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SALESIANOSINSTITUTO TÈCNICO RICALDONEDEPARTAMENTO DE INFORMÁTICAPRIMER AÑO DE SISTEMAS INFORMÁTICOSLABORATORIO DE CREATIVIDAD I 2014
MÒDULO II: LÒGICA SIMBÒLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
INSTRUCTORAS:
ANA YENSY ORTEGA
KAREN FLORES
MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
PROPOSICIONESLENGUAJE NATURAL Y LENGUAJE SIMBÒLICO
Lenguaje Natural:
Antonio come carne y paleta, o come pizza con soda
Convirtiendo a lenguaje simbólico:
1. Primero hay que descomponer la proposición compuesta en susproposiciones simples:p: Antonio come carneq: Antonio come paletar: Antonio come pizza con soda
2. Escribir en lenguaje simbólico(p^q) v r
Ejemplo 2:
Juan desayuna, sí y solo sí, se levanta y se baña.
p: Juan desayuna
q: Juan se levanta
r: Juan se baña
p (q ^ r)
Ejercicio: En parejas escribirán en lenguaje simbólico las siguientesproposiciones.
A. Represente el siguiente lenguaje natural a lenguaje simbólico:
a) Si abordas el autobús a las 7:15 horas, entonces no podrás llegar a la
Laboratorio de Creatividad Página 1
MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
PERFILES SEGUNDO PERIODO
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2ESPECIALIDAD: NIVEL: 1º año
CÓDIGO:
Nº MES SEMANA %
1Abril Del 21 al 25 15%
2Mayo Del 5 al 9 20%
3Mayo Del 12 al 16 35%
4
Mayo Del 26 al 30 30%
TOTAL 100%
Presentaciòn de Informe impreso (grupal) (10%) y Defensa (individual) (25%) del Proyecto Tècnico Cientìfico
Prueba escrita e individual sobre los temas abordados en el segundo período
PERFIL
Actividad Integradora
DESCRIPCIÓN
Desarrollo en parejas, de guías de ejercicios sobre los temas del segundo periodo
Actividad Integradora
Prueba Objetiva
Actividad IntegradoraExamen corto e individual sobre lógica simbólica y
proposiciones
INICIO DE PERIODO: 24-mar.-14 FIN DE PERIODO: 6-jun.-14
Instituto Técnico RicaldonePerfiles de evaluación área técnica
OA02Ana Yensy Ortega Abarca
PERIODO :ASIGNATURA:
DOCENTE:Laboratorio de Creatividad I Informática
MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
TEMA 1: Proposición y valor de verdad, representación simbólica de las
proposiciones, negación de una proposición.
Competencias a desarrollar:
Identifica si un enunciado es una proposición.
Es capaz de determinar el valor de verdad de una proposición y
redacta de forma correcta la negación de éstas.
PROPOSICION Y VALOR DE VERDAD:
Las proposiciones son enunciados declarativos que pueden ser verdaderos o falsos.
Los enunciados interrogativos: “¿Quién es Sócrates?”; imperativos: “Dame tu mano”; admirativos:
“¡Qué barbaridad!”; no son proposiciones y por lo tanto no son ni verdaderos ni falsos. En cambio,
las proposiciones u oraciones declarativas como: “La puerta es roja”, “las flores se alimentan de
oxígeno”, “el petróleo es un hidrocarburo”, entre otras, son proposiciones y por lo tanto son
susceptibles a ser verdaderas o falsas.
Es cualquier afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.
Ejemplos:
Resultado
(a) p: Existe Premio Nobel de informática. Es proposición.
(b) q: La tierra es el único planeta del
Universo que tiene vida.
Como es algo que no se sabe si es verdad o no,
no es proposición.
(c) r: Teclee Escape para salir de la
aplicación.
No es proposición, porque es un mandato
(d) s: Cinco más siete es grande. No es proposición porque al carecer de contexto,
es ambiguo.
(e) 6 es un número primo Es proposición.
(f)¿Te vas? No es proposición porque es una interrogante.
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
REPRESENTACION DE UNA PROPOSICIÓN
Para representar una proposición se hace a través de una letra en mayúscula o minúscula, seguida
de dos puntos y luego el detalle del texto. Ejemplo:
p: Existe Premio Nobel de informática; en este caso se dice que p es una proposición con un
valor de verdad de falso.
