Guia 7.Sistemas Lineales.

1. Sea A =

1 −4 01 2 15 −3 3

. Determine la inversa de A, si existe, y resuelva el siguiente sistema lineal:

u− 4v = 0u+ 2v + w = 0

5u− 3v + 3w = 0

2. De un ejemplo en cada caso, si es posible:

a) Un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas que no posea solucion.

b) Un sistema de dos ecuaciones que sea inconsistente.

c) Un sistema de tres ecuaciones con dos incognitas que posea solucion unica.

3. Determine todas las soluciones de los sistemas lineales: AX = 3X y AX = 2X. Si:

A =

6 −4 04 −2 0−1 0 3

4. Analizar segun los valores de a, b, c, d ∈ R la existencia y los valores de las soluciones de los siguientes

sistemas lineales

a)

ax+ y + z = 0x+ ay + z = 0x+ y + az = a

b)

dx− y + z = ax+ y − 2z = bx− y + z = c

5. Determine los valores de a de modo que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones:

x+ y + 2z = 1ax+ y − z = 02x+ y − z = −1

6. Determine el valor de m para que el sistema

mx+ y − z = 02x+my + z = 0

y +mz = 0

a) Sea inconsistente.

b) Tenga solucion unica, y determınela.

c) Tenga infinitas soluciones y determınelas.

1

7. Dado el sistema lineal:

x− y + (4a2 + 1)z = 1y + (3− a)z = 0

2x− y + (7− a)z = 1

con a, b ∈ R. Determine condiciones para a y b de manera que el sistema dado:

a) Tenga solucion unica.

b) No tenga solucion.

c) Tenga infinitas soluciones y determınelas en funcion de a y b.

8. Determine t de manera que A =

1 2 −10 3 12 −2 t

sea singular ¿Tiene solucion el sistema AX = t1

1− t

.

9. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) El numero de variables independientes de un sistema AX = b con A ∈Mn×m(R) es n− ρ(A).

b) Si el sistema AX = C es consistente, A ∈M3×4(R), C = (1 2 s)t y ρ(A) = 2 entonces s = 0.

c) Si el sistema AX = C es consistente,A ∈M3×4(R), C = (8 − 7 s)t y ρ(A) = 2 entonces s 6= 0.

d) Si A ∈Mn×m(R) y ρ(A) < n entonces el sistema AX = 0 tiene solucion no trivial.

e) Si A ∈M3(R), entonces el sistema AX = 0 tiene solucion no trivial si A es singular.

f ) Si A ∈M3(R) y |A| = 0, el sistema AX = B con B 6= 0 no tiene solucion.

10. Determine a, b, c ∈ R para que el sistema lineal:

ax+ 3by + 4cz = 5x+ 3cy + 4bz = 6x+ y + 5cz = 7

tenga como solucion a C = (1 2 3)t.

11. Demuestre que si B es una matriz que se obtiene de una matriz A mediante una operacion elementalfila, entonces AX = 0 y BX = 0 son sistemas lineales equivalentes, pero el recıproco no es cierto.

2