Guía para estudiantes Asignatura: Matemática Nivel: I° medio

LICEO BICENTENARIO POLITÉCNICO PROFESORES: SRA. LESLY MUÑOZ R. –SRA. SUSANA CORTÉS L. EMA ESPINOZA CORREA SRA. MARCELA GARCÉS - SR. FRANCISCO QUIJADA M. LAUTARO SR. FERNANDO NAVARRO B. – SR. RODRIGO SANDOVAL

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Guía 3 de Matemáticas. PRIMEROS MEDIOS. (10 al 21 de Mayo)

Objetivos: - Ubicar Puntos en el Plano Cartesiano - Representar funciones en diferentes formas. - Mostrar que comprenden la función lineal y afín.

Nombre: …………………………………………………. Curso: ……. Fecha: ...……

Guía para estudiantes Asignatura: Matemática

Nivel: I° medio

LEE ATENTAMENTE ÉSTA GUÍA Y DESARROLA LO SOLICITADO. DE SER NECESARIO, USA UNA HOJA PARA RESOLVER E INCLÚYELA EN LA ENTREGA.



ACTIVIDADES: UBICANDO PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO

Observa el siguiente Dibujo. Ésto es un PLANO CARTESIANO, observa que tiene 2 rectas Principales llamadas ejes, una que está en forma Horizontal llamada “eje X” y otra en forma Vertical llamada “eje Y”

Cada punto se identifica a través de un par de números entre paréntesis que se llaman “pares ordenados”, pues el orden es muy importante.

Observa en la imagen el punto A(3, 4), ¿Con cuál eje crees que tiene relación el primer número? Y ¿el segundo número?

Como ya descubriste el número 3, tiene relación con el eje x y el número 4 con el eje y.

Observa el punto G, le corresponde (0, 0) porque es la intersección de ambos ejes en el punto cero, se le llama origen.

Observa además que, para ubicar los puntos, siempre primero buscamos la coordenada del eje x moviéndonos para la “derecha si es positivo” o a la “izquierda si es negativo”, y luego nos movemos dependiendo del valor de la coordenada de y, que dependiendo si es positiva nos movemos “hacia arriba” y si es negativa “hacia abajo”, la cantidad que nos indica la coordenada. OJO que la ubicación del punto es la intersección de ambas coordenadas. Por eso el punto C que tiene coordenadas (1, -3) se movió en la x 1 espacio a la derecha y en la y 3 espacios hacia abajo, ya que el 3 estaba negativo, y el punto que se dibuja es en donde estas dos coordenadas se intersectan. Hay 2 puntos más E(0, 2) y F(4,0) que tienen cierta particularidad, ya que se encuentran dibujados sobre uno de los ejes, esto ocurre cuando una de las coordenadas es 0. Si te fijas si la coordenada de x es 0, significa que no nos movemos ni para la derecha ni para la izquierda, entonces el punto se debe ubicar sobre el eje Y hasta el número que la coordenada de Y indique, en este caso hasta el 2. Y en cambio, cuando la coordenada de Y es 0, entonces te mueves hasta la coordenada de x, en este caso hasta el 4 y dibujas el punto, ya que tener la coordenada de y=0 significa que no nos movemos ni para arriba ni para abajo. Te invitamos a que observes todos los puntos de la imagen, para que puedas entender cómo y dónde se deben ubicar. Ojo que no siempre es necesario ponerle “nombre” como por ejemplo A, B, C, etc. Importante es que sepas que aprender a ubicar puntos en el plano cartesiano, te ayudará a poder graficar funciones de todo tipo.



Actividad 1: Ahora te toca a ti. Determina las coordenadas de los siguientes puntos.

EJEMPLO A ( 2 , 1 ) B ( , )

C ( , ) D ( , ) E ( , ) F ( , ) G ( , ) H ( , ) I ( , ) J ( , ) K ( , ) L ( , ) M ( , ) N ( , )

Actividad 2: Dibuja en una hoja completa de cuaderno un plano cartesiano y Ubica los siguientes puntos en el orden dado, y anda uniéndolos con una línea para encontrar una figura oculta (o sea une el primer punto con el segundo, el segundo con el tercero y así sucesivamente) Luego pega la hoja de tu cuaderno en esta guía.

