Guía de Matemáticas para 3er. grado 1er. bloque

1.1Efectuar o simplificar

cálculos con expresiones algebraicas tales como: ( x + a )²; (x + a)( x + b); (x + a)( x - a). Factorizar expresiones algebraicas tales como x² + 2ax + a²;

ax² + bx; x²+ bx + c; x² - a²

Con las figuras que tienes a continuación es posible formar cuadrados.Observa detenidamente los cuadrados que se formaron con estas figuras.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

11

1x

x

x

Medida de Perímetro Áreacada lado

Cuadrado A x + 1 4(x + 1)= 4x + 4 (x + 1)² =(x + 1)(x + 1)= x² + x + x + 1= x² + 2x + 1

Cuadrado B

Cuadrado C

Completa la siguiente tabla:

En todos los casos, el área de cada cuadrado es una expresión de tres términos, y siempre se comporta de la misma manera.

¿Podrás decir cómo se formó cada término?

Primer término: ____________________________________________________________

Segundo término: ____________________________________________________________

Tercer término: ____________________________________________________________

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones

A B C

1B

LOQ

UE 1

OPERACIONES COMBINADAS

De la forma ( x + a ) ²

x - 2

Un cuadrado, que mide "x" de lado, como se muestra en la figura, se recorta a manera de que se forme otro cuadrado más pequeño, encuentra su área.

figura A figura B

El área de la figura A es igual a (x)(x) = x²

Si le asignamos un valor cualquiera a la x, pensemos en 6

El área de la figura A es igual a (6)(6) = 6² = 36

El área sombreada de la figura B es igual a (x - 2)(x - 2) = x² - 4x + 4

Si seguimos considerando el valor de 6 para la x

El área sombreada de la figura B es igual a (6 - 2)(6 - 2) = 6² - 4(6) + 4 = 36 - 24 + 4 = 16

En equipo, encuentra el área de cuadrados y comprueba gráficamente el resultado.

valor de x área del cuadrado

8 x² = _______ (x - 2)(x - 2) = _______________________________

5 x² = _______ (x - 3)(x - 3) = _______________________________

7 x² = _______ (x - 1)(x - 1) = _______________________________

x x - 2

BLO

QU

E 1

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones2

BLO

QU

E 1

Aplicando la regla anterior, resuelve anotando en el espacio el término que falta. Si tienes duda realiza las operaciones.

1) ( x + y )² = x² + 2 xy + _______

2) ( 2 a - b )² = 4 a² - _______ + b²

3) ( 5 x - 3 y )² = _______ - 30 xy + 9 y²

4) ( m + 3 n )² = m² + _______ + 9 n²

5) ( 2 r + 3 t )² = _______ + 12 rt + _______

6) ( c - 4 d )² = c² - _______ + _______

7) ( 7 a² + b )² = _______ + 14 a²b + _______

8) ( d² - e² )² = _______ - 2 d² e² + e

9) ( z³ - w² )² = z - _______ + _______

10) (4 b² + 5 c )² = _______ + _______ + 25 c

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

4

4

6

8

23

49

43

35

65

54

25

34

425

916

38

13

19

3

32

23

49

56

3 5

22

22

2 2

22

4

22

4 2

3 22

4

2 2

2

2

2

3 52

5 3

a b a ab

b d b d d

m n m

t w t w

x y y

ab

ab

cc c

y a a y

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + +


BLO

QU

E 1

El resultado de elevar un Binomio al Cuadrado recibe el nombre de

" TRINOMIO CUADRADO PERFECTO "

Resuelve en equipo aplicando la regla.

1) ( p + q )² = p² + 2 pq + q²

2) ( r - w )² = ________________________________________________________

3) ( 2 a + 3 )² = ________________________________________________________

4) ( 5 + 3 d )² = ________________________________________________________

5) ( 8 a - 3 b )² = ________________________________________________________

6) ( 5 c - 6 d )² = ________________________________________________________

7) ( w + 2 )² = ________________________________________________________

8) ( 2 c + 3 d³ )² = ________________________________________________________

9) ( e² - 3 f )² = ________________________________________________________

10) ( f ³ + 5 g )² = ________________________________________________________

11) ( 2 d² + 3 e )² = ________________________________________________________

12) ( 5 h³ - g )² = ________________________________________________________

13) ( t² + r )² = ________________________________________________________

14) ( m - n )² = ________________________________________________________

15) ( p² + q³ )² = ________________________________________________________

16)

17)

18)

19)

4

2312

27

3 38 5

( ) ( )

( )( )

4 2

2

15

14

23

32

2

3

2

2

2

2

ab

mn

nm

x x

yy

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

+−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−+

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=


FACTORES O DIVISORES

( 3 ) ( 4 ) ( - 6 ) = - 72

( 3 x ) ( 2 y ) = 6 xy

( 2 mn ) ( 5 n ) = 10 mn²

( - 5 x ² y ) ( 3 x ³ y ² ) = - 15 x y ³

Encuentra el factor que falta para que la igualdad sea verdadera.

5

Al procedimiento que realizamos en el ejercicio anterior lo llamamos FACTORIZACIÓN.

"FACTORIZAR ES DESCOMPONER EN FACTORES UNA CANTIDAD"

EXTRACCIÓN DE UN FACTOR COMÚN

Las expresiones algebraicas que al multiplicarse entre sí, dan como producto otra expresión algebraica, reciben el nombre de factores o divisores.

Para encontrar en un polinomio un factor común, es decir una expresión que sea un factor de cada uno de los términos del polinomio, nos apoyamos en el máximo común divisor. (M.C.D.)

EJEMPLO: Extraer el factor común del polinomio 12 m³ + 18 m² + 36 m

Buscamos el M.C.D. 12 m³ + 18 m² + 36 m 2 m

6 m² 9 m 18 3 ( 2 m ) ( 3 ) = 6 m

2 m² 3 m 6 M.C.D. = 6 m

FACTORIZACIÓN

24 x

8x

3x

Factores: ( 3 x ) ( 8 x )

2

1) 8 a = ( 4 a ) ( )

2) 12 mn = ( 3 m) ( )

3) 15 x²y = ( 5 x ) ( )

4) - 14 m³ = ( ) ( 7 m )

5) 48 a³b² = ( 6 a ) ( 2 b² ) ( )

6) 36 m²nx = ( 3 n ) ( 4 x ) ( )

7) - 6 a² + 12 b² = 3 ( + 4 b² )

8) 5 mn + 10 m = 5 m ( + )

9) 24 xy - 32 x = 8 x ( - )

10) 18 x²y - 9 xy² = 9 xy ( - )

BLO

QU

E 1Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones

5

BLO

QU

E 1

El factor común es "6 m", ( 2m )( 3 ) porque "6 m" está incluído en los tres términos del polinomio.

La factorización de 12 m³ + 18 m² + 36 m , con un factor común es: 6 m ( 2 m ² + 3 m + 6 )

Los factores son ( 6 m ) y ( 2 m² + 3 m + 6 )

6 m ( 2 m² ) = 12 m³ 6 m ( 3 m ) = 18 m² 6 m ( 6 ) = 36 m

6m ( 2 m² ) + 6 m ( 3 m ) + 6 m ( 6 ) = 12 m³ + 18 m² + 36 m

Factorizar con factor común, las siguientes expresiones algebraicas.

