se trata de un intercambio recíproco, no es una beca, aunque proporciona importantes beneficioseconómicos. En particular, el participante se matricula (y paga) en la Universidad de Murcia siguiendo elproceso habitual y estudia en una universidad estadounidense sin pagar matrícula adicional (también esnecesario pagar las tasas de participación de ISEP).

10 Calendario Académico del curso 2014-2015 en la Facultad de Matemáticas Universidad de Murcia

4. Calendario, horarios y exámenes para el Curso 2014-2015

4.1. Calendario Académico del curso 2014-2015 en la Facultad de Matemáticas

Además de los festivos propios del calendario laboral, tendrán la consideración de no lectivos los días25 de septiembre (Inauguración del Curso Académico), 14 de noviembre (día de San Alberto Magno,patrón de la Facultad) y 30 de enero (viernes siguiente a la festividad de Santo Tomás de Aquino, patrónde la Universidad).

SEM LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SÁB DOM1 15 166ROMERÍA 17 18 19 20 212 22 23 24 256INAUGURACIÓN 26 27 283 29 30 1 2 3 4 54 6 7 8 9 10 11 125 13 14 15 16 17 18 196 20 21 22 23 24 25 267 27 28 29 30 31 1 28 3 4 5 6 7 8 99 10 11 12 13 146S.BALBERTO 15 1610 17 18 19 20 21 22 2311 24 25 26 27 28 29 3012 1 2 3 4 5 6 713 86INMACULADA 9 10 11 12 13 1414 15 16 17 18 19 20 2115 22 23 24 25 26 27 28

29 30 31 1 2 3 45 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 306STO.TOMÁS 31 1

1 2 3 4 5 6 7 82 9 10 11 12 13 14 153 16 17 18 19 20 21 224 23 24 25 26 27 28 15 2 3 4 5 6 7 86 9 10 11 12 13 14 157 16 17 18 196SANBJOSÉ 20 21 228 23 24 25 26 27 28 29

30 31 1 2 3 4 5 Semana6 7 8 9 10 11 12 Santa

9 13 14 15 16 17 18 1910 20 21 22 23 24 25 2611 27 28 29 30 1B6BTRABAJADOR 2 312 4 5 6 7 8 9 1013 11 12 13 14 15 16 1714 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 311 2 3 4 5 6 78 96R.MURCIA 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 1213 14 15

EX.BJULIO

EX.BJUNIO

MAY

OJUNIO

JULIO

EX.BENERO

ENER

O2doBCU

ATRIMESTRE

66BDÍASBLECTIVOS

FEBR

ERO

MAR

ZOAB

RIL

1ERBCUATRIM

ESTRE6B68BDÍASBLECTIVOS

Navidad

SEPTIEMBR

EOCT

UBR

ENOVIEM

BRE

DICIEM

BRE

Guia de la Facultad de Matemáticas Horarios del curso 2014-2015 (Grado, PES y Máster) 11

4.2. Horarios del curso 2014-2015 (Grado, PES y Máster)

Las clases se planifican de lunes a viernes por la mañana, salvo el segundo cuatrimestre del Máster,que se desarrolla por la tarde. Los jueves de 12 a 14 se dejan libres los horarios para llevar a cabo lasactividades generales del Plan de Acción Tutorial, conferencias, charlas informativas, etc.

Los horarios del máster pueden verse modificados según el número de alumnos matriculados en cadaasignatura.

Primer cuatrimestre

1º#GM#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110

1011111112 Una7Vble71 Una7Vble71 Conj7y7Num Conj7y7Num12113 Álgebra7Lin Álgebra7Lin13114

2º#GM#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 Num717Vble Opt7Lin

10111 Opt7Lin Num717Vble11112 Ampl7Alg FVV2 Ampl7Alg FVV212113 FVV1 FVV113114 Opt7Lin7(des)

3º#GM#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 Geo7Cur7Sup Grafos7OD FV7Compl Geo7Cur7Sup

10111 FV7Compl Numer7ED Grafos7OD FV7Compl11112 Numer7ED1211313114 FV7Compl

4º#GM#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 Infer7Estad Infer.7Estad

1011111112 Alg.7Conm12113 Alg.7Conmt13114

Opt7AOpt7B

MMAP#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNESTeo7Num7y7Crip Teo7Arbitraje Teo7ArbitrajeTeo7Medida Geo7Top7Univ Geo7Top7UnivTeo7Conjuntos Met7Cuan7RiesgosAnál7Fiab7Sist Álgebra7y7Repres

Met7Est7Pre7ClaTeoría7de7Juegos Prog7C++

Puede7consultar7la7distribución7de7aulas7del7máster7en7el7siguiente7enlace:http://www.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/masteres/matematicas/2014115

13115 Opt.7Combinat

Teo7Num7y7Crip

Álgebra7y7Repres

Opt.7Combinat

Met7Cuan7Riesgos

Control7Calidad7Ind

Geometría7de7Riemann7(2.10)77//7Optimización7no7lineal7(Sem72.07)Códigos7Correctores7y7Criptografía7(2.10)7//7MetNumVar7EDP's7(ADLAS7Milano7y7Mosquitero)

MÁSTER#EN#MATEMÁTICA#AVANZADA#Y#PROFESIONAL#:#1er#CUATRIMESTRE.#Inicio#de#las#clases#el#día#29#de#septiembre

9111

11113 Cálculo7Estocástico

Teo7Medida

CUARTO#CURSO#:#Aula#2.10#y#Seminario#2.07

Infer.7Estad Opt7B Opt7AAnal.7Func Alg.7Conmt

Opt7A Opt7BAnal.7Func

TERCER#CURSO#:#Aula#2.08

Grafos7OD

Numer7ED Geo7Cur7Sup Teo7Prob Teo7Prob

SEGUNDO#CURSO#:#Aula#2.06

Num717Vble Ampl7Alg FVV2

Opt7LinFVV1

GRADO#EN#MATEMÁTICAS#:#1er#CUATRIMESTRE.#Del#15#de#septiembre#al#23#de#diciembre

PRIMER#CURSO#:#Aulas#2.03#y#2.04

Conj7y7NumISC+Prog

Física Una7Vble71 Física

Álgebra7Lin

12 Horarios del curso 2014-2015 (Grado, PES y Máster) Universidad de Murcia

1º#PES#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES91101011111112 Una7Vble71 Una7Vble71 Conj7y7Num Conj7y7Num12113 Álgebra7Lin Álgebra7Lin13114

2º#PES#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES91101011111112 Ampl7Alg FVV2 Ampl7Alg FVV7212113 FVV1 FVV113114

3º#PES#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 Num717Vble Opt7Lin10111 Opt7Lin Num717Vble1111212113

4º#PES#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 Geo7Cur7Sup Grafos7OD FV7Compl Geo7Cur7Sup10111 FV7Compl Numer7ED Grafos7OD FV7Compl11112 Numer7ED1211313114 FV7Compl

5º#PES#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 Infer7Estad Infer.7Estad1011111112 Alg.7Conm12113 Alg.7Conmt13114

(*)7Horario7correspondiente7a7las7asignaturas7del7PES7que7se7imparten7en7el7Grado7de7Matemáticas.7Las7asignaturas7correspondientes7al7Grado7de7Ingeniería7Informática7se7pueden7

consultar7en7la7web7de7la7Facultad7de7Informática.

QUINTO#CURSO#3#Aula#2.10

Infer.7EstadAnal.7Func Alg.7Conmt

Anal.7Func

CUARTO#CURSO#3#Aula#2.08

Grafos7OD

Numer7ED Geo7Cur7Sup

Num717Vble

Opt7Lin Teo7Prob Teo7Prob

Ampl7Alg FVV2

FVV1

TERCER#CURSO#3#Aulas#2.06#(N1V/OL)#y#2.08#(TP)

Conj7y7Num Una7Vble71

Álgebra7Lin

SEGUNDO#CURSO#3#Aula#2.06

PLAN#DE#ESTUDIOS#SIMULTÁNEOS#3#GMAT#+#GII#(*).#1er#CUATRIMESTREDel#15#de#septiembre#al#23#de#diciembre

PRIMER#CURSO#3#Aula#2.03

A lo largo del primer cuatrimestre hay hasta tres semanas de recuperación previstas para elGrado en Matemáticas y el Plan de Estudios Simultáneos. El horario para estas semanas se puede con-sultar en www.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/grados/matematicas (Gra-do en Matematicas) y en www.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/grados/pes(P.E.S.).

Guia de la Facultad de Matemáticas Horarios del curso 2014-2015 (Grado, PES y Máster) 13

Segundo Cuatrimestre

1º#GM#C2 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 E4Pro4Estad

1011111112 Geo4Af.4Euc Geo4Af.4Euc Una4Vble4212113 E4Pro4Estad E4Pro4Estad Una4Vble4213114 E4Pro4Estad

2º#GM#C2 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 Gru4y4An An4Num4Mat EDO

10111 Topol4Sup Topol4Sup11112 FVV3 EDO An4Num4Mat12113 FVV3 Gru4y4An13114

3º#GM#C2 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 EDP+Fourier A4P4P4E EDP+Fourier

10111 Ecuac4Alg11112 Ecuac4Alg1211313114 A4P4P4E

4º#GM#C2 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 Mat4Mer4Fin

1011111112 Opt4C Opt4D1211313114 Geom4y4Relat

Opt4COpt4D

MMAP#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNESTopología4Algebraica Códigos4CorrectoresLoc.4Dist.4Y4Trans Opt.4Geom.4Conv.

Topología4AlgebraicaLoc.4Dist.4Y4Trans

Puede4consultar4la4distribución4de4aulas4del4máster4en4el4siguiente4enlace:

Opt.4Geom.4Conv.

Análisis4no4linealEstadística4Bayesiana

http://www.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/masteres/matematicas/2014115

Estadística4Multivariante4//4Fundamentos4de4las4MatemáticasÁlgebra4no4conmutativa4//4Teoría4cualitativa4de4las4Ecuaciones4Diferenciales4Ordinarias

MÁSTER#EN#MATEMÁTICA#AVANZADA#Y#PROFESIONAL#:#2do#CUATRIMESTRE.#Inicio#de#las#clases#el#día#2#de#febrero

16118

Top4Esp4Met

Topol4Sup

EDO

EDP+Fourier A4P4P4ELab4Model Lab4Model

CUARTO#CURSO#:#Aula#2.10#y#Seminario#2.07#(Aprox.#11#semanas)

Mat4Mer4Fin Opt4D Mat4Mer4FinOpt4C

Opt4D

Geom4y4Relat Opt4CGeom4y4Relat

TERCER#CURSO#:#Aula#2.08

Lab4Model Geo4Glb4SupGeo4Glb4Sup Ecuac4Alg

SEGUNDO#CURSO#:#Aula#2.06

Gru4y4An FVV3

An4Num4Mat

11113 Sist.4Dinám.4Discr. Tec.4Comp.4Optm.

GRADO#EN#MATEMÁTICAS#:#2do#CUATRIMESTRE.#Del#2#de#febrero#al#20#de#mayo

Una4Vble42Prog4OO

Top4Esp4Met Geo4Af.4Euc

PRIMER#CURSO#:#Aulas#2.03#y#2.04

14 Horarios del curso 2014-2015 (Grado, PES y Máster) Universidad de Murcia

1º#PES#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 Geo7Af.7Euc1011111112 Geo7Af.7Euc Una7Vble7212113 Una7Vble7213114

2º#PES#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 EDO10111 E7Pro7Estad E7Pro7Estad11112 FVV3 EDO12113 FVV313114

3º#PES#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 Gru7y7An An7Num7Mat10111 Topol7Sup Topol7Sup11112 An7Num7Mat12113 Gru7y7An

4º#PES#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES9110 EDP+Fourier A7P7P7E EDP+Fourier10111 Ecuac7Alg11112 Ecuac7Alg1211313114 A7P7P7E

5º#PES#C1 LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES911010111111121211313114

(*)7Horario7correspondiente7a7las7asignaturas7del7PES7que7se7imparten7en7el7Grado7de7Matemáticas.7Las7asignaturas7correspondientes7al7Grado7de7Ingeniería7Informática7se7pueden7

consultar7en7la7web7de7la7Facultad7de7Informática.

Top7Esp7Met Top7Esp7Met

E7Pro7Estad

EDO

Gru7y7AnTopol7Sup

EDP+Fourier A7P7P7ELab7Model Lab7Model

Ecuac7Alg

QUINTO#CURSO#3#Aula#2.08

Geo7Glb7SupGeo7Glb7Sup

Lab7Model

An7Num7Mat

CUARTO#CURSO#3#Aula#2.08

TERCER#CURSO#3#Aulas#2.06#

SEGUNDO#CURSO#3#Aula#2.06#(FVV3#y#EDO)#y#Sem.#2.09#(EPE)

FVV3

PLAN#DE#ESTUDIOS#SIMULTÁNEOS#3#GMAT#+#GII#(*).#2do#CUATRIMESTREDel#2#de#febrero#al#20#de#mayo

PRIMER#CURSO#3#Aula#2.03

Una7Vble72 Geo7Af.7Euc

A lo largo del segundo cuatrimestre hay hasta cuatro semanas de recuperación previstas para elGrado en Matemáticas y el Plan de Estudios Simultáneos. El horario para estas semanas se puede con-sultar en www.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/grados/matematicas (Gra-do en Matematicas) y en www.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/grados/pes(P.E.S.).

Guia de la Facultad de Matemáticas Fechas de exámenes del Curso 2014-2015 15

4.3. Fechas de exámenes del Curso 2014-2015

La Junta de Facultad, a petición de los representantes de alumnos, podrá introducir cambios en elcalendario de exámenes de la convocatoria de enero. Consúltese el calendario definitivo a principiosdel mes de diciembre en:

www.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/grados/matematicas/

Grado&/&PES

Grado

Convoc&Ordinaria

Convoc&Extraord

mi&3&7&ene

ju&3&8&ene

vi&3&9&ene

sá&3&10&ene

1º

1º

2º

2º

3º

3º

4º

4º

lu&3&12&ene

ma&3&13&ene

mi&3&14&ene

ju&3&15&ene

vi&3&16&ene

sá&3&17&ene

1º

Conjun

tos&y

&Núm

eros

mPOO

tFÍSICA

mF1V2

t1º

2º

E.D.O.

tAm

pliación

&AL

tGrupos&y&Anillos

t2º

3º

FV&Com

pleja

mEDP+Fourier

mTeoría&de&la&Prob

tLab.&Modelización

m3º

4º

Álgebra&Co

nmutativa

tONL

mMat.&M

erc&Financ

mCo

d&Co

rr&Crip

mEst.&Multiv

m4º

lu&3&19&ene

ma&3&20&ene

mi&3&21&ene

ju&3&22&ene

vi&3&23&ene

sá&3&24&ene

1º

F1V1

mElem.&Prob.&Estad.

tISCP

mGeom&Afin&y&Euclídea

t1º

2º

FVV1

tOptim

ización&Line

alt

Anal.&Num.&Matric.

tNum

érico&1&Vb

lem

2º

3º

Grafos&OD

mAmpl.&Prob.&Y&PE

mEc.&Algebraicas

m3º

4º

Inferencia&Estad

ística

tFund.&Matema

tMNVE

DPt

TC.&EDO

tAlgebra&no&conmut

m4º

lu&3&26&ene

ma&3&27&ene

mi&3&28&ene

ju&3&29&ene

1º

Álgebra&Line

alm

Top.&Esp.&Métricos

m

2º

FVV3

tFV

V2t

Topol.&Superficies

t

3º

Num

érico&ED

mGe

o&Cu

r&Sup

mGeom.&Global&Superf.

m

4º

Análisis&Fun

cion

alt

Geom

etría

&de&Riem

ann

mGeom.&Y&Relati

m

Los&e

xámen

es&del&M

áster&e

n&Matem

ática&Av

anzada

&y&Profesion

al&y&de&la&Licen

ciatura&de

&Matem

áticas&se

&fijarán&a&mita

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16 Fechas de exámenes del Curso 2014-2015 Universidad de Murcia

La Junta de Facultad, a petición de los representantes de alumnos, podrá introducir cambios en elcalendario de exámenes de las convocatorias de junio y julio. Consúltese el calendario definitivo afinales del mes de abril en:

www.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/grados/matematicas/

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Guia de la Facultad de Matemáticas Fechas de exámenes del Curso 2014-2015 17

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18 Cuadro de profesores por asignatura Universidad de Murcia

4.4. Cuadro de profesores por asignatura

Los coordinadores de la asignatura figuran en primer lugar, y el resto por orden alfabético.

Grado en Matemáticas

Asignatura (C1) ProfesoradoFunciones de una variable real I Salvador Sánchez-Pedreño Guillén

Pedro Fernández MartínezÁlgebra lineal Claudi Busqué Roca

José Asensio MayorAlberto del Valle Robles

Conjuntos y números Pedro Antonio Guil AsensioJosé Luis García Hernández

Física Gregorio José Molina CuberosJosefa Núñez Trigueros

Introducción al software científico y a la programación Luis Daniel Hernández MolineroGregorio Martínez PérezSantiago Paredes Moreno

Asignatura (C2) ProfesoradoFunciones de una variable real II Pedro Fernández Martínez

Salvador Sánchez-Pedreño GuillénTeresa María Signes Signes

Geometría afín y euclídea Claudi Busqué RocaJuan Martínez Hernández

Topología de espacios métricos Miguel Ángel Meroño BayoLuis José Alías LinaresÁngel Ferrández Izquierdo

Elementos de probabilidad y estadística María José Fernández SáezJorge Navarro CamachoNoemí Zoroa Alonso

Programación orientada a objetos Gregorio Martínez PérezLuis Daniel Hernández MolineroSantiago Paredes Moreno

Asignatura (C3) ProfesoradoFunciones de varias variables I Luis Oncina Deltell

Matías Raja BañoFunciones de varias variables II Matías Raja Baño

Stanimir TroyanskiAmpliación de álgebra lineal y geometría Claudi Busqué RocaCálculo numérico en una variable Teresa María Signes SignesOptimización lineal Blas Pelegrín Pelegrín

Pascual Fernández Hernández

Guia de la Facultad de Matemáticas Cuadro de profesores por asignatura 19

Asignatura (C4) ProfesoradoFunciones de varias variables III Antonio Avilés LópezEcuaciones diferenciales ordinarias Antonio Linero BasGrupos y anillos Alberto del Valle Robles

José Asensio MayorAnálisis numérico matricial Antonio José Pallarés RuizTopología de superficies Luis José Alías LinaresAsignatura (C5) ProfesoradoFunciones de variable compleja Gustavo Garrigós Aniorte

Matías Raja BañoGeometría de curvas y superficies José Antonio Pastor GonzálezTeoría de la probabilidad Noemí Zoroa AlonsoMétodos numéricos de las ecuaciones diferenciales Eliseo Chacón Vera

José Ginés Espín BuendíaGrafos y optimización discreta Alfredo Marín PérezAsignatura (C6) ProfesoradoEcuaciones en derivadas parciales y series de Fourier Francisco Balibrea Gallego

Bernardo Cascales SalinasGeometría global de superficies María Ángeles Hernández CifreAmpliación de probabilidad y procesos estocásticos Noemí Zoroa Alonso

José María Ruiz GómezEcuaciones algebraicas José Asensio MayorLaboratorio de modelización Francisco Esquembre Martínez

José Fernández HernándezManuel A. Pulido Cayuela

Asignatura (C7) ProfesoradoInferencia estadística Félix Belzunce Torregrosa

José María Ruiz GómezAnálisis funcional Víctor Jiménez López

Matías Raja BañoÁlgebra conmutativa Juan Martínez HernándezCódigos correctores y criptografía Pedro Antonio Guil Asensio

Juan Jacobo Simón PineroGeometría de Riemann José Antonio Pastor GonzálezMétodos numéricos y variacionales de las EDP’s Eliseo Chacón VeraOptimización no lineal Blas Pelegrín Pelegrín

Manuel A. Pulido CayuelaPrácticas externas Francisco Esquembre (coordinador)Asignatura (C8) ProfesoradoÁlgebra no conmutativa Ángel del Río MateosFundamentos de la matemática José Luis García HernándezEstadística multivariante Jorge Navarro Camacho

Manuel Franco NicolásGeometría y relatividad Miguel Ángel Meroño BayoMatemática de los mercados financieros José Manuel Mira Ros

Antonio José Pallarés RuizTeoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales Salvador Sánchez-Pedreño GuillénTrabajo de fin de Grado Alberto del Valle (coordinador)

20 Cuadro de profesores por asignatura Universidad de Murcia

Máster en Matemática Avanzada y Profesional

Asignatura (primer cuatrimestre) ProfesoradoÁlgebras y sus Representaciones Manuel Saorín CastañoAnálisis de Fiabilidad de Sistemas Jorge Navarro CamachoCálculo Estocástico Antonio José Pallarés Ruiz

Gustavo Garrigós AniorteControl de Calidad para la Industria Félix Belzunce TorregrosaGeometría y Topología para entender el Universo Pascual Lucas Saorín

Ángel Ferrández IzquierdoMiguel Ángel Javaloyes Victoria

Métodos Estadísticos de Predicción y Clasificación Manuel Franco NicolásJuana María Vivó Molina

Modelización y Cuantificación de Riesgos Félix Belzunce TorregrosaJosé María Ruiz Gómez

Optimización Combinatoria Alfredo Marín PérezManuel A. Pulido Cayuela

Programación en C/C++ y aplicaciones matemáticas Eliseo Chacón VeraTeoría de Conjuntos Antonio Avilés López

José Luis García HernándezTeoría de Juegos Noemí Zoroa Alonso

María José Fernández SáezManuel A. Pulido Cayuela

Teoría de la Medida Matías Raja BañoStanimir Troyanski

Teoría de Números y Criptografía Ángel del Río MateosTeoría del Arbitraje Antonio José Pallarés Ruiz

Bernardo Cascales SalinasAsignatura (segundo cuat.) ProfesoradoAnálisis no Lineal Stanimir TroyanskiCódigos Correctores Juan Jacobo Simón PineroEstadística Bayesian Juan Antonio Cano SánchezLocalización, Distribución y Transporte Blas Pelegrín Pelegrín

José Fernández HernándezPascual Fernández Hernández

Optimización Geométrica en Convexidad María Ángeles Hernández CifreSistemas Dinámicos Discretos Víctor Jiménez López

Francisco Balibrea GallegoAntonio Linero Bas

Técnicas Computacionales para la Optimización José Manuel Cadenas FigueredoMaría del Carmen Garrido Carrera

Topología Algebraica Pedro Antonio Guil AsensioJuan Martínez Hernández

Prácticas externas Víctor Jiménez (coordinador)Trabajo de Fin de Máster Víctor Jiménez (coordinador)

Guia de la Facultad de Matemáticas Guías de asignaturas: Grado en Matemáticas 21

5. Guías de asignaturas: Grado en Matemáticas

AVISO: Se presentan resúmenes sin validez oficial de las guías oficiales que están en el Aula Virtual y enwww.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/planificacion.

