ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (E.D.O.)

( )( , , ', '',...., ) 0nF x y y y y , se llama ecuacin diferencial de orden n (*)

Donde ( )y f x es la funcin desconocida, x la variable independiente y ( )', '',..., ny y y

son las derivadas de y .

2 54 3

4 33

d y d yy t

dt dt

;

2 22

32

1d y dy

dx dx

Orden 4 Grado 2 Orden 2 Grado 4

, , ' 0F x y y Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden.

, , ', '' 0F x y y y Ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden.

Definicin. Una ecuacin diferencial ordinaria se llama lineal si tiene la forma:

( ) ( 1)

0 1 1( ) ( ) .... ( ) ' ( ) ( )n n

n na x y a x y a x y a x y F x

donde, 0 ( ) 0a x , ( )ny , ( 1)ny , , 'y e y son de primer grado y ( )F x , 0 ( )a x , 1( )a x ,

, ( )na x son funciones que dependen solo de x . Caso contrario se llamara E D O no

Lineal.

Ejemplos. 2

2cos 0

d yy

dx

'' 2 'yy y x

22

20

d yy

dx

Funcin no lineal Coeficiente de ''y Grado de y es 2

depende de y

No lineal de 2 Orden No lineal de 2 Orden No lineal de 3 Orden

Solucin de una E.D.O.

( )y f x es una solucin de una ecuacin diferencial, si al reemplazarlo juntos con

sus derivadas en la E.D.O. esta la reduce a una identidad.

La solucin 0y se llama solucin Trivial.

Se llama solucin Particular a la solucin que no contiene constantes y se obtiene

dando valores especficos a las constantes.

A veces una ecuacin diferencial posee una solucin que no pertenece a la familia de

soluciones obtenida, esa solucin se llama solucin Singular.

Se llama solucin General de una ecuacin diferencial, a la funcin

1 2( , , ,..., )ny E x c c c , que para cualesquiera de las constantes 1 2, ,..., nc c c , es la solucin

de esta ecuacin diferencial.

La ecuacin 1 2( , , ,..., ) 0nE x c c c que determina la solucin general como una funcin

implcita, se llama Integral General de la ecuacin diferencial.

Obtener una EDO a partir de la solucin general, consiste en hallar la n-esima

derivada de la solucin general, donde n es el nmero de constantes, y luego se

eliminan las constantes entre la solucin general y todas las ecuaciones derivadas.

Solucionar o Integrar una EDO consiste en:

1. Hallar la solucin general (si no nos dan condiciones iniciales). 2. Si nos dan condiciones iniciales, hallar la solucin particular que satisfaga las

condiciones iniciales dadas.

Una relacin entre las variables que contenga n constantes arbitrarias esenciales, se llama primitiva. Las n constantes reciben el nombre de esenciales si no se pueden sustituir por un nmero menor de constantes.

Ejemplo: Sea, D y Ax B x C . Aqu, las constantes A, B, C, D no son esenciales,

ya que, 1 2 3 A B C

y x x C x C x CD D D

, es decir, se ha podido sustituir por un

nmero menor de constantes.

Una primitiva que involucra n constantes arbitrarias esenciales, dar origen a una ecuacin diferencial de orden n, libre de constantes arbitrarias, la que se obtiene eliminando las n constantes, entre las n+1 ecuaciones provenientes de las n derivadas sucesivas con respecto a la variable independiente , de la primitiva.

Problema de Valor Inicial: Dada una ecuacin diferencial de primer orden de la forma

( , )dy

f x ydx

sujeta a la condicin inicial 0 0 y x y , donde 0x es un nmero en un intervalo I y

0 y es un nmero real arbitrario, se le llama Problema de Valor Inicial o Problema de

Cauchy.

Seguidamente daremos algunos mtodos o procedimientos que debemos seguir para

resolver ciertos tipos de E.D.O.

I. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES

Si una EDO de primer orden de la forma ( , )dy

f x ydx

se puede escribir de la forma

( ) ( ) ( , ) ( , ) 0dy

g x h y o M x y dx N x y dydx

se dice que es una EDO de primer orden

de variables separables, cuya solucin se obtiene al integrar respectivamente:

1( ) ( )h y dy g x dx c ( ) ( )M x dx N x dy c

de donde, si es posible, se despeja y .

3 2 24 3 2

2 3 4 2 4

3 3

1 41. 4 ( 3) 0 2. 3.

