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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR SEDE DEL LITORAL
Ciclo de Iniciación Universitaria (C.I.U)
Matemática III
Abril-Julio 2011
Presentación
La guía práctica de matemáticas III del CIU (Ciclo de Iniciación Universitaria),
aspira a contribuir a la enseñanza- aprendizaje de esta asignatura, con un enfoque
didáctico.
“La matemática es el lenguaje en el que Dios ha escrito el universo.” Galileo
Autores: José Viloria
Andrés Hernández
Contenido
1 Funciones
1.1 La existencia de funciones..………………………………1
1.2 Definición de Función ……………………………………. 2
1.3 Evaluación de Función…………………………………… 3
1.4 Obtención del dominio de una función ………………….4
1.5 El rango o recorrido de una función…………………….. 6
1.6 La gráfica o curva de una función….………………….. ..7
1.7 Definición de la gráfica de una función real …………… 7
1.8 Criterio geométrico para la gráfica de una función real .9
1.9 Problemas que inducen una función …………………..10
2 Ángulos
2.1 Definición…………………………………...................... 13
2.2 Medida de un ángulo.………………………………….. 14
2.3 Clasificación de los ángulos …………………………….16
2.4 Relaciones entre ángulos ……………………………….18
2.5 Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos
correspondientes……………………………………….. 19
2.6 Ejemplos de aplicación……………………................... 20
3 Vectores en R3
3.1 Definición………………………………………………… 24
3.2 Vectores equipolentes..……………………................ 26
3.3 Operaciones con vectores..…………………………..... 27
3.4 Combinación lineal……………………………………… 33
3.5 Vectores linealmente independientes y linealmente dependiente
……………..…………………………………………… 34
3.6 Base………………….………………………................. 35
4 Triángulos
4.1 Definición……………………………………................ 36
4.2 Suma de los ángulos internos de un triángulo……… 36
4.3 Clasificación de los triángulos según sus lados.…….. 37
4.4 Clasificación de los triángulos según sus ángulos internos
……………………………………………………………..38
4.5 Aplicación del Teorema de Pitágoras ………………….42
4.6 Ejercicios ………………………………………………….44
4.7 Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo… 45
4.8 Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un
triángulo………………………………………………… 46
4.9 Congruencia entre triángulos………………………… 47
4.10 Criterios de congruencia de triángulos……………… 49
4.11 Ejercicios……………………………………………….. 50
5 Trigonometría
5.1 Definición…………………………………….. …………. 52
5.2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo ………..52
5.3 Razones trigonométricas inversas ……………………..54
5.4 Razones trigonométricas para ángulos notables ……. 55
5.5 Identidades trigonométricas …………………………… 58
5.6 Fórmulas de razones trigonométricas ………………… 62
5.7 Razones trigonométricas para ángulos negativos …...68
5.8 Ejercicios …………………………………………………72
5.9 Ley de los cósenos...…………………………………….. 72
5.10 Teorema del Seno ……………………………………….. 74
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
CICLO DE INICIACIÓN UNIVERSITARIA
SEDE DEL LITORAL
MATEMÁTICA III
1. DATOS GENERALES
Asignatura:
Matemáticas III
Código
FC-3001
Departamento:
Formación General y Ciencias Básicas
Unidades crédito: 3
Horas semanales: 4 Trimestre: Abril-Julio 2011
Autores: Andrés Hernández y José Viloria
2. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN
El propósito del CIU, es ofrecer un programa de formación para el ingreso a
las carreras universitarias que se dictan en la Universidad Simón Bolívar, con el fin
de facilitar, enriquecer y consolidar los conocimientos y la formación integral de los
aspirantes a estas carreras.
El plan de estudio presenta una secuencia de contenidos orientados al
desarrollo y consolidación de estrategias para resolver problemas geométricos y
sobre trigonometría. En tal sentido, el curso de Matemáticas III cierra este ciclo de
formación.
Se trata de una asignatura teórico-práctica, orientada a consolidar los
contenidos programáticos, no estudiados o no consolidados en el bachillerato. En
esta etapa se espera afianzar esos contenidos para que el estudiante desarrolle
un pensamiento lógico formal en la resolución de problemas de estos tópicos.
3. PROPÓSITO
Consolidar en los estudiantes conocimientos básicos, destrezas y
habilidades matemáticas para el éxito en las carreras universitarias seleccionadas
y desarrollar en ellos una actitud positiva hacia el estudio y hacia su persona que
contribuya al fortalecimiento de un profesional integral con un alto compromiso
con el desarrollo del país.
4. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Desarrollar el razonamiento abstracto y concreto de los estudiantes
garantizando la comprensión de los problemas referente a geometría y a
trigonometría, así como el planteamiento de sus soluciones.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Definir conceptos necesarios para resolver los diferentes tipos de ejercicios.
2. Definición de funciones, dominio y rango.
3. Identificar los puntos de corte de una función.
4. Identificar los tipos de funciones.
5. Identificar y resolver problemas aplicando la definición de ángulos.
6. Realizar operaciones con vectores en el plano y en el espacio.
7. Resolver problemas en los cuales se utilicen relaciones entre los elementos
de un triángulo.
8. Reconocer y calcular diferentes formas de ecuaciones utilizadas en la
trigonometría.
9. Propiciar la participación en clases de los estudiantes para la resolución de
problemas.
5. CONTENIDO PROGRAMÁTICO
Capítulo 1
Existencia de función
Definición de función
Evaluación de función.
Obtención de dominio de una función.
El rango o recorrido de una función.
La gráfica o curva de una función.
Definición de la gráfica de una función.
Criterio geométrico para la gráfica de una función real.
Problemas que inducen a una función
Capítulo 2
Definición de ángulo.
Medida de un ángulo.
Clasificación de los ángulos.
Relaciones entre ángulos.
Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos
correspondientes
Capítulo 3
Definición de vectores.
Vectores equipolentes.
Operaciones con vectores.
Combinación lineal.
Vectores linealmente independiente y linealmente dependiente.
Base.
Capítulo 4
Definición de triángulo.
Suma de los ángulos de un triangulo.
Clasificación de los triángulos según sus lados.
Clasificación de los triángulos según sus ángulos internos
Aplicación del Teorema de Pitágoras.
Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo.
Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un triángulo
Congruencias entre triángulos.
Criterios de congruencias
Capítulo 5
Definición de trigonométria.
Razones trigonométricas
Identidades trigonométricas.
Fórmulas para las razones trigonométricas.
Ley del coseno.
Teorema del Seno.
6. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
Por parte del profesor:
Iniciar el desarrollo de la clase dando definiciones, y posteriormente
ejemplos que van desde lo más simple hasta lo más complejo.
Por medio de lluvias de ideas los estudiantes realizaran un resumen de la
clase anterior.
Consignarles a los estudiantes distintos tipos de ejercicios para resolver en
sus casas y después corregir esos ejercicios en el pizarrón, en la siguiente
clase.
Por parte de los alumnos:
Poner atención a la exposición dada por el docente sobre los contenidos
programáticos.
Participar activamente en clase a fin de aclarar cualquier duda que se le
presente.
Resolver ejercicios variados, aplicando la teoría vista en el aula de clases.
Prepararse para los exámenes parciales, resolviendo diversos ejercicios
dados por el profesor.
7. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
El plan de Evaluación se organizara en la escala de 1 a 100 puntos. Se realizaran
tres evaluaciones departamentales durante el trimestre, en las semanas 4,8 y 11
con una ponderación de 30, 30 y 25 puntos, respectivamente y 15 puntos para
intervenciones y asistencia
Actividades Puntuación
1ª evaluación 30
2ª evaluación 30
3ª evaluación 30
Examen final 10
Total actividades 100
8. BIBLIOGRAFIA BÁSICA
Buron Orejas, Javier (1993). Enseñar a aprender: Introducción a la metacognición.
Bilbao: Ediciones mensajero
Hoffmann, Jorge G. (1998). Matemática. Caracas: Editorial Sphinx
Mendiola, Esteban. (1998). Matemática 7º. Caracas: Editorial Biosfera
Suárez Bracho, Estrella. (2002). Matemática 7º. Caracas: Editorial Santillana
Capítulo 1
Funciones
1.1 La existencia de funciones.
En nuestro entorno existen innumerables situaciones en las que un hecho depende de otro o de otros; esto conduce a un estado de “dependencia de”. También se interpreta como que un hecho está dado en función de otro(s). En aquellas situaciones en que una cantidad dependa de otra se les llama función. Así como ejemplo de situaciones que representan una función tenemos:
El costo de un pasaje en función de los kilómetros recorridos.
El recorrido de un vehiculo en función del tiempo.
El nivel de peligrosidad de una enfermedad en función del número de pacientes.
El cubo de un número real.