1568. Funciones de una variable real IProfesorado Despacho Teléfono e-mailSalvador Sánchez-Pedreño Guillén 1.06 (Matem.) 86888 3536 [email protected]

Pedro Fernández Martínez S.11 (Matem.) 86888 4602 [email protected]

Presentación de la asignaturaEl estudio de las funciones reales de una variable real se distribuye en este Grado en las asignaturas

Funciones de una variable real I y II. El núcleo esencial del conjunto es el cálculo diferencial e integral,y en torno a él se configuran otros elementos que le dan consistencia e ilustran la enorme utilidad, parauna gran variedad de problemas, de los conceptos y técnicas desarrollados.

Programa de la Asignatura

1. Números reales y complejos. Definición axiomática de R. Primeras propiedades. Potencias yraíces. Valor absoluto. El cuerpo de los números complejos.

2. Sucesiones y series numéricas. Sucesiones convergentes. Sucesiones monótonas. Subsucesiones yteorema de Bolzano-Weierstrass. Sucesiones de Cauchy. Completitud de R y C. Series numéricas.Criterios de convergencia para series de términos positivos. Propiedades asociativa y disociativapara series. Convergencia absoluta e incondicional.

3. Funciones continuas y límites. Continuidad en un punto y global. Teorema de Bolzano y propie-dad de los valores intermedios. Continuidad y monotonía. Función inversa. Continuidad uniforme.

4. Derivadas. Concepto de derivada. Regla de la cadena. Teoremas de Rolle y del incremento finito.Extremos de funciones derivables. Teorema de la función inversa. Regla de L’Hospital.

⇧

1569. Álgebra lineal

Profesorado Despacho Teléfono e-mailClaudi Busqué Roca 0.13 (Matem.) 86888 4178 [email protected]

José Asensio Mayor 1.15 (Matem.) 86888 3586 [email protected]

Alberto del Valle Robles 0.02 (Matem.) 86888 4167 [email protected]

Presentación de la asignaturaEl Álgebra Lineal es un pilar de las Matemáticas cuyos conceptos y métodos son empleados en Ál-

gebra, Análisis, Geometría, Estadística, Investigación Operativa, etc. Se desarrollarán sus conceptos yherramientas básicos, que serán utilizados y desarrollados en asignaturas posteriores, por lo que tan im-portante como manejar los métodos debe ser comprender bien los conceptos que hay detrás de ellos. Unobjetivo general de la asignatura es el de introducir a los alumnos en el método y en el lenguaje mate-máticos: Deben ir avanzando progresivamente en su capacidad de leer, analizar, comprender y reproducirrazonamientos, distinguiendo las ideas básicas de los aspectos más rutinarios, e identificando posibleserrores.

22 Conjuntos y números Universidad de Murcia


1. Preliminares. Introducción al método matemático y a algunas estructuras algebraicas básicas,cuerpos.

2. Espacios vectoriales Definición y ejemplos. Subespacios vectoriales. Combinaciones lineales, ge-neradores. Dependencia e independiencia lineal. Bases, dimensión. Coordenadas, matriz de cambiode base. Operaciones con subespacios.

3. Aplicaciones lineales. Definición y ejemplos. Aplicaciones lineales y subespacios, núcleo, imagen,rango. Matriz asociada a una aplicación lineal, matrices equivalentes. El espacio de las aplicacioneslineales, espacio dual. Espacio vectorial cociente.

4. Sistemas de ecuaciones lineales. Definición. Existencia y unicidad de soluciones, Teorema deRouché-Frobenius. Método de Gauss.

5. Determinantes. Determinante de una matriz, propiedades. Matriz adjunta, cálculo de la inversapor determinantes. Cálculo del rango de una matriz por determinantes. Regla de Cramer.

6. Diagonalización de endomorfismos y matrices. Matrices y endomorfismos diagonalizables. Subes-pacios invariantes. Vectores y valores propios. Caracterización de los endomorfismos y matricesdiagonalizables. Aplicaciones. Introducción a las formas de Jordan de matrices.

⇧

1570. Conjuntos y números

Profesorado Despacho Teléfono e-mailPedro Antonio Guil Asensio 1.01 (Matem.) 86888 3676 [email protected]

José Luis García Hernández 1.03 (Matem.) 86888 3678 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura Conjuntos y Números tiene, de forma genérica, un doble objetivo: Por una parte, pre-

tende introducir las nociones básicas de la Teoría de Conjuntos que sirven de lenguaje común a todas lasramas de la Matemática, haciendo énfasis en el rigor lógico y en la falta de ambigüedad que le caracterizanen contraposición con el lenguaje natural. Por otra parte, la asignatura presenta contenidos muy básicossobre números y polinomios.


1. Conjuntos. Relaciones de pertenencia y contenido. Igualdad de conjuntos. Partes de un conjunto.Operaciones con subconjuntos. Pares ordenados. Producto cartesiano de conjuntos.

2. Aplicaciones. Definición de aplicación. Tipos de aplicaciones. Imágenes directas e inversas. Com-posición de aplicaciones. Aplicación inversa de una aplicación biyectiva.

3. Relaciones de orden. Conjuntos ordenados. Elementos singulares de un conjunto ordenado.

4. Relaciones de equivalencia. Relación de equivalencia. Clases de equivalencia. Conjunto cociente.Relaciones de equivalencia y particiones.

Guia de la Facultad de Matemáticas Física 23

5. Números naturales. Números naturales. Principio de inducción. Suma y producto. Divisibilidady números primos. Combinatoria.

6. Numeros enteros. Construcción de Z. Operaciones en Z. Divisibilidad en Z. Máximo comúndivisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bézout. Aritmética modular.Teorema chino de los restos.

7. Números racionales, reales y complejos. Construcción de los cuerpos Q, R y C. Operaciones.8. Polinomios. Polinomios con coeficientes en un cuerpo. División entera. Máximo común divisor

y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bézout. Raíces de un polinomio.Factorización de polinomios en R y C.

⇧

1571. FísicaProfesorado Despacho Teléfono e-mailJosefa Núñez Trigueros ? (Quím.) 86888 7377 [email protected]

Gregorio José Molina Cuberos 106 (Quím.) 86888 7374 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura plantea los principios básicos de la Mecánica Newtoniana, y aborda a partir de ellos el

estudio de sistemas físicos de relevancia. La asignatura profundiza, fundamenta y completa conocimientosanteriores que los alumnos poseen sobre esta materia y sirve de instrumento para el planteamiento demodelos físicos sencillos. Los sistemas oscilantes, los sistemas planetarios y la propagación de ondasserán los sistemas físicos en que se aplicarán los conceptos y leyes básicos desarrollados en el curso.


1. Introducción al estudio de la Física. Método experimental. Magnitudes físicas. Unidades.2. Estudio del movimiento. Descripción del movimiento: magnitudes cinemáticas. Componentes de

la velocidad y la aceleración. Resolución numérica de la ecuación de movimiento. Movimientorelativo. Sistemas de referencia y relaciones de transformación.

3. Leyes de Newton. Enunciado de las Leyes de Newton y sus aplicaciones. Interacciones fundamen-tales. Fuerzas de contacto. Fuerzas macroscópicas.

4. Trabajo y Energía. Oscilaciones. Definición y relaciones entre trabajo y energías cinética y po-tencial. Discusión de curvas de Energía. El oscilador armónico. Oscilaciones mecánicas.

5. Sistemas de partículas. Centro de masas. Energía y momento angular. Leyes de conservación.Colisiones. Aplicación a sistemas de muchas partículas.

6. Fuerzas centrales. Interacciones centrales: sus propiedades. Sistemas de dos partículas. Trayecto-rias. Aplicación al estudio de la interacción gravitatoria: Leyes de Kepler.

7. Relatividad. Introducción a la dinámica relativista.

⇧

24 Introducción al software científico y a la programación Universidad de Murcia

1572. Introducción al software científico y a la programación

Profesorado Despacho Teléfono e-mailLuis Daniel Hernández Molinero 1.16 (Inform.) 86888 4619 [email protected]

Gregorio Martínez Pérez 1.12 (Inform.) 86888 7646 [email protected]

Santiago Paredes Moreno ? (Inform.) 86888 4826 [email protected]

Presentación de la asignaturaEl uso de ordenadores facilita la comprensión de nociones matemáticas, pues permite entender mejor

los procesos y facilita los cálculos. Los estudiantes de matemáticas deben dar un paso más, manejandosoftware científico-matemático que les ayude en la resolución de problemas de su ámbito. Las herramien-tas disponibles son muy diversas, como las orientadas al análisis de datos y estadística, al cálculo numéricoy simbólico, al procesamiento de texto científico, las enfocadas a simulación de sistemas, visualizacióny gráficos, y, por supuesto, las destinadas a la programación utilizando lenguajes bien implantados en elmercado laboral.

El objetivo de la asignatura es la adquisición de competencias básicas relativas a esas herramientas,con hincapié en el sistema algebraico computacional Maxima, el entorno para computación estadística ygráfica R, el manejo de hojas de cálculo Impress y Excel, la creación de documentos científicos de altacalidad tipográfica utilizando el lenguaje LATEX, así como el diseño de algoritmos y su programación enun lenguaje imperativo basado en el lenguaje de programación JAVA.


BLOQUE 1: INTRODUCCIÓN AL SOFTWARE CIENTÍFICO1. Software científico-matemático. Tipos de problemas en el ámbito matemático. Herramientas para

la resolución de problemas matemáticos.2. Creación de documentos técnicos. Tipos de procesadores de texto. Definición de tipo de do-

cumento (DTD) y documentos basados en marcas. TEXy LATEX. Composición de documentos enLATEX: paquetes, estructura, expresiones matemáticas, tablas y figuras.

3. Sistemas de manipulación y análisis de datos.

Hojas de Cálculo. Concepto. Edición. Funciones y modelos. Representaciones gráficas.

Paquetes estadísticos: concepto, tipología y componentes. Paquetes gráficos. Tipos de gráfi-cos. El paquete R. Cálculo escalar, vectorial y matricial en R. Funciones. Introducción a larepresentación gráfica con R.

4. Sistemas algebraicos computacionales. Concepto y tipos. El sistema Maxima. Expresiones yaritmética. Funciones. Transformaciones algebraicas. Gráficos.BLOQUE 2: INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN

5. Introducción a la programación. Resolución de problemas. Conceptos de algoritmo y programa.Ciclo de vida del software. Paradigmas de programación. Evolución de la programación. Principiosde diseño de algoritmos. Concepto de abstracción. División del problema: programación modular,refinamiento progresivo, diseño top-down. Modelización de datos: objetos, atributos y relaciones.

6. Variables, operadores y expresiones. Tipos de datos simples. Declaración de las variables y cons-tantes. Identificadores. Ámbito. Inicialización. Operadores aritméticos. Operadores relacionales ycondicionales. Operadores lógicos. Operadores de asignación. Expresiones, sentencias y bloques.

Guia de la Facultad de Matemáticas Funciones de una variable real II 25

7. Estructuras de control de flujo de ejecución. Concepto de estructura de control. Estructurasde control condicionales. Sentencias condicionales abiertas y cerradas. Anidamiento de sentenciascondicionales. Sentencia de selección múltiple. Estructuras de control iterativas. Bifurcación.

8. Abstracción operacional. Declaración. Definición. Invocación. Paso de parámetros: por valor ypor referencia. Devolución de valores.

9. Tipos de datos estructurados. Introducción. Strings. Arrays. Matrices.10. Algoritmos de ordenación y búsqueda. Busqueda secuencial. Búsqueda binaria no recursiva.

Ordenación por inserción directa. Ordenación por intercambio directo: método de la burbuja.11. Recursividad. Concepto. Tipos de Recursividad. Ventajas e inconvenientes.

⇧

1573. Funciones de una variable real IIProfesorado Despacho Teléfono e-mailPedro Fernández Martínez S.11 (Matem.) 86888 4602 [email protected]

Salvador Sánchez-Pedreño Guillén 1.06 (Matem.) 86888 3536 [email protected]

Teresa María Signes Signes 1.18 (Matem.) 86888 7599 [email protected]

Presentación de la asignaturaEl estudio de las funciones reales de una variable real se distribuye en este Grado en las asignaturas

Funciones de una variable real I y II. El núcleo esencial del conjunto es el cálculo diferencial e integral,y en torno a este núcleo se van configurando otros elementos que le dan consistencia y fundamento o quesirven para ilustrar la enorme utilidad, para una gran variedad de problemas, de los conceptos y técnicasdesarrollados en la asignatura.

Estas asignaturas profundizan, fundamentan y completan conocimientos que los alumnos poseen so-bre esta materia y sirve de cimiento e instrumento para el estudio de otros temas más avanzados delAnálisis Matemático que se abordarán en cursos posteriores.


1. Fórmula de Taylor y aplicaciones. Fórmula de Taylor. Funciones convexas. Estudio local defunciones. Asíntotas. Dibujo de gráficas.

2. Cálculo integral. Integral de Riemann. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow. Inte-gración por partes. Cambio de variable en integrales definidas. Integración de funciones racionales,trigonométricas e irracionales sencillas. Aplicaciones de la integral definida.

3. Integrales impropias. Criterios de convergencia por comparación para funciones no negativas.Integrales y series numéricas: criterio de la integral. Convergencia absoluta.

4. Series de potencias y funciones elementales. Series de potencias. La función exponencial real ycompleja. Las funciones trigonométricas. Medida de ángulos.

⇧

26 Topología de espacios métricos Universidad de Murcia

1574. Geometría afín y euclídea


Juan Martínez Hernández 1.04 (Matem.) 86888 3533 [email protected]

Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se presentan las nociones y resultados elementales de la Geometría Afín y la Geo-

metría Euclídea, sobre la base de los conceptos y métodos que se estudian en la asignatura Álgebra Lineal,de la cual ésta es una continuación natural.


1. Espacios afines. Espacios afines. Sistemas de referencia y coordenadas. Variedades lineales afines:dirección, dimensión, ecuaciones, paralelismo, intersecciones y sumas.

2. Transformaciones afines. Aplicación afín y aplicación lineal asociada; representación matricial.Transformaciones afines; puntos fijos. Traslaciones, homotecias, proyecciones y simetrías.

3. Espacios euclídeos. Espacios vectoriales euclídeos: Producto escalar, normas y ortogonalidad.Bases ortogonales. Ortogonalidad de subespacios, complemento ortogonal, proyección ortogonal.Espacios afines euclídeos. Variedades perpendiculares, distancia entre puntos y variedades.

4. Transformaciones ortogonales. Ángulos. Transformaciones ortogonales y matrices ortogonales,transformaciones positivas y negativas. Clasificación en dimensión menor o igual que 3. Ángulos,orientación, producto vectorial.

5. Movimientos. Movimientos; ejemplos con puntos fijos y sin puntos fijos. Clasificación en dimen-sión menor o igual que 3.

⇧

1575. Topología de espacios métricos

Profesorado Despacho Teléfono e-mailMiguel Ángel Meroño Bayo 0.14 (Matem.) 86888 4179 [email protected]

Luis José Alías Linares 1.15 (Matem.) 86888 4180 [email protected]

Ángel Ferrández Izquierdo 0.07 (Matem.) 86888 4172 [email protected]

Presentación de la asignaturaEl estudiante del Grado en Matemáticas que inicia el segundo cuatrimestre ya conoce los conceptos

de continuidad y convergencia. Esta asignatura pretende extender dichos conceptos a una situación másgeneral. Se trata de hacer un cambio gradual del análisis real, hasta ahora conocido, a otros espaciosmás abstractos empleando los espacios métricos como puente. La aproximación a los conceptos másgenerales se hará a través de su relación con los correspondientes con los que el estudiante se encuentramás familiarizado.

Esta asignatura tiene un carácter puramente introductorio. Se definirá el concepto de distancia y detopología asociada a una métrica y, a partir de aquí, se estudiarán los principales conceptos asociados aeste tipo de espacios.

Guia de la Facultad de Matemáticas Elementos de probabilidad y estadística 27


1. Espacios métricos. Distancia. Espacio métrico. Distancias en R y Rn. Ejemplos de espacios mé-tricos. Subespacio métrico. Distancia a un conjunto y distancia entre conjuntos. Bolas. Topologíaasociada a una métrica. Conjuntos abiertos y cerrados. Propiedades. Producto de espacios métricos.

2. Subconjuntos destacados en la topología. Adherencia, interior y frontera. Conjuntos densos yespacios separables. Puntos aislados y de acumulación. Adherencia, interior y frontera relativos.Sucesiones. Convergencia. Caracterización mediante sucesiones de los puntos adherentes y puntosfrontera.

3. Aplicaciones continuas. Continuidad de funciones entre espacios métricos. Continuidad en unpunto. Continuidad global. Caracterización de la continuidad mediante sucesiones. Principales pro-piedades de las aplicaciones continuas. Aplicaciones abiertas, cerradas y homeomorfismos. Aplica-ciones continuas en subespacios. Continuidad uniforme. Isometrías.

4. Espacios compactos. Espacio y subespacio compacto. Subconjuntos compactos de la recta realy del espacio euclídeo Rn. Compacidad secuencial. Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Relaciónentre la compacidad y las funciones continuas. Propiedad de la intersección finita.

5. Espacios conexos Espacios métricos conexos. Propiedades. Componentes conexas. Los subespa-cios conexos de la recta real. Conexión y continuidad. Conexión por caminos.

6. Espacios métricos completos. Sucesiones de Cauchy. Los espacios euclídeos Rn. Relación entrela completitud y la compacidad. Algunos resultados interesantes: teorema de encaje de Cantor, unteorema de Baire, teorema del punto fijo. Completado de un espacio métrico.

⇧

1576. Elementos de probabilidad y estadística

Profesorado Despacho Teléfono e-mailMaría José Fernández Sáez 2.15 (Matem.) 86888 3639 [email protected]

Jorge Navarro Camacho 2.13 (Matem.) 86888 3509 [email protected]

Noemí Zoroa Alonso 2.09 (Matem.) 86888 3633 [email protected]

Presentación de la asignaturaEsta asignatura esta destinada a introducir al alumno en los fundamentos de la probabilidad y en su

aplicación a la modelización matemática de fenómenos aleatorios reales. Sus contenidos son básicos parael posterior estudio del resto de asignaturas de probabilidad y estadística del Grado en Matemáticas.


1. Introducción a la combinatoria. Combinatoria. Binomio de Newton y fórmula de Leibniz.

2. Espacio de probabilidad. Sigma-álgebras de sucesos. Propiedades de la familia de sucesos. Lí-mites de sucesiones monótonas. Sigma álgebra de Borel en R. Función de probabilidad. Primeraspropiedades de la función de probabilidad. Propiedades de límite de la función de probabilidad.

28 Programación orientada a objetos Universidad de Murcia

3. Probabilidad condicionada. Definición. Propiedades. Teorema de la probabilidad total, de la pro-babilidad compuesta y de Bayes. Independencia entre sucesos.

