Guia 6.Determinantes.

1. Calcular el determinante de las siguientes matrices:

a)

1 2 31 1 20 1 2

b)

1 1 1 11 2 −1 21 −1 2 11 3 3 2

c) A =

1/2 1 1 −1

3 1 2 2−4 −3 −5 1

0 3 3 1

2. Si det

a b cp q rx y z

= 6 calcule el determinante de las siguientes matrices:

a)

a + x b + y c + zp q rx y z

b)

a b c4p 4q 4rx y z

c)

−a −b −cx y zp q r

3. Calcule el determinante de las siguientes matrices en funcion de x:

a)

x 2 12 x 21 2 x

b)

x− 1 −2 1−1 x −1−4 4 x− 4

4. Hallar los numeros reales x e y tales que detA = 0 si:

a) A =

1 x x2 x3

x x2 x3 1x2 x3 1 xx3 1 x x2

b) A =

x y 0 00 x y 00 0 x yy 0 0 x

5. Demostrar que:

a) det

p + x q + y r + za + x b + y c + za + p b + q c + r

= 2det

a b cp q rx y z

b) det

2a + p 2b + q 2c + r2p + x 2q + y 2r + z2x + a 2y + b 2z + c

= 9det

a b cp q rx y z

6. Calcule la inversa de la matriz A, usando cofactores:

a)

2 1 43 2 50 −1 1

b)

−1 2 12 −3 51 0 12

7. Pruebe que

∣∣∣∣∣∣1 1 1a b ca2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣ = (b− a)(c− a)(c− b)

1

8. Exprese el determinante

∣∣∣∣∣∣1 a2 − bc a4

1 b4 − ca b4

1 c2 − ab c4

∣∣∣∣∣∣ como el producto de un factor cuadratico y cuatro

factores lineales.

9. Resolver los siguientes sistemas, usando la regla de Cramer:

a)

2x + y + z = 63x − 2y − 3z = 58x − 2y + 5z = 11

b)

2x + 5y − z = −14x + y + 3z = 3−2x + 2y = 0

10. Pruebe que:

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 + x 1 1 1

1 1− x 1 11 1 1 + y 11 1 1 1− y

∣∣∣∣∣∣∣∣ = x2 · y2

b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x x2 x3

a 1 x x2

p b 1 xq r c 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1− ax)(1− bx)(1− cx)

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣x −1 0 00 x −1 00 0 x −1a b c x + d

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a + bx + cx2 + dx3 + x4 (Ind: opere por columnas)

11. Demuestre que: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 . . . 0 a10 0 . . . a2 b2n...

.... . .

......

0 an−1 . . . bn−1n−1 bn−1n

an bn2 . . . bnn−1 bnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)ka1a2 . . . an

donde k = n/2 si n es par y k = (n− 1)/2 si n es impar.

12. Sea A una matriz cuadrada.

a) Demuestre que si A = A−1, entonces det(A) = ±1.

b) Demuestre que si At = A−1, entonces det(A) = ±1.

13. Sea A una matriz cuadrada invertible en que todos sus elementos son enteros. Pruebe que si det(A) =±1, entonces todos los elementos de A−1 son enteros.

14. Probar que si AB = BA = 0 entonces para todo k ∈ N, (det(A + B))k = det(Ak + Bk).

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