3

3 14. 5. (1 ) 6. 1 1

85

dy y y y xdy yx y dx x y dy

dx x dx y

dy x dyy x xdx x dy x x dy

dx dxxy y

II. ECUACIONES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES

La ecuacin ( )dy

f ax by cdx

, donde , ,a b c R (*)

Se puede reducir a una ecuacin de variables separables de la siguiente manera:

1 Hacemos ( , )u x y ax by c , 0b

2 Derivamos implcitamente con respecto a x:

( )du dy du

a b a bf udx dx dx

3 Separamos variables: ( )

dudx

a bf u

, ( ) 0a bf u

4 Finalmente, integrando obtenemos

( )

dudx c

a bf u

5 De donde si es posible, despejar y .

III. METODO DE SOLUCIN DE ECUACIONES HOMOGENEAS

Definicin.- ( , )f x y se dice que es una funcin homognea de grado n , si

( , ) ( , )nf tx ty t f x y , donde n R .

Nota 1.- Si la funcin ( , )f x y tiene trmino constante no es homognea.

Nota 2.- Algunas veces se puede reconocer si una funcin es homognea

examinando el grado de cada trmino de la funcin, los cuales deben de

ser iguales.

Nota 3.- Si ( , )f x y es una funcin homognea de grado n , entonces:

( , ) (1, )ny

f x y x fx

y ( , ) ( ,1)ny

f x y y fx

Donde (1, )y

fx

y ( ,1)y

fx

son funciones de grado cero.

Definicin.- Si en la ecuacin ( , )dy

f x ydx

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy las funciones

( , )f x y , ( , )M x y y ( , )N x y son homogneas de mismo grado, entonces

la ecuacin se llama ecuacin homognea.

Nota 4.- ( , )dy

f x ydx

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy es una ecuacin homognea

si es posible escribirlo de la forma:

( )dy y

gdx x

( )dy x

hdx y

(*)

Mtodo de solucin de ecuaciones diferenciales homogneas:

1 Se hace, digamos y

u y xux

2 Derivar implcitamente con respecto a x: dy du

x udx dx

3 Separar variables: ( )

du dx

g u u x

.

4 Integrar y de ser posible despejar y .

ECUACIONES QUE SE REDUCEN A HOMOGENEAS

La ecuacin 1 1 1

2 2 2

a x b y cdyf

dx a x b y c

, donde 1 1 1 2 2 2, , , , ,a b c a b c , 1c y 2c no

simultneamente ceros (ya que si ambas fueran cero, la ecuacin sera homognea). Esta

ecuacin se resuelve trasladando el origen de coordenadas al punto de interseccin de

las rectas 1 1 1 0a x b y c y 2 2 2 0a x b y c .

Para resolver este tipo de ecuaciones, se siguen los siguientes pasos:

I. Si las rectas no son paralelas:

1 Se verifica que 1 1

2 2

0a b

a b (Esto quiere decir que las rectas no son paralelas)

2 Se halla el punto de interseccin ( , )h k , resolviendo el sistema:

1 1 1

2 2 2

0

0

a x b y c

a x b y c

3 Se hace el cambio de variables: u x h x u h dx du

v y k y v k dy dv

4 Al reemplazar en la ecuacin diferencial, esta se transformara en una ecuacin

homogenea:

1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 22 2

( ),

( )

va b

a u b v a h b h cdy dv uuf f F

vdx du a u b v a h b h c va b

u

donde, 1 1 1 2 2 20 y 0a h b h c a h b h c .

5 Resolver y de ser posible despejar y .

II. Si las rectas son paralelas:

1 se verifica que 1 1

2 2

0a b

a b (Esto quiere decir que las rectas son paralelas)

2 Como las rectas son paralelas, entonces 2 2 1 1/ ( )k a x b y k a x b y

3 Hacemos: 1 1v a x b y

4 Derivando implcitamente con respecto a x:

11 1 1 1

2

( )v cdv dy dv

a b a b fdx dx dx kv c

5 Separando variables: 1

1 1

2

( )

dvdx

v ca b f

kv c

6 Integrar y de ser posible se despeja y .

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

TEOREMA: (Criterio de Exactitud). Si ( , )M x y y ( , )N x y son continuas, con

derivadas parciales continuas en una regin rectangular 2D R , entonces existe una

funcin 2:f D R R tal que:

( , )df

M x ydx

y ( , )df dM dN

N x ydy dy dx

Mtodo de Solucin:

(1) Verificar si ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy , es exacta.

(2) Por TEOREMA, existe una funcin f para el cual ( , )df

N x ydy

y

( , )df

M x ydx

.

(3) Se integra (2) con respecto a x , con lo que se obtiene la solucin:

( , ) ( , ) ( )f x y M x y dx g y , donde ( )g y constante de integracin. Hallando g(y):

(4) Se deriva (3) parcialmente con respecto a y , y se iguala a ( , )N x y , es decir,

( , )df

N x ydy

, de donde se despeja '( )g y .

(5) Se integra '( )g y , con respecto a y , para obtener ( )g y .

(6) Reemplazar ( )g y de (5) en (3) para obtener la solucin ( , )f x y

(7) La solucin de la ecuacin diferencial dada en forma implcita es:

( , )f x y c

Las ecuaciones no exactas pueden reducirse a exactas, mediante un factor integrante

adecuado.

