Guía Didactica 6 Blo Diarioeducacion

7/26/2019 Gua Didactica 6 Blo Diarioeducacion

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6oMdulo N 1:Razones y operaciones confraccionesMATEMTICA

Gua didctica


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Mdulo N 1:Razones y operaciones con fracciones

MATEMTICAGua didctica

NIVEL DE EDUCACIN BSICA

Divisin de Educacin General

Ministerio de Educacin

Repblica de Chile

2013


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6o

MINISTERIO DE EDUCACIN


2013

Mdulo N 1:Razones y operaciones con fracciones

MATEMTICA

Gua Didctica / 6obsico


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MATEMTICA / 6 BSICO

2 / Mdulo N 1: Razones y operaciones con fracciones /Matemtica /6 bsico /Gua Didctica

PRESENTACIN

Este mdulo tiene como propsito principal ofrecer una herramienta de

gestin curricular focalizada, basada en la organizacin de la enseanza para

el logro de los siguientes objetivos de aprendizaje planteados en la Unidad 1

del Programa de Estudios:

Demostrar que comprenden el concepto de razn de manera concreta,

pictrica, simblica y/o usando software educativo (OA3).

Demostrar que comprenden el concepto de porcentaje de manera concreta,

pictrica, simblica y/o usando software educativo (OA4).

Resolver adiciones y sustracciones de fracciones propias e impropias y

nmeros mixtos con numeradores y denominadores de hasta dos dgitos

(OA6).

El estudio del eje Nmeros de 6 ao bsico demanda que alumnos y alumnas

manipulen, representen y analicen dos tipos de representaciones de nmeros

racionales: fracciones y razones. Este trabajo no es trivial, por cuanto ambos

objetos matemticos cuentan con caractersticas que les son propias y los

diferencian. Este documento propone actividades problematizadoras quepromueven el desarrollo de las habilidades del marco curricular, fundamentales

para emprender la realizacin y resolucin de acciones y problemas especficos

de la vida. En particular, el desarrollo de un pensamiento proporcional como

una forma de establecer relaciones o distribuciones que obedecen a reglas

no equitativas, tan frecuentes en nuestra vida cotidiana. Por otra parte, la

manipulacin de expresiones fraccionarias, as como el desarrollo del clculo

mental y de representaciones, son temas centrales de la operatoria de fracciones

abordada por la propuesta.

Las actividades matemticas presentadas en el mdulo, tienen como propsito

que las y los estudiantes:

1. Identifiquen y describan razones en contextos reales.

2. Expresen una razn de mltiples formas y encuentren razones equivalentes.

3. Resuelvan problemas que involucran razones.

4. Expliquen la razn como parte de un todo.


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Mdulo N 1: Razones y operaciones con fracciones /Matemtica /6 bsico /Gua Didctica / 3

MDULO N 1: RAZONES Y OPERACIONES CON FRACCIONES

5. Resuelvan problemas que involucren razones, usando tablas.

6. Expliquen el porcentaje como una razn de consecuente 100.

7. Sumen y resten fracciones de manera pictrica.

8. Sumen y resten fracciones mentalmente, amplificando o simplificando.

9. Expliquen procedimientos para sumar y restar nmeros mixtos.


6/1394 / Mdulo N 1: Razones y operaciones con fracciones /Matemtica /6 bsico /Gua Didctica

CLASES/HORS

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE INDICADORES DE EVALUACIN

1 - 4

8 horas

Demostrar que comprenden el concepto derazn de manera concreta, pictrica, simb-

lica y/o usando software educativo (OA3).

Dan una representacin pictrica de una razn. Describen la razn de una representacin concreta o pict-

rica de ella. Expresan una razn de mltiples formas, como 3:5 o 3 es a 5. Identifican y describen razones en contextos reales. Explican la razn como parte de un todo. Por ejemplo, para

un conjunto de 6 autos y 8 camionetas, explican las razones:6:8, 6:14, 8:14.

Identifican razones equivalentes en el contexto de la resolu-cin de problemas.

Resuelven problemas que involucran razones, usando tablas.

5

2 horas

Demostrar que comprenden el concepto deporcentaje de manera concreta, pictrica,simblica y/o usando software educativo(OA4).

Explican el porcentaje como una parte de 100. Explican el porcentaje como una razn de consecuente 100.

6 - 9

8 horas

Resolver adiciones y sustracciones de frac-

ciones propias e impropias y nmeros mix-tos con numeradores y denominadores dehasta dos dgitos (OA6).

Suman y restan fracciones de manera pictrica.

Suman y restan fracciones mentalmente, amplificando osimplificando. Suman y restan fracciones de manera escrita, amplificando

o simplificando. Explican procedimientos para sumar nmeros mixtos.

10- 11

4 horas

Realizar la Evaluacin, considerando los ob-jetivos de aprendizaje abordados en las se-

manas anteriores. Realizar una retroalimentacin, retomando

los objetivos de aprendizaje en los que seobtuvieron ms bajos niveles de logro.

Realizan la Evaluacin, considerando los indicadores aborda-dos en las semanas anteriores.

Programacin Mdulo 1 Matemtica 6 Bsico


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EJEMPLOS DE PREGUNTAS REFERENCIA AL TEXTO ESCOLAR REFERENCIA A OTROS RECURSOS

Un entrenador prepara una bebidapara sus jugadores mezclando 8

litros de agua con 2 litros de pulpade frutas. Cul es la razn entre lacantidad de agua y la de pulpa defruta?

A) 2:8 B) 2:1 C) 4:2 D) 4:1

Cul de las siguientes razones esequivalente a 3:4?

A) 6:9 B) 8:1 C) 13:14 D) 15:20

Revise pginas del texto referidasal contenido en estudio.

Razones:http://www.curriculumenlinea

mineduc.cl/605/w3-article-17688.html

En una prueba de matemticas, Ja-vier respondi correctamente 30 de50 preguntas. Qu porcentaje de laspreguntas de la prueba respondi Ja-vier correctamente?

A. 20%

B. 35%

C. 40%

D. 60%


Porcentajes:http://www.curriculumenlineamineduc.cl/605/w3-article-17689.html

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_160_g_3_t_1.html?open=activities&from=category_g_3_t_1.html

El resultado de la siguiente operacin

es:

A. 2 25

B. 1

C.

D.

Revise pginas del texto referidas

al contenido en estudio.

Operatoria con fracciones:http://www.curriculumenlineamineduc.cl/605/w3-article-17691.html

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_106_g_3_t_1.html?from=category_g_3_t_1.html

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/fracciones2_pri/00_index.htm

Nmeros mixtos:http://www.sheppardsoftware.com/

mathgames/fractions/memory_fractions3.swf


353 452

15

45

35



PLAN DE CLASE N 1

INICIO / 20 minutos

Pida que trabajen en parejas la Actividad 1, cuyo propsito es comprender la necesidad de utilizar relaciones deltipo por cada A partes se tienen B partes. En este caso, es esperable que algunas parejas comprendan lo que

significa decir por cada 4 litros de agua se pone 1 litro de concentrado de pulpa. No obstante, la actividad piderealizar ms jugo y eso hace ms compleja la actividad.

