Gua de Ejercicios de Procesos de Poisson Recopilacin de Problemas preparado por Denis Saur 11. Problemas de Procesos de Poisson1.Se tiene una central telefonica que recibe llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa = 5[llamadas/hora]. Se dene con N(t, t

) el n umero de llamadas que se han recibido entre t y t

. El servicioha comenzado a operar a las 7:00 de la ma nana y se sabe que N(7, 9)=7.a) Si el operador no ha recibido ninguna llamada desde las 8:45 hrs. cual es la probabilidad de quela siguiente llamada ocurra antes de las 9:15 hrs. ?.b) Cual es la probabilidad de que el operador este ocioso por mas de 40 minutos (comenzando a las8:45)?.c) Cual es la probabilidad de que a las 10:00 hrs. se hayan recibido 25 llamadas en total?.d) Si el operador trabaja un turno de 8 horas cuantos llamados recibira en promedio ?. cual sera lavarianza ?.e) El operador ha estado muy ocupado durante las primeras 4 horas de su turno y le comenta a sucompa nero de trabajo en su hora de colacion: Este sera un da muy ocupado, en la ma nana casino he podido descansar. Explique si el operador tiene o no razones para realizar esta armacion.2.Suponga que el n umero de goles que marca un equipo de f utbol puede ser descrito por un proceso dePoisson. Considere los siguientes equipos (procesos independientes) :A : tasaAgoles/partidoB: tasaBgoles/partidoa) Si se enfrentan A y B, Cual es la probabilidad de que A gane 2 x 1?.b) Suponga que ha transcurrido el primer tiempo entre A y B, si se sabe que A va ganando 2 x 0,cual es la probabilidad de que el primer gol haya sido antes de 15 min. y el segundo antes de 30min.?.c) Va a comenzar el segundo tiempo (A va ganando 2 x 0), cual es la probabilidad de que A marque3 goles antes de los 30 min. (sin importar lo que pase con B)?.d) Suponga que el partido en su tiempo reglamentario (90 min.) quedo igualado 3 x 3. Sin embargo, esnecesario denir el ganador, para ello se utilizara la modalidad golden goal, es decir, el primeroquemarcael gol gana. Cual eslaprobabilidaddequeel partidoseprolonguepormasde45minutos?.e) Asuma que ahora se cambian las reglas a two golden goals, es decir, el primer equipo que marca2 goles consecutivos gana. Cual es la probabilidad de que gane B?.3.(*) Una empresa de distribucion de energa electrica ha decidido enfrentar el invierno venidero con unPlan de Solucion de Fallas Crticas.Delasestadsticasrecopiladasdelosa nosanteriores,sepuedeconcluirquelasfallascrticastienendosorgenesposibles: DomiciliarioydeAlumbradoP ublico.Ambasfallassepresentanseg unprocesosde Poisson independientes, de tasa D[fallas/da] para fallas domiciliarias y A[fallas/da] para fallas deAlumbradoP ublico.Comopartedel dise nodel plan, seconformounequipodeempleadosaltamentecapacitadosenlareparacion de fallas en redes electricas. Este equipo acude a reparar las fallas reportadas demorandoseuntiempoexponencialmentedistribuidodemediaT[hrs] porcadauna, incluyendoenestelapsoeltiempo de transporte al lugar de la falla.a) Si durante el primer mes de funcionamiento del Plan se han reportado F fallas, cual es el n umeroesperado de fallas para el segundo mes?.2b) Cual es la probabilidad de que la primera falla que se registre en un mes seadomiciliaria?.c) El equipodereparacionestatrabajandoenlasoluciondeunafalladeAlumbradoP ublico. Enpromedio, Cuantas fallas de cada tipo ocurriran antes de que la reparacion en curso sea naliza-da?.SeestaestudiandolaposibilidaddedejarlareparaciondefallasdeAlumbradoP ublicoenmanosdeuna empresa contratista. Los terminos del contrato indican que mensualmente se pagara como costojo un equivalente aR reparaciones a un costo unitarios1, mientras que el precio de cada reparacionpor sobre este mnimo sera des2, cons2> s1.d) ComoIngenierodeEstudiosdelaempresadistribuidora, planteeel problemadeoptimizacionque permita encontrar el valorRque minimiza los costos mensuales esperados del contrato dereparacion de fallas de Alumbrado P ublico.4.El Call Center de una Isapre recibe llamadas correspondientes a reclamos y a consultas, las cuales puedenser modeladas como procesos de Poisson de tasas R y C[llamadas/hora], respectivamente. Todos losreclamos son derivados al departamento de atencion al cliente para su analisis y solucion, al igual queuna fraccionp de las consultas. Este departamento demora un tiempo exponencialemente distribuidode tasa en procesar cada solicitud, ya sea reclamo o consulta. La fraccion restante de las consultascorrespondeaaquellasquerequierendeunestudiomasespecializado,porloquesonderivadasalaGerencia de Estudios de la compa na. Esta gerencia demora un tiempo exponencialmente distribuidode tasa 2 en el procesamiento de cada consulta. Suponiendo que todas las unidades de la compa natrabajan 8 horas diarias de lunes a viernes, responda:a) Si la semana pasada se recibieron R reclamos y C consultas, cual es el valor esperado de llamadasqueestasemanaseranderivadasalDepartamentodeAtencionalCliente?.yalaGerenciadeEstudios?.b) Cual es la probabilidad de que la proxima llamada que se reciba corresponda a un reclamo?.El Departamento de Atencion al Cliente debe emitir diariamente un reporte del n umero de llamadasrecibidasencadahoradeoperacion. Lamentablemente, porunerrorcomputacional perdiotodalainformacion de las consultas recibidas en las ultimas 4 horas del da, pudiendose rescatar solamente eldato de que en dicho intervalo de tiempo se recibieronQ consultas. Ante esta eventualidad, el Jefe delDepartamento le encomienda a Ud. intentar reconstruir esta informacion.c) Utilizando sus conocimientos de probabilidades determine cual sera la distribucion de probabilidadquerigealn umerodellamadasrecibidasenlaprimerahoradeoperacionperdida.Intuitiva-mente, cual sera la conguracion mas probable para las llamadas recibidas en cada una de las 4horas de operacion sin registros?.d) Si un trabajador del centro de atencion recuerda con seguridad que en la ultima hora de operacionserecibieronQ/3llamadas,cambiasurespuestadelaparteanterior?.Sisurespuestaesar-mativa encuentre la distribucion de probabilidad que rige al n umero de llamadas recibidas en laprimera