(1, -3) (5, -4) (4, -3) (9, 1) (7, 2) (8, 5) (5, 4) (5, 5) (3, 4) (4, 9)

( 2, 7) (0, 10) (-2, 7) (-4, 8) (-3, 3) (-5, 6) (-5, 4) (-8, 5) (-7, 2)

(-9, 1) (-4, -3) (-5, -4) (0, -3) (2, -7) (2, -6) (1, -3)



Nivel 0: Matemática - I Medio

N°3

Inicio: Estimado estudiante: Al desarrollar la siguiente guía aprenderás sobre las características de una función y sus diversas representaciones. Objetivo de la clase: Representar una función usando la metáfora de una máquina, estableciendo reglas entre x e y, y representándola de manera gráfica y manual. Para lograr el objetivo de la clase, debemos tener una sólida base respecto al concepto de función. ¿Recuerdas qué es una función? ¿Cuáles son las formas más frecuentes de representación? Iniciemos con una actividad que te permitirá reactivar conocimientos previos:

Actividad N°1 (10 minutos aproximados)

Una empresa de computación desarrolló un programa que permite calcular el área de un cuadrado a partir de la longitud de su lado, tal como se observa en la siguiente imagen:

Al ingresar una medida, por ejemplo 4 𝑐𝑐𝑐𝑐, obtienes como resultado su área, es decir, 16 𝑐𝑐𝑐𝑐2. Esta relación se puede representar utilizando el concepto de función matemática y para ello se emplea la siguiente notación funcional:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 La letra 𝑥𝑥 representa los valores que ingresas al programa computacional (la medida del lado) y el resultado obtenido corresponde al área del cuadrado.

Completa la siguiente tabla de acuerdo a los valores que se ingresan:

𝑥𝑥 4 5 6 7 8 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 16

¡Atención! Ocurrió un problema con el programa y ahora realiza una acción totalmente distinta a la anterior. ¿Podrías volver a completar la tabla con la nueva instrucción que aparece en la pantalla del computador?

𝑥𝑥 4 5 6 7 8 𝑦𝑦 12

Para recordar - Una función es una relación entre dos variables 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦, de manera que a cada valor de 𝑥𝑥

llamado preimagen, le corresponde un único valor de 𝑦𝑦, llamado imagen. - La variable "𝑦𝑦" puede también escribirse como 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y se lee “𝑓𝑓 de 𝑥𝑥”.



Práctica guiada: Representaciones de una función Lee la siguiente información sobre las diversas representaciones de una función. Las funciones matemáticas relacionan dos conjuntos numéricos de acuerdo a una determinada regla. En el ejemplo del ejercicio anterior la función era 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 y los conjuntos en juego eran los valores de entrada (4, 5, 6, 7 y 8) y los de salida (12, 15, 18, 21 y 24). Utilicemos esta información para trabajar las diversas representaciones de una función:

Tabla: a cada valor de x se le asigna su correspondiente resultado de acuerdo a la función en juego:

𝑥𝑥 4 5 6 7 8

𝑓𝑓(𝑥𝑥) 12 15 18 21 24

Expresión algebraica: empleamos una expresión algebraica para representar la función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥

O de manera alternativa

𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥

Gráfico: se representan los pares ordenados (𝑥𝑥,𝑦𝑦) que satisfacen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Diagrama sagital: se representa la relación entre los conjuntos con flechas:

Actividad N°2 (20 minutos aproximados) 1. Considera la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 y el conjunto de entrada 𝐴𝐴 = {1, 2, 3, 4}. Completa las diversas representaciones

(tabla, gráfico y diagrama sagital) de acuerdo a las indicaciones: a) Tabla: Determina los valores de salida y escríbelos en los espacios donde corresponde. Por ejemplo, cuando

la función toma el valor 1 se tiene que: 𝑓𝑓(1) = 2 • 1

Por tanto 𝑓𝑓(1) = 2

𝑥𝑥 1 2 3 4

𝑓𝑓(𝑥𝑥) 2

b) Gráfico: El gráfico de una función se representa en un plano cartesiano mediante pares ordenados que

satisfacen las condiciones de la función. Para ello, ten presente que el valor de 𝑥𝑥 corresponde al eje horizontal o también llamado abscisa (𝑋𝑋), mientras que el valor de 𝑦𝑦 o 𝑓𝑓(𝑥𝑥) corresponde al eje vertical o también llamado ordenada (𝑌𝑌).