Los alumnos pensarn que falta informacin, por ejemplo, la cantidad total de litros que se debe preparar. La ges-tin de la clase debe ser de tal forma de no dar esa informacin, pues ac lo importante es la relacin de 4 parteses a 1 parte.

Gestione para que socialicen sus respuestas sin validar inmediatamente. Cautele qu explicacin dan para mante -ner la mezcla y, en lo posible, trate de escribir dicha explicacin. Algunas posibilidades son:

Vicente debe poner otro litro de pulpa y por lo tanto poner 4 litros ms de agua. Pregunte cuntos litros seprepararon; en este caso son 10 litros. Tenga en consideracin que esta respuesta es la ms esperada y si ustedla valida inmediatamente, no saldrn otras producciones. Indague si algn grupo tiene otra respuesta.

Vicente debe poner 2 litros de agua y medio litro de concentrado de pulpa. Sera importante que esta respuestapudiese ser fundamentada utilizando representacin grfica. Pregunte cuntos litros se prepararon en total.

Vicente debe poner ms litros de agua. Esta respuesta debe gestionarse con preguntas para ver si el resto de losestudiantes estn de acuerdo en no considerar la pulpa de fruta.

Pida que trabajen en parejas la Actividad 2, para lo cual deben apoyarse en la representacin grfica. Se espera queno existan dificultades para sealar que se necesitan 8 tazas de harina, pues se dobla la cantidad de tazas de leche.

DESARROLLO / 50 minutos

Pida que realicen la Actividad 3 en parejas, cuyo propsito es que reconozcan una razn en una situacin planteada,y puedan representarla y explicarla. Las explicaciones siempre deben relacionar la cantidad de camionetasen comparacin con la cantidad de autos. Es decir hay 3 camionetas por cada 5 autos o tambin por cada 3

camionetas se tienen 5 autos. Podran existir respuestas tales como:

Hay 3 camionetas y 5 autos. Si este es el caso, deje que el resto de los alumnos seale dnde est el error deesa produccin; si eso no fuese posible, induzca utilizando representaciones grficas donde se vea que puedenser 6 camionetas y 10 autos.

Una posible respuesta errada es dar vuelta la relacin, es decir hay 3 autos por cada 5 camionetas.

Pida que trabajen individualmente la Actividad 4, cuyo propsito es que los estudiantes generen informacincuantitativa pero expresada en trminos de razn. Es probable que utilicen los mismos contextos que vienen en elejemplo (5:2). Si ello ocurre no invalide esas respuestas, pero cautele que se respete la relacin de comparacin, es

Objetivo de la clase:

Utiliza el concepto de razn y su representacinpictrica para comunicar informacin.


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decir ninguna respuesta puede venir enunciada diciendo por ejemplo en el curso hay 5 alumnos que les gusta elftbol y 1 que le gusta el tenis. Observe que las respuestas estn formuladas en trminos de por cada 5 se tiene1. Mientras trabajan en esa pregunta, circule por la sala de clases observando comunicaciones interesantes que

no utilicen los mismos contextos del ejemplo. Pida que trabajen individualmente la Actividad 5, en donde se dan tres razones con diferente registro. El propsito

de esta actividad es seguir comunicando informacin cuantitativa con razones. Las razones a) y b) no debierangenerar mayor dificultad a los estudiantes. Sin embargo, d un tiempo para que socialicen la representacingrfica de 1,5:3. Es bastante probable que sealen que no se puede representar. Si ese fuera el impedimentopregunte si conocen medidas que sean de 1,5 (por ejemplo 1,5 litros). Quizs tambin tengan dificultades con larepresentacin, las que podran ser:

Observe si un(a) estudiante representa la razn 1,5:3 de la siguiente forma, y en ese caso pida que explique porqu lo hizo as.

CIERRE / 10 minutos

La socializacin de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:

Las razones entregan informacin acerca de por cada A partes se consideran B partes; por ejemplo, por cada 3respuestas correctas de Juan en una prueba, tiene 4 incorrectas. Esta razn se escribe 3:4.

TAREA PARA LA CASA / 10 minutos

a) En una escuela se hizo una encuesta acerca de los pasatiempos favoritos de los estudiantes; en ella se establecique por cada 10 estudiantes que preferan jugar Play Station haba 7 estudiantes que preferan hacer deportes.Cul es la razn entre la cantidad de los estudiantes que prefieren jugar Play Station y los que prefieren hacerdeporte?

b) Al analizar los resultados de una prueba de lenguaje, estos indicaron que cada 5 respuestas correctas de Catalina,haba 3 respuestas incorrectas. Cul es la razn entre las respuestas incorrectas y las correctas?



INICIO / 30 minutos

Revise la tarea en conjunto con su curso.

Pida que desarrollen en parejas la Actividad 1, cuyo propsito es indagar acerca de interpretaciones errneas delconcepto de razn. Haga que fundamenten la respuesta y luego de unos 15 minutos inicie la socializacin de lasrespuestas.

En la parte a) quizs algunos estudiantes afirmen que es correcto que son 10 estudiantes. Gestione para que pue-dan explicar sus respuestas utilizando una representacin grfica de la razn involucrada. Induzca para que uno delos argumentos en contra se focalice en que podran ser 6 estudiantes que prefieren un deporte distinto al ftboly 14 los que s lo prefieren. Inducir tambin para que se den cuenta de que s es cierto que cada 10 estudiantes 3no prefieren ftbol y por lo tanto 10:3 seala lo anterior.

En la parte b) es posible que cuando se presenta la razn 3:7 algunos estudiantes no entiendan que por cada 3que no prefieren ftbol hay 7 que s lo prefieren, y crean que son 3 los que no prefieren y 7 los que exactamenteprefieren ftbol. Induzca completarpara que utilicen representaciones grficas y puedan utilizar tablas.

La parte c) permitir que reflexionen acerca de las partes a) y b) y entiendan que Marcelo y Vicente estn equi-

vocados, pues la razn 3:7 no garantiza que exactamente sean 10 los estudiantes involucrados y tampoco exac-tamente 7 los que escogen ftbol. Lo nico que se puede afirmar es que por cada 3 estudiantes que no les gustael ftbol, hay 7 que s les gusta.


Pida que realicen la Actividad 2 en parejas, cuyo propsito es que comprendan que a partir de una informacindada se puede establecer ms de una razn. Es as que, con la informacin En Chile, por cada 7 personas queutilizan celular, 3 personas no lo utilizan, es posible establecer varias razones que son vlidas, por ejemplo:

7:3, que se interpreta como que por cada 7 personas que utilizan celular, hay 3 que no lo utilizan.

3:7, que se interpreta como que por cada 3 personas que no utilizan celular, hay 7 personas que s lo utilizan.

10:7, que se interpreta como que por cada 10 chilenos, hay 7 que utilizan celular.

10:3, que se interpreta como que por cada 10 chilenos, hay 3 que no utilizan celular.

La socializacin de esta actividad debe permitir establecer que ambos estn en lo correcto, pero que la informacinque comunican es distinta.

