GUIA DE TRABAJO - guao.org · Luego, se determina la conjugada del denominador: E a bc 6 234 2 3 5 Nótese que los exponentes de los componentes del subradical de la conjugada del

U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de

denominadores (Santillana)

FVR (4/03/2012) 1

GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas Guía #67B.

Tema: Racionalización de denominadores (Santillana).

Fecha: ____________

Profesor: Fernando Viso

Nombre del alumno:___________________________________________

Sección del alumno:____________________________________________

CONDICIONES: Trabajo individual.

Sin libros, ni cuadernos, ni notas.

Sin celulares.

Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado para

resolver cada problema.

No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo.

No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni

calculadoras prestadas.

Marco Teórico:

Ejemplo #1: Racionalizar el denominador:

3 2

6 3 5

6

324

a bc

a b c

Solución:

Se descomponene los factores del numerador y del denominador:

3 2

6 2 4 3 5

2 3

2 3

a bc

a b c

Luego, se determina la conjugada del denominador:

6 4 2 3 52 3E a bc

Nótese que los exponentes de los componentes del subradical de la

conjugada del denominador y los expoenentes de los componentes del

subradical del denominador suman en cada caso 6.

Ahora se multiplican ambos términos de la fracción por E.



FVR (4/03/2012) 2

63 2 4 2 3 563 2 4 2 3 5

6 62 4 3 5 4 2 3 5

62 4 2 3 5

2 3 2 3 (2 3 ) ( 2 3 )

2 32 3 2 3

2 3

a bc a bc a bc a bc

abca b c a bc

a c a bc

Ejemplo #2: Racionalizar el denoiminador:

3 2

7 11 23 8

2

32

a bc

a b c

Solución:

Se descompone el coeficiente de la cantidad subradical:

3 2

7 5 11 23 8

2

2

a bc

a b c

La conjugada del denoimiandro es: 7 2 3 5 62E a b c

Multiplicando numeradro y denominadro por la conjugada del denominador:

7 73 2 2 3 5 6 3 2 2 3 5 6

7 7 14 28 147 75 11 23 8 2 3 5 6

73 2 2 3 5 6 7 3 5 6

32 4 2

2 2 2 2

22 2

2 2 4

2

a bc a b c a bc a b c

a b ca b c a b c

a bc a b c a a b c

ba b c


2 2

3

3 3x y

x y

Solución:

La conjugada del denominador es: 2

3E x y

Multiplicando ambos términos de la fracción por E:



FVR (4/03/2012) 3

2 22 2 2 23 3

233

23

23

2 23

3 3 3 3

3

3

3 2

x y x y x y x y

x yx y x y

x y x y x y

x y x yx y

x y x xy y


2 5

2 5 6

Solución:

2 2

2 5 62 5

2 5 6 2 5 6

2 3 30 3 2 3 30 3

1 2 102 5 6

2 3 30 3 1 2 10 22 3 5 30 3 6 10

1 401 2 10 1 2 10

22 3 5 30 3 6 10 3 6 10 5 30 22 3

39 39

PREGUNTAS:

Racionalización de un monomio:

1.- Racionalizar el denominador de las siguientes fracciones y simplificar el resultado:



FVR (4/03/2012) 4

(a).-

21

7

Solución:

21 7 21 7 3 7

49 77 7

(b).-

3

5

Solución:

3 5 3 5

55 5

©.- 2

3 10

Solución:

2 10 2 10 10

30 153 10 10

(d).- 32 2

x

x y

Solución:

3

33 3

2 2 2

2 2 42 2 2

x y x x xy xyx

x y xyx y x y

(e).-

2

10

Solución:



FVR (4/03/2012) 5

2 10 2 10 10

10 510 10

(f).- 6

x

x

Solución:

6 6 6

6 66 6

x x x x x

xx x

(g).-

1

1

a

a

Solución:

21 11 1 1

1 11 1

a aa a a

a aa a

(h).-

n

n

a

a

Solución:

n n n nn

nn n

a a a aa

aa a

(i).-

5

3

Solución:

5 3 5 3

33 3



FVR (4/03/2012) 6

(j).-

8

2

x

Solución:

32 2 2 2 2 42

22 2 2

x x xx

(k).-

2n

n

a

a

Solución:

2 2n n n nn n

nn n

a a a aa a

aa a

(l).-

6

2

Solución:

6 2 6 23 2

22 2

(m).- 2 3 2

4ab

x y z b

Solución:

2 3 2 2 3 2

2 3 2 2 3 2 22 3 2 2 3 2

4 4 44 x y z b ab x y z b axyz yb a ybab

x y z b x y z xy zx y z b x y z b

(n).- 2 33

xy

a x yz



FVR (4/03/2012) 7

Solución:

2 3 2 4 2 2

2 3 2 32 3 2 3

3 3 3 3

3 3 33 3

xy a x yz a x y z ax y z z

a x yz a x yz axza x yz a x yz

(ñ).-

2 3

5 72

x y

x y

Solución:

5 7 4 62 3

5 75 7 5 7

2 2 2

2 22 2

x y x y xy xyx y

x y xyx y x y

(o).-

x y

x y

Solución:

2 2x y x yx y x y x y

x y x yx y x y

(p).-

3 5

2

xy

Solución:

33 5 25 2

22 2

xyxy

(q).- 3

2

Solución:



FVR (4/03/2012) 8

4 44 43 2 3 4 12

2 22 2

(r).-

3

4 7 52

x y a

x y a

Solución:

3

22 3 2

1

42 44

xy xyx y a a

xyx y xya y xy xyy xy a

(s).-

4

6 7 45

a b x

b y

Solución:

4 4

3 23 3 2 1255

a b x b a bx

b yb y b b

Racionalización de un binomio:

1.- Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones y simplifica el resultado:

(a).-

2

3 5

Solución:

2 3 5 2 3 2 5 2 3 2 55 3

3 5 23 5 3 5

(b).-

2

10 8

Solución:



FVR (4/03/2012) 9

2 10 8 2 10 2 2 2 10 2 210 2

10 8 210 8 10 8

©.-

x y

x y

Solución:

x y x yx yx y

x yx y x y

(d).-

2

1 1m m

Solución:

1 1 2 1 12

1 11 1 1 1

2 1 1 1 1

2

m m m m

m mm m m m

m m m m

m m

(e).-

1

1

x

x

Solución:

2

1 1 11

1 11 1

2 1 2 1

1 1

x x xx

x xx x

x x x x

x x

(f).- 2 3

m n

m n

Solución:



FVR (4/03/2012) 10

2 3 2 3

4 92 3 2 3

m n m n m nm n

m nm n m n

(g).- 5

5 3

Solución:

5 3 5 5 3 5 5 35

5 3 25 3 5 3

(h).- 3 3

3 3

a

a

Solución:

2

3 33 3 3 3

3 33 3 3 3

3 2 3 3 3 6 2 3 3

aa a

aa a

a a a a

a a

(i).-

1

1

a

a a

Solución:

2

1 1 11

11 1

a a a a aa

a aa a a a

(j).-

3 5

3 5 5 3

Solución:



FVR (4/03/2012) 11

3 5 5 33 5 45 15 15 45 15 15 9 3 15

45 75 30 63 5 5 3 3 5 5 3

(k).-

3

3

x

x x

Solución:

2

2

3 3 33

33 3

3 3

3

x x x x xx

x xx x x x

x x x

x x

(l).-

1x x x

x

Solución:

2 12 1 x x xx x x

xx x

(m).-

3 3

3 3

x

x

Solución:

2

2

3 33 3 3 3 3 3 2 3 3

3 33 3 3 3

6 2 3

xx x x x

x xx x

x x x

x

(n).- 1 1

1

a a

a a

Solución:



FVR (4/03/2012) 12

2

22

1 11 1 1 1

1 11 1 1 1

1 1 2 1 1 2 2 11

2 2

a aa a a a

a aa a a a

a a a a a aa a

(ñ).- 1 1

1 1

x x

x x

Solución:

2

22

1 1 2 11 1 1 1

1 11 1 1 1

2 2 11

2

x x xx x x x

x xx x x x

x xx x

(o).- 1 1

1 1

x x

x x

Solución:

2

22

2

1 11 1 1 1

1 11 1 1 1

2 2 11 1 2 11

2 2

x xx x x x

x xx x x x

x xx x xx x

Racionalización con índices mayores que 2:

1.- Racionaliza el denominador en las siguientes fracciones y simplifica:

(a).- 3

5

5

Solución:

3 3 32 2 23 2

3 3 32 3

5 5 5 5 5 55

55 5 5



FVR (4/03/2012) 13

(b).-

2

5

a

a

Solución:

5 5 52 4 2 4 2 45 4

5 5 54 5

a a a a a aa a

aa a a

©.- 2

1

m a

Solución:

2 2 2

2 2

1 m m mm m m

m m mm m

a a a

aa a a

(d).-

2

23 4

xy

x y

Solución:

2 2 2 2 2 22 3 3 32

2 2 3 23 3 3

2 2 2 2

2 24 2 8

xy xy xy xy xy y xyxy

xyx y xy x y

(e).-

2

2x

Solución:

2 2 2 2 2 2

22 2

x x x

x x xx x

(f).- 6 3 11

5

2 16a b

Solución:



FVR (4/03/2012) 14

6 62 3 2 3

2 26 64 3 5 2 3

5 2 5 2

22 2 2

a b a b

abb a b a b

(g).- 4

1

mn

Solución:

3 3 3 34 4

4 3 34

1 m n m n

mnmn m n

(h).- 3 3

2

1 1a a

Solución:

Recordar que 3 3 2 2 ;a b a b a ab b entonces:

2 23 33 3

3 3 2 23 33 3

2 2 2 23 32 23 3 3 3

2 23 23 3

1 1 1 12

1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 1 1 1

1 1 2

1 1 1

a a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a

a a a

a

(i).- 3 3

1

x y

Solución:

Recordar que 3 3 2 2a b a b a ab b ; entonces:



FVR (4/03/2012) 15

3 2 23 33 3 2 233

3 3 3 2 23 33

1 x x y y x xy y

x yx y x x y y

(j).- 3

2

9x

Solución:

3 32 2

3 32 2

2 3 2 3

33 3

x x

xx x

(k).- 3 3 46

2

2x x y

Solución:

5 3 2 5 3 2 5 3 26 6 6

3 43 3 4 5 3 26 6

2 2 2 22

22 2

x y x y x y

x xy x yx x y x y

(l).- 5 4 6

2ab

a b c

Solución:

5 5 54 4 4 4 4 4

25 54 4 4

2 2 2ab ab c ab ab c ab c

ab c bcb a bc ab c

(m).- 2 3 33

4ab

x y z b

Solución:

3 3 32 2 2

3 32 2

4 4 4ab xb ab xb a xb

xyzb xyzyz x b xb



FVR (4/03/2012) 16

(n).-

3

5 4 7 62

m n x

m n x

Solución:

5 5 53 2 3 4 4 2 3 4 4 3 4 5

5 5 54 2 4 2 3 4 4

2 2 2

2 22 2 2

m n x m x m n x m x m n x m x m n x

mnx nxmn m nx m nx m n x

(ñ).- 2 2 2 5

2 2 2 5

Solución:

2

2 2 5 2 52 5 2 5

2 52 5 2 52 2 5

2 5 2 10 2 10 7

3 3

(o).-

2 5 7

2 5 7

Solución:

2

2 5 72 5 7 2 5 7 20 7 4 35 27 4 35

20 7 13 132 5 7 2 5 7

(p).- 3 3

2

x y

Solución:

Recordar que 3 3 2 2 .a b a b a ab b

Luego:



FVR (4/03/2012) 17

3 2 2333 2 23 33

3 3 2 23 3 33

22 x xy yx x y y

x yx y x x y y

(q).-

2

2 3 5

Solución:

2 2 3 5 4 3 2 5 4 3 2 5

12 5 72 3 5 2 3 5

(r).-

2 3

7

Solución:

2 3 7 2 7 21

77 7

(s).-

3 2

7 2 6 3

Solución:

3 2 7 2 6 6 42 18 6 42 18 6 9 6 21

98 108 10 107 2 6 3 7 2 6 3

Cuestionario resúmen:

1.- Racionalizar el denominador de las siguientes fracciones y simplificar:

(a).-

3

2

Solución:



FVR (4/03/2012) 18

3 2 6

22 2

(b).-

5

2 10

Solución:

5 10 5 10 10

20 42 10 10

©.-

12

3

Solución:

4 34

3

(d).- 2

a a

Solución:

2

2 2a a

aa a a

(e).-

8

2 p

Solución:

2 8 2 4 28

22 2

p p p

p pp p

(f).- 33

a

ab

Solución:



FVR (4/03/2012) 19

3 3 3

3 33 3 3 33

a ab a ab ab

ab bab ab

(g).- 7

5

a

Solución:

7 5 35

55 5

a a

(h).- 2 2 5

2

7 4

z

xy x y z

Solución:

2 5 2 52 42 2 5

2

7 777 4

yz z yz yzz z

x y z x yx y yz yzxy x y z

(i).- 3 5

15

Solución:

3 53 5 3 5 5 3 5 3

15 5 315 3 5

(j).-

x y

x

Solución:

1x y x xy xyx

x xx x



FVR (4/03/2012) 20

(k).-

m n

m

Solución:

1m n m m mn mn

m mm m

(l).- 2 3a b

b

Solución:

2 3 2 3 23

a b b ab b ab

b bb b

(m).- 10 4

2

Solución:

10 2 2 20 2 2 2 5 2 25 2

2 22 2

(n).- 1 y

y

Solución:

11

y y y y y

y yy y

(ñ).- 1

2

m m

Solución:

1 2 2 2 2

22 2

m m m m

(o).- 3 3x y

y

Solución:



FVR (4/03/2012) 21

3 3 3 3 33

x y y xy y xy

y yy y

2.- Identificar y racionalizar el denominador:

(a).- 2

3

Solución:

2 3 2 3

33 3

(b).- 5

15

Solución:

5 15 5 15 15

15 315 15

©.- 7

2 10

Solución:

7 10 7 10

202 10 10

(d).- 3

a a

Solución:

2

3 3a a

aa a a

(e).- 4

2x

Solución:



FVR (4/03/2012) 22

4 2 4 2 2 2

22 2

x x x

x xx x

(f).-

2

5

3ab

ab

Solución:

2

2

3 3 3 3ab a ab a ab ab

ab bb ab ab ab

(g).- 5

6

y

x

Solución:

5 306

66 6

y xyx

xx x

(h).-

a b

a b

Solución:

a b a b a ba ba b

a ba b a b

(i).- 3

x y

Solución:

33 x y x y

x yx y x y

(j).- 1

1

x

x

Solución:



FVR (4/03/2012) 23

21 1 1

11 1

x x x

xx x

(k).- n

a

a

Solución:

1

n n n

n nn n

a a a a a

a aa a

(l).-

3

1

1 x

Solución:

2

1 1 1

1 1 1 1

x x

x x x x

(m).- 3

2

a

a

Solución:

3 2 3 6 2 6

4 42 2

a a a a a a a

a aa a

(n).-

2 5 3 2

5 5 2 2

Solución:

2 5 3 2 5 5 2 2 50 4 10 15 10 12 62 19 10

125 8 1175 5 2 2 5 5 2 2

(ñ).-

h

x h x



FVR (4/03/2012) 24

Solución:

( ) h x h xh x h x h x h x

x h x hx h x x h x

x h x

(o).-

1

1 1

m

m

Solución:

1 1 1 11

1 11 1 1 1

1 11 1

m m mm

mm m

m mm m

m m

(p).-

1

1 1

m

m

Solución:

1 1 1 1 1 11

1 11 1 1 1

1 1

m m m m mm

m mm m

m m

m

(q).- 2 1

x

x x

Solución:

22 2

2 2

2 22 2

1 11

11 1

x xx x x xx x x

x xx x x x



FVR (4/03/2012) 25

(r).-

2

3

x

x

Solución:

32 2 6 3 5 6

9 93 3

xx x x x x x

x xx x

(s).- 3 2 2 3

2 2 3 3

Solución:

2 2 3 33 2 2 3 12 9 6 4 6 18 30 13 6

8 27 192 2 3 3 2 2 3 3

30 13 6

19

(t).- 1

2 2 3 3

Solución:

2 2 3 31 2 2 3 3

8 272 2 3 3 2 2 3 3

2 2 3 3 3 3 2 2

19 19

(u).- 2

2 2 2

Solución:



FVR (4/03/2012) 26

2 2 2 2 2 2 22

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 22

22 2

2 2 2 2 4 2 2 2

3.- Racionalizar el denominador según sea el caso:

(a).- 3 2

1

7c b

Solución:

3 2 3

3 32 2

1 7 49

77 7

b b

bcc b b

(b).- 3

3

3

Solución:

3 32 2

3

3 3 2

3 3 3 39

33 3

©.- 5

1

x

Solución:

5 54 4

5 5 4

1 x x

xx x



FVR (4/03/2012) 27

(d).- 4

2

x h

Solución:

3 34 4

4 34

22 x h x h

x hx h x h

(e).- 6 3 114

zy

z y z

Solución:

3 3 34 4 4

4 417 3 4 3 3 3 34 4 4 4

z y y z y z yzy zy y

z y zz y z zy z zy z y

(f).- 3

a

Solución:

34 4

4 34

3 27

33 3

a a

(g).-

1

8 64 xy

Solución:

7 78

4 2 4 4 8 7 788 8 8 8

7 78

1 1 1 1

88 64 8 8 8

8

x y

xyxy xy xy x y

x y

xy



FVR (4/03/2012) 28

(h).- 3

2

2xy

Solución:

2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3

2 2 23 3

2 2 2 22

22 2

x y x y x y

xy xyxy x y

(i).- 25

9

3y

Solución:

4 3 4 3 4 35 5 5

2 4 35 5

3 9 3 3 39

33 3

y y y

y yy y

(j).- 6 2

3

2 7x

Solución:

6 65 4 5 4

6 62 5 4

3 7 3 7

142 7 7

x x

xx x

(k).-

3

5 7 316

m n

m n

Solución:

3 2 5 3 2 2 5 3 2 5 3 2

5 4 2 3 5 4 2 3 5 3 2

2 2 2

2 22 2 2

m n m n m n m n m n m m n

mnm m n m n m n

(l).-

3

4

1

3 1

a

a

Solución:



FVR (4/03/2012) 29

3 3 34 4 4

3 344

3 1 1 3 1 3 11

3 1 33 13 1

a a a aa

aaa

(m).-

n

m n

a

a

Solución:

1n m m n n m m n

n m m n

m n m m n

a a a aa a

aa a

(n).- 3 2 2

2

2 4

xy

xy x y

Solución:

3 3 3 4 4 4 7 7 7 66 6 6

5 5 5 5 56 6

5 5 56 6

2 2 2

2 22 2 2

2 321

22 2

xy xy xy

xy xyx y x y x y

x y x y

xyxy x y

4.- Racionalizar el denominador según corresponda:

(a).- 3 3

x y

x y

Solución:

3 2 233

3 3 2 23 33

3 2 233

3 2 233

x xy yx y

x y x xy y

x y x xy yx xy y

x y



FVR (4/03/2012) 30

(b).- 3 3

h

x h x

Solución:

2 3 23 3

3 3 2 3 23 3

2 23 2 3 23 33 3

2 3 23 3

x h x x h xh

x h x x h x x h x

h x h x x h x h x h x x h x

x h x h

x h x x h x



FVR (4/03/2012) 31



FVR (4/03/2012) 32

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GUIA DE TRABAJO - guao.org · Luego, se determina la conjugada del denominador: E a bc 6 234 2 3 5 Nótese que los exponentes de los componentes del subradical de la conjugada del