Guia 3.Aplicaciones de la derivada.

1. Sea f(x) =2x3

3+x2

2− x− 1. Hallar los puntos de la grafica de f en que la pendiente de la recta

tangente en ese punto sea igual a

a) 0. b) -1. c) 5.

2. Sea f(x) = x2 +ax+ b. Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2x sea tangente a la graficade f en el punto de coordenadas (2, 4).

3. Calcular el area del triangulo formado por el eje de las ordenadas, la tangente y la normal a lacurva y =

√9− x en el punto de coordenadas (5, 2).

4. Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva x2 − 2xy+ y2 + 2x− 6 = 0 , trazadas desde elpunto (−3,−7)

5. Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno, su radio aumenta a razon de 0,01cm/min. ¿Cual es la razon de cambio del area cuando el radio mide 50 cm?

6. Cambio de dimensiones en un rectangulo. El lado ”l”de un rectangulo disminuye a razon de 2 cm/s,mientras que el ancho w aumenta a razon de 2 cm/s. Cuando l = 12 cm y w = 5 cm , hallar lasrazones de cambio de:

a) El area. b) El perımetro. c) La diagonal.

7. Una escalera de 4 metros se apoya contra una casa y su base comienza a resbalar. Cuando la baseesta a 3,7 metros de la casa, la base se aleja a razon de 1,5 m/s.

a) ¿Cual es la razon de cambio del area del triangulo formado. Por la escalera, la pared y el sueloen ese instante?

b) ¿Cual es la razon de cambio del angulo θ entre la escalera y el suelo en ese instante?

Sol: a) Disminuye a razon de 5.61 m2/s b) 0.986 rad/s

8. Un bloque de hielo cubico se funde de modo que su arista disminuye con regularidad 2 cm/hr, ¿aque razon disminuye su volumen cuando su arista mide 10 cm?

9. Un punto se desplaza sobre la curva y = x3 de forma que su ordenada varıa en funcion del tiempot segun la ley y = at3 . Hallar la velocidad de variacion de la abscisa en funcion del tiempo.

10. La Ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, lapresion P y el volumen V satisfacen la ecuacion PV = c , donde c es una constante. En determinadoinstante el volumen del gas es 600 cm3, la presion es 150 KPa y crece a una razon de 20 KPa/min.¿Con que velocidad disminuye el volumen en este momento?.

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11. Se estima que dentro de t anos, la poblacion de cierta comunidad suburbana sera p(t) = 10− 20

(t+ 1)2

miles de personas. Un estudio ambiental revela que el nivel medio diario de monoxido de carbonoen el aire sera c(p) = 0,8

√p2 + p+ 139unidades cuando la poblacion sea de p miles. ¿A que razon

porcentual cambiara el nivel de monoxido de carbono con respecto al tiempo dentro de 1 ano?

12. Un hombre camina a razon de 4 Km por hora hacia la base de una torre de 25 mts. de altura. ¿Conque razon se aproxima a la cima de la torre cuando esta a 20 metros de su base?

13. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva x2 +y2−3x+4y−31 = 0, en el punto (−2, 3).

14. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva x2y3 − 6 = 5y3 + x cuando x = 2 e y = −2.

Sol: y = −33x

12+

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15. Se desea cercar un terreno rectangular de area de 10000 m2 , sabiendo que uno de sus lados yaesta cubierto por un rıo. Hallar las dimensiones del terreno, de manera que el costo del cercado seamınimo.

16. La reaccion a dos drogas como funcion del tiempo( medido en horas) esta dada por:

R1(t) = t · e−t;R2(t) = t · e−2t2

Debido a las caracterısticas de cierta enfermedad, se optara por aquella droga que tenga una reaccionmaxima mayor ¿Que droga se debe elegir?

17. Se construye un contenedor de modo que su capacidad sea de 288 pies cubicos. El contenedor tienecomo base un cuadrado y cuatro caras verticales. Si la base y la tapa del contenedor estan hechasde acero y las caras laterales de concreto. ¿Cuales seran las dimensiones del contenedor para que elcosto de construccion sea mınimo sabiendo que el concreto tiene un costo de US 3 por pie cuadradoy el acero un costo de US 4 por pie cuadrado?

Sol: Debe ser de 6 x 6 x 8 pies

18. Para la funcion definida por f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x, encuentre los valores crıticos y clasifıquelosen maximos o mınimos

19. La cosecha de una explotacion agrıcola de maız Y en funcion del nivel de nitrogeno N en el suelo,se puede modelar como

Y (N) =N

1 +N2con N ≥ 0

Calcule el nivel de nitrogeno que maximiza la cosecha.

20. Un artıculo en una revista de sociologıa afirma que si ahora se iniciase un programa especıfico deservicios de salud, entonces al cabo de ”t.anos, N miles de personas adultas recibirıa beneficiosdirectos, donde

N =t3

3− 6t2 + 32t; 0 ≤ t ≤ 8

¿Para que valor de t es maximo el numero de beneficiarios?

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