T: Managua es la capital de Nicaragua; en este caso T es una proposición con un valor de
verdad de verdadero.
PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD
El valor de verdad de una proposición es el valor de veracidad o falsedad de una proposición.
Ejemplo:
Valor de verdad
Existe premio Nobel de Informática Falso
Managua es la capital de Nicaragua verdadero
El río lempa es el más largo de Centroamérica verdadero
PROPOSICIONES SIMPLES (ATÓMICAS) Y COMPUESTAS (MOLECULARES)
La lógica proposicional distingue entre dos tipos de proposiciones a saber: simples o atómicas y
compuestas o moleculares.
Las proposiciones simples no se componen de más proposiciones y carecen de términos de enlace o
conectivos, excepto la negación. Ejemplo:
La matemática es una ciencia formal.
El sol es una estrella.
Las proposiciones compuestas, como su nombre lo indica, se componen de dos o más proposiciones
simples y además, como rasgo distintivo tienen términos de enlace o conectivos lógicos. Ejemplo:
La lógica es una ciencia formal y la matemática lo es también.
La tierra es un planeta si y sólo si la tierra gira alrededor del sol.
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Baja california no es una isla.
NEGACION DE UNA PROPOSICION
Dada una proposición cualquiera p, llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la
notaremos ¬p. Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera. Ejemplo:
Resultado
P: El Pentium es un microprocesador ¬P: El Pentium no es un microprocesador.
Q: Tres en un número impar ¬Q: Tres no es un número impar.
Z: Las vocales no son cinco ¬Z: Las vocales son cinco
A- Proposiciones: Indique si los siguientes enunciados son o no proposiciones.
1) Alto con la luz roja
2) Cuidado con el perro
3) La flor de izote es la flor nacional del El Salvador
4) El Torogoz es el pájaro nacional de el Salvador
5) Centroamérica está formado por cinco países
6) ¿Para qué sirve la libertad?
7) El agua se compone de hidrógeno y oxígeno.
8) ¡Bendita sea mi suerte!
9) “Podemos distinguir…”
10) ¿Cuáles son los símbolos patrios?
B- Determine si el enunciado es verdadero o falso.
a) Todos los salvadoreños cuentan con un empleo digno.
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EJERC
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
b) Todos pasarán laboratorio de creatividad este año.
c) La tierra es el planeta más cercano al sol.
d) Los metales se dilatan con el calor.
e) Todos los números pares dan como resultado 1 al sacar el mod.
f) El Salvador tiene 12 departamentos.
g) Las matemáticas nos sirven para la vida.
h) El arcoíris está formado por siete colores.
i) Los colores primarios son azul, amarillo y rojo
j) Génesis es el libro más antiguo de la Biblia.
C- Para las siguientes proposiciones determine si es simple o compuesta.
1) “Si estudiamos para el examen, entonces aprobaremos”
2) El sol es una estrella si y sólo si la tierra es un planeta”
3) Juan y María son novios.
4) El Bálsamo pertenece a la familia de las papilionáceas y el Maquilishuat es árbol nacional de
El Salvador.
5) La línea más corta entre dos puntos en la línea recta.
6) No es cierto que el plomo sea radioactivo.
7) Todos los metales se dilatan con el calor.
8) Cuba es una isla y Baja California es una península.
9) Plutón es el planeta mas cercano o el más lejano de nuestro sistema solar.
D- Realice la negación de todas las proposiciones del ejercicio B.
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
TEMA 2: Conjunción, disyunción, implicación, equivalencia, tabla de
verdad simple y compuesta.