4

1) a² + ab = a ( a + b )

2) 3 a³ - a² = _______________________________________________

3) 15 m³ + 5 m² = _______________________________________________

4) 2 a²x + 6 ax² = _______________________________________________

5) 8 m² + 12 mn = _______________________________________________

6) 9 a³x - 18 ax = _______________________________________________

7) 12 c³d² + 36 c²d³ = _______________________________________________

8) 15 y³ + 20 y² - 5 y = _______________________________________________

9) 4 x² - 8 x + 2 = _______________________________________________

10) a³ + a² + a = _______________________________________________

11) 8 y² + 12 y - 20 y³ = _______________________________________________

12) 3 w + 3 w³ + 9 w² = _______________________________________________

13) 18 c³ - 6 c² + 9 c = _______________________________________________

14) 18 x³ - x² = _______________________________________________

15) 81 m - 27 m + 56 m = _______________________________________________

16) 10 ab - 5 ab² + 15 a²b = _______________________________________________

17) 100 + 10 x² - 20 x³ = _______________________________________________

18) 12 n² - 9 n³ + 6 mn = _______________________________________________

19) t + t²u - tu³ = _______________________________________________

20) 16 cd² - 8 c²d + 4 cd = _______________________________________________

21) 25 cv² + 75 c³v - 100 cv = _______________________________________________

22) abx³ + a²bx - ab³x = _______________________________________________

5

5 8 6


Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto aplicamos la regla siguiente:

m² + 2 mn + n²

1.- Se extrae raíz cuadrada al primer término. m

2.- Se extrae raíz cuadrada al tercer término. n ( m + n )²

3.- Se anota el signo del segundo término. +

4.-Se comprueba si a l mult ip l icar la raíz del primero por la raíz del tercero y duplicado, da el segundo término. m² + 2 mn + n² = ( m + n )²

Obtén el binomio cuadrado del cual surge cada uno de los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO B

LOQ

UE 1


x² + 2 xy + y² = ( x + _____ )²

r² + 2 rw + w² = ( ____ + _____ )²

64 m² + 64 mn + 16 n² = _________________________

49 c + 42 c²d² + 9 d = _________________________

4 y² + 12 y + 9 = _________________________

25 d² + 10 d + 1 = _________________________

16 a² - 4 a + = _________________________

m - 2 m²n + n² = _________________________

a² - ab + 4 b² = _________________________

w² - 14 w + 49 = _________________________

= _________________________

= _________________________

= _________________________

= _________________________

= _________________________

44

4

49

14

83

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16 24 9

916

2 169

4 4

64 144 81

2

6 3 2 4

4 2 5 10

2

2 6 3 3 6

4 2 2 2 4 2

v v u u

m m n n

k k

d e de f f

a x a b xy b y

+ +

− +

− +

+ +

− +

BLO

QU

E 1 De un cuadrado de lado "x" se corta un cuadrado más chico de lado "y".

Con las partes que quedan se forma un rectángulo.

y

y

x

x

x + y

x - y

¿Cuál es el área del cuadrado A? ¿Cuál es el área del cuadrilátero B?

( x ) ( x ) = _________________ ( x + y ) ( x - y ) = ____________________________

Si observas con cuidado, encontrarás la forma para resolver productos como el del ejemplo.

A B

De la forma (x + a)( x - a)

En todos los casos, el área de cada rectángulo es una expresión de dos términos, y siempre se comporta de la misma manera.


Primer término: ______________________________________________________________

Segundo término:______________________________________________________________

Largo del rectángulo = _____________

Ancho del rectángulo = _____________

Área del cuadrado = _____________

3m

2n

Largo del rectángulo = ________________ Áncho del rectángulo = ________________

Área del rectángulo = ________________

3m

2n


BLO

QU

E 1Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones

9

Resuelve los siguientes productos.

( w + 5 ) ( w - 5 ) = ____________________________________________

( 5 p + 6 q ) ( 5 p - 6 q ) = ____________________________________________

( - m + t ) ( m + t ) = ____________________________________________

( a + b ) ( a - b ) = ____________________________________________

( 2 c² + d ) ( 2 c² - d ) = ____________________________________________

( - 4 y + z² )( - 4 y - z² ) = ____________________________________________

( a + 3 b ) ( a - 3 b ) = ____________________________________________

( a² + c³ )( a² - c³ ) = ____________________________________________

( 2 m³ + 3 n ) ( 2 m³ - 3 n ) = ____________________________________________

( r² - t³ )( r² + t³ ) = ____________________________________________

( 7 m + 3 n )( 7 m - 3 n ) = ____________________________________________

( 2 a - d )( - 2 a - d ) = ____________________________________________

( 3 g + 2 h )( 3 g - 2 h ) = ____________________________________________

( 9 x² + 3 y³ )( 9 x² - 3 y³ ) = ____________________________________________

( m + n² )( m - n² ) = ____________________________________________

( ab + c )( - c + ab ) = ____________________________________________

( 7 + 3 )( 7 - 3 ) = ____________________________________________

( x² + 3 y³ )( x² - 3 y³ ) = ____________________________________________

( 1.2 x - 2.4 a³ )( 1.2 x + 2.4 a³ ) = ____________________________________________

[ ( x + y ) - a ] [ ( x + y ) + a ] = ____________________________________________

[ ( m - n ) + b ] [ ( m - n ) - b ] = ____________________________________________

[ x - ( y - z ) ] [ ( y - z ) + x ] = ____________________________________________

( m ² + n³ ) ( n³ - m² ) = ____________________________________________

( - 3 k - 5 t ) ( - 5 t + 3 k ) = ____________________________________________

( 3² + 5² ) ( 5² - 3 ² ) = ____________________________________________

23

23

35

35

73

73

34

34

44

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

2 3 2 35 7 5 7

3 1 1 35 2 2 5

2 27 7

BLO

QU

E 1

FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS


La factorización de una diferencia de cuadrados es el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

a² - b² = ( a + b ) ( a - b )

1.- Se extrae raíz al primer término, que será el primer término de los binomios.

2.- Se extrae raíz al segundo término, que será el segundo término de los binomios.

3.- Un binomio será la suma y el otro será la diferencia.

Factoriza la diferencia de cuadrados.

1) x² - 25 = ( + ) ( - )

2) z - y = ( + ) ( - )

3) 36 y² - 49 = ( + ) ( - )

4) m² - n² = ( + ) ( - )

5) 9 d² - 16 e² = ( + ) ( - )

6) 25 x - 64 y² = ( + ) ( - )

7) c² - = ( + ) ( - )

8) 81 a - 36 s = ( + ) ( - )

9) - 49 c² + 16 d² = ( + ) ( - )

10) - 36 g² + 4 h = ( + ) ( - )

11) 121 x² - 144 y² = ( + ) ( - )

12) ( x + y )² - ( x - y )² = ( + ) ( - )

2536

19

46

4

4

46

- b

a

a + b

a²

- b²

+ ab

- ab

BLO

QU

E 1

De la forma (x + a)( x + b)


Se tiene un rectángulo y se corta en cuatro figuras como se muestra.

El área de la figura A es: .................... _________________

El área de la figura B es: .................... _________________

El área de la figura C es: .................... _________________

El área de la figura D es: .................... _________________

El área del rectángulo que forman las figuras A, B, C y D, es:

_________________________________________________

En todos los casos, el área de cada rectángulo es una expresión de tres términos y siempre se comporta de la misma manera.


Primer término: ______________________________________________________________

Segundo término: ____________________________________________________________

Tercer término: ______________________________________________________________

Aplicando esta regla, completa las siguientes expresiones.

1) ( m + n ) ( m + p ) = m² + m ( n + p ) + ______

2) ( x + y ) ( x + z ) = ______ + x ( x + z ) + ______

3) ( 2 a + b ) ( 2 a + c ) = 4 a² + 2 a ( ______ + ______ ) + bc

4) ( r + p ) ( r - q ) = ______ + r ( ______ + ______ ) - pq

5) ( 3 d - 4 e ) ( 3d - 5 f ) = 9 d² + 3 d ( - 4 e - 5 f ) + ( ______ )

6) ( 4 g - 2 h ) ( 4 g + 3 j ) = ________ + ________ - 6 hj

7) [ ( y - 2 ) + b ] [ b - ( y + 3 ) ] = b² + b [ ( __ - __ ) + ( __ + __ )] + ( ) ( )

x

2 D

B

C

A

4x

BLO

QU

E 1

Resuelve los siguientes productos notables.

( r + 2 p ) ( r + 9 ) = r² + r ( 2 p + 9 ) + ( 2 p )( 9 ) = r² + 2 pr + 9 r + 18 p

1) ( 2 t + w ) ( 2 t + x ) = ______________________________________________

2) ( 4 + a ) ( - 3 + a ) = ______________________________________________

3) ( a + b ) ( d + b ) = ______________________________________________

4) ( 3 d + 2 e ) ( 3 d - 5 f ) = ______________________________________________

5) ( 2 x - y ) ( 2 x + z ) = ______________________________________________

6) ( 3 f² + 1 ) ( 5 + 3 f² ) = ______________________________________________

7) ( 4 a - w³ ) ( 3 a - w³ ) = ______________________________________________

8) [ ( x + 1 ) - a ] [ a + ( x + 1 ) ] = ______________________________________________

9) ( x + 2 a ) ( x + b ) = ______________________________________________

10) ( - 4 a - 3 ) ( - 4 a - 5 ) = ______________________________________________

11) ( 3 m + 1 ) ( 3 m - 2 ) = ______________________________________________

12) ( a + x ) ( a + y ) = ______________________________________________

13) ( 2 c + 3 d ) ( 2 c - 2 e ) = ______________________________________________

14) ( - h + g ) ( - h - j ) = ______________________________________________

15) ( 4 t - 2 w ) ( 4 t - 3 y ) = ______________________________________________

16) ( c + 2 x ) ( c - 3 y ) = ______________________________________________

17) ( x + a ) ( x + b ) = ______________________________________________

18) ( 5d + 2e ) ( 2e - 5d ) = ______________________________________________

19) ( a b³ - b² c ) ( a b³ + b² c) = ______________________________________________

20) ( 7b³ - b² d ) ( 7b³ + b² d) = ______________________________________________

1 12 2

1 15 5


BLO

QU

E 1

FACTORIZACIÓN La factorización del trinomio que resultó del producto de dos binomios con un término común, se obtiene de la siguiente manera.

Si tenemos el producto notable: x ² + 7 x + 12

1.- Buscamos la raíz cuadrada del primer término, que será el término común en los dos binomios. ( x ) ( x )

2.- Dividimos el segundo término del trinomio entre el término común, este cociente lo descomponemos en dos cantidades, tales que multiplicadas den el tercer término y que sumada y multiplicada por el término común formen el segundo término.

7 x x

3.- El 7 se descompone en dos sumandos que son : 6 + 1, 5 + 2 ó 4 + 3; seleccionamos los que al multiplicarse nos de el tercer término, es decir 4 y 3, ya que ( 4 ) ( 3 ) = 12 (tercer término) y ( 4 + 3 ) por ( x ) = 7 x (segundo término)

Así pues, la factorización de x² + 7 x + 12 = ( x + 3 ) ( x + 4 )

Otro ejemplo: y² - 4y - 12 = ( y - 6 ) ( y + 2 )

Sumandos que den - 4 factores que den - 12 - 1 y - 3 = - 4 (- 1) (- 3) = + 3 - 2 y - 2 = - 4 (- 2) (- 2) = + 4 - 5 y + 1 = - 4 (- 5) (+ 1) = - 5 - 6 y + 2 = - 4 (- 6) (+ 2) = - 12

= 7

El - 6 y + 2 satisfacen la condición de que sumados dan el 2º témino y multiplicados dan el 3º término; por lo tanto, son la parte no común de los b inomios que resu l ta de factorizar el trinomio.

Factoriza los siguientes trinomios en binomios con un término común.

m² + 6 m + 5 = ( m + 5 ) ( m + 1 )

x² - 2 x - 8 = ( ) ( )

9 a² - 27 a + 8 = ( ) ( )

49 m - 14 m² - 3 = ( ) ( )

16 y² - 32 y + 15 = ( ) ( )

4 a² + 4 a - 15 = ( ) ( )

m² + 11 m + 24 = ( ) ( )

25 x² + 20 x + 4 = ( ) ( )

64 r² - 40 r + 6 = ( ) ( )

g² + 7 g + 10 = ( ) ( )

h² - 7 h + 10 = ( ) ( )

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)


BLO

QU

E 1

Forma, espacio y medida Formas geométricas

Organizados en parejas, hagan lo siguiente.

1.- Marquen los cuadriláteros que, al cortarlos por una diagonal se obtienen dos triángulos CONGRUENTES (iguales).

2.- Para verificar su afirmación, en una hoja aparte dibujen los cuadriláteros y tracen una diagonal en cada uno de ellos, recórtenlos y comparen las figuras resultantes de cada cuadrilátero. Luego respondan:

¿En qué cuadriláteros los triángulos que se forman son CONGRUENTES?

_____________________________________________________________________________

¿Qué características debe tener un cuadrilátero, para que al trazarle una diagonal se formen dos triángulos CONGRUENTES?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Observa los siguientes dibujos:

CUERPO, es todo lo que ocupa un lugar en el espacio.Las líneas tienen una dimensión que es la LONGITUD.Las superficies tienen dos dimensiones, LARGO y ANCHO.Los cuerpos tienen tres dimensiones, LARGO, ANCHO y ALTO.Las líneas, las superficies y los cuerpos son FORMAS GEOMÉTRICAS.

1.2Aplicar los criterios de

congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los

cuadriláteros.

14

TRIÁNGULOSY

CUADRILÁTEROS

FIGURAS PLANAS

CBA

FED

Símbolo de congruencia

BLO

QU

E 1

Subraya la respuesta correcta, si son o no congruentes las siguientes figuras.

Haz un trazo congruente para cada caso:

a) Segmento de 5 cm de largo. b) Un ángulo de 30 grados.

c) Un cuadrado de 10 cm de perímetro. d) Un círculo de 4 cm de diámetro.

SÍ - NO SÍ - NO SÍ - NO

SÍ - NO SÍ - NO SÍ - NO

El punto medio de un segmento es el punto que separa al segmento en dos segmentos congruentes.

Desde luego, dos segmentos rectilíneos no necesitan ser parte de la misma recta para ser congruentes. Una forma sencilla para determinar si dos segmentos son congruentes o no, es utilizando un compás. __ __ __

Si C es el punto medio de AB, entonces AC es congruente con CB.

Forma, espacio y medida Formas geométricas15

~

La longitud de un segmento se escribirá MNEl segmento M'N' es congruente con MN

Se indica escribiendo M'N' = MN

A C B

BLO

QU

E 1

Tenemos el triángulo A B C cuyos lados miden AB = 6 cm, BC = 4 cm y AC = 5 cm. Conocemos los tres lados

Hay tres criterios de congruencia:

1) Conocidos los tres lados (lado, lado, lado) = (L,L,L).

2) Conocidos dos lados y el ángulo entre ellos (lado, ángulo, lado) = (L,A,L).

3) Conocido un lado y los ángulos de sus extremos (ángulo, lado, ángulo) = (A,L,A). Vamos trazando triángulos congruentes.

CASO 1

Dos o más figuras son CONGRUENTES, si tienen la misma forma y la misma medida.

Los ÁNGULOS CONGRUENTES son los que miden lo mismo

CONGRUENCIA ENTRE TRIÁNGULOS

Dos o más triángulos son congruentessi tienen iguales sus tres lados

A B~=A B45° 45°

1.- Trazamos dos segmentos AB y A'B' de 6 cm de

longitud cada uno.

2.- Se apoya el compás en A y A' y trazamos un arco con radio de 5 cm, enseguida se apoya el compás en B y B' y trazamos un arco con radio de 4 cm.

3.- Estos dos arcos se cortan en los puntos C y C'. Si se unen los puntos A, B, C, y A', B', C' se obtienen los triángulos congruentes.


Se obtiene: AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C'

RESULTADO ABC = A'B'C'

BLO

QU

E 1

1.- Se trazan dos segmentos AB y A'B' de 5 cm

de longitud cada uno.

2.- Con el transportador se trazan los ángulos A, A' y B, B', ya conocidos.

3.- De los vértices A, A' y B, B' y con la medida de los ángulos obtenidos, trazamos las líneas correspondientes y en la intersección tendremos el vértice C y C'.

CASO 2

CASO 3 Dos o más triángulos son congruentes, si un ladoy los ángulos de sus extremos son iguales.

Conocido un lado y los ángulos de sus extremos. Sea el triángulo ABC con AB = 5 cm, A = 60° y B = 45°Conoces un lado y dos ángulos.


C'

A' B'30°

6 cm

5 cm

C

30°A B6 cm

5 cm 1.- Trazamos dos segmentos AB y A'B' de 6 cm

de longitud cada uno.

2.- Sobre los vértices A y A' se mide el ángulo dado A = 30°.

3.- Sobre la medida de cada ángulo se trazan los otros lados AC y A'C' de 5 cm de longitud.

4.- Por último, se une con un segmento de recta

los puntos BC y B'C'.

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Sea el triángulo ABC con AB = 6 cm, AC = 5 cm y A = 30°Conoces dos lados y un ángulo.

Se obtiene: AB = A'B', A = A', AC = A'C' RESULTADO: ABC = A'B'C'~

~~ ~

C

60° 45°A B5 cm

5 cm

C'

60° 45°A' B'

Se obtiene: A = A', AB = A'B', B = B' RESULTADO: ABC = A'B'C'

~~~

~

BLO

QU

E 1

A

J

Aplica los tres criterios de congruencia de triángulos para construir triángulos basados en lo siguiente:

¿Cuáles son triángulos congruentes?

( L, L, L ) ( L, A, L ) ( A, L, A )

L = 3 cm L = 6 cm = 63ºL = 4 cm = 45º L = 3.8 cmL = 5 cm L = 6 cm = 49 º

I

a

b

c

K

a

bcm n

2.5 cm


B

60° 70°

3.5

cm

2.5 cm

2 cm

3 cm

F

90°

60° 70°

3.5 cm2.75

cm

2 cm

E

2 cm

3.5 cm

2.75 cm

A

H

Amn

90°

3 cm

2 cmG4 cm

8 cm

6 cmC

A = __________B = __________C = __________D = __________E = __________F = __________G = __________H = __________ I = __________J = __________K = __________

~~~~~~~~~~~

BLO

QU

E 1

CuadradoRectánguloRomboRomboide

A estos cuadriláteros también se les llama PARALELOGRAMOSporque tienen sus lados paralelos y congruentes.

1 2 3 4 5 6

PROPIEDAD DE LOS TRIÁNGULOS

PARALELOGRAMOS

LOS CUADRILÁTEROS TIENEN CUATRO LADOS1.- Cuadrado.2.- Rectángulo.

3.- Rombo.4.- Romboide.5.- Trapecio.6.- Trapezoide.

Son cuadriláteros

La suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. Trazo auxiliar de RS paralela a BC forman los ángulos M y N.

DEMOSTRACIÓN

m + α + n = 180° por ser ángulos colineales o suplementarios. m = β por ser ángulos ALTERNOS - INTERNOS. n = χ por ser ángulos ALTERNOS - INTERNOS. β + α + χ = 180° sustituyendo igualdades anteriores.

Encuentra el valor de los ángulos que faltan.

R---------------------------SA

m nα

β χB C


b a a b c

40º a = _______

b = _______

a = __________

b = __________

c = __________

x = ________

A = ________

B = ________

105º

m

70°

55°

m = ______B

2x + 5°

3x + 8°

67°

A45º

BLO

QU

E 1

Necesitamos medir la distancia entre dos puntos A y B, los cuales se encuentran se separados por una laguna en el desierto, ¿cómo harías para calcular dicha distancia sabiendo que no tienes los medios para hacerlo directamente?

Un primer intento es tratar de "reproducir" la distancia entre A y B a una parte accesible para medirla directamente. ¿Cómo harías esto?

Sabemos que la distancia entre dos puntos es igual a la longitud del segmento que va de A a B, ahora la pregunta es ¿cómo construir un segmento, en una parte accesible, A'B' = AB? Es claro que tratar de hacerlo a "ojo" es complicado, es decir, como garantizar que la construcción hecha da realmente la medida deseada. Una posible solución es, tratar de construir una figura de tal forma que el segmento que se quiere medir forme parte de dicha figura, y tratar de "reproducirla" en una parte accesible para medir el segmento que se corresponde con el segmento que se quiere medir.

La figura más fácil de construir a partir de un segmento es un triángulo, entonces el problema se reduce a saber si podemos hacer alguna construcción a partir del triángulo ABC de tal forma que nos lleve a resolver el problema. Lo primero que se ocurre es construir otro triángulo, pero; ¿cómo hacerlo para solucionar el problema planteado al principio?

SOLUCIÓN.

Fijamos un punto accesible C de tal manera que se pueda medir el segmento A'C y B'C, prolongamos el segmento AC hasta un punto B' que cumpla AC = CB', análogamente prolongamos BC de modo tal que BC = CA'. Afirmamos que A'B' = AB; si esto pasa habremos resuelto el problema.

Bien, repasemos la solución que dimos al problema, construímos un triángulo a partir de otro que cumple con la propiedad de tener dos lados y el ángulo formado entre estos iguales a sus correspondientes en el otro triángulo (la igualdad de los ángulos se da por ser opuestos por el vértice).

Ahora demostremos si dados dos triángulos, con las características descritas arriba podemos concluir que el tercer lado es igual.

Dados dos triángulos ABC y _______ tales que:

AC = ______, ______ = A'C y

ACB = ______

entonces ______ = ______


Laguna HuacachinaDesierto de Ica, Perú

A B

B' A'

C

A B

A' B'

C

Ubiquémonos en un terreno plano, que nos permita hacer las medidas que requiramos. Para ello, el terreno lo escogemos enfrente de la LAGUNA, señalando un punto C, en el terreno plano, que se encuentre a la altura de la parte media de la longitud AB. Con el punto C, estamos formando un triángulo isóceles ABC, donde se encuentra la medida que buscamos, en su lado AB; aún así, no podemos medir los lados AC y BC, cuyas longitudes son iguales, pero tienen una parte de ellas sobre la laguna.

Entonces, reproduzcamos, en el terreno plano, otro triángulo que sea semejante al ABC; as í pues , prolonguemos el lado AC, una longitud igual a él mismo, hasta marcar un punto A' y hagamos lo mismo con el lado BC, localizando el punto B'. Al unir los puntos A' y B', habremos logrado el triángulo A'B'C, sobre el terreno plano, siendo más fácil realizar medidas en él.

Busquemos la solución midiendo las longitudes de A'C y B'C, que deben ser iguales y, de la misma forma, midamos A'B', que debe tener la misma longitud del ancho de la laguna, que es el valor de nuestro interés.

BLO

QU

E 1

Dada la medida de un ángulo, calcular el valor de los demás.

1) ZWY + WYZ + YZW = 180° 2) YWX + WXY + XYW = 180° 45° + 45° + 90° = 180° 45° + 90° + 45° = 180°

1 + 2 = 360º

La suma de los ángulos interiores de los triángulosque forman el cuadrilátero es igual a 360º

180° + 180° = 360°

Son CONGRUENTES los ángulos y los lados opuestos de los paralelogramos.

4 = 120°

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.

