Guardando las distancias: a la memoria de Alston Scott Householder 1.904 - 1.993 James Hardy Wilkinson 1.919 – 1986 Robert Todd Gregory 1.920 - 1984

Guardando las distancias: a la memoria de

•Alston Scott Householder 1.904 - 1.993

•James Hardy Wilkinson 1.919 – 1986

•Robert Todd Gregory 1.920 - 1984

Con agradecimientos a:

• James W. Daniel – The University of Texas• Gilbert W. Stewart – The University of Maryland

• Gilbert Strang -Massachusetts Institute of Technology

• Cleve V. Moler – The Mathworks - Matlab

• IIMPORTANCIA DEL ALGEBRA LINEAL EN MPORTANCIA DEL ALGEBRA LINEAL EN EL MUNDO DIGITALEL MUNDO DIGITAL

CONFERENCISTA: JOSE ARTURO CONFERENCISTA: JOSE ARTURO BARRETO GUTIERREZBARRETO GUTIERREZ

MASTER OF ARTS LA UNIVERSIDAD DE MASTER OF ARTS LA UNIVERSIDAD DE TEXASTEXAS

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• Depto. De MatemáticasDepto. De Matemáticas

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• Martes 30 de Octubre. 3 P. M.Martes 30 de Octubre. 3 P. M.

Carl C. CowenProfessor Emerito. Depto. de Matemáticas

Purdue University. Indiana

On the Centrality of Linear Algebra in the Curriculum

Carl C. Cowen


Carl C. Cowen


Carl C. Cowen


Carl C. Cowen

Gauss y LU

Ecuaciones y LU

Descomposición LU .vs. la inversa

• A=LU

• A-1= U-1L-1

Pregunta para el foro:

Vale la pena?

Proyeccion de u sobre v

Expresion en componentes

Expresión en ejes ortogonales

3 dimensiones

Expresion en base ortogonal

Proyeccion en subespacio con base ortogonal

Solucion por minimos cuadrados



La Ecuación Normal

La Ecuación Normal

La ecuación Normal

Son

y

Equivalentes?

Son

La ecuación normalSi

Es de dimensión 100 x 3

Entonces Es de dimensión 3x3!

Diagonalización de Matrices Simétricas




Significado de los vectores R

Esta es la idea principal que a partir de la mitad del siglo 20 redefinió los métodos para calcular autovalores con ayuda del computador, dada la dificultad de calcularlos como raíces del polinomio característico. Los problemas numéricos del calculo de raíces de polinomios no son tan triviales como lo sugiere la ecuacioón de segundo grado.

Cónicas y Matrices de rotación

• Para una aplicación de la diagonalización de matrices al estudio de las cónicas rotadas (eliminación de productos xy para llevarlas a su forma canónica) calculando además autovalores y autovectores (ejes principales), consulte:

www.geocities.com/mialgebralineal

http://www.geocities.com/mialgebralineal



Autovalores, autovectores y diagonalización de Matrices




Entonces los autovalores de A, aparecen en la matriz diagonal D.

Como

La importancia de las matrices simétricas

La importancia de las matrices simétricas

• Podría hacerse un simposio dedicado a las matrices simétricas dada su importancia por gran variedad de razones

• Podría alguien elaborar una disertación al respecto?

• Tal vez hasta “publicar” con el fin de “enseñar” y señalar derroteros de investigación o al menos crear un lugar “especializado” de consulta?

El teorema Espectral




Proposicion 4 del Teorema Espectral

Diagonalización de Matrices Simétricas por

Transformaciones ortogonales

Diagonalización de Matrices simétricas



El cálculo de autovalores y autovectores

• Diagonalización de matrices simétricas por transformaciones ortogonales. Matrices de rotación de Givens

Descomposición QR

Descomposición QR

Hemos logrado la siguiente transformación

En donde T es una matriz triangular superior

Descomposición QR

Descomposición QR

• Concluimos en base al ejemplo que:

R3 R2 R1 A=R,

En donde las matrices Ri son matrices de rotación

ortogonales. Por lo tanto

A= R1-1

R2-1

R3-1

R,Son por lo tanto matrices ortogonales. Su producto

será una matriz ortogonal que llamaremos Q.

En consecuencia A = QR, CON Q, MATRIZ ORTOGONAL

Descomposición QR para manejar la mala condición de la matriz ATA

• Aplicaciones de la descomposicion QR

Diagonalización de Matrices no simétricas



Diagonalización de matrices no simétricas


• Hemos dicho que hay alternativas para resolver estos problemas de diagonalización, mas ya sabemos que esta matriz se puede diagonalizar por una transformación semejante, lo cual es bastante conveniente. Limitados como estamos a escoger los temas ya que no se pretende hacer un curso que vaya mas allá de las posibilidades de un curso relativamente breve, no ahondaremos en la presentación de métodos estables, que resuelvan el problema de diagonalización de matrices no simétricas.

• No todas las matrices no simétricas son diagonalizables por transformaciones semejantes como veremos en el ejemplo siguiente



• Una matriz A es normal si AAT = ATA.• Una matriz A es diagonalizable por una

transformación ortogonal, si y sólo sí es una matriz normal.

• No presentamos prueba de esta afirmación ni ahondaremos en su utilización.

Aplicación de la diagonalización

Aplicación de la diagonalización

Diagonalización y cadenas de markov

Diagonalización por bloques. La forma de Jordan

Forma de Jordan – Algoritmo de Filipov



Algoritmo QR Shifted (transladado)



• Comparación entre la Matriz original y la matriz obtenida en el primer paso.

• Algotirmo QR transladado (Shifted)

)3(*eyebAA

00025.00053.0

1085.01495.01074.0

0331.04041.06475.0

)(, AqrRQ

000.10023.00080.0

0036.09865.01637.0

0075.01637.09865.0

0006.000

1016.02136.00

0504.03742.06564.0

QRA *

0006.00000.00000.0

1024.02105.00341.0

0041.02618.07092.0

)3(*eyebAA

0300.00000.00000.0

1024.00901.00341.0

0441.02618.00098.1

b=

0.3006

A=

Q=

R=

A=

A=

http://www.abrakadabra.com.ve/

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