4. Variable aleatoria de una dimensión. Definición de variable aleatoria. Distribución de una varia-ble aleatoria. Función de distribución. Distribuciones de tipo discreto. Función puntual de probabi-lidad. Distribuciones de tipo continuo. Función de densidad.

5. Esperanza matemática de variables aleatorias de tipo discreto y continuo. Esperanza mate-mática de variables aleatorias, casos discreto y continuo. Propiedades. Momentos. Existencia yrelación entre momentos. Otras características de las variables aleatorias.

6. Modelos básicos de distribuciones de probabilidad. Distribuciones discretas (Bernoulli, Bino-mial, Geométrica, . . . ) y continuas (Normal, exponencial, . . . ). Simulación de datos de modelosteóricos. Análisis descriptivo de datos. Comparación entre características teóricas y empíricas.

7. Estadística Descriptiva. Introducción a la Inferencia Estadística. Estadística descriptiva. Intro-ducción a la inferencia estadística.

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1577. Programación orientada a objetos

Profesorado Despacho Teléfono e-mailGregorio Martínez Pérez 1.12 (Inform.) 86888 7646 [email protected]

Luis Daniel Hernández Molinero 1.16 (Inform.) 86888 4619 [email protected]

Santiago Paredes Moreno ? (Inform.) 86888 4826 [email protected]

Presentación de la asignaturaSe hace una introducción a la programación orientada a objetos eminentemente práctica, con énfasis

en la realización de ejercicios y la utilización de ordenadores. Se estudia el paradigma orientado a objetoscomo solución a los problemas que aparecen al tratar de resolver problemas complejos usando exclusi-vamente la programación estructurada o procedural. Se da una introducción de los conceptos de clasey objeto y se tratan los distintos aspectos relativos a la programación orientada a objetos: Abstracción,Encapsulación, Ocultación, Polimorfismo y Herencia. Como lenguaje de referencia se utiliza Java.


1. Clases y Objetos. Introducción, necesidad, conceptos básicos. El ciclo de vida de un objeto: defi-nición, declaración, construcción, uso y destrucción.

2. Miembros y Métodos. Concepto de clientela. Diferencia entre funciones y métodos. El objeto this.Métodos y miembros estáticos. El método estático main.

3. Ocultación y Sobrecarga. Mecanismos de control de acceso. Ocultación a nivel de paquete y declase. Sobrecarga de constructores y de métodos.

4. Herencia. Jerarquías de clase. Concepto de subtipo. Reescritura de métodos. Polimorfismo. Uso de“super”. Pérdida y recuperación de tipo. El supertipo Object. Mecanismos de ocultación específicosde la herencia. Clases y métodos abstractos.

5. Interfaces. Implementación o herencia. Implementación múltiple. Herencia de interfaz. Herenciae interfaces.

6. Entrada/Salida. Flujos. Ficheros. Lectura por teclado. Serialización. Componentes gráficos.

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Guia de la Facultad de Matemáticas Funciones de varias variables I 29

1578. Funciones de varias variables I

Profesorado Despacho Teléfono e-mailLuis Oncina Deltell 0.06 (Matem.) 86888 7660 [email protected]

Matías Raja Baño 0.01 (Matem.) 86888 4166 [email protected]

Presentación de la asignatura

Esta asignatura es la primera de las tres en las que se han dividido los contenidos de funciones devarias variables por lo que, además de servir como introducción, contiene material indispensable para eldesarrollo de las asignaturas correspondientes a las partes segunda y tercera. No obstante, la dependen-dencia con Funciones de Varias Variables II se limita esencialmente a algunas cuestiones de topología deRn y modos de convergencia de sucesiones funcionales que se ven las primeras semanas, por lo que nodificulta su impartición simultánea en el primer cuatrimestre.


1. Espacios normados, convergencia y continuidad. Espacio normado. Convergencia puntual yuniforme de sucesiones de funciones, aplicación a series. Límites para funciones de varias variables,continuidad y continuidad uniforme.

2. Funciones y aplicaciones diferenciables. Derivadas de las funciones vectoriales de una variablereal. Derivada direccional, diferenciabilidad. Regla de la cadena.

3. Diferenciabilidad de orden superior. Derivadas parciales. Conmutatividad de la derivación. Fór-mula de Taylor.

4. Optimización. Extremos libres y condicionados. Multiplicadores de Lagrange: aplicaciones.

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1579. Funciones de varias variables II

Profesorado Despacho Teléfono e-mailMatías Raja Baño 0.01 (Matem.) 86888 4166 [email protected]

Stanimir Troyanski 0.03 (Matem.) 86888 4168 [email protected]


La asignatura es una de las tres que componen la materia Análisis Matemático en varias variables.Está dedicada al estudio de los fundamentos de la Integral de Lebesgue y de las técnicas de cálculo deintegrales de funciones de varias variables, y a sus aplicaciones a problemas geométricos, físicos, etc.

30 Ampliación de álgebra lineal y geometría Universidad de Murcia


1. Integrales de Riemann y de Riemann-Stieltjes. Integral de Riemann para funciones de variasvariables. Conjuntos de contenido nulo y de medida nula. Teorema de Fubini. Teorema del Cambiode Variable: cambios a coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Cálculo de integrales múlti-ples. Aplicaciones geométricas de la integral: áreas, volúmenes, masas, baricentros, etc. La Integralde Riemann-Stieltjes, una breve introducción y algunos resultados relacionados (integración porpartes, valor medio,...).

2. Medida de conjuntos. Sigma-álgebras y medidas. Medida exterior. La medida de Lebesgue. Pro-piedades de regularidad e invarianza por traslaciones. Existencia de conjuntos no medibles.

3. La integral de Lebesgue. Funciones medibles. Integrales de funciones medibles positivas, teore-mas de convergencia. Funciones integrables. El papel de los conjuntos de medida nula. Teoremade la convergencia dominada. Completitud de L1 y L2. La integral de Lebesgue y la integral deRiemann: integrales impropias. Funciones definidas por series o integrales dependientes de un pa-rámetro. Aplicaciones y ejemplos notables. Distintas nociones de convergencia de sucesiones.

4. Medida producto. Medida producto. La medida de Lebesgue como medida producto. Integracióniterada (Fubini y Tonelli). Aplicaciones.

5. Medidas imágenes. Cambio de Variable. Medidas imágenes. La integral de Lebesgue y la espe-ranza de una variable aleatoria. El teorema del cambio de variable para transformaciones lineales ytransformaciones diferenciables, el teorema de Sard. Algunas aplicaciones.

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1580. Ampliación de álgebra lineal y geometría


Presentación de la asignaturaEn este curso se estudian las forma biliniales y cuadráticas en espacios vectoriales y las curvas y

superficies cuadráticas en espacios afines y euclídeos.El objetivo fundamental de la asignatura es continuar con el estudio del Álgebra Lineal y la Geometría

Euclídea realizado por el alumno en el primer ciclo del grado, así como fomentar sus capacidades de com-prensión y análisis de problemas matemáticos de carácter geometrico y su interrelación con propiedadesaritméticas de los de los números reales. En particular, se pretende que domine el estudio algebráico-geométrico de las curvas y superficies cuadráticas, y de sus aplicaciones en otras áreas de la matemática.


1. Introducción a las cónicas. Definición a partir de las secciones cónicas. Caracterización comolugares geométricos. Ecuaciones reducidas de las cónicas en un sistema de referencia ortonormal.Ejes. Semiejes. Eexcentricidad. Asíntotas de la hipérbola. Tangentes a las cónicas. Ecuaciones pa-ramétricas. Caracterización alternativa en términos de directiz y foco.

Guia de la Facultad de Matemáticas Cálculo numérico en una variable 31

2. Cónicas. Estudio métrico. Cónicas generales y su determinación. Clasificación métrica. Invarian-tes métricos.

3. El plano proyectivo. Cónicas proyectivas. El plano afín ampliado. Introducción al plano pro-yectivo real. Coordenadas homogéneas. Coordenadas proyectivas. Dualidad. Cónicas proyectivas.Polaridad y tangencia.

4. Formas biliniales y cuadráticas. Definiciones. Diagonalización ortogonal y diagonalización porgongruencia. Completación de cuadrados. Clasificación de formas bilineales en R y C. Ley deinercia de Sylvester. Planos hiperbólicos. Teorema de Witt.

5. Cuádricas. Cuádricas en el espacio euclídeo y proyectivo. Clasificación afín y métrica. Invariantes.Determinación de los elementos geométricos.

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1581. Cálculo numérico en una variableProfesorado Despacho Teléfono e-mailTeresa María Signes Signes 1.18 (Matem.) 86888 7599 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura es una de las tres que constituyen la materia Métodos numéricos, dedicada al fundamen-

to teórico y práctico de algoritmos numéricos para la resolución computacional de problemas provenientesde aplicaciones científicas, con énfasis en la estabilidad, precisión, eficiencia y robustez de los algoritmos.

Esta asignatura aborda la resolución numérica de ecuaciones no lineales, especialmente las polinómi-cas, la interpolación de funciones y la derivación e integración numéricas.


1. Computación. Números y su representación. Errores. Números de máquina. Redondeo. Cálculosestables e inestables. Problemas mal condicionados. Algoritmos: forma, evaluación y complejidad.Algoritmos iterativos y condiciones de parada.

2. Interpolación. Polinomios interpoladores; existencia y unicidad. El método de las diferenciasdivididas de Newton. Polinomio interpolador de Hermite; estimación del error. Convergencia de lospolinomios interpolantes, el contraejemplo de Runge. Splines cúbicos y curvas de Bezier.

3. Diferenciación e integración numérica. Diferenciación numérica y extrapolación de Richardson.Integración numérica basada en la interpolación. Fórmulas de Newton-Côtes: Reglas del trapecio yde Simpson. Integrales múltiples e impropias.

4. Ecuaciones no lineales. Métodos iterativos elementales: bisección, regula Falsi, Newton y de lasecante. Teorema del punto fijo de Banach. Atractores y repulsores. Orden de convergencia de unasucesión. Aceleración de Aitken. Método de Steffensen. Polinomios, evaluación de polinomios,localización y aproximación de raíces, métodos de Laguerre y de separación de Sturm.

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32 Optimización lineal Universidad de Murcia

1582. Optimización lineal

Profesorado Despacho Teléfono e-mailBlas Pelegrín Pelegrín 2.11 (Matem.) 86888 3635 [email protected]

Pascual Fernández Hernández 2.01 (Matem.) 86888 3617 [email protected]

Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se estudia el problema general de optimizar (maximizar o minimizar) una función

lineal en variables continuas sujeta al cumplimiento de una serie de restricciones, de igualdad o desigua-lad, también lineales. El interés de la asignatura es doble. Por un lado, muchos problemas de la vida realque se pueden modelizar como problemas de Optimización Lineal, por lo que se hace necesario conocermétodos para su resolución, así como procedimientos que permitan obtener información de la sensibilidadde las soluciones frente a cambios en los datos de entrada. Por otro lado, la Optimización Lineal se utilizacomo herramienta en la resolución de otros problemas de optimización.


BLOQUE 1: FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN LINEAL1. Modelos de Optimización Lineal. Planteamiento general. Formulaciones canónicas. Formulación

estándar. Método gráfico.2. Elementos de convexidad. Conjuntos convexos; propiedades. Puntos y direcciones extremos.

Combinación convexa. Envolvente convexa. Hiperplanos de separación. Teoremas de alternativa.3. Representación de conjuntos poliédricos. Soluciones básicas. Puntos extremos: caracterización

y existencia. Direcciones extremas. Caracterización. Teorema de representación. Existencia de di-recciones extremas. Teorema fundamental de la optimización lineal.BLOQUE 2: ALGORITMOS DE RESOLUCIÓN

4. Algoritmo del Simplex. Test de optimalidad para un punto extremo. Mejora de la solución. Uni-cidad y multiplicidad de soluciones. Esquema del algoritmo. Degeneración y ciclaje. Tabla delsimplex.

5. Obtención de soluciones iniciales. Variables artificiales. Método de las dos fases. Método depenalización.

6. Variantes del algoritmo del simplex. Algoritmo revisado. Tabla revisada del simplex. Reducciónde problemas con variables acotadas a la forma estándar. Caracterización de puntos extremos y testde optimalidad. Algoritmo para variables acotadas.BLOQUE 3: DUALIDAD Y SENSIBILIDAD

7. Dualidad en optimización lineal. Formulación del problema dual. Teorema de dualidad débil.Teorema de dualidad fuerte. Teorema de complementariedad de las holguras. Resolución del dual apartir del primal. Interpretación económica.

8. Algoritmo dual del simplex. Báse dual factible. Generación de una base a partir de otra. Esquemadel algoritmo. Búsqueda de una base incial.

9. Sensibilidad y análisis paramétrico. Cambios en los datos y optimalidad. Sensibilidad respec-to del vector de costes y respecto del vector de recursos. Cambios en las restricciones. Análisisparamétrico respecto del vector de costes y respecto del vector de recursos.

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Guia de la Facultad de Matemáticas Funciones de varias variables III 33

1583. Funciones de varias variables III

Profesorado Despacho Teléfono e-mailAntonio Avilés López S.10 (Matem.) 86888 8420 [email protected]

Presentación de la asignaturaEsta asignatura es una de las tres que componen la materia Análisis Matemático en varias variables.

Cubre los teoremas de la función inversa e implícita y el análisis vectorial y sus aplicaciones.


BLOQUE 1: TEOREMAS DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA E INVERSA

1. Teoremas de la función implícita e inversa. Aplicaciones. Teorema de la función implícita.Teorema de la función inversa. Aplicaciones.

BLOQUE 2: INTEGRACIÓN SOBRE CURVAS Y SUPERFICIES DE CAMPOS ESCALA-RES Y VECTORIALES

2. Integrales sobre trayectorias y superficies. Integrales de línea. Superficies parametrizadas. Áreade una superficie. Integrales sobre superficies.

BLOQUE 3: OPERADORES DIFERENCIALES CLÁSICOS Y TEOREMAS DE CÁLCU-LO VECTORIAL

3. Operadores diferenciales clásicos. Divergencia. Rotacional. Laplaciano. Interpretaciones físicas.

4. Teoremas de integración del análisis vectorial. Teorema de Green. Teorema de Stokes. Camposconservativos. Teorema de Gauss. Aplicaciones en física e ingeniería. Formas diferenciales.

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1584. Ecuaciones diferenciales ordinarias

Profesorado Despacho Teléfono e-mailAntonio Linero Bas 1.11 (Matem.) 86888 3583 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura plantea un primer contacto con una materia relevante desde los puntos de vista históri-

co y actual, las ecuaciones diferenciales, considerado su clase más sencilla, las ecuaciones diferencialesordinarias (EDO). Son ecuaciones donde la incógnita es una función derivable de una sola variable in-dependiente, que en todos los puntos de un intervalo satisface dicha ecuación. Cuando la funcion que setrata de encontrar depende de varias variables tenemos ecuacies en derivadas parciales, que son objeto deotra asignatura en el Plan de Estudios.

34 Ecuaciones diferenciales ordinarias Universidad de Murcia


1. Introducción. Diferentes tipos de ecuaciones en Matemáticas. Primeras definiciones. Solución deuna ecuación, órbita y trayectoria de un punto. Campos de direcciones. Método de las isoclinas.Problema de Cauchy para las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Sistemas de ecuacionesdiferenciales ordinarias (SEDO). Breve análisis histórico sobre las (EDO) y los (SEDO).

2. Métodos de resolución de EDO. Variables separables. Ecuaciones homogóneas y reducibles a ho-mogéneas. Ecuaciones lineales de primer orden. Ecuaciones de Bernoulli y de Riccati. Ecuacionesexactas y factores integrantes. Cambios de variable en EDO. Ecuaciones de primer orden dadas enforma implícita.

3. Aplicaciones de las EDO de primer orden. Ley de desintegración radiactiva. Ley de enfriamientode Newton. Reacciones quimicas. Crecimiento de poblaciones. Trayectorias de vuelo. Caída librecon resistencia de medio. La braquistócrona. La catenaria. Aplicaciones geométricas de las EDOde primer orden.

4. Ecuaciones y sistemas diferenciales lineales. Introducción. Teoremas de existencia y unicidad.Estructura y naturaleza de las soluciones. Matrices fundamentales. Sistemas lineales no homogé-neos. Variación de las constantes. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Teoría general. Elcaso no homogéneo. Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. El caso no ho-mogéneo. Exponencial de una matriz. El método de los coeficientes indeterminados. Resolución desistemas por el método de eliminación.

5. Aplicaciones de las ecuaciones y los sistemas diferenciales lineales. Leyes de Kepler, vibracionesen sistemas mecánicos, vibraciones en sistemas eléctricos. Resonancia.

6. Teoría de existencia y unicidad. Prolongación. Dependencia de parámetros y valores iniciales.Existencia y unicidad de soluciones. Equivalencia entre ecuaciones diferenciales y ecuaciones inte-grales. Teorema de Picard-Lindelöf local para funciones lipschitzianas. Aproximaciones de Picard.Teorema de Peano local y consecuencias. Teoremas global de Picard sobre existencia y unicidad desoluciones. Teorema global de Peano sobre existencia. Prolongación de soluciones. Comportamien-to en los extremos de las soluciones no prolongables. Dependencia de las soluciones con relación avalores iniciales y a parámetros. Equivalencia. Lema de Gronwall. Lema de Hadamard.

7. Soluciones obtenidas por series de potencias. Búsqueda directa de soluciones de ecuaciones pordesarrollo en serie. Funciones analíticas de varias variables reales y propiedades. El teorema deCauchy de existencia y unicidad de soluciones en el caso analítico real. Demostración del teoremaen dos dimensiones.

8. La transformada de Laplace. Ecuaciones lineales de segundo orden completas cuyo segundomiembro son funciones discontinuas, deltas de Dirac o combinación de las mismas. La transformadade Laplace, propiedades. La inversa de la transformada de Laplace. La transformada de Laplace yla convolución de funciones. Aplicación de la transformada de Lapace a la resolución de sistemalineales de ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes.

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Guia de la Facultad de Matemáticas Grupos y anillos 35

1585. Grupos y anillos

Profesorado Despacho Teléfono e-mailAlberto del Valle Robles 0.02 (Matem.) 86888 4167 [email protected]

José Asensio Mayor 1.15 (Matem.) 86888 3586 [email protected]

Presentación de la asignaturaEste curso es una introducción al álgebra abstracta y más concretamente a dos de las estructuras

algebraicas más relevantes: grupos y anillos. Su objetivo genérico es profundizar en la adquisición de lacapacidad de comprensión y manejo de conceptos abstractos, y en el desarrollo de la capacidad de análisisy rigor en la comprensión de demostraciones y resolución de problemas. Más concretamente, se pretendela adquisición de destreza en la manipulación de los objetos algebraicos más básicos: grupos y anillos.


1. Grupos. Grupos, subgrupos y homomorfismos; primeros ejemplos. Clases laterales y Teoremade Lagrange. Órdenes de elementos; grupos cíclicos. Grupos simétricos; ciclos y factorización depermutaciones. Paridad, grupos alternados. Grupos diédricos. Conjugación y ecuación de clases.Subgrupos normales y grupos cociente; teoremas de isomorfía y de la correspondencia; teorema deAbel.

2. Grupos abelianos finitos. Sumas directas. Grupos abelianos finitos: descomposiciones indescom-ponibles; p-grupos; grupos indescomponibles. Teoremas de estructura: descomposiciones primariase invariantes; presentaciones por generadores y relaciones. Introducción a los grupos abelianos fi-nitamente generados y sus teoremas de estructura.

3. Anillos. Anillos. Homomorfismos de anillos. Subanillos. Ideales, operaciones con ideales. Ani-llos cociente. Teoremas de isomorfía. Ideales Maximales e ideales primos. Anillos de fracciones,localización.

4. Factorización en dominios. Divisibilidad en dominios. Elementos irreducibles y primos. Domi-nios de ideales principales. Dominios de factorización única. Dominios euclídeos.

5. Anillos de polinomios. Anillos de polinomios. Polinomios sobre un cuerpo. Factorización de po-linomios, polinomios sobre dominios de factorización única, criterios de irreducibilidad, casos Q,R y C. Ceros de polinomios.

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1586. Análisis numérico matricialProfesorado Despacho Teléfono e-mailAntonio José Pallarés Ruiz 1.08 (Matem.) 86888 3559 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura es una de las tres que constituyen la materia Métodos numéricos (véase la presentación

de la asignatura 1581 Cálculo numérico en una variable), y aborda la resolución numérica de sistemas deecuaciones lineales, el cálculo de valores y vectores propios de matrices y sus aplicaciones a problemasde aproximación y a la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.

36 Topología de superficies Universidad de Murcia


1. Introducción y complementos de análisis matricial. Origen de los problemas del análisis nu-mérico matricial. Normas matriciales, normas subordinadas y sus propiedades. Convergencia dematrices. Análisis del error, complejidad y condicionamiento.

