Guía de Ejercicios Optimización 2012-2 (1).pdf

Gua de Ejercicios Optimizacin

Preparado por Felipe Quezada C.

2 Semestre 2012.

Universidad de Santiago de Chile

Departamento de Ingeniera en Minas


2

EJERCICIOS PEP 1

PROBLEMA #1

Una fbrica de jugos de 1 litro (1000 cc) desea lanzar al mercado una nueva variedad de jugo.

Para ello, disponen de 4 ingredientes base. La nueva variedad apuntar a conservar un balance

alimenticio, debiendo contener al menos un 15% de vitamina C, y a lo ms un 30% de potasio.

Existe adems una relacin entre los betacarotenos y la vitamina A que impone lo siguiente: la

cantidad de vitamina A debe ser, cuando menos, un tercio de los betacarotenos. Adems, la

vitamina A no puede superar el 35% del contenido del jugo.

El costo por adquirir los ingredientes, los lmites de los pedidos por da, y los aportes porcentuales

de cada componente a los ingredientes por unidad se resumen en la siguiente tabla:

Potasio Vitamina C Vitamina A Betacarotenos Costo [$/u] Lmite [u]

Ingrediente 1 20% 15% 30% 35% 25 6

Ingrediente 2 5% 40% 10% 45% 13 9

Ingrediente 3 35% 20% 25% 20% 10 8

Ingrediente 4 15% 25% 35% 25% 20 5

Tabla 1: Disposicin de Ingredientes para el Problema #1

FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programacin lineal que permita minimizar los

costos, cumpliendo con todos los requerimientos. Considere, para tal caso, que cada unidad son

100 cc. Defina claramente variables, funcin objetivo y restricciones.

SOLUCIN: Primero formulamos las variables del modelo. Sea la cantidad de unidades del

ingrediente para la nueva variedad ( ). Como se desea minimizar los costos, la funcin

objetivo estar dada por:

( )

Ahora veamos las restricciones. En la nueva variedad, la combinacin de los 4 ingredientes debe

conformar una unidad de jugo, por lo cual la primera restriccin se define de la siguiente manera:

( ) ( )

En el caso de la mezcla separamos por ingrediente. Para la vitamina C, la suma de las cantidades

de los ingredientes conforma, por lo menos, un 15% del juego (que son 150 cc). Por lo tanto:

Para el potasio, la suma de las cantidades de cada ingrediente no puede superar el 30% del total

del juego (que son 300 cc). Luego:

Para la vitamina A, esta suma debe ser al menos 1/3 de los betacarotenos. Por lo tanto:




3

( )

De manera simplificada:

Adems, la contribucin de la vitamina A no debe superar el 35% del jugo (350 cc). Por ende:

Por ltimo, para los lmites diarios, tenemos:

Naturalmente. . El modelo es entonces el siguiente:

( )

( )

PROBLEMA #2

Formule y resuelva adecuadamente el siguiente problema de programacin lineal. La primera

iteracin debe ser realizada mediante el algoritmo smplex. La segunda y siguientes efectuarlas

empleando el mtodo smplex revisado o matricial:

( )

SOLUCIN: Primero hacemos el cambio de variable , a fin de tener slo variables no

negativas. Reescribiendo el PPL en forma estndar, se tiene:




4

( )

El problema debe resolverse en dos fases. La fase 1 minimizar la funcin objetivo ( )

. Procedemos en la primera iteracin mediante el algoritmo smplex. La tabla de inicio para este

problema es la siguiente. Observe que se han marcado en la tabla la inversa respectiva, as como

el elemento pvot para la respectiva iteracin:

V.B ( )

-4 1 -7 -3 0 1 0 0 50 50

3 2 2 4 0 0 1 0 150 75

1 0 4 2 -1 0 0 1 10 ---

5 -1 -1 -1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 1 0

3 -1 3 1 1 0 0 0 -60

Entra ; sale . Primera iteracin:

V.B ( )

-4 1 -7 -3 0 1 0 0 50 50/7

11 0 16 10 0 -2 1 0 50 25/8

1 0 4 2 -1 0 0 1 10 5/2

1 0 -8 -4 0 1 0 0 50

-1 0 -4 -2 1 1 0 0 -10

Entra , sale .

Las siguientes iteraciones deben hacerse mediante el algoritmo smplex revisado. De la tabla

anterior reconocemos la matriz inversa de esta primera iteracin:

(

)

Como ya definimos el pvot y las variables de entrada y salida a partir de la tabla anterior, podemos

calcular inmediatamente la matriz :

(

)

(

)




5

Calculamos para dar inicio a la segunda iteracin:

(

)

(

)

(

)

Construimos una pequea tabla para verificar el orden de las variables bsicas:

V.B. ( )

(

)

Calculamos los valores duales para esta iteracin:

( ) ( )

(

)

( )

Calculamos los coeficientes (o costos) reducidos para esta iteracin:

( )

Luego:

( ) ( ) ( ) (

)

Por lo tanto:

( ) ( )

Como todos los coeficientes reducidos de la funcin objetivo w son nulos, hemos llegado al ptimo

para la fase 1. Como y son no bsicas, y por tanto nulas, se tiene que ( ) ,

por lo que existe un espacio de soluciones factible para el PPL original en la fase 2.

Ahora debemos calcular los valores duales para la funcin objetivo z en la fase 2 (iteracin 2).

Verificando el orden de las variables bsicas:

V.B. ( )

(

)




6

Por lo tanto:

( ) ( )

(

)

( )

Calculamos los costos reducidos:

( )

Luego:

( ) ( ) ( ) (

)

Por lo tanto:

( ) ( )

Como el coeficiente reducido de en la funcin objetivo es negativo, an no estamos en el ptimo.

Se tiene que es la variable de entrada para la tercera iteracin, porque tiene el coeficiente ms

negativo en la fila objetivo. Calculamos entonces las columnas y ( ) para determinar la

variable de salida y el elemento pvot:

(

) (

) (

)

( )

( ) (

) (

) (

)

Por lo tanto:

V.B. ( )

135/2 -7/4 (135/2):(-7/4) = -270/7 Ignorar

10 4 10/4 = 5/2 Mnimo

5/2 -1/4 (5/2):(-1/4) = -10 Ignorar

Tabla 2: Clculo de los elementos para el Problema #2

La variable de salida es entonces . El pvot corresponde a 4.




7

Calculamos la matriz inversa :

Donde:

(

(

)

(

) )

(

)

Entonces:

(

)

(

)

(

)

Verificamos el orden de las variables bsicas:

V.B. ( )

(

)

Calculamos los valores duales:

( ) ( )

(

)

(

)


( )

Luego:

( ) ( ) (

) (

)

Por lo tanto:




8

( ) (

)

Como ahora todos los coeficientes reducidos son no negativos, hemos llegado al ptimo.

Calculamos entonces para encontrar la solucin ptima de este problema:

(

) (

) (

)

Por lo tanto, la solucin ptima es

y

. El resto de las variables son nulas.

Reemplazando estos valores en la funcin objetivo se obtiene ( ) , con lo cual

( ) .

PROBLEMA #3

Considere el problema de programacin lineal cuyo tableau final (ptimo) es el siguiente. Asuma

que Si es la variable de holgura para la restriccin i.

V.B. X1 X2 X3 X4 S1 S2 b

X1 1 -5 4 13 5 0 7

S1 0 2 1 6 10 1 3

-Z 0 3 1 8 4 0 76

a) Cules son las variables bsicas?

b) Cules son las variables no bsicas?

c) Cul es la solucin ptima?

d) Qu puede decir acerca de las restricciones 1 y 2? Cules son las unidades adicionales?

SOLUCIN: Tenemos:

a) Las variables bsicas son y .

b) Las variables no bsicas estn conformadas por el resto de variables que no se encuentran en

la base: son no bsicas.

c) La solucin ptima es . Su valor es ( ) .

d) En ambas restricciones hay variables de holgura asociadas. El recurso asociado a la primera

restriccin se considera abundante, porque no se ha consumido del todo, ya que la variable de

holgura asociada, , es mayor que cero. El recurso asociado a la segunda restriccin se

considera escaso, porque su holgura es nula.




9

PROBLEMA #4

Una fbrica de ropa produce tres lneas de trajes: jeans, franela y amasado. La ropa es vendida en

lotes de 100 trajes de cada tipo. Cada lote pasa a travs de tres procesos: corte, cosido y

empaque. La planta dispone de 16 cortadores como mximo, 41 mquinas de coser como mximo

y debe ocupar a 10 empacadores (no ms no menos). Los requerimientos para producir un lote de

100 trajes de cada tipo y las utilidades asociadas, se presenta a continuacin:

Requerimientos de Produccin y Utilidad Jeans Franelas Amasados

Cortadores [Personas/Lote] 4 2 1

Mquinas de Coser [Mquinas/Lote] 1 2 1

Empacadores [Personas/Lote] 1 1 1

Utilidad [$/Lote] 400 200 300

Tabla 3: Requerimientos de produccin y utilidad para el Problema #4

FORMULE un modelo de programacin lineal que permite maximizar las utilidades de la fbrica.

Defina claramente variables, funcin objetivo y restricciones. A continuacin, RESUELVA el modelo

que plante utilizando el mtodo que ms le acomode.

SOLUCIN: El objetivo de la fbrica es determinar las cantidades de cada lote de ropa a fabricar,

de tal forma que stos maximicen las utilidades. Sea la cantidad de lotes de ropa a fabricar del

tipo . De la tabla, podemos obtener inmediatamente la funcin objetivo:

( )

Las restricciones del problema estn asociadas al lmite de recursos impuesto por la fbrica en

funcin de la cantidad de cortadores, mquinas de coser y personal encargado de empacar. As,

se tiene lo siguiente:

Cortadores:

Mquinas de coser:

Personal de empaque:

El modelo completo es entonces:




10

( )

El modelo puede resolverse utilizando cualquier mtodo. En este caso particular, podemos hacer

un arreglo algebraico sencillo que permita solucionarlo mediante el mtodo grfico. De la tercera

restriccin, despejamos, con lo cual resulta ( ). Reemplazando en el PPL,

obtenemos:

( )

El espacio de soluciones factible (ESF) de este problema es el siguiente:

Figura 1: ESF del Problema #4

Notemos que los nicos puntos candidatos a solucin ptima de este problema son A y B.

Evaluando la funcin objetivo se obtiene que el punto esquina ptimo es B, dado por lotes

de jeans, resultando no rentable fabricar lotes de franela (porque ). Reemplazando lo anterior

en el modelo original, se obtiene que lotes de amasados. La utilidad mxima que percibe la

fbrica es de ( ) unidades monetarias.




11

PROBLEMA #5

Escriba el DUAL del siguiente problema. Verifique que el dual del dual es el problema original.

( )

( )

SOLUCIN: Del primal, tenemos que:

Debemos hacer entonces dos cambios de variable: y

. Reemplazando

en , se tiene:

La ltima expresin podemos fragmentar en dos restricciones independientes: y

.

Adems, la expresin tambin podemos fragmentarla en dos restricciones

independientes: y .

Escribimos entonces el problema primal en forma cannica (primal simtrico):

( )




12

Construimos ahora el problema dual. Notemos que, a partir de la definicin, el dual tendr 8

variables y 5 restricciones. Adems, la variable dual es no restringida, mientras que el resto son

no negativas.

( )

La comprobacin de que el dual del dual es el primal es obvia, y se deja como ejercicio al lector.

PROBLEMA #6

La compaa minera FERROJAC CHILE tiene dos operaciones mineras que alimentan de mineral

de hierro a una sola planta. Cada mina tiene dos reas de las cuales puede extraer el mineral. La

ley alimentada a planta debe ser mayor que 35% Fe, y debe ser menor que 12% Si. La planta

requiere al menos 45.000 toneladas, pero no puede manejar ms de 60.000. El mercado interno

requiere que al menos 12.000 toneladas de Fe deben estar disponibles para el consumo asumir

un 90% de recuperacin en el proceso. La razn promedio de estril/mineral determinada para las

operaciones de extraccin mineral tiene un valor de 3,5.

Dado los datos que se indican, FORMULAR (no RESOLVER) un modelo de programacin lineal, el

cual permita obtener un plan minero de produccin que cumpla las restricciones operacionales y

permita minimizar la desviacin de la razn estril/mineral total.

Mina rea Reservas

(toneladas) % Fe % Si

Razn

Estril/Mineral

Cerro

GRANATE

Norte 20.000 40 17 3,0

Lomas 10.000 30 10 2,0

Lomas

BAYAS

Sur Sur 15.000 40 11 4,0

Alberta 30.000 35 13 5,0

Tabla 4: Detalle de las reservas y leyes de FERROJAC Chile

SOLUCIN: Primero definimos las variables del problema:

: Produccin Cerro Granate, rea Norte

: Produccin Cerro Granate, rea Lomas

: Produccin Lomas Bayas, rea Sur Sur

: Produccin Lomas Bayas, rea Alberta




13

Para este problema, es muy til la elaboracin de un diagrama que muestre el proceso en

cuestin:

Figura 2: Esquema del proceso que se debe modelar en el Problema #6

Ahora veamos las restricciones del problema. En cuanto a las capacidades de la planta, como sta

debe recibir al menos 45.000 toneladas y no ms 60.000 toneladas, se tendr:

Si el mercado interno requiere de, al menos, 12.000 toneladas de Fe, entonces el 90% de la

produccin que llega a planta, en trminos del Fe, debe conformar como mnimo, este tonelaje.

Luego:

( )

Se debe agregar que los sectores de produccin tienen como limitante a sus reservas totales.

Luego:

Por ltimo, la planta debe recibir como mnimo una ley del 35% de Fe y, a lo ms, una ley del 12%

de Si. Luego, tenemos lo siguiente:

( )

( )

Ahora veamos la funcin objetivo. Como se requiere minimizar la desviacin de la razn estril

mineral, se tendr:

( ) ( ) ( )

Planta

Ley de Fe 35% Ley de Si 12%




14

El modelo completo es entonces:

( )

( )

,

( )

( )

PROBLEMA #7

Resuelva el siguiente problema de programacin lineal, empleando el mtodo smplex para la fase

1, y el mtodo smplex revisado para la fase 2:

( )

SOLUCIN: Se debe reescribir el PPL en forma estndar. Se tiene entonces:

( )

El problema debe resolverse en dos fases. La fase 1 minimizar la funcin objetivo ( )

. Procedemos en la primera fase mediante el algoritmo smplex. La tabla de inicio para este

problema es la siguiente:

V.B. ( )

-3 1 -5 -3 1 0 0 0 400 400

-3 2 2 4 0 1 0 0 1500 750

1 0 4 2 0 0 1 -1 120 ---

-2 -1 -1 -1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0

2 -1 1 1 0 0 0 1 -520




15

Entra , sale . Primera iteracin.

V.B. ( )

-3 1 -5 -3 1 0 0 0 400 ---

3 0 12 10 -2 1 0 0 700 175/3

1 0 4 2 0 0 1 -1 120 30

-5 0 -6 -4 1 0 0 0 400

-1 0 -4 -2 1 0 0 1 -120

Entra , sale . Segunda iteracin.

V.B. ( )

-7/4 1 0 -1/2 1 0 5/4 -5/4 550 ---

0 0 0 4 -2 1 -3 3 340 ---

1/4 0 1 1/2 0 0 1/4 -1/4 30 120

-7/2 0 0 -1 1 0 3/2 -3/2 580

0 0 0 0 1 0 1 0 0

Entra , sale . Como ( ) , con , entonces existe un ESF para el

PPL en la fase 2. Procedemos entonces mediante el mtodo smplex revisado en dicha fase. La

matriz inversa de la presente iteracin es:

(

)

Como ya definimos el pvot y las variables de entrada y salida a partir de la tabla anterior, podemos

calcular inmediatamente la matriz :

(

)

(

)

Luego calculamos para dar inicio a la cuarta iteracin:

(

)

(

)

(

)

Construimos una pequea tabla para verificar el orden de las variables bsicas:




16

V.B. ( )

(

)

Calculamos los valores duales para esta iteracin:

( ) ( ) (

) ( )


( )

Luego:

( ) ( ) ( ) (

)

Por lo tanto:

( ) ( )

Como el coeficiente reducido de en la funcin objetivo es negativo, an no estamos en el ptimo.

Se tiene que es la variable de entrada para la tercera iteracin, porque tiene el coeficiente ms

negativo en la fila objetivo. Calculamos entonces las columnas y ( ) para determinar la

variable de salida y el elemento pvot:

(

) (

) (

)

( )

( ) (

) (

) (

)

Por lo tanto:

V.B. ( )

760 -3 760:(-3) = -253.33 Ignorar

340 3 340:3 = 113.33 Mnimo

120 -1 120:(-1) = -120 Ignorar

Tabla 5: Clculo de los elementos para el Problema #7




17

La variable de salida es entonces . El pvot corresponde a 3.

Calculamos la matriz inversa :

Donde:

(

)

(

)

Entonces:

(

)

(

)

(

)

Verificamos el orden de las variables bsicas:

V.B. ( )

(

)

Calculamos los valores duales:

( ) ( ) (

) ( )


( )

Luego:

( ) ( ) (

)

Por lo tanto:




18

( ) (

)

Como ahora todos los coeficientes reducidos son no negativos, hemos llegado al ptimo.

Calculamos entonces para encontrar la solucin ptima de este problema:

(

) (

) (

)

Por lo tanto, la solucin ptima es , y . Reemplazando estos

valores en la funcin objetivo se obtiene ( ) , con lo cual ( ) .

PROBLEMA #8

Un florista sabe hacer slo dos tipos de arreglos florales, para los cuales dispone de 3 tipos

distintos de flores: rosas, tulipanes e ibizcos. Los requerimientos de flores para cada arreglo, la

disponibilidad de flores y los requerimientos de cada arreglo vienen dados en la siguiente tabla:

FLORES Arreglo 1 Arreglo 2 DISPONIBILIDAD

Rosas 3 1 300

Tulipanes 1 1 140

Ibizcos 1 3 300

PRECIO [$] 2000 1000

Tabla 6: Detalle de precios del florista para el Problema #8

a) FORMULE un PPL que resuelva el problema de maximizacin de ingresos por ventas sujeto a

la disponibilidad de recursos.

b) Cul es el problema DUAL asociado? Qu situacin podra estar optimizando? Justifique.

c) Usando el teorema de holguras complementarias, encuentre la solucin ptima del problema

dual una vez resuelto el problema primal utilizando el mtodo smplex.

d) Suponga que retorna frustrado despus que una bella dama le cerrara la puerta cuando usted

le llevaba amablemente una rosa, un tulipn y un ibizco. Si se encuentra con el florista

Cunto cree que estara dispuesto a pagar l por sus flores?

SOLUCIN: Tenemos lo siguiente:

a) Sean y los dos tipos de arreglos que puede hacer el florista. De la tabla, y en forma

inmediata, se obtiene el PPL deseado:

( )




19

b) Es posible formular inmediatamente el problema dual a partir del primal, sin utilizar la

transformacin de primal simtrico, invirtiendo las situaciones presentadas en la definicin de

ambos problemas. Se tiene entonces:

( )

El modelo dual resuelve el problema de un agente externo que desea saber el precio unitario

que puede ofrecer por cada una de las flores, en el caso de ste quiera comprarle todas las

flores al florista. As, y son los precios unitarios asociados a las rosas, tulipanes e

ibizcos, respectivamente.

c) Reescribiendo el primal en forma estndar:

( )

Tabla de inicio:

V.B. ( )

3 1 1 0 0 300 100

1 1 0 1 0 140 140

1 3 0 0 1 300 300

-2000 -1000 0 0 0 0

Entra , sale . Procedemos con la primera iteracin:

V.B. ( )

1 1/3 1/3 0 0 100 300

0 2/3 -1/3 1 0 40 60

0 8/3 -1/3 0 1 200 75

0 -1000/3 2000/3 0 0 -200000

Entra , sale . Procedemos con la segunda iteracin:

V.B.

1 0 -1/2 0 80

0 1 -1/2 3/2 0 60

0 0 1 -4 1 40

0 0 500 500 0 -220000




20

Como todos los coeficientes de las variables en la funcin objetivo son no negativas, hemos

llegado al ptimo. La utilidad mxima que puede percibir el florista es de $220.000, con

arreglos florales del tipo 1, y arreglos florales del tipo 2. En este punto ptimo, es

vlido el teorema de holguras complementarias. Por lo tanto:

Para el primal:

[ ( )]

[ ( )] [ ( )]

Para el dual:

[ ( )] [ ( )]

Reemplazando los valores obtenidos en la solucin primal ptima en las holguras

complementarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Con lo cual se obtiene y . Este valor es correcto, porque si lo remplazamos

en la funcin objetivo dual, resulta ( ) , que es equivalente a la funcin objetivo

primal en el ptimo.

Por lo tanto, el florista vender rosas y tulipanes a un precio de $500 c/u, y entregar como

oferta los ibizcos gratis, siempre y cuando venda todo como un paquete. Esto tiene sentido,

porque si vende slo las rosas y tulipanes, dado que slo sabe hacer los arreglos florales

descritos, no le sacar provecho a los ibizcos.

d) Si tuviramos tan desgraciada suerte, entonces, idealmente, el valor mximo que nos pagar

el florista por las flores es el descrito con anterioridad: $500 por cada rosa y tulipn, y $0 por

los ibizcos.

PROBLEMA #9

Dado el programa lineal:

( )

Se pide:




21

a) Determinar el programa DUAL

b) Representar grficamente este ltimo programa para mostrar su conjunto de soluciones

factibles

c) A partir de esta representacin, describir un proceso por el que tras dos, y slo dos

operaciones de pivotado a partir del origen, se alcance la solucin. Estas operaciones de

pivotado no tienen por qu seguir las reglas del smplex.

d) Por medio de las relaciones que pueden establecerse a merced del principio de holgura

complementaria, determinar la solucin del problema primal

SOLUCIN: A partir del enunciado, se tiene:

a) Se debe obtener el modelo lineal estndar (MLE) del problema. Para ello, hacemos los

cambios de variable y

, con lo cual el problema se re-escribe de la siguiente

forma:

( )

Ahora podemos formular el problema dual:

( )

b) El espacio de soluciones factibles (ESF) del problema dual es el siguiente:




22

Figura 3: ESF del problema dual

En el grfico anterior, los puntos esquina del ESF estn dados por los siguientes pares:

Punto esquina Valor de Valor de Valor objetivo

G 4/3 5/3 -1/3

B 3 5 -2

C 36/7 36/7 -4/7

J 6 4 2

Tabla 7: Valores de las variables y funcin objetivo para los diferentes puntos esquina del problema dual

Por tanto, el valor mximo del problema dual es , y se cumple cuando estamos en el

punto esquina J.

c) Si el proceso de resolucin del problema dual no tiene por qu seguir las reglas del smplex,

entonces basta que, a partir del origen, el algoritmo ignore la regla dada por el criterio de

optimalidad en un problema de maximizacin, la cual dicta que se escoja siempre el coeficiente

ms negativo en la fila objetivo del tableau smplex. Por tanto, si partimos desde el origen,

podemos comenzar en el punto E, y luego llegar de inmediato al punto J utilizando el hecho de

que, en este punto, se encuentra la solucin.

Notemos que, adems, este nuevo proceso ignora la subdivisin del problema en dos fases, ya

que se cuenta de inmediato con una solucin bsica de inicio (el origen).

d) Utilizando el teorema de holguras complementarias (THC), se obtiene:

Para el primal:




23

[ (

)] [ (

)]

Para el dual:

[ ( )] [ ( )]

[ ( )] [ ( )]

De las holguras complementarias para el primal, se obtiene:

Con lo cual se obtiene y , lo que conforma la solucin ptima del problema

primal. Todas las dems variables son nulas. El valor de la solucin ptima es ( ) .

PROBLEMA #10

La Compaa Minera ASIOP S.A. (ASIOPSA) produce dos tipos distintos de concentrado, cobre y

zinc. La siguiente tabla muestra las demandas mensuales esperadas para cada producto (en

toneladas):

Concentrado Mes 1 Mes 2 Mes 3

Cu 1000 3000 5000

Zn 1000 500 3000

Tabla 8: Detalle de las demandas mensuales de concentrado para el Problema #10

Adems, la gerencia de ASIOPSA ha determinado lo siguiente:

El costo de produccin por tonelada del concentrado de cobre es de 20 USD, y el del

concentrado de zinc es de 10 USD

El costo de mantener una cantidad arbitraria de concentrado a la espera de ser comercializado

es de 0,3 USD por tonelada en inventario para el concentrado de cobre, y de 1,5 USD por

tonelada en inventario para el concentrado de zinc

El costo de tener mano de obra extra con respecto al mes anterior es de 10 USD/hora

El costo de trabajar menos horas con respecto al mes anterior es de 2,5 USD/hora

Estos dos ltimos costos se refieren a las fluctuaciones en los niveles de produccin, ya que

ASIOPSA tiene como poltica trabajar todos los meses la misma cantidad de horas.




24

Al comienzo de los tres meses existen en inventario 50 toneladas del concentrado de cobre y 200

del concentrado de zinc. Al final de los tres meses, el inventario mnimo debe ser de 400 toneladas

de concentrado de cobre y 200 toneladas de concentrado de zinc. Ambos concentrados se

guardan en una planta en depsitos comunes. Cada depsito permite guardar hasta dos

componentes de concentrado de cobre, y hasta tres componentes de concentrado de zinc. La

envergadura de la planta permite guardar hasta 1000 depsitos.

Los requerimientos de fabricacin de cada concentrado se resumen en la siguiente tabla:

Concentrado Maquinaria [hr/ton] Mano de obra [hr/ton]

Cu 0,10 0,05

Zn 0,08 0,07

Tabla 9: Requerimientos de fabricacin de cada concentrado

La capacidad de fabricacin mensual es de 400 horas de maquinaria y 300 horas de mano de

obra. Adems, se sabe que el ltimo mes slo se usaron 225 horas de mano de obra para la

fabricacin de ambos componentes.

FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programacin lineal que permita determinar el plan

de produccin mensual que minimiza los costos de satisfaccin de la demanda esperada. Defina

claramente variables, funcin objetivo y restricciones.

SOLUCIN: Definimos primeramente las variables del problema:

: Cantidad de concentrado del tipo (con o ) producido en el mes

(con )

: Inventario de concentrado del tipo al trmino del mes

: Horas de mano de obra empleadas al mes

: Aumento del empleo de mano de obra al mes

: Disminucin del empleo de mano de obra al mes

: Nmero de depsitos requeridos al mes

Veamos ahora la funcin objetivo. Como el objetivo de ASIOPSAL es minimizar los costos, es

posible definir dicha funcin directamente partir de los datos entregados en el enunciado:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

La funcin objetivo puede escribirse de forma ms abreviada como sigue:

( )




25

Ahora veamos las restricciones. Lo ms sencillo es verificar primero las limitaciones de

satisfaccin, demanda e inventario de ASIOPSAL. En este caso, para cada mes, se tiene lo

siguiente:

Mes 1:

Mes 2:

Mes 3:

Con respecto a la maquinaria, se tiene:

Adems, para la mano de obra, se tiene que para cada mes:

Mes 1:

Mes 2:

Mes 3:




26

Finalmente, de las limitaciones impuestas por la planta:

Naturalmente, todas las variables consideradas para este problema son no negativas. El modelo

completo (simplificado) es el siguiente:

( )

, , , ,




27

PROBLEMA #11

Al comienzo del mes 1, la financiera ARCOS dispone de 400 USD en efectivo. Al comienzo de los

meses 1, 2, 3 y 4, la financiera recibir ingresos y, adems, deber realizar pagos como se indica

en la siguiente tabla:

Mes Ingresos (US$) Pagos (US$)

1 400 600

2 800 500

3 300 500

4 300 250

Tabla 10: Detalle de ingresos y pagos de la financiera ARCOS

El dinero restante en cada mes, una vez realizados los pagos, puede ser invertido durante un mes

a una tasa del 0,1% mensual; durante dos meses a una tasa del 052% mensual; durante tres

meses a una tasa del 1,0% mensual; o durante cuatro meses a una tasa del 2,0% mensual.

FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programacin lineal que permita determinar una

estrategia de inversin que maximiza el dinero en efectivo al comienzo del quinto ao. Defina

claramente variables, funcin objetivo y restricciones.

SOLUCIN: Lo primero es definir las variables de este problema. Sea la cantidad de dinero

invertido al comienzo del mes durante un perodo de meses. La funcin objetivo queda entonces

definida como sigue:

( )

Las restricciones del modelo naturalmente representan la distribucin del dinero. As, stas se

definen por las siguientes desigualdades:

Naturalmente, todas las variables consideradas en el modelo son no negativas.

PROBLEMA #12

La Compaa FERROSUR debe decidir cuntas toneladas de acero puro X y cuntas de chatarra

Y se deben utilizar en la preparacin de una aleacin para un cliente. El costo por tonelada de

acero puro es de 3, y el de chatarra 6 (por las impurezas); la demanda del cliente es de por lo

menos 5, y l aceptara ms si as se requiere.




28

La disponibilidad de X es de 4 toneladas y 7 la de Y. La relacin entre chatarra y acero puro no

puede exceder 7/8. La fundicin tiene 18 horas disponibles para derretir y fundir; una tonelada de

acero puro requiere 3 horas, mientras que la de chatarra slo 2 horas.

Se pide:

a) Escribir el problema de programacin lineal

b) Resolverlo grficamente

SOLUCIN: Se tiene lo siguiente:

a) Las variables del problema ya haban sido definidas en el enunciado:

: Toneladas de acero puro

: Toneladas de chatarra

Como se trata de un problema de costos, se debe minimizar la funcin objetivo, que define los

costos de fabricacin de cada material. Luego, dicha funcin viene dada por la siguiente expresin:

( )

Ahora veamos las restricciones. De la demanda del cliente y la disponibilidad de cada recurso,

tenemos:

De la relacin entre tonelajes, tenemos:

De forma simplificada, . Finalmente, de la disponibilidad horaria, se tiene que:

Naturalmente, . Por lo tanto, el modelo completo es el siguiente:

( )

b) El ESF de este modelo se muestra en Figura 4:




29

Figura 4: ESF del modelo de FERROSUR

La tabla siguiente evala el valor de las variables del PPL en cada uno de los puntos esquina del

ESF:

Punto Esquina Valor de x Valor de y Funcin objetivo

B 1,25 0 3,75

C 0,494 0,432 4,074

D 3,789 3,316 31,263

F 6 0 18

Tabla 11: Valores de las variables y funcin objetivo en los puntos esquina del problema

Por lo tanto, el punto esquina B es el ptimo, porque es aquel donde la funcin objetivo alcanza su

mnimo valor. Se concluye entonces que FERROSUR debe fabricar 1,25 toneladas de acero puro,

a un costo mnimo de 3,75 unidades monetarias. La chatarra no es rentable de producir.

PROBLEMA #13

Un importador de whisky est planificando su negocio considerando que, en las prximas

temporadas, tendr las siguientes demandas (en miles de botellas):

Tipo Temporadas

1 2 3 4

Seco 10 12 14 8

Frutoso 13 15 17 19

Aejo 21 25 9 11

Tabla 12: Demandas que tendr el importador de whisky en miles de botellas




30

El whisky seco lo vende a 34 dlares por botella, el frutoso a 28,8 y el aejo a 22,5 en la primera

temporada. En las siguientes se espera poder venderlos a un 5% ms caro. Cada tipo de whisky

es elaborado mezclando tres materias primas, A, B y C, de las cuales se puede importar un

mximo de 2000, 2500 y 1200 botellas por temporada a un costo de 35, 25 y 20 dlares,

respectivamente. Estos costos, vlidos para la primera temporada, deberan aumentar un 2% en

cada temporada. El whisky seco debe contener por lo menos un 60% de la materia prima A y no

ms de un 20% de la materia prima C. El whisky frutoso debe contener por lo menos un 15% de la

materia prima A y no ms de un 60% de la materia prima C. El whisky aejo debe contener por lo

menos un 50% de la materia prima B. Cada botella de whisky fabricada en una temporada puede

ser vendida en dicha temporada o almacenada a un costo unitario por temporada de 0,5 dlares

para ser vendidas posteriormente.

FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programacin lineal que permita optimizar las

actividades del importador. Defina claramente variables, funcin objetivo y restricciones del

problema.

SOLUCIN: Las variables a considerar para este problema son las siguientes:

: Cantidad de materia prima k para fabricar whisky i en la temporada j

: Cantidad de whisky tipo i vendido en la temporada j

: Cantidad de whisky tipo i almacenado en la temporada j

La funcin objetivo se subdivide en tres partes, y , donde representa los ingresos que

obtiene el importador a partir de la venta de whisky en cada temporada, representa los costos de

importacin de whisky de cada tipo, y representa los costos de almacenaje de whisky. Definimos

entonces:

( ( ))( )

( ( ))( )

Por lo tanto, la funcin objetivo ser:

( )

Las restricciones del problema vienen dadas por la disponibilidad de materia prima para producir

cada tipo de whisky, la cantidad mxima de ventas por temporada, la proporcin de uso de las

materias primas en la elaboracin de cada tipo de whisky, y la produccin, ventas y almacenaje por

temporada. Luego, se tiene lo siguiente:




31

Para la disponibilidad de materia prima:

A partir de la tabla entregada en el enunciado del problema, se obtienen las restricciones de venta

mxima por temporada:

Adems, considerando las proporciones de materias primas requeridas en la elaboracin de cada

tipo de whisky, se obtiene:

Las restricciones anteriores se cumplen para todo .

Finalmente, a partir de los datos entregados en el enunciado del problema con respecto a la

produccin, ventas y almacenaje por temporada, se obtienen las siguientes expresiones:




32

Naturalmente, todas las variables consideradas en la formulacin de este problema son positivas o

nulas.




33

EJERCICIOS PEP 2

PROBLEMA #1

Resuelva el siguiente problema de transporte de mineral desde tres puntos de carguo y cuatro

piques de traspaso, y determine un plan ptimo de manejo de mineral en la mina de acuerdo a la

informacin que se indica. Use el mtodo de la esquina noroeste para la obtencin de la solucin

bsica de inicio.

Punto de

Carguo Toneladas mineral

Costo ($/t)

Pique 1

Costo ($/t)

Pique 2

Costo ($/t)

Pique 3

Costo ($/t)

Pique 4

PT1 20 2 3 4 9

PT2 30 14 12 5 1

PT3 40 12 15 9 3

Capacidad de piques 10 10 20 50

Tabla 13: Detalle de los requerimientos y capacidades de cada pique de traspaso

SOLUCIN: Lo primero es determinar si el problema se encuentra balanceado. Para ello, se

considerar que las toneladas de mineral que van desde los puntos de carguo son las cantidades

de oferta del problema, mientras que las capacidades de los piques de traspaso sern

consideradas como cantidades de demanda. Luego:

Sumatoria de ofertas: toneladas

Sumatoria de demandas: toneladas

Luego, como ambas sumatorias son iguales, el problema se encuentra balanceado.

Ahora determinaremos una solucin bsica de inicio utilizando el mtodo de la esquina noroeste.

El tableau de transporte para este problema, una vez que se ha obtenido dicha solucin con el

mtodo de la esquina noroeste, es el siguiente:




34

Pique 1 Pique 2 Pique 3 Pique 4 Oferta

PT1

PT2

PT3

Demanda

Tabla 14: Solucin bsica de inicio para el Problema #1

La asignacin de inicio es correcta, porque el nmero de variables bsicas que hay en esta tabla

cumple con la condicin (hay un total de 6 variables bsicas

en esta primera solucin). Adems, las sumas de estas asignaciones por fila y columna equivalen a

las cantidades de oferta y demanda en cada una de dichas filas y columnas.

Calculamos ahora los valores duales y costos reducidos para la primera iteracin, con lo cual se

tiene que la variable de entrada es .

Oferta

Demanda

Tabla 15: Primera iteracin del Problema #1

Una vez determinada que la variable de entrada , se debe generar un loop para determinar la

variable de salida. Dicho loop se observa en Tabla 52. Como se debe cumplir que todas las




35

asignaciones sean positivas o nulas, la variable de salida se obtiene de las asignaciones limitadas

por la cantidad en el tableau anterior:

De lo anterior, el valor mnimo de que no viola la restriccin de no negatividad de las variables es

, el cual corresponde a la celda (2, 2). Luego, la variable de salida es . El tableau

resultante, con los correspondientes valores duales y costos reducidos, es el siguiente:

Oferta

Demanda

Tabla 16: Tableau ptimo para el Problema #1

Se debe observar que los costos reducidos son todos positivos. Por lo tanto, hemos llegado al

ptimo. La solucin ptima es entonces , , , , , . El

costo mnimo de transporte es ( ) .

PROBLEMA #2

Un Ingeniero Geotcnico est desarrollando un proyecto de clculo de una malla de pilares para un

layout de un Panel Caving Tradicional, y necesita contratar con urgencia dibujantes para que le

confeccionen los planos del proyecto completo. El Ingeniero requiere que durante el fin de semana

le dibujen tres planos y al menos cuatro durante la semana.

El Ingeniero conoce a dos dibujantes: Hctor y Daniel. Hctor le cobra $30.000 por dibujar cada

plano durante el fin de semana y $27.000 por cada plano durante la semana. Daniel le cobra

$29.000 por dibujar cada plano durante el fin de semana y $28.000 por cada plano durante la

semana. Debido a que tiene otros compromisos, Hctor le advierte que podr dibujar como mximo

5 planos, mientras que Daniel no desea comprometerse a dibujar ms de 4 planos, ya que el

software le ha estado fallando.




36

Se pide:

a) Determinar la mejor forma de distribuir los planos entre los dibujantes.

b) A partir de la solucin encontrada en (a), determine la mejor forma de distribuir los planos si el

Ingeniero requiere dibujar 5 2 planos durante la semana.

c) Determine la mejor asignacin si requiere dibujar 6 planos durante la semana.


a) Como la cantidad de planos requerida durante la semana es de al menos 4, se puede expresar

como , con . El problema se puede plantear como un modelo de transporte, donde la

oferta es la disponibilidad de los dibujantes y la demanda es el requerimiento del ingeniero. Se

debe agregar un punto de demanda artificial para balancear el problema.

Fin de

semana Semana Artificial

Oferta

Hctor

Daniel

Demanda

Tabla 17: Tableau de transporte implementado al problema del ingeniero

Se debe hallar una solucin bsica de inicio para este problema. Una opcin es utilizar el mtodo

de aproximacin de Vogel que, si bien es algo engorroso, nos permite acercarnos ms que los

otros mtodos al ptimo.

El siguiente tableau muestra la solucin de inicio considerando el mtodo de aproximacin de

Vogel.




37

Fin de

semana Semana Artificial

Oferta

Hctor

Daniel

Demanda

Tabla 18: Solucin bsica de inicio considerando el mtodo de aproximacin de Vogel

El costo asociado a la asignacin de inicio es de:

( ) ( ) ( )

El tableau con los valores duales y costos reducidos calculados es el siguiente:

Oferta

Demanda

Tabla 19: Solucin de inicio con los valores duales y costos reducidos calculados

El costo reducido de la celda (1, 3) es negativo. Por ende, an no hemos llegado al ptimo. La

variables de entrada es entonces . Se debe generar un loop que contenga a para as

determinar la variable de salida, como se muestra en Tabla 57.




38

Oferta

Demanda

Tabla 20: Generacin del loop para la primera iteracin

Como se debe cumplir que todas las asignaciones sean positivas o nulas, la variable de salida se

obtiene de las asignaciones limitadas por la cantidad en el tableau anterior:




Oferta

Demanda

Tabla 21: Tableau ptimo para el Problema #2

Se observa que el tableau anterior es ptimo, porque los costos reducidos son todos positivos. La

asignacin ptima es de 3 planos para Daniel durante el fin de semana y al menos 4 planos para

Hctor durante la semana. El costo mnimo asociado es ( ) .

b) Si el Ingeniero requiere dibujar 5 planos durante la semana, basta evaluar las expresiones

anteriores para ; si se requiere dibujar 2 planos, basta evaluar para .




39

c) En este caso no es posible emplear la solucin anterior, ya que si , entonces una de las

variables bsicas, se hace negativa. Por lo tanto, se debe volver a plantear el problema,

esta vez para una demanda de 6 planos durante la semana.

Fin de

semana Semana

Oferta

Hctor

Daniel

Demanda

Tabla 22: Tableau de inicio para el problema con una demanda de 6 planos durante la semana

En este caso, se debe observar que y

. Luego, como la

sumatoria de ofertas es igual a la sumatoria de demandas, el problema se encuentra balanceado.

Aplicando el mtodo de aproximacin de Vogel se obtiene la siguiente solucin bsica de inicio,

que tambin es ptima:

Oferta

Demanda

Tabla 23: Solucin ptima del problema

Por lo tanto, el costo mnimo asociado es ( ) .




40

PROBLEMA #3

Considere el siguiente problema de programacin lineal:

( )

Los coeficientes de la funcin objetivo representan la utilidad asociada a la venta de dos productos,

y , respectivamente. Las dos primeras restricciones se refieren a lmites de demanda, y las

dos restantes se refieren a la utilizacin de dos recursos del proceso productivo.

a) Encuentre la solucin ptima de este problema utilizando el mtodo grfico.

b) A partir de la solucin ptima encontrada en (a), construya el tableau final sin utilizar el

algoritmo smplex.


a) Graficando las restricciones se obtiene el siguiente espacio de soluciones factibles:

Figura 5: Espacio de soluciones factibles del problema

La solucin ptima del problema se encuentra en uno de los vrtices del polgono ADJFEO.

Calculando los valores de la funcin objetivo para cada uno de estos puntos, se obtiene la

siguiente tabla de valores:




41

Punto Valor de Valor de Valor objetivo

O 0 0 0

A 6 0 9

D 6 2 11

E 0 8 8

F 2 8 11

J 4 6 12

Tabla 24: Valores de la funcin objetivo para los diferentes puntos esquina del ESF

El valor mximo de la funcin objetivo se obtiene en el punto J. Por lo tanto, la solucin ptima es

, cuyo valor objetivo es ( ) .

b) Escribiendo las restricciones del problema de forma estndar, se tiene el siguiente conjunto de

ecuaciones lineales:

Reemplazando los valores , en estas ecuaciones, es posible obtener el valor de las

holguras de forma inmediata. Luego, la base ptima de este problema es de la siguiente forma:

( ) ( )

Mediante operaciones elementales por fila es preciso dejar slo una variable bsica en cada

ecuacin. Restando la tercera ecuacin a la cuarta, se obtiene:

Restando la cuarta ecuacin a la primera:

Restando la cuarta ecuacin a la tercera:




42

Finalmente, restando la tercera ecuacin a la segunda:

Las ecuaciones anteriores nos permiten escribir ahora la tabla ptima del problema:

V.B.

0 0 1 0 1 -1 2

0 0 0 1 -2 1 2

0 1 0 0 2 -1 6

1 0 0 0 -1 1 4

0 0 0 0 1/2 1/2 -12

En forma alternativa, es posible construir el tableau a partir del anlisis de sensibilidad de los

coeficientes del lado derecho, desplazando las restricciones.

PROBLEMA #4

GEOSPARK CORPORATION Co. (GEOCORP) posee una extensa red de 7 plantas

concentradoras de oro a lo largo y ancho de toda la regin continental de Australia. Cada una de

estas plantas es capaz de retroalimentarse, total o parcialmente, con cianuro para el proceso de

lixiviacin del oro. La capacidad de autoproduccin de cianuro, en miles de m3, se muestra en

Tabla 25:

Planta 1 2 3 4 5 6 7

Capacidad (km3) 190 150 140 330 260 150 240

Tabla 25: Detalle de las capacidades de las plantas de tratamiento

GEOCORP desea que, al iniciar cada semana de trabajo, haya al menos 200.000 m3 de

compuesto de cianuro en cada una de las plantas concentradoras. Para cumplir dicho

requerimiento se puede enviar una carga de compuesto de cianuro mediante camiones acoplados

desde aquellas plantas con mayor capacidad a aquellas que no sean capaces de autoabastecerse

con los 200.000 m3 de cianuro requerido. Los costos de envo por cada 1.000 m

3 (en miles de

dlares) entre las distintas plantas se ilustran en la siguiente red:




43

Figura 6: Red de plantas de cianuracin de GEOCORP

Se pide:

a) Determinar la mejor forma de distribuir el compuesto de cianuro entre las plantas de lixiviacin.

b) En cunto puede variar el costo de envo entre las plantas 1 y 3 para que la solucin anterior

se mantenga?

c) Obtener la nueva solucin si la produccin de la planta 3 disminuye a 130.000 m3 y la de la

planta 5 aumenta a 270.000 m3.

d) Determinar la nueva solucin si la produccin de la planta 2 disminuye a 140.000 m3 y la de la

planta 5 aumenta a 270.000 m3


a) De acuerdo a la capacidad de autoproduccin de cada planta de lixiviacin, y considerando el

requerimiento de 200.000 m3 de cianuro, se puede establecer que las plantas 1, 2, 3 y 6

requieren 10, 50, 60 y 50 mil m3 de cianuro, respectivamente. Por otro lado, las plantas 4, 5 y 7

son capaces de entregar 130, 60 y 40 mil m3de cianuro, respectivamente. De esta forma, el

problema se puede plantear como un modelo de transporte, donde las plantas que exceden los

200.000 m3 de cianuro son puntos de oferta, y las plantas que estn por debajo de los 200.000

m3 de cianuro son puntos de demanda. Los costos de envo se obtienen directamente de la red

en Figura 19. Luego, el tableau de transporte de inicio que corresponde a este problema es el

siguiente (se ha incluido un punto de demanda artificial para balancear el problema):

1

3

5

7 6

2

4

35




44

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 6 Artificial Oferta

Planta 4

38

Planta 5

Planta 7

Demanda

Tabla 26: Tableau de inicio para el problema de GEOCORP

En este punto, se puede aplicar cualquier mtodo para obtener la solucin bsica de inicio del

problema. Sin embargo, es interesante sealar que el mtodo de aproximacin de Vogel nos

permite, adems, obtener la solucin ptima de forma inmediata. En efecto, como se observa en

Tabla 64, se tiene:

Oferta

38

Demanda

Tabla 27: Solucin ptima del problema de GEOCORP

Como todos los costos reducidos son positivos, y hay uno nulo (que indica la existencia de una

solucin ptima alternativa), hemos llegado al ptimo. La solucin ptima de este problema es

, con un costo mnimo de

( ) . Los valores de las variables asociadas al punto de demanda artificial

indican asignaciones que no son reales, por lo que pueden ser interpretadas como la elaboracin




45

de un stock o acopio de cianuro en caso de que cualquiera de las plantas que entrega este

compuesto falle a la hora de hacer el transporte.

b) Como las plantas 1 y 3 son puntos de demanda, la variacin del costo de envo no afecta a la

solucin del problema.

c) El nuevo valor de la funcin objetivo se puede obtener segn:

Por lo tanto, el costo es ahora 300 veces ms alto. Como la variable est asignada (es una ruta

de envo) de la planta 5 a la planta 3, el nuevo valor de esta variable puede calcularse de forma

muy sencilla mediante la siguiente expresin:

Naturalmente, el valor de las otras variables no cambia.

d) En este caso, el nuevo valor de la funcin objetivo tambin puede ser obtenido por:

Como, en este caso, la variable no est asignada, es preciso encontrar el loop que contiene a

la celda (2, 2), que corresponde a la variable , y sumar y restar de forma alternada.

Oferta

38

Demanda

Tabla 28: Generacin del anlisis de sensibilidad para la celda (2, 2)

Evaluando el tableau anterior en se obtiene la nueva asignacin ptima.




46

PROBLEMA #5

A continuacin se muestra el siguiente tableau de transporte:

Oferta

7

Demanda

Tabla 29: Tableau de transporte para el Problema #5

a) Es bsica la solucin?

b) Demuestre que la solucin presentada en este tableau es ptima.

c) Este problema tiene ptimos alternativos?

d) Proporcione el problema original de programacin lineal y su correspondiente problema dual.

e) Deduzca la solucin ptima del problema dual.

f) Escriba el tableau simplex ptimo asociado con el tableau de transporte proporcionado.


a) La solucin presentada en el tableau anterior es bsica siempre que se cumplan las siguientes

condiciones:

El problema se encuentra balanceado.

En efecto:




47

Luego, como la sumatoria de ofertas es igual a la sumatoria de demandas, el problema se

encuentra balanceado.

El nmero de variables bsicas es igual a , donde es la cantidad de puntos

oferta y es la cantidad de puntos de demanda.

En efecto, se tienen 7 asignaciones (variables bsicas) en este tableau. Como

, se cumple entonces la condicin anterior.

Las sumas de las asignaciones por fila (columna) son consistentes con las cantidades

de oferta (demanda) dadas en el tableau.

En efecto:

Fila 1: Se cumple

Fila 2: Se cumple

Fila 3: Se cumple

Fila 4: Se cumple

Columna 1: Se cumple




Por lo tanto, las asignaciones por fila (columna) son consistentes con las respectivas cantidades de

oferta (demanda) definidas en el tableau.

La ltima condicin, que se le deja como ejercicio al lector (y que, evidentemente, se cumple), es

que el tableau respete el teorema de secuenciacin. Vale decir, que no se pueda generar un loop

con la coleccin de variables bsicas dada en dicho tableau.

b) Para efectuar la demostracin, deben calcularse los costos reducidos de la solucin bsica

definida en (a). En efecto, se tiene que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Luego, como , se tiene que la solucin bsica presentada en el tableau es ptima. El

costo mnimo de transporte asociado es ( ) unidades.




48

c) En efecto, el problema tiene soluciones ptimas alternativas, ya que hay costos reducidos nulos

en las celdas (1, 4) y (2, 2), que corresponden a variables no bsicas.

d) Del tableau de transporte, se puede obtener de forma inmediata el problema de programacin

lineal original:

Funcin objetivo:

( )

Restricciones de oferta:

Restricciones de demanda:

Naturalmente,

El problema dual se define a continuacin:

Funcin objetivo:

( )

Restricciones:

Naturalmente, se tiene que son no restringidas, para todo

e) La solucin ptima del problema dual se obtiene reemplazando los valores de , obtenidos

en el tableau ptimo entregado en primera instancia, con lo cual se obtiene ( ) Como

( ) , se cumple el teorema de dualidad y, por ende, esta es la solucin ptima del

problema dual.




49

PROBLEMA #6

El Jefe de carguo y transporte de una operacin a cielo abierto debe asignar cuatro operadores a

cuatro palas durante el turno. Los costos unitarios (en unidades monetarias cualesquiera) que

expresan la habilidad del operador se dan en Tabla 30. Aquellos costos indeterminados (-)

representan la condicin de no aplicabilidad del operador a la pala respectiva.

Operador 1 Operador 2 Operador 3 Operador 4

Pala 1 9 3 - 5

Pala 2 7 2 7 6

Pala 3 5 5 2 -

Pala 4 7 4 3 2

Tabla 30: Detalle de costos de cada operador con respecto a cada pala

Se pide:

a) Encontrar la asignacin ptima y entregar el costo asociado.

b) Suponer que se tiene disponible una quinta pala. Sus costos de asignacin respectivos son 2,

8, 2 y 1. La nueva pala reemplazar a una existente slo si la situacin puede justificarse

econmicamente. Reformular el problema como un modelo de asignacin y encontrar la

solucin ptima, indicando el costo asociado Es econmico reemplazar una de las mquinas?

Si es as Cul de ellas?


a) Procedemos mediante el algoritmo hngaro. La matriz de costos se obtiene directamente de

Tabla 67, con lo cual:

(

)

Las asignaciones ocupadas por la constante M son aquellas que no son aplicables por cualquier

razn, y se indican con M, que implica un costo infinito, para que as el algoritmo no los considere

como asignaciones vlidas en el ptimo. Se genera entonces la eliminacin de mnimos por filas,

obtenindose:

(

) (

) (

)

A la matriz resultante, , se le aplica ahora una eliminacin de mnimos por columnas,

obtenindose:




50

(

)

( )

Lo que implica:

(

)

Como los ceros generados mediante la eliminacin de mnimos por filas y columnas no garantizan

an una asignacin ptima, se debe tachar la cantidad mnima de filas y columnas que tengan

ceros.

(

)

Ahora se debe elegir el mnimo elemento entre aquellos que no se encuentran tachados, restrselo

a todos los elementos no tachados, y sumrselo a aquellos elementos que se encuentren en la

interseccin de las lneas con las que tachamos las filas y columnas con elementos nulos. As, se

obtiene la siguiente matriz:

(

)

En esta oportunidad, los ceros s garantizan una asignacin ptima, determinada por los elementos

coloreados con amarillo. Cotejando con la tabla entregada en el enunciado del problema, la

asignacin ptima es entonces la siguiente:

Asignar el operador 1 a la pala 2.




El costo mnimo de esta asignacin se obtiene sumando los costos respectivos de cada operador

con respecto a las palas asignadas. Luego, ( ) unidades monetarias.

b) La quinta pala puede ser agregada a la tabla de costos suponiendo la existencia de un

operador ficticio ms, para que as, de esta forma, la matriz de costos cumpla con la restriccin de

ser una matriz cuadrada. Naturalmente, los costos asociados a este trabajador ficticio son nulos,

pues al final, no es un operador propiamente tal. Por lo tanto:




51

(

)

Se debe notar que no tiene sentido generar una eliminacin por filas, debido a que hemos

agregado una columna nula. Generando entonces la eliminacin de mnimos por columnas, se

obtiene:

(

)

( )

Luego:

(

)

Como los ceros generados mediante la eliminacin de mnimos por filas y columnas no garantizan

an una asignacin ptima, se debe tachar la cantidad mnima de filas y columnas que tengan

ceros.

(

)

Ahora se debe elegir el mnimo elemento entre aquellos que no se encuentran tachados, restrselo

a todos los elementos no tachados, y sumrselo a aquellos elementos que se encuentren en la

interseccin de las lneas con las que tachamos las filas y columnas con elementos nulos. As, se

obtiene la siguiente matriz:

(

)

En esta oportunidad, los ceros s garantizan una asignacin ptima, determinada por los elementos

coloreados con amarillo. Cotejando con la tabla entregada en el enunciado del problema, la

asignacin ptima es entonces la siguiente:




52




Asignar el operador 4 a la pala 4

Asignar el operador ficticio a la pala 1.

El costo mnimo de esta asignacin se obtiene sumando los costos respectivos de cada operador

con respecto a las palas asignadas. Luego, ( ) unidades monetarias. La

inclusin de esta nueva pala es entonces conveniente, siempre que se reemplace por la pala 1

(que es la que se asigna al operador ficticio), ya que el costo total es menor que en (a).

PROBLEMA #7

En la V Regin, PETROMAT S.A., una mediana planta de ridos para la construccin, produce 4

tipos de materiales de ridos. El proceso est compuesto por tres etapas: chancado, harneado e

inspeccin de calidad. Se dispone de 800 horas de chancado, 1000 horas de harneado y 340

horas hombre (HH) de inspeccin para el prximo mes de produccin. En base a estas

disponibilidades, la empresa desea maximizar sus utilidades dentro de este perodo. Para resolver

el problema, se ha formulado un modelo de programacin lineal, el cual se presenta a

continuacin:

( )

El tableau final (incompleto) de este modelo se presenta a continuacin:

V.B.

0 1 3/2 -1 0 200

1 0 -2 2 0

0 0 1/10 -2/5 1 20

Donde representa la cantidad de material rido del tipo .

Responder:

a) Cul es el plan de produccin ptima para el prximo mes?

b) Es nica la solucin ptima?

c) Cunto debera aumentar, como mnimo, la utilidad del material rido del tipo 3 para que

fuera conveniente producirlo?

d) Cunto podra disminuir la utilidad del material rido del tipo 2 sin que cambie la base ptima?




53

e) Dentro de qu rango podra variar la cantidad de horas de chancado sin que cambie la base

ptima?

f) Cunto estara dispuesto a pagar por una hora de harneado adicional?

g) Un competidor ofrece arrendarle capacidad adicional para chancado a 3 unidades monetarias

por hora Aceptara la oferta?

h) A qu precio estara dispuesto a arrendar a su competidor una hora de harneado adicional?

Hasta cuntas horas (sin que cambie la base ptima)?

i) Cunto puede disminuir el tiempo de inspeccin sin que cambie la solucin ptima?

j) Cul es la nueva solucin y el nuevo valor de la funcin objetivo si las horas de chancado

aumentan a 880?

k) Aceptara la produccin de un material rido del tipo 5, si requiere 2 horas de chancado y 3

horas de harneado e inspeccin de calidad, respectivamente, con una utilidad de 30 unidades

monetarias?


a) La tabla de inicio de este problema es la siguiente:

V.B.

1 2 10 16 1 0 0 800

3/2 2 4 5 0 1 0 1000

1/2 3/5 1 2 0 0 1 340

-8 -14 -30 -50 0 0 0 0

Adems, la matriz inversa ptima se puede obtener a partir de la tabla ptima (incompleta)

entregada en el enunciado del problema:

(

)

Para obtener la solucin ptima se debe calcular la matriz ptima de recursos, . Para ello se

debe recurrir al formulismo del mtodo smplex revisado. En efecto, se tiene:

(

) (

) (

)

Por lo tanto, el plan de produccin ptimo para el prximo mes es el siguiente:

Producir 400 unidades de material rido del tipo 1.


No es rentable producir material rido del tipo 3 y 4.

Existe una holgura de 20 horas de inspeccin de calidad.

La mxima utilidad de este plan se calcula reemplazando los valores ptimos entregados por el

plan en la funcin objetivo del problema, con lo cual ( ) unidades monetarias.




54

b) Para determinar la existencia de ptimos alternativos, se deben verificar los costos reducidos en

la tabla ptima. Como stos no fueron entregados, deben calcularse igualmente mediante el

formulismo del mtodo smplex revisado para as completar la tabla ptima del problema. Lo

primero entonces es calcular las columnas de restriccin ptimas que faltan en dicha tabla:

( ) ( ) (

) (

) (

)

Calculamos ahora el vector de valores duales :

( ) ( ) (

) ( )

Calculamos ahora el vector de costos reducidos:

( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( )

Por lo tanto, la tabla ptima completa del problema es la siguiente:

V.B.

0 1 11 19 3/2 -1 0 200

1 0 -12 -22 -2 2 0 400

0 0 2/5 8/5 1/10 -2/5 1 20

0 0 28 40 5 2 0 -6000

Se observa, en este caso, que todos los costos reducidos son positivos para las variables no

bsicas. Por lo tanto, no existen ptimos alternativos para este problema.

c) Como es una variable no bsica, el anlisis de sensibilidad es sencillo. Sea el cambio

(positivo o negativo) en el coeficiente de . Se tiene entonces lo siguiente:

Luego:

Por lo tanto, . Se tiene entonces que . Por lo tanto, la utilidad de puede

aumentar sin lmite sin cambiar la solucin ptima del problema. Sin embargo, slo puede disminuir

hasta en 58 unidades. Notemos que, de todas formas, no tiene sentido tener una utilidad negativa

en este tipo de problemas, porque las utilidades negativas representan costos. Por ello, la utilidad

puede bajar incluso a cero sin cambiar la base ptima de este problema. Se dice que es una

variable que otorga total flexibilidad. Sin embargo, no es rentable de todos modos.




55

d) Siendo una variable bsica, el anlisis es un tanto ms engorroso. Sea el cambio (positivo

o negativo) del coeficiente de en la funcin objetivo. Calculamos entonces las cotas de a

continuacin:

Cota superior:

{

}

Cota inferior:

{ }

Por lo tanto, se tiene que Por lo tanto, la utilidad del material rido del tipo 2

puede disminuir hasta en 2 unidades monetarias sin que ello modifique la base ptima del

problema.

e) Sea el cambio (positivo o negativo) en la cantidad de horas de chancado. Calculamos las

cotas de a continuacin:

Cota superior:

{

}

Cota inferior:

{

}

Por lo tanto, se tiene que

. Luego, la cantidad de horas de chancado varan en el

intervalo . Dentro de ese rango, la base ptima permanece

inalterada.

f) El mximo valor a pagar por una hora de harneado adicional corresponde, en teora, al valor del

precio sombra (o precio dual) asociado a la restriccin de harneado (que es la restriccin 2). Dicho

precio sombra es, de la tabla ptima, unidades monetarias. Este corresponde al valor

mximo a pagar por una hora de harneado adicional.

g) Como el precio sombra asociado a la restriccin de horas de chancado es unidades

monetarias, la oferta es beneficiosa y se acepta, porque se ofrece la hora adicional del recurso a

un valor menor, que es 3 unidades monetarias.

h) Tal y como se vi en (f), el precio sombra asociado a las horas adicionales de harneado es

unidades monetarias, y es el mximo a pagar por dicha capacidad adicional. El lmite

mximo ms all del cual la base ptima se modifica, con respecto a este recurso, se verficia

mediante el respectivo anlisis de sensibilidad. Sea el cambio (positivo o negativo) en las horas

de harneado. Las cotas de se calculan como sigue:




56

Cota superior:

{ }

Cota inferior:

{ }

Por lo tanto, se tiene que Luego, es posible arrendar un mximo de 50 horas

adicionales de harneado, sin que ello modifique la base ptima.

i) Si las horas de chancado aumentan hasta las 880 horas, se puede obtener la nueva solucin de

forma inmediata mediante el formulismo del mtodo smplex revisado. Para ello, la matriz inicial de

recursos debe incluir este cambio, por lo cual:

(

) (

) (

)

Luego, el nuevo plan ptimo es el siguiente:



No es rentable producir material rido del tipo 3 y 4.

Existe una holgura de 28 horas de inspeccin de calidad.

La nueva utilidad mxima se obtiene reemplazando estos valores en la funcin objetivo, con lo cual

se tiene que ( ) unidades monetarias. Naturalmente, este plan es ms rentable,

porque deja una utilidad mayor.

j) Sea el cambio (positivo o negativo) en las horas hombre de inspeccin de calidad. Las

cotas de se calculan de la tabla ptima como sigue:

Cota superior:

{ }

Cota inferior:

{

}

Por lo tanto, Luego, las horas de inspeccin pueden disminuir hasta en 20 unidades, sin

que ello modifique la base ptima del problema.




57

k) Segn los datos que entrega el problema, se debe agregar una nueva variable al modelo

original, que denotamos por . Utilizando los coeficientes de restriccin entregados para esta

variable y su utilidad original, es posible calcular su costo reducido de forma inmediata mediante el

uso del formulismo del mtodo smplex revisado. En efecto:

( ) ( )

Como el costo reducido de es negativo, entonces debe entrar a la base. Se asegura as al

menos una iteracin ms y, por tanto, al menos una mejora en la utilidad mxima de PETROMAT,

lo que implica que se acepta la produccin del nuevo material rido.

PROBLEMA #8

La empresa de transporte TRANSEC Ltda. realiza traslados de mineral desde las minas Alto, Cerro

e Indgena a distintas plantas concentradoras ubicadas a lo largo del pas. El gerente de finanzas y

logstica de TRANSEC desea determinar los recorridos ms convenientes, en trminos de costos,

para los futuros contratos.

Los costos de transporte, con sus respectivos requerimientos y suministros, se presentan en Tabla

31.

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4 Suministros

Alto 19 11 7 21 20

Cerro 13 5 9 14 10

Indgena 14 2 8 19 8

Requerimientos 15 8 10 5

Tabla 31: Detalle de los costos de transporte de TRANSEC

Determine las rutas ms convenientes para TRANSEC. Utilice el mtodo de mnimo costo para

encontrar la solucin bsica de inicio y analice sus resultados.

SOLUCIN: Lo primero es verificar si el problema se encuentra balanceado. En efecto:

Como la sumatoria de ofertas es igual a la sumatoria de demandas, el problema se encuentra

balanceado. El tableau de transporte, de esta forma, se construye de forma inmediata utilizando los

datos de Tabla 31:




58

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4 Oferta

Alto

Cerro

Indgena

Demanda

Tabla 32: Tableau de inicio para el modelo de TRANSEC

Desarrollando por mnimo costo, se llega a la siguiente solucin bsica de inicio. Se debe

considerar que se ha agregado una asignacin nula en la celda (2, 2) para as satisfacer el

teorema de secuenciacin:

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4 Oferta

Alto

Cerro

Indgena

Demanda

Tabla 33: Solucin bsica de inicio para el modelo de TRANSEC

Calculamos ahora los valores duales y costos reducidos para la primera iteracin, con lo cual se

tiene que la variable de entrada es .




59

Oferta

Demanda

Tabla 34: Primera iteracin del problema de TRANSEC

Una vez determinado que la variable de entrada es , se debe generar un loop para determinar la

variable de salida. Dicho loop se observa en Tabla 63. Como se debe cumplir que todas las

asignaciones sean positivas o nulas, la variable de salida se obtiene de las asignaciones limitadas

por la cantidad en el tableau anterior:




Oferta

Demanda

Tabla 35: Tableau ptimo del problema de TRANSEC




60

El tableau anterior ptimo, porque todos los costos reducidos son no negativos. La solucin ptima

de este problema es entonces El costo mnimo

asociado a las asignaciones anteriores es ( ) unidades monetarias.

Es interesante sealar que este problema presenta una solucin ptima degenerada, ya que la

asignacin en la celda (2, 2) es nula. Adems, tambin presenta ptimos alternativos, puesto que

el costo reducido de la variable no bsica es nulo.

PROBLEMA #9

La compaa manufacturadora de explosivos mineros ASIOP Mining Explosives Ltda. (ASIOPMEL)

fabrica detonadores elctricos para 3 empresas de explosivos en cada una de sus 3 plantas de

manufacturacin. Los costos de produccin varan debido a la tecnologa de produccin y el

rendimiento de los operarios. Los costos unitarios y la capacidad mensual de produccin, as como

la demanda de las empresas para el siguiente mes y el costo unitario de abastecimiento

(transporte) hacia las empresas clientes, se indican en Tabla 36.

Planta/Fbrica Hacia Costo/Unidad Produccin Fbrica

Demanda

Desde 1 2 3 ($/unid) Mensual Mensual

A 3 2 6 2 6000 1 4000

B 6 4 2 4 4000 2 6000

C 5 1 3 3 6000 3 2000

Tabla 36: Detalle del proyecto de manufacturacin de detonadores de ASIOPMEL

ASIOPMEL debe decidir cuntas unidades de detonadores se deben producir en cada planta, y

cunta demanda de cada cliente se abastecer desde cada una de ellas. Se desea minimizar el

costo total de produccin y transporte para ASIOPMEL en los siguientes escenarios:

1. Se emplea la capacidad total de produccin de las tres plantas.

2. Se produce slo la cantidad de detonadores necesaria para satisfacer la demanda.

SOLUCIN: Lo primero es verificar si el problema se encuentra balanceado. En efecto, asumiendo

que las producciones mensuales son las cantidades de oferta, se tiene que:




61

Como la sumatoria de ofertas no es equivalente a la sumatoria de demandas, el problema debe

balancearse aadiendo una fbrica artificial, cuya demanda sea igual al excedente de oferta en las

plantas de manufacturacin de detonadores.

Antes de comenzar el anlisis, se debe considerar que este problema presenta una singularidad: la

produccin de detonadores implica un costo fijo. Dicho costo est siempre presente, y por ende

debe ser aadido al algoritmo de transporte. La forma ms sencilla es sumar dicho costo fijo de

produccin a cada una de las celdas que definen las rutas de transporte (de forma ms directa,

sumar los costos fijos por filas), para as resolver el problema correctamente. De lo anterior, el

tableau de inicio para el modelo de ASIOPMEL es el siguiente:

Fbrica 1 Fbrica 2 Fbrica 3 Artificial Oferta

Planta A

Planta B

Planta C

Demanda

Tabla 37: Tableau de inicio para el modelo de ASIOPMEL

Desarrollando por el mtodo de mnimo costo, se llega a la siguiente solucin bsica de inicio:

Fbrica 1 Fbrica 2 Fbrica 3 Artificial Oferta

Planta A

Planta B

Planta C

Demanda

Tabla 38: Solucin bsica de inicio del modelo de ASIOPMEL




62

La asignacin anterior es correcta, porque satisface el teorema de secuenciacin. Calculamos

ahora los valores duales y costos reducidos para la primera iteracin, con lo cual se tiene que la

variable de entrada es .

Oferta

Demanda

Tabla 39: Primera iteracin del problema de ASIOPMEL

Una vez determinado que la variable de entrada es , se debe generar un loop para determinar la

variable de salida. Como se debe cumplir que todas las asignaciones sean positivas o nulas, la

variable de salida se obtiene de las asignaciones limitadas por la cantidad en el tableau anterior:


, el cual corresponde a la celda (2, 1). Luego, la variable de salida es . Luego:




63

Oferta

Demanda

Tabla 40: Solucin ptima del problema de ASIOPMEL para el primer escenario

La tabla anterior es ptima, porque todos los costos reducidos son no negativos. La solucin

ptima es entonces El

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Guía de Ejercicios Optimización 2012-2 (1).pdf