hora de operacion perdida en esta nueva situacion.Suponga ahora que el Call Center funciona las 24 horas en forma continuae) Comomodicarael modelodellegadasenunciado, demodoqueseajustemejoralanuevarealidad?. Razone en funcion de la variacion de la tasa a lo largo del da.5.Turistas extranjeros llegan en el verano a un balneario seg un un proceso de Poisson de tasa [turistas / mes].Independientedetodolodemas, conprobabilidadpA, unturistaquellegaal balnearioprovienedealg ununpassudamericanoyconprobabilidad1 pAprovienedel restodel mundo. Losturistascomienzan a llegar el 1 de enero.3a) Si hasta mitad de mes, han llegadom turistas en total. Cual es la probabilidad que hasta n demes lleguen mas den turistas en total (m n)?.b) Dadoqueenunmesllegaron100.000turistasentotal.Cualeslaprobabilidadquendeellossean sudamericanos?.c) Es el 20 de enero y desde el 19 de enero no ha llegado ning un turista. Cual es la probabilidadque el siguiente veraneante que llegue sea sudamericano?.d) En un mes llegaron 100.000 turistas en total. Cual es la probabilidad que la mitad de ellos hayanllegado durante la primera mitad del mes?.e) Los turistas sudamericanos dejan en el pas cantidades de dineroXique son variables aleatoriasiid de media . Por su parte, los turistas del resto del mundo dejan en el pas cantidades de dineroYique son variables aleatorias iid de media. Cual es el valor esperado de la cantidad total dedinero dejada en total por los turistas durante un mes?.6.Una tienda que vende por catalogos ha realizado un estudio de su demanda, el que concluyo que paraunperododeventa(k)cualquieraeln umerodepotencialescompradoressedistribuyePoissonconuna media igual al n umero de clientes que compro el producto en el perodo anterior (k 1). Ademasen un perodo (k) cualquiera, la fraccion de los clientes potenciales que compran el producto esepkdondepkes el precio jado en el perodo (k).Si inicialmente el n umero de clientes potenciales se distribuye Poisson con media, responda:a) Cual es el precio optimo y el benecio esperado maximo si se considera un solo perodo de venta?.b) Responda lo anterior considerando 2 perodos de venta.c) Ahora se desea resolver el problema para un horizonte de Tperodos. Si k es el n umero de perodosque faltan hasta el n del horizonte. Muestre que la solucion optima satisface:pk = 1 Uk1y el benecio esperado maximo acumulado es:Vk (sk+1) = sk+1 Ukdonde sk son las ventas den el perodo k y Uk se dene recursivamente por U0 = 0 y Uk = eUk11.7.Suponga que las personas que poseen cierta poliza de seguro sufren accidentes en instantes 00],dondeN(t)eseln umerodeshocksen[0,t].Elda noprovocadoporunshockdeda noinicial Di decae exponencialmente en el tiempo. Esto es, si el shock provoca un da no inicial D, entoncest unidades de tiempo mas tarde este da no seraD et. Si se supone que los da nos son aditivos:a) Calcule la esperanza deD(t), dondeD(t) es el da no que presenta el dispositivo en el instantet.b) Repita el calculo mediante el uso de la funcion generadora de momentos.24.En esta pregunta asumiremos que tenemos dos procesos de Poisson independientes entre s, A y B, contasas1y2, respectivamente.a) Supongaqueobservamoslosdosprocesosensuconjunto, yelegimosunevento. Argumenteomuestre que la probabilidad de que ese evento corresponda al proceso A es11+2.b) Calcule el n umero de medio de eventos del proceso B entre dos eventos sucesivos del proceso A.c) Consideremos ahora los procesos de conteo asociados,NA(t) yNB(t); estos pueden gracarse enel plano (x,y) y observar de este modo la evolucion del proceso en dos dimensiones. Calcule laprobabilidad que el proceso intersecte la lneax +y = z en el punto (x0,y0) tal quex0 +y0 = z25.(*) Utilizando la denicion de un proceso de conteo y una aproximacion Bernoulli a un proceso dePoisson, mostraremos queN(t) se distribuye Poisson de media t. Para esto dividiremos el intervalo[0,t] enk intervalos de tama not/k conk >> 0 y contestaremos las siguientes preguntas.a) Muestre que la probabilidad de que ocurran 2 o mas eventos en alg un subintervalo tiende a 0 sik .b) Muestre queN(t) es binomial de parametrok,p =tk+o(tk)c) Utilizando la parte anterior concluya queN(t) se distribuye Poisson de media t.26.(*) Autos llegan a un semaforo de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa . Este semaforo cambia decolor cada A unidades de tiempo. Si un auto llega al cruce y encuentra el semaforo en verde pasara in-mediatamente. Si lo encuentra en rojo debera esperar hasta el proximo cambio de luz. Suponiendo quela calle es lo sucientemente ancha como para que no se formen colas, y que el tiempo que demora unauto en atravesar el cruce es despreciable, calcule:10a) La distribucion de probabilidades de X(t), la cantidad de autos que han tenido que esperar paracruzar en alg un instante, en t.b) Ladistribuciondeprobabilidadesdel n umerodeautosqueestanesperandoparacruzarenelinstante t.Suponga que en realidad este semaforo esta instalado en el cruce entre dos calles. Por una de las calles(callex)lleganautosseg ununprocesodePoissondetasax. Cadaunidaddetiempoqueunautoespera en esta calle signica un costo deM[$]. Por otro lado, los autos que vienen por la otra calle(calley) llegan de acuerdo a un proceso de Poisson de tasay. Si un auto que viene por esta ultimava espera t unidades de tiempo en el semaforo, se incurre en un costo t2M[$]. Si llamamos A al lapsodetiempoduranteel cual el semaforoestaenrojoparalacallexyBal tiempoduranteel cual elsemaforo esta en rojo para lacalley (A+B = C, conCconstante).c) Calcule la esperanza del costo incurrido desde que el semaforo de luz roja, cambia a verde y vuelvea ser roja.d) Calcule los tiemposAyBque minimizan el costo incurrido por el sistema durante el cicloC.27.Considere un ascensor que parte en el zocalo de un edicio y sube por este. Sea Ni el n umero de personasque se suben al ascensor en el piso i. Suponga que los Ni son independientes y que de distribuyen seg unPoisson de tasai. Cada persona que se sube en el pisoi, independiente de todo el resto, se bajara enel pisojcon una probabilidadPij. SeaOiel n umero de personas que se bajan del ascensor en el pisoj.a) Calcule la distribucion deOjb) Cual es la esperanza deOj?.c) Cual es la distribucion conjunta deOiyOK?.28.