2. Métodos directos para resolver sistemas lineales. Método de Gauss, métodos de pivote parcialy de pivote total; cálculo de determinantes e inversas. Factorización LU. Factorización QR, méto-do de Householder. Matrices diagonalmente dominantes. Matrices simétricas, método de Choles-ki.Sistemas de ecuaciones lineales sobredeterminados. Ecuaciones normales. Ejemplos ilustrativos.

3. Métodos iterativos para resolver sistemas lineales. Métodos iterativos, convergencia. Métodosde Jacobi, Gauss-Seidel y relajación. Estudio de la convergencia de los métodos iterativos paramatrices diagonalmente dominantes y tridiagonales.

4. Métodos de aproximación de valores y vectores propios. El teorema de Greschgorin. Método dela potencia y la potencia inversa. Método de Jacobi. Método de Householder y factorización QR.

5. Sistemas de ecuaciones no lineales. Iteraciones de punto fijo. Aceleración de Gauss-Seidel. Mé-todo de Newton para sistemas. Métodos quasi-Newton. Método del descenso más rápido.

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1587. Topología de superficies

Profesorado Despacho Teléfono e-mailLuis José Alías Linares 1.15 (Matem.) 86888 4180 [email protected]

Presentación de la asignaturaEn esta asignatura introducimos el concepto de espacio topológico general y estudiamos sus propie-

dades más relevantes: conexión, compacidad, etc. A continuación nos centramos en superficies, una claseespecial de espacios topológicos que generalizan al plano. Si nos atenemos al caso de superficies compac-tas, podemos establecer un teorema de clasificación que es nuestro objetivo final del curso. Finalmentepresentaremos los conceptos de homología y homotopía como herramientas básicas para el estudio de laforma de los espacios topológicos. La asignatura está relacionada con la topología de espacios métricos deprimero y las asignaturas de tercero: geometría de curvas y superficies y geometría global de superficies.


BLOQUE 1: ESPACIOS TOPOLÓGICOS1. Espacios topológicos.

1.1 Espacios topológicos. Definición de espacio topológico. Primeros ejemplos. Conjuntos abier-tos y cerrados. Aplicaciones continuas.

1.2 Más ejemplos de espacios topológicos. El plano y el espacio euclídeo como espacios topoló-gicos. Espacios métricos y topología métrica. Subespacios topológicos y topología inducida.Ejemplos.

Guia de la Facultad de Matemáticas Topología de superficies 37

1.3 Continuidad en la topología inducida. Propiedades. Ejemplos.

1.4 Bases. Base para una topología. Topología generada por una base. Ejemplos. Base de entor-nos en un punto. Axiomas de numerabilidad: primer y segundo axioma de numerabilidad.Propiedades.

2. Propiedades topológicas.

2.1 Conexión. Espacios topológicos conexos. Ejemplos. Teorema del punto fijo. Teorema delvalor medio. Primeras propiedades. Más ejemplos. Conexión por caminos. Ejemplos. Propie-dades.

2.2 Compacidad. Recubrimientos y subrecubrimientos. Espacios compactos. Ejemplos. Propie-dades. Teorema de los valores extremos. Teorema de Heine-Borel.

2.3 Axiomas de separación. Propiedad de Hausdorff y espacios T2. Espacios T1 y T0. Propieda-des.

3. Homemorfismos y construcciones topológicas.

3.1 Homeomorfismos. Homeomorfismos. Ejemplos. Propiedades. Aplicaciones abiertas y cerra-das. Embebimientos. Homeomorfismos e invariantes topológicos. Ejemplos.

3.2 Espacios producto. Topología producto en el producto de dos espacios topológicos. Propie-dades. Ejemplos.

3.3 Espacios cociente. Relaciones de equivalencia y topología cociente. Propiedades. Ejemplos.

BLOQUE 2: HOMOTOPÍA Y GRUPO FUNDAMENTAL4. Homotopía.

4.1 Homotopía. Aplicaciones homotópicas. Homotopía entre dos aplicaciones. Ejemplos. Pro-piedades. Clases de homotopía de aplicaciones. Propiedades.

4.2 Equivalencia homotópica. Equivalencias homotópicas y espacios homotópicamente equiva-lentes. Propiedades. Ejemplos. Espacios contráctiles. Ejemplos.

4.3 La circunferencia. Levantamiento de caminos. Grado de una aplicación. Levantamiento dehomotopías. La circunferencia no es contráctil.

4.4 El teorema del punto fijo de Brouwer.

4.5 Campos de vectores. El teorema de la bola peluda.

5. El grupo fundamental.

5.1 Grupo fundamental. El grupo fundamental de un espacio topológico. Ejemplos. Propieda-des.

5.2 Homomorfismos inducidos. Homomorfismo inducido por una apliación. Propiedades. Ejem-plos.

5.3 El teorema de Van Kampen. Ejemplos.

BLOQUE 3: SUPERFICIES6. El número de Euler.

6.1 Complejos simpliciales. Símplices y subsímplices. Coordenadas baricéntricas. Complejossimpliciales. Ejemplos. Propiedades.

38 Funciones de variable compleja Universidad de Murcia

6.2 El número de Euler. El número (o la característica) de Euler de un complejos simplicial.Ejemplos. Triangulaciones. Espacios triangulables. El número de Euler de un espacio trian-gulable. Propiedades. Ejemplos.

6.3 Superficies y la característica de Euler. Superficies. Ejemplos. Orientabilidad de superficies.Teorema de clasificación de superficies.

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1588. Funciones de variable compleja

Profesorado Despacho Teléfono e-mailGustavo Garrigós Aniorte 1.17 (Matem.) 86888 7789 [email protected]


Presentación de la asignaturaEn esta asignatura presentamos la teoría clásica de Variable Compleja, posiblemente una de las más

completas y elegantes del grado en Matemáticas. Se trata de una asignatura autocontenida, en la quedesde la definición de derivada compleja de una función obtendremos propiedades remarcables, comolos desarrollos en serie de potencias, fórmulas de representación integral, el principio de continuaciónanalítica, las propiedades del valor medio y el módulo máximo, etc...

Las funciones holomorfas poseen una simetría y riqueza analítica muy superior a las de variable real,y notables aplicaciones, como el cálculo exacto de integrales impropias, series numéricas, localizaciónde raíces... Son además soluciones de ecuaciones diferenciales relevantes en la Física, lo que permitevisualizarlas como fluidos o potenciales eléctricos en 2 dimensiones. En este curso construiremos la teoríacon especial énfasis en las demostraciones, elegantes y autocontenidas, que se combinarán adecuadamentecon ejemplos y ejercicios de distintos tipos.


1. El plano complejo. El cuerpo de los números complejos. Representación en coordenadas pola-res.Topología del plano complejo.

2. Derivación de funciones complejas. Derivación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann. Pro-piedades básicas de funciones holomorfas. Polinomios y funciones racionales.

3. Función exponencial y determinaciones del logaritmo. Funciones exponencial, seno y coseno.Determinaciones continuas del argumento. Ramas holomorfas del logaritmo.

4. Integración compleja y teorema de Cauchy en el disco. Integral de línea, regla de Barrow y exis-tencia de primitivas. El teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula de Cauchy en el disco y aplicaciones.

5. Series de potencias y propiedades locales de funciones holomorfas Series de potencias y fun-ciones analíticas. Radios de convergencia. Propiedades locales: ceros de funciones analíticas, de-sigualdades de Cauchy, principio del módulo máximo...

6. El teorema homológico de Cauchy Índice de una curva. Homología de ciclos. Teorema homoló-gico y caracterización de dominios simplemente conexos.

Guia de la Facultad de Matemáticas Geometría de curvas y superficies 39

7. Singularidades aisladas de funciones holomorfas Ceros y singularidades de funciones holomor-fas. Desarrollos en serie de Laurent.

8. El teorema de los residuos y sus consecuencias. Teorema de los residuos y sus aplicaciones.Principio del argumento, teorema de Rouché y aplicaciones. Teoremas de la aplicación abierta y lafunción inversa.

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1589. Geometría de curvas y superficies

Profesorado Despacho Teléfono e-mailJosé Antonio Pastor González S.09 (Matem.) 86888 4170 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura supone el primer contact del alumno con la Geometría Diferencial, en concreto con

la de Curvas y Superficies. La historia de la Geometría Diferencial comienza con las curvas: conceptoscomo la tangente a una curva se remontan a Euclides, Arquímedes o Apolonio. El propio Euclides, enlos Elementos define superficie como “aquello que sólo tiene longitud y anchura”, estableciendo la ideaesencial de que una superficie es un objeto 2-dimensional. Sin embargo, se podría decir que fue Euler(1760) quien fundó la Teoría de Superficies en el espacio.


1. Curvas en el plano y en el espacio.

1.1 Preliminares. Curvas parametrizadas. Longitud de arco. Curvas regulares. Parametrizaciónpor la longitud de arco.

1.2 Teoría local de curvas planas. Diedro de Frenet. Curvatura con signo. Fórmulas de Frenet.Teorema fundamental de la teoría de curvas planas. Comparación de una curva con la rectatangente en un punto. Comparación de dos curvas tangentes en un punto.

1.3 Teoría local de curvas en el espacio. Triedro de Frenet. Curvatura y torsión. Fórmulas deFrenet. Teorema fundamental de la teoría de curvas.

2. Superficies en el espacio.

2.1 Preliminares. Concepto de superficie regular. Superficies de nivel. Cambios de coordenadas.

2.2 Diferenciabilidad. Funciones diferenciables definidas sobre una superficie. Propiedades. Apli-caciones diferenciables entre dos superficies. Propiedades. Difeomorfismos entre superficies.

2.3 El plano tangente. Curvas diferenciables en una superficie. Definición de vector tangente. Elplano tangente a una superficie en un punto. La primera forma fundamental.

2.4 La diferencial. La diferencial de una función diferenciable. Propiedades. El gradiente deuna función diferenciable. Puntos críticos. Test de la primera derivada para puntos críticos.La diferencial de una aplicación diferenciable entre superficies. Propiedades. La regla de lacadena. El teorema de la función inversa.

40 Teoría de la probabilidad Universidad de Murcia

3. Curvatura.

3.1 Orientación de superficies. Campos de vectores sobre una superficie. Superficies orientables.Sentido de rotación en una superficie orientada. Estructura compleja. Bases positivamenteorientadas y bases negativamente orientadas.

3.2 La segunda forma fundamental. La aplicación de Gauss de una superficie orientada. Imagenesférica. El operador forma o endomorfismo de Weingarten. Propiedades. La segunda formafundamental.

3.3 Curvaturas normales. Aceleración de una curva en una superficie. Aceleración intrínseca yaceleración extrínseca. Propiedades. Curvatura normal. Secciones normales. Relación entre lacurvatura normal y la curvatura de la sección normal.

3.4 Curvaturas principales. Curvaturas principales y direcciones principales asociadas. La fór-mula de Euler. Líneas de curvatura.

3.5 Curvatura de Gauss y curvatura media. La curvatura de Gauss y la curvatura media comoinvariantes algebraicos del operador forma. Puntos umbilicales. Interpretación geométrica.Expresión local de las curvaturas de Gauss y media. Superficies totalmente umbilicales. Ca-racterización de las superficies totalmente umbilicales.

3.6 Curvatura geodésica. Triedro de Darboux. Curvatura geodésica. Relación entre la curvaturageodésica, la curvatura normal y la curvatura de la curva como curva en el espacio. Torsióngeodésica. Fórmulas de Darboux. Curvas asintóticas y líneas de curvatura.

4. El Teorema Egregium de Gauss.

4.1 Isometrías. Longitudes de curvas y primera forma fundamental. Geometría intrínseca y geo-metría extrínseca. Isometrías locales. Isometrías.

4.2 Fórmulas de Gauss y de Weingarten. Expresión local. Los símbolos de Christoffel. Lasfórmulas de Gauss. Las fórmulas de Weingarten.

4.3 Las ecuaciones de compatibilidad y el Teorema de Gauss. La ecuación de Mainardi-Codazzi.La ecuación de Gauss. El Teorema Egregium de Gauss. Isometrías y curvatura de Gauss.

4.4 El teorema fundamental de la teoría de superficies. El Teorema de Bonnet.

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1590. Teoría de la probabilidad

Profesorado Despacho Teléfono e-mailNoemí Zoroa Alonso 2.09 (Matem.) 86888 3633 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura Teoría de la Probabilidad está destinada a desarrollar los conceptos básicos de la Pro-

babilidad con un enfoque adecuado al Grado en Matemáticas.

Guia de la Facultad de Matemáticas Métodos numéricos de las ecuaciones diferenciales 41


1. Revisión de los conceptos básicos de la Probabilidad. Espacio de Probabilidad. Probabilidadcondicionada. Distribuciones en R. Función de distribución. Variable aleatoria.

2. Distribuciones en R y en Rk. Distribuciones discretas en un espacio cualquiera. Distribucionesdiscretas en R y en Rk. Distribuciones continuas en R y en Rk. La integral en las distribucionescontinuas. Distribuciones singulares en R y en Rk. Descomposición de Lebesgue.

3. Función de distribución. Función de distribución en R. Ejemplo de distribución singular en R.Función de distribución en R2 y en Rk.

4. Funciones beta y gamma. Función gamma. Función beta. Relación entre ambas.5. Variable aleatoria. Variable aleatoria unidimensional y variable aleatoria de k dimensiones. Trans-

formación de variable aleatoria. Independencia de variables aleatorias.6. Distribuciones marginales y condicionadas. Casos discreto y continuo. Caso de independencia.

Definición general de las distribuciones condicionadas. Convolución.7. Esperanza matemática. Esperanza matemática de variables aleatorias simples. Esperanza ma-

temática de variables aleatorias no negativas. Esperanza matemática de variables aleatorias convalores reales. Esperanza matemática de variables aleatorias con valores complejos.Teoremas delímite. Integral de Lebesgue abstracta.

8. Momentos. Regresión Momentos de variables aleatorias unidimensionales. Existencia y relaciónentre momentos. Desigualdad de Tchebychev. Otras características de las distribuciones. Momen-tos, caso k-dimensional. Desigualdad de Schwarz. Momentos de sumas.

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1591. Métodos numéricos de las ecuaciones diferencialesProfesorado Despacho Teléfono e-mailEliseo Chacón Vera 0.10 (Matem.) 86888 4175 [email protected]

José Ginés Espín Buendía 1.03 LC (Matem.) 86888 9380 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura forma parte de la materia Métodos numéricos (véase la presentación de la asignatura

1581 Cálculo numérico en una variable), y está dedicada al desarrollo y fundamento teórico y prácticode algoritmos numéricos para la resolución en un entorno computacional de problemas provenientes deaplicaciones científicas. Por lo tanto, se refiere a un gran número de cuestiones desde la aproximaciónde funciones e integrales a la aproximación de soluciones de ecuaciones algebraicas, transcendentales,diferenciales e integrales, con un énfasis particular en la estabilidad, precisión, eficiencia y robustez delos algoritmos diseñados.

La mayoría de los modelos matemáticos para estudiar fenómenos físicos incluyen la evolución entiempo y en espacio de determinadas cantidades. Como consecuencia, incluyen derivadas en las variablesespaciales y en la variable temporal. En esta asignatura nos vamos a centrar en aquellos modelos quese pueden describir principalmente mediante una evolución temporal usando ecuaciones diferencialesordinarias (edos). El estudio de problemas donde se tenga que incluir tanto la variación temporal comoespacial se realiza en la asignatura optativa Métodos Numéricos y Variacionales para las Ecuaciones enDerivadas Parciales que se desarrolla en el primer cuatrimestre de cuarto curso de Grado y que es lacontinuación natural de esta materia.

42 Métodos numéricos de las ecuaciones diferenciales Universidad de Murcia


1. Ecuaciones diferenciales ordinarias.

1.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales, interpretación y ejemplos. Uso de leyes de con-servación.

1.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias.1.3 Problemas estables, inestables y oscilatorios.1.4 Problemas rigidos, vectoriales y escalares.

2. Estabilidad de las soluciones.

2.1 Insuficiencia de la condición de Lipschitz.2.2 Problemas disipativos.2.3 Método de la energía2.4 Uso de autovalores para controlar las soluciones de sistemas lineales.

3. Metodo de Euler progresivo.

3.1 Introducción e interpretación geométrica del método de Euler progresivo o explícito.3.2 Estabilidad, consistencia y convergencia. Estudio del caso dispativo.3.3 Aplicación a sistemas lineales.3.4 Ejemplos.

4. Metodo de Euler regresivo o implícito y Crank-Nicolson.

4.1 Mejora en estabilidad: Introducción e interpretación geométrica del método de Euler regresivoo implícito.

4.2 Estabilidad, consistencia y convergencia. Estudio del caso dispativo.4.3 Mejora en el orden: Método de Crank-Nicolson.4.4 Aplicación a sistemas lineales.4.5 Ejemplos.

5. Métodos numéricos generales.

5.1 Notación y ejemplos: Métodos de Taylor, Runge-Kutta y multipaso.5.2 Forma general. Convergencia, Consistencia y 0-estabilidad. Teorema de Lax-Ritchmayer.5.3 Aplicación a Métodos de Runge-Kutta. Algunos resultados clásicos de la Teoría de Butcher.5.4 Aplicación a Métodos de Adams-Bashforth, Adams-Moulton y otros. Barreras de Dalhquist.5.5 Extensión a sistemas.5.6 Ejemplos

6. Cálculos en tiempos largos y uso de paso variable.

6.1 Problemas disipativos: Estabilidad absoluta.6.2 Problemas oscilatorios: Métodos simplécticos.6.3 Uso de paso variable: métodos de Runge-Kutta-Fehlberg.

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Guia de la Facultad de Matemáticas Grafos y optimización discreta 43

1592. Grafos y optimización discreta

Profesorado Despacho Teléfono e-mailAlfredo Marín Pérez 2.05 (Matem.) 86888 3627 [email protected]

Presentación de la asignaturaLos grafos resumen la información de un conjunto de objetos que se relacionan, o no, entre sí. Si

además se añade una medida de esta relación, el concepto de grafo se extiende al de red. Puede modelarsemediante un grafo un mapa de carreteras o metro, una red de comunicaciones, de tendidos eléctricos,gasísticos, etcétera. Pero también pueden usarse los grafos en otros casos menos obvios, como la modeli-zación de la incompatibilidad (países con fronteras comunes no pueden colorearse de la misma forma enun mapa), del movimiento de una ficha en un juego, incluso veremos apliaciones en química y biología.La Teoría de Grafos es muy extensa, y contempla muchos puntos de vista distintos. En esta asignaturaintentaremos, en lo posible, que el alumno tenga una visión amplia de la materia y unos conocimientosbásicos suficientes que le sirvan de base para hipotéticas ampliaciones de conocimientos.

Entre los problemas más interesantes que se presentan sobre estructuras modelizables como grafos,están los de optimización discreta. Estudiaremos la forma de formularlos y resolverlos como problemas deprogramación lineal entera y nos introduciremos en las principales técnicas subyacentes en los algoritmosutilizados comúnmente por el software específico del campo.


BLOQUE 1: TEORÍA DE GRAFOS1. Conceptos básicos en Teoría de Grafos. Definiciones y ejemplo. Primero resultados.

2. Conexión. Conexión y componentes conexas. Algunos resultados sobre conexión. k-conexión.

3. Árboles. Introducción y árboles con raíz. Árboles binarios. Árboles generadores de peso mínimo.Algoritmos de Kruskal y Prim.

4. Recorridos por aristas y vértices. Caminos más cortos. Algoritmo de Dijkstra. Grafos eulerianos.Algoritmo de Dantzig. Grafos hamiltonianos. El problema del viajante de comercio.

5. Planaridad y coloración. Coloración. Teorema fundamental de reducción. Planaridad. Coloreadode grafos planares.

BLOQUE 2: OPTIMIZACIÓN DISCRETA6. Modelo de programación entera. Optimización Lineal. Algoritmo dual. Modelo de Programación

Entera. Formulación de problemas de optimización sobre grafos. Indicaciones para formular.

7. Ramificación y acotación. Hiperplanos de corte. Algoritmo de ramificación y acotación. Hiper-plano de corte todo entero. Hiperplano de corte mixto.

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44 Ecuaciones en derivadas parciales y series de Fourier Universidad de Murcia

1593. Ecuaciones en derivadas parciales y series de Fourier

Profesorado Despacho Teléfono e-mailFrancisco Balibrea Gallego 0.12 (Matem.) 86888 4176 [email protected]

Bernardo Cascales Salinas 0.09 (Matem.) 86888 4174 [email protected]

Presentación de la asignaturaEs objetivo de esta asignatura es introducir al alumno, de manera muy elemental, en el análisis de las

ecuaciones en derivadas parciales, campo de conocimiento muy antiguo en la historia de las Matemáticas ygenerador de muchos problemas y teorías actuales. Es una teoría que tiene muy significativas conexionescon el mundo de la Física, conexiones que procuraremos poner de relieve siempre que sea posible, enparticular en lo que se refiere a la génesis e inspiración de muchos problemas en Matemáticas.