En vista de lo arraigado que está la noción de función a nuestra vida cotidiana tiene gran importancia su estudio, para así comprender las diferentes situaciones en las que esta se presenta. Comencemos por establecer la asignación de una letra que represente la regla que describe la función, por lo general se usan:
etchgf ,,, . Así por ejemplo diremos que la función f es la regla que asigna a
cada número real x el cubo de éste y lo expresaremos como:
3)( xxf
Esta expresión algebraica se le conoce como la generalización de la regla y se lee; “efe de equis es igual al cubo de equis”. De manera que, por ejemplo, para los
números reales: 21,3 y 5 se tiene que.
273.3.3)3()3( 3f .
8
1
2
1)()(
3
33
21
21f
1255.5.5)5()5( 3f
Y se interpreta que f relaciona a:
-3 con 27)3(f
21 con
8
1)( 2
1f
5 con 125)5(f
1.2 Definición de función. Una función f es toda regla que asigna a cada elemento Ax exactamente un
único elemento Bxf )( . Los conjuntos A y B son llamados partida y llegada,
respectivamente. Cada elemento x en el conjunto de partida A de una función f se le llama
preimagen (es considerado un valor independiente) y su correspondiente elemento
)(xf en el conjunto de llegada B será la imagen y es considerado un valor
dependiente y se escribe )(xfy . El dominio de la función f , representado
como )( fDom , será el conjunto formado por todas las preimagenes (un
subconjunto de A ) y el rango de la función f , que representamos como )( fRgo ,
será el conjunto formado por todas las imágenes (un subconjunto de B ).
Ejemplo
Se tiene la relación entre los conjuntos; el de unas personas (partida) y el de las edades (llegada)
Basándonos en ella nos preguntamos ¿Es ésta una función?. Argumente su respuesta. La relación dada en esta gráfica asigna a cada persona su edad, y se sabe que no existe persona alguna que tenga dos edades. Lo que nos dice que cada elemento en el conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento en el conjunto de llegada y por tanto dicha relación si representa una función.
Estamos interesados en el estudio de funciones donde los conjuntos de partida y llegada son los números reales, las cuales llamamos funciones reales. Cuando decimos que f es una función real lo expresamos.
RRf : ó RR f
1.3 Evaluación de función. Al presentarse la necesidad de conocer, para una función real f, el valor de la correspondiente imagen de una preimagen dada a, se procede a sustituir el valor de la variable independiente x por ese valor a. y luego de efectuar las diferentes
operaciones obtenemos el valor de la imagen buscada )(af .
Ejemplo 1. Para 2)( xxf entonces para esta función se tiene que:
i) El dominio es:
RxDomfDom )()( 2
ii) Al evaluar )4(f , )53(f y )(23f
164)4(2
f
455.95.353)53(222
f 2
492
232
232
23
23 3..2)(f
iii) La preimagen de 3 (en esta parte argumente lo que sucede).
Este ejercicio plantea el problema de encontrar la preimagen x para que la correspondiente imagen sea 3, es decir que:
333)( 2 xxxf
Ya que 32x es una ecuación de segundo grado y por tanto tiene dos resultados. En el caso en que la preimagen sea un valor no numérico (alguna letra) o alfa numérico se procede a sustituir de igual manera como se plantea en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2. Para la función 325)( xxg evalúe o determine: )(mg , )( mg y
)( hmg .
Evaluando tenemos que:
333 25.25).(25)( mmmmg .
333 25.25).(25)( mmmmg . Ya que; 33 )).().(()( mmmmm 3).(25)( hmhmg .
En consecuencia de todo esto nos preguntamos ¿usando la evaluación podremos determinar el dominio de una función real? La respuesta es no ya que el dominio es un subconjunto de los números reales y por lo general éste contiene infinitas preimagenes. Para ello, como vemos a continuación, se estudia la regla dada por
)(xf .
1.4 Obtención del dominio de una función. Como una preimagen de una función real f se ha definido cada valor real
)( fDomx tal que esté relacionada con un solo valor real )(xf llamado imagen
de x. Esto quiere decir que el dominio de una función f está conformado por todo número real tal que Rxf )( . Caso contrario que )(mf no sea un número real
decimos que el número real m no es preimagen y por tanto no pertenece al dominio de f.
Ejemplo. Determine el dominio de las funciones: 2)( xxf , xxh )( y
23
2)(
xx
xxg .
i) La función cuadrática es la que asigna a cada número real el cuadrado
de éste y su regla es 2)( xxf , ella tiene dominio;
RxDomfDom )()( 2, ya que todo número real se puede elevar al
cuadrado.
ii) La función raíz cuadrada viene dada por la regla xxh )( . Esto nos
dice que la imagen de cada preimagen a será el número real no
negativo a , pero esto será posible siempre que a no sea un número
real negativo es decir que el dominio de esta función está formado por todos los números reales positivos y por el cero.
0)()( RxDomfDom
iii) Para la función 23
2)(
xx
xxg se tiene que, por estar definido como un
cociente, )(xg será un valor real siempre que su denominador no se
haga cero, es decir;
3,003/3
2)( 2
2RxxRx
xx
xDomgDom
Ya que 03.03 2 xxxx siempre que x no sea 3 ni 0.
Por lo general una función viene dada mediante una regla muy complicada y es por ello que para obtener el dominio de una función se requiere de un conocimiento mas profundo sobre funciones reales que en cursos mas avanzados veremos.
Ejercicios.
1-. Para la función x
xxxf
2
)( . Determine )(23f , )1( mf y )3(f .
2-. Sabiendo que 32)( xxh , encuentre en cada caso el valor de a tal que:
i) 1)(ah ; ii) 25)(ah ; iii) 0)1( ah
iv) 0)(ah ; v) 2)(2
32ah ; vi) 1)1( ah
3-. En cada gráfica indique si la relación f representa una función, de no serlo justifique por qué y de serlo determine para cada preimagen su correspondiente imagen. i) ii)
iii) iv)
4-. Plantee una situación de su vida cotidiana que represente una función y otra que no. 5-. Determine el dominio de las funciones definidas por las fórmulas siguientes:
a) 12)( xxf e) 9)( 2xxh i) 3
)(y
yyT
b) 2
1)(
2uug f) 3)( xxf j)
9)(
2x
xxL
c) 1
)(4x
xxT g)
ttg
5
1)( k) 22
1
1)( x
xxh
d) xxf 3)( h) cbx
axxU )(
1.5 El rango o recorrido de una función
Como hemos visto, al evaluar un valor en una función real no sólo determinamos si éste es preimagen sino que en el caso que lo sea, el valor real que se obtiene es su correspondiente imagen. Definición. Lamamos rango (o recorrido) de una función real f al subconjunto de R formado por todas las imágenes. Este conjunto está representado como Rgo(f). El rango de una función real no es tan fácil de obtener. Más aún, no a cualquier función real se le puede determinar su rango.
1.6 La gráfica ó curva de una función. Una función puede visualizarse mediante la gráfica que ésta tiene. La gráfica de una función f siempre será la representación geométrica (lugar geométrico) de todos los puntos en el Plano Cartesiano dado por cada par ordenado yxP , donde
x es cada preimagen y el valor )(xfy es la correspondiente única imagen.
Cuando el dominio de la función f es un conjunto que puede numerarse (pueda que tenga infinitos elementos) la gráfica será un conjunto de puntos separados y si
f es una función real (su dominio no puede numerarse) la gráfica asociada es una curva. ▪ f ▪ ▪ f ▪ ▪ a1 a2 a3 a4 a5 a6 a b ▪ Con todo esto decimos que todo punto P que pertenezca a la curva de una función f es el par ordenado dado por:
imagen ,preimagen P
1.7 Definición de la gráfica de una función real. Para una función RRf : su gráfica o curva es el lugar geométrico en el plano
formado por todos los puntos )(, xfx , es decir la representación geométrica del
conjunto.
)(/, 2 xfyRyx
Si en particular )(xf es un polinomio de primer grado, es decir que
bxmxf .)( entonces la gráfica de f es una recta ya que su curva es
bxmy . y se le llama función lineal. Y la gráfica será una parábola si la
función está dada por un polinomio de segundo grado.
Gráfica de función f con dominio
numerable 654321 a,a,a,a,a,a
Gráfica de función f con dominio no
numerable dado por el intervalo ba,
Ejemplo 1. Para la función 12)( xxf su gráfica es la recta formada por todos
los puntos yx, donde 12xy . Y en vista de que para representar una recta
sólo necesitamos dos puntos de ella, entonces para:
12xy
3
1P
-2 -1 1 -3
2P
Ejemplo 2. La gráfica de la función 23)( xxxg es la parábola formada por
todos los puntos yx, donde 23 xxy . Para representarla necesitamos mas de
dos puntos de ella (se suelen representar almenos 5 puntos de ésta) entonces para:
2 23 xxy
-4
x 23)( xxxgy (x,y)
-1 413)1()1(3 2y
4,1
0 000)0()0(3 2y 0,0
3 099)3()3(3 2y 0,3
1 213)1()1(3 2y 2,1
2 246)2()2(3 2y 2,2
Si 1x
Evaluando.
