Universidad Boliviana

Universidad Mayor de San Andrés

Facultad de Tecnología

Departamento de Materias Básicas

Área: MATEMATICAS

GUIA DE PRACTICAS

CALCULO II

MAT 102

GESTION I/2021

P á g i n a 2 | 22

VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

1. Hallar el valor de 7 11 5M x y z= − + , si a b= , donde ( )2 ,3 1, 3a x z y x z= − − + y

( )3,2 3 , 5b x z y z x y z= − + − + + Rpta. 48M =

2. Sean los vectores 𝐴 = (1, 1) y �⃗⃗� = (1, −1), calcular el coseno del ángulo formado

entre los vectores �⃗� e �⃗⃗� que satisfacen las ecuaciones: 2�⃗� + �⃗⃗� = 𝐴 ∧ �⃗� + 2�⃗⃗� = �⃗⃗�.

Rpta. cos 𝜃 = −4

5

3. Calcular ‖�⃗⃗� +�⃗�−�⃗⃗�

2‖ , si ‖𝐴‖ = 1; ‖�⃗⃗�‖ = 3 si el ángulo entre los vectores 𝐴 y �⃗⃗� es

igual a 2

3𝜋.

4. Demostrar vectorialmente que el segmento que une los puntos medios de los lados de

un triángulo es paralelo y tiene la mitad de la longitud del tercer lado.

5. Sea ( )1,4,3A = , ( ), , 4B b a= − , para que los valores de 𝑎 y 𝑏 ; vector A es

perpendicular con B sí 36B = . Rpta. 2, 2a b= =

6. Sean cosa i sen j = + y cos2 2

b i sen j

= + + +

dos vectores demostrar que

son ortogonales.

7. Sabiendo que ‖𝐴‖ = 6 y ‖�⃗⃗�‖ = 10 determinar los valores de K para que los vectores

𝐴 + 𝐾�⃗⃗� y 𝐴 − 𝐾�⃗⃗� sean ortogonales

8. Hallar la ecuación del plano que contiene al eje Y y forma un ángulo 𝜋

3, con el eje X

positivo.

9. Determinar los vectores 𝐴 = (𝑎, −6, 5) y �⃗⃗� = (𝑎, 𝑎, 1) tal que �⃗⃗� ∘ (𝐴 × �⃗⃗� + 𝐴) sea

mínimo, es decir el valor de 𝑎. Rpta. 𝑎 = 3

10. Un vector 𝐴 forma con los ejes coordenados 𝑋, 𝑌 los ángulos 60° y 120°

respectivamente. Calcular las componentes de 𝐴 sabiendo que ‖𝐴‖ = 2.

Rpta. 𝐴 = (1, −1, ±√2)

P á g i n a 3 | 22

11. El ángulo entre los vectores �⃗⃗⃗� y �⃗⃗� es de 45°, si el módulo de �⃗⃗� es 3. Hallar el módulo

de �⃗⃗⃗� para que el vector �⃗⃗⃗� + �⃗⃗� forme 30° con �⃗⃗�. Rpta. ‖�⃗⃗⃗�‖ =3

2(√2 + √6)

12. Si el ángulo entre los vectores �⃗⃗⃗� y �⃗⃗� es de 30° y estos son vectores tales que ‖�⃗⃗⃗�‖ =

‖�⃗⃗�‖ = 2, demostrar que (�⃗⃗⃗� + �⃗⃗�) ∘ (�⃗⃗⃗� − �⃗⃗�) + ‖(�⃗⃗⃗� + �⃗⃗�) × (�⃗⃗⃗� − �⃗⃗�)‖ = 4.

13. Dados los vectores 𝐴, �⃗⃗� 𝑦 𝐶, que satisfacen la ecuación 𝐴 + �⃗⃗� + 𝐶 = 0⃗⃗, y sabiendo que

‖𝐴‖ = 3, ‖�⃗⃗�‖ = 3 y ‖𝐶‖ = 4. Calcular 𝐴 = 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝑜 𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ 𝑜 𝐶 + 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝑜 𝐶.

14. Con los vectores �⃗⃗� = (1,2, −3); �⃗⃗� = (2, −1,1) y �⃗⃗� = (−1,1, −1), demostrar que:

(�⃗⃗� × �⃗⃗�) × �⃗⃗� = (�⃗⃗� ∘ �⃗⃗�)�⃗⃗� − (�⃗⃗� ∘ �⃗⃗�)�⃗⃗�.

15. Si ‖𝐴‖ = 3, ‖�⃗⃗�‖ = 3 y el angulo entre estos vectores es 30∘, calcular el área del

paralelogramo determinado por los vectores, calcular el área del paralelogramo

determinado por los vectores �⃗� = 2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −�⃗⃗�, que es uno de sus lados y �⃗⃗� = 𝐴 + 2𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , que

es una diagonal.

16. Calcular el ángulo 𝛽 entre la diagonal y una arista del cubo, si tal arista mide 𝑢 unidades.

Rpta. 𝛽 = 𝐴𝑟𝑐 cos (1

√3)

17. Hallar el ángulo 𝜃 entre las diagonales de dos caras de un cubo. Utilice vectores, la arista

del cubo es igual a 𝒑. Rpta. 𝜃 = 60°

18. Dados los puntos 𝐴(2,3,1), 𝐵(4, 𝑟, −2) y 𝐶(2,1,3), calcular el valor de 𝑟 para que el

volumen del paralelepípedo sea 4. Los lados están determinados por los vectores

𝑂𝐴 ; 𝑂𝐵 𝑦 𝑂𝐶, siendo 𝑂(0,0,0) el origen de coordenadas. Rpta. 𝑟 = 11

19. Calcular el área de un paralelogramo de lados adyacentes, dados por los vectores 𝐴 =

3�⃗⃗⃗� − 2�⃗⃗�; �⃗⃗� = 5�⃗⃗⃗� + 2�⃗⃗�, si ‖�⃗⃗⃗�‖ = ‖�⃗⃗�‖ = 1 y el ángulo entre �⃗⃗⃗� y �⃗⃗� es 30°.

Rpta. 𝐴 = 8(𝑢2)

20. Calcular el área del tetraedro cuyos vértices están en los puntos ( )2, 1,1A − , ( )5,5, 4B ,

( )3, 2,1C y ( )4,1,3D Rpta. 23 u

P á g i n a 4 | 22

GEOMETRÍA ANALÍTICA SOLIDA

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,3,2), es paralelo al plano 𝑃 =

(1,4,0) + 𝑟(1,1,1) + 𝑠(0,1,2), 𝑠, 𝑟 ∈ ℝ y forma un angulo de 60° con 𝑄 = (1, −2,3) +

𝑡(0,1,0) t ∈ ℝ. Rpta. 𝑃 = (1,3, −2) + 𝑡(3 ± 2√2, 2 ± √2, 1)

2. Encontrar un punto del plano 𝜋 ∶ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 que este mas cerca al punto

𝑃(2, −1, −1). Rpta. 𝑅(3,0,0)

3. Dado el triángulo de vértices A(4, −1, −3); B(−2,2, −3); C(−1,4,2). Hallar los

vértices A′, B′, C′ del triángulo de proyección sobre el plano 𝜋: 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0.