Se estudian las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Es esta una teoría de marcadocarácter geométrico que puede ser abordada con cierta profundidad en este curso. Después se trata el pro-blema de las ecuaciones de segundo orden lineales y de coeficientes variables, que a través de cambios devariable pueden reformularse en expresiones más sencillas (las llamadas formas normales). En ocasionesestas ecuaciones pueden atacarse (en lo concerniente al problema de Cauchy) usando desarrollos en seriede potencias. Se abordan por separado los tres grandes grupos de ecuaciones de este tipo: elípticas, pa-rabólicas e hiperbólicas, a través de tres ejemplos paradigmáticos provenientes de la Física Matemática:la ecuación de Laplace, la ecuación del calor y la ecuación de ondas. Se hace particular énfasis en losproblemas de contorno para los tres tipos de ecuaciones pues son los más interesantes desde el punto devista práctico y se dispone para su resolución de herramientas muy útiles, entre las que destaca por encimade todas el método de separación de las variables. Este método requiere manejar con soltura las series deFourier, por lo que serán estudiadas con cierto detenimiento, constituyendo una parte importante de laasignatura.


BLOQUE 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES1. Definiciones básicas. Definiciones de ecuación en derivadas parciales y sus soluciones. Orden de

una ecuación. Ecuaciones lineales y cuasilineales.

2. Información acerca de la variedad de soluciones. Solución general de una ecuación. Problemasde Cauchy y problemas de contorno. Cambio de variable. Ejemplos ilustrativos.

BLOQUE 2: ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN3. Primeros ejemplos. La ecuación del transporte. La ley de conservación fundamental.

4. Ecuaciones cuasilineales de primer orden en dos variables. Planteamiento del problema. Sig-nificado geométrico. Curvas características, la curva dato y la condición de transversalidad. El pro-blema de Cauchy: existencia y unicidad. Métodos de resolución.

BLOQUE 3: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DESEGUNDO ORDEN

5. Ecuaciones hiperbólicas, elípticas e hiperbólicas. Clasificación de las ecuaciones lineales desegundo orden. Reducción a la forma canónica en el caso de dos variables.

6. Formas normales de ecuaciones lineales con coeficientes variables y dos variables indepen-dientes y de ecuaciones con coeficientes constantes y n variables independientes de dos varia-bles.

Guia de la Facultad de Matemáticas Geometría global de superficies 45

BLOQUE 4: EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES: UNA INTRODUCCIÓN ALOS PROBLEMAS DE CONTORNO

7. Introducción a las series de Fourier trigonométricas. Coeficientes y series de Fourier trigono-métricos. La clase D de Dirichlet y la convergencia puntual. Convergencia absoluta y uniforme delas series de Fourier y sus derivadas. La identidad de Parseval. Series de Fourier coseno y seno.

8. Una ecuación hiperbólica: el problema de la cuerda vibrante. Planteamiento físico. Construc-ción formal de la solución. Verificación y reversibilidad de la solución. Unicidad y continuidad dela solución con respecto a los datos.

9. Una ecuación parabólica: la transmisión del calor en una varilla. Planteamiento físico. Cons-trucción formal de la solución. Verificación e irreversibilidad de la solución. El principio del máxi-mo para la ecuación del calor. Unicidad y continuidad de la solucion con respecto a los datos.

10. Una ecuación elíptica: la temperatura en el estado estacionario de una lámina circular. Plan-teamiento físico. Construcción formal de la solución. Cambio a coordenadas polares. Verificaciónde la solución. El principio del máximo para la ecuación de Laplace. Unicidad y continuidad de lasolucion con respecto a los datos.

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1594. Geometría global de superficies

Profesorado Despacho Teléfono e-mailMaría Ángeles Hernández Cifre 0.05 (Matem.) 86888 7661 [email protected]

Presentación de la asignaturaEste curso está dedicado al estudio de la llamada Geometría Diferencial Global de Superficies, que

estudia la relación de propiedades locales de la superficie con otras de carácter global, que tienen que vercon la superficie en su totalidad, no sólo a nivel local.


BLOQUE 1: GEODÉSICAS EN SUPERFICIES1. El transporte paralelo. Campos de vectores a lo largo de una curva. La derivada covariante.

Paralelismo. Campos paralelos a lo largo de una curva. Teorema de existencia y unicidad de camposparalelos. El transporte paralelo.

2. Geodésicas. Definición de geodésica. Primeras propiedades. Teorema de existencia y unicidad degeodésicas.

3. La aplicación exponencial. La aplicación exponencial en un punto. Coordenadas normales y coor-denadas polares geodésicas. El lema de Gauss. Aplicaciones. El Teorema de Minding.

BLOQUE 2: CÁLCULO VARIACIONAL EN SUPERFICIES4. Integración en superficies. Elemento de área de una superficie. Integración de una función con

respecto al elemento de área. Una interpretación geométrica de la curvatura de Gauss.

46 Ampliación de probabilidad y procesos estocásticos Universidad de Murcia

5. Variaciones del área. Variaciones de soporte compacto. Una interpretación variacional de la cur-vatura media. Las superficies minimales como solución a un problema variacional.

6. Variaciones de la longitud. Fórmulas de variación. Variación de una curva y campo variacional.Primera fórmula de variación de la longitud de arco. Las geodésicas como solución de un problemavariacional. Segunda fórmula de variación de la longitud de arco. Teorema de Bonnet.

BLOQUE 3: COMPLETITUD Y TEOREMA DE HOPF-RINOW7. Superficies completas. Distancia intrínseca en una superficie. Propiedades minimizantes de las

geodésicas. Completitud geodésica y completitud métrica.

8. El Teorema de Hopf-Rinow. El Teorema de Hopf-Rinow. Superficies geodésicamente completas.Compacidad y completitud. Curvas divergentes. Completitud y longitud de curvas divergentes.

BLOQUE 4: EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET9. El Teorema de Gauss-Bonnet (versión local). El ángulo de rotación orientado entre dos campos

de vectores a lo largo de una curva. La curvatura geodésica total. La fórmula de Gauss-Bonnet.Aplicaciones.

10. El Teorema de Gauss-Bonnet (versión global). La característica de Euler de una superficie. ElTeorema de Gauss-Bonnet. Algunas consecuencias.

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1595. Ampliación de probabilidad y procesos estocásticos


José María Ruiz Gómez 2.08 (Matem.) 86888 3632 [email protected]

Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se ampliarán los conocimientos adquiridos en las asignaturas Elementos de Pro-

babilidad y Estadística y Teoría de la Probabilidad. En ella se estudian las principales funciones genera-trices utilizadas en Teoría de la Probabilidad, en particular la función característica, los distintos tipos deconvergencia de sucesiones de variables aleatorias y se introducen los procesos estocásticos.


1. Regresión. Recta de regresión. Curva de regresión.

2. Funciones generatrices de una y varias dimensiones. Función generatriz de probabilidad. Fun-ción generatriz de momentos. Función característica.

3. Función característica. Teorema de inversión. Teorema de inversión. Derivabilidad de la funcióncaracterística. Teoremas de continuidad.

4. Distribuciones unidimensionales y multidimensionales destacables. Algunas distribuciones uni-dimensionales de tipo discreto. Algunas distribuciones unidimensionales de tipo continuo. Distri-bución multinomial. Distribución normal de k dimensiones.

Guia de la Facultad de Matemáticas Ecuaciones algebraicas 47

5. Convergencia de sucesiones de variables aleatorias. Convergencia casi segura, en probabilidad,en distribución y en media de orden p. Relación entre los distintos tipos de convergencia.

6. Teorema central del límite. Introducción. Elementos auxiliares. Convergencia a la Ley Normalbajo distintas hipótesis.

7. Leyes de los grandes números. Ley débil de los grandes números. Ley fuerte de los grandesnúmeros.

8. Procesos estocásticos. Distribuciones finito dimensionales de un proceso estocástico. Teorema deKolmogorov.

9. Cadenas de Markov. Proceso de Poisson Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. Clasificaciónde los estados. Cadenas de Markov finitas. Expresión de la matriz Pn. Introducción al proceso dePoissson, ejemplos. Distribuciones de tiempos de espera y tiempos entre llegadas. Aplicaciones.

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1596. Ecuaciones algebraicas

Profesorado Despacho Teléfono e-mailJosé Asensio Mayor 1.15 (Matem.) 86888 3586 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura tiene como objetivo general el aprendizaje de la relación entre las ecuaciones polinómi-

cas en una variable, las extensiones de cuerpos y los grupos (Teoría de Galois), de las técnicas algebraicasadecuadas para el estudio de dichas ecuaciones y aplicar dicha teoría y estas técnicas a la resolución de losproblemas clásicos de construcciones con regla y compás y a la resolubilidad de ecuaciones por radicales.


1. Polinomios. Repaso de las propiedades de los anillos de polinomios. Polinomios en varias va-riables. Definición y propiedad universal del anillo de polinomios. Anillo de polinomios en unavariable sobre un cuerpo. Anillo de polinomios sobre un dominio de factorización única. Factori-zación y raíces de polinomios en una variable, casos Q, R y C. Polinomios simétricos y funcionesracionales simétricas.

2. Extensiones de cuerpos. Extensiones de cuerpos. Adjunción de raíces. Teorema de Kronecker.Extensiones algebraicas.

3. Construcciones con regla y compás. Las construcciones con regla y compás.

4. Cuerpos de descomposición. Clausura algebraica. Cuerpos de descomposición. Cuerpos alge-braicamente cerrados. Clausura algebraica.

5. Extensiones normales y extensiones separables. Extensiones normales. Clausura normal. Exten-siones separables. Grado de separabilidad.

6. Teorema fundamental de la teoría de Galois. El grupo de Galois de una extensión. Extensionesde Galois finitas. El teorema fundamental de la teoría de Galois. Teoremas de las irracionalidadesaccesorias de Lagrange y del elemento primitivo.

48 Laboratorio de modelización Universidad de Murcia

7. Extensiones ciclotómicas y extensiones cíclicas. Raíces de la unidad. Extensiones ciclotómicas.Contrucción de polígonos regulares con regla y compás. Norma y traza. Extensiones cíclicas, Teo-rema 90 de Hilbert.

8. Resolubilidad de ecuaciones por radicales. Extensiones radicales. Grupos resolubles. Ecuacionespolinómicas resolubles por radicales. La ecuación general de grado n. Resolución por radicales deecuaciones de grado dos, tres y cuatro.

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1597. Laboratorio de modelizaciónProfesorado Despacho Teléfono e-mailFrancisco Esquembre Martínez 1.05 (Matem.) 86888 3534 [email protected]

José Fernández Hernández S.04 (Matem.) 86888 4186 [email protected]

Manuel A. Pulido Cayuela 2.03 (Matem.) 86888 3619 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura prepara al estudiante para afrontar un problema de otras ciencias, modelizarlo con técni-

cas matemáticas, dar una solución (aunque sea aproximada) y contrastar e interpretar la solución obtenida.Aunque habrá clases teóricas, la mayoría de la docencia se realizará de manera práctica y se impartirá

en microaulas. Utilizando una serie de ejemplos de modelos concretos, desarrollados por el profesor,se ofrecerá una colección de proyectos a trabajar por los estudiantes de forma individual y en grupo.El carácter eminentemente práctico y el protagonismo del alumno en esta materia en la que se trata detrabajar las competencias de modelización de problemas concretos más que introducir nuevos contenidos,hace que el desarrollo de la materia se realice fundamentalmente en base a “proyectos” individuales yen grupo bajo la supervisión de los profesores. Por esta razón en esta materia se considera necesaria unapresencialidad del estudiante superior a la media del resto de materias.


BLOQUE 1: INTRODUCCIÓN A LA MODELIZACIÓN1. Introducción a la Modelización. Objetivos de la modelización. Pasos del proceso de modeliza-

ción. Clasificación de modelos matemáticos. Formulación e implementación de modelos.BLOQUE 2: MODELOS DISCRETOS Y CONTINUOS

2. Modelos discretos. Formulación de modelos discretos. Modelos basados en recurrencias. Modeloscon solución analítica. Modelos probabilísticos. Autómatas celulares.

3. Modelos continuos. Modelos basados en ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelos híbridos:ecuaciones diferenciales con eventos. Modelos basados en ecuaciones diferenciales con retardo.Modelos basados en ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.BLOQUE 3: OPTIMIZACIÓN

4. Revisión de problemas de optimización. Optimización lineal. Programación lineal entera. Opti-mización en redes.

5. Planificación y control de proyectos. Redes de actividades. CPM. PERT.

Guia de la Facultad de Matemáticas Inferencia estadística 49

6. Programación por metas. Modelos multiobjetivo; soluciones eficientes. Introducción a la progra-mación por metas. Modelo ponderado. Modelo lexicográfico. Modelo minimax.

BLOQUE 4: SIMULACIÓN7. Introducción a la simulación. Simulación; conceptos básicos. Números (pseudo)-aleatorios; ge-

neradores. Aproximaciones de integrales y series.

8. Simulación de distribuciones de probabilidad. Métodos generales de simulación de variablesdiscretas. Métodos generales de simulación de variables continuas. Métodos específicos de genera-ción de algunas distribuciones de probabilidad conocidas.

9. Simulación de eventos discretos.

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1598. Inferencia estadística

Profesorado Despacho Teléfono e-mailFélix Belzunce Torregrosa 2.02 (Matem.) 86888 3618 [email protected]

José María Ruiz Gómez 2.08 (Matem.) 86888 3632 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa Estadística es una rama de las Matemáticas imprescindible en la formación, tanto básica como

aplicada, de cualquier matemático y esta asignatura proporciona a los alumnos su primer contacto conla Inferencia Estadística, tanto en su base teórica como en su aplicación. El núcleo de la asignatura estádedicado al estudio de distribuciones muestrales, y las técnicas de estimación paramétrica y contrastes dehipótesis paramétricos. Estás técnicas son aplicadas, para finalizar, al estudio de modelos lineales.


BLOQUE 1: DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO1. Resumen de conceptos previos. Función característica n dimensional y propiedades. Matriz de

covarianzas y propiedades. Distribución normal multivariante: Función característica y función dedensidad. Independencia e incorrelación. Distribución de combinaciones lineales de variables alea-torias normales.

2. Introducción a la Inferencia Estadística. Distribución el muestreo. Muestra aleatoria simple.Muestras ordenadas. Función de distribución empírica. Propiedades. Momentos muestrales. Distri-buciones asintóticas de estadísticos. Distribuciones de algunos estadísticos de interés. Teorema deFisher y consecuencias. Métodos de simulación.

BLOQUE 2: ESTIMACIÓN PARAMÉTRICA3. Estimación paramétrica puntual. Cotas para la varianza de un estimador. Propiedades desea-

bles de los estimadores. Estimadores insesgados de mínima varianza. Cota de Cramer-Rao. Estima-dores de máxima verosimilitud.

4. Estimadores basados en estadísticos suficientes. Estadísticos suficientes. Teorema de factoriza-ción. Teorema de Rao-Blackwell. Completitud. Teorema de Lehmann-Scheffé.

50 Análisis funcional Universidad de Murcia

5. Estimación por intervalos de confianza. Definición de intervalo de confianza. Métodos de cons-trucción de intervalos de confianza: Método basado en la función pivote y método de Neyman.

BLOQUE 3: CONTRASTES DE HIPÓTESIS6. Contrastes de hipótesis paramétricas. Planteamiento general de los contrastes de hipótesis. Ele-

mentos de un test de hipótesis. Contraste de hipótesis simple y alternativa simple: Teorema deNeyman-Pearson.

7. Contrastes de hipótesis compuestas paramétricas. Test unilaterales. Familias con cociente deverosimilitud monótono. Test bilaterales.Test de la razón de verosimilitudes. Contrastes de hipótesispara algunos modelos paramétricos usuales.

BLOQUE 4: MODELO LINEAL GENERAL8. Modelo lineal general. Caso de rango completo. Inferencia bajo la suposición de linealidad e

incorrelación. Teorema de Gauss-Markov. Inferencia bajo la suposición de normalidad. Aplicaciónen el modelo de regresión lineal. Aplicación en el modelo de análisis de la varianza simple.

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1599. Análisis funcionalProfesorado Despacho Teléfono e-mailVíctor Jiménez López 0.11 (Matem.) 86888 4177 [email protected]


Presentación de la asignaturaEl Análisis Funcional proporciona un marco adecuado para estudiar ciertos problemas de optimiza-

ción donde la incógnita es una función, por ejemplo los que aparecen en el Cálculo de Variaciones, lo quedesde el punto de vista del Análisis elemental sería como tener un “número infinito” de variables reales.La visión que el Análisis Funcional aporta, y donde también encuentra su origen, es la consideración de lasfunciones como puntos de un espacio dotado de las estructuras adecuadas, de manera que los problemasexistencia pueden ser reformulados en términos de completitud y las soluciones pueden ser caracterizadas“geométricamente”. Estas estructuras, en los términos más generales, consisten en topologías vectoriales,pero en la asignatura nos ceñiremos esencialmente los espacios de Banach, y con énfasis especial en elespacio de Hilbert.

La asignatura ha sido dividida en tres bloques. El primero se dedica principalmente al espacio deHilbert donde, entre otras cosas, nos ocuparemos del problema variacional clásico de Dirichlet. El segun-do bloque trata de operadores entre espacios. Aquí veremos cómo algunos resultados sobre matrices dedimensión finita encuentran generalizaciones adecuadas para operadores en el espacio de Hilber y los apli-caremos a ciertas ecuaciones diferenciales. El tercer y último bloque trata sobre sobre algunos resultadosfundamentales de la Teoría de Espacios de Banach y su aplicaciones.


BLOQUE 1: ESPACIOS1. Repaso de espacios normados. Ejemplos básicos. Operaciones con espacios normados. Espacios

de Banach y compleción. Continuidad y extensión de aplicaciones lineales.

Guia de la Facultad de Matemáticas Álgebra conmutativa 51

2. Espacios de Hilbert. Espacios pre-Hilbert. Ejemplos. Identidad del paralelogramo. Ejemplos avan-zados:espacio de Bergman y espacio de funciones de cuadrado integrable.

3. Optimización en el espacio de Hilbert. Mejor aproximación. Teoremas de la Proyección y deRiesz. Teorema de Lax-Milgram. Aplicación al principio de Dirichlet. Derivada distribucional yespacios de Sobolev.

4. Bases en el espacio de Hilbert. Caracterización. Bases en espacios de funciones: series de Fourier,polinomios ortogonales y base en el espacio de Bergman. Aplicación a las series de Fourier clásicas.

BLOQUE 2: OPERADORES.

5. Operadores entre espacios de Banach. Nociones generales sobre los operadores. Espacios eideales de operadores. Ejemplos de operadores en espacios de Banach.

6. Teoría espectral. Operadores compactos. Teoría de Riesz. Compacidad en el espacio de Hilbert.Teoría espectral para operadores autoadjuntos y normales.

7. Aplicaciones. Ecuaciones integrales de Fredholm. Problemas de Sturm-Liouville.

BLOQUE 3: PRINCIPIOS FUNDAMENTALES.

8. Teorema de Baire. Demostración del teorema en espacios métricos completos; aplicaciones.

9. Principio de la Acotación Uniforme. Teorema de Banach-Steinhaus. Aplicación a la existenciade funciones continuas con serie de Fourier no convergente puntualmente.

10. Teorema de la Aplicación Abierta. Teorema de la Gráfica Cerrada. Aplicaciones.

11. Teorema de Hanh-Banach. Consecuencias analíticas y geométricas. Espacio dual y cálculo deduales de espacios concretos.

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1600. Álgebra conmutativa

Profesorado Despacho Teléfono e-mailJuan Martínez Hernández 1.04 (Matem.) 86888 3533 [email protected]


El Álgebra Conmutativa consiste esencialmente en el estudio de los anillos conmutativos. El interésen este estudio tiene dos fuentes históricas, la Geometría Algebraica y la Teoría de Números, que siguensiguen sus principales, aunque no sus únicos, campos de aplicación. En esta asignatura se complemen-tan los conocimientos de las asignaturas Grupos y Anillos y Ecuaciones Algebraicas y se introducenlos conceptos básicos específicos sobre anillos conmutativos, destacando su relación con los conceptoscorrespondientes en Geometría Algebraica y Teoría de Números.

52 Códigos correctores y criptografía Universidad de Murcia


1. Anillos e ideales. Anillos, ideales y homomorfismos de anillos. Ideales primos y maximales. Nil-radical y radical de Jacobson. Operaciones con ideales.

2. Módulos. Módulos y homomorfismos. Submódulos y cocientes. Sumas y productos directos. Mó-dulos libres. Módulos finitamente generados. Lema de Nakayama. Anillos y módulos noetherianosy artinianos.

3. Localización. Anillos y módulos de fracciones. Propiedades locales. Espectro primo del cocientey la localización de anillos.

4. Módulos sobre dominios de ideales principales. Módulos libres sobre un DIP. Matrices y opera-ciones elementales. Teoremas de descomposición. Unicidad de las descomposiciones. Aplicacionesa grupos abelianos de tipo finito y a la clasificación de endomorfismos de espacios vectoriales dedimensión finita.