Conectivos lógicosLas proposiciones se relacionan mediante términos de enlace o conectivos lógicos. Estos términos de enlace son los siguientes:
Términos de la expresión Conectivo Símboloa) “no es cierto que” Negación ~, ¬b) “y” Conjunción , ^, δc) “o” Disyunción inclusiva vd) “o”, “y/o”, “o…o” Disyunción exclusiva ve) “si, entonces” Condicional →f) “si y sólo si” Bicondicional ↔, ≡
Negación:Es un conectivo diferente a los otros cuatros conectivos que enlazan proposiciones. En lenguaje natural se expresa así: “no es cierto que”, “no es el caso que”, “no ocurre que”, “no sucede que”, “es falso que” o simplemente “no”.Es importante indicar que es posible mediante la doble negación negar un enunciado y convertirlo en verdadero, por ejemplo:
La Habana es la capital de Cuba VerdaderoNo es cierto que La Habana es la capital de Cuba FalsoNo es cierto que La Habana no es la capital de Cuba Verdadero
Conjunción:Este conectivo enlaza o conjunta dos o más enunciados. En el lenguaje cotidiano se expresa así: “y”, “pero”, “aunque”, “además”… Por ejemplo: “Londres es la capital de Inglaterra y París es la capital de Francia”.La conjunción indica que si dos enunciados son verdaderos, unidos por esta conectiva, el resultado será verdadero, y que cuando algunos de sus enunciados sea falso o bien ambos falsos, el enunciado será falso. Por ejemplo:
La música es el placer de escuchar [v] y la ética es el arte de vivir [v]
Como las dos son verdaderas, el resultado es verdadero.
Quevedo escribió El Quijote [F] y Carlos Marx escribió El Capital [V]
El enunciado es falso.
Baja California es una isla [F] y Cuba es una península [F]
El enunciado es falso.
Cabe señalar que la “y” sólo relaciona o enlaza enunciados, pero no conceptos; por ejemplo: Marco Aurelio fue emperador y filósofo. Marco Aurelio y Marx son filósofos.
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Aquí no se trataría de conjunciones lógicas, pues no se analizan proposiciones o enunciados.
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Disyunción:Es un término que enlaza y tiene como función presentar una disyuntiva entre dos enunciados. En lenguaje natural se expresa mediante el término “o”. Este conectivo indica que si al menos uno de los enunciados simples es verdadero, la proposición resultará verdadera; y en el caso de que ambos sean falsos la proposición será falsa. Por ejemplo:
“O Arquímedes y Newton son matemáticos [V] o son historiadores [F]
El resultado es que el enunciado es verdadero.
“O Arquímedes es historiador [F] o Newton es biólogo [F]”
Esta proposición es falsa.
Tipos de disyunción:
Existen dos tipos: Exclusiva o inclusiva. En la primera una de las dos proposiciones tiene que ser verdadera, por ejemplo: “O Darwin es biólogo o es músico”. En la inclusiva sus dos alternativas o proposiciones pueden coexistir o ser compatibles, por ejemplo “Juan es el padre de la novia o el padrino de la boda”, lo que se puede contestar que es las dos cosas.La disyunción inclusiva es falsa únicamente cuando sus dos alternativas son falsas; en los demás casos es verdadera.En lenguaje natural se distingue una disyunción de la otra en que la inclusiva se encuentra una “o” en medio de las dos proposiciones simples que la componen, por ejemplo: “Marx fue economista o Marx fue filósofo”; en la exclusiva se encuentra una “o” antes de la primera proposición y otra en medio de dos proposiciones, por ejemplo: “O Cuba es una isla o se encuentra en el continente europeo”.
Resultado lógico:Exclusiva: cualquier proposición “o” cuyo significado es tal que la proposición es falsa si ambos componentes son verdaderos o son falsos.Inclusiva: Cualquier proposición “o” que resulte verdadera si alguno de sus componentes también lo es.
Condicional o implicación:En el lenguaje natural se expresa así: “si…”, “si, entonces”, “siempre que”, entre otras expresiones. Indica que siendo el antecedente verdadero y el consecuente falso, entonces será falso todo el enunciado y en los demás casos será verdadero. Por ejemplo:
Si en el Salvador no hay fraude electoral, [V] entonces en El Salvador se tendrán elecciones democráticas [V]”.
El enunciado será verdadero
Si Cuba es un país socialista [V], entonces es un país antidemocrático [F]”.
El enunciado es falso.
Si Francia no tiene gobierno democrático [F], entonces en Francia los ciudadanos carecen de libertad [F]”.
El enunciado es verdadero.
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Bicondicional o equivalencia:Este conectivo se expresa mediante las palabras: “si y sólo si”, e indica una relación doblemente condicionada entre dos enunciados. Este conectivo indica que si ambos enunciados son verdaderos o ambos falsos, el resultado será verdadero. En todos los demás casos serán falsos. Por ejemplo:
El sol es un planeta [F] si y sólo si la Tierra es el centro del universo [F]”
El enunciado es verdadero.
