GUIA DE PROBLEMAS MATEMATICOS Y ALGEBRAICOS

Ecuaciones: Ayuda para resolver problemas

Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos es convertir ellenguaje coloquial en smbolos matemticosy viceversa, lo cual muchas veces les impide resolver algunos problemas que se les plantean.

El problema se agrava cuando se presentan losproblemas de aplicacin, ya que muchos de ellos estn fuera de su entorno de conocimientos.

Por lo general, para aplicar conocimientos de matemticas y poder proponer modelos de solucin, los alumnos requieren de conocimientos bsicos de otras reas; este asunto plantea mayor dificultad que el poder despejar una ecuacin.

La mejor recomendacin es la prctica cotidiana; en la medida que los alumnos realizan ejercicios, progresarn en la adquisicin del conocimiento.

Es importante notar que hay una diferencia bsica entre el concepto"problema"y"ejercicio".

No es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema. Una cosa es aplicar un algoritmo de forma ms o menos mecnica, evitando las dificultades que introduce la aplicacin de reglas cada vez ms complejas, y otra, resolver un problema, dar una explicacin coherente a un conjunto de datos relacionados dentro del contexto.

La respuesta suele ser nica, pero la estrategia resolutoria est determinada por factores madurativos o de otro tipo.

Una parte importante de los errores en la resolucin de problemas son las dificultades decomprensin lectora. La tendencia de operar todos los datos presentados, aunque algunos no sirvan, certifica esta falta de comprensin global.

Por otra parte, los alumnos resuelven mejor los problemas si alguien se los lee que si los lee el mismo.

Como pauta general para resolver problemas matemticos, los alumnos deben:

Analizar y comprender el enunciado, para ello deben subrayar las palabras ms significativas del mismo, para defiinir aquellas que dan las rdenes.

Luego expresar el problema en lenguaje simblico o matemtcio. Las ecuaciones sirven a menudo para resolver problemas. Debemos recordar que en una ecuacin la variable puede estar representada por cualquier letra, por costumbre, se usa "x".

Luego se resuelve la ecuacin, se verifican sus resultados y se entrega la respuesta.

A continuacin, entregamos una tabla de equivalencias entre una expresin coloquial y su simbologa, la cual puede resultar muy til si es consultada a menudo:Expresin coloquialSimbologa matemtica

Dado un nmero

Elduplo, eldoblede un nmero

Lamitadde un nmero

Un nmerodisminuido en...

Elantecesor, o elanteriorde un nmero

Elsucesor, elconsecuente, o elsiguientede un nmero

Elopuestode un nmero

Nmerosconsecutivos

Un nmeropar

Nmerospares consecutivos

Un nmeroimpar

Nmerosimpares consecutivos

Eltriplede un nmero

Elcudruplode un nmero

Laterceraparte, o elterciode un nmero

Lacuarta partede un nmero

Laquinta partede un nmero

Elcuadradode un nmero

Elcubode un nmero

Elcuadradodel siguiente de un nmero

Elcubodel siguiente de un nmero

La razcuadradade un nmero

La razcbicade un nmero

La razcuartade un nmero

La razn entre dos nmeros:divisin

El producto entre dos nmeros:multiplicacin

La diferencia entre dos nmeros:sustraccin

A modo de ejemplo:

La suma de tres nmeros naturales consecutivos (lenguaje coloquial) es 45. Cules son dichos nmeros?Procedimiento:1.- Buscamos en la tabla cmo simbolizar nmeros consecutivos, y nuestro problema indica tres:

(simbologa matemtica)

2.- Como la operacin es la suma de tres nmeros, no necesitamos usar parntesis

3.- Planteamos la ecuacin:

4..- Resolvemos la ecuacin: sumamos los trminos semejantes entre s:

5.- Ahora conocemos el primer nmero, y para hallar los dos siguientes hacemos:

6.- Verificamos y hacemos

Qu es un sistema de ecuaciones?

Cuntos puntos vale cada bola?

Existen dos datos que no conocemos, los puntos que vale una bola roja, y los que vale una bola amarilla.A estos datos que no conocemos los llamamosincgnitas,xe y.

x= Puntos bola rojay= Puntos bola amarilla

Ya que 2 bolas rojas (2x) y una bola amarilla (y) son 5 puntos, se debe cumplir que:

2x + y = 5

Por otro lado, 3 bolas rojas (3x) y cuatro bolas amarillas (4y) son 10 puntos, as que:

3x + 4y = 10

Por tanto, se cumplen dos ecuaciones de primer grado. Juntando ambas ecuaciones:

El conjunto de estas dos ecuaciones se llamasistema de ecuaciones con dos incgnitas.

Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incgnitas son dos ecuaciones en las que las incgnitas deben tomar el mismo valor en ambas. Se escribe as:

En esta expresin,xeyson las incgnitas;a,b,ay bson los coeficientes de las incgnitas;cy cson los trminos independientes.

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El lenguaje algebraico

El lenguaje que usamos en operaciones aritmticas en las que slo intervienen nmeros se llamalenguaje numrico.

En ocasiones empleamos letras para representar cualquier nmero desconocido, realizamos operaciones aritmticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemticas para poder calcular su valor numrico.

El lenguaje que utiliza letras en combinacin con nmeros y signos, y, adems, las trata como nmeros en operaciones y propiedades, se llamalenguaje algebraico.

La parte de las Matemticas que estudia la relacin entre nmeros, letras y signos se llamalgebra.

Caractersticas del lenguaje algebraico

1.- El lenguaje algebraico es ms preciso que el lenguaje numrico: podemos expresar enunciados de una forma ms breve.

El conjunto de los mltiplos de 5 es 5 = {5, 10, 15, ...}.

En lenguaje algebraico se expresa 5 n, connun nmero entero.

2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numricas de carcter general.

La propiedad conmutativa del producto se expresaab=ba, dondeaybson dos nmeros cualesquiera.

3.- Con el lenguaje algebraico expresamos nmeros desconocidos y realizamos operaciones aritmticas con ellos.

El doble de un nmero es seis se expresa 2 x= 6.

Expresiones algebraicas

Unaexpresin algebraicaes un conjunto de nmeros y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritmticas. Una expresin algebraica se define como aquella que est constituida porcoeficientes, exponentesybases.

Coeficiente numrico:es la cantidad numrica o letra que se encuentra a la izquierda de labase, la cual indica la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga.

Ejemplos:

7x4= x4+ x4+ x4+ x4+ x4+ x4+ x4 3x2= x2 x2 x2Exponente numrico:es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se toma como producto.

Ejemplos:

5x3= 5 (x) (x) (x)

8( x + 5)2= 8( x + 5) ( x + 5)

Valor numrico de una expresin algebraica

Elvalor numricode una expresin algebraica es el nmero que resulta de sustituir las letras por nmeros y realizar a continuacin las operaciones que se indican.

Una cantidad desconocida se puede representar con algunaletrallamadavariable.

A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemtico traducidas a una expresin algebraica:FraseExpresin algebraica

La suma de 2 y un nmero2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida)

3 ms que un nmerox + 3

La diferencia entre un nmero y 5a - 5

4 menos que n4 - n

Un nmero aumentado en 1k + 1

Un nmero disminuido en 10z - 10

El producto de dos nmerosa b

Dos veces la suma de dos nmeros2 ( a + b)

Dos veces un nmero sumado a otro2a + b

Cinco veces un nmero5x

Ene veces (desconocida) un nmero conocidon multiplicado por el nmero conocido

El cociente de dos nmerosab

La suma de dos nmerosx + y

10 ms que nn + 10

Un nmero aumentado en 3a + 3

Un nmero disminuido en 2a 2

El producto de p y qp q

Uno restado a un nmeron 1

El antecesor de un nmero cualquierax 1

El sucesor de un nmero cualquierax + 1

3 veces la diferencia de dos nmeros3(a b)

10 ms que 3 veces un nmero10 + 3b

La diferencia de dos nmerosa b

La suma de 24 y 1924 + 19 = 43

19 ms que 3333 + 19 = 52

Dos veces la diferencia de 9 y 42(9 4) = 18 8 = 10

El producto de 6 y 166 16 = 96

3 veces la diferencia de 27 y 213(27 21) = 81 63 = 18

La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado92 42= 81 16 = 65

El cociente de 3 al cubo y 933/ 9 = 27 / 9 = 3

12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12122 (8 12) = 144 96 = 1,5

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