5. Dependencia entera. Dominios de Dedekind. Extensiones normales. Teorema del ascenso. Do-minios normales. El teorema del descenso. Anillos de valoración discreta. Dominios de Dedekind.Aplicaciones: Lema de normalización de Noether. Teorema de los ceros de Hilbert. Anillos de en-teros de cuerpos de números.

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1601. Códigos correctores y criptografía


Juan Jacobo Simón Pinero 0.04 (Matem.) 86888 4169 [email protected]

Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se introducen las bases teóricas y las herramientas y resultados fundamentales de

la Teoría de Códigos Correctores de Errores y la Criptografía con dos objetivos subyacentes:

Facilitar la inserción laboral de los matemáticos en el sector de la informática y las telecomunica-ciones.

Acceder al umbral de la investigación en un campo de gran actividad.


BLOQUE 1: CÓDIGOS CORRECTORES DE ERRORES1. Generalidades.2. Códigos lineales.3. Polinomios sobre cuerpos finitos.4. Códigos cíclicos.

Guia de la Facultad de Matemáticas Geometría de Riemann 53

BLOQUE 2: CRIPTOGRAFÍA5. Criptosistemas, criptología y criptoanálisis. Clave privada y clave pública. Sistemas cripto-

gráficos sencillos. Codificación lineal. Sistemas de clave pública. Sistemas RSA y del logaritmodiscreto.

6. Métodos de factorización y primalidad. Pseudoprimos. Métodos de factorización. Método de lasfracciones contínuas.

7. Introducción a las criptografía basada en curvas elípticas. Criptosistemas basados en curvaselípticas. Test de primalidad basados en curvas elípticas.

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1602. Geometría de Riemann

Profesorado Despacho Teléfono e-mailJosé Antonio Pastor González S.09 (Matem.) 86888 4170 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa geometría de Riemann surge históricamente como un intento de generalizar la geometría diferen-

cial de curvas y superficies en el espacio euclídeo, cuyo carácter intrínseco viene dado por la primeraforma fundamental. Fue Riemann quien se ocupó de esta tarea asociando a cada punto una forma cuadrá-tica que hace el papel de dicha forma fundamental para superficies dando origen a lo que hoy conocemoscomo métricas de Riemann. Así pues, la materia a estudiar es una generalización a dimensión arbitrariade la asignatura de tercer curso Geometría de curvas y superficies.


1. Variedades diferenciables. Cartas. Variedad diferenciable. Vectores tangentes. Espacio tangente.Covectores y espacio cotangente. Aplicaciones diferenciables. La diferencial de una aplicación.Difeomorfismos. Campos de vectores. Formas diferenciales. Tensores.

2. Variedades riemannianas. Tensores métricos. Variedad riemanniana. La conexión de Levi-Civita.La derivada covariente. Transporte paralelo. Geodésicas. Distancia asociada a la métrica. Propieda-des minimizantes de las geodésicas. Completitud. Teorema de Hopf-Rinow. El tensor curvatura deRiemann. Propiedades. Curvatura seccional, curvatura de Ricci y curvatura escalar.

3. Subvariedades riemannianas. Inmersiones isométricas. Embebimientos isométricos. Subvarie-dades. Hipersuperficies. Ejemplos. Campos tangentes y campos normales. La conexión inducida.La segunda forma fundamental. La ecuación de Gauss. Endomorfismo de Weingarten. Fórmulade Weingarten. Hipersuperficies totalmente geodésicas e hipersuperficies totalmente umbilicales.Hipersuperficies minimales.

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54 Métodos numéricos y variacionales de las EDPs Universidad de Murcia

1603. Métodos numéricos y variacionales de las EDPs

Profesorado Despacho Teléfono e-mailEliseo Chacón Vera 0.10 (Matem.) 86888 4175 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura Métodos Numéricos y Variacionales de las Ecuaciones en Derivadas Parciales es una

continuación natural de la materia de Métodos Numéricos. Esta materia está dedicada al desarrollo y fun-damento teórico y práctico de algoritmos numéricos para la resolución en un entorno computacional deproblemas provenientes de aplicaciones científicas. Por lo tanto, se refiere a un gran número de cuestionesdesde la aproximación de funciones e integrales a la aproximación de soluciones de ecuaciones alge-braicas, transcendentales, diferenciales e integrales, con un énfasis particular en la estabilidad, precisión,eficiencia y robustez de los algoritmos diseñados.

La mayoría de los modelos matemáticos para estudiar fenómenos físicos incluyen la evolucion entiempo y en espacio de determinadas cantidades. Como consecuencia incluyen derivadas en las varia-bles espaciales y en la variable temporal. En esta asignatura nos centramos en aquellos modelos que sedescriben mediante una combinación de ambas características, evolución temporal y cambio espacial.

De forma más concreta, en la asignatura se recordarán algunos de los problemas más representativosde las ecuaciones hiperbólicas, elipticas y parabólicas, como pueden ser las ecuaciones de transporte,el problema de contorno asociado al operador de Laplace, la ecuación del calor, etc...Una introduccióna estos modelos usando el concepto de ley de conservación nos permitirá entender fenómenos físicosde difusión, transporte y dispersión, así como hablar del problema de Cauchy, o de valor inicial, y decontorno para una ecuación en derivadas parciales.

Una vez introducidos los problemas modelo nos fijaremos en técnicas de resolución numérica paralos mismos y trabajaremos principalmente el Métdodo de Elementos Finitos aunque daremos algunaspinceladas sobre el Método de Diferencias Finitas.

El contenido práctico de esta asignatura es bastante importante siendo un total del 40 % del trabajo dela misma. Las prácticas de laboratorio se realizarán en MATLAB para los métodos de diferencias finitasy con FreeFem++ para los métodos de elementos finitos en 2d y 3d.


1. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales básicas y sus aproximaciones numéri-cas. Leyes de conservación. Interpretación física de modelos simples de transporte, difusión ydispersión. Problemas de valor inicial y de contorno. Primeras aproximaciones numéricas usandodiferencias finitas. Implementación informática mediante Freefem .

2. Teoría moderna de las ecuaciones en derivadas parciales. Análisis Funcional básico: Teoría delas distribuciones, Teorema de Lax-Milgram. Espacios Funcionales. Espacios de Sobolev Formula-ción variacional de problemas de contorno elípticos. Problemas de contorno de tipo parabólico.

3. Método de los Elementos Finitos. Problemas elipticos estacionarios Problemas parabólicos Ecua-ciones de Navier-Stokes Implementación informática de problemas modelo en 2d y en 3d medianteFreefem .

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Guia de la Facultad de Matemáticas Optimización no lineal 55

1604. Optimización no lineal



Presentación de la asignaturaEl estudio de problemas de optimización se presenta con frecuencia en numerosas disciplinas, y su

análisis y resolución se realiza mediante el estudio de un modelo matemático. Esta asignatura cubre lostemas relacionados con problemas de optimización en los cuales la función a optimizar es no lineal o elconjunto factible no es poliédrico.

Las clases prácticas consistirán en la resolución de los ejercicios correspondientes a las clases teóricas,una parte de los cuales serán resueltos por el profesor y el resto quedarán propuestos para ser resueltospor el alumno. Dichas clases incluyen también el uso del ordenador para la resolución de problemas quecon tal fin se entregarán al alumno.


BLOQUE 1: FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN NO LINEAL1. El modelo de la programación no lineal.2. Resolución gráfica.3. Funciones convexas. Generalizaciones.4. Funciones convexas diferenciables.5. Máximos y mínimos sobre conjuntos poliédricos.

BLOQUE 2: ALGORITMOS BÁSICOS PARA PROBLEMAS SIN RESTRICCIONES6. El concepto de algoritmo en optimización.7. Condiciones de optimalidad para problemas sin restricciones.8. Algoritmos de búsqueda unidimensional.9. Algoritmos de búsqueda multidimensional.

BLOQUE 3: CONDICIONES DE OPTIMALIDAD PARA PROBLEMAS CON RESTRIC-CIONES

10. Condiciones de optimalidad sin diferenciabilidad.11. Condiciones de optimalidad con diferenciabilidad.

BLOQUE 4: MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN NO LINEAL12. Métodos de penalizaciones.13. Métodos de direcciones factibles.14. Métodos simpliciales.

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56 Fundamentos de la matemática Universidad de Murcia

1606. Álgebra no conmutativa

Profesorado Despacho Teléfono e-mailÁngel del Río Mateos 1.07 (Matem.) 86888 3537 [email protected]


El Álgebra no Conmutativa estudia objetos algebraicos con una operación que no satisface la propie-dad conmutativa, con especial énfasis en la Teoría de Anillos pero también con la vista en la aplicaciónen otras ramas de las matemáticas como por ejemplo la Teoría de Grupos, la Geometría o la Topología.


1. Anillos. Ejemplos no conmutativos. Subanillos e ideales. Anillos cociente. Homomorfismos deanillos

2. Módulos. Módulos y submódulos. Operaciones con módulos y submódulos. Homomorfismos demódulos. Módulos libres y proyectivos.

3. Anillos y módulos semisimples. Módulos simples y semisimples. Teorema de Wedderburn-Artin.Teorema de Maschke.

4. Descomposición de módulos en suma directa. Módulos indescomponibles. Teorema de Krull-Schmitz

5. Condiciones de cadena en módulos y anillos. Anillos y módulos artinianos, noetherianos y delongitud finita. Teorema de Jordan-Hölder. Teorema de Hopkins-Levitzky

6. Representaciones de grupos. Representaciones lineales de grupos. Caracteres. Aplicaciones a laTeoría de Grupos.

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1607. Fundamentos de la matemática

Profesorado Despacho Teléfono e-mailJosé Luis García Hernández 1.03 (Matem.) 86888 3678 [email protected]


Los fundamentos de la matemática comprenden usualmente la aritmética elemental, la teoría de con-juntos y la lógica matemática. Usando los métodos de esta última, estudiaremos las dos primeras comoteorías formalizadas.

Guia de la Facultad de Matemáticas Estadística multivariante 57


1. Cálculo proposicional. Fórmulas proposicionales. Valoraciones. Tautologías. Sistemas de deduc-ción. Compacidad y completitud.

2. Lenguajes de primer orden. Propiedades sintácticas de los lenguajes de primer orden. Sistemasde deducción. Completitud y compacidad.

3. Teorías y modelos. Modelos de teorías de primer orden. Teorema de completitud. Teoremas deLöwenheim-Skolem. Ultrafiltros y ultraproductos. Análisis no-standard.

4. Computabilidad. Funciones computables. Teoría de la recursión. Conjuntos enumerables y deci-dibles. El décimo problema de Hilbert.

5. Teoremas de incompletitud. La incompletitud de la Aritmética. La consistencia de la Aritmética.6. Introducción a la teoría de conjuntos. Axiomática de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos.

Ordinales y cardinales. Aritmética transfinita.

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1608. Estadística multivarianteProfesorado Despacho Teléfono e-mailJorge Navarro Camacho 2.13 (Matem.) 86888 3509 [email protected]

Manuel Franco Nicolás S.05 (Matem.) 86888 4187 [email protected]

Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se enseñarán los fundamentos y la aplicación de las principales ténicas estadísticas

multivariantes. Se comienza con los modelos lineales que permiten predecir una o varias variables (res-puesta) mediante funciones lineales de otras variables (predictoras). Continuaremos intentando reducir lainformación contenida en un conjunto de variables aleatorias mediante combinaciones lineales de éstasusando Análisis de Componentes Principales. Por último veremos como poder distinguir entre dos o másgrupos a partir de los valores de diversas variables en individuos de cada grupo.


1. Análisis de regresión múltiple. Introducción al modelo de regresión lineal. Estimación del mo-delo de regresión. Contrastes del modelo de regresión. Coeficiente de determinación. Inferencia ypredicción. Análisis de los residuos. Extensiones del modelo de regresión múltiple, aplicaciones alanálisis de experimentos y otros modelos de regresión.

2. Análisis de componentes principales. Introducción. Cálculo teórico de las componentes princi-pales. Propiedades. Saturaciones. Interpretación de las componentes. Cálculo práctico de las com-ponentes principales. Reducción de la dimensión. Número significativo de componentes.

3. Análisis discriminante. Introducción. Clasificación teórica. Función discriminante. Clasificacióna partir de una muestra. Técnicas de validación cruzada. Inclusión de variables por pasos.

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58 Matemática de los mercados financieros Universidad de Murcia

1609. Geometría y relatividad

Profesorado Despacho Teléfono e-mailMiguel Ángel Meroño Bayo 0.14 (Matem.) 86888 4179 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura es un perfecto ejemplo de integración entre matemáticas y física. Usamos la Geometría

Diferencial de cursos anteriores para intentar entender cómo es nuestro Universo, a nivel local y a escalaglobal. Utilizando herramientas matemáticas podremos desentrañar qué se siente al caer hacia un agujeronegro, qué tipo de trayectoria seguiremos, cómo se puede viajar al futuro, cómo se curva la luz cuandopasa cerca de objetos masivos, cuál es la estructura del universo visto como un todo, qué edad tiene . . .


1. Geometría de Lorentz. Métricas de Lorentz. Carácter causal de vectores. Conos temporales yde luz. Orientación temporal. Ejemplos. Curvas temporales, curvas nulas. Causalidad. Distancialorentziana. Geodésicas causales.

2. Relatividad Especial. Espacio y tiempo de Newton. Espacio-tiempo de Minkowski. Partículasy fotones. Observadores. Contracción de Lorentz-Fitzgerald. Dilatación del tiempo y del espacio.Paradoja de los gemelos. Energía-Momento.

3. Relatividad General. Espacio-tiempos. Partículas y fotones. Observadores. Campos electromag-néticos. Modelos de materia. Tensor Tensión-Energía. Ecuaciones de Maxwell. Ecuación de Campode Einstein. Geometría de Schwarzschild. Órbitas. Avance del perihelio. Deflexión de la luz. Co-lapso estelar. Agujeros negros.

4. Cosmología. Fluidos perfectos. Espacio-tiempos de Robertson-Walker. Modelos de Friedmann.Desplazamiento hacia el rojo. Ley de Hubble. Causalidad. Espacio-tiempos globalmente hiperbó-licos. Hipersuperficies de Cauchy. Teorema de la singularidad de Hawking. Superficies atrapadas.Teorema de la singularidad de Penrose.

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1610. Matemática de los mercados financieros

Profesorado Despacho Teléfono e-mailJosé Manuel Mira Ros 1.12 (Matem.) 86888 3982 [email protected]

Antonio José Pallarés Ruiz 1.08 (Matem.) 86888 3559 [email protected]

Presentación de la asignaturaLos mercados financieros representan en la actualidad uno de los lugares de mayor aplicación del

análisis matemático y la teoría de la probabilidad. La asignatura supone una introducción a las modernastécnicas del análisis matemático y del cálculo estocástico que se emplean para la validación de modelos,la valoración de productos financieros, la optimización de carteras y la medida del riesgo financiero.

Guia de la Facultad de Matemáticas Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias 59


1. Introducción a la terminología financiera: dinero, mercados, opciones de compra y venta, arbitrajey cobertura.

2. Modelo binomial. Asignación de precios a las opciones de compra y venta.3. Relación entre arbitraje y martingalas. Medidas de riesgo neutro. Teorema fundamental de asigna-

ción de precios.4. Introducción al movimiento Browniano y al cálculo diferencial estocástico.5. Modelo de Black-Scholes. Cobertura de derivados y valoración de opciones.

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1611. Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinariasProfesorado Despacho Teléfono e-mailSalvador Sánchez-Pedreño Guillén 1.06 (Matem.) 86888 3536 [email protected]

Presentación de la asignaturaEsta asignatura es la continuación natural del curso dedicado a las Ecuaciones Diferenciales Ordina-

rias. Ahora abordaremos cuestiones cualitativas de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Nos centrare-mos fundamentalmente en el estudio de ecuaciones y sistemas diferenciales autónomos. La idea que guíatodo el curso es responder a esta pregunta: ¿Podemos obtener información cualitativa de las solucionesde una ecuación diferencial autónoma, aun sin conocer la expresión explícita de dichas soluciones? Parapoder responderla, tomamos como punto de partida la introducción del concepto de sistema dinámico, alcual se ajustan, entre otros, las ecuaciones diferenciales autónomas.

No existe, al contrario de lo que sucede con el curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, un cuerpode doctrina clásico en lo que respecta a la teoría cualitativa, si bien dentro de estos aspectos estándarespodríamos incluir la teoría cualitativa de los sistemas lineales, el método directo de Lyapunov y el teoremade Poincaré-Bendixson. Nuestro objetivo es ir desarrollando una teoría de los aspectos cualitativos de lossistemas autónomos de ecuaciones diferenciales (principalmente en el plano) que permitan al final delcurso conocer el comportamiento cualitativo global de ciertos famosos sistemas autónomos, como el delas ecuaciones de Lotka-Volterra, la ecuación del oscilador de van der Pol o la ecuación de Liénard.


BLOQUE 1: INTRODUCCIÓN1. Repaso de la teoría fundamental: existencia, unicidad, prolongación, dependencia de pará-

metros.2. Flujos y sistemas dinámicos continuos

BLOQUE 2: TEORÍA CUALITATIVA DE LOS SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES3. El caso bidimensional.4. Sumideros y fuentes. Conjugación.5. Clasificación por distintos tipos de conjugación de sistemas lineales.

60 Prácticas externas Universidad de Murcia

BLOQUE 3: TEORÍA CUALITATIVA LOCAL6. Puntos regulares y teorema de enderezamiento de órbitas local.7. Estabilidad por linealización.8. Estabilidad por el método directo de Lyapunov.

BLOQUE 4: SOLUCIONES PERIÓDICAS Y COMPORTAMIENTO CUALITATIVO GLOBAL9. Teorema de Poincaré-Bendixson y otros criterios.

10. Ecuaciones de Liénard y otros ejemplos.

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1605. Prácticas externasProfesorado Despacho Teléfono e-mailFrancisco Esquembre Martínez 1.05 (Matem.) 86888 3534 [email protected]

Esta asignatura permite al estudiante la adquisición de experiencia profesional mediante la realiza-ción de prácticas formativas externas, que propician su integración en un contexto de aprendizaje ubicadoen campos reales, relacionados con el ámbito profesional de la titulación. Las prácticas externas debenfomentar al mismo tiempo la adquisición de las competencias específicas del título que garanticen unaexitosa inserción en el mundo laboral. Esta asignatura se desarrollará en una institución, empresa, o en-tidad externa y bajo la supervisión tanto de un tutor o tutora externo como de un tutor o tutora interno(profesor de la UMU).

En estos momentos, la Facultad tiene establecidos convenios o contactos con diversas entidades. Noobstante, es posible ampliar esta relación si existe posibilidad para ello y/o interés por parte de algúnalumno en alguna otra entidad. A título orientativo se relacionan las siguientes entidades como posibleslugares para realizar prácticas externas.

Todas las Consejerías de la Comunidad Autónoma de la Región de Murcia

Todos los Ayuntamientos de la Región

Hospital Virgen de la Arrixaca

ATICA, Universidad de Murcia, Campus de Espinardo

Servicio Apoyo Investigación, Universidad de Murcia. Campus de Espinardo

SINERGIA TECNOLÓGICA, Murcia.

Cáritas Diocesana, Murcia

Electrónica Submarina SAES. Ctra. de la Algameca S/N. Cartagena.

Requisitos: Para poder cursar la asignatura es necesario haber superado al menos 120 créditos de los 180del programa formativo del grado de los tres primeros cursos incluyendo los 60 créditos ECTS de lasmaterias básicas.

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Guia de la Facultad de Matemáticas Trabajo de Fin de Grado 61

1612. Trabajo de Fin de Grado

Profesorado Despacho Teléfono e-mailAlberto del Valle Robles 0.02 (Matem.) 86888 4167 [email protected]

El Trabajo Fin de Grado (TFG) es una asignatura obligatoria que el alumno debe cursar para la ob-tención del título de Grado. Es un trabajo personal y autónomo del estudiante cuya realización tiene porobjeto dar cuenta de forma integrada de los contenidos y competencias que se han adquirido con el restode asignaturas y/o materias que conforman el plan de estudios. Se desarrollará siempre bajo la supervisiónde un tutor o tutora que orientará al estudiante en su elaboración.

El trabajo, una vez elaborado, debe presentarse y defenderse de forma individual y pública.Aunque el TFG no cuenta con docencia dirigida, podrá contemplar la asistencia a seminarios u otro

tipo de actividades presenciales específicas y relacionadas con su elaboración.En la página http://www.um.es/web/matematicas/tfg hay enlaces a la normativa sobre trabajos de fin

de grado, a las fechas de presentación y defensa, a la herramienta de gestión, a modelos de informes, atrabajos presentados, etc.

Todos los procesos que afectan a la asignatura, y en particular la oferta y asignación de líneas y elnombramiento y asignación de tribunales, se harán ateniéndose a la normativa vigente y a través de laherramienta de gestión http://tf.um.es

Requisitos: Podrán formalizar matrícula de TFG todos los estudiantes que tengan superados un númerode ECTS igual al resultante de restar setenta y dos al total de ECTS de que conste la titulación que cursa(168 ECTS para titulaciones de 240, 228 para titulaciones de 300 y 288 para titulaciones de 360 ECTS).

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62 Álgebras y sus representaciones Universidad de Murcia

6. Guías de asignaturas: Máster en Matemática Avanzada y Profesional

AVISO: Se presentan resúmenes sin validez oficial de las guías oficiales que están en el Aula Virtual y enwww.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/planificacion.

5110. Álgebras y sus representaciones

Profesorado Despacho Teléfono e-mailManuel Saorín Castaño 1.13 (Matem.) 86888 3585 [email protected]

Presentación de la asignaturaSe estudian las herramientas y contenidos básicos sobre álgebras y sus categorías de módulos o repre-

sentaciones, con especial hincapié en las álgebras de Artin y en las álgebras de grupo finito.


1. Anillos y álgebras asociativos y sus módulos. Anillos y álgebras asociativos. Módulos sobre álge-bras asociativas. Submódulos y módulos cocientes. Suma e intersección de submódulos. Teoremasde isomorfía. Módulos libres. Módulos finitamente generados.

2. Módulos de longitud finita. Sucesiones exactas de módulos. Series de composición y longitud deun módulo. Teorema de Krull-Schmidt. Teorema de Jordan-Holder. El álgebra de endomorfismosde un módulos de longitud finita. Algebras artinianas.

3. Descomposición de módulos y endomorfismos idempotentes. Descomposición de un móduloversus descomposición de su álgebra de endomorfismos. Descomposición en bloques de un álgebraartiniana.

4. Módulos proyectivos e inyectivos. Definición y caracterizaciones. Envolturas inyectivas. Cubier-tas proyectivas: condiciones para su existencia.

5. Algunos teoremas clásicos. Teorema de Morita. Algebras básicas. Algebras semisimples. Teore-mas de Wedderburn-Artin y de Maschke.

6. Álgebras de Artin. Álgebras de Artin y su dualidad canónica. Sucesiones casi escindidas. Teoríade Auslander-Reiten. El tipo de representación de un álgebra. Primera conjetura de Brauer-Thrall.

7. Quivers y sus representaciones. Quivers con relaciones. Teorema de Gabriel. Representacionesde un quiver con relaciones.

8. Representaciones vectoriales y matriciales de un álgebra. Definición. El diccionario módulos-representaciones. Teoremas de Noether-Deuring y de Burnside.

9. Representaciones ordinarias de grupos. Representación de un grupo como representación de suálgebra de grupo. Caracteres. Indice de Schur de un carácter. Relaciones de ortogonalidad. Tabla decaracteres de un grupo finito y cálculo explícito para órdenes bajos.

10. Algunas aplicaciones de las representaciones de grupos. Teorema de Clifford y aplicación a laprueba de la conjetura de Frobenius. Teorema paqb de Burnside.

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Guia de la Facultad de Matemáticas Topología algebraica 63

5111. Topología algebraica


Juan Martínez Hernández 1.04 (Matem.) 86888 3533 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa Topología Algebráica es una matería esencial dentro del la Matemática Fundamental Moderna.

En ella se usan técnicas algebráicas y topológicas avanzadas, como la Homología y la Homotopía, paraestudiar problemas complejos de carácter topológico o geométrico.

En la presente asignatura, pretendemos introducir al alumno en estas técnicas, haciendo un especialénfasis en sus aplicaciones geométricas. Empezaremos estudiando los conceptos básicos de homotopíay grupo fundamental y, seguidamente, introduciremos las homologías clásicas para estudiar problemastopológicos y geométricos. Concretamente, nos centraremos en la Homología Singular, Simplicial y Ce-lular, así como en el Teorema de Excisión y sus consecuencias. Aplicaremos estos resultados a diferentesproblemas, como el Teorema del Punto Fijo o de la Curva Simple de Jordan.

Al tratarse de métodos matemáticos avanzados, supondremos que el alumno posee conocimientosbásicos de tipo algebráico, aritmético, topológico y geométrico que ha adquirido durante el grado.


1. Repaso de conocomientos básicos. Conjuntos. Grupos. Módulos. Espacios topológicos.2. Homotopía y el Grupo Fundamental. Categorías y funtores. Homotopía. H-espacios. El grupo

fundamental.3. Homología Singular. El Teorema de Green. Grupos abelianos libres. El complejo singular. Homo-

logía singular.4. La categoría de complejos. La categoría R-comp. Sucesión exacta larga de homología.5. Escisión. El axioma de escisión. Mayer-Vietoris. Homología de esferas. Aplicaciones a espacios

euclídeos.6. Homología simplicial. Aproximaciones simpliciales. El complejo simplicial. Homología simpli-

cial. Comparación con la homología singular. El teorema de Van Kampen.7. Homología celular y CW-complejos.

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5112. Teoría de números y criptografía

Profesorado Despacho Teléfono e-mailÁngel del Río Mateos 1.07 (Matem.) 86888 3537 [email protected]

Presentación de la asignaturaEl objetivo principal de esta asignatura es introducir al alumno en los principales métodos de la Teoría

de Números Algebraicos y sus aplicaciones en Criptografía. Se estudiarán con detalle diversos algorit-mos con números algebraicos y cuvas elípticas estudiando su complejidad algoritmica. Se desarrollarancompetencias de investigación en Álgebra y de desarrollo de algoritmos.

64 Teoría de conjuntos Universidad de Murcia


1. Teoría de Números. Residuos cuadráticos. Enteros algebraicos y cuerpos de números. Extensionescuadráticas y ciclotómicas.

2. Primalidad y Factorización. La distribución de números primos. Test de primalidad y algoritmosde factorización avanzados.

3. Complejidad algorítmica. Algoritmos de tiempo polinomial determinístico y probabilístico encuerpos finitos y de números y en curvas elípticas. Las clases de problemas P y NP.

4. Criptología de clave pública. Protocolos criptográficos que utilizan cuerpos finitos y de núme-ros y curvas elípticas. Criptoanálisis, seguridad demostrable. Protocolos de Conocimiento Zero.Esquemas de compartimiento de secretos.

5. Curvas Elípticas. Grupo de una curva elíptica. Teorema de Hasse. Algoritmos con curvas elípticas.

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5113. Códigos correctores

Profesorado Despacho Teléfono e-mailJuan Jacobo Simón Pinero 0.04 (Matem.) 86888 4169 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura pretende introducir las bases teóricas y las herramientas y resultados fundamentales de

la Teoría de Códigos Correctores de Errores .


1. Información y códigos. El problema principal de la teoría de códigos.2. Códigos lineales.3. Códigos cíclicos. Cota BCH.4. Algunos códigos clásicos.

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5114. Teoría de conjuntos

Profesorado Despacho Teléfono e-mailAntonio Avilés López S.10 (Matem.) 86888 8420 [email protected]

José Luis García Hernández 1.03 (Matem.) 86888 3678 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa teoría de conjuntos constituye la base sobre la que se desarrolla el resto de teorías matemáticas.

Abordaremos los fundamentos lógicos en los que se sustenta, partiendo de la noción de modelo y losaxiomas del sistema ZFC, desarrollando conceptos como ordinal y cardinal, y finalmente discutiendocuestiones de consistencia relativa a ZFC como la hipótesis del continuo.

Guia de la Facultad de Matemáticas Análisis no lineal 65


1. Modelos y axiomas de la teoría de conjuntos. El lenguaje de la teoría de conjuntos. Axiomas deZFC. Modelos.

2. Ordinales, cardinales, estructuras ordenadas. Conjuntos ordenados, bien ordenados y árboles.Números ordinales, números cardinales, operaciones aritméticas, inducción transfinita.

3. Consistencia. La hipótesis del continuo y el forcing. Submodelos, submodelos numerables. No-ción de forcing y filtro genérico. El forcing de Cohen.

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5115. Análisis no lineal

Profesorado Despacho Teléfono e-mailStanimir Troyanski 0.03 (Matem.) 86888 4168 [email protected]

Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se hace una exposición unificada de los teoremas clásicos de punto fijo, sus genera-

lizaciones y algunas de sus aplicaciones, como los teoremas clásicos de existencia y unicidad de soluciónpara ecuaciones diferenciales ordinarias, el teorema de la función inversa y la solución de Lomonosovdel problema de subespacios invariantes de operadores lineales. Se presentan teoremas de aproximaciónde funciones continuas en espacios compactos, y se discute la noción de diferenciabilidad Fréchet enespacios de Banach de dimensión finita e infinita.

Para seguir este curso es recomendable conocer las nociones básicas de topología (compacto, abierto,espacio metrico completo, etc.), estar familiarizado con el cálculo diferencial e integral de varias variables(teorema de la aplicación abierta, teorema del cambio de variable para la integral) y nociones básicas deanálisis funcional (espacios de Banach y de Hilbert).


1. Álgebras de Banach. Teorema de Stone-Weierstrass2. Principio variaciones de Ekeland3. Diferenciabilidad Fréchet en espacios de Banach. Teorema de la función inversa4. Operadores contractivos y teoremas del punto fijo. Teorema de Picard-Lindelöf, existencia,

unicidad y continuidad de la solución con respecto a las condiciones iniciales para ecuacionesdiferenciales ordinarias.

5. Teoremas de Brouwer y de Schauder. Aplicaciones: Teorema de Peano, teorema de Lomonosov

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66 Sistemas dinámicos discretos Universidad de Murcia

5116. Teoría de la medidaProfesorado Despacho Teléfono e-mailMatías Raja Baño 0.01 (Matem.) 86888 4166 [email protected]

Stanimir Troyanski 0.03 (Matem.) 86888 4168 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa Teoría de la Medida es un pilar básico en matemáticas, en particular en Análisis Matemático y

Probabilidades. Este curso se centra, sobre todo, en algunos de sus aspectos y nociones más fundamentales(la medida y la integración de Lebesgue, teorema fundamental del Cálculo, teorema de diferenciación deLebesgue y teorema de Radon-Nikodym) , pero también se ilustran algunas de sus conexiones con latopología (fractales) y los sistemas dinámicos (teoría ergódica).


1. La medida de Lebesgue. Espacios medibles. Espacios de medida. La medida exterior de Lebes-gue. Propiedades de la medida de Lebesgue.

2. La integral de Lebesgue. Limitaciones de la integral de Riemann. Funciones medibles. Integral defunciones medibles no negativas. El teorema de la convergencia monotona. Funciones integrables.El teorema de la convergencia dominada. Relación entre la integral de Riemann y la de Lebesgue.

3. Diferenciación de medidas. Funciones de variación acotada y absolutamente continuas. El teo-rema fundamental del cálculo para la integral de Lebesgue. El teorema de diferenciación de Le-besgue. El teorema de densidad de Lebesgue. Continuidad absoluta en medidas. El teorema deRadon-Nikodym.

4. Teoría ergódica y fractales. Transformaciones que conservan la medida. El teorema de recurrenciade Poincaré. Ergodicidad. El teorema ergódico de Birkhoff. Consecuencias. Medida de Hausdorff .Dimensión de Hausdorff y dimensión topológica. Noción de fractal. Ejemplos.

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5117. Sistemas dinámicos discretosProfesorado Despacho Teléfono e-mailVíctor Jiménez López 0.11 (Matem.) 86888 4177 [email protected]

Francisco Balibrea Gallego 0.12 (Matem.) 86888 4176 [email protected]

Antonio Linero Bas 1.11 (Matem.) 86888 3583 [email protected]

Presentación de la asignaturaEsta asignatura pretende acercar a los estudiantes en algunos a los tópicos más importantes de la

teoría de sistemas dinámicos discretos, área de investigación de gran relevancia en la actualidad tanto porla riqueza de sus contenidos teóricos como por su utilidad en las ciencias aplicadas.

Los contenidos a tratar cubrirán, entre otras, cuestiones tan significativas y atractivas como la resolu-ción explícita de ecuaciones en diferencias en el caso lineal, la atracción global y local, la periodicidad yel caos, así como algunas aplicaciones a problemas de las ciencias.

Guia de la Facultad de Matemáticas Teoría del arbitraje 67


1. Introducción a los sistemas dinámicos. Nociones fundamentales: puntos fijos, atracción, estabi-lidad y repulsión. Sistemas dinámicos discretos. Ejemplos. Modelos de dinámica de poblaciones.

2. Ecuaciones en diferencias lineales. Método de resolución. Sistemas de ecuaciones en diferenciaslineales. Aplicaciones.

3. Atracción local y global. Teoría local. El teorema de la aplicación contractiva. El teorema deCoppel. El teorema de Singer.

4. Periodicidad y caos. El teorema de Sarkovsky. Sensibilidad a las condiciones iniciales. El teoremade Li y Yorke. El papel de los conjuntos de Cantor en la dinámica.

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5119. Teoría del arbitraje

Profesorado Despacho Teléfono e-mailAntonio José Pallarés Ruiz 1.08 (Matem.) 86888 3559 [email protected]

Bernardo Cascales Salinas 0.09 (Matem.) 86888 4174 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa concesión del Nobel de Economía de 1997 a M. S. Sholes y R. C. Merton, creadores junto a

F. Black de un modelo de valoración de opciones supuso el reconocimiento de la comunidad científicainternacional al papel fundamental que desempeñan herramientas matemáticas avanzadas en la modeliza-ción de procesos financieros. La idea clave fue la utilización de modelos de mercado en tiempo continuoy la noción de no-arbitraje. La fórmula de Black-Scholes ha probado ser de incalculable valor para lasinstituciones financieras.

Una idea simple, y economicamente convincente, como el principio de no-arbitraje permite la mode-lización matemática de mercados financieros y la asignación de precios únicos y equitativos a opciones yotros productos derivados.

Los teoremas matemáticos han demostrado que existe una íntima relación entre los argumentos de no-arbitraje y la teoría de martingalas. Tal relación es lo que se conoce con el nombre genérico de "teoremafundamental de asignación de precios a activos financieros", y se trata, más bien, de un principio generalque se plasma en diferentes teoremas. Lo que se prueba, hablando de forma un tanto imprecisa, es queun modelo matemático para los mercados financieros es libre de arbitraje si y sólo si es una martingalabajo una medida de probabilidad equivalente. Y una vez que esta relación básica queda establecida esposible deducir informaciones precisas sobre valoraciones y coberturas de activos financieros, tales comolas opciones. De hecho, la relación entre la teoría de martingalas, la integración estocástica y el análisisfuncional abre la puerta a aplicaciones de teorías matemáticas potentes y sofisticadas.


1. Introducción a los mercados de futuros y opciones: De Bachelier a la moderna teoría de finanzas.2. Teoría del arbitraje en tiempo discreto: el modelo binomial. Mercados financieros en tiempo discre-

to. Teorema de Harrison-Pliska. Maximización de funciones de utilidad sobre espacios de probabi-lidad finitos. Valoración de opciones por métodos discretos: árboles diádicos y triádicos.

68 Geometría y topología para entender el universo Universidad de Murcia

3. Transición al tiempo continuo: modelos discretos sobre espacios de dimensión infinita. Teorema deDallang, Morton y Willenger.

4. Teoría del arbitraje en tiempo continuo: Modelo de Black, Scholes y Merton. Asignación de preciospor arbitraje. Completitud y cobertura.

5. Martingalas y teoría del arbitraje: Los teoremas fundamentales de los mercados financieros.6. Modelos multidimensionales de mercados: aproximación clásica y con martingalas, completitud y

cobertura dinámica, mercados incompletos, dividendos, derivados monetarios y opciones.7. Control estocástico optimal. La ecuación de Hamilton, Jacobi y Bellman. Maximización de funcio-

nes de utilidad en tiempo continuo. Consumo e inversión óptima.

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5120. Geometría y topología para entender el universo

Profesorado Despacho Teléfono e-mailPascual Lucas Saorín 0.08 (Matem.) 86888 4173 [email protected]

Ángel Ferrández Izquierdo 0.07 (Matem.) 86888 4172 [email protected]

Miguel Ángel Javaloyes Victoria 1.14 (Matem.) 86888 7792 [email protected]

Presentación de la asignaturaA principios del siglo XIX tuvo lugar una revolución en la geometría (con Gauss, Lovachevsky y

Bolyai, independientemente) que fue científicamente tan profunda como la de Copérnico en astronomía y,en su impacto, tan filosóficamente importante como la teoría de la evolución de Darwin. En palabras delgran geómetra H.S.M. Coxeter: "El efecto del descubrimiento de la geometría hiperbólica sobre nuestrasideas de verdad y realidad ha sido tan profundo que difícilmente podemos imaginar lo traumático quefue descubrir en 1820 que una geometría distinta de la euclídea era posible". Antes de esto se pensabaque había, y que de hecho realmente existía, sólo una geometría posible, y que cualquier descripcióndel espacio contraria a la exposición euclidiana sería incompatible y contradictoria. A principios del sigloXX, Einstein demostraría que era justamente lo contrario lo que mejor se acomodaba a la realidad: nuestromundo no era euclidiano (al menos a escala global).

La Geometría Diferencial y la Topología son las herramientas fundamentales para entender el Uni-verso que hoy conocemos, cómo nació, cómo se ha desarrollado y hacia dónde camina. Especialmenteimportante es la geometría de Riemann, que surge históricamente como un intento de generalizar la geo-metría diferencial de curvas y superficies en el espacio euclídeo, cuyo carácter intrínseco viene dado porla primera forma fundamental. Riemann extendió este concepto a las variedades diferenciables en ge-neral, asociando a cada punto una forma cuadrática que hace el papel de dicha forma fundamental parasuperficies, dando lugar a lo que hoy conocemos como métricas de Riemann.


1. Variedades semi-riemannianas. Métricas semi-riemannianas. Curvaturas seccional y de Ricci.Operadores diferenciales. Subvariedades. La conexión inducida. Hipersuperficies. Las ecuacionesfundamentales.

Guia de la Facultad de Matemáticas Optimización geométrica en convexidad 69

2. Geometría de Lorentz. Carácter causal. Conos temporales. Geodésicas de hipercuádricas. Espa-ciotiempo.

3. Variedades alabeadas. Orientabilidad temporal. Productos alabeados. Sumersiones semi-rieman-nianas.

4. Curvas nulas. Definición y caracterización de curvas nulas. Hélices nulas. Curvas degeneradas enespacios lorentzianos. Hélices nulas generalizadas.

5. Problemas variacionales. Variación de la energía. Variación del área.6. Modelos de Universo. Espaciotiempos de Robertson-Walker. Modelos de Friedmann y Schwarz-

schild. Agujeros negros. Hipersuperficies de Cauchy.

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5121. Optimización geométrica en convexidad

Profesorado Despacho Teléfono e-mailMaría Ángeles Hernández Cifre 0.05 (Matem.) 86888 7661 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa convexidad tiene una larga historia. Ya en el famoso Los Elementos de Euclides (300 a.C.) aparecen

varias contribuciones a esta materia, relativas principalmente a propiedades de polígonos y poliedros. Sinembargo, fue Arquímedes (287?–212 a.C.) el primero en dar una definición precisa de lo que se entendíapor una curva o una superficie convexa (en su libro Sobre la esfera y el cilindro). A lo largo la historiahan ido apareciendo contribuciones esporádicas a la Geometría Convexa, aunque no es hasta finales delsiglo XIX cuando, gracias a matemáticos como Brunn o Minkowski, el estudio de la Convexidad tienesu máximo apogeo. Además, a lo largo de los años 40 y 50 se descubrieron numerosas aplicacionesimportantes de los conjuntos convexos, principalmente en el campo de la optimización geométrica, lo queacrecentó el interés de esta teoría. La finalidad principal de este curso es introducir al alumno en el estudioe investigación de la Convexidad, el Análisis Geométrico Asintótico y la Geometría Discreta, materias noestudiadas durante el grado/licenciatura.


1. Conjuntos convexos y sus propiedades. Proyección métrica, soporte, separación, politopos, dua-lidad, representaciones extremales, métrica de Hausdorff y teorema de selección de Blaschke.

2. ¿Cómo medir un conjunto? El volumen, los volúmenes mixtos y otras medidas geométricas, ladesigualdad de Brunn-Minkowski y problemas de optimización.

3. Simetrizaciones. La simetrización de Steiner, la simetrización central y sus aplicaciones a losproblemas de optimización.

4. Análisis Geométrico Asintótico. La conjetura del hiperplano, cuerpos isotrópicos, la constante deisotropía, el teorema de Dvoretzky.

5. Geometría Discreta. Retículos, Geometría de Números, teorema fundamental de Minkowski, mí-nimos sucesivos, teorema de Minkowski-Hlawka, segundo teorema de Minkowski, problemas deoptimización con restricciones a retículos, empaquetamientos y aplicaciones en Teoría de códigos.