Pida que desarrollen en parejas la Actividad 3, que tiene el mismo propsito de la anterior y permite interpretardistintas razones con una misma informacin. As, se tiene que:

En la segunda fila podra ser 4:1; 5:4 (por cada 5 litros de jugo se tienen 4 litros de agua); 5:1 (por cada 5 litrosde jugo se tiene 1 litro de concentrado de frutas).

En la tercera fila podran ser 1:100 es decir por cada 1 hora de recorrido se avanzan 100 kilmetros, o tambin100:1 lo que se puede interpretar como que por cada 100 kilmetros avanzados se utiliza 1 hora.


Interpretar el concepto de razn en distintoscontextos.

PLAN DE CLASE N 2


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Pida que trabajen la Actividad 4, en que deben interpretar informacin entregada a partir de una razn. En la partea) se espera que sealen que la razn entre la cantidad de nias y nios es 400:600 (tambin podran sealar40:60 o 4:6 aunque esta materia viene en la prxima clase). En la otra pregunta se espera que sealen 600:1000.

En la parte b) deben interpretar las distintas razones dadas y para:

15:9 se espera que sealen que por cada 15 respuestas correctas se tienen 9 incorrectas.

9:15 se espera que sealen que por cada 9 respuestas incorrectas se tienen 15 correctas.

24:15 se espera que sealen que por cada 24 preguntas respondidas se tienen 15 correctas.

24:9 se espera que sealen que por cada 24 preguntas respondidas se tienen 9 incorrectas.

CIERRE / 10 minutos


Cuando se entrega informacin a travs de una razn A:B, las siguientes afirmaciones son falsas o al menos nosiempre verdaderas:

A+B no es total.

Las cantidades involucradas no necesariamente son A y B. Por ejemplo, si se sabe que la razn entre las res-puestas correctas e incorrectas en un test es 5:3, eso no significa que el total de respuestas correctas sea 5 y lasincorrectas sean 3, pues podran ser 25 correctas y 15 incorrectas.

La razn A:B no es lo mismo que B:A.


Se sabe que de cada 10 chilenos encuestados (solo responden s o no), 7 piensan que la seleccin chilena s clasi-ficar para el mundial de ftbol de 2014.

Cul es la razn entre la cantidad de personas que cree que Chile no ir al mundial y los que s lo creen?

Cul es la razn entre los que piensan que Chile no ir al mundial y el total de encuestados?



INICIO / 20 minutos

Pida que realicen en forma individual la Actividad 1 partes a), b), c) y d), cuyo propsito es que mediante amplifi -caciones o simplificaciones formen razones equivalentes a la dada. As entonces:

Para la razn 6:4 se pueden tener razones equivalentes tales como 3:2 o 60:40 Para la razn 60:100 se pueden tener razones equivalentes tales como 30:50; 3:5; 6:10; 600:1000; 15:25

Para la razn 1,5:2 algunas respuestas posibles son 3:4; 15:20; 150:200 y tambin 0,75:1

Para la razn 10:2,5 algunas respuestas posibles son 100:25; 20:5; 80:20.


Pida que realicen en parejas la Actividad 2, cuyo propsito es que reconozcan que ambas razones son equivalentesy por lo tanto Laura y Vicente estn en lo correcto. Es importante que en la gestin de esta pregunta, ustedidentifique si hay estudiantes que piensan que uno de los dos est equivocado; si es as, aproveche la oportunidadde que ambas posiciones puedan discutir y socializar sus argumentaciones en la pizarra. Es probable que los quepiensen que solo Laura est en lo correcto, sea porque no entendieron lo de razones equivalentes (Actividad 1); enese caso haga que los estudiantes que piensan que ambos nios estn correctos sean quienes expliquen.

Finalice la actividad haciendo un cierre donde quede establecido que 53 =159

, es decir, estamos en presencia dedos razones equivalentes y por ello Laura y Vicente estn en lo correcto.

Pida que realicen la Actividad 3, cuyo propsito es que resuelvan problemas asociados a razones utilizando razonesequivalentes. Gestione para que puedan explicar los procedimientos mediante los cuales pudieron responder lapregunta, los cuales podran ser:

Haciendo la representacin grfica, pero claramente este procedimiento resultar ineficiente pues demorarmucho tiempo para representar los 6 queques.

Sealando que si para 3 queques se necesitan 12 tazas de harina por cada 6 de leche, entonces doblando esacantidad se tienen 6 queques y por lo tanto se necesitan 24 tazas de harina por cada 12 tazas de leche.

Realizan la Actividad 4, resolver problemas asociados a informacin comunicada en razones, utilizando amplifica-cin o simplificacin y, por ende, respondiendo a travs de relaciones equivalentes. Es as que:

En a) la razn involucrada es 100:400 y para responder cuntas rosas hay se debe amplificar convenientementela razn dada para obtener un 300 en el antecedente. Es decir,


Reconocer razones equivalentes y utilizarlas paracomunicar informacin.

PLAN DE CLASE N 3

100 claveles400 rosas

300 claveles1200 rosas

100 3400 3

= =

Por lo tanto, la cantidad de rosas es 1200 si se quiere mantener la razn entre claveles y rosas.


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En b) la razn 6 tazas de arroz por cada 12 tazas de agua permite preparar arroz para 16 personas, por lo tanto,la razn es 6:12. Para determinar la cantidad de tazas de agua necesarias para preparar arroz para 8 personas,existen dos procedimientos:

8 personas es la mitad de 16 personas, por lo tanto la razn 6:12 se simplifica por 6 y se obtiene la raznequivalente 1:2 y eso significa que por cada 1 taza de arroz se necesitan 2 tazas de agua.

Realizan la parte c) de manera similar a la anterior.

CIERRE / 10 minutos


Dada una razn A:B se pueden tener razones equivalentes ya sea amplificando o simplificando la razn. Porejemplo, la razn 400:600 es equivalente con 40:60 y tambin es equivalente con 4:6 y con 2:3. A su vez, si

amplificamos tambin es equivalente con 80:120 Cuando dos o ms razones son equivalentes se pueden escribir mediante una igualdad. Ejemplo:


1) Dada las siguientes razones escribe tres razones equivalentes.

a. 75 : 100

b. 3 : 5

c. 4 : 3

d. 2,5 : 10

e. 4 : 2,5

2) Los resultados de una encuesta indican que 4 de cada 10 personas reciclan la basura. Considerando la informacinanterior responde las siguientes preguntas:

a. Cul es la razn que relaciona la cantidad de personas que reciclan la basura con el total de personas?

b. Escribe dos razones equivalentes a la anterior.

c. Si la cantidad de personas encuestadas es 100, cuntas personas no reciclan la basura?