IV. FACTORES INTEGRANTES

Son expresiones que al multiplicarlos con una ecuacin diferencial no exacta lo

convierten en una ecuacin diferencial exacta. Los factores integrantes mas

frecuentemente usados son:

Si ( )

dM dN

dy dxf x

N

es una funcin que depende solo de x , entonces ( )f x dx

e

es un factor integrante de (I).

Si ( )

dN dM

dx dyg y

M

es una funcin que depende solo de y , entonces ( )g y dy

e es

un factor integrante de (I).

Si (I) puede escribirse de la forma: ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy yf x y xg x y , donde ( , ) ( , )f x y g x y

entonces:

1

( , ) ( , )xy f x y g x y, es un factor integrante de (I).

V. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

( ) ( )dy

P x y Q xdx

Cuya solucin esta dada por:

( ) ( )

( ) ( )P x dx P x dx

y x e e Q x c

ECUACIONES QUE SE REDUCEN A LINEALES

VI. ECUACIN DE BERNOULLI:

( ) ( ) ndy

P x y Q x ydx

, 0n , 1n , n R .

Mtodo de Solucin:

1 Multiplicar la ecuacin por ny : 1( ) ( )n n

dyy P x y Q x

dx

2 Hacer

1 11

n n ndw dy dy dww y n y ydx dx dx n dx

3 Reemplazar en la ecuacin, esta se reduce a una ecuacin Lineal.

VII. ECUACIN DE RICATTI

2( ) ( ) ( )dy

P x y Q x y R xdx

(*)

Mtodo de Solucin:

1 Si conocemos una solucin particular 1( )y x de la ecuacin (*), entonces la

solucin general esta dad por:

1 1

1y y u y

w

Donde u es la solucin de la ecuacin de Bernoulli:

2

1( 2 )du

Q Py Pudx

2 Resolver la ecuacin de Bernoulli, para hallar u , que al hacer 1w u esta se

reduce a la ecuacin lineal:

1( 2 )dw

Q Py w Pdx

3 Resolver la ecuacin lineal, para hallar w , cuya solucin es:

1 1( 2 ) ( 2 )

( )Q Py dx Q Py dx

w e P e dx c

La solucin general de (*) es:

1 1

1y y y u

w

VIII. ECUACIN DE CLAIRAUT

' ( ')y xy f y . (*)

Mtodo de Solucin:

1 Se hace 'u y . As ( )y xu f u . (1)

2 Se deriva ambos miembros de (1) con respecto a x:

' ' '( ) ' 0 ' '( ) 'y u xu f u u xu f u u

' '( ) 0u x f u .(2) 3 Se analiza (2).

Si ' 0u , integrando u c , .c cte (3) Reemplazando (3) en (1), obtenemos la solucin general:

( )y cx f c (4)

Si '( ) 0x f u . '( )x f u . (5)

Reemplazando (5) en (1) obtenemos una solucin singular:

'( ) ( )y uf u f u . (6)

Nota 6.- Las ecuaciones (5) y (6) son las ecuaciones paramtricas para una curva tal que

2 2 1x y .

IX. METODO DE INSPECCIN

Consiste en reescribir la ecuacin diferencial dada con la finalidad de utilizar ciertos

resultados conocidos que pueden ayudarnos en la bsqueda de la solucin deseada.

a.

2

xdy ydx yd

x x

b.

2

xdy ydx xd

y y

c.

1

2 2( )

xdy ydx yd tg

x y x

d. ln( )xdy ydx y

dxy x

e.

2

2 2xdy ydx x yd

x yx y

f.

2 2

2 2

1ln( )

2

xdx ydyd x y

x y

g.

2 2

2 2

xdx ydyd x y

x y

h.

2 2

2 2

xdx ydyd x y

x y

i. 2 2

2 2ln( )

xdy ydx y xd

y x y x

j.

2

2 2ydx xdy x yd

x yx y

X. REDUCCIN DE ORDEN

( , , ', '') 0F x y y y . E.D.O., de segundo orden, veremos dos tipos de E.D.O. de segundo

orden que se pueden resolver con los mtodos para E.D.O. de primer orden.

AUSENCIA DE LA VARIABLE DEPENDIENTE: ( , ', '') 0F x y y

1 En este caso introducimos una nueva variable de pendiente p , haciendo:

' ''dp

y p ydx

2 Esta sustitucin transforma la ecuacin diferencial dada en una ecuacin

diferencial de primer orden:

( , , ) 0dp

F x pdx

AUSENCIA DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE: ( , ', '') 0G x y y

1 En este caso introducimos una nueva variable dependiente p , pero expresando

''y en trminos de una derivada respecto de y :

' '' *dp dp dy dp

y p y pdx dy dx dy

2 Esta sustitucin transforma la ecuacin diferencial dada en una ecuacin

diferencial de primer orden:

( , , ) 0dp

G y pdy