Al hombre se le define como animal político [V] si y sólo si vive en sociedad [V]”
El enunciado es verdadero.
El sol es un cuerpo opaco [F], si y sólo si los planetas giran alrededor del sol [V].
El enunciado es falso.
Ejemplos de simbolizaciónEjemplo Símbol
oConector
“No es cierto que El Salvador esté saliendo de la crisis”.
~ Negación
“Si El Salvador aumenta sus exportaciones, entonces se incrementarán sus divisas”.
→ Condicional
“Miguel Angel es pintor y Fidias es escultor” ^ Conjunción“Octavio Paz es escritor o es poeta” v Disyunción inclusiva,
porque es simultáneamente ambos.
“O son las 7 de la noche o son las 8” v Disyunción exclusiva porque hay que escoger una de las dos.
“Miguel Ángel es autor de La Piedad si y sólo si Miguel Ángel es escultor”.
↔ Bicondicional.
A. Escriba el valor de verdad al evaluar las proposiciones y el conectivo utilizado.a) El planeta tierra pertenece al sistema solar [V] o la tierra gira sobre su propio eje
[V]b) Pitágoras fue un sabio griego [V] y fue originario de Norteamérica [V]c) Todo triángulo se compone de tres lados [V] y sus ángulos internos suman 180 [V]
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
d) Según Sócrates, la maldad es sinónimo de ignorancia [V] y la virtud es sinónimo de sabiduría [V]
e) México es un país republicano [V] o es un país monárquico [F]
B. Determine si las siguientes proposiciones son disyuntivas excluyentes o inclusivas.a) “Este libro es un útil escolar o es de lógica proposicional”.b) “O Aristóteles es filósofo o es músico”.c) “Octavio Paz fue poeta o fue astrónomo”.d) “O son las doce del día o son las diez”.e) “Alfonso Reyes fue escultor o ensayista”.f) “Guatemala pertenece a Centroamérica o a Europa”.g) “La lógica simbólica utiliza símbolos o letras”.h) “Sor Juana fue monja o poetiza”.i) “José Martí fue cubano o antillano”.
C. Escribir el valor de verdad de los siguientes enunciados tomando en cuenta el tipo de conectivo que los enlaza.a) “Si un estado se define como democrático [V] entonces todos los ciudadanos
pueden participar en asuntos públicos [V]”.b) “En el ser humano reside la virtud y el vicio [V] si y sólo si no existe un ser externo
que guíe nuestras vidas [V]”.c) “Si el hombre es arquitecto de su propio destino [V], entonces él es responsable
único de su existencia [V]”.d) “Fidias construyó el palacio de Bellas Artes [V] su y sólo si Moncayo compuso
Huapango [V]”.e) “Si los satélites son planetas [F] entonces son cuerpos opacos [F]”.f) “Si la isla de Creta se encuentra en el Mediterráneo [F] entonces Cuba s localiza en
el Atlántico [F]”.
D. Represente el siguiente lenguaje natural a lenguaje simbólico:a) Si abordas el autobús a las 7:15 horas, entonces no podrás llegar a la clase de
inglés y corres el riesgo de no aprobar el examen.b) La Divina comedia la escribió Dante Alighieri o la escribió Miguel Ángel y no se
editó en el siglo XX.c) Si El Salvador es rico en materias primas y se tiene una administración adecuada,
entonces podría salir de sus crisis económicas.d) Llueve y hace viento.e) Llueve, y no nieva o hace viento.f) No llueve y no nieva.g) Si llueve, entonces no nieva.h) Ni llueve ni nieva.i) Si jugamos lotería y nos ganamos, entonces nos vamos a Cancún.j) Sí y sólo si tenemos dinero podemos irnos de fiesta; pero nos vamos de fiesta,
entonces tenemos dinero.