6 tazas de arroz12 tazas de agua

1 taza de arroz2 tazas de agua

6 : 212 : 2

= =

400600

200300

100150

4060

46

23

= = = = =



INICIO / 30 minutos

Pida que realicen la Actividad 1, cuyo foco est en que reconozcan razones equivalentes y determinen razones apartir de la informacin planteada. En la parte a) se espera que reconozcan que Vicente y Laura estn en lo co-

rrecto porque las razones involucradas son equivalentes:

1

4 =

5

20. Gestione para que fundamenten, mediante laamplificacin o simplificacin, que ambas razones son equivalentes.

En el problema b) debern socializar sus respuestas y es parte de la gestin de la clase que puedan hacerlo. Seespera que al finalizar esta socializacin estn de acuerdo en que Mara y Roberto estn en lo correcto, aunqueexpresan razones distintas. Las respuestas esperadas son:

Si 3 de cada 4 personas llevan el celular a la escuela, entonces 1 de cada 4 personas no lo lleva, por lo tanto, larazn que expresa Mara es 3:4 y la razn que expresa Roberto es 1:4.

La razn entre los que llevan celular y los que no lo hacen es 3:1. Observe y haga que los estudiantes socialicensus respuestas, pues puede ocurrir que algunos tengan escrito 1:3. Si ese es el caso, no d la respuesta sino quegestione para que decidan cul es la respuesta correcta a la pregunta planteada. Aqu es importante reconoceren la pregunta cul es el antecedente y cul el consecuente.

Para determinar la cantidad de estudiantes que llevan celular, en un escuela con 1000 estudiantes, elprocedimiento esperado es que amplifiquen convenientemente para formar 1000 en el consecuente de la razn3:4. Es decir:

por lo tanto, 750 estudiantes llevan celular a la escuela.


Pida que trabajen individualmente la Actividad 2, cuyo propsito es que formen razones equivalentes a partir de

una razn dada, ya sea amplificando o simplificando. Los problemas a) y b) de la Actividad 3 requieren utilizar razones equivalentes para su resolucin, y la comple-

jidad radica en encontrar la amplificacin o simplificacin conveniente que permita responder la pregunta. Porejemplo:

En el problema a) la razn que entrega la informacin del problema es 2:5 (2 de cada 5 estudiantes quierenestudiar en el extranjero) y para determinar cuntos quieren ir a estudiar de un total de 1.000.000, se debeamplificar convenientemente y formar la cantidad 1 milln en el consecuente, es decir:


Resolver problemas de razn en situacionescontextuales.

PLAN DE CLASE N 4

3 254 25

7501000

75 10100 10

75100

34

= == =

2 205 20

400.0001.000.000

40 10.000100 10.000

40100

25

= == =


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por lo tanto, son 400.000 estudiantes los que quieren estudiar en el extranjero.

En el problema b) la razn es 20 personas cada 2 minutos, por lo tanto, para establecer cuntas personasingresan en 60 minutos se debe amplificar la razn de forma conveniente, es decir:

por lo tanto, 600 personas ingresaron en 1 hora.

Pida que trabajen individualmente la Actividad 4, en que deben completar las tablas a partir de la razn dada, ypara ello deben formar razones equivalentes.

CIERRE / 10 minutos

La socializacin debe centrarse en que los problemas involucran los conceptos de razn y razn equivalente, esdecir:

interpretar razones: por ejemplo, la razn 3:4 se puede interpretar en la Actividad 1 b) como que 3 personas decada 4 utilizan celular.

reconocer razones equivalentes: es decir, 3:4 es equivalente con 30:40

formar razones equivalentes mediante la amplificacin o simplificacin: =


1) La razn entre la longitud de la base y la altura de un rectngulo es 4:1. Sabiendo que el permetro es 20 cm,cunto miden la base y la altura del rectngulo?

2) En la escuela se hizo una medicin acerca del sobrepeso de los estudiantes. Los informes indican que por cada 3estudiantes con peso normal, 1 tiene sobrepeso.

Cul es la razn entre los estudiantes con peso normal en relacin con la poblacin total de estudiantes?

Si en la escuela hay 1 500 estudiantes, cuntos con sobrepeso hay en total?

2 205 20

400.0001.000.000

40 10.000100 10.000

40100

25

= == =

20personas2 minutos

600 personas60 minutos

20 302 30

= =

34

3040



INICIO / 20 minutos

Realizan individualmente la Actividad 1, en que deben relacionar el concepto de razn con porcentaje, haciendoamplificaciones o simplificaciones convenientes para tener as una razn equivalente pero con consecuente 100.

Es esperable que la conversin de porcentaje a fraccin no les resulte compleja, pues A% = A:100. Sin embargo,algunas razones s podran ser un poco difciles y por ello es importante en la gestin de la clase, que la socializa-cin de los procedimientos y resultados sean hechos de forma efectiva para que puedan aparecer las dificultadeso errores que puedan presentar. Si se valida inmediatamente la respuesta correcta, muchos alumnos borrarn susproducciones y no se podr saber en que se estaban equivocando.


En la Actividad 2 el propsito es que dada la informacin en forma de razn, los estudiantes puedan escribir elporcentaje asociado y determinar el porcentaje de una cantidad. En el problema a) la informacin es 3 de cada

5 perritos prefieren el alimento Huesitos para Campeones, y a partir de ello los alumnos deben responder lassiguientes preguntas:

Cul es la razn entre la cantidad de perros que prefieren el alimento y el total?

3:5

Qu porcentaje de perros prefiere el alimento Huesitos para Campeones Explica cmo lo obtuviste.

35

= 3 205 20

=60100

, por lo tanto el 60% de los perritos


Relacionar el concepto de razn con el deporcentaje en situaciones contextuales.

PLAN DE CLASE N 5

Razn Porcentaje

3 es a 434

= 3 254 25

= 75100

=75%

2 de cada 52

5

=2 20

5 20

= 40

100

=40%

60:100 60%

1:5 20:100 = 20%

1:100 1%

8:100 8%

Razn Porcentaje

30%= 30

100 = 30 : 10

100 : 10 = 3

10 30%

10 de cada 25 40:100 = 40%

5:100 5%

15,5:100 15,5%

35,2 : 100 35,2%

4,5:50 9:100 = 9%


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Si la tienda tiene 25 perritos, cuntos escogieron el alimento? Explica cmo lo resolviste.

35

= 3 55 5

= 1525

, entonces 15 perritos escogieron el alimento

Cunto es el 60% de 25?

El 60% de 25 perritos es 15 porque 35

= 3 55 20

= 1525

= 60100

En el problema b) la informacin dada es que 3 de cada 4 celulares son del tipo smartphone

Cul es la razn entre la cantidad desmartphonesy el total?

3:4

Qu porcentaje del total de celulares vendidos son smartphones? Explica cmo lo obtuviste.

34

=3 254 25

= 75100

, por lo tanto el 75% de los celulares son smartphones

Si la tienda vendi 200 celulares, cuntos de ellos sonsmartphones? Explica cmo lo resolviste.

34

=3 254 25

= 75100

= 75 2100 2

= 150200

, entonces se vendieron 150 celulares del tipo smartphones

Cunto es el 75% de 200?

El 75% de 200 es 15 porque 75100

de 200 = 150

CIERRE / 15 minutos


El porcentaje es una razn cuyo consecuente es 100.

El A% se interpreta como A partes de un total de 100 partes.


1) Laura dice que 1:3 es lo mismo que el 30%. Ests de acuerdo con Laura? Explica tu respuesta.