(*)Sea[N1(t), t> 0]unprocesodePoissondetasa1.LasllegadasdeesteprocesosecolocanenONoenOFFdebidoaunswitchactivadoydesactivadoporlasllegadasdeunsegundoprocesodePoissonindependientedetasa2[N2(t), t> 0].Sea[Na(t), t> 0]elprocesoresultante,oseaNa(t)incluye las llegadas deN1(t) cuandoN2(t) es par.a) Encuentre la distribucion del n umero de eventos de N1(t) registrados durante el Nesimo perodoen que el switch esta en ON.b) Dado que la primera llegada del segundo proceso ocurrio en , encuentre la distribucion condicionaldel n umero de llegadas deN1(t) hasta.c) Dadoqueel n umerodellegadasdeN1(t)hastalaprimerallegadadeN2(t)esn, encuentreladensidad de la primera llegada deN2(t).d) SeaXael tiempo entre arribos del procesoNa(t), calculeE(Xa).29.Un proceso de Poisson bi-dimensional es aquel cuyos eventos pertenecen a R2tal que:Paracualquierregiondel planodeareaAel n umerodeeventosenAsedistribuyeseg ununproceso de Poisson de tasa A.El n umero de eventos en regiones disjuntas son independientes.Considereunpuntojor. SeaXladistanciaentre ryel eventomas cercano(utilizandonormaeuclidiana). Demuestre que:a) Pr[X> t] = et2b) E[X] =1211c) SeaRi, la distancia desde un punto arbitrario hasta eliesimo evento mas cercano a el,R0 = 0.Muestre queR2i R2i1(i 1)son variables aleatorias independientes exponencialmente distribuidas de tasa.30.Supongaqueeventosocurrenseg ununprocesodePoissonnohomogeneodetasa(t)yquesi unevento ocurre en el instante s contribuye con una cantidad aleatoria de distribucion Fs, s 0. MuestrequeW, la suma de todas las contribuciones hasta el tiempot es un proceso de Poisson compuesto. Esdecir muestre queWtiene la misma distribucion que Ni=1Xi, dondeXi son variables aleatorias iid eindependientes deN.31. a) Considere un proceso de Poisson no homogeneo [N(t), t 0], con funcion media m(t). Dado N(t) =n, muestre que el conjunto de tiempos de llegada (desordenados) tienen la misma distribucion quen variables iid con distribucion:F(x) =_m(x)m(t)si x t1 si x > tb) Supongaquetrabajadores sufrenaccidentes seg ununprocesodePoissonnohomogeneoconfuncion de valor medio m(t). Ademas suponga que cada trabajador accidentado queda sin trabajardurante un tiempo aleatorio distribuido seg unF. SeaX(t) el n umero de trabajadores fuera deltrabajo en el instantet. CalculeE(X(T)) yV ar(X(t)).32.A un aeropuerto llegan pasajeros a la zona de embarque seg un un proceso de Poisson no homogeneodetasa(t).Sesabequelospasajerospuedenserdedostipos: sospechosos oconbuenapresencia.Cada pasajero tiene una probabilidadqsde ser de tipo sospechoso, y una probabilidadqn = 1 qsdetener buena presencia.Laseguridaddelalneaaereahadispuestoqueunafracciondelospasajerossospechosos ydelosque tienen buenapresenciatengan que someterse a una revision para detectar eventuales terroristas.La seleccion de los pasajeros para este control es tal que con probabilidadRs(t) un pasajero de tiposospechosoque llega en el momentot debera someterse a la revision, mientras que si es de tipo buenapresenciaesta probabilidad esRn(t).La revision de los pasajeros es instantanea, incurriendose en un costoCpor cada pasajero controlado.Ademas, se sabe que con seguridad el sistema de control detectara a un terrorista intentando abordar elavi on, los que seran entregados a la justicia. Estudios de la CIA han determinado que una fraccionBsde los pasajeros que parecen sospechosos son terroristas, mientras que una fraccion Bn de los pasajeroscon buena presenciatambien son terroristas (Bs> Bn).Los pasajeros aceptados en el control y aquellos que no tuvieron que someterse a revision ingresan alsalon VIP donde deben esperar hasta que salga el vuelo. El avion despega en un tiempo Tcon a lo masNpasajeros. La lnea aerea incurre en un costop por cada unidad de tiempo que un pasajero esperaenelsalonVIPporconceptodebebidasyentretenciones,ademasdeuncostoDporcadapasajeroque estando en el salon VIP para abordar el vuelo no puede hacerlo por falta de espacio, en este caso,los pasajeros tienen todos la misma probabilidad de no poder abordar independiente del orden en quellegaron.Por otra parte, la compa na sabe que si en el avion vank terroristas hay una probabilidadAkque losterroristas secuestren la aeronave, lo que signica un costo en imagen valorado enXconX>> C.a) Encuentre la distribucion del proceso de llegadas al salon VIP.b) Calcule el costo esperado por concepto de bebidas y entretenciones en el salon VIP.Hint: Puede ser de utilidad recordar lo demostrado en la pregunta anterior.12c) Encuentre la distribucion de probabilidad del n umero de terroristas detectados en el control. Cuales la distribucion de probabilidad de los que estan esperando en el salon VIP en el tiempoT?.d) Encuentre la distribucion de probabilidad del n umero de terroristas que nalmente abordan a unvuelo.e) Calcule el costo esperado total que debera incurrir la lnea aerea en un vuelo.132. Resolucion problemas de Procesos de Poisson3. a) Comolosmesessonintervalosdisjuntosdetiempoestasprobabilidadessonindependientes.Laesperanza del n umero de fallas sera 30 (D +A) en 1 mes.b) EstaeslatpicapreguntatipoCualeslaprobabilidadquepaseAantesdeB?.Si TDeseltiempo en que ocurre la primera falla domiciliaria y TA es el tiempo en que ocurre la primera fallade alumbrado p ublico sabemos queTD exp(D) yTA exp(A)P(TD< TA) =DD +Ac) Una manera de verlo es darse cuenta que los 3 procesos involucrados son independientes, y pro-cederacalculardirectamentelaesperanza. Otramaneraescalcularlaesperanzasdelasfallascondicionado al tiempo que dure la reparacion y luego calcular lo que nos piden. Si Tr es el tiempoque dura la reparacion en meses:E[N fallas Domiciliarias/Tr = t] = Dt24E[N fallas Domiciliarias] =_0D t241Texp1Ttdt =D24 _01T t exp1Ttdt=D T24E[N fallas Alumbrado p ublico] =A T24d) Enestecasoloscostosestandivididosen2tramos: Si NA=N umerodefallasdeAlumbradop ublico son menores que R se pagara s1R, mientras que si NA> R se pagara s1R+s2(NAR).As el problema de minimizacion queda:mnR_s1 R P(NA R) +

k=R+1[s1 R +s2 (k R)] P(NA = k)_mnR_s1 R +

k=R+1s2 (k R)] (A 30)kexpA30k!)_9. a) Seat1 = instante en que se produce la olla.Dado que N(T)=1 t1 U[o, t]E(t1|N(T) = 1) =T2Entonces:E(T t1|N(T) = 1) = E(T) E(t1|N(T) = 1) =T2Generalizando lo anterior, es decir, si se producen N ollas:E(N

t=1T t1|N(T) = N) = N T E(N

t=1t1|N(T) = N) = NT NT2=NT2Recordando que Ex(x) = Ey(Ex(x|y)), entonces:E(Tiempo total de espera) = EN(E(Tiempo total de espera|N(T) = N))14E(Tiempo total de espera) = EN(NT2) =T2 EN(N) =T2 T=T2 2Si haydosdespachos, el analisisesexactamenteigual al anterior, solamentequetenemosdosdas, uno de largo s y otro de largo T-s. Ocupando el resultado de la parte anterior tenemos:E(Tiempo total de espera) =s2 2+ (T s)2 2E()s= 0 s =T2b) Basandonosenestanuevasituaciontenemoslosiguiente:Sientregamosexactamentekollasesporque el mnimo entre la produccion de ollas y tapas es k. Entonces:P(mn{N1(T), N2(T)} = k) = P(N1(T) = k, N2(T) k) +P(N2(T) = k, N1(T) > k)Dada la independencia de los procesos se tiene:P() = P(N1(T) = k) P(N2(T) k) +P(N2(T) = k) P(N1(T) > k)Donde las expresiones pueden determinarse explcitamente dada la distribucion de los procesos.c) Sea O(T)= N umero de ollas sobrantes al nal del da = max{N1(T) N2(T), 0}, entonces:E(O(T)) =

k=0k P(O(T) = k)dondeP(O(T) = k) =

j=0P(N1(T) = j +k) P(N2(T) = j)P(O(T) = k) =

j=0T2j+kj+kj2eT(+2)(j +k)! j!Solo resta remplazar...10. a) Supongamos quesedecidecolocar Ncamas enel hospital. Ademas consideremos queel dacomienzaent=0(7:00am) yterminaent=T(7:00amdel dasiguiente). Deestaforma, laprobabilidad de atender a todos los pacientes graves sera:PN[Lleguen a lo mas N pacientes graves] =N

i=0(1T)ie1Ti!Donde1es la tasa de llegada de los pacientes graves (2 al da). Entonces buscamos unNtalque:N= inf_N|N {0, 1, ...} N

i=0(1T)ie1Ti! 0,95_15b) El pacientemoriraonodependiendodel instanteenquellego. Si llegoantesdet=5(desdeahora en adelante trabajaremos en minutos) entonces muere con probabilidad 1 (del enunciado).Si llegodespuesdelast=5sobrevive. AhoraSupongamosqueel tipollegoenel instanteX(0 X 60) Entonces:P[Muerto|Llego en X] = 1Xt=5Siembargodebemosdescondicionar.Paraestovemosqueladistribucioncondicionaldelaslle-gadasdePoissonhastauninstantetsedistribuyenuniformementeentre0yT. Entoncesten-dremos que:P[Muerto] =_6001X5160dX=_501X5160dX +_6051X5160dX=_501 160dX +_6050 160dX=560=112c) Esto es basicamente la probabilidad que lleguen 5 pacientes graves seguidos de 5 pacientes leves.Sin embargo dado que:P[Llegue un paciente grave antes que uno leve] =gg +ldonde2es la tasa de llegada de pacientes leves al consultorio, y considerando la propiedad deperdida de memoria de la distribucion exponencial, tendremos que la probabilidad que buscamos,P, es:_gg +l_5_lg +l_5d) Por la perdida de memoria de la exponencial el mundo comienza cuando el tipo inicia su ida alba no. Por otro lado, debido a la suma de procesos de Poisson, el proceso de llegada de pacientesalconsultorioseraensunprocesodePoissondetasag + l,yporlotantoY,eltiempodellegadaentreclientes, seguiraunadistribucionexponencial deparametrog + l. Entonceseltiempo maximo,T, de demora debe ser tal que :P[Y T] = e(g+l)T= 0,95Entonces:T = ln(0,95)g +l11. a) Sea T = el tiempo que falta para que el proximo auto cruce.P[Pasar de inmediato] = P[Primer auto demora mas que]= P[T> ]= 1 F()= e16b) Derivaremos esta densidad a partir de la distribucion acumulada. Nos piden:P[T< t|T< ] =P[T< t T< ]P[T< ]DondeP[T< t T< ] =_P[T< t] t < 1 t Entonces:P[T< t|T< ] =_P[T 200 P(vender n) = 0c) Seau = utilidad de una funcion. Entonces:E(u) =

k=0E(u|N(6) = k)P(N(6) = k)pero:Sik 199E(u|N(6) = k) =k

i=1_ki_0,25i0,75ni((k i)p +i0,8p)sik 200E(u|N(6) = k) =k

i=1_200i_0,25i0,75200i((200 i)p +i0,8p)ComoP(N(6) = k) =(6)ke6k!, solo basta reemplazar.20d) Sean:Ri= Instante de la llegada i-esima de un cliente normal.Sj= Instante de la llegada j-esima de un socio.Notar que conocemos las funciones de probabilidad deRi Gamma(i, 0,75)y deSj Gamma(j, 0,25).Para que se vendan 50 entradas con descuento deben pasar 2 cosas:Que lleguen al menos 50 personas con tarjeta en las 8 horas que esta abierta la boleteraQue el clienteN050 que sea socio llegue antes que se cope la capacidad del cine. Esto ocurresi dicho cliente llega antes que el 150-esimo cliente normal.Entonces debemos calcular:P(S50 R150 8)como conocemos las distribuciones deSiyRj, basta con jarS50 = Se integrando sobreS.P(S50 R 8) =_8SR0,75151R150e0,75R150!dR=_80__(SR151R150e0,75R150!dR_0,2551R50e0,25R50!dS16. Recordar que si tenemos un proceso de Poisson no homogeneo en que la tasa de ocurrencia dependedel tiempo(t), hacemos un cambio de reloj para ver el proceso como uniforme:u(t1, t2) =_t2t1(t)dt P(N(t2) N(t1) = k) =u(t1, t2)keu(t1,t2)k!Para este problema:u(t1, t2) =_t2t1114,1 tdt= 2_14,1 t|t2t1= 2_14,1 t12_14,1 t2(0 t1 t2 14,1)a)P(N(9, 10) = 0 N(10, 11) 1) = P(N(9, 10) = 0)P(N(10, 11) 1)= P(N(9, 10) = 0)(1 P(N(10, 11) = 0))= u(9, 10)0eu(9,10)(1 u(10, 11)0eu(10,11))21perou(9, 10) = 2(_(5,1) _(4,1))= 0,467u(10, 11) = 2(_(4,1) _(3,1))= 0,528Entonces:P(N(9, 10) = 0 N(10, 11) 1) = e0,467(1 e0,528)b) (12 min=0.6 hr). Los clientes que estan en el banco ent son los que han llegado entret 0,2 yt.As:E(N(t 0, 2; t)) = u(t 0,3; t)= 2[_14,1 (t 0,2) _14,1 t]c) Los que llegan despues de las 14:00E(N(14; 14,1)) = 2[_0,1 0]= 2_0,1Para que disminuya a la mitad:E(N(x; 14,1)) =12_2_0,1_2[_14,1 x 0] = 0,1 x = 14,07517. a) Dado que el proceso es poissoniano Tiempo entre llegadas exp().Por lo tanto:Ps(caminar) =_sett = esb) Hay que distinguir dos casos:Si el bus pasa en t, cont s, me demoro t+R en llegar a casa.Si el bus pasa en t, cont > s, me demoro s+W en llegar a casa.c) Para calcular esta esperanza condicionaremos sobre t, el instante de llegada del bus.E(T) =_0E(T|t) ettE(T) =_s0(t +R) ett +_s(S +W) ettDesarrollando deberan llegar a la siguiente expresion:E(T) = R +1 +es(W R 1)22d) Claramente si:W R 1> 0, entonces E(T) se minimiza en s= W R 1< 0, entonces E(T) se minimiza en s=0W R 1= 0, entonces la expresion no depende de s.e) Dada la perdida de memoria de la exponencial, si espero un s>0 y cada vez que pasa ese tiemporeeval uomi desicionestaresiemprefrenteal mismoproblemaoriginal porloquemi sseraelmismo si s>0, entonces s=.18. a) Paraqueestoocurrael tiempoentrecadaunodelos6 ultimos6golesdebesersuperioraB(notar que la probabilidad de ver el primer gol es 1). Seanxi = tiempo entre el gol (i-1)-esimo yel i-esimo. Entonces:P(ver los 7 primeros goles) = P(x2> B, x3> B, ..., x6> B, x7> B) = (eB)6= e6Bb) SeaYi el tiempo trascurrido entre el (i-1)-esimo gol observado y el i-esimo gol observado. De estamanera tenemos que:Y1 exp()Yi exp() i = 1Entonces seaSNel tiempo en que vemos el N-esimo gol.Sn =N

i=1Yi SN (N 1)B Gamma(N, )De lo anterior, y sabiendo queP(SN t) = P(R(T) N)1se concluye que:P(R(T) N) =_t(n1)B0N tN1 ett(n 1)!19. Sea x(t)= N umero de clientes en el sistema en el instante t.Sea N(t)= N umero de personas que han llegado al sistema hasta t.Notemos que:P(x(t) = j) =

n=jP[x(t) = j|N(t) = n] et(t)nn!Unclientequellegaenuninstantes(0 s t)tieneunaprobabilidaddeestarenelsistemaigual a 1 G(t s)Condicional a queN(t) = n el instante de llegada de las n personas se distribuyen U(0,t)tenemos que la probabilidad de que una de estas personas se encuentre en el sistema es:p =_t01 G(t s)stindependiente del resto.1Identidadvalidaparacualquierprocesodeconteo23Entonces:P[x(t) = j|N(t) = n] =n!j!(n j)!pj(1 p)njRemplazando en la expresion inicial tenemos que:P(x(t) = j) =

n=jn!j!(n j)!pj(1 p)njet(t)nn!P(x(t) = j) =etp( t p)jj!

n=jet(1p)( t (1 p))(nj)(n j)!P(x(t) = j) =etp( t p)jj!Es decirx(t) Poisson(tp)20. Seavlavelocidaddel autoentrandoenel tiempot, porloquesetienequeel tiempodeviajeavelocidadv seratv =LvdondeL es el largo de la carretera.Si denimosGcomoladistribuciondel tiempodeviaje, ydadoqueTLXesel tiempodeviajecuando la velocidad esX, se tendra queG(x) = 1 F(Lx), conFla distribucion de la velocidad.Consideremos un evento a un auto que entra a la carretera, el que contaremos si se encuentra con elauto entrando en t. Independiente de los demas, un evento ocurriendo en un instante s con s < t (autoentrando a la carretera ens) sera contado con probabilidadP[s + T>t + tv]. De la misma manera,un evento ocurriendo en un instantes cons > t sera contado con probabilidadP[s +T< t +tv].As, se puede escribir la probabilidad que un evento que ocurre en un instantes sea contado como:p(s) =___1 G(t +tvs) sis < t,G(t +tvs) sis > t,0 en otros casos.De esta manera el n umero de encuentros de un auto ingresando en t sera un proceso de Poisson ltradotal que:_0p(s)ds = _t0[1 G(t +tvs)]ds +_t+tvtG(t +tvs)ds= _t+tvtv[1 G(y)]dy +_tv0G(y)dyAhora solo basta con minimizar esta expresion derivando e igualando a 0.ddtv__0p(s)ds_= _[1 G(t +tv)] [1 G(tv)] +G(tv)_Donde se tiene queG(tv) =12dado que cuandot tiende a innitoG(t + tv) 1. De esta manera, eloptimo tiempo de viaje es el tiempo medio, y por lo tanto la velocidad que minimiza los encuentros esla velocidad media.21. Division de procesos de Poisson:N(t) = N umero total de votantes que llegan hasta tiempotNA(t) = N umero total de votantes que llegan hasta tiempot y votan por candidatoA24NB(t) = N umero total de votantes que llegan hasta tiempot y votan por candidatoBp = Probabilidad que un votante elija al candidatoAP[NA(t) = n] =

k=0P[NA(t) = n/ N(t) = k] P[N(t) = k]=

k=nP[NA(t) = n/ N(t) = k] P[N(t) = k]=

k=nk!(k n)!n!pn (1 p)knet(t)kk!=+net(t)nn!

k=n_(1 p)t_kn(k n)!. .e(1p)t=ept(pt)nn!Poisson(p)Distribucion condicional de los tiempos de llegada:X1 = Tiempo en que se produce la primera llegada, condicional a que de [0,t] hay una llegadaP[X1 s/ N(t) = 1) =P[X1 s N(t) = 1]P[N(t) = 1]0 s t=esse(ts)ett=stLuego, condicional a que hay una llegada en el intervalo [0,t] el tiempo en que esta ocurre sigue unadistribucion U[0,t].a) Alternativa1:P[NA(10) = n/ N(10) = 1000] =P[NA(10) = n N(10) = 1000]P[N(10) = 1000]=P[NA(10) = n] P[NB(10) = 1000 n]P[N(10) = 1000]=eA10(A10)nn!eB10(B10)1000n(1000n)!e10(10)10001000!=1000!(1000 n)!n! _A_n_B_1000n=1000!(1000 n)!n! _12_1000n 0Alternativa2:25Pensar directamente en una binomial. Si la probabilidad que c/u de los 1000 que llegaron, inde-pendiente de los demas, vote por el candidatoA esp, tenemos que:P[NA(10) = n/ N(10) = 1000] =1000!(1000 n)!n!pn(1p)1000n=1000!(1000 n)!n!_12_1000n 0b) Llamemos N4Aal n umerodevotantesdel candidatoAquelleganenlasprimeras4horasdevotacion.Alternativa1:P[N4A = n/ N(10) = 1000] =P[NA(4) = n N(6) +NB(4) = 1000 n]P[N(10) = 1000]=P[NA(4) = n] P[N

(6) = 1000 n]P[N(10) = 1000]DondeN

Poisson de tasa43=(2)ne2n!(8)1000ne8(1000n)!(10)1000e101000!=1000!(1000 n)!n! _28_n_ 810_1000=1000!(1000 n)!n! _15_n_45_1000nNotar que si se consideran 2 procesos independientesN1(t)Poisson() yN2(t)Poisson(q)se tendra queP[N1(t) = k] = P[N2(qt) = k], por lo que es posible ajustar el reloj del procesoNB(4) para sumarlo conN(6).Alternativa2:La probabilidad que una persona llegue en las primeras 4 horas y vote por el candidatoA, dadoque llego en las primeras 10 serap =410 12=15. Con esto se tiene queP[N4A = n/ N(t) = 1000] =1000!(1000 n)!n!_15_n_45_1000nc) Los votantes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa, por lo que siTes el tiempo enque llega el primer votante se tendra:P[T> t] = P[N(t) = 0] = etPor lo queT exp()De la misma manera, el tiempo TA hasta que llega el primer votante tipo A sigue una exponencialde parametro2.d) Llamaremos P[NnB] a la probabilidad que lleguen n votantes para el candidato B antes del primeroparaA yTAal instante en que llega el primer votante para el candidadoA.Alternativa1:P[NnB] =_12_n_12_=_12_n+126Alternativa2:P[NnB] =_0P[NnB / TA = t] fTA(t)dt=_0(Bt)neBtn! AeAtdt=_0_2t_ne2tn!2e2tdt=_2_n+1n+1_0tnn+1etn!dt =_12_n+1e)P[Inversion] = P[Inversion / Anterior vota A] P[Anterior vota A] +P[Inversion / Anterior vota B] P[Anterior vota B]=12 12 + 12 12=12Ahora tenemos un proceso de llegadas de votantes Poisson de tasa y si contamos el n umero deinversionespodemosnotarqueseraelmismoprocesodePoissonltradoporlaprobabilidadqueunallegadaseaunainversion. Deestamanerael tiempoentre2inversiones consecutivasseguira una distribucion exponencial de tasa P[Inversion] =2.22. SeaN[a,b](t)= n umero de autos en el tramo [a, b] en el instantet.P(N[ab](t) = k) =

n=kP(N[ab](t) = k|N(t) = n) P(N(t) = n)Un auto que entra a la carretera en el instantes y elige una velocidadvi, se encontrara en el tramo[a, b] ent siempre y cuando:vi(t s) a vi(t s) ba(t s) vib(t s)Luego la probabilidad que un auto llegado ens este en [a, b] ent es:P(s, t) =_ b(ts)a(ts)F(vi)dviLuego, un auto que llega en un instante cualquiera estara en el intervalo con la siguiente probabilidad:_t01tP(s, t)ds =P(t)tEntonces el n umero de autos en el intervalo es:P(N[a,b](t) = k) =(P(t))keP(t)k!2723. a) D puede ser escrito de la siguiente forma:D(t) =N(t)

i=1Die(tSi)dondeSidenota el tiempo de arribo del i-esimo shock. De esta forma tendremos que:E[D(t)] = E[N(t)

i=1Die(tSi)]=

n=0E[N(t)

i=1Die(tSi)|N(t) = n] (t)n etn!=

n=0E[n

i=1Die(tSi)] (t)n etn!=

n=0E[D] et E[n

i=1eSi] (t)n etn!DondesehautilizadolaindependenciadelosDiyelprocesodeconteo.Ahorasiseconsideraque cada uno de losSise distribuye uniforme entre 0 y t, se tendra que:E[D(t)] =

n=0E[D]etnE[eUi] (t)n etn!=

n=0E[D]etn_t0[esdst] (t)n etn!=

n=0E[D]etn[et1]t (t)n etn!=E[D](1 et)t

n=0n (t)n etn!= E[D](1 et) b) Propuesto!25. a)P[2 o mas eventos en alg un subintervalo] k

i=1P[2 o mas eventos en el subintervalo i-esimo]Ocupando la denicion (2) = k o(tk)= t o(tk)tk lmkt o(tk)tk= 028b)P[N(t) = n] = P[Enn de losk intervalos ocurra 1 evento]=k!(k n)!n! _tk +o(tk)_n_1 tk o(tk)_knDe esta maneraN(t)Binomial(k,tk +o(tk))c) Primero veamos cual es la esperanza deN(t) en el lmite:lmkE_N(t)_=lmkk tk +o(tk) =lmk_t +t o(tk)tk_= tAhora recordemos que Binomial(n,p) Poisson() conn p = en el lmiten ,p 0.P[N(t) = n] =k (k 1) (k 2) (k n + 1)n!_tk+o(tk)_n_1 tko(tk)_kn=k (k 1) (k 2) (k n + 1)n! kn_t +t o(tk)tk_n_1 tk o(tk)_k_1 tk o(tk)_n=1n!kkk 1kk 2k k n + 1k_t +t o(tk)tk_n_1 tk o(tk)_k_1 tk o(tk)_nTomando el lmite k lmkP[N(t) = n] =1n! 1 (t)n lmk_1 tko(tk)_klmk_1 tko(tk)_k= elmk_ln(1tko(tk))1k_ocupando lHopital = etDe esta maneralmkP[N(t) = n] =(t)nn! et26. a) Nos limitaremos a calcular q(t), la probabilidad que un auto cualquiera haya tenido que esperar.Paraestovemosqueestamismaprobabilidadcondicionadaenel instantedellegadatomalasiguiente forma (se supone que el semaforo parte en verde):P(s) =_1 t [(2n 1) A, 2n A] para alg unn {1, ...}0 t [2n A, (2n + 1) A] para alg unn {0, 1...}De esta forma es directo ver que:q(t) =_(n1)A+t(2n1)Att [(2n 1) A, 2n A] para alg unn {1, ...}nAtt [2n A, (2n + 1) A] para alg unn {0, 1...}Entonces podemos armar queX(t) sigue un proceso de poisson de tasa (t q(t)).29b) Mediante la misma logica anterior tendremos que:q(t) =_t(2n1)Att [(2n 1) A, 2n A] para alg unn {1, ...}0 t [2n A, (2n + 1) A] para alg unn {0, 1...}Entonces podemos armar queX(t) sigue un proceso de Poisson de tasa (t q(t)).c) Claramente el costo del ciclo sera el costo del semaforo rojo para los de la calle x mas el costo delsemaforo rojo para los de la calle y. Entonces:E[Costo calle x] =

n=0E[Costo calle x|Nx(A) = n] P[Nx(A) = n]=

n=0nA M2 P[Nx(A) = n]= xAA M2Donde el termino paraE[Costo calle x|Nx(A) = n] viene del hecho que las llegadas condicionalesdePoissonsedistribuyen(identicas)uniformesenel intervaloquecondicionayquesi unau-tomovil llega en el instante s, se incurrira en un costo deM (As).De la misma forma:E[Costo calle y] =

n=0E[Costo calle y|Ny(B) = n] P[Ny(B) = n]=

n=0nB2 M3 P[Ny(B) = n]= yBB2 M3Donde el termino paraE[Costo calle x|Ny(B) = n] viene del hecho que las llegadas condicionalesdepoissonsedistribuyen(identicas)uniformesenel intervaloquecondicionayquesi unau-tomovil llega en el instante s, se incurrira en un costo deM (B s)2.Entonces:E[Costos] = xA2 M2+y(C A)3 M3d) La idea es derivar e igualar a 0, siempre y cuando el resultado sea coherente (A este entre 0 y C).dE[Costos]dA= xA M y(C A)2 M= 0 A28. a) El proceso combinado {N1(t)+N2(t); t 0} es un proceso de poisson de tasa 1+2 y cada llegadaperteneceaN1(t)indep.conprobabilidad11+2.Entoncesparaqueeln umerodellegadasdelprocesoN1(t) seann tiene que darse que la llegada del primer proceso le gane a la del segundoexactamenten veces y que luego pierda. Esto es:P[N= n] = (11 +2)n21 +230b) Simplemente buscamos la distribucion del n umero de llegadas deN1(t) en [0, ]:P[N1(t) = n] =e()nn!c) SeaR=nllegadasenprimerperiodoON, y =tiempodeterminodel primerperiodoON.Entonces buscamos:f|R(t|R)dt = P[t t +dt|R]=P[R|t t +dt] P[t t +dt]P[R]Pero de las partes anteriores y de la distribucion exponencial del tiempo entre arribos del segundoproceso se tendra que:f|R(t|R)dt =(1t)ne1tn! 2e2t(11+2)n21+2dt=e(1+2)t (1 +2)n+1tnn!Es decir se distribuye de acuerdo a unagamma(n + 1, 1 +2)d) Condicionaremos sobre la primera llegada del proceso combinadoN1(t) +N2(t).E[Xa] = E[Xa|N1(t)primero] P[N1(t)primero] +E[Xa|N2(t)primero] P[N2(t)primero]=11 +211 +2+ [11 +2+12+E[Xa]] 21 +2=11 [21 +2+11 +2+ 1]=21