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
E. Escriba en lenguaje natural las siguientes proposiciones de acuerdo con las siguientes abreviaturas:W= hace calorR= está lloviendoG= voyC= él viene
Ejemplo: R→G, se traduciría así en lenguaje natural: “si está lloviendo entonces yo voy”.a) R^~Gb) ~C→Gc) W→Rd) W v Re) ~(R^~G)f) ~(W^R)↔Cg) (~W ^ ~R) ↔Ch) (W v ~R) →Gi) ((W ^R) ^G) ^Cj) (G v C) ^ ~(G^C)
Tablas de verdad
En el lenguaje simbólico de la lógica existen gráficas llamadas tablas de verdad,
mediante las cuales es posible visualizar las diversas combinaciones de valores
de verdad que se les da a las proposiciones, y así poder saber si dichos
enunciados son tautológicos, contradictorios o contingentes.
La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posibles
combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, . . . , pn.
A continuación se presentan las tablas de verdad para los conectivos lógicos:
Negación Conjunción
P ~p P q p^q
V F V V V
F V V F F
F V F
F F F
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Disyunción exclusiva Disyunción inclusiva
P q p v q p q p v q
V V F V V V
V F V V F V
F V V F V V
F F F F F F
Condicional Bicondicional
P q p → q p q p ↔ q
V V V V V V
V F F V F F
F V V F V F
F F V F F V
Construcción de la tabla de verdad
Hay que tener las siguientes consideraciones:
Una proposición solo tendrá verdadero y falso.
Si una proposición compuesta está formada por dos proposiciones simples,
por ejemplo p y q; entonces se tendrá cuatro posibles combinaciones de
valores de verdad, ejemplo:
Observe que en la columna de p se tiene dos verdaderas y dos falsas, en la
columna de q una verdadera, luego una falsa, otra verdadera y finalmente
una falsa.
Se puede comprobar si la combinación de los valores de verdad es correcta
si en la tabla elaborada p y q comienzan con verdaderas y terminan con
falsas.
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Para más de tres proposiciones, es conveniente utilizar la formula 2n, donde
n es el número de proposiciones simples. Para tres proposiciones, sería: 23=
8 combinaciones y para cuatro, es 24= 16 combinaciones.
Ejemplo para dos proposiciones:
Ejemplo para tres proposiciones:
A. Elaborar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:
a) ~p v q
b) ~q v ~p
c) ~(p v q)
d) ~p ^(q v r)
e) (~p v q) ^r
f) (p v q) →r
g) ~q v (p ^r)
h) p →(q →r)
i) {[(p v q) →r] ^p} →r
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
j) ~(~p ^q) →(p v ~q)
k) (~p v q) →q
l) (p →q) →(~q→~p)
TEMA 3: Tautología, contradicción y contingencia.
Tautología:
Se da cuando todos los valores de la conectiva principal resultan ser todos verdaderos, es decir, P es
un tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2,…, pn.
Ejemplo: Determinar si la proposición (p^q)→p es una tautología.
Al ver el resultado, se puede observar que todas son verdaderas, por lo tanto es una tautología.
Otro ejemplo de tautología es el que se presenta a continuación y se puede observar que se tiene
como resultado todos verdaderos los valores de verdad:
Contradicción:
Es cuando los valores de la conectiva principal resultan todos falsos, es decir, P es una contradicción
si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2,…, pn. Ejemplo:
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Se puede ver en la tercera columna, que todos los valores de verdad son falsos, por lo tanto es
contradicción.
Contingencia:
Se da cuando los valores de la conectiva principal unos son verdaderos y otros falsos. Ejemplo:
puede verse que al evaluar p bicondicional de q, se obtienen resultados verdaderos y falsos, por lo
que se dice que es una contingencia.
Otro ejemplo de contingencia es el siguiente:
Ejemplos con tablas de verdad.
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
A. Elaborar la tabla de verdad de los siguientes enunciados e indique si es
tautología, contradicción o contingencia.
a) p ↔ q
b) p → ~q
c) [(p→q) ^p] →q
d) (p v q) →q
e) ~q ^~p
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MODULO II:LÒGICA SIMBOLICA Y ALGEBRA DE PROPOSICIONES
f) ~ (p v q) ^ p
g) ~(p v q) ↔r
h) [(p →q) ^(q→r)] →(p→r)
i) [(p→q) ^~q] →~p
j) [(p→q) ^~q] →~q
k) [(~p v ~q) ^~q] →q
l) [(p v q) ^~p] →q
m) (p ^q) ↔(r ^ s)↔ ~(p v q)→(r v s)↔ ~(r ^ s)
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