2) En una encuesta realizada se les pregunt qu tipo de actividades recreativas hacan en su casa. 5 de cada 8estudiantes manifestaron jugar en el computador.

Cul es la razn entre los que no juegan en el computador y el total?

Qu porcentaje de alumnos del total de encuestados prefiere jugar en el computador? Explica cmo loobtuviste.

Si la cantidad de alumnos encuestados es 600, cuntos de ellos juegan en el computador? Explica cmo loresolviste.



INICIO / 15 minutos

Revise la tarea.

El objetivo de esta clase es retomar la resolucin de problemas aditivos con fracciones, as como el estudio de las

tcnicas de clculo asociadas. Dado que los conceptos de razn y fraccin, siendo diferentes, tienen algunas carac-tersticas comunes (por ejemplo, la notacin), se ha destinado una clase para trabajar la adicin y sustraccin defracciones de igual denominador, con el objetivo de instalar el tema de manera que los conceptos vistos en clasespasadas no interfieran con el logro de los objetivos de aprendizaje asociados a fracciones.

Por otra parte, se introduce el estudio de fracciones a partir de la bsqueda de relaciones entre los procedimientospictricos y escritos de suma y resta de fracciones. La clase se ha diseado con el objetivo de que sus estudiantesdescubran que los clculos con fracciones de igual denominador se asocian a clculos sobre una medida comn obien, sobre una unidad de fraccionamiento dado y estable. Como consecuencia de ello, se espera que alumnas yalumnos descubran o recuerden, segn sea el caso, que solo deben operar los numeradores.

Pida que lean la Actividad 1, cuyo contexto es algo cotidiano y factible de ser reconocido por la mayora. Res -ponden las preguntas y explican sus respuestas. Durante la socializacin cuide el lenguaje empleado. La primera

pregunta cuestiona sobre la cantidad de octavos. Utilice esta frase constantemente durante la gestin de laactividad (por ejemplo, cuntos octavos tienen en total?), de modo que reconozcan que se est trabajando sobreuna medida comn: 1

8 k. Verifique con especial cuidado que registren en forma correcta las cantidades fracciona-

rias. La ltima parte releva tanto el procedimiento como su notacin; se espera que el curso concluya que cuandose suman fracciones de igual denominador, se suman los numeradores y se conserva el denominador, porque eldenominador representa la unidad de medida comn a ambas fracciones.


En la Actividad 2 se busca profundizar tanto en la argumentacin asociada a la tcnica de clculo, como en suaplicacin a situaciones de fraccionamiento parte-todo. Pida al curso que represente la situacin inicial planteada.Se espera que, en funcin del contexto, propongan una representacin en la que se muestran los 5 octavos yeliminan uno de ellos, simulando con ello la accin de perder 1 octavo.

Lo relevante no radica en el dibujo, sino en que las y los estudiantes utilicen esta representacin para explicar

que 58

48

18

= . Recuerde promover que en la argumentacin las cantidades se formulen en funcin de losoctavos.


Sumar y restar fracciones de igual denominador,de manera pictrica y mental.

PLAN DE CLASE N 6

18

kg 18

kg 18

kg 18

kg 18

kg


19/139


Solicite al curso que resuelva el problema de Margarita y Roberto. En este caso, promueva que las cantidades se

describan en funcin de la cantidad de sptimos que se pintaron, y de la cantidad de sptimos que quedan sin

pintar.

Pida a quienes vayan terminando de registrar sus respuestas que avancen a la Actividad 3. Aqu deben aplicar la

misma tcnica de clculo en contextos un poco ms diversos. En el Problema 1, la accin de juntar las cantidades

da como resultado una fraccin impropia. Dada la naturaleza del problema, lo importante no es transformar

este resultado a nmero mixto, por cuanto sealar que juntaron 75

kg de harina es comprensible. Es importante

que pregunte al curso si entienden que juntaron ms de un kilo de harina, pero no exija innecesariamente la

transformacin, salvo que los mismos estudiantes la propongan.

El Problema 2 involucra nmeros mixtos. Ac tampoco es necesaria la transformacin, ya que el mbito numrico

permite operar sobre las fracciones propias solamente. Si hay estudiantes que tengan dificultades, pida que

representen el problema sobre la recta del Cuaderno de trabajo y muestren los desplazamientos realizados por

Roxana.

Pida al curso que complete la Actividad 4, la cual es de prctica y afianzamiento de la tcnica en estudio.

CIERRE / 15 minutos


El denominador de una fraccin es muy importante, porque nos indica cmo est fraccionado el entero, y nossirve para cuantificar la parte.

Cuando las fracciones son de igual denominador, es muy fcil representar de forma pictrica la suma y resta deestas fracciones.

Cuando las fracciones son de igual denominador, la suma o resta de estas fracciones se calcula sumando solo losnumeradores.


Resuelve el siguiente problema: Para una fiesta, Pablo compr varias botellas de bebida: dos botellas de 1 12

litro,

y una de 2 12

litro. Si al terminar la fiesta sobr 12

litro, cunta bebida se consumi durante la celebracin?

1 km 1 km 1 km 1 km 1 km14

km 14

km



INICIO / 15 minutos

Revise la tarea.

En esta clase se introducen en forma paulatina las fracciones de distinto denominador, como trminos de una

adicin o una sustraccin. Observar que las tcnicas de clculo que se abordarn no requieren del clculo delmnimo comn mltiplo, sino que se buscar que nios y nias descubran procedimientos significativos de de-terminacin de la suma y la resta, partiendo de representaciones pictricas y avanzando hacia representacionessimblicas, apoyadas fuertemente en el procedimiento abordado en la clase anterior. De esta forma, se busca quecomprendan que la adicin y sustraccin de fracciones gira en torno a una tcnica de clculo nuclear, evitando conello que crean que deben aprender varios procedimientos, aparentemente sin conexin.

Pida que lean el enunciado de la Actividad 1, y verifique que todos entienden el contexto. Seale al curso que

completen la informacin que falta. Aqu, la fraccin asociada a la segunda pizza puede ser representada de tres

formas distintas: 12

, 24

o 48

. Verifique que comprendan que todas estas representaciones son vlidas; es posible

que algn nio o nia conozca el concepto de fraccin equivalente; si esta idea surge, destquela en el sentido deque todas estas representaciones cuantifican la misma porcin de pizza.

Pregunte ahora, en total, cunta pizza tiene anchoas. Aqu es donde la eleccin de la fraccin adecuada puedepermitir responder en forma muy rpida el clculo. En particular, la eleccin de la fraccin 2

4permite sumar frac-

ciones de igual denominador.

Destaque el hecho de que fue conveniente que, en la segunda pizza, la fraccin 48

se simplificara de modo deigualar denominadores.

Simplificando por 2.

DESARROLLO / 50 minutos Pida que resuelvan la Actividad 2, en la que debern realizar varios clculos de sumas y restas de fracciones con

distinto denominador. Todos los clculos tienen en comn que uno de los trminos se puede simplificar. Esto esimportante, por cuanto la estrategia de resolucin de estos clculos es la de igualar denominadores para aplicar elprocedimiento de la clase anterior. Verifique que registran en forma explcita el procedimiento de amplificacin osimplificacin, o que al menos sealan por cunto estn amplificando o simplificando.

