Ejercicios resueltos

VECTORES

1. Dados los siguientes vectores: ; y .

Determinar:

a)

b)

c)

d)

e) El ngulo que forma el vector con cada uno de los ejes coordenados.

f) El ngulo entre los vectores: y

Solucin:

a)

b)

c)

d) =

e) ngulos que forma con los ejes coordenados

Con el eje X :

Con el eje Y :

Con el eje Z :

f) Angulo entre los vectores

2. Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la direccin 30 respecto al semieje positivo de las x.

Solucin:

Ligamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo proyectamos en cada uno de los semieje

de donde

de donde

3. Sumar los vectores a y b de la siguiente figura

Solucin:

Se aplica el teorema de Pitgoras

4. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1 = 5N al Sur. F2 = 10N 30 al Sur-Este y F3 = 7N 45 al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la direccin a donde se mueve.

Solucin:

Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de coordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares

Ahora se calculan las Fx y Fy , entonces

Luego se calcula la fuerza resultante, aplicando teorema de Pitgoras

Calcular la direccin

Grafica de la solucin

5. Un vector M de magnitud 15 unidades, y otro vector N de magnitud 10 unidades se encuentran formando un ngulo de 60. Encontrar el producto escalar y el producto vectorial. Sol: PE = 75 unidades y PV = 129,9 unidades.6. Cuatro vectores fuerzas coplanarios estn aplicadas a un cuerpo en un punto 0, como lo indica la figura. Hallar grficamente su resultante.

7. Dados los vectores A (2,4,-2); B (-1,3,2), determina:

a. Expresa dichos vectores en funcin de sus componentes rectangulares.

b. Determina el vector suma y su mdulo.

c. Calcula el vector V= 2A-B y su mdulo.

8. Dados los vectores: A (2,-1,2) B (4,0,-2)C (0,0,1)a) Expresa dichos vectores en sus componentes cartesianas.b) Determina el vector D= A +1/2 B C.c) Efecta el producto escalar de A y B.

9. Dados los vectores A(3,0,-1) y B(0,-2,0) determina:

d. El producto escalar

e. El producto vectorial.

10. Exprese los vectores A, B, C , D , E y F en trminos de los vectores unitarios. En la figura cada cuadrado es una unidad.

A

11. Dados A(5,3,4) y B=6i-j+2k, calcular:

a) su producto escalar

b) el ngulo que forman

c) los cosenos directores del vector B.

CINEMATICA1. Un cuerpo que se mueve con velocidad constante de 3 m/s, se encuentra situado a 15 m a la derecha del origen cuando comienza a contarse el tiempo. Escribe las ecuaciones que describen su movimiento.

Solucin:

Ecuaciones generales para el movimiento rectilneo y uniforme:

Valores de y v para este caso:

Ecuaciones particulares para este movimiento:

2. El movimiento de un cuerpo obedece a la ecuacin siguiente: Indica el tipo de movimiento del cuerpo y realiza un esquema de su trayectoria.

a) Qu aspecto tendrn las grficas s/t y v/t?

b) Cunto tiempo tardar en pasar por el origen?

Solucin:

El cuerpo se mueve con movimiento rectilneo y uniforme (M.R.U), ya que la ecuacin s/t es del tipo , siendo los valores de las constantes, para este caso: el signo menos se debe a que inicialmente se encuentra situado a la izquierda del origen.

v = 5 m/s el signo positivo nos indica que se mueve hacia la derecha.

a) Graficas

c) Cuando pase por el origen se cumplir

3. Dado el siguiente esquema

a) Escribir las ecuaciones que describen el movimiento de los puntos considerados.

b) A qu distancia del origen se encuentran?

Solucin:

a) Para el punto A:

Luego:

Para el punto B:

Luego:

b) Cuando se encuentren, ambos estarn situados a la misma distancia del origen. Es decir:

Se encuentran al cabo de 10s.

Para saber a que distancia del origen se encuentran, sustituimos el valor obtenido para el tiempo en cualquiera de las ecuaciones, entonces , luego se encuentran a 40 m a la izquierda del origen.

4. Un golfista logra un hoyo en uno en tres segundos despus de que la pelota fue golpeada. Si la pelota viaj con una rapidez promedio de 0.8 m/s, Cuan lejos se encontraba el hoyo?

Solucin:

5. Dos corredores A y B parten del mismo lugar. A parti 30 segundos antes que B con una velocidad constante de 5 m/s. B sigue la misma trayectoria con una velocidad constante de 6 m/s. A qu distancia del punto de partida el corredor B alcanzar a A?

Solucin:Distancia recorrida por A = Distancia recorrida por B.

El corredor B alcanzar al corredor A a los 900 m del punto de partida.

6. Un vehculo parti del reposo con una aceleracin constante y al cabo de 4s alcanz una rapidez de 20m/s. Suponiendo que el vehculo adquiri un MRUA, calcular su aceleracin y la distancia que recorri durante esos 4s.

Solucin:

7. Un pasajero que va a tomar el autobs observa que justo cuando le faltan 30 m para llegar a la parada, el vehculo emprende la marcha con una aceleracin de 0,3 m/s2. Justo en ese momento, el peatn va corriendo hacia el autobs con velocidad constante de 6 m/s.

a) Haz un dibujo de la situacin indicando donde tomas el punto de referencia.

b) Escribe las ecuaciones del movimiento del pasajero (ecuacin de la posicin) y del autobs (ecuacin de la posicin y de la velocidad).

c) Conseguir alcanzar el pasajero al autobs?. En caso afirmativo, indica cuando y donde. Interpreta el resultado

Solucin:

a)

b) Pasajero: Se mueve con velocidad constante de 6 m/s y pasa por el origen cuando arranca el autobs. La ecuacin de su movimiento es:

Autobs: Se mueve con un movimiento uniformemente acelerado partiendo del reposo (vo = 0). Al iniciar el movimiento se encuentra a 30 m a la derecha del origen, es decir so =+30m.

La ecuacin del movimiento es:

La ecuacin de la velocidad es:

c) Conseguir alcanzar al autobs si se encuentran en la misma posicin al mismo tiempo. Vamos a hallar el tiempo que tiene que transcurrir para que el pasajero y el autobs se encuentren en la misma posicin, es decir, para que SPASAJERO = SAUTOBS.

Es una ecuacin completa de segundo grado:

La resolvemos:

Interpretamos el resultado:

Los dos tiempos son positivos luego los dos son posibles.

Cmo puede ser esto?. El pasajero alcanza al autobs a los 5,9 s y se sube (si el conductor se da cuenta y para). Si no lo hiciera, adelantara al autobs pero como ste va aumentando su velocidad con el tiempo, alcanzara al pasajero a los 34,1 s.

Vamos a suponer que se sube en la primera oportunidad.

Qu espacio habr recorrido? Sustituimos en la ecuacin del movimiento del pasajero o del autobs el tiempo por 5,9s: (A 35, 4 metros de la posicin inicial del pasajero, es decir, del origen).

8. En el instante que un automvil parte del reposo con aceleracin constante de 2m/s2 , otro automvil pasa a su lado con velocidad constante de 10m/s. Calcular:

a) al cabo de cuanto tiempo, el primero vuelve a alcanzar al segundo

b) Qu velocidad tendr en ese momento el primer auto?

Solucin:

a) En el instante que el automvil alcanza al tractor, los dos vehculos han realizado el mismo desplazamiento (x. Si representamos con la letra A al tractor y con la letra B al automvil, nos queda:

Al cabo de 10s el primer mvil vuelve a alcanzar el segundo.

b)

El primer mvil tiene una velocidad de 20m/s al momento de ser nuevamente alcanzado.9. Desde una altura de 50m se deja caer una piedra. Calcular el tiempo que utiliza para llegar al suelo.

Solucin:

10. Desde una altura de 25m se deja caer una piedra. Otra es lanzada verticalmente hacia abajo un segundo despus que se solt la primera. Las dos llegan al suelo al mismo tiempo. Calcular la velocidad inicial de la segunda piedra.

Solucin:

1 piedra:

2 piedra:

Con la primera piedra se va a calcular el tiempo que utilizan ambas para llegar al suelo, el cual es el tiempo final

Velocidad inicial de la segunda piedra

11. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial ; despreciando la resistencia del aire, determine:

a) La velocidad del cuerpo al cabo de 10s

b) La velocidad del cuerpo al cabo de 30s

c) La posicin del cuerpo a los 15s del lanzamiento

d) La altura mxima que puede alcanzar

e) El tiempo de subida

Solucin:a)

b) el signo menos significa que el cuerpo viene en direccin contraria a la inicial, o sea que ya viene descendiendo

c)

d) La mxima altura se alcanza cuando la , entonces:

despejando de est frmula ( t ), el tiempo de subida se obtiene, cuando la , luego

DINAMICA

1. 2 fuerzas contrarias actan sobre un cuerpo como indica la figura. Plantear la 2da ley de Newton.

Si tengo 2 fuerzas que actan sobre el objeto, tengo que plantear que la suma de las fuerzas es m.a. Ahora. Ojo. La fuerza de 10 es positiva porque va como la aceleracin, y la fuerza de 5 es negativa porque va en sentido contrario.

2. Calcular la aceleracin del cuerpo. Masa del cuerpo 10 Kg.

El cuerpo va a acelerar para la derecha porque la fuerza 20 N es mayor que la suma de las otras dos ( 15 N ). Planteo la 2da ley:

3. Construir los diagramas de cuerpo libre en los siguientes casos3.1. Cuerpo apoyado sobre el piso:

3.2. Cuerpo que cuelga de una soga.

3.3. Cuerpo que es elevado hacia arriba con aceleracin a.

Grua

3.4. Dos cuerpos unidos por una soga que son arrastrados por una fuerza F.

Del cuerpo 1 se obtiene: Tc = m1. aDel cuerpo 2 se obtiene: F-Tc = m2.a3.5. Dos cuerpos que pasan por una polea.

3.6. Sistema de dos cuerpos que caen, uno est en un plano horizontal y el otro cuelga de la soga.

4. Un hombre arrastra una caja que pesa 20 Kgf. Calcular la fuerza de rozamiento entre el piso y la caja. Dato: (d piso-caja = 0,3.5. Calcular la aceleracin del sistema de la figura y la tensin en la cuerda.

Para cada diagrama se plantea la ecuacin de Newton. Ahora se resuelve el sistema de ecuaciones:

T froz d + PB T = mA. a + mB. a

froz d + PB = ( mA + mB ). a

49 N 19,6 N = 15 kg . a

15 kg . a = 29,4 kg.m/s2

a = 1,96 m/s2Conocida la aceleracin se calcula ahora la tensin:

6. Calcular con qu aceleracin cae un cuerpo por un plano inclinado de ngulo alfa.( No hay rozamiento ).

( F en el eje X = m . a en el eje X

( a = g . sen ( 7. Para el sistema de la figura calcular la aceleracin del sistema y la tensin en la cuerda. ( No hay rozamiento ).

Para resolver el problema se hace el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que intervienen:

Para cada diagrama se plantea la ecuacin de Newton:

Del sistema de ecuaciones despeja las incgnitas

Conocida la aceleracin se calcula la tensin en la cuerda:

8. Calcular la aceleracin de los cuerpos y la tensin en la soga para el sistema de la figura. (No hay rozamiento).

Del sistema de ecuaciones se despejan las incgnitas T PA. sen 30 = m A . a

P B. sen 45 T = m B . a

T P A . sen 30 + P B. sen 45 T = m A . a + m B . a

:

P A . sen 30 + P B. sen 45 = ( m A + m B ) . a

a = - 0,357

La aceleracin dio negativa por tal motivo el sistema se mueve en sentido contrario al asumidoConocida la aceleracin se calcula la tensin

T PA . Sen 30 = m A . a

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Fuerza que el piso ejerce sobre

el cuerpo. ( se llama normal )

Fuerza que ejerce La Tierra

sobre el cuerpo. ( se llama peso ).

Diagrama de cuerpo libre.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

11

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

ACELERACION

DE CAIDA

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

T

Px

T

m

a

m

a

B

A

B

m

Px

m

a

B

A

B

m

g

sen

30

m

m

a

B

A

B

m

5

Kg

10

s

0

.

5

10

Kg

5

Kg

a

2

m

2

5

Kg

s

15

Kg

a

2

a

1

,

6

m

s

2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Diagramas de cuerpo libre.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

ACELERACION

DEL SISTEMA

EMBED Equation.3

_1268593450.unknown

_1270438173.unknown

_1270455435.unknown

_1270469931.unknown

_1270541037.unknown

_1270541072.unknown

_1270541135.unknown

_1270541152.unknown

_1270541100.unknown

_1270541055.unknown

_1270470502.unknown

_1270539746.unknown

_1270540424.unknown

_1270540807.unknown

_1270538909.unknown

_1270470157.unknown

_1270457667.unknown

_1270469535.unknown

_1270469877.unknown

_1270458314.unknown

_1270455437.unknown

_1270455438.unknown

_1270455436.unknown

_1270450060.unknown

_1270453958.unknown

_1270455434.unknown

_1270455433.unknown

_1270450151.unknown

_1270445897.unknown

_1270447136.unknown

_1270447109.unknown

_1270445517.unknown

_1270436921.unknown

_1270437450.unknown

_1270437468.unknown

_1270437889.unknown

_1270437459.unknown

_1270437182.unknown

_1270437440.unknown

_1270437140.unknown

_1270436836.unknown

_1270436875.unknown

_1270436884.unknown

_1270436866.unknown

_1268594305.unknown

_1268622577.unknown

_1270410482.unknown

_1268593926.unknown

_1268586369.unknown

_1268586746.unknown

_1268587899.unknown

_1268589912.unknown

_1268591067.unknown

_1268587936.unknown

_1268587775.unknown

_1268587807.unknown

_1268587766.unknown

_1268586496.unknown

_1268586533.unknown

_1268586568.unknown

_1268586510.unknown

_1268586393.unknown

_1268586429.unknown

_1268586379.unknown

_1268586133.unknown

_1268586279.unknown

_1268586298.unknown

_1268586309.unknown

_1268586288.unknown

_1268586205.unknown

_1268586214.unknown

_1268586152.unknown

_1047039042.unknown

_1268585831.unknown

_1268585853.unknown

_1268585885.unknown

_1268585895.unknown

_1268585841.unknown

_1268585772.unknown

_1268585782.unknown

_1268585758.unknown

_1054582873.unknown

_1044372660.unknown

_1044525964.unknown

_1044688627.unknown

_1047020992.unknown

_1046725460.unknown

_1044526577.unknown

_1044443124.unknown

_1044445394.unknown

_1044461029.unknown

_1044463804.unknown

_1044444307.unknown

_1044372678.unknown

_1044307045.unknown

_1044307302.unknown

_1044297858.unknown