Al trazar una diagonal en cualquier PARALELOGRAMO se forman dos triángulos congruentes

D C

A B

X

12

Y

W

Z


1 23 4

5 67 8

120°

~ ABC = ACD

ABC = 180°

ACD = 180°

ABC + ACD = 360°

1 = _____ 2 = _____

3 = _____ 4 = _____

5 = _____ 6 = _____

7 = _____ 8 = _____

9 = _____ 10 = _____

11 = _____ 12 = _____

13 = 55° 14 = _____

15 = _____ 16 = _____

1 23 4

5 67 8

9 1011 12

13 1415 16

4 + 11 = ________

6 + 13 = ________

4 + 11 + 6 + 13 = _________

BLO

QU

E 1

Consideren que la figura ABCD es un PARALELOGRAMO y que el segmento BD es una diagonal. Con base en esta información, busquen, organizados en equipos, los argumentos necesarios para asegurar que los triángulos ABD y BCD son congruentes.

Consideren que la figura ABCD es un PARALELOGRAMO, que los segmentos AC y BD son sus diagonales y que el punto O es donde se cruzan las diagonales. Con base en esta información, busquen, organizados en equipos, los argumentos necesarios para asegurar que las diagonales se cortan en su punto medio, es decir, que AO es igual a OC y BO es igual a OD.

Con base en la información que ofrece la siguiente figura, organizados en parejas, calculen las medidas que se piden y justifiquen sus respuestas.

Las medidas de AC y BD suman 60 cm. Si AM mide 3/10 de dicha suma, calcula: AM = __________ DM = __________ CM = _________ AC = __________ BD = __________ BM = _________

Si CD mide el triple de AD, y el perímetro de ABCD es de 80 cm, calcula la longitud de los cuatro lados del paralelogramo. AM = __________ DM = __________ AC = __________ BD = __________

A B

D C57º68º M

A D

B C

12

3

4

A D

B C

O

BCD = ________ DAB = ________ ABC = _______

CDA = ________ CBD = ________ DBA = ________


E Q

Cada figura está formada por triángulos, escribe sobre las líneas los que sean congruentes.

M L

N O

P

______ = ______~ ______ = ______~

A D C

B______ = ______~

______ = ______~ ______ = ______~

La siguiente figura es un hexágono regular:¿Cuántos de los triángulos en la figura anterior son congruentes con el triángulo ABJ?

_______ _______ _______ _______ _______

¿Cuántos de los triángulos en la figura anterior son congruentes con el triángulo CDE?

_______ _______ _______ _______ _______

¿Cuántos de los triángulos en la figura anterior son congruentes con el triángulo EMD?

_______ _______ _______ _______ _______


BLO

QU

E 1

A B

F C

E D

G

H LM

I

J

K

______ = ______~B

A

C

D

______ = ______~

C

B

A

D

L O

M Ñ

N

______ = ______~MNO

P K

L

BLO

QU

E 1

Recordando los conocimientos que ya has adquirido durante los años que ya cursaste,

expresa los conceptos de circunferencia y círculo.

1.3Determinar mediante

construcciones las posiciones relativas entre rectas y una

circunferencia y entre circunferencias.

Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.

En los cursos que ya has acreditado, aprendiste lo que son las rectas y segmentos en relación con la circunferencia; además, la suma de las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y cuadriláteros. ¡Ahora bién! anota la respuesta a lo que enseguida se presenta y compárala con la de tus compañeros.

La línea curva cerrada recibe el nombre de: .................................. ______________________

La región interior limitada por la línea curva cerrada se llama: ....... ______________________

Cuerda: __________________________________________________________________

Diámetro: __________________________________________________________________

Radio: __________________________________________________________________

Secante: __________________________________________________________________

Tangente: __________________________________________________________________

Arco: __________________________________________________________________

Circunferencia: ________________________________________________________________

Círculo: ________________________________________________________________

La circunferencia y el círculo, ¿son figuras geométricas diferentes? ... ___________________

¿por qué? ________________________________________________________________

¿Cómo se llaman las siguientes figuras?

RECTAS Y ÁNGULOS

Forma, espacio y medida Formas Geométricas23

BLO

QU

E 1

¿Cuáles resultaron ser rectas? ........................................... _____________________________

¿Cuáles resultaron ser segmentos? .................................... _____________________________

¿Cuánto mide el radio con respecto al diámetro? ............... _____________________________

¿Cuántas cuerdas se pueden trazar en un círculo? ........... _____________________________

¿Cuál es la cuerda de mayor dimensión? ........................... _____________________________

Forma un equipo con dos de tus compañeros, tracen pares de circunferencias en diversas posiciones.

1ª Posición 2ª posición 3ª posición

¿Cuántas posiciones diferentes pueden existir? _____________ Descríbanlas: ______________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Considerando que la recta "r" es tangente a la circunferencia "A". ¿Cuánto mide el ángulo central trazado en la circunferencia?

Forma, espacio y medida Formas Geométricas24

r

A30º

x

x = _______ r

A60º

y

y = ________

Calcular el valor del ángulo que se te indica en las siguientes figuras, sabiendo que la recta AD es tangente a las circunferencias.

a c d110º

m

n pq

mn

a

b

80º

a

b

c

105º

m = _____ n = _____a = _____

b = _____

70º

a = _____ b = _____ c = _____

a = _____ m = _____ n = _____ c = _____ d = _____ p = _____ q = _____

A

D

A

D

D

A

A

D

BLO

QU

E 1Forma, espacio y medida Formas Geométricas

25

1.- ¿Que ángulos tienen su vértice en el centro del círculo? ....................... _________________ 2.- Cuando su vértice está en el ____________ de la circunferencia recibe el nombre de ángulo

................................................................. _________________

3.- ¿El vértice del ángulo central podrá ubicarse en otro punto del círculo? _________________ Expliquen su respuesta ______________________________________________________ 4.- ¿Cuáles son los ángulos cuyo vértice se encuentra en la circunferencia?_________________

5.- Los lados de los ángulos b y c, están formado por ................................ _________________

6.- Cuando su vértice está en un ____________ de la circunferencia recibe el nombre de ángulo

................................................................ _________________

7.- Ángulo semi-inscrito es el formado por una ________________ y una _________________

8.- ¿En cuál figura, el diámetro forma parte del ángulo? ............................ _________________

9.- ¿Existirá un ángulo que esté formado por dos diámetros? .................... _________________ Expliquen su respuesta ______________________________________________________

Forma un equipo con dos de tus compañeros y den las respuestas a las preguntas tomando en cuenta las circunferencias que se muestran

RECTAS Y ÁNGULOS


1.4Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si

ámbos abarcan el mismo arco.

BLO

QU

E 1

•

• •

•

A CBb

c

a

ED

ºed

BLO

QU

E 1

•

Forma, espacio y medida Formas geométricas

• •

27

Escriba el nombre del ángulo que corresponda, Ángulo central, Ángulo inscrito, Ángulo semi-inscrito.

Traza dos círculos, con radios de diferentes medidas en cada uno de ellos, traza un ángulo central y uno inscrito, de manera que sus lados coincidan en el mismo arco.

Recorta de un círculo, el ángulo que formaste y sobrepónlo en el otro círculo para compararlo. ¿Encuentras alguna relación entre sus medidas? ............... ___________

¿Cuál? ______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

•

De acuerdo con los resultados de la tabla, digan qué relación existe entre las medidas del ángulo central y la medida del ángulo inscrito.

Los arcos determinados en los círculos corresponden a la misma medida del ángulo. De aquí se puede concluir que: El ángulo central tiene la misma medida que el arco que subtienden sus lados.

B

A

C

A

B

O

Xº

AOB = XºAOB = AB

••

Ahora reúnete con otros 3 compañeros, comenta tus observaciones y juntos elaboren una tabla con las medidas de los ángulos central e inscritos que obtuvo cada uno.

BLO

QU

E 1


ALUMNO Medida del ángulo central

Medida del ángulo inscrito

1

2

3

4

Para interpretar este concepto trazaremos circunferencias no congruentes que tengan el mismo centro, es decir, circunferencias concéntricas.

mza = 100°

nxb = 100°

pyc = 100° mza = nxb = pyc

moa = 100°

100°

cba

o

yx

z

mnp•

Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia (mitad de la circunferencia) son rectos; es decir, miden 90°.

Traza 4 ángulos inscritos que comprendan el mismo arco que el ángulo central AOB, como se muestra en la figura.

Colorea los triángulos que se formaron a partir de los diferentes trazos que hiciste.

¿Que tipo de triángulos se formaron? ............................................ _______________________

De los cuatro triángulos que inscribiste en la semicircunferencia considera dos de ellos, mide los ángulos de cada uno y registra sus medidas.

Triángulo 1 _______ _______ _______ Triángulo 2 _______ _______ _______

De acuerdo a los siguientes datos, encuentra la medida de los ángulos y arcos que se pide.

o

acb = 240°

aob =

o

a

cb

aob =

acb =

a o b

c

aob = 130°

acb =

a

o

c

b

bc

a

bo

acb = _____

aob = _____

BLO

QU

E 1Forma, espacio y medida Formas geométricas

29

aob =

acb =

o

ab

70º

ac

70º

abc = _____

abc = _____

A BO

C

•

BLO

QU

E 1

o

c

ba

Determina la medida de cada uno de los ángulos que se te piden.

abc =

•oa

b

c

npm =

• nm

p

o•o

110°

a

b

m

b

c

m .

110°

a

cabc = _____

amb = _____

acb = _____

acb = _____

abc = _____

amc = _____

•o

c

bab

a

130°

c

abc = _____

a

b

c

m•

bac = _____

bmc = _____

acb = _____

acb = _____


def =

• d

e

of

¿Cuál será el área del círculo "O" cuyo radio mide 10 cm.? _____

¿Cuál será el área del anillo "A" cuyo ancho mide 5 cm.? _____

¿Cuál será el área del anillo "B" cuyo ancho mide 8 cm.? _____

¿Cuál será el perímetro de la circunferencia "B"? .............. _____

Determina la medida del ángulo cpm ................. ____________

Determina la medida del arco cnm ..................... ____________

Partiendo de las circunferencias trazadas en la parte inferior, cómo obtendrías las áreas de los anillos "A y B". Redacta el procedimiento que utilizarías para encontralas.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

A partir de las figuras dadas encuentra los valores de los ángulos que se indican.

m

n

a

b

c

m

bac = bmc =

a

45ºa

bo

m

n

a =

b

c

d

dbc =

r

60º

74º

p

p = ab =

114º

140º

a

b

c n

100°

c

BAO

• • •

• •

•

ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR

p

p = _____

b = _____

c = _____

mpn = _____

pnr = _____

acb = _____

anb = _____

c = _____

Puesto que ya sabes calcular el área de un círculo y sabes que un ángulo determina una fracción de éste, no será difícil que puedas calcular lo que se te pide.

a

1.5Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores

circulares y de la corona.

BLO

QU

E 1Forma, espacio y medida Medida

31

90º

b

c

m

p

30º

n

q

110º

A

O

C

B

c).- ¿Cuánto mide la superficie que la vaca no puede pastar? ........................... ____________________

d).- ¿Cómo harías para que la vaca pueda pastar en más superficie? ...................... ____________________

BLO

QU

E 1

Calcular la medida de los ángulos y arcos que se indican, tomando en cuenta la circunferencia y las rectas de la siguiente figura

A partir de los datos que se presentan, calcula la medida de los ángulos que se indican sabiendo que "O" es el centro de la circunferencia.

Una vaca está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una estaca que se encuentra en el centro del corral de forma cuadrada de 10 m de lado. El corral está sembrado de pasto en su interior.

a).- ¿Cuánto mide el área donde puede pastar la vaca? ..... ____________________

b).- ¿Cuál será el perímetro de la circunferencia que describe el desplazamiento de la vaca? ............................................................................ ____________________

A = _________________

B = _________________

C = _________________

M = _________________

OR = _________________

OPQ = _________________

RNQ = _________________

O = _________________

O

R

B116ºAC

M N

P

Q

•

Forma, espacio y medida Medida32

BAC =____________________

ABC =____________________

BCO =____________________

OCA =____________________

10 m

3 m

BLO

QU

E 1

Observa detenidamente la fotografía y detecta el lugar donde se encuentran las especificaciones o medidas que se mencionan en la información anterior. El triángulo en color rojo, es indicador de lo que se desea identifíques.

Si cada triángulo tiene tres lados y tres ángulos, contesta usando par de letras o palabras:

¿Cuál lado representa la altura de la torre? ........................ __________

¿Cuál lado representa el retiro de la base? ........................ __________

¿Cuál lado representa la inclinación de la torre? ............... __________

¿Dónde se ubica el ángulo que marca la inclinación? ........ __________

¿Qué nombre recibe el lado más grande del triángulo? ..... __________

Recordando de segundo grado, encuentra las coordenadas de cada uno de los vértices del triángulo. Considera cada lado de la cuadrícula con un valor de 5 metros.

A ( , ) B ( , ) C ( , )

Tomando en cuenta estos datos, completa el siguiente cuadro: __Valor de AB = ______ Valor de BC = ______

Triángulo

10

20

30

40

60

50

0 5

GRÁFICAS

La Torre Inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de Pisa, Italia. Fue construida para que permaneciera en posición vertical pero comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción en agosto de 1173.

La altura de la torre es de 60 m desde la base, su base tiene un diámetro de 20 m, su peso se estima en 14,700 toneladas y la inclinación de 4.76° apartándose 5 m de la vertical, vistos desde la parte izquierda de la torre, mientras que desde la parte derecha, el ángulo de inclinación es de 85.24°. La torre tiene 8 niveles, una base de arcos ciegos con 15 columnas, 6 niveles con una columnata externa y remata en un campanario. La escalera interna en espiral tiene 294 escalones.

33

A

C

B

1.6Analizar la razón de cambio de un

proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la

inclinación o pendiente de la recta que lo representa.

Representación de la informaciónManejo de la información

Valor de "x" 0 1 2 3 4 5 6

Valor de "y" 0 60

¿Con qué nombre se les conoce a las rectas CB y EF? __________

¿Cuáles son las coordenadas de C y B? B( , ) C( , )

¿Cuántas veces es menor la "x" que la "y"? ................ __________

¿Cuántas veces es mayor la "y" que la "x"? ................ __________

Entonces, una "x" es igual a __________ "yes"

y también, una "y" es igual a __________ "equis"

La expresión matemática debe ser ...... __________ o __________

¿Cuáles son las coordenadas de E y F? E( , ) F( , )

¿Cuántas veces es menor la "x" que la "y"? ................ __________

¿Cuántas veces es mayor la "y" que la "x"? ................ __________

Entonces, una "x" es igual a __________ "yes"

y también, una "y" es igual a __________ "equis"

La expresión matemática debe ser ...... __________ o __________

¿Qué observas en la recta verde y en la recta azúl?

______________________________________________________

BLO

QU

E 1

34Representación de la informaciónManejo de la información

En el Triángulo anterior, dividamos el valor de BC entre el valor de AB.

También, dividamos cada uno de los valores de "y" entre cada valor de "x", en la tabla que completamos, y encontraremos el mismo valor.

Este valor que obtuviste es conocido como PENDIENTE y sirve para encontrar el ángulo de inclinación que tiene una recta.

Pendiente = BC/AB = 60/5 = 12

Veamos ahora, cómo la inclinación es una parte principal de una línea recta para representarla en forma matemática.

Recordemos que en segundo año aprendimos una fórmula para cualquier recta: y = mx + b, donde m fue llamada pendiente (inclinación) de una recta y, b intercepto (cruce con el eje de las "yes"). En el caso de la torre de Pisa, el valor de AB se localiza en una horizontal, mientras que el valor BC se encuentra en una vertical; por lo tanto, AB es la doceava parte de BC, o bien, BC es doce veces más grande que AB. Así pues, 12AB = BC y como BC = 60 m; entonces, 12AB = 60 ó sea AB = 5 Conclusión: Como AB se midió en las "equis" y BC en las "yes";

y = 12xVeámoslo de otra manera:

¿Qué sucederá si los ejes de coordenadas se cambian?

Veamos. Usa el INTERCEPTO teniendo en cuenta que las rectas son las mismas que en el ejemplo anterior y escribe su ecuación.

La relación entre el lado opuesto ( " y " ) a l á n g u l o y s u l a d o adyascente ("x") al mismo ángulo, es l o que se conoce como la PENDIENTE de un línea recta.

Ecuación de la

línea recta CB

__________________

Ecuación de la

línea recta EF

__________________

Veamos otro ejemplo:

Considerando la fotografía de la derecha, encuentra la pendiente de la escalinata, considerando cada triángulo, midiendo sus lados, y comenta lo que sucede entre ellas.

LADOS PENDIENTETriángulo azúl ........................... ______ ______ __________

Triángulo verde ......................... ______ ______ __________

Triángulo morado...................... ______ ______ __________

¿Cómo son las pendientes de los triángulos? __________________

¿Cuál será la expresión o función matemática que representa la inclinación de la escalera?. Considera un ángulo agudo de cada triángulo, en el origen de las coordenadas.

________________________


BLO

QU

E 1

BLO

QU

E 1

Ya que entendimos cómo localizar el valor de la pendiente en una recta y cómo localizar el valor del intercepto, trabajemos con varias rectas, en diferentes ubicaciones, encontrándoles esos valores aprendidos y formandole la ecuación.

¿Qué vamos a hacer?

¡Fíjate bien!

- A la recta 1 vamos a dibujarle un triángulo rectángulo que tome cuadrículas completas, donde la hipotenusa sea la misma recta.

- Si la recta no está completamente sobre la hipotenusa, prolongarla hasta que cruce el eje de las "yes".

- En este caso, la altura del triángulo (longitud vertical), mide 2 unidades y la base, (longitud horizontal), cuatro unidades; por tanto, la pendiente tendrá el valor de 2/4 ó también 1/2 y, el intercepto un valor de + 6; entonces, la ecuación será: y = 1/2 x + 6 ó 2y = x + 12, si quitamos el 2 que se encuentra dividiendo.

1

8

9

7

6

5

43

2

x

y+ 6


Trabajando en equipo, completen la tabla con los valores que correspondan a cada una de las rectas ubicadas en la cuadrícula. Sigan el proceso del ejemplo dado con la recta 1.

Recta Longitud Longitud Pendiente (m) Intercepto (b) Ecuaciónhorizontal vertical y = mx + b

1 4 2 2/4 ó 1/2 6 y = 1/2 x + 6 ó 2y = x + 12

2

3

4

5

6

7

8

9

BLO

QU

E 1

A partir de enero de 2008, el precio de la gasolina fue incrementado en 2 centavos por litro cada mes. Si en diciembre de 2007, llenar un tanque de gasolina de una capacidad de 60 litros, tenía un costo de $ 523.80 pesos, a $ 8.73 pesos por litro; encuentra los datos faltantes en el recuadro:

a) El incremento mensual que ha habido durante el el inicio del año y a través de cada uno de los meses siguientes,

b) Realiza una gráfica que represente el fenómeno y

c) La función matemática que lo identifica (ecuación).

TRABAJO EN EQUIPO.

a) En la gráfica de la izquierda, localicen los datos obtenidos en la tabla anterior y ubiquen sobre la recta los puntos faltantes, asignándoles una literal para identificarlos.

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b) Tomen los pares de puntos que deseen y formen triángulos semejantes al azúl y verde de la gráfica. ¿Cuántos triángulos encontraron? .......................... ________

520

526

524

536

530

534

532

528

D E F M A M J J A O S

(8.93, 535.8)

(8.93, 527.4)(8.79, 527.4)

(8.79, 527.4)(8.73, 535.8)

522

R

UT

S

V

x

y

f) Con el mismo proceso, ST = ...... ________ g) Dividiendo ST entre RS = ......... ________

h) Por tanto, PENDIENTE = ......... ________

i) Ecuación de la recta _________________

c) Si analizamos el triángulo azúl, ¿cuál es el valor de RS? ............................ ________

d)¿Qué valores tomaron en cuenta para obtener RS? ........... ________ y ________

e) ¿Qué operación realizaron? ..... ________


Mes D E F M A M J J A S O

Litro 8.73 8.79 8.93

Costo 523.8 527.4 535.8

BLO

QU

E 1

l) Dividiendo UV entre TU = ........ ________

m) Por tanto, PENDIENTE = ........ ________

n) ¿Cuál es la ecuación que representa la línea recta del problema? ____________

Sigan trabajando en equipo y encuentren la pendiente de cada uno de los triángulos que dibujaron en la línea recta de la hoja anterior.

TRIÁNGULO 1 TRIÁNGULO 2




¿Qué observas en los valores obtenidos en las PENDIENTES de los triángulos?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

I) Analizando de la misma manera el triángulo verde, ¿cuál es el valor de TU? ________

j)¿Qué valores tomaron en cuenta para obtener TU? ........... ________ y ________

k) Luego, UV = ............................. ________


BLO

QU

E 1

2.- La fotografía de la derecha, muestra una estructura de construcción. Encuentren la PENDIENTE y ECUACION de cada una de las barras inclinadas.

3.- La fotografía de la izquierda, muestra la megabiblioteca de París. Encuentren la PENDIENTE y ECUACION de cada una de las aristas, derecha e izquierda, de las paredes de la pirámide de cristal.

1.- Al revisar el pago de la energía eléctrica, con un recibo de invierno y uno de verano, se encontró que este último es el triple que el primero. Encuentra la TASA DE INCREMENTO (PENDIENTE) que se tuvo entre los dos recibos y la ecuación que representa la línea de incremento.


BLO

QU

E 1

5.- La fotografía corresponde a una const rucc ión de Sant iago de Compostela, España. Encuentra la pendiente y ecuación de cada una de las líneas verdes señaladas en l a s d i f e re n t e s p a r t e s d e l a edificación.

4.- La Pirámide de Cholula, en Puebla, Puebla, México, manifiesta una tumba real donde fueron encontrados restos humanos; encuentra la pendiente y ecuación de la escalinata que da acceso a dicha tumba.

Línea a:

Línea b: Línea c:

Línea d: Línea e:

Línea f: Línea g:


e

a

g

d

cb

f

BLO

QU

E 1

6.- El incremento de los artículos de consumo, recíbe sus máximos incrementos durante los primeros meses del año. Encuentra la razón de cambio del primero al cuarto mes, si el primer mes una cámara fotográfica tiene un costo de $ 600.00 y al cuarto mes $ 1500.00. Si la misma razón se conserva, ¿cuál será el costo del mismo artículo en cada uno de los siguientes tres meses, después del cuarto?


7.- Dos compañías de telefonía celular tienen diferentes políticasde cobros, según se manifiesta en la gráfica. Analizando las líneas de cobro, contesta lo que se está pidiendo.

a) ¿Qué costo tiene el inicio de llamada?

_________ _________

b) ¿Cuánto cobra cada una por minuto utilizado?

________ ________

c) ¿Cómo son los incrementos en el costo por minuto utilizado?... ________ ________

d) ¿Qué valor tiene la PENDIENTE de costo en cada una de las compañías? ...................................................................... ________ ________

e) ¿Cuál es la ECUACIÓN DE COSTO de cada compañía?....... ____________________

___________________

f) ¿Cuál será el cobro al consumirse 15 minutos de servicio? ..... ________ ________

g) ¿Cuál de las dos es más barata? ................................................................ _____________

minutos

Costo (pesos)

1.002.003.004.005.006.007.008.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8

BLO

QU

E 1

8.- El cobro que los taxis realizan, depende de las distancias recorridas y de las ubicaciones donde se encuentran los puntos de llegada. Si dos taxis distintos tienen un cobro diferente recorriendo la misma distancia, analizando la gráfica bajo la foto, encuentra:

a) ¿Cuánto cobra cada taxi, por cada kilómetro recorrido?

________ ________ 1 2

b) ¿Cuánto cobra cada taxi, al abordarlo?

________ ________ 1 2

c) ¿Cómo son los incrementos en el costo por kilómetro recorrido?

________ ________ 1 2

d) ¿Qué valor tiene la PENDIENTE de costo en cada uno de los taxis? ________ ________

1 2

e) ¿Por qué el costo es distinto en cada taxi a los 25 kilómetros?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

f) ¿Cuál ecuación representa el recorrido de cada taxi?

Taxi 1 __________________ Taxi 2 ___________________

g) Con base en las ecuaciones anteriores, completa la tabla de costos que se presenta enseguida.

Kilómetros 5 10 15 20 25 30 35 40

Taxi 1 $ 26

Taxi 2 $ 32


Km5 10 15 20 25 30

123425262728

Costo

Taxi 1

Taxi 2

BLO

QU

E 1

GRÁFICAS

*NACIMIENTOS 2000-2007

2000 89,121 2001 96,7942002 85,981 2003 77,5572004 73,166 2005 77,1282006 69,167 2007 74,159

*Portal gubernamental del Estado de Chihuahua

En todos los Países del mundo actual, el conservar información estadística es una conducta acentuada, ya que estos datos son utilizados para una serie de proyectos que los Países, Estados o Municipios generan para lograr beneficios sociales o para prever fenómenos o eventos que puedan perjudicar a la población en general.

Los datos numéricos recogidos, entre más detallados sean, mayor precisión proporcionarán en la construcción de cualquier tipo de proyecto que las autoridades deseen implementar.

Pueden haber estadísticas de población, económicas, distribución de la riqueza, de producción alimenticia, de materias primas, de contaminación, de preparación académica y más ...

¿Qué otras estadísticas crees existen en la sociedad en que nos encontramos o en el interior de tu centro escolar?

__________________ __________________ __________________ __________________

__________________ __________________ __________________ __________________

Vamos viendo una estadística del Estado de Chihuahua en cuanto a nacimientos habidos desde el año 2000 hasta el año 2007. Si en tu escuela existe un aula de medios, solicita a tu Maestro los lleve a ella para capturar los datos que a continuación se expresan y poder con ellos obtener varios tipos de gráficas; si no tienen aula de medios, realícenlo manualmente.

Y , ¿ c ó m o l o h a c e m o s e n l a computadora?

1) Abre una hoja de Excel.2) Captura los datos de la información,

uno en cada celda.3) Cuando hayas terminado la captura,

selecciona con el mouse (ratón) los datos que quieres graficar.

4) Presiona el ícono de gráficas en la barra superior.

5) Elige el tipo de gráfico que deseas, de las opciones que se te presentan y obtienes tu gráfica. ¿Cómo la ves? Gráfica circular simple

yGráfica circular tridimensional

1.7Diseñar un estudio o

experimento a partir de datos obtenidos de

diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada

para presentar la información.


BLO

QU

E 1

*NACIMIENTOSAÑO 2007 HOMBRES MUJERES TOTAL

ENERO 2,753 2,729 5,482FEBRERO 3,287 3,178 6,465MARZO 3,394 3,478 6,872ABRIL 3,295 3,295 6,590MAYO 3,295 3,387 6,682JUNIO 2,859 2,788 5,647

*NACIMIENTOSAÑO 2007 HOMBRES MUJERES TOTAL

JULIO 2,897 2,905 5,802AGOSTO 3,346 3,163 6,509

SEPTIEMBRE 3,369 3,283 6,652OCTUBRE 4,027 4,044 8,071

NOVIEMBRE 2,477 2,357 4,834DICIEMBRE 2,297 2,256 4,559

TOTAL ANUAL 37,296 36,863 74,159

*Portal gubernamental del Estado de Chihuahua

Observando los datos que originaron la gráfica de excel, contesta las siguientes preguntas:

1.- ¿En qué meses el total de nacimientos es más alto?

2.- ¿En qué meses nacen mayor cantidad de hombres?

3.- ¿En qué meses nacen mayor cantidad de mujeres?

4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?

5.- ¿En qué mes el total de nacimientos es más alto?

6.- Conformados en equipo, investiguen en el mismo portal gubernamental del Estado de Chihuahua, los datos correspondientes a MATRIMONIOS, MUERTES, DIVORCIOS, ADOPCIONES y NACIMIENTO-MUERTE y construyan una gráfica recordando lo que se aprendió en segundo año de secundaria, contestando las preguntas que en cada caso se plantean.


BLO

QU

E 1

I.- MATRIMONIOS

1.- ¿En qué meses el total de matrimonios es más alto?

2.- ¿En qué meses el total de matrimonios es más bajo?

3.- ¿En qué meses el total de matrimonios es casi el mismo?


5.- ¿En qué mes el total de matrimonios es más alto?

II.- MUERTES

1.- ¿En qué meses el total de muertes es más alto?

2.- ¿En qué meses mueren mayor cantidad de hombres?

3.- ¿En qué meses mueren mayor cantidad de mujeres?


5.- ¿En qué mes el total de muerte es más alto?

GRÁFICA

GRÁFICA


BLO

QU

E 1

IV.- ADOPCIONES

1.- ¿En qué meses el total de adopciones es más alto?

2.- ¿En qué meses el total de adopciones es más bajo?

3.- ¿En qué meses el total de adopciones es casi el mismo?


5.- ¿En qué mes el total de adopciones es más alto?

III.- DIVORCIOS

1.- ¿En qué meses el total de divorcios es más alto?

2.- ¿En qué meses los divorcios disminuyen?

3.- ¿En qué meses los divorcios aumentan?


5.- ¿En qué mes el total de divorcios es más alto?

GRÁFICA

GRÁFICA


BLO

QU

E 1

V.- NACIMIENTO-MUERTE

1.- ¿En qué meses el total de nacimientos es más alto que muertes?

2.- ¿En qué meses el total de muertes es más alto que nacimientos?

3.- ¿En qué meses el total de nacimientos y muertes es casi el mismo?


5.- ¿En qué mes el total de nacimentos es más bajo que muertes?

VI.- Realicen una investigación en su salón sobre quién juega los deportes como el BEIS BOL, BASKET BOL, VOLY BOL, FUT BOL Y BOLICHE, haciendo las gráficas representativas del número de compañeros que practican alguno o varios de estos deportes y formúlense preguntas que se originen en los datos obtenidos. ¿Por qué ...?

PREGUNTA RESPUESTA

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

BEIS BOL GRÁFICA

GRÁFICA


BLO

QU

E 1


PREGUNTA RESPUESTA

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

BASKET BOL GRÁFICA

PREGUNTA RESPUESTA

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

VOLY BOL GRÁFICA

PREGUNTA RESPUESTA

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________ FUT BOL GRÁFICA

BLO

QU

E 149

Representación de la informaciónManejo de la información

PREGUNTA RESPUESTA

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ _____________________________________ BOLICHE GRÁFICA

Documents

Guía de Matemáticas para 3er. grado 1er. bloque