En la Actividad 3 debern evaluar la afirmacin de Cristina, quien plantea que, en virtud del procedimiento de la

actividad anterior, como 6 es mltiplo de 3, hay que simplificar la fraccin 16

, pero como ello no es posible, no se

puede resolver el clculo. Aqu, la actividad se ha diseado de modo de anticipar dos posibles escenarios.


Sumar y restar fracciones de distintodenominador, amplificando y simplificando demanera pictrica, mental y escrita.

PLAN DE CLASE N 7

14

14

34

48

24

+ += =


21/139


Escenario 1: El curso propone de inmediato la amplificacin de la fraccin 13

como estrategia de solucin. Si

esto ocurra, no diga que la respuesta es correcta, sino que gestione para que las respuestas a las preguntas sean

bien argumentadas, y pida al curso que utilice las representaciones para apoyar y verificar tal argumentacin.Estas representaciones estn disponibles como medio de verificacin. Adems, servirn de soporte para la

argumentacin, en caso de que gran parte del curso no haya comprendido la estrategia.

Escenario 2: El curso no propone la amplificacin o bien, una parte importante est de acuerdo con Cristina. En

este caso permita que argumenten y registre sus respuestas, sin sealar que son correctas o incorrectas. Luego,

pida que completen las representaciones. Pregunte cmo lo hicieron para cuantificar el resultado de 16

+ 13

, y

destaque las respuestas en que fraccionaron los tercios en sextos (es decir, a quienes amplificaron pictricamente).

Utilice estas respuestas para gestionar el procedimiento de clculo.

La Actividad 4 busca establecer la posibilidad de actuar sobre ambas fracciones, y no solo sobre una de ellas.

Esta estrategia ser muy importante aqu, ya que contempla clculo con fracciones cuyos denominadores no son

mltiplos entre s.Amplificando por 2

Amplificando por 3

CIERRE / 15 minutos


Sumar y restar fracciones de distinto denominador no es difcil, solo hay que igualar los denominadores de ambostrminos.

Para igualar los denominadores de las fracciones, hay que amplificar o simplificar una fraccin o ambas.


Observa los siguientes clculos:

En qu te fijaste para saber por cunto amplificar cada fraccin?

12

115

56

17

14

310

19

110

+ + ; ; ;

12

36

56

13

26

+ += =



INICIO / 15 minutos

Se introduce el clculo de sumas y restas con nmeros mixtos y, en particular, se abordan tres tipos de escenariosque convendr estudiar con cuidado, ya que aunque se basan en las tcnicas de las clases anteriores, la naturaleza

aditiva de la representacin mixta introduce otro tipo de consideraciones. Describa la Actividad 1, en la cual se presentan tres problemas que debern ser representados y resueltos. Dado

que en la clase se revisarn varios procedimientos, se ha incluido el desarrollo del primer problema para que lasy los estudiantes lo usen como modelo de representacin. Pida a algunos estudiantes que describan el desarrollode este primer problema, y destaquen aquellos elementos que les llamen la atencin. Al menos, debieran hacernotar dos temas:

El uso de procedimientos conocidos de suma de fracciones (amplificacin para igualar denominadores).

La reorganizacin de los datos, juntando las partes enteras y las partes decimales como una estrategia que fa-cilita el clculo de la operacin (veremos que esta estrategia no funciona en las actividades siguientes, pero noadelante nada por ahora).

Es muy importante que usted verifique que estas dos ideas son comprendidas y relacionadas con las representa-ciones previamente desplegadas en la actividad; en caso contrario, muestre la amplificacin pictrica, as como lareorganizacin de los trminos de los nmeros mixtos.


Pida que desarrollen los problemas 2 y 3. Las estrategias empleadas por nios y nias se irn optimizando. Encada caso, pida que representen los procedimientos, y destaque que en ellos se observa una estructura aditivasubyacente a la escritura de los nmeros mixtos (en el primer problema este hecho se destaca en la igualdad

Realizan la Actividad 2. Se presenta un problema de adicin de nmeros mixtos, en el que la suma de las partesfraccionarias da como resultado una fraccin impropia. Seale que esto exige realizar un procedimiento adicional:

Seale claramente que el procedimiento anterior es correcto. No obstante, indique que el desarrollo del problemabusca ensear un procedimiento que es ms eficiente, pues se evita obtener una fraccin impropia dentro delnmero mixto. Pida a un nio o nia que describa el procedimiento propuesto, y que destaque aquellos elementoscon los cuales est de acuerdo o bien, que le llaman la atencin. El hecho de que el primer sumando sea casi unentero debiera ser evidente para todo el curso; en caso contrario, gestione para destacar este hecho. Muestreque la reorganizacin de los datos permiten completar el entero, y que esta simple accin facilita enormementeel clculo, tal como se aprecia en el Cuaderno de trabajo. Discuta el procedimiento, as como las ideas centrales


Explicar procedimientos para sumar nmerosmixtos.

PLAN DE CLASE N 8

34

34

).=+ 33

45

75

55

25

25

25

35

+ + + += = + = =12 3 3 4 4


23/139


destacadas por la nia en el cuaderno, y pida que practiquen este procedimiento con los clculos propuestos alfinal de la actividad. Si alguien muestra dificultades en la aplicacin de la tcnica, pdale que represente el clculo,y luego oriente el registro de los resultados.

Una vez que el curso haya finalizado, realicen la Actividad 3, en la cual se muestra un procedimiento optimizado desustraccin de nmeros mixtos. La estructura de la gestin de la actividad es muy similar a la anterior, y consta de:descripcin del problema, anlisis de la representacin y de las acciones realizadas sobre ella, anlisis del registroescrito, sistematizacin y aplicacin de la nueva tcnica.

En este caso, una posibilidad es que usted cuente con material concreto en su sala de clases con el objeto demostrar que la diferencia, frente a la transformacin propuesta, se mantiene constante. En la medida que nias ynios se muestren convencidos de que la diferencia no sufre modificacin, se generarn las condiciones para queapliquen la tcnica con confianza de que el resultado no sufre alteracin.

CIERRE / 15 minutos

La socializacin de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos: El clculo de sumas y restas con nmeros mixtos necesita de algunas consideraciones especiales.

Un nmero mixto es una notacin aditiva, esconde la adicin de un nmero entero con una fraccin propia.

En ocasiones, los nmeros mixtos se pueden sumar o restar sin problemas, operando por separado las partesenteras y las partes fraccionarias.

PARA LA SUMA DE FRACCIONES: cuando la suma de las partes fraccionarias excede la unidad (fraccin impropia), losdatos se pueden reorganizar, traspasando una cantidad de una fraccin a otra, con el objetivo de formar nuevosenteros. Esto facilita mucho el clculo.

PARA LA RESTA DE FRACCIONES: cuando la resta de las partes fraccionarias no se puede calcular, se puede agregaro quitar la misma cantidad a ambas fracciones, con el objetivo de formar un entero en el sustraendo. Esto facilita

mucho el clculo.