Rpta. 𝐴′(3, −3, −2); 𝐵′(−2,2,3); 𝐶′(−3,0, −2)

4. Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (1,2, −2) y es ortogonal a los planos

𝑃: 𝑥 − 𝑦 = 4 ; 𝑄: 𝑥 + 𝑧 = 6 Rpta. 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 6 = 0

5. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos 𝐴(1,0, −1) ; 𝐵(2,0,2) y formar un

ángulo de 60° con el plano de ecuación 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 6 = 0.

Rpta. 21𝑥 + (40 ± 3√170)𝑦 − 7𝑧 − 28 = 0

6. Determinar el valor de 𝑚 de manera que los puntos 𝑃(1,2, −1) ; 𝑄(0,1,5) ;

𝑅(−1,2, −1) y 𝑆(𝑚, 1,3) estén en un mismo plano. Rpta. 𝑚 = 2

7. Encontrar un punto simétrico Q del punto 𝐴 (4,1,6) en relación a la recta formada por

los planos 𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 + 12 = 0 y 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 3 = 0.

8. Determinar la distancia mínima que se tiene entre el punto 𝑃(1,2, −1) y el plano 2𝑥 −

𝑦 + 3𝑧 − 6 = 0 Rpta. 𝑑 =9

14√14

9. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 𝑃(2,1,1) y que haga un ángulo de

𝐴𝑟𝑐 cos (2

3) radianes con el plano 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 3 = 0 y que sea perpendicular al

plano coordenado Y-Z. Rpta. 4𝑦 − 3𝑧 − 1 = 0

10. Hallar la ecuación de la esfera tangente a la recta 𝐿 ∶ 𝑥−1

1 =

𝑦−2

−1; 𝑧 = 2 cuyo centro es

𝐶(2,4,6). Rpta. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4𝑥 − 8𝑦 − 12𝑧 + 40 = 0

11. Hallar la ecuación de la esfera cuyo radio 𝑟 = 3, que es tangente al plano 𝑥 + 2𝑦 +

2𝑧 + 3 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑀(1,1, −3). Rpta. (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 + (𝑧 + 5)2 = 9

12. Hallar el radio 𝑅 de la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2, para que sea tangente al plano 𝑥 +

𝑦 + 𝑧 − 6 = 0. Rpta. 𝑅 = 2√3

P á g i n a 5 | 22

13. Hallar la ecuación de la esfera que pasa por el punto P(-1,6,-3) y es tangente al plano

4𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧 − 96 = 0 en el punto (7,3,8).

14. Determinar la ecuación de la esfera de centro 𝐶(1,2,3) y es tangente a la traza de un

plano con el plano coordenado 𝑋 − 𝑌 que tiene ecuación 𝑥 + 𝑦 = 3.

Rpta. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 6𝑧 + 5 = 0

15. Encontrar la ecuación de la superficie esférica que pasa por los puntos A(−1,2,5)

, B(4,3, −7) , C(8,2,2) y D(−4,3, −3). Rpta. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4𝑥 + 2𝑧 − 44 = 0

16. Una esfera tiene su centro en la intersección del plano 𝜋: x + y + z − 5 = 0 con la recta

𝐿: x − 1 = y − 2 = z − 2 y pasa por el punto P(−1,1,4, ). Encontrar la ecuación de la

esfera. Rpta. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4𝑧 = 0

17. Hallar del plano tangente a la (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 + 2)2 = 24, en el punto

(−1,3,0). Rpta. 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 5 = 0

18. Transformar las siguientes ecuaciones rectangulares de superficies a coordenadas

esféricas y graficar: a) 𝑥2 + 𝑦2 = 4, b) 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 0

Rpta. 2cscr = , 3

4 4

= =

19. Transformar las siguientes ecuaciones rectangulares de superficies a coordenadas

cilíndricas y graficar: a) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4, b) 𝑥2 − 𝑧2 = 4

Rpta. 24z r= − , 2 2cos 4z r = −

20. Hallar una ecuación en coordenadas rectangulares para la ecuación dada en coordenadas

cilíndricas y graficarlas: a) 3

= , b) csc =

Rpta. 2 2 23 3 0x y z+ − = ,

2 2 1x y+ =

P á g i n a 6 | 22

FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE ESCALAR

1. Dada la curva C : ( )( ) cos , , tf t t sent e= , determine el punto en el cual la tangente es

paralela al plano P : 3 4 0x y+ − = . Rpta. 63 1

, ,2 2

e

2. Sea la curva 𝑓(𝑡) = (2𝑡, 𝑡2, ln 𝑡) defina para 𝑡 > 0, hallar la longitud de arco 𝐿 entre

los puntos (2,1,0) y (4,4, ln 2). Rpta. 𝐿 = 3 + ln 2

3. Sea 𝐶 la curva definida por la función vectorial 𝐶: 𝑓(𝑡) = (𝑡, 𝑡2,2

3𝑡3) encuentre la

longitud de la curva desde 𝐴(0,0,0) hasta 𝐵(3,9,18). Rpta. 𝑆 = 21(𝑢)

4. Calcular la longitud de arco de la curva 𝑓(𝑡) = (𝑒−𝑡 cos 𝑡 , 𝑒−𝑡 sen 𝑡) en 0 ≤ 𝑡 ≤ 2.

5. Encontrar la longitud de curva de la función ( ) ( )( )( ) cos sen , sen cosf t a t t t a t t t= + − ,

0a , para. 0,2t Rpta. 22L a=

6. Hallar la longitud de curva para 𝑓(𝑡)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2𝑡, 𝑡2, ln 𝑡), para 𝑡 ∈ [1, 𝑒].

7. Hallar la longitud de curva de la función 𝑓(𝑡)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (8𝑡3, 12𝑡2, 3𝑡4), para 𝑡 ∈ [0, √2].

Rpta. 𝐿 = √2(𝑒2 − 1)

8. Sean las curvas: ( )

( )

ln 21

2

2

: ( ) 2 cos , ,3 ;0 2

: ( ) 1, ,3 3

t

C f t t sent t

C g t t t t

= = + +

, ¿Cuánto debe incrementarse

t para que la longitud de arco de la curva 1C sea igual a 11 desde el instante en que

2C interseca a 1C ? Rpta. ln 2

9. Hallar el vector normal unitario para cualquier valor de 𝑡 de la función vectorial 𝑓(𝑡) =

(cos3 𝑡 , sen3 𝑡 , cos 2𝑡). Rpta. �⃗⃗⃗�(𝑡) = (sen 𝑡 , cos 𝑡 , 0)

10. Hallar el vector normal unitario para cualquier valor de 𝑡 de la función vectorial 𝑓(𝑡) =

(cos3 𝑡 , cos2 𝑡 − sen2 𝑡 , sen3 𝑡). Rpta. �⃗⃗⃗�(𝑡) = (sen 𝑡 , 0, cos 𝑡)

11. Dada la curva �⃗�(𝑡) = (𝑡, ln sec 𝑡 , ln[sec 𝑡 + tan 𝑡]), hallar los vectores unitarios

�⃗⃗�(𝑡), �⃗⃗⃗�(𝑡) y �⃗⃗�(𝑡) para 𝑡 = 0.

Rpta. �⃗⃗�(0) = 1

√2(1,0,1), �⃗⃗⃗�(0) = (0, −1,0) y �⃗⃗�(0) =

1

√2(−1,0,1)

P á g i n a 7 | 22

12. Encontrar los vectores unitarios �⃗⃗�(𝑡), �⃗⃗⃗�(𝑡) 𝑦 �⃗⃗�(𝑡) en la curva �⃗�(𝑡) = (𝑡 sen 𝑡 , 1 −

cos 𝑡 , 4 sen𝑡

2) para 𝑡 = 𝜋.

Rpta. �⃗⃗�(𝜋) = (1,0,0), �⃗⃗⃗�(𝜋) =√2

2(0, −1, −1) y �⃗⃗�(𝜋) =

√2

2(0,1, −1)

13. Sea la curva alabeada C: {𝑥 = 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝑡)

𝑦 = 𝑒𝑡cos (2𝑡)

𝑧 = 2𝑒𝑡

para un punto P(0, 1, 2), hallar las rectas

tangente, normal, binormal , planos osculador, plano rectificante y plano normal.

14. Si 𝑓(𝑡)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝑡, ln (sec(𝑡) + 𝑡𝑔(𝑡), ln(𝑠𝑒𝑐𝑡)), hallar el plano normal y la recta tangente

para t = 0.

15. Una curva se mueve en la trayectoria 𝑥 = 𝑒𝑡; 𝑦 = 𝑒−𝑡; 𝑧 = √2𝑡 hallar la curvatura y

torsión de la trayectoria

16. Hallar el plano osculador de la curva descrita 𝑓(𝑡)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝑡 −𝑡3

3, 𝑡2, 𝑡 +

𝑡3

3), en 𝑡 = 1.

17. Hallar la curvatura y la torsión, para la curva :C 4 3

( ) cos ,1 sen , cosf s s s ss s

= − −

, en

s = ,siendo s la longitud de arco. Rpta. 1, 0

18. Dada la curva parametrizada por 𝑓(𝑡)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 1 − cos(𝑡) , 4 𝑠𝑒𝑛𝑡

2), hallar la

curvatura y torsión de la curva en el punto donde el plano normal a la curva es paralelo

al plano 𝑧 = 1.

19. Hallar la curvatura y la torsión, para la curva C descrita por

4 3( ) cos ,1 sen , cos

5 5f s s s s

= − −

, siendo s la longitud de arco de la curva ¿sobre que

superficie se encuentra la curva C ? Rpta. 1, 0, 3 4 0x z+ =

20. Dada la curva que resulta de la intersección del cilindro 𝑦 = 𝑥2 con el plano 𝑧 = 2𝑥,

determinar los vectores del triedro móvil ⟨�⃗⃗�, �⃗⃗⃗�, �⃗⃗�⟩ en el punto 𝑃(1,1,2).

Rpta. ⟨1

3(1,2,2),

1

3√5(−2,5, −4),

1

√5(−2,0,1)⟩

P á g i n a 8 | 22

DERIVADA PARCIALES

Hallar las derivadas parciales 𝜕𝑓/𝜕𝑥 y 𝜕𝑓/𝜕𝑦.

1. a) 4 2 2 4( , ) 4f x y x x y y= − + Rpta: 3 24 8x

f

xxy=

−

, 3 24 8y x y

f

y= −

b) ( , )x

f x y xyy

= + Rpta: 1

y

f

xy= +

,

2

xx

y y

f=

+

c) 3 2 2( , ) 3 4 3 7 8f x y x x y xy x y= − + + −

Rpta: 2 2 79 8 3x yf

xx y

+

− += , 2 864x

fy

yx

+

= − −

2. a) 3 2 2( , ) 4f x y y x y= + + Rpta:

2 2

xf

x x y=

+

, 2

2 212

yy

x

f

y y

= +

+

b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑦

𝑥 ln𝑥2

𝑦 Rpta: 𝜕𝑓/𝜕𝑦 = 𝑒

𝑦

𝑥 (𝑦 ln𝑥2

𝑦− 𝑥)/𝑥𝑦

c) ( , ) arctan1

x yf x y

xy

+=

− Rpta:

2

1

1x x

f

=

+

,

2

1

1y y

f

=

+

3. Hallar f

z

si: a) ( )( , , ) 4 ln 2f x y z xyz xyz= + b) ( , , )

z

xf x y z

y

=

Rpta: a) 1

4f

xyz z

= +

, b) ln

z

x x

y

f

z y

=

4. Hallar u

z

si: a)

2 2 2

1u

x y z=

+ + , b)

y

zu x=

Rpta: a) 𝜕𝑢

𝜕𝑧= −𝑧(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)−

3

2 , b) 2

lnyu

xu

z z

= −

5. Hallar f

y

si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑥𝑦𝑧 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

3𝑥𝑦

𝑧2 Rpta: 𝜕𝑓/𝜕𝑦 = 𝑥𝑧𝑒𝑥𝑦𝑧 +3𝑥𝑧2

𝑧4+9𝑥2𝑦2

6. Hallar 𝜕𝑓/𝜕𝑥 y 𝜕𝑓/𝜕𝑦 si 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ ln 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡

Rpta: 𝜕𝑓/𝜕𝑥 = − ln 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝜕𝑓/𝜕𝑦 = ln 𝑠𝑒𝑛𝑦

7. Dada lnr t

u sent r

= + verificar que 𝑡𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑟

𝜕𝑢

𝜕𝑟= 0

8. Si y z x

ux x y

= + + , probar que 0u u u

x y zx y z

+ + =

P á g i n a 9 | 22

INCREMENTO Y DIFERENCIAL

1. Si 𝑓(𝑥,𝑦) = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2, ∆𝑥 = 0.03 𝑦 ∆𝑦 = 0.02. Encontrar el incremento y el

diferencial total de 𝑓 en el punto (1, 4). Rpta: 0.5111

2. Si ( , )

xy

x yf e= , 0,15x = y 0,1y = encontrar el incremento y el diferencial total de

𝑓 en el punto (1, 1). Rpta: 0.25𝑒

3. Hallar el valor aproximado de:

a) √1.023 + 1.973 b) 2

3 4

1.03

0,98 1,05 Rpta. 2,95 ; 1,055

4. Hallar el valor aproximado de:

a) 𝑠𝑒𝑛 29° ∗ 𝑡𝑔 46° b) 0.971.05 Rpta. 0,502 ; 0,97

5. Los lados de un paralelepípedo rectangular miden 3, 4, 5 pies con un error posible de

1

16 pulgada. Use diferenciales para estimar el error máximo en el valor calculado de

a) el área de la superficie del paralelepípedo; b) el volumen de este cuerpo.

Rpta. 21

pie4

; 347pie

192

6. Usar la diferencial total para encontrar el máximo error al calcular la longitud de

hipotenusa del triángulo rectángulo si los catetos son 6𝑝𝑢𝑙 𝑦 8 𝑝𝑢𝑙 respectivamente.

También encontrar el porcentaje aproximado. Rpta. 0.14 𝑝𝑢𝑙 1.4 %.

7. La gravedad especifica s de un objeto está dada por la formula 𝑠 = 𝐴

(𝐴−𝑊), donde A es

el número de libras del peso del objeto en el aire y W es el número de libras del peso

del objeto en el agua. Si el peso del objeto del aire es 20𝑙𝑏 con posible error de

0.02 𝑙𝑏 encontrar el máximo error posible al calcular s a partir de estas medidas.

También encontrar el máximo error relativo posible. Rpta. 7

1600; 0.18%

8. Las dimensiones de una caja son 10𝑝𝑢𝑙, 12𝑝𝑢𝑙 y 15𝑝𝑢𝑙 y las mediciones tienen un

posible error de 0.02pul. Encontrar aproximadamente el máximo error si el volumen

de la caja se calcula a partir de las mediciones dadas. También encontrar el error

porcentaje aproximado. Rpta: 18,6 𝜋𝑐𝑚3

P á g i n a 10 | 22

DERIVACION PARCIAL DE FUNCION COMPUESTA

En los siguientes ejercicios, hallar du

dt

1. 2u xy y= − , donde tx e−= , y sent= Rpta: 2 2 cos cost tdue sen t e sent t t

dt

− −= − + −

2. 𝑢 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2, donde 𝑥 = 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 𝑦 = 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡.

Rpta: 𝑑𝑢

𝑑𝑡= 2𝑡 + 2𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 + 2𝑡2𝑐𝑜𝑠2𝑡

3. 𝑢 = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑦, donde 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 y 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡.

Rpta: 𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑡) + 𝑒𝑦(𝑥𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡)

4. 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑦

𝑥) ; 𝑥 = 𝑙𝑛𝑡 y 𝑦 = 𝑒𝑡 Rpta:

𝑑𝑢

𝑑𝑡=

𝑡𝑥𝑒𝑡−𝑦

𝑡𝑥𝑡+𝑡𝑦2

Hallar 𝜕𝑓

𝜕𝑟 𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑟 en los siguientes ejercicios 5, 6, 7 y 8:

5. 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑥𝑦𝑥 − 𝑥𝑦𝑦 donde 𝑥 = 3𝑟 − 𝑡 𝑦 𝑦 = 𝑟 + 2𝑡

6. 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑒𝑦

𝑥 ; 𝑥 = 2𝑟𝑐𝑜𝑠 − 𝑡 𝑦 𝑦 = 4𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡

7. 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 + 𝑦) ; 𝑥 = 𝑟2𝑒𝑡 𝑦 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑟𝑡

8. 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑥2𝑦𝑧 ; 𝑥 =𝑟

𝑡 ; 𝑦 = 𝑟𝑒𝑡 𝑦 𝑧 = 𝑟𝑒−𝑡

9. Si 𝑧 = 𝑓(𝑢 − 𝑣, 𝑣 − 𝑢), demuestre que 𝜕𝑧

𝜕𝑢+

𝜕𝑧

𝜕𝑣= 0

10. Si 2 2( , )z xy f x y= + , demostrar que 2 2z z

y x y xx y

− = −

11. Demuestre que 𝑦𝑧𝑥 − 𝑥𝑦𝑥𝑦 = 0 si 𝑧 = 𝑓(𝑥2 + 𝑦2)

12. Demuestre que 𝑥2𝑧𝑥 − 𝑥𝑦𝑧𝑦 + 𝑦2 = 0 si 𝑧 =𝑦2

3𝑥+ 𝑓(𝑥,𝑦)

DERIVACION IMPLICITA

1. Si ( , ) 0f x z y z− − = , define en forma implícita a z como función de x y y ,

hallar z z

x y

+

Rpta: 1

2. Hallar z

x

y

z

y

, si

ze xyz= Rpta: z

yz

e xy−,

z

xz

e xy−

3. Hallar z

x

y

z

y

, si

2 2 23 3 4 15 0x y z xy z+ + − + − = Rpta:3𝑥−6𝑦−4𝑧

2𝑧+4𝑥 ;

3𝑥−2𝑦

2𝑧+4𝑧

P á g i n a 11 | 22

4. Hallar z

x

y

z

y

, si 𝑦𝑒𝑥𝑦𝑧𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑧 = 5 Rpta:

3𝑥−6𝑦−4𝑧

𝑥𝑦2−3𝑥𝑦𝑡𝑔3𝑥𝑧

5. Sea la función z dada por la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑓(𝑥−𝑎𝑧,𝑦−𝑛) donde f es una

función diferenciable cualquiera y a, b, c, constante demostrar, que (𝑐𝑦 − 𝑏𝑦)𝑧𝑥 +

(𝑎𝑧 − 𝑐𝑥)𝑦 = 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦

6. Demostrar que la función z, determinada por la ecuación, donde F es una función

diferenciable cualquiera de dos argumentos, satisface la ecuación 𝑎𝑧𝑥 + 𝑏𝑧𝑦 = 1

7. 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧) = 0. Demostrar que 𝑥𝑧𝑥 , + 𝑦𝑧𝑦 = 𝑧

8. Si 𝑓 es una función diferenciable de 𝑥 𝑦 𝑦, 𝑦 𝑢 = 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧), 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑦 =

𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 Demuestre que 𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝜕𝑢

𝜕𝑟cos 𝜃 −

𝜕𝑢

𝜕𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑟 ;

𝜕𝑢

𝜕𝑦=

𝜕𝑢

𝜕𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 +

𝜕𝑢

𝜕𝜃

cos 𝜃

𝑟

9. hallar el jacobiano en el sistema de coordenadas cilíndrica 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦 =

𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑦 𝑧 = 𝑧

10. Para el sistema

2 2 2x y u

xy v

+ =

=, determinar:

,

,

x yJ

u v

Rpta: 2 2

1

2 u v+

11. Determinar 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦, 𝑣𝑥 𝑦 𝑣𝑦 en el sistema 1

x y u v

xu yv

+ = +

+ =

Rpta: 𝑢𝑥 =𝑢+𝑦

𝑦−𝑥 ; 𝑢𝑦 =

𝑣+𝑦

𝑦−𝑥 ; 𝑣𝑥 =

𝑢+𝑣

𝑥−𝑦 y 𝑣𝑦 =

𝑣+𝑥

𝑥−𝑦

12. Del sistema de ecuación, determinar 𝑢𝑥, 𝑢𝑦, 𝑣𝑥 𝑦 𝑣𝑦

2 1

21

u v

u v

xe uv

uye

v

+

+

+ =

+ =+

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

1. Hallar 𝑑𝑦

𝑑𝑡 y

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 si ln(𝑥2 + 𝑦2) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦

𝑥)

2. Demostrar para la curva de 2° orden

𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 + 2𝑑𝑥 + 2𝑒𝑦 + 𝑓 = 0 se verifica la igualdad: 𝑑3

𝑑𝑥3[𝑦𝜋]−

2

3 = 0

3. Hallar 𝜕𝑓

𝜕𝑥2 𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑦2 𝑠𝑖 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑙𝑛𝑥𝑦

Rpta: 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 −1

2 ; 𝑒𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦

4. Hallar 𝑓(𝑥,𝑧) 𝑦 𝑓(𝑦,𝑧) 𝑠𝑖 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑦𝑒𝑧 + 𝑧𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 Rpta: 0 ; 𝑒𝑦

P á g i n a 12 | 22

5. Si ( ) ( )( )1

z x y x yy = + + − , mostrar

2 22

2 2

z zy

x y y y

=

6. Demostrar que 2 2lnu x y= + satisface la ecuación

𝜕𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕𝑢

𝜕𝑦2

7. Demostrar que 𝑢 = 𝑒−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑒−𝑥 cos 𝑥 satisface la ecuación 𝜕𝑢

𝜕𝑥2 +𝜕𝑢

𝜕𝑦2

8. Demostrar que 2 2 2

1u

x y z=

+ + satisface la ecuación

2 2 2

2 2 20

u u u

x y z

+ + =

9. Demostrar que 𝑢 =𝑥𝑦

𝑥+𝑦 satisface la ecuación

𝑥2𝜕𝑢

𝜕𝑥2 + 2𝑥𝑦𝜕𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑦2 𝜕𝑢

𝜕𝑧2

10. Dadas 𝑧 = 𝑢 (𝑥, 𝑦)𝑒𝜕𝑥+𝜕𝑦𝑦𝜕𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦= 0. Hallar los valores constantes a y b tales que

𝜕𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦−

𝜕𝑧

𝜕𝑥−

𝜕𝑧

𝜕𝑦+𝑧= 0 Rpta: 𝑎 = 𝑏 = 1

Hallar la derivada parcial de segundo orden de:

11. 𝑢 = 𝑓(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) Rpta: 𝜕2𝑧

𝜕𝑥2 = 2𝑓𝑥(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) +44𝑥2𝑓𝑥𝑥(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

; 𝜕2𝑈 ∕ 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 4𝑥𝑓𝑥𝑥(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

12. 𝑢 = 𝑓(𝑥,𝑥

𝑦) Rpta: 𝜕2𝑈|𝜕𝑥2 = 𝑍𝑓𝑥𝑥 (𝑥,

𝑥

𝑦) +

2

𝑦𝐹𝑥𝑦 (𝑥,

𝑥

𝑦 ) +

1

𝑦2 𝑓𝑦𝑦(𝑥,𝑥

𝑦)

13. Demuestre que 𝑢𝑥𝑥 − 2𝑢𝑥𝑦 + 𝑢𝑦𝑦 = 0 si 𝑥𝑓(𝑥 + 𝑦) + 𝑦𝑔(𝑥 + 𝑦)

14. Hallar 𝑧𝑥𝑦 si 𝐹(𝑥 + 𝑧, 2𝑥 + 2𝑦) = 0

15. Hallar 𝑧𝑥𝑦 si 𝐹(𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) = 0

16. Hallar 2

2

z

x

,

2z

x y

si ( )2 2 ,z f y x y x= − −

DERIVADAS DIRECCIONALES

1. Dado la función 3 2 2 3( , ) 3 4f x y x x y xy y= − + + , hallar la derivada direccional en

el punto ( )2,1 , en la dirección 6

= Rpta:

4 3 7

2

+

2. Encontrar la derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 5𝑦2 en la

dirección del vector unitario 𝑢→ = 𝑐𝑜𝑠

𝜋

4 𝑖→ + 𝑠𝑒𝑛

𝜋

4 𝑗→ Rpta: 2√2𝑥 + 5√2𝑦

3. Encontrar la derivada direccional de la función f(x,y)= 𝑥2-4y en el punto P(-2,2)

en la dirección del vector unitario 𝑢→ = 𝑐𝑜𝑠

𝜋

3 𝑖→ + 𝑠𝑒𝑛

𝜋

3 𝑗→

P á g i n a 13 | 22

4. Mostrar que la derivada direccional de 2 3( , , )f x y z xz y= + en el punto ( )1,1, 2 en

la dirección 1 2

5 5i j+ es 2 3

5. Hallar la derivada direccional de la función f(x,y)= 𝑥2-𝑥𝑦 + 2𝑦2 en el punto

P(1,2) y en la dirección que forma con el eje OX un ángulo de 60° Rpta: -9√3/2

6. Hallar la derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 2𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2+1 en el

punto M(1,2), en la dirección que va este al punto N(4,6) Rpta:1

7. El potencial eléctrico es V volts en cualquier punto (x,y) en el plano xy y

v=𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑦.

8. La distancia se mide en pies. Encontrar la rapidez de cambio del potencial en el

punto (0,𝜋/4) en la dirección del vector unitario 𝑢→ = 𝑐𝑜𝑠

𝜋

3 𝑖→ + 𝑠𝑒𝑛

𝜋

3 𝑗→. Hallar la

dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de V en (0,𝜋/4)

Rpta: -1, -j, 2

GRADIENTE, DIVERGENCIA ROTOR

1. Siendo f(x,y,z)=2𝑥𝑧4 − 𝑥2𝑦, hallar ∇f en el punto (2,-2,-1) Rpta:10𝑖 − 4 𝑗 − 16 �⃗⃗�2√93

2. Siendo �⃗�=2𝑥2𝑖 − 3𝑦𝑧𝑗 = 𝑥𝑧2�⃗⃗� 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧 − 𝑥4𝑦, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 �⃗�*𝛻f y �⃗�x𝛻f en

el punto (1,-1,1) Rpta: 5, 7𝑖 +9𝑗+�⃗⃗�

3. Si 3 3 3( , , )f x y z x y z= + + , ( , , ) xz yz xyg x y z e e e= + + , hallar ( ) f g , en el punto

( )1,0,2− Rpta: ( )2 216 31 ,14,24 2

2 7e e− −+ −

4. Demuéstrese que 𝛻(𝑓

𝑔) =

g𝛻f−f𝛻g

𝑔2 ; 𝑔 ≠ 0

5. Demuéstrese que ∇2(fg)=f∇2g+2𝛻f*𝛻g+g∇2f

EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 𝑟 ⃗ = 𝑥𝑖 ⃗ + 𝑦𝑗 ⃗ + 𝑧𝑘 ⃗:

6. Demuéstrese que:

a) 𝛻 ∥ 𝑟 ∥3= 3 ∥ 𝑟 ∥ 𝑟 b) 𝛻f (𝑟)= f’( 𝑟) 𝑟 ∥ 𝑟 ∥

7. Demuéstrese que:

a) ∇2(ln∥ 𝑟 ∥)=1/∥ 𝑟 ∥2 b) 𝛻 ∗ (∥ 𝑟 ∥3= 6 ∥ 𝑟 ∥3

8. Demuéstrese Div [∥ 𝑟 ∥ 𝐺𝑟𝑎𝑑(1 ∥ 𝑟 ∥3)]=3∥ 𝑟 ∥4

P á g i n a 14 | 22

En cada ejercicio, hallar el plano tangente y la recta normal

1. 2 2 2 17x y z+ + = en ( )2, 2,2P − . Rpta: 2 3 172x y z− + =

2. ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 1 3 10x y z− + − + − = en ( )3,3,5P . Rpta: 11x y z+ + = , 3 3 5x y z− = − = −

3. 2 6xyz = en ( )3, 2,1P . Rpta: 2 3 12 24x y z+ + = , 3 2 1

2 3 12

x y z− − −= =

4. xyzx y z e+ + = en ( )0,0,1P . Rpta: 1x y z+ + = , 1x y z= = −

5. mostrar que la ecuación de la recta tangente a la cuadrática a𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2=d en el punto

𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) está dado por 𝑎𝑥0𝑥 + 𝑏𝑦0𝑦 + 𝑐𝑧0𝑧 = 𝑑

6. Mostrar que la ecuación del plano tangente al elipsoide 2 2 2

2 2 21

x

a b

y z

c+ + = , en cualquier

punto suyo ( )0 0 0, ,M x y z tiene la siguiente forma: 0 0

2

0

2 21

x

a b

x y y z z

c+ + =

7. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección del

paraboloide 2 2z yx= + y el elipsoide

2 2 2 94 yx z+ + = en el punto ( )1,1,2−

Rpta: 1 10x t= − − , 1 16y t= − , 2 12z t= −

8. Hallar el valor de k para que en todo punto de la intersección de las dos esferas

( )2 2 2 4x k y z− + + = y ( )

22 21 1y zx + − + = , los planos tangentes sean perpendiculares uno al

otro. Rpta:

2k =

Determina máximos, mínimos y puntos de silla de las siguientes superficies:

1. 3 34 3z x y xy= + + − Rpta. Mínimo local ( )1,1 , Punto de Silla: ( )0,0

2. 2 2z x xy y y= + + + Rpta. Mínimo 1 2

,3 3

−

3. ( )( )1z x y xy= − − Rpta. Punto de Silla: ( )1,1 , ( )1, 1− −

4. 𝑧 = 𝑥𝑦 + 5𝑥2 − 2𝑦2 − 4𝑥 − 4 Rpta. Máximo en (4

9,

2

8, −

3

9)

5. 2 2 2 2( )y xz x ye − += Rpta. Mínimo ( )0,0 , Punto de Silla: ( )1,0

P á g i n a 15 | 22

6. 𝑧 = 5𝑥𝑦 + 7𝑥2 + 3𝑥 − 6𝑦 + 2 Rpta. Punto de silla (6

5,

69

25, −

112

25)

7. ( )z senx seny sen x y= + + + ; 0 2x , 0 2y Rpta. Punto Crítico (𝜋

3 ,

𝜋

3)

8. 2 2 cosz y y x= − Rpta. Mínimo ( ) ( ) ( )0,1 ; , 1 ; 2 ,1 − , Punto de Silla: 3

,0 ; ,02 2

Encuentre los máximos y mínimos de la función sujeta a las restricciones dadas:

9. 2 2( , )f x y y x= − , 2 211

4x y+ = Rpta. Máximo ( )0, 1 , Mínimo ( )2,0

10. 2 2 2( , , )f x y z x y z= + + , 4 4 4 1x y z+ + = Rpta. Máximo 3 , Mínimo 1

11. ( , , ) 2 2f x y z x y z= + + , 2 2 2 9x y z+ + = Rpta. Máximo ( )2, 2,1 , Mínimo ( )2, 2, 1− − −

12. ( , , , )f x y z t x y z t= + + + , 2 2 2 2 1x y z t+ + + = Rpta. Máximo

1 1 1 1, , ,

2 2 2 2

Determinar los extremos condicionales de las funciones dadas

1. 𝑧 = 𝑥𝑦, si 𝑥 + 𝑦 = 1 Rpta. 𝑍𝑚𝑎𝑥=f(1

2,

1

2) =

1

4

2. 𝑧 = 𝑥𝑦, si 𝑥 = 𝑦 Rpta. 𝑍𝑚𝑖𝑛=f(0,0) = 0

3. 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 , si 𝑥 + 𝑦 = 2 Rpta 𝑍𝑚𝑖𝑛=f(1,1) = 2

4. 𝑧 = 25 − 𝑥2 + 𝑦2 si 𝑥2+𝑦2 − 4𝑦 = 0 Rpta. 𝑍𝑚𝑖𝑛=f(0,4) = 9 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 𝑓(0,0) = 25

5. 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 𝑠𝑖 𝑥2+𝑦2=5 Rpta. 𝑍𝑚𝑎𝑥=f(1,2) = 5; 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 𝑓(−1, −2) = −5

6. z=𝑥2+𝑦2 𝑠𝑖 𝑥2+𝑦2=1 Rpta. Puntos críticos: (0,±1) ; ( ±1,0)

7. z=𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑦 𝑠𝑖 𝑥 − 𝑦 =𝜋

4 Rpta. 𝑍𝑚𝑎𝑥=f(−

𝜋

8,

𝜋

8) = 1,71

8. 𝑢 = 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 𝑠𝑖 𝑥2+𝑦2-𝑧2=1 Rpta. Punto crítico= (1

3, −

2

3,

2

3)

P á g i n a 16 | 22

PROBLEMAS DE PLANTEO

1. Encuentre un punto en la superficie 25xyz = en el primer octante que 3 5 9Q x y z= + +

sea mínimo. Rpta. 5

5,3,3

2. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular limitada por el plano 𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏+

𝑧

𝑐= 1 y los

planos coordenados de modo que tenga el mayor volumen posible Rpta. 𝑉𝑚𝑎𝑥=8𝑎𝑏𝑐

3√3(𝑢3)

3. Diseñar una caja rectangular sin tapa y sin fondo debe tener un volumen de V 𝑝𝑖𝑒𝑠3.

Determine las dimensiones de la caja para que el área superficial sea mínima.

Rpta. Minimizar ( )2S z x y= + sujeto a V xyz=

4. Determinar el radio y la altura del cilindro de máximo volumen que puede inscribirse en

una esfera de radio a . Rpta. 2

3r a= ,

2

3h a=

5. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular que se pueda inscribir en la octava parte

de la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 de manera que su volumen sea máximo. Rpta: 𝑉𝑚𝑎𝑥 =𝑟3

3√3(𝑢3)

6. Hallar el paralelepípedo rectangular de volumen dado V que tenga la menor área posible.

7. Calcular los puntos más próximos de la superficie 𝑦2 − 𝑥𝑧 = 𝑦 al origen.

Rpta: 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃0(0,1,0); 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃1(0,0,0)

8. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo inscrito en el primer

octante de la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 27. Rpta: 𝑉𝑚𝑎𝑥 = 27𝑢3

9. Un recipiente se construye con un cilindro recto de radio 5 𝑝𝑖𝑒𝑠 y con tapas en forma de

cono en los extremos del cilindro. Si el volumen total es 𝑉 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜𝑠, halle la altura 𝐻

del cilindro y la altura ℎ de cada una de las tapas cónicas de manera que el área se la

superficie total sea menor posible. Rpta. 2 5h = , 4 5

25 3

VH

= −

10. Dados los puntos A(14) y B(3,0) en la elipse 2𝑥2 + 𝑦2 = 18, hallar el tercer punto C tal

que el área del triángulo ABC sea la mayor posible. Rpta: 𝐶(−√6, −√6)

11. Hallar la mínima distancia entre parábola 𝑦2 = 𝑥, la recta 𝑦 = 𝑥 + 2. Rpta: 𝑑𝑚𝑖𝑛 =7√2

8

12. ¿Cuál es el volumen del máximo paralelepípedo rectangular que se puede inscribir en el

elipsoide 𝑥2

9+

𝑦2

16+

𝑧2

36= 1

P á g i n a 17 | 22

13. Un granjero planea cercar 7200 𝑚2 de terreno que tiene la forma rectangular, uno de sus

lados limita con un rio. Sí solo debe cercar los tres lados no adyacentes al rio, ¿Cuál es la

menor cantidad de cerco necesario para completar el trabajo? Rpta. 240𝑚

14. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que una bañera rectangular abierta de una

capacidad dada “V” para que su superficie sea mínima?

15. Hallar un punto P0 en el primer octante del elipsoide 𝑥2

16+

𝑦2

9+

𝑧2

4= 1 en el que el plano

tenga forma con los planos coordenados un tetraedro de volumen mínimo.

Rpta: 𝑃0 (4

√3,

3

√3,

2

√3)

16. Determinar las dimensiones de los lados de un triángulo, si su perímetro es P, de manera

que su área se máxima. 𝐴 𝑚𝑎𝑥 = √3𝑃2

36

17. Hallar las dimensiones de una bañera semicilíndrica abierta de superficie S, de manera

que su volumen sea máximo. 𝑉 𝑚𝑎𝑥 =𝑆

3√

𝑆

3𝜋

18. Hallar los semiejes de la curva 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 5𝑦2 = 1 Rpta: √4±√2

14

19. El plano 2 2x y z+ + = al interceptar al paraboloide 2 2z x y= + forma una elipse.

Encuentre los puntos de la elipse que son más cercanos y los más lejanos al origen.

Rpta. Mas cercano 1 1 1

, ,2 2 2

, más lejano ( )1, 1,2− −

20. Trazar un plano de modo que pase por el punto ( ), ,a b c y que el volumen del tetraedro

recortado por dicho plano del triedro coordenado sea el menor posible. Rpta. 3x y z

a b c+ + =

P á g i n a 18 | 22

INTEGRALES DOBLES

Calcule las siguientes integrales iteradas

1. ( )2

3 5

3 42

ydy x y dx

− −+ Rpta. 50.4

2. 2 2

3

1 0

x

xy dydx Rpta. 42

3. 22 4

2 2

0 0

y

x y dydx−

+ Rpta. 4

3

4. 21

0 0

xy

ye dxdy Rpta. 1

2

5.

2

2

2 3

0 4

xe

xxdydx

− Rpta. 43 25

2 6e −

6. ( )

2 2 22 4

0 0

x x ye dxdy

− − +

Rpta. ( )414

e −−

7. 1 3

0 2

xx y

xe dydx+

Rpta. 4 31 1 1

4 3 12e e− +

8. 2 20

a a

x

xdydx

x y+

Rpta. ( ) 212 1

2a−

Calcule ( , )R

f x y dxdy para las siguientes reglas ( , )f x y y sobre R :

9. ( )1

4 2( , ) 1f x y x−

= − ; ( )1

, 0 ,02

R x y x y x

=

Rpta. 12

10. ( , )f x y x= ; ( ) 2, 0 4 ,0 2R x y x y y= − Rpta. 16

3

11. 2

( , )4

senxf x y

sen y=

−; ( ), 0 ,0

2R x y x y x

=

Rpta. 1

ln32

12. ( , ) secf x y y= ; ( ), 0 1,arctan4

R x y x x y

=

13. 1

22

0cos 1 cos

arcsenyx xdxdy

+ Rpta. ( )12 2 1

3−

14. Sea 4

1

senxa dx

x= , calcular en función de a , el valor de:

1 2 1 4 3 4

0 1 0 2 0 1y y

senx senx senxdxdy dxdy dxdy

x x x+ ++ + Rpta. cos4 cos1 a− + +

P á g i n a 19 | 22

ORDEN DE INTEGRACIÓN

Calcular las siguientes integrales cambiando el orden de integración

1. ( )

4 2

23 1

1dx dy

x y+ Rpta. ln 25

2. 2

1 1

20 0 1

xdx dy

y+ Rpta. 12

3. 2

2

1 20 1

x

x

xdx dy

y+ Rpta. 1

24

4. 21 2

0 2

y

xdx e dy Rpta. ( )41

14

e −

5. ( )2

3 5

3 42

ydy x y dx

− −+ Rpta. 50.4

6. 21 1

2 2

0 01

x

dx x y dy−

− − Rpta. 6

Invertir el orden de integración en:

7. 1 2 2

0 0 1 0( , ) ( , )

x x

f x y dxdy f x y dxdy− +

+ Rpta. 1 2

0 2( , )

y

yf x y dxdy

−

−

8. 0 2 4 4

5 4 0 4( , ) ( , )

x x

x xf x y dxdy f x y dxdy

+ −

− − − − −+ Rpta.