3121)1.(2)1(fy
Y el punto es 3,11P
Si 2x
Evaluando.
3141)2.(2)2(fy
Y el punto es 3,22P
1 2 3
-1
Otras funciones cuya gráfica tiene curva predeterminada son entre otras: k
Cúbica 3xy Constante ky Raíz Cuadrada xy
Es importante establecer la importancia de conocer la gráfica de una función ya que visualmente podemos analizar el comportamiento de la situación que ésta describe. Por otra parte es responsabilidad de los autores informar que existen funciones reales mucho más “complejas” y por ende su gráfica no es fácil de determinar, es por ello que se requieren nociones y técnicas más avanzadas que se verán en cursos posteriores.
1.8 Criterio geométrico para la gráfica de una función real. Observe que la curva de una función real f JAMÁS podría ser cortada (intersectada) en mas de un punto por recta vertical alguna. Es por ello que afirmamos que
A B Usando el anterior criterio geométrico la de la izquierda no es la curva de una función pero la ubicada en la derecha si es la curva de una función. En efecto, en la curva de la izquierda el 0 le corresponderían dos valores; tanto A como B y esto no ocurre en ninguna función ya que por definición una función es aquella que siempre hace corresponder una preimagen con una sóla imagen.
En virtud de este criterio visual aseguramos por ejemplo que una circunferencia no es la curva de una función. Tampoco una elipse.
1.9 Problemas que inducen una función. En todas las actividades del hombre se presentan situaciones en que se registran valores y éstas modelan una función. Llamamos esto problemas relativos a funciones y le aplicamos los diferentes términos y estudio que acá hemos dado; como lo es: el domino, el rango, la gráfica y las evaluaciones. En esta parte se pretende plantear algunos de estos problemas. Problema 1. En un laboratorio se cultivan bacterias y se cuenta el número de ellas que diariamente se genera. Se quiere analizar los registros de una semana tomada al azar donde se obtuvo:
Día Nº de Bacterias(mil)
Lunes 103
Martes 206
Miércoles 812
Jueves 824
Viernes 348
Sábado 996
Domingo 592
Esta actividad representa una función (representémosla como f) ya que no existen dos o más registros para un mismo día. Llamando los conjuntos de partida y llegada por D y NB respectivamente, entonces tenemos.
NBDf :
Es claro que el dominio es el mismo conjunto de partida y el de llegada es
996 824, 812, 592, 348, 206, 103,NB
La gráfica de esta función es: 996 ▪ 824 ▪ 812 ▪ 592 ▪ 348 ▪ 206 ▪ 103 ▪ Lun Mar Mier Jue Vie Sáb Dom La altura mayor es 996 y se alcanza en la preimagen “Sábado” es decir que;
996Sábadof
Lo que nos dice visualmente que la mayor producción de bacterias se obtuvo el sábado y el lunes la menor (103).
Ejercicios de problemas.
1. En una competencia atlética se lanza un disco cuya altura alcanzada está
determinada en metros por la función: 232 245 tttf . Calcule la altura que
alcanza el disco a los 3 segundos de ser lanzado.
2. En una empresa de publicidad se estima que el numero h de personas
informadas, después de t semanas de haber lanzado un comercial por televisión,
esta dado por t
th
2
5
23
25)(
a. ¿Cuántas personas se habrán informado después de 3 semanas? b. Si se informó a 520.000 personas, ¿Cuántas semanas transcurrieron
después del lanzamiento del comercial?
3. Una sola bacteria del cólera se divide cada media hora para producir dos
bacterias íntegras del cólera. Si empezamos con una colonia de 5000 bacterias,
al cabo de t horas tendremos ttC 22.5000 bacterias. ¿Cuánto tiempo se
necesitará para que C sea 1.000.000?
4. Suponga que el costo total de fabricar n unidades de un mismo producto está
dado por 325 2 nnnC . Determine:
i) El costo de fabricar 12 productos.
ii) El costo de fabricar el décimo producto.
Capítulo 2
ÁNGULOS
2.1 Definición
Un ángulo es la porción del plano encontrada entre dos segmentos de rectas (ó
semi-rectas) que se cortan en un punto llamado vértice del ángulo.
Donde una semi-recta es la parte de una recta formada por el conjunto de todos
los puntos de la recta que se ubican hacia un lado de un punto fijo perteneciente a
la misma recta (que denominaremos origen).
Una semi-recta.
A
Sentido de un ángulo.
Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se considera
positivo al ángulo, y si la rotación es en el sentido de las manecillas, se considera
que el ángulo es negativo.
ángulo
vértice
2.2 Medida de un ángulo.
Los ángulos se miden en:
Grados sexagesimales.
Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales llamamos un grado sexagesimal
a cada una de estas partes. En consecuencia decimos que recorrer una
circunferencia equivale a girar 360º sexagesimales.
Radianes.
Al considerar la fórmula de longitud de cualquier una circunferencia, ésta es:
rLc ..2 Donde r es el radio.
Como el ángulo es el mismo, independientemente del radio, podemos considerar
la circunferencia de radio 1 y por tanto se tiene que ésta tiene longitud .2Lc .
Luego se tiene que al girar en sentido positivo toda una circunferencia se ha
recorrido una longitud de .2 y equivalentemente se ha girado 360º
sexagesimales, lo que nos plantea una relación entre estas dos medidas.
º180
º360.2
La medida del ángulo a lo largo de su arco la llamamos radianes.
Sentido negativo Sentido positivo
Es por ello que afirmamos que; “ rad 1 equivale (a menudo se dice que es igual) a
180º ”.
Ejemplos. a) Los ángulos: 30º y 125º medidos en radianes equivalen a:
Para 30º.
º30
º180
x 65.3.3.2.2
.5.3.2
180
.30
º180
º.30x
Para 125º.
º125
º180
x 36
25
5.3.3.2.2
.5.5.5
º180
º.125x
b) Los ángulos: 3
y 4
5 medidos en grados sexagesimal equivalen a:
Para 3
3
180
x 60.60
180.3x
Para 4
5
4
5
180
x 225.225
180.4
5
x
Gdos Sexag Radianes
2.3 Clasificación de los ángulos.
Según la medida de un ángulo éste puede clasificarse en:
Un ángulo llano es el que mide la mitad de un giro completo; es decir, 180º ó
radianes.( Ver figura)
Figura. Representación gráfica de un ángulo llano.
La mitad de un ángulo llano es un ángulo recto y mide 90º ó 2 radianes. (Ver
figura)
Figura. Representación gráfica de un ángulo recto.
Un ángulo de medida menor que la del ángulo recto (90º), se llama ángulo agudo;
es decir, si es el ángulo, entonces 900 .(Ver figura)
Figura. Representación gráfica de un ángulo agudo.
Un ángulo cuya medida está comprendida entre 90º y 180º
se llama ángulo
obtuso; es decir, si es un ángulo obtuso entonces 18090 .(Ver figura).
Figura. Representación gráfica de un ángulo obtuso.
2.4 Relaciones entre ángulos
Dos ángulos son adyacentes si el lado final de uno es el lado inicial del otro.
Los ángulos ba0̂ y cb0̂ son adyacentes. El lado final de ba0̂ es la semi-recta Ob y
coincide con el lado inicial de cb0̂ .
Dos ángulos adyacentes cuya suma es 180º ó radianes, se les llama ángulos
suplementarios.
Dos ángulos adyacentes cuya suma es 90º ó
2 radianes se les llaman ángulos
complementarios.
Dos ángulos se llaman opuestos por el vértice si los lados de uno son
prolongación de los lados del otro.
ba0̂ y `0̀̂ba son opuestos por el
vértice.
ab 0̀̂ y ba 0̀̂ también son ángulos
opuestos por el vértice.
Como ba0̂ + `0̂ab = 180º y `0̂ab + `0̀̂ba = 180º tenemos que:
ba0̂ + `0̂ab = `0̂ab + `0̀̂ba .
Por lo tanto: ba0̂ = `0̀̂ba , entonces los ángulos opuestos por el vértice tienen
iguale medida. Para decir que dos ángulos y son opuestos por el vértice se
usa la expresión OPV .
2.5 Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos
correspondientes.
Dadas dos rectas paralelas, l1 y l2, cortadas por una recta secante “d", se forman
ocho ángulos indicados en la siguiente figura:
2.6 Ejemplos de aplicación
Ejercicios
1. Dadas las siguientes medidas de ángulos en grados sexagesimal, hallar
sus equivalentes en radianes:
a) 30º e) 120º
b) 60º f ) 180º
c) 45º g) 270º
d) 90º h) 390º
2. Dadas las siguientes medidas en radianes, halle sus equivalentes en grados
sexagesimales:
a)
b) 1 radián d) /12 radianes
c) 3 /2 radianes e) 2 radianes
d) /6 radianes f) ½ radianes
3. Encuentre, en cada caso, el ángulo complementario al ángulo dado:
a) 27º b) /3 c) 80º d) /4
4. Encuentre, en cada caso, el ángulo suplementario al ángulo dado:
a) 32º b) /6 c) 120º d) 3/4
5. Dada la figura, encuentre los valores de los ángulos:
6. Dada la figura:
Encuentre los valores de los ángulos.