Compara los siguientes clculos:

99 + 24 = 100 + 23 = 123

Traspaso 1 unidad Traspaso 17

En qu se parecen los clculos?

67

37

47

37

+ += =2 3 411



INICIO / 15 minutos

Revise la tarea, ya que permite establecer conexiones entre la aritmtica de los nmeros naturales, con la de laoperatoria de fracciones. El establecimiento de estas relaciones busca fortalecer la comprensin de cmo las

operaciones aritmticas aditivas, aunque las tcnicas parecen muy diferentes, se basan en principios comunes. Esta clase no solo es de sistematizacin de las distintas tcnicas de adicin y sustraccin de cantidades fracciona-

rias, sino que adems busca abordar el estudio de distintos tipos de problemas aditivos.

Pida que desarrollen la Actividad 1, que busca representar y resolver una serie de tres problemas, ya que as lastareas de representacin de clases pasadas se pondrn en juego ahora. Los problemas que se presentan son decomposicin de cantidades y medidas, es decir, problemas en donde los datos no sufren modificacin. En general,la representacin de estos problemas usa las acciones de juntar o separar, y se debiera observar este hecho en lasrepresentaciones que propongan las y los estudiantes.

Para el primer problema, una representacin esperada es:

Verifique que en el segundo problema, el curso identifica en forma adecuada que la operacin que resuelve la

situacin es una sustraccin. En caso contrario, revise y socialice las representaciones. Si an no comprendan elproblema, se sugiere que los ayude a construir una representacin como la que se muestra.

Verifique adems que los clculos estn bien resueltos, es decir, que las tcnicas de clculo estn bien aplicadas ybien registradas.


Resolver problemas aditivos con fracciones, endiversos contextos, calculando y argumentandoel resultado de sumas y restas con fracciones ynmeros mixtos.

PLAN DE CLASE N 9

1 entero 1 entero 1 entero

1 entero 1 entero 1 entero

1 entero 1 entero

1 entero 1 entero

13

26

16

36

12

16

+ == + = +32 2 3 32 5

16

23

1 kg1112 kg

?


25/139



Pida que desarrollen la Actividad 2, en la que debern emprender los procedimientos puestos en juego por laactividad anterior, pero esta vez en problemas de transformacin de la cantidad o posicin inicial. Aqu, el cambiode cantidad o ubicacin puede dar lugar a representaciones cualitativamente diferentes respecto a lo que sucedeen la actividad anterior. Esto no es malo, en la medida que nios y nias sepan interpretar adecuadamente lasacciones realizadas sobre las representaciones, que en general son de agregar/quitar o avanzar/retroceder. Sibien en esta actividad ya no se solicita la representacin, seale que esta an puede ser una herramienta paracomprender mejor los problemas. Por ejemplo, el ltimo problema de la actividad es inverso, ya que la cantidadfinal es uno de los datos del problema.

La Actividad 3, aborda problemas en contextos geomtricos, as comoproblemas de comparacin de cantidades por diferencia. En particular yrespecto al problema 2, este puede ser abordado de dos formas distintas:calculando a travs de sumas reiteradas el triple de la superficie de cada

tipo de baldosa y luego adicionar o bien, sumar las superficies de unabaldosa octogonal con una cuadrada, y luego triplicar tal superficie. Esteltimo procedimiento se relaciona con identificar al embaldosado comouna composicin de 3 regiones, como se observa en la figura de la derecha.

La Actividad 4 consiste en la realizacin de clculos en los que se incluyen clculos combinados (ms de 2 trminos).

CIERRE / 15 minutos

Pida que desarrollen la Actividad 4, que es de sntesis, y que argumenten sus procedimientos.


La adicin y sustraccin de fracciones y nmeros mixtos permite resolver varios tipos de problemas.

Para identificar la operacin, en ocasiones puede ser muy til representar el problema, en particular cuando no esmuy claro cul operacin se debe realizar.

Las tcnicas de clculo de sumas y restas con nmeros mixtos deben ser utilizadas con cuidado. Seleccionar latcnica adecuada y eficiente es muy importante para poder realizar el clculo en forma exitosa.


Resolver ejercicios y problemas del Cuaderno de trabajo u otro texto escolar, en preparacin de la evaluacin dela unidad.



INICIO / 15 minutos

Explique que se va a realizar una prueba que tiene como objetivo evaluar los contenidos de aprendizaje estudiadosen este perodo.

Destaque la importancia de mantener una conducta apropiada durante el desarrollo de la evaluacin. Seale que si no entienden alguna instruccin o pregunta, levanten la mano y usted se acercar para atenderlos.

Entregue la prueba y recorra la sala registrando los temas que pueden estar presentando mayores dificultades.


Pida que comiencen a leer y responder la prueba. Recuerde que dejen anotados los clculos que hacen para resol-ver los problemas.

Observe con atencin y vea si alguien est detenido en alguna pregunta.

Escuche las preguntas y ayude a comprender los enunciados, sin dar la respuesta correcta o pistas.

Registre las preguntas y estrategias que sus estudiantes emplean, muchas sern motivo de revisin del contenido.

En caso que algunos alumnos finalicen la evaluacin tempranamente, indqueles que trabajen sobre las activida -des de la clase 10 del cuaderno del estudiante.

LA SIGUIENTE INFORMACIN ES SOLO PARA USTED Y TIENE LA DESCRIPCIN DE LAS TAREAS INVOLUCRADASEN LA PRUEBA.

Se espera que un alumno que se ha apropiado de los conocimientos del perodo, logre realizar las siguientes tareasmatemticas (descritas por pregunta):

1. Identifican y describen razones en contextos reales.

2. Expresan una razn de mltiples formas, como 3:5 o 3 es a 5.

3. Expresan una razn de mltiples formas, como 3:5 o 3 es a 5.

4. Resuelven problemas que involucran razones.

5. Explican la razn como parte de un todo.

6. Resuelven problemas que involucran razones.

7. Resuelven problemas que involucran razones, usando tablas.

8. Explican el porcentaje como una razn de consecuente 100.

9. Suman y restan fracciones de manera pictrica.

10. Suman y restan fracciones mentalmente, amplificando o simplificando.

11. Suman y restan fracciones de manera escrita, amplificando o simplificando.


Evaluar los aprendizajes de los estudiantes en elMdulo 1, para retroalimentar aquellos temasms deficitarios.

PLAN DE CLASE N 10


27/139




14. Explican procedimientos para sumar y restar nmeros mixtos.

15. Explican procedimientos para sumar y restar nmeros mixtos.

CIERRE / 20 minutos

Invite a los estudiantes a comentar la prueba.

Pregunte: Qu les pareci la prueba? Cul problema fue ms sencillo de resolver? Hubo algn problema queles cost comprender?


Indique a los alumnos que resuelvan las actividades de la clase 10 del Cuaderno de trabajo.



INICIO / 15 minutos

Explique que en esta clase revisarn y resolvern colectivamente algunos problemas y ejercicios de la prueba.