Por ejemplo, el par ordenado (1, 2) pertenece a la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 pues:

𝑓𝑓(1) = 2



c) Diagrama sagital:

Una vez que tengas los pares ordenados puedes representar el diagrama sagital relacionando los valores con una flecha.

2. ¿Por qué en la pregunta anterior no se solicita que representes la función mediante su expresión algebraica?

Justifica.

Actividad N°3 (30 minutos aproximados) 1. Considera la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 1 y el conjunto de entrada 𝐴𝐴 = {0, 2, 4, 6}. Completa las siguientes

representaciones: a. Tabla:

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

b. Gráfico: c. Diagrama sagital:

2. Considera la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 2 y el conjunto de entrada 𝐴𝐴 = { −1,0, 1, 2}. Completa las siguientes representaciones:

a. Tabla: 𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥)

b. Gráfico: c. Diagrama Sagital:



¿Cuál es la expresión algebraica que modela la relación entre los valores que se muestran en la siguiente tabla?

𝑥𝑥 1 2 3 4

𝑓𝑓(𝑥𝑥) 4 5 6 7

Respuesta:

3. Construye una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones. Utiliza el conjunto de entrada 𝐴𝐴 =

{1, 2, 3, 4} para cada una de ellas. Luego, representa el gráfico en un plano cartesiano.

a. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 1

b. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥



c. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥 + 1

Actividad de síntesis (15 minutos aproximados)

1. Considera la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 5. ¿Cuál es el valor de 𝑓𝑓(3)?

2. Son las 12 del día y la temperatura es de 30ºC. Si se pronostica que la temperatura aumenta 2ºC por hora, ¿cuál

es la expresión algebraica de la función que representa tal situación? ¿Cuál es la temperatura después de transcurridos 4 horas?

3. ¿Cuáles son las representaciones de una función que estudiamos en esta guía?

4. ¿Qué es una función? Explica con tus palabras.



Nivel 0: Matemática - I Medio N°4

Inicio Estimado estudiante: Al desarrollar la siguiente guía aprenderás a distinguir entre una función lineal o afín, su representación en el plano cartesiano y la aplicación a problemas de la vida cotidiana, por ejemplo, el interés simple. Objetivo de la clase: Mostrar que comprenden la función lineal relacionándola con el interés simple.

I. ¿Qué era una función? ¿Cuáles son las representaciones más usuales? En la guía previa trabajamos elementos bases respecto de una función matemática, los que serán útiles al momento de desarrollar las ideas sobre función lineal o afín. Previo a trabajar en estos nuevos conceptos, responde:


a. ¿Recuerdas qué es una función matemática? Explica con tus palabras.

b. ¿Cuáles son las representaciones más frecuentes de una función?

c. Considera la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥, ¿qué tipo de representación es?

d. Escribe con tus palabras el proceso que realizas para representar una función en un plano cartesiano.

II. Función lineal Una función lineal 𝑓𝑓 es una función que puede escribirse de la forma: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐 ∙ 𝑥𝑥, con 𝑐𝑐 ≠ 0. Donde 𝑐𝑐 se denomina pendiente de la recta asociada a la función. Se denomina lineal pues cumple dos propiedades:

• Propiedad aditiva: 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + 𝑓𝑓(𝑏𝑏) • Propiedad homogénea: 𝑓𝑓(𝑐𝑐 ∙ 𝑎𝑎) = 𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓(𝑎𝑎), con 𝑐𝑐 ≠ 0.

Una de las características de las funciones es que pueden modelar situaciones de la vida real. Lee el siguiente ejemplo y completa las preguntas de acuerdo a las indicaciones.



Averigüemos: ¿Qué características tiene el gráfico de una función lineal? Supongamos que el cobro en pesos del gasto de agua en un edificio está modelado por la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥, en donde 𝑥𝑥 (el valor de entrada) es la cantidad de litros que usa cada departamento durante un mes.

a. ¿Es 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐𝒙𝒙 una función lineal? Para ser una función lineal debe cumplir:

Propiedad aditiva 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + 𝑓𝑓(𝑏𝑏)

Al reemplazar los valores en la función se tiene que:

2(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 2𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 2𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 = 2𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏

Luego se cumple la propiedad aditiva.