7. En la figura:
AB = AC, x =?
8. Dada la figura:
Donde = 60º ¿Cuánto mide cada ángulo? (Justifique su respuesta)
9. En la siguiente figura las rectas m y n son paralelas (m||n) y el ángulo 1 = 65º.
¿Cuánto miden los ángulos 8,7,6,5,4,3,2,1 ?
Considerando esta misma figura, ¿Podríamos afirmar que los pares de ángulos 3
y 72,8 y son suplementarios? Argumente su respuesta.
Capítulo 3
Vectores
3.1 Definición.
Un vector nv
es n -upla n números reales, es decir el vector se puede escribir
de la siguiente manera: naaaav ,...,,, 321
, donde cada ia con ni ,...,3,2,1
Cada ia con ni ,...,3,2,1 , se llaman componente del vector.
Para este curso se va a trabajar con los espacios 2 (Bidimensional) y 3 (Tridimensional), es decir; cuando 2n ó 3n
Para 2n
Un vector 2v
,es un par ordenado aa yx , , con aa yx , , donde ax representa
la componente x e ay representa la componente y del vector. (Ver figura 1)
Eje y
ay
v
Eje x
ax
Figura 1.Representación gráfica de un vector en 2
Para 3n
Un vector 3v
, es una terna aaa zyx ,, , con aaa zyx ,, , donde ax representa
la componente x , ay representa la componente y y az representa la componente
z del vector (Ver figura 2).
Figura 2. Representación gráfica de un vector en 3
Vector fijo.
Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al
punto B (extremo), en el que hay que distinguir tres características:
dirección: la de la recta que lo contiene sentido: el que va de su origen a su extremo, marcado por una punta de
flecha módulo: la longitud del segmento
Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas AB , que
indica su origen y extremo respectivamente se hallan de la siguiente manera:
Para 2n sean los puntos aa yxA , y bb yxB , , entonces las componentes de
bbab yyxxAB ,2
Para 3n sean los puntos aaa zyxA ,, y bbb zyxB ,, , entonces las componentes
de
ababab zzyyxxAB ,,
Ejemplos. Hallar las componentes de los vectores fijos en los siguientes puntos
a) 3,2P y 1,4A
4,631,2431),2(4PA
b) 2
1,3,1Q y 3,1,4R
2
7,4,5
2
13,31,14
2
13,31),1(4QR
Vector libre se caracteriza porque su punto origen es el 0,0 (para n=2) ó 0,0,0
(para n=3) y el extremo tiene como coordenadas las mismas componentes de éste. Un vector libre no se altera al trasladarlo paralelamente a sí mismo, o de otra manera, puede representarse por cualquier vector equipolente. Denotamos
cualquier vector libre mediante una letra minúscula, como: v
, u , w , etc.
3.2 Vectores equipolentes. Dos o más vectores son equipolentes si siendo paralelos, tienen el mismo sentido y la misma longitud o módulo. Todos los vectores que son equipolentes tienen las mismas componentes, o de otra manera, dadas las componentes de un vector, dichas componentes son las componentes de todos los vectores paralelos del mismo sentido y longitud que el vector dado.
Geométricamente si dos vectores a
y b
equipolentes se expresa ba
.
1L
A BA 2L
F EF B
E D CD
w
C
Figura 3. Vectores Equipolentes.
Son equipolentes los vectores fijos: CDBA, y EF y el vector libre w
.
Un vector es nulo cuando el punto de origen A , coinciden con el punto de extremo B , es decir, que las componentes del vector fijo son nulas (0).
Para 2n
El vector nulo es: 0,00
Para 3n
El vector nulo es: 0,0,00
3.3) Operaciones con vectores
1) Adición: Dados dos vectores nba
, , cuyas componentes son
naaaaa ,...,,, 321
y nbbbbb ,...,,, 321
, se define la adición a
con b
y se
anota ba
al vector cuyas componentes son las sumas de las
componentes de dichos vectores
nn
nnnn
bababababa
bababababbbbaaaaba
,...,,,
,...,,,,...,,,,...,,,
332211
332211321321
Para 2n
Dados los vectores aa yxa ,
y bb yxb ,
, entonces:
bababababbaa yyxxbayyxxyxyxba ,,,,
Para 3n
Dados los vectores aaa zyxa ,,
y bbb zyxb ,,
, entonces:
bababababababbbaaa zzyyxxbazzyyxxzyxzyxba ,,,,,,,,
Ejemplos. Dados los vectores 3,2a
, 1,5b
, 2,1,4c
y 5,1,3d
i) 2,313,521,53,2ba
ii) 3,0,752,11,345,1,32,1,4dc
iii) 5,1,33,2da
(No se puede resolver ya que para que se
cumpla la adición los vectores deben pertenecer al mismo espacio)
Propiedades de la adición de vectores
a) Conmutativa. Si nba
, entonces abba
b) Asociativa. Si ncba
,, entonces cbacba
c) Elemento Neutro. Si na 0,
entonces aaa
00
d) Elemento opuesto. Si naaaaa ,...,,, 321
y naaaaa ,...,,, 321
entonces 0
aaaa , al vector a
se denomina vector opuesto
de a
.
Figura 4. Representación geométrica de la adición de dos vectores
Ahora la diferencia entre dos vectores se puede ver como la adición de a
con
el opuesto de b
(teniendo en cuenta que las componentes de un vector opuesto tiene sus mismas componentes pero con signo contrario), entonces:
baba
(Ver figura 5 )
a
b
b
a
ba
Figura 5. Representación gráfica de ba
Ejemplos. Dados los vectores 3,2a
, 1,5b
, 2,1,4c
y 5,1,3d
i) 4,8
4,831,353,21,5
ab
abab
ii) 7,2,1
7,2,152,11,345,1,32,1,4
dc
dc
2) Producto de un número real por un vector. Dado un vector na
y un
número real k denominamos producto de dicho número por el vector a
a otro
vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las componentes del
vector dado por el número real.
nn akakakakaaaakak .,...,.,.,.,...,,,.. 321321
Ejemplos.
Dados los vectores 3,2a
, 2,3,7b
y 1,2,0,4c
i) 6,432,2.23,22.2 a
ii) 6,9,212.3,3.3,7.32,3,7.3.3 b
iii) 2
3,3,0,61.
2
3,2.
2
3,0.
2
3,4.
2
31,2,0,4
2
3.
2
3d
Geométricamente el vector ak
. es un vector paralelo al vector a
; de mayor
tamaño que éste si 1k ó 1k y en el caso en que 1,1k el vector ak
.
tiene menor tamaño que a
.
Para 1k .
Figura 6. Representación gráfica del producto de un número real por un
vector.
Propiedades del Producto de un número por un vector.
Para todo pk, y nba
, se cumple.
a) bkakbak
...
b) Los vectores a
y ak
. son paralelos si 0a
y 0k .
c) akapakp
...
d) akpakp
....
3) Magnitud o Norma de un vector
Sea nv
, y naaaav ,...,,, 321
se define la magnitud o norma de un vector ( v
),
como un número real no negativo que se obtiene calculando la raíz cuadrada de la suma de las componentes al cuadrado, es decir;
22
3
2
2
2
1 ... naaaav
Para 2n
Sea aa yxa ,
, entonces 22
aa yxa
Para 3n
Sea aaa zyxa ,,
, entonces 222
aaa zyxa
Ejemplos. Hallar las normas de los siguientes vectores
a) 3,2a
1313943222
aa
b) 2,4,1h
21214161241222
hh
Propiedades
a) La norma de un vector siempre es un número no negativo. Cuando el vector
es nulo su norma es cero.
Si na
, entonces 0a
y cuando 00 aa
b) La norma de un vector que está multiplicado por un número real es igual al
valor absoluto del número real por la norma de éste.
Si na
y k , entonces akak
..
c) La norma de una suma de vectores es menor ó igual que la suma de las
normas de cada sumando.
Si nba
, , entonces baba
Un vector se llama unitario cuando su norma es igual a 1; es decir, sea nv
, tal
que; 1...22
3
2
2
2
1 naaaav
, entonces v
es unitario.
En 2 existen infinitos vectores unitarios y entre ellos están los llamados vectores
canónicos; 0,1ˆ i y 1,0ˆ j .
Análogamente para 3 se tiene que:
0,0,1ˆ i ; 0,1,0ˆ j y 1,0,0ˆ k
Ejemplos. Para cada vector diga si es unitario.
Sea 2
1,
2
1a
, 3,1b
, 2,4,1j
, 0,1,0m
112
2
2
1
2
1
2
1
2
122
a
, entonces a
es unitario
10913122
b
, entonces b
no es unitario
214161241222
j
, entonces j
no es unitario
11010010222
m
, entonces m
es unitario.
4) Producto escalar de dos vectores ( ba
. ). Dados los vectores nba
, , se
define el producto escalar de estos vectores como el número real que se
obtiene de la siguiente manera
Para 2n
Sean aa yxa ,
y bb yxb ,
, entonces baba yyxxba ...
nnnn bababababbbbaaaaba .......,...,,,.,...,,,. 332211321321
Para 3n
Sean aaa zyxa ,,
y bbb zyxb ,,
, entonces bababa zzyyxxba ....
Ejemplos. Calcular el producto escalar de cada uno de los siguientes pares de vectores:
a) 3,2a
y 32,1b
022.31.2,1.3,2.32
32ba
0.ba
b) 3,1,2d
y 3
1,2,4h
91283
1.32.14.2
3
1,2,4.3,1,2.hd
9.hd
Propiedades del producto escalar
a) Si nba
, , entonces abba
..
b) Si ncba
,, ,entonces cabacba
...
c) Si p y nba
, , entonces bpabapbap
......
d) Si na
, entonces 0.2
aaa
También, si se conoce el ángulo entre los vectores a
y b
el producto escalar se puede definir como:
cos... baba
Cuando los vectores a
y b
son perpendiculares (ortogonales) se tiene que
902
, entonces 0)º90cos()cos( , lo que trae como consecuencia que
0.ba
, es decir, que nba
, son ortogonales si y solo si su producto escalar
( 0.ba
) es nulo.
0.ba
ba
, son ortogonales ( ba
)
En el ejemplo anterior (a) son ortogonales los vectores 3,2a
y 32,1b
.
3.4 Combinación lineal
Definición: Un vector n se dice combinación lineal de r vectores
n
rvvvv ,...,,, 321 , si existen r escalares rkkkk ,...,,, 321 tales que:
rr vkvkvkvk ....... 332211
v
w
u
Ejemplos. Sean los vectores 1,2,0,1,2,1 ba
y 2,0,1c
. Calcular las
componentes de los siguientes vectores:
a) cbad
2
221,042,1012,0,12,4,01,2,12,0,11,2,021,2,1d
5,2,2d
b) 24
3 cbae
114
3,2
2
3,
2
10
4
3
1,0,2
11,2,0
4
3,
2
3,
4
32,0,1
2
11,2,01,2,1
4
3
o
e
4
11,
2
1,
4
5e
En estos dos ejemplos se evidencia que los vectores d
y e
están expresados
como combinación lineal de los vectores a
, b
y c
Ejemplos. ¿El vector 1,2z
, puede expresarse como combinación lineal de los
vectores 2,3w
y 4,1y
?
Esto es cierto en la medida que existan escalares a y b tales que: ybwaz ..
.
En efecto;
Figura 7. Representación gráfica del vector w
,
donde uvw
23
baba
bbaa
ba
42,31,2
4,2,31,2
4,12,31,2
Entonces de aquí se plantea el siguiente sistema: ba
ba
421
32, que tiene
solución única; 2
1a y
2
1b .
3.5) Vectores linealmente independientes.
En n un conjunto de nr vectores (distintos del nulo) se dicen que son
linealmente independientes si al expresar el vector nulo como combinación lineal de éstos, la única solución de los escalares es la trivial. Es decir que para;
0....... 332211
rr vkvkvkvk , tenemos que sólo; 0...21 rkkk
Ejemplo: Los siguientes vectores son linealmente independientes; 2,3w
y
4,1y
.
En efecto;
Para, 0..
yw se tiene que:
014 0
1260
260
420
30
3
2
420
30
Y como;
03030
Luego 2,3w
y 4,1y
son dos vectores linealmente independientes.
En caso que no todos éstos escalares sean cero decimos que los r vectores son linealmente dependientes. Una propiedad para vectores del plano es que dos vectores son linealmente
dependientes si y sólo si sus componentes son proporcionales; es decir para 0a
y k con 0k , si akb
. entonces tenemos que
akakaakaba
..........0
Y se cumple que; kk .0.
3.6) Base
Definición: En n una base es un conjunto de n vectores linealmente independientes.
En n existen muchas bases. Así por ejemplo se tiene para 2 que dos bases 1B
y 2B son:
1,3 ; 1, 221
11 vvB y 1,0ˆ ; 0,1ˆ 2 jiB
Capítulo 4
TRIÁNGULOS
4.1 Definición
Tres puntos no alineados de un plano, A;B y C determinan el triángulo ABC .
Todo triángulo tiene:
* 3 vértices, los puntos A, B y C.
* 3 lados, los segmentos ____
AB , ____
BC
y ____
AC .
* 3 ángulos interiores ó internos:
4.2 Suma de los ángulos internos de un triángulo
Un resultado importante sobre los tres ángulos internos de un triángulo cualquiera es el siguiente.
Demostración: Prolongamos el segmento BC y trazamos por C una paralela al
segmento BA
4.3 Clasificación de los triángulos según sus lados
Según la medida de sus lados:
x
x
x
y
Un triángulo es isósceles si tiene
dos lados iguales, AB = AC. Los
ángulos y opuestos a los
lados iguales, son iguales
Un triángulo es equilátero si
tiene sus tres lados iguales. En
este caso sus tres ángulos son
iguales.
Proposición: La suma de los
ángulos interiores de un
triángulo es un ángulo llano, 180º.
A
C
B
Entonces se tiene que el ángulo:
º180ˆ xyACB
Y como miden igual los ángulos x y CBA
por ser correspondientes.
También miden igual los ángulos y y CAB
por ser alternos internos. Lo que nos dice
que:
CBACABACBxyACB
ˆˆº180
4.4 Clasificación de los triángulos según sus
ángulos internos.
Según la medida de sus ángulos internos:
Un triángulo es acutángulo si sus tres ángulos son agudos, es decir que cada uno
mide menos de 2
º90 .
Un triángulo es obtusángulo si uno de sus tres ángulos es obtuso, es decir que
tiene un ángulo interno que mide más de 2
º90 .
El triángulo ABC es obtusángulo ya que º180CBA
.
A
B
C
Un triángulo es escaleno si
tiene sus tres lados distintos.
Un triángulo es rectángulo si uno de
sus ángulos internos es recto, es
decir que mide igual a 2
º90 .
Pitágoras, sabio griego que vivió 500 años antes de Cristo, observó que si tres
cuadrados de lado a, b y c se pueden colocar de forma que estos lados formen un
triángulo rectángulo entonces hay uno de ellos cuya área resulta la suma de las
áreas de los otros dos.
Además se tiene que dado el triángulo rectángulo ABC .
El lado mayor se conoce como hipotenusa ( c ) y los otros dos lados como
catetos ( a y b ). Y se tiene el siguiente resultado conocido como el teorema de
Pitágoras.
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos".
Y en el anterior triángulo se cumple que:
222 bac
Nota: Observe que esta expresión cambia en la medida que llamemos distinto los
lados del triángulo rectángulo.
De la anterior igualdad se desprende que:
Así por ejemplo se tienen los cuadrados de lados 3, 4 y 5 unidades de longitud:
Ejemplo 1. En el siguiente triangulo rectángulo halle el valor de a .
Ejemplo 2. En el siguiente triangulo rectángulo halle el valor de m .
4 m5
1
a 34
5
Donde la hipotenusa es 5b (el
lado más largo) y los catetos son
3c y 4a .
Entonces se cumple que:
222 acb
En efecto
222 435
16925
Acá se tiene que:
La hipotenusa es 34 y los catetos
son a y 5.
Entonces
222
534 a
22
534a
2548253.16a
23a
Acá se tiene que: La hipotenusa es 05 m y los
catetos son 4 y 1. Entonces
222145 m
116.5.2522
mm
171025 2mm
08102 mm
En vista de que se ha llegado a una ecuación de 2do grado se tiene aplicando
resolvente que:
a
cabbm
.2
..422
donde
8
10
1
c
b
a
Luego
1,452
685
2
6810
2
3210010
1.2
8.1.410102
m
Luego de estos dos resultados sólo 9,01,452
685m . Ya que éste valor
cumple que 05 m .
Ejemplo 3. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo en base a los
siguientes datos:
Los catetos miden a = 20cm y b = 15cm.
La hipotenusa del triángulo mide 25cm.
Ejemplo 4. Calcula los catetos (a ò b) en los siguientes triángulos rectángulos:
i) c = 15cm; a = 12cm; b =?
ii)c = 169cm; b = 65cm; a = ?
Solución:
9811442251215)2222 acbi
b= 9cm
1562433665169)2222 bcii
a= 156cm
4.5 Aplicación del Teorema de Pitágoras
Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la medida del lado de un triángulo
rectángulo o calcular el perímetro del cuadrado inscrito en una circunferencia.
Ejemplo 1: Calculemos el valor de x aplicando el teorema de Pitágoras:
Tomamos el valor positivo x = 3 para determinar las medidas de los lados.
a = x + 2 a = 3 + 2 = 5 a = 5
b = x +1 b = 3 + 1 = 4 b = 4
c = x c = 3
Ejemplo 2: Calcular el perímetro del cuadrado inscrito en una circunferencia de
radio cmr 25
(x + 2)2 = x
2 + (x + 1)
2
x2 + 4x + 4 = x
2 + x
2 + 2x + 1
X2 – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x +1) = 0
a) x – 3 = 0 x = 3
b) x + 1 = 0 x = - 1
Como el radio r es la medida de
los catetos, formamos el triángulo
AOB. La hipotenusa del triángulo
AOB coincide con la longitud del
lado AB del cuadrado.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
cmAB
cmAB
cmAB
ABrAB
rrAB
10
100
100
2522
2
22
222
2
222
Luego, el perímetro es el siguiente:
P = 4 AB = 4(10cm)
P = 40cm
4.6 Ejercicios
1. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 7 cm.
2. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 8 cm.
3. Una persona camina 10 Km hacia el Norte, luego 2 Km hacia el Oeste y
después 2 Km hacia el Sur, ¿a qué distancia está el punto de partida?
4. En un triángulo rectángulo, un cateto es igual a 3/4 del otro cateto y la suma de
ambos es 14 cm. Calcula la longitud de cada uno de los catetos y de la
hipotenusa.
5. En un triángulo isósceles la base mide 24 cm y el perímetro 50 cm. Calcula el
área del triángulo.
6. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado que tiene la misma área que un
rectángulo de lados 9 cm y 4 cm?
7. Un poste de 2 m da una sombra de 3 m. ¿Cuál será la altura de otro poste que
en el mismo instante da una sombra de 4,5 m ?
8. Halla la medida de la hipotenusa AB en el siguiente triángulo rectángulo:
4.7 Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo
Dado un segmento ____
XY , llamamos
Mediatriz a la recta m perpendicular al
segmento en su punto medio M.
Se prueba que para todo punto P perteneciente a m, se cumple PX = PY. Además
si un punto Z del plano es tal que ZX = ZY, entonces Z debe estar sobre la
mediatriz del segmento XY.
4.8 Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un
Triángulo
Llamamos mediatriz de un triángulo a
la mediatriz de un lado. Un triángulo
tiene tres mediatrices. Se prueba que las
tres mediatrices son concurrentes en
un punto 0, que puede ser interior,
exterior o estar sobre un lado del
triángulo.
Llamamos bisectrices de un triángulo
a las 3 bisectrices de cada uno de sus
ángulos. Las tres bisectrices son
Concurrentes en un punto I, que
siempre es interior al triángulo.
Si el triángulo ABC es rectángulo en A el ortocentro coincide con A.
Llamamos mediana de un triángulo al
Segmento que une un vértice al punto
medio del lado opuesto. Se demuestra
que las tres medianas de un triángulo
concurren en un punto interior al
triángulo, G, llamado baricentro.
El segmento perpendicular trazado
desde un vértice al lado opuesto se
llama altura del triángulo. Si el
triángulo es acutángulo, como el de
la figura, las tres alturas se cortan en
un punto interior al triángulo, H,
llamado ortocentro.
Si el triángulo ABC tiene un ángulo
obtuso
, H es exterior al triángulo.
4.9 Congruencia entre triángulos Triángulos congruentes:
Puede ocurrir que dos triángulos tengan igual “tamaño” o área, pero no
necesariamente la misma forma, como lo muestra la siguiente figura:
También puede ocurrir que los triángulos tengan la misma forma pero no el
mismo tamaño. Por ejemplo:
Estos triángulos son rectángulos isósceles pero tienen tamaño o área diferente.
Los triángulos de la siguiente figura tienen el mismo tamaño y la misma forma:
Si se calca uno de estos triángulos y se superpone sobre el otro, coincidirían
exactamente. Se dice que los triángulos ABC y A´ B´C´ son congruentes. Puede
ocurrir también que
4.10 Criterios de congruencia de triángulos
a) Primer criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si sus tres
lados homólogos son congruentes.
Ejemplo: En el cuadrilátero que veremos a continuación, los triángulos ∆abc y
∆adc son congruentes porque sus lados homólogos también lo son:
En este caso, el lado ac es común para ambos triángulos.
A
B C
A´
B´ C´
b) Segundo criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si tienen
dos de sus lados homólogos congruentes y el ángulo comprendido entre los
mismos.
c) Tercer criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si tienen uno
de sus lados homólogos congruente y los dos ángulos adyacentes a dicho lado.
4.11 Ejercicios
1. ¿Consideras que todo triángulo isósceles es también un triángulo equilátero?
Justifica tu respuesta.
2. ¿Cuántas losas se necesitan para pavimentar una sala de 36m2 de área, con
losas triangulares de 20 cm de base y 12 cm de altura?
3. Sabiendo que el perímetro de un triángulo no es más que la suma de sus lados,
¿cuál sería el perímetro de un triángulo isósceles si uno de sus lados iguales mide
6cm y el otro lado mide 8cm?
4. Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 21m, ¿cuánto miden los lados
del triángulo?
5. Calcula las coordenadas del vértice A, sabiendo que ∆ABC es isósceles de área 12cm2.
6. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? 7. Demostrar, usando los criterios de congruencia de triángulos, que ∆abd y ∆bcd
son congruentes.
8. Según cuál de los criterios de congruencia de triángulos afirmarías que los
triángulos ∆abc y ∆cda, de la siguiente figura son congruentes:
Capítulo 5
TRIGONOMETRÍA
5.1 Definición
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición ó estudio de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida. Este estudio está basado en las relaciones que existen entre los ángulos internos y los lados de un triángulo, y aplica dichas relaciones al cálculo de valores o medidas encontrados en éste.
5.2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
En un triángulo rectángulo, si es uno de sus ángulos agudos diferenciamos sus
catetos como adyacente si éste es uno de los lados de y opuesto si no. En
función de esto definimos para cualquiera de los dos ángulos agudos de un
triángulo rectángulo las siguientes tres razones trigonométricas:
El seno del ángulo:
Hipotenusa
OpuestoCatsen
.)(
El coseno del ángulo:
Hipotenusa
AdyacenteCat.)cos(
La tangente del ángulo:
AdyacenteCat
OpuestoCattg
.
.)(
Es importante destacar el hecho que las razones )(sen y )cos( son dos valores
reales positivos menores que 1 ya que la hipotenusa siempre es mayor que
cualquiera de los catetos.
Así tenemos que para el siguiente triángulo rectángulo que:
Proposición 1: La tangente puede expresarse como el cociente; )cos(
)(sen.
Demostración: como para cualquier ángulo interno agudo de un triángulo
rectángulo se define
AdyCat
OpCattg
.
.)(
Entonces al dividir, tanto el numerador como el denominador, entre el valor de la
hipotenusa se tiene que
)cos(
)(
.
.
)(sen
Hipotenusa
AdyCat
Hipotenusa
OpCat
tg
Que era lo que quería demostrar.
Proposición 2: El valor de las razones trigonométricas son números reales que
sólo dependen del ángulo interno agudo y no de las longitudes a; b; c de los
lados del triángulo.
Las razones trigonométricas son:
b
a
AdyacenteCat
OpuestoCattg
c
b
Hipotenusa
AdyacenteCat
c
a
Hipotenusa
OpuestoCatsen
.
.)(
.)cos(
.)(
Demostración: Si tenemos dos triángulos rectángulos donde es comúnmente
uno de sus ángulos internos agudo, es decir:
Entonces:
c
a
c
asen )( ;
c
b
c
b)cos( y
b
a
b
atg )(
5.3 Razones trigonométricas inversas.
Para cada una de las tres razones trigonométricas se define su razón
trigonométrica inversa.
La cosecante: es la inversa del seno y se define como.
OpCat
Hipotenusa
senec
.)(
1)(cos
La secante: es la inversa del seno y se define como.
AdyCat
Hipotenusa
.)cos(
1)sec(
La cotangente: es la inversa del seno y se define como.
OpCat
AdyCat
sentgctg
.
.
)(
)cos(
)(
1)(
Por lo antes dicho podemos asegurar que al conocer, para un ángulo agudo, el
valor del seno y coseno entonces se pueden deducir el valor de las otras cuatro
razones trigonométricas.
5.4) Razones trigonométricas para ángulos notables.
Llamamos ángulos notables a aquellos que el valor de las razones
trigonométricas seno y coseno están predeterminadas. Estos ángulos son:
2
90 ; 3
60 ; 4
54 ; 6
30 ; 00
Donde se tiene que el valor de las razones seno y coseno estan dados en la
siguiente tabla.