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70 Control de calidad para la industria Universidad de Murcia

5122. Análisis de fiabilidad de sistemas

Profesorado Despacho Teléfono e-mailJorge Navarro Camacho 2.13 (Matem.) 86888 3509 [email protected]

Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se estudiarán los principales conceptos dentro de la teoría de la fiabilidad y se

aplicarán al estudio de los sistemas coherentes.


1. Introducción a la Teoría de la Fiabilidad. Función de fiabilidad. Variables truncadas. Funcionesde medias truncadas, razón de fallo, vida media residual, razón de fallo inversa y tiempo medio deinactividad. Distribuciones de tiempos de vida. Caracterización de distribuciones.

2. Órdenes y clases estocasticas. Principales órdenes estocásticos. Relaciones. Ordenación de distri-buciones de tiempos de vida. Principales clases estocásticas. Relaciones.

3. Fiabilidad de sistemas coherentes. Sistemas coherentes. Representaciones usando caminos ycortes minimales. Sistemas k-out-of-n. Fiabilidad de un sistema coherente. Representaciones comomixturas. Sistemas semicoherentes y sistemas mezclados. Representaciones mediante cópulas.

4. Preservación de ordenaciones y clases bajo la formación de sistemas. Preservación de ordena-ciones bajo la formación de sistemas en serie y k-out-of-n. Preservación de ordenaciones bajo laformación de sistemas generales. Preservación de clases bajo la formación de sistemas en serie yk-out-of-n. Preservación de clases bajo la formación de sistemas.

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5123. Control de calidad para la industria

Profesorado Despacho Teléfono e-mailFélix Belzunce Torregrosa 2.02 (Matem.) 86888 3618 [email protected]

Presentación de la asignaturaEl objetivo de esta asignatura es presentar las principales técnicas para el control estadístico de la

calidad, como son los diagramas de control, diseños de planes de inspección, análisis de capacidad deprocesos y análisis estadístico de tiempos de funcionamiento y/o hasta el fallo de sistemas o unidades.


1. Introduccion al control estadistico de la calidad. Concepto de calidad; evolución historica. Papelde la estadística en el control de la calidad. Terminología en control de calidad.

2. Diagramas de control de Shewhart. Diagramas de control para variables. Diseño de diagramaspara la media y la varianza. Diagramas de control para atributos. Diseño de diagramas para laproporción de unidades defectuosas y número de defectos por unidad.

Guia de la Facultad de Matemáticas Modelización y cuantificación de riesgos 71

3. Diagramas CUSUM. Contrastes secuenciales. Diseño de diagramas CUSUM.4. Diseño de planes de inspeccion por atributos. Planes de inspección simple. Planes de inspección

doble. Planes de inspección secuenciales.5. Análisis de capacidad de procesos. Indices de capacidad. Inferencia para índices de capacidad.

Recomendaciones de Palmer y Tsui.6. Análisis de tiempos de fallo. Introducción a la fiabilidad. Modelos de tiempos de fallo. Medidas

de fiabilidad. Inferencia para tiempos de fallo.

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5124. Modelización y cuantificación de riesgos

Profesorado Despacho Teléfono e-mailJosé María Ruiz Gómez 2.08 (Matem.) 86888 3632 [email protected]

Félix Belzunce Torregrosa 2.02 (Matem.) 86888 3618 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa cuantificación del riesgo en cualquier operación de empresas aseguradoras y financieras es uno de

los problemas de mayor interés en este contexto. En esta asginatura se pretende proveer al alumno con lasprincipales técnicas de modelización y cuantificación de riesgos.


1. Introducción. Conceptos necesarios de teoría de probailidad. Riesgos individuales y colectivos.2. Modelización univariante y multivariante de riesgos. Modelos paramétricos univariantes y mul-

tivariantes en seguros y finanzas: Distribución normal y t de Student multivariantes, distribucionesesféricas y elípticas. Modelización de la estructura de dependencia mediante cópulas.

3. Dependencia en riesgos. Medidas de dependencia y concordancia. Estructuras y clasificación dedependencia.

4. Medidas de riesgos. Medidas coherentes. Valor en riesgo y otras medidas relacionadas.5. Comparación de riesgos. Comparación univariante de variables aleatorias: Órdenes estocástico,

dispersivo, right-spread, creciente convexo y cociente de verosimilitudes. Comparacción multiva-riante de vectores aleatorios: Órdenes estocástico, cociente de verosimilitudes, dispersivo y crecien-tes convexo. Comparación de riesgos individuales y colectivos.

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72 Optimización combinatoria Universidad de Murcia

5125. Cálculo estocástico

Profesorado Despacho Teléfono e-mailAntonio José Pallarés Ruiz 1.08 (Matem.) 86888 3559 [email protected]

Gustavo Garrigós Aniorte 1.17 (Matem.) 86888 7789 [email protected]

Presentación de la asignaturaEl cálculo estocástico describe la teoría de la integración de procesos estocásticos, esto es dinámicas

que varían con el tiempo sometidas a incertidumbre. Nació en la primera mitad del siglo XX, bajo elimpulso de Kiyoshi Itô (1915-2008, primera medalla Gauss en 2006), siendo desde entonces un campode gran actividad matemática y muchos progresos teóricos y aplicados.

La materia ha experimentado una enorme popularidad en economía y finanzas a raíz de la idea deBlack Sholes y Merton, en 1973, de usarlo para la valoración de productos financieros como las opciones.En esta asignatura se introducirán las reglas básicas del cálculo estocástico, estudiando el movimientoBrowniano y la integración de procesos respecto del mismo. Analizaremos cómo resolver algunas ecua-ciones diferenciales estocásticas sencillas y aprenderemos a simular y analizar sus soluciones. Finalmentese presentarán los fundamentos matemáticos para la teoría moderna de valoración de opciones.


1. Introducción al movimiento Browniano y sus propiedades.2. Esperanza condicionada y martingalas.3. Construcción de las integrales de Itô y sus propiedades.4. Ecuaciones diferenciales estocásticas.5. Aplicaciones del cálculo estocástico en Finanzas.6. Teorema de Girsanov y sus aplicaciones.

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5126. Optimización combinatoria

Profesorado Despacho Teléfono e-mailAlfredo Marín Pérez 2.05 (Matem.) 86888 3627 [email protected]


Presentación de la asignaturaLos objetivos de esta asignatura son la adquisición de conocimientos y de destrezas suficientes como

para poder abordar la resolución de problemas y la obtención de nuevos resultados teóricos dentro la ramade la optimización matemática denominada optimización combinatoria.

Se considera de particular importancia que el alumno termine por dominar la formulación correcta yavanzada de problemas con restricciones lineales y variables enteras, la obtenciónde cotas inferiores paraproblemas de minimización mediante la relajación del conjunto de soluciones factibles y el reforzamiento

Guia de la Facultad de Matemáticas Técnicas computacionales para la optimización 73

basado en la descripción parcial del poliedro asociado -para lo cual es importante el conocimiento del pro-blema de empaquetamiento de conjuntos-, y los algoritmos de resolución basados en las cotas inferioresobtenidos y en la separación del conjunto de soluciones factibles en conjuntos más sencillos de abordar.

Una familia de problemas de especial importancia dentro de la Optimización Combinatoria es lade aquéllos que se abordan sobre grafos, en particular dirigidos. En el segundo bloque de la asignaturadesarrollaremos la teoría y los algoritmos de resolución para problemas de optimización sobre grafosdirigidos, con especial atención a problemas de flujo en redes.


BLOQUE 1: OPTIMIZACIÓN DISCRETA

1. Revisión de conceptos.

2. Relajación Lagrangiana.

3. Poliédrica.

4. El problema del empaquetamiento.

BLOQUE 2: TEORÍA DE GRAFOS

5. Revisión de conceptos básicos. Grafos no dirigidos.

6. El problema del camino más corto.

7. Flujo en redes. El problema del flujo máximo.

8. Flujo a coste mínimo en redes.

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5127. Técnicas computacionales para la optimización

Profesorado Despacho Teléfono e-mailJosé Manuel Cadenas Figueredo 1.18 (Inform.) 86888 4847 [email protected]

María del Carmen Garrido Carrera 1.17 (Inform.) 86888 4629 [email protected]

Presentación de la asignaturaSon muchos los problemas de optimización que surgen en la empresa y la industria, y prácticamente

todos ellos precisan de técnicas modernas y la ayuda de una computadora para su resolución. Mientrasque algunos problemas clásicos pueden resolverse de forma exacta con técnicas existentes muchos otrossólo pueden resolverse de forma aproximada mediante el uso de técnicas heurísticas. En esta asignatura sepresentan algunas de las técnicas heurísticas más exitosas en la actualidad, y se utilizan las herramientasnecesarias para poder aplicarlas a problemas reales.

74 Localización, distribución y transporte Universidad de Murcia


1. Heurísticas y Meta-Heurísticas en Optimización.

1.1 Introducción.1.2 Definciones y Conceptos.1.3 Taxonomía de Metaheurísticas.

2. Meta-Heurísticas basadas en Trayectorias.

2.1 Métodos multi-arranque y en entornos variables.2.2 Métodos basados en memoria: Búsqueda Tabú2.3 Métodos basados en probabilidad: Simulated Annealing.

3. Meta-Heurísticas basadas en Poblaciones.

3.1 Métodos basados en Haz Local.3.2 Métodos bioinspirados: Algoritmos genéticos y colonia de hormigas.

4. Meta-Heurísticas Híbridas.

4.1 Soft Computing y Meta-heurísticas.4.2 Meta-heurísticas cooperativas e Hiper-heurísticas.

5. Diseño y Librerias para la Optimización.

5.1 Librerías libres para la resolución de problemas de optimización.5.2 Librerías comerciales para la resolución de problemas de optimización.5.3 Recursos en internet para el diseño de metaheurísticas.

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5128. Localización, distribución y transporte


José Fernández Hernández S.04 (Matem.) 86888 4186 [email protected]

Pascual Fernández Hernández 2.01 (Matem.) 86888 3617 [email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura presenta los fundamentos y técnicas de análisis para la resolución de modelos asociados

con problemas de localización, distribución y transporte. Para ello se pretende desarrollar la capacidadpara seleccionar los elementos a tener en cuenta en la elaboración de modelos específicos, y medir laeficacia de las diferentes soluciones, así como manejar los algoritmos y procedimientos de resolución máshabituales, y desarrollar nuevos métodos y técnicas de resolución. Con los contenidos de la asignatura, elalumno aprenderá a: formular problemas según diferentes criterios y situaciones; analizar las propiedadesde las posibles soluciones en cada caso; resolver los modelos planteados; analizar estrategias en el casode competencia; aplicar los modelos a la resolución de problemas reales; utilizar el software relacionado.

Guia de la Facultad de Matemáticas Programación en C/C++ y aplicaciones matemáticas 75


BLOQUE 1: LOCALIZACIÓN.1. Elementos de un problema de localización. Espacio de decisión. Medición de distancias. Número

de centros a ubicar. Objetivos de atracción y repulsión.2. Localización de un centro. El problema de la mediana. El problema del centro.3. Localización de varios centros. El problema de la p-mediana. El problema del p-centro. Proble-

mas de cubrimiento. Aplicaciones (puntos de distribución, servicios de emergencia,. . . ).4. Modelos de competencia. Comportamiento del consumidor. Funciones de atracción . Objetivos.

Localización con decisiones en calidad y precio. Aplicaciones (competencia entre firmas).BLOQUE 2: DISTRIBUCIÓN.

5. Rutas por arcos. Circuitos Eulerianos. Problema del cartero chino.6. Rutas por nodos. Circuitos Hamiltonianos. Problema del viajante de comercio.

BLOQUE 3: TRANSPORTE.7. El problema del transporte estándar. Asignación de tareas y recursos.8. El problema del transporte con transbordo. Formulación y resolución.

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5129. Programación en C/C++ y aplicaciones matemáticas

Profesorado Despacho Teléfono e-mailEliseo Chacón Vera 0.10 (Matem.) 86888 4175 [email protected]

Presentación de la asignaturaEl objetivo es iniciar al alumno en las técnicas básicas de programación en C y en C++. La asignatura

tiene un perfil eminentemente práctico, basado en la idea de que la mejor manera de aprender a pro-gramar es programando. Por ello, se impartirá en la microaula en sesiones de 2 horas. En cada sesión, seexpondrán una serie de conceptos y los alumnos reailizarán prácticas de ordenador relativas a los mismos.


1. Introducción. Instalación de compilador de C/C++. Uso de entornos de programación. Depuraciónde errores básicos.

2. Introducción a C. Variables y tipos, funciones, ciclos, punteros, arrays, etc. Ejemplos.3. Introducción a C++. Objetos, clases, constructores, operadores, plantillas, etc. Ejemplos.

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76 Estadística bayesiana Universidad de Murcia

6226. Teoría de Juegos


María José Fernández Sáez 2.15 (Matem.) 86888 3639 [email protected]


Presentación de la asignaturaLa Teoría de Juegos es una importante rama de las matemáticas que estudia situaciones en las que

existen conflictos entre varias personas o equipos. En su desarrollo ha alcanzado un alto grado de sofisti-cación matemática y ha mostrado su gran aplicabilidad en campos muy diversos: economía, inteligenciaartificial, sociología, biología, o telecomunicaciones. Actualmente es este un campo de investigación muyactivo; existen numerosos grupos de investigación, multitud de eventos y revistas dedicadas parcial ototalmente a esta área.


1. Introducción. Conceptos básicos. Juegos en forma normal. Juegos en forma extensiva.2. Juegos de dos personas. Juegos rectangulares de dos personas y de suma cero. Juegos con un

valor. Existencia de estrategias maximin y minimax.3. Extensión mixta de un juego. Extensión mixta de un juego rectangular. Extensión mixta de un

juego finito.4. Teorema fundamental de los juegos finitos. Conjubtos convexos. Propiedades. Teoremas de se-

paración. Teorema del punto fijo. Teorema fundamental de la teoría de los juegos finitos.5. Algunos métodos de resolución. Casos de resolución sencilla. Conjuntos de soluciones. Progra-

mación lineal.6. Juegos continuos. Definición. Extensión mixta en juegos continuos. Teorema fundamental de los

juegos continuos.7. Juegos cooperativos con utilidad transferible. Introducción. Modelo de juego cooperativo TU.

Clases de juegos más importantes. Conceptos de solución.8. Juegos Cooperativos. Aplicaciones. Modelos de bancarrota. Juegos cooperativos asociados a mo-

delos de investigación operativa. Juegos con estructuras de uniones a priori.

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6227. Estadística bayesiana

Profesorado Despacho Teléfono e-mailJuan Antonio Cano Sánchez 2.14 (Matem.) 86888 3638 [email protected]

Presentación de la asignaturaEsta asignatura proporciona conocimientos de estadística bayesiana que sirven de puente para acceder

a nuestro programa de doctorado, ya que proporciona no solo una formación básica sino también otroscomplementos de formación en cálculo estadístico y desarrollo de aplicaciones de utilidad general.

Guia de la Facultad de Matemáticas Métodos estadísticos de predicción y clasificación 77


1. Fundamentos de la estadística bayesiana.2. Estimación y contraste en los modelos paramétricos básicos.3. Simulación de variables aleatorias y métodos de Monte Carlo para inferencia bayesiana.4. Introducción a los métodos de Monte Carlo de cadenas de Markov.5. Aplicaciones de la estadística bayesiana.

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6228. Métodos estadísticos de predicción y clasificación

Profesorado Despacho Teléfono e-mailManuel Franco Nicolás S.05 (Matem.) 86888 4187 [email protected]

Juana María Vivó Molina S.04 (Matem.) 86888 3701 [email protected]


Esta asignatura es una continuación de las técnicas estadísticas fundamentales incluidas en las mate-rias del grado en Matemáticas. Se abordan técnicas de análisis estadístico de datos multivariantes, cen-trándose en los métodos de regresión y clasificación, y medidas de exactitud o precisión diagnóstica, conaplicaciones en economía y empresa, medicina, biología, informática, . . . Estas técnicas se desarrollaránmediante la resolución de casos prácticos a través del software libre R.


1. Regresión logística. Introducción. Modelo de regresión logística. Medidas de riesgo y odds-ratios.Estimación y análisis del modelo logístico. Caso práctico.

2. Análisis ROC. Introducción. Conceptos y medidas de exactitud. Curva ROC. Estimación y com-paración. Caso práctico.

3. Regresión cuantílica. Introducción. Modelo de regresión cuantílica: Estimación e inferencia. Casopráctico.

4. Análisis cluster. Introducción. Medidas de similaridad. Métodos jerárquicos y no jerárquicos. Casopráctico.

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78 Trabajo de Fin de Máster Universidad de Murcia

5131. Prácticas externasProfesorado Despacho Teléfono e-mailVíctor Jiménez López 0.11 (Matem.) 86888 4177 [email protected]

Esta asignatura, que se desarrollará en una institución, empresa, o entidad externa y bajo la supervi-sión tanto de un tutor externo como de un tutor interno (profesor de la UMU), permite al estudiante laadquisición de experiencia profesional mediante la realización de prácticas formativas externas, que pro-pician su integración en un contexto de aprendizaje ubicado en campos reales, relacionados con el ámbitoprofesional de la titulación. Las prácticas externas deben fomentar al mismo tiempo la adquisición de lascompetencias específicas del título que garanticen una exitosa inserción en el mundo laboral.

El contenido de las prácticas variará según la naturaleza de la empresa en la que se realicen y delperfil que el alumno esté cursando. El alumno se integrará en alguna actividad realizada en la empresa.Se procurará que la actividad tenga relación con los contenidos del máster y que se realicen en el seno deequipos de la empresa u organismo que desarrollen actividades relacionadas con proyectos de I+D+i.

Las prácticas externas tienen una carga de 12 ECTS, de los que 11 coresponden al desarrollo de lasprácticas y 1 a la elaboración de la memoria de prácticas. Se asignará al alumno un Tutor de Prácticasque será uno de los profesores del programa. La función de este tutor es supervisar el desarrollo de lasprácticas realizadas por el alumno, que será coordinado con los responsables de la empresa. El alumnoescribirá una memoria de las prácticas que entregará al Comité de Evaluación de Prácticas Externas.

La Comisión Académica de Máster será la encargada de evaluar esta materia. El tutor del alumnoemitirá un informe sobre el desarrollo de las prácticas realizadas que tendrá en cuenta la informaciónaportada por los responsables de la empresa u organismo donde se realizaron las prácticas. La ComisiónAcadémica de Máster evaluará las prácticas teniendo en cuenta la Memoria de Prácticas presentada por elalumno y el informe de su tutor.

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5142. Trabajo de Fin de Máster

Profesorado Despacho Teléfono e-mailVíctor Jiménez López 0.11 (Matem.) 86888 4177 [email protected]

El Trabajo Fin de Máster (TFM) es un trabajo personal y autónomo del estudiante que tiene por objetodar cuenta de forma integrada de las competencias que se han adquirido con el resto de asignaturas delmáster. Se desarrolla bajo la supervisión de un tutor que orientará al estudiante en su elaboración, y debepresentarse y defenderse de forma individual y pública una vez superadas el resto de asignaturas delmáster.

Para la calificación de la asignatura, el tribunal designado por la Comisión Académica del Máster ten-drá en cuenta el contenido de la memoria, la exposición pública, la posterior discusión con los miembrosdel tribunal y el informe que emitirá el tutor.

Más información en www.um.es/web/matematicas/contenido/estudios/masteres

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Guia de la Facultad de Matemáticas Direcciones y Teléfonos 79

7. Direcciones y Teléfonos

Facultad de Matemáticas

Facultad de Matemáticas.Universidad de Murcia. Campus de Espinardo. Apdo. 4021.30100 Murcia. España.Página web: www.um.es/web/matematicasCorreo electrónico:[email protected]: 868884182

Personal de Administración y Servicios

Se dan las extensiones para llamadas internas. Desde el exterior hay que marcar 86888 + extensión.

Conserjería 4181 Decanato 3669,3673Roberto Abad López [email protected] María Teresa Orenes Ballesta [email protected] Pintado Pintado [email protected] P. Rodríguez Arnaldos [email protected] Secretaría 3682, 3674

Carmen Martínez Martínez [email protected] 3662 Manuel Noguera Almagro [email protected]

Representación Estudiantil. Asemat

Teléfono Correo electrónico Página webASEMAT 4601 [email protected] www.um.es/asematDelegación de Alumnos 4204 [email protected]

Departamentos que imparten docencia en la Facultad de Matemáticas

Departamento de Matemáticas

• Teléfono: 3518 Correo electrónico: [email protected]• Página web: www.um.es/web/dp-matematicas

Departamento de Estadística e Investigación Operativa

• Teléfono: 3519 Correo electrónico: [email protected]• Página web: www.um.es/web/estio

Departamento de Ingeniería de la Información y las Comunicaciones

• Teléfono: 3518 Correo electrónico: [email protected]• Página web: www.diic.um.es

Departamento de Electromagnetismo y Electrónica

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Profesores con docencia en el Grado, PES y Máster

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