Propiedad homogénea 𝑓𝑓(𝑐𝑐 ∙ 𝑎𝑎) = 𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓(𝑎𝑎)

Al reemplazar los valores en la función se tiene que:

2(𝑐𝑐 ∙ 𝑎𝑎) = 𝑐𝑐 ∙ 2𝑎𝑎 2𝑐𝑐 ∙ 𝑎𝑎 = 𝑐𝑐 ∙ 2𝑎𝑎

Así, se cumple la propiedad homogénea.

Dado que la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 cumple ambas propiedades, es una función lineal.

b. Completemos la siguiente tabla correspondiente a la f(x) = 2x (recuerda que si entre un número y una letra no hay nada como por ejemplo en el 2x entonces entremedio hay una multiplicación, o sea es lo mismo que 2•x)

𝑥𝑥 0 1 2 3 4 5 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 0 2

c. Si el precio de la cuenta de agua sigue la función f(x) = 2x y en promedio una persona consume 5600 litros al

mes, ¿cuánto dinero debe pagar en promedio?

d. Observa el gráfico de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 en el plano cartesiano.

Responde: ¿Qué características tiene el gráfico de la función? Ayuda: observa el punto de intersección de la recta con los ejes coordenados.



Actividad N°2 (20 minutos aproximados) Completa la tabla y realiza el gráfico para cada una de las siguientes funciones lineales. Recuerda que los valores para la x los puedes inventar (intenta que no sean tan grandes) y los de la y (g(x)) se generar reemplazando en la función por el valor de x.

a. 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥

b. ℎ(𝑥𝑥) = 13𝑥𝑥

𝑥𝑥 ℎ(𝑥𝑥)

c. 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥


𝑥𝑥 𝑔𝑔(𝑥𝑥)



III. Función afín Una función afín 𝑓𝑓 es una función que puede escribirse de la forma 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, con 𝑐𝑐, 𝑐𝑐 ≠ 0. La constante 𝑐𝑐 es la pendiente y 𝑐𝑐 es el coeficiente de posición, el cual corresponde al valor en el eje Y por donde pasa su gráfica. Se denomina afín pues tiene características afines a la función lineal pero no cumple las propiedades aditiva ni homogénea. Una de las características de las funciones es que pueden modelar situaciones de la vida real. Lee el siguiente ejemplo y completa las preguntas de acuerdo a las indicaciones.

Averigüemos: ¿Qué características tiene el gráfico de una función afín? Supongamos que una persona deposita 50 dólares en una cuenta de ahorro y el banco le ofrece un 10% de interés simple por cada año transcurrido. Esta situación se puede escribir en el lenguaje de funciones como:

𝑗𝑗(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 + 50 Donde 𝑥𝑥 es la cantidad de años transcurridos y 5 dólares corresponde al 10% del monto inicial, es decir, 10% de 50.

a. ¿Es 𝑗𝑗(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 + 50 una función lineal?

b. ¿Qué tipo de función es?

c. Completemos la siguiente tabla de acuerdo a la información de la función:

𝑥𝑥 0 1 2 3 𝑗𝑗(𝑥𝑥)

d. Si han transcurrido 2 años, ¿cuál es el monto a retirar en dólares?

e. Si la persona retira 80 dólares, ¿cuánto tiempo ha transcurrido?

f. Observa el gráfico de la función 𝑗𝑗(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 + 50

en el plano cartesiano.

Responde: ¿En qué punto intersecta la función al eje y?

g. De acuerdo al contexto del problema, ¿es

correcto ingresar valores negativos a la función? Justifique




Completa la tabla y realiza el gráfico para cada una de las siguientes funciones afines.

d. 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 1

e. ℎ(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 − 1

Actividad de síntesis (15 minutos aproximados) A continuación, se presentan dos funciones (𝑓𝑓 y 𝑔𝑔) representadas en el plano cartesiano. Responde 1. ¿Cuál gráfico representa una función lineal? ¿Cuál gráfico representa una función afín? Justifica

2. ¿Qué características del gráfico de cada función te permite distinguir si una función es lineal o afín? Justifica

𝑥𝑥 𝑔𝑔(𝑥𝑥)


Documents

Guía para estudiantes Asignatura: Matemática Nivel: I° medio