22 4

3 2( , )

y

yf x y dxdy

−

− −

9. 23

4 5 254

0 0 4 0

xx

xdxdy xdxdy−

+ Rpta. 25

10. 2 4 2

2 2 2 20 22 2

y

y y

y ydxdy dxdy

x y x y+

+ + Rpta. 5

ln2

INTEGRALES EN COORDENADAS POLARES

Aplicando Coordenadas polares, calcular:

1. ( )2 2

2 2

0 0ln 1

R R x

x y dxdy−

+ + Rpta. ( ) ( )2 2 21 ln 14

R R R + + −

2. 2 2

2 2

1

1R

x ydxdy

x y

− −

+ + , donde: ( ) 2 2, 1, 0, 0R x y x y x y= + Rpta. ( )2

4

−

3. arctanR

ydxdy

x , donde: ( ) 2 2, 1 9, 33

xR x y x y y x

= +

Rpta. 21

6

4. 2

2 22 4

0 0

xx ye dxdy

−− −

Rpta. ( )414

e −−

5. 2 216R

x y dxdy− − , si R es la región limitada 2 2 4 0x y y+ − = Rpta.

64

3

6. 2 2x y

R

e dxdy+

, donde: ( ) 2 2, 1R x y x y= + Rpta. ( )1e −

P á g i n a 20 | 22

7. R

xydxdy , donde R es la región en el primer cuadrante acotado por la elipse

2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = Rpta. 2 2

8

a b

8. ( )2 2

R

x y dxdy− , si R es la región limitada por: 2 2 4x y+ = ,

2 2 9x y+ = , 1xy = ,

4xy = con 0 x y Rpta. 64

3

TRANSFORMACIONES EN INTEGRALES DOBLES

Emplee las transformaciones indicadas para calcular la integral:

1. 1 1

0 0

yx

x ye dydx−

+

, Sugerencia: u x y= + , y uv= Rpta. 1

2

e −

2. cosR

x ydxdy

x y

−

+ , donde R es la región limitada por: 1x y+ = , 0x = , 0y = Rpta.

1

2sen

3. 2x y

R

e dxdy+

, donde R es la región limitada por: 2 4x y+ = , 2 0x y− = y el eje X.

Sugerencia: Use la transformación: 2 2x u v= + , y uv= Rpta. 23 e+

4. ( )2 cos

R

y xydxdy

x , si R es la región limitada por: 2x y= ,

2y x= , 2 4x y= ,

2 4y x= .

Sugerencia: Use la transformación: 2x u v= , 2y uv= Rpta.

cos4 cos16 cos4 cos1

12 3

− −+

5. R

ydxdy , donde R es la región limitada por: 252

yy

x e= − + , 2

y

x y e= + , 25y

x y e+ = + ,

2

2

yy

x e+ = , Sugerencia: 2

2

yy

u x e= + − , 2

y

v x y e= − − Rpta.500

9

6. 2 2

R

x y dxdy+ , donde R es la región en el plano XY, limitado por: 2 2 4x y+ = ,

2 2 9x y+ = Rpta.38

3

P á g i n a 21 | 22

AREAS DE FIGURAS PLANAS

Calcule el área de la región limitada por las curvas:

1) y x= , 24 4 1y x= + Rpta.

1

12

2) 2 16 8y x= − , 2 28 4y x= + Rpta.

326

3

3) 3 2y x x= − , 36y x x= − Rpta. 16

4) y x= , lny x= , 1y = , 0y = Rpta. 3

2e−

5) 4xy = , 8xy = , 3 15xy = ,

3 5xy = Rpta. ln9

6) ( ) 2 2, 0 , cos 24

R x y x x y x x

= +

Rpta. 2 31

2 32 192

+ −

VOLUMENES POR INTEGRALES DOBLES

1) Calcular el volumen del cilindro limitado por las superficies: 2 2 2x y r+ = , z h= , 0z =

Rpta. 2r h

2) Calcule el volumen del solido limitado por la parte del cilindro 2 2 16x y+ = para 0x

, 0y los planos coordenados y el plano 2 2 8z y x+ − = Rpta. ( ) 332 16 u+

3) Calcular el volumen del solido en el primer octante acotado por los planos coordenados

y el plano 2 6 0x y z+ + − = Rpta. 318 u

4) Calcule el volumen del solido limitado por superiormente por el paraboloide

2 24 2z x y= − − e inferiormente por el plano XY Rpta. 34 2 u

5) Calcular el volumen del solido en el primer octante acotado por las superficies:

2 1x z+ = , x y= , 2x y= Rpta. 4

8 15

−

6) Calcule el volumen del solido limitado por superiormente por la gráfica 2 21 4z x y= − −

e inferiormente por la gráfica de 2 24 4 1x y z+ − = Rpta. 35

16

u

P á g i n a 22 | 22

CENTRO DE MASA Y MOVIMIENTOS DE INERCIA

1) Encuentre el centro de masa de una lámina en función de densidad y la forma de la

región limitada por las curvas: y x= , 0y = , 4x = , :ctte Rpta. 12 3

,5 4

2) Encuentre el centro de masa de una lámina en función de densidad y la forma de la

región limitada por las curvas: x y a+ = , 0x = , 0y = , xy = Rpta. 2 2

,9 9

a a

3) Encuentre el centroide con densidad constante, en la región del primer cuadrante entre:

0x = , 1x = y entre 2y x x= − , 2 4y x= Rpta. 43 59

,70 70

4) Encuentre el centroide con densidad constante, en el área del primer cuadrante acotada

por la curva 3y x= y la recta 4y x= Rpta. 16 64

,15 21

5) Encuentre la masa de un plato cuadrado de lado a , si su densidad es proporcional al

cuadrado de la distancia desde un vértice. Rpta. 42

3

ka

6) Encuentre la masa de un disco circular de radio a , si la densidad es proporcional al

cuadrado de la distancia desde un punto sobre la circunferencia al centro. Rpta. 4

4

k a

7) Calcule el momento de inercia del circulo ( ) ( )2 2 22x a y b a− + − = , respecto al eje Y.

Rpta. 43 a

8) Calcule el momento de inercia de la elipse 2 2

2 21

x y

a b+ = , respecto al eje de coordenadas.

Rpta. ( )2 2

4

aa b

+

9) Halle el momento polar de inercia de la región F en el plano XY limitado por

2 2 1x y− = , 2 2 9x y− = , 2xy = , 4xy = , la densidad 1 = . Sugerencia, hacer:

2 2u x y= − , 2v xy= . Rpta. 8

10) Calcule el momento de inercia de la superficie limitada por la hipérbola 4xy = y la

recta 5x y+ = , con respecto a la recta y x= . Sugerencia: la distancia desde el punto

( ),x y a la recta y x= es igual a 2

x yd

−= . Rpta.

316ln 2 9

8−