Pida que comenten cules fueron las preguntas que ms les costaron, y cules fueron las preguntas que les pare -

cieron ms fciles. Priorice las que fueron resueltas en forma incorrecta u omitidas por un gran porcentaje de estudiantes. Para ello,

complete la informacin de la seccin de orientaciones para el anlisis de los resultados de la prueba.

Como propuesta, en el Cuaderno de trabajo se han seleccionado aquellas que podran haber presentado un mayorgrado de dificultad, por el nivel de complejidad involucrado en el tem. No obstante, sintase con la libertad deanalizar otros tems en los cuales usted haya identificado que se manifestaron grandes dificultades.


Desarrollan la pregunta 3, que aborda principalmente preguntas de interpretacin de razones, en particular, lasque se refieren a la identificacin de relaciones parte-parte o parte-todo.

En estos problemas, es posible que se observen dificultades relacionadas con que la alternativa correcta estexpresada como una razn equivalente, lo que podra permitir que algunos alumnos o alumnas seleccionen otraalternativa que relacione trminos presentes en el contexto del problema.

El tratamiento con las razones equivalentes podra hacer surgir la necesidad de aplicar ms de una operacin; es elcaso de la pregunta 4, en donde no se identifica a primera vista una nica amplificacin o una nica simplificacinque permita reconocer el valor que falta y que permite establecer la proporcin.

Otra dificultad factible de encontrar es la no consideracin de los contextos como un referente para responderpreguntas de cuantificacin e interpretacin de las razones.

Pida que trabajen en parejas la pregunta 6cual est asociada a resolver problemas que involucran la valorizacine interpretacin de razones, ya sea en forma aritmtica, o bien, en tablas simples.

Requiere reconocer que la razn es parte-todo, y que esta relacin permite proponer, por ejemplo, una descom -posicin de la poblacin total de modo de hacer explcita la comparacin por cuociente. Dicho de otro modo, si sereconoce que 300.000 se puede escribir como 100.000+100.000+100.000, se puede establecer la relacin con lanocin del 2 de cada 3 para la cantidad total descompuesta de esta forma. Ello permite seleccionar la alternativacorrecta incluso en forma mental.

En la pregunta 7se presenta como dato que la razn entre las cantidades se mantiene constante, como unaforma de establecer que los trminos relacionados de la tabla forman parejas de nmeros que permiten formularrazones equivalentes entre s. La valorizacin de la razn, o bien, la determinacin de una razn ms conveniente(por ejemplo, 70:1) permite determinar el valor que falta.


Revisar las preguntas de la prueba yretroalimentar a los estudiantes, en los tems quehayan manifestado una mayor dificultad.

PLAN DE CLASE N 11


29/139


En la pregunta 8se busca interpretar al porcentaje como una razn de consecuente 100. Esto es importante de-bido a que la poblacin de la situacin es superior a 100, por tanto, hay que verificar que nias ni nios confundenlos referentes absolutos (la cantidad) con los relativos (el porcentaje).

La pregunta 11est referida a operatoria de fracciones. Es explcitamente procedimental, y en el Cuaderno sepide que muestren el resultado de emprender cada uno de tales procedimientos, como una forma de validar lasrespuestas dadas por ellos. Se ofrece un espacio para que argumenten principalmente sus procedimientos declculo.

La pregunta 15busca evaluar principalmente la apropiacin de tcnicas de clculo de restas con nmeros mixtos,en particular, bajo condiciones en las cuales el traslado de la diferencia es un procedimiento eficiente de resolucin.

CIERRE / 20 minutos

En la socializacin respecto a los conceptos trabajados en la clase, gestione lo siguiente:

Pregunte: Qu estudiamos hoy da?

Sintetice las respuestas de sus estudiantes y pida que lo escriban en el cuaderno. La idea es que sus estudiantes respondan y usted vaya anotando en la pizarra. En particular, ser muy importante

que usted permita que expliciten las dificultades que tuvieron para resolver los problemas, cules fueron loserrores que cometieron, por qu los cometieron, y cmo se deban resolver los problemas.


30/139

MATEMTICA / 6 BSICO

28 / Mdulo N 1: Razones y operaciones con fracciones /Matemtica /6 bsico /Gua Didctica

temIndicador de

evaluacin

Informacin

del cursoOrientaciones

remediales% L % NL

3.Para preparar una mezcla decemento, el maestro Juan Carlosemple 9 kilos de cemento y 27kilos de arena.

Cul es la razn entre la cantidadde cemento y la cantidad de arenapara hacer la mezcla?

A. 27:36

B. 9:36

C. 3:27

D. 1:3

Identifican y descri-ben razones en con-textos reales.

Pida a nios y nias que representen lascantidades.

Pregunte constantemente por los trmi-nos de la razones de la alternativas quetienen relacin con la pregunta. Estopermitir descartar algunas alternativas.

Pregunte si buscaron la presencia derazones equivalentes. Si la respuesta

es negativa, invtelos a proponer unarespuesta a la pregunta, y luego buscar,dentro de las alternativas, si se halla unarazn que sea equivalente a la respuestadada.

7.Un auto que viaja de una ciu-dad a otra, mantiene una veloci-dad constante, es decir, la raznentre la distancia recorrida y eltiempo que demora en recorrer esadistancia se mantiene constante.Observa la informacin parcial quese entrega en la siguiente tabla:

Cul es la cantidad que falta enla casilla de color gris?

A. 70

B. 140

C. 280

D. 350

Resuelven problemasque involucran razo-nes, usando tablas.

Una estrategia inicial es completar latabla, incluso, agregar nuevas filas sies necesario. En particular, la siguientetabla permite visualizar rpidamente elvalor de la razn.

Lo anterior permite completar la tabla,

aun cuando emplea un procedimientopoco eficiente.

Verifique que comprendan que el valorde la razn podra determinarse sin ne-cesidad de llenar la tabla completa.

ORIENTACIONES PARA EL ANLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIN

Distancia[kilmetros]

Tiempo [horas]

70 1

140 2

210 3

? 4

350 5

Distancia[kilmetros]

Tiempo [horas]

2

210 3

? 4

350


31/139


MDULO N 1: RAZONES Y OPERACIONES CON FRACCIONES

temIndicador de

evaluacin

Informacin

del cursoOrientaciones

remediales% L % NL

8.Se aplic una encuesta a un gru-po de 200 personas sobre su tenis-ta favorito de los ltimos tiempos.El 60% opin que era Marcelo Ros.

Cul de las siguientes afirmacio-nes es FALSA?

A. El tenista favorito de la encuestaes Marcelo Ros.

B. En total, 40 personas no votaronpor Marcelo Ros.

C. 60 de cada 100 personasvotaron por Marcelo Ros.

D. La razn entre quienes votaronpor Marcelo Ros y el total deencuestados es 6:10.

Explican el porcenta-je como una razn deconsecuente 100.

Esta pregunta busca evaluar una seriede afirmaciones respecto de los resul-tados de una encuesta aplicada a 200personas.

En este caso, la consideracin de lacantidad total de encuestados es im-portante, debido a que la poblacin dela situacin es superior a 100; por tan-to, