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Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ingeniería

Cálculo 2 Para Ingeniería

Cristián Burgos G.

Integrales Impropias

1. Calcule las siguientes integrales impropias.

(a)

ˆ ∞0

dx

x2 + 1

(b)

ˆ ∞0

dx

x4 + 1

(c)

ˆ ∞0

xe−x2

dx

(d)

ˆ ∞0

dx

(x2 + 4)2

(e)

ˆ ∞2

lnx

xdx

(f)

ˆ 1

0

dx√1− x

(g)

ˆ ∞0

dx

x lnx

(h)

ˆ ∞0

2e−θ sin θdθ

2. Analice la convergencia de:

(a)

ˆ ∞1

dx√x3 + 1

(b)

ˆ ∞0

x2dx

x4 + 1

(c)

ˆ ∞1

e−x

x2dx

(d)

ˆ ∞0

sin(2x)dx

x2 + 1

(e)

ˆ ∞1

x+ 1

x3 + ln(x3 + 1)dx

(f)

ˆ 1

0

dx√1− x

(g)

ˆ 1

0

dx

x+√x

(h)

ˆ π2

0

e−x cosx

xdx

(i)

ˆ π

0

dx

1− cosx

(j)

ˆ π

0

1− cosx

x2dx

3. Considere la función f(x) =

β

θ

(xθ

)β−1exp

(−(xθ

)β)x > 0

0 x ≤ 0, donde θ 6= 0 y β > 1 . Demuestre que

ˆ ∞−∞

f(x)dx = 1

2

4. La Transformada de Laplace de una función f(t) se de�ne por L(f(t)) =

ˆ ∞0

f(t)e−stdt. Utilizando esta información,

demuestre que con s > a

L(eat) =1

s− a

5. La función Gamma Γ :]0,∞[→ R se de�ne por:

Γ(n) =

ˆ ∞0

xn−1e−xdx , n ∈ N

(a) Calcule Γ(1) y Γ(2)

(b) Use integración por partes para mostrar que Γ(n+ 1) = nΓ(n)

(c) Deduzca a partir de lo anterior el valor de Γ(10) y además que Γ(n+ 1) = n!

(d) Demuestre que

ˆ 1

0

(ln

(1

u

))n−1du = Γ(n)

6. -

(a) Calcule I =

ˆe−λx cos(αx)dx

(b) Demuestre que

ˆ ∞0

e−λx cos(αx)dx =λ

λ2 + α2, λ > 0 , α 6= 0 y λ2 + α2 6= 0

(c) Analice la convergencia de

ˆ ∞0

e−λxdx

sec(αx) ·(π

2+ arctanx

)7. En teoría eléctrica aparecen expresiones del tipo P =

ˆ ∞0

Ri2dt , donde i = Ie−RtL , t es el tiempo y R ,I , L son

todos parámetros positivos. Determine el valor de P .

8. Use el cambio de variable y =1

1− xpara calcular

ˆ 1

0

ln

(1

1− x

)dx

9. Determine el valor de la integral

ˆ 5

−1

dx√|x− 1|

10. Determine un a ∈ R+ para que se cumpla la igualdad:

ˆ ∞a

arctan(x4

)16 + x2

dx =π2 − 4

32

11. Este ejercicio tiene por objetivo mostrar que

ˆ ∞−∞

f(x)dx 6= limb→∞

ˆ b

−bf(x)dx

(a) Demuestre que

ˆ ∞0

2x

x2 + 1dx diverge.

(b) A partir de lo anterior, demuestre que

ˆR

2x

x2 + 1dx también diverge.

(c) Con ello, pruebe que limb→∞

ˆ b

−b

2x

x2 + 1dx = 0 , concluya.

12. Para cada x > 0 , sea G(x) =

ˆ ∞0

e−xtdt . Demuestre que xG(x) = 1

13. Recuerde que Γ(p) =

ˆ ∞0

xp−1e−xdx y que β(p, q) =

ˆ 1

0

xp−1(1− x)q−1dx , con sus respectivas propiedades. Use

el cambio z = sin2 x y la función beta, para calcular el área de la región acotada por las curvas y = sin4 x cos2 x ,y = 0 , x = 0 , x = π

2 .

3

14. Use que

ˆ ∞0

e−x2

dx =

√π

2, para determinar el volumen generado por la región comprendida por f(x) = e−

x2

2 y la

recta y = 0 al girar en torno al eje X.

15. Demuestre que

ˆ ∞0

eλx

1 + eµxdx converge si µ > λ y diverge si µ ≤ λ (indicación: use z = ex)

16. Dado n ≥ 1 , se de�ne fn : [1,∞[→ R tal que fn(x) =n+ 1

n

ˆ ∞x

dt

t2+1n

(a) Pruebe que fn(x) =1

x1+1n

(b) Calcule limn→∞

fn(x)

17. Determine para qué valores de p ∈ R la integral impropia

ˆ ∞3

dx

x lnx · (1 + ln (lnx))p converge.

18. Gra�que la curva y = e−x , con x ∈ [0,∞[ . Considere los rectángulos Rn cuya base es el intervalo [n, n + 1] paran = 1, 2, 3, ... y su altura es e−(n+1). Calcule A− S , donde:

• A ={

(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0 ; 0 ≤ y ≤ e−x}

• S =

∞∑n=0

Rn

19. -

(a) Analice brevemente el comportamiento de la curva f(x) =1

x2 − 1para x > 1

(b) Calcule el área de la región del plano que se encuentra a la derecha de la recta x = 3 y acotada por el eje X yla curva f(x)

20. -

(a) Pruebe que las integrales

ˆ 2

1

dx

x ln2 xy

ˆ 2

1

dx

(x− 1)2divergen.

(b) Pruebe que

ˆ ∞1

(1

x ln2 x− 1

(x− 1)2

)dxconverge y encuentre su valor

21. Se tiene la función f(x) = xe−2x2

(a) Analice complétamente la función f y esboce elgrá�co de ésta

(b) Para la región R = {(x, y) : x ≥ 0 ; 0 ≤ y ≤ f(x)}i. Calcule el área de la región R

ii. Obtenga el volumen al rotar la región R en torno al eje OX (indicación:

ˆ ∞0

e−x2

dx =

√π

2)

22. Considere la función f(x) =1

2e−|x|

(a) Calcule, si es que existe,

ˆRf(x)dx

(b) Si F (x) =

ˆ x

−∞f(u)du , sin resolver la integral, determine:

i. Dom(F )

ii. Signo de F

(c) Responda la pregunta anterior, resolviendo la integral.

(d) Generalice el Teorema Fundamental del Cálculo, para cacular F ′(x). Analice la existencia de puntos críticos yel crecimiento de F

4

(e) Calcule F ′′(x) y analice su curvatura

(f) Determine si existen asíntotas horizontales y verticales de F

(g) Deduzca que 0 ≤ F (x) ≤ 1

(h) Calcule, si es que existen:

i.´R xf(x)dx

ii.´R x

2f(x)dx

23. Demuestre que:

(a)

ˆ 1

0

lnn xdx = (−1)nn!

(b)

ˆ ∞0

xne−xdx = n!

24. Encuentre a y b ∈ R tal que:

ˆ ∞1

(2x2 + bx+ a

x(2x+ a)− 1

)dx = 1

25. Comente si es cierto o falso las siguientes aseveraciones:

(a) limh→0+

(ˆ h

−1

dx

x+

ˆ 1

h

dx

x

)= 0

(b) limh→∞

ˆ h

−hsinxdx = 0

26. Calcule

ˆ ∞0

1

x2(A1e

−a1x +A2e−a2x +A3e

−a3x)dx sabiendo que A1 +A2 +A3 = 0 y que A1a1 +A2a2 +A3a3 = 0.

27. Demuestre que si b > |a| , entoncesˆ ∞−∞

dx

x2 + 2ax+ b=

π√b2 − a2

28. Determine el valor de p para que

ˆ ∞0

dx

(x2 + p2)(x2 + 4)=

π

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