01cos
10
906045300
21
2
2
2
3
2
3
2
2
21
eno
seno
Ejemplo 1: calcule; )30sec( , )(4
ctg y )90sec( .
i) 3
32
3.3
3.2
3
2
)30cos(
1)30sec(
ii) 1)(
)cos()(
4
44
senctg (Ya que para 45
4 el seno y coseno son iguales)
iii) existe" No" )90cos(
1)90sec( (Ya que 0)90cos( )
Ejemplo 2: para el siguiente triángulo rectángulo halle el valor de las 6 razones
trigonométricas.
5
4
b
a
Como se trata de un triangulo rectángulo y conocemos dos de sus lados usamos
el teorema de Pitágoras para hallar el otro (la hipotenusa).
41
54222
222
c
c
bac
Ahora calculemos el valor del seno y coseno.
41
415
41
415
41.41
41.5
41
5.)cos(
41
414
41
414
41.41
41.4
41
4.)(
2
2
c
b
Hipotenusa
AdyacenteCat
c
a
Hipotenusa
OpuestoCatsen
Luego
5
4
41
415
41
414
)cos(
)()(
sentg 4
41
41
4
1
)(
1)(cos
senec
5
41
41
5
1
)cos(
1)sec(
4
5
5
4
1
)(
1)(
tgctg
Ejemplo 3: para el siguiente triángulo rectángulo halle el valor de los elementos
que le faltan.
30
23c
Como se trata de un triangulo rectángulo y conocemos sólo uno de sus lados (la
hipotenusa) y uno de sus ángulos internos agudo usamos el seno ó el coseno para
hallar el cateto opuesto ó adyacente, respectivamente.
2
23
2
1.23
23)30()( bb
bsen
c
bsen
Ahora usamos el coseno para hallar el cateto adyacente.
2
63
2
3.23
23)30cos()cos( aa
a
c
a
Para hallar el ángulo que falta usamos el hecho que la suma de los tres ángulos
internos de un triangulo es 180°. Entonces.
60309018018090
5.5 Identidades trigonométricas.
Definición Se entiende por identidad trigonométrica una igualdad algebraica entre razones
de un mismo ángulo, la cual se cumple para todo valor que se atribuya a dicho
ángulo. Así por ejemplo, las siguientes son dos identidades trigonométricas:
i) 1)(cos).( ecsen Ya que se sabe que )(
1)sec(
senc
ii) 0)()().cos( sentg Ya que se sabe que )cos(
)()(
sentg
Existe un gran número de identidades trigonométricas. Daremos y estudiaremos
algunas de éstas. Para ello construyamos el siguiente círculo unitario
Círculo Trigonométrico.
El círculo trigonométrico, es la circunferencia con centro en el origen y cuyo radio es la unidad.
Observe que en este círculo, para los ángulos: 360y 702 ,180 ,90 ,0 se tiene
que:
0)0(sen y 1)0cos(
1)90(sen y 0)90cos(
0)180(sen y 1)180cos(
1)270(sen y 0)270cos(
Y para 360 se cumple lo mismo que para 0 ya que son ángulos equivalentes, es
decir que al girar 360 se llega a la misma posición de 0 .
Para el punto yxP , que está en círculo trigonométrico se tiene el triangulo
rectángulo de vértices: 0,0 , 0,x y yx, se sabe que: es uno de sus ángulos
agudos internos, la hipotenusa es 1, el cateto opuesto es y y el adyacente es x,
Luego se tiene que:
0
r = 1 P (x,y)
(1,0) y
(1,0) 180°
y
(0,1)
90°
270°
(0,- 1)
0° x
α
x
xx
Hip
AdyCat
yy
Hip
OpCatsen
1
.)cos(
1
.)(
Y como esto se cumple para cualquiera sea ese punto P entonces se tiene, por el
teorema de Pitágoras que:
1)(cos)( 22sen (I)
Esta identidad se conoce como la identidad trigonométrica fundamental. A
partir de esta identidad y de la definición de las razones trigonométricas se
obtienen otras identidades trigonométricas de gran utilidad.
Al dividir la anterior identidad entre )(cos2 obtenemos:
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sen
222
)cos(
1
)cos(
)cos(
)cos(
)(sen
Obteniéndose
1)()(sec)(sec1)( 2222 tgtg
De manera análoga, pero al dividir (I) entre )(2sen , encontramos que:
1)()(sec)(sec1)( 2222 ctgccctg
Signos de las razones trigonométricas.
Los ángulos positivos son medidos a partir del semi-eje positivo “ x ” y según su
medida se dicen que pertenecen ó encuentran en uno de los 4 cuadrantes del
plano (I, II, III ó IV). De acuerdo a la ubicación del ángulo (en qué cuadrante se
encuentra), el signo de cada razón trigonométrica variará. Así se tiene que para:
i) 90CuadI (agudo) y se tiene que.
Las 6 razones trigonométricas son positivas ya que lo son el seno y coseno.
ii) 18090Cuad-II (obtuso) y se tiene que.
De las 6 razones trigonométricas sólo son positivas el seno y su inversa.
iii) 270180Cuad-III y se tiene que.
De las 6 razones trigonométricas sólo la tangente y su inversa son positivas.
iv) 360270Cuad-IV y se tiene que.
De las 6 razones trigonométricas sólo el coseno y su inversa son positivas.
Cuando el ángulo es mayor de 360 (más de una vuelta) éste vuelve a caer en
alguno de los cuadrantes. Si el ángulo 360 se determina el cuadrante
donde cae el ángulo considerando el residuo (resto) al dividir 360 ya que
éste es un ángulo que equivale a , siendo el cociente el número de vueltas que
dá.
Ejemplo: Determine el cuadrante donde se encuentran los siguientes ángulos:
840 , 4
9 y 2130 .
Para 840 .
840 360
2 120
Por lo que se tiene 840° equivalen a 2 vueltas y 120°. Por tanto
Cuad-II120840
Para 4054
9.
Para 2130 .
5.6 Fórmulas de razones trigonométricas.
Unas herramientas de gran importancia en el cálculo del valor de una razón trigonométrica la representan las siguientes fórmulas trigonométricas.
Razones trigonométrica de la suma de dos ángulos.
Para las razones trigonométricas seno y coseno.
a) sensensen .coscos.
b) sensen .cos.coscos
Ejemplo 1. Calcule 150cos y 75sen
i) Como º60º90º150 entonces 6090cos150cos , luego:
2
3
2
30
2
3.1
2
1.060.9060cos.90cos150cos sensen
ii) Como º45º30º75 entonces 304575 sensen , luego:
4
26
4
2
4
6
2
1.
2
2
2
3.
2
230.45cos30cos.4575 sensensen
405 360
1 45
Por lo que se tiene 4
9 equivalen a 1 vuelta y 45°.
Por tanto
Cuad-I454054
9
2130 360
5 330
Por lo que se tiene 2130° equivalen a 5 vueltas y 330°. Por tanto
Cuad-IV3302130
Razones trigonométrica de la diferencia de dos ángulos.
Para las razones trigonométricas seno y coseno.
c) sensen .cos.coscos
d) sensensen .coscos.
Ejemplo 2. Calcule 15sen y 15cos
i) Como º45º60º15 entonces 456015 sensen , luego:
4
26
4
2
4
6
2
2.
2
1
2
2.
2
345.60cos45cos.6015 sensensen
ii) Como º30º45º15 entonces 3045cos15cos , luego:
4
26
4
2
4
6
2
1.
2
2
2
3.
2
230.4530cos.45cos15cos sensen
Para la razón trigonométrica tangente para la suma y diferencia de dos ángulos.
tgtg
tgtgtg
.1
tgtg
tgtgtg
.1
Ejemplo 3. Hallar 75tg y 15tg
Tenemos que 304575 tgtg , entonces:
326
326
6
3612
6
3369
39
3375
33
33.
33
33
33
33
3
33
3
33
3
31
3
31
3
3.11
3
31
30.451
304575
2
tg
tgtg
tgtgtg
Tenemos que 304515 tgtg , entonces:
326
326
6
3612
6
3369
39
3315
33
33.
33
33
33
33
3
33
3
33
3
31
3
31
3
3.11
3
31
30.451
3045304515
2
tg
tgtg
tgtgtgtg
Razones trigonométricas del ángulo doble. Cuando el ángulo es el doble de otro se tiene.
a) 22cos2cos sen
Ejemplo 4. Hallar 120cos
2
1
4
2
4
3
4
1
2
3
2
16060cos60.2cos120cos
22
22 sen
b) sensen .cos22
Ejemplo 5. Hallar 120sen
2
3
4
32
2
3.
2
1.260.60cos260.2120 sensensen
c) 21
22
tg
tgtg
Ejemplo 6. Hallar 120tg
32
32
31
32
31
3.2
601
60.260.2120
22tg
tgtgtg
Razones trigonométricas de mitad de ángulo
a) 2
cos1
2cos
b) 2
cos1
2sen
c) cos1
cos1
2tg
Reducción de ángulos al primer cuadrante Dado un ángulo situado en alguno de los cuadrantes II, III ó IV queremos ver si
existe una relación entre éste y algún ángulo encontrado en el primer cuadrante. -. Para Cuad-II . Se tiene que:
Donde el ángulo º90180 . Luego se tiene la siguiente relación entre los
ángulos y :
)º180()()( sensensen Ya que el seno en el II-Cuad es positivo.
)º180cos()cos()cos( Ya que el coseno en el II-Cuad es negativo.
y
x
α
180º-α
-. Para Cuad-III . Se tiene que:
Donde el ángulo º90180 . Luego se tiene la siguiente relación entre los
ángulos y :
)º180()()( sensensen Ya que el seno en el III-Cuad es negativo.
)º180cos()cos()cos( Ya que el coseno en el III-Cuad es negativo.
-. Para Cuad-IV . Se tiene que:
Donde el ángulo º90º360 . Luego se tiene la siguiente relación entre los
ángulos y :
)º360()()( sensensen Ya que el seno en el IV-Cuad es negativo.
y
x α
α-180º
y
x α
360º-α
)º360cos()cos()cos( Ya que el coseno en el IV-Cuad es positivo.
En general, si se quiere calcular el valor de una razón trigonométrica para un
ángulo en los cuadrantes II, III ó IV se procede a preguntar:
i) ¿En qué cuadrante se encuentra éste ángulo?
ii) ¿Cuál es el signo de esa razón en ese cuadrante?
Ejemplo 1. Hallar 150cos .
Como Cuad-IIº150 y el coseno en este cuadrante es negativo entonces:
2
3150cos
2
3)º30cos(150º180cosº150cos
Ejemplo 2. Hallar 225sen .
Como Cuad-IIIº225 y el seno en este cuadrante es negativo entonces:
2
2225
2
2)º45(º180º225º225 sensensensen
Ejemplo 3. Hallar 300sec .
Como Cuad-IV300 y la secante en ese cuadrante es positiva entonces
2
2
1
1
)º60cos(
1)º60sec(300º360secº300sec
Ejemplo 4. Calcular el valor de la siguiente expresión:
330cos45cos
225cos120cos2
2
x
Como se tiene que:
2
160cos120180cos120cos
2
245cos180225cos225cos
2
330cos330360cos330cos
Entonces,
322
221
4
322
4
221
4
3
2
2
2
2
4
1
2
3
2
2
2
2
2
1
330cos45cos
225cos120cos2
2
2
2
x
Y al racionalizar este resultado
2451
524
98
268322
322
322.
322
221xx
. 5.7 Razones trigonométricas para ángulos negativos.
Se sabe que un ángulo es negativo si es medido (desde el semi-eje positivo “ x ”)
en sentido contrario a como giran las agujas del reloj. En esta parte queremos
expresar razones trigonométricas de ángulo negativo en función de la misma
razón trigonométrica pero para ese mismo ángulo positivo.
Como se sabe que las razones: secante, cosecante, tangente y cotangente
pueden expresarse en función del seno y/o coseno, es por ello que estudiamos el
seno y coseno de un ángulo negativo. Consideremos dos puntos P y P el círculo
trigonométrico de manera que ellos determinen dos ángulos opuestos y ,
respectivamente.
)(),cos( senP
)(),cos( senP
y
x
α -α
De la gráfica deducimos que:
)cos()cos(
)()( sensen
A partir de estos dos resultados se cumple que:
)sec()sec(
)csc()csc(
)()( tgtg
)()( ctgctg
Ejemplo: Calcule: )60csc( y 4
sec .
Como se trata de razones trigonométricas de ángulos negativos aplicamos la
correspondiente fórmula dada anteriormente.
3
32
3.3
3.2
3
21
)60(
1)60csc()60csc(
2
3sen
22
22
2.2
2.2
2
21
)45cos(
1)45sec()45sec()sec(
2
24
Ejercicios. Efectúe.
a) 210cos135cos
300cos150cos22
2
b) 45cos
360sec150cos.240sec 2
c) 150sec300sec
270cos225sec 2
d) 3302240
18013522
32
sensen
sensen
e) 60330
15022523
2
tgtg
tgtg
f) 210120
45300.33
2
tgtg
tgtg
g) 150240cos
300cot120 2
tg
sen
h) 135sec45
1230.30cos2
2
tg
sen
i) 60cot1
3018701
2
2 sensen
j) 225.30cos1
840sec45
ctg
sen
k) 60
1740
sen
tg
5.8 Ejercicios
1. Teniendo como referencia el siguiente triángulo rectángulo:
Sabiendo que;
a) b = 14; c = 18. Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.
b) c = 90; β = 60º. Halle el valor de los elementos que faltan.
c) b = 22; = 45º. Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.
d) 30 y 45 . Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.
e) 45 y 2c . Halle el valor de los elementos que faltan.
f) 5c y 2a . Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.
2. Calcule.
a) )210(tg b) )960sec( c) )105cos(
d) )(3
2ctg e) )csc(6
11 f) )15(sen
g) )75cos( h) )390(sec2 i) )100()(cos 2
952 sen
3. Dado la razón y el cuadrante donde se encuentra el ángulo calcule el valor de las otras 5 razones trigonométricas.
a) Cuad-IIIy 3)(tg .
b) Cuad-IIy 5
2)(sen .
c) Cuad-IVy 32)sec( .
d) Cuad-IIIy 2
3)cos( .
e) Cuad-IIy 7)(ctg .
f) Cuad-Iy 3
5)csc( .
5.9 Ley de los cosenos. Es una generalización del Teorema de Pitágoras para los triángulos no rectángulos que se utilizan, normalmente en trigonometría. La ley dice lo siguiente: “En todo triangulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman”. Dado un triangulo ABC , siendo ,, los ángulos internos y cba ,, los lados
respectivamente opuestos a estos ángulos (ver figura), entonces:
cos.2222 abbac
cos.2222 bccba
cos.2222 accab
Ejemplo 1. Dos lados de un triangulo ABC miden 6cm y 10cm, y el ángulo entre
ellos es 120 . Hallar el tercer lado.
Por la Ley de Cosenos tenemos que:
Cabbac cos2222
1419619660136
2
1106210036
120cos1062106
2
2
222
ccc
c
c
Ejemplo 2. Un triangulo ABC tiene lados cmcm 2y 1,cm 3 respectivamente.
Determine las medidas de sus ángulos.
Sean cmcmac 2by 1,cm 3 los lados del triangulo. Entonces aplicando la
Ley de Cosenos obtenemos:
602
1coscos4413
cos.212213
cos2
222
222
CCC
C
Cabbac
Por otra parte tenemos:
302
3
3.2
33
3
3.
32
3
34
6coscos34341
cos.322321
cos2
222
222
AAA
A
Abccba
Ahora utilizando la propiedad de que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180° entonces:
90
6030180
180
B
B
CBA
Luego, el triángulo tiene ángulos de 30°, 60° y 90°.
5.10 Teorema del seno
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Teorema: Si en un triángulo ABC , las medidas de los lados opuestos a los ángulos CBA y ,
son respectivamente cba y , , (ver figura).
Entonces se cumple.
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
Con este teorema; conocidos dos lados de un triangulo y el ángulo entre ellos se pueden obtener los otros elementos del triangulo. También si conocemos dos ángulos internos y un lado.
Ejemplo 1. Sea triángulo ABC definido por: 52,34 BA y el lado cmc 12 .
Hallar el ángulo y los lados restantes. Como la suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es 180°, tenemos que:
94
3452180
180
C
C
CBA
Aplicando el teorema del seno obtenemos: Observe que los ángulos que acá aparecen no son notables, es por ello que necesariamente se requiere del uso de la calculadora.
94
12
5234 sen
cm
sen
b
sen
a
Entonces:
cmasen
sencma
sen
cm
sen
a72,6
94
34.12
94
12
34
cmbsen
sencmb
sen
cm
sen
b47,9
94
52.12
94
12
52
Ejercicios sobre Teorema del coseno.
1) En los siguientes ejercicios cba ,, son las medidas de los lados de un
triángulo, mientras que ,, son las medidas de los ángulos opuestos a
esos lados respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:
a) 35 12 10 cmbcma
b) mcmbma 4 6 7
c) 70 40 10cmc
d) 43 16 12 cmbcma
e) cmc 5,30 75 53
f) mmc 2,47 68 48
Ejercicios sobre Teorema del seno.
1) En los siguientes ejercicios cba ,, son las medidas de los lados de un
triángulo, mientras que CBA ,, son las medidas de los ángulos de los
vértices del triángulo. Resuelve el triángulo en cada caso:
a) 40 110 20 CBcma
b) 40 60 15 ABma
c) 62 51 24 CBcmb
d) 60 110 9 CAmc
e) cmbBcma 18 30 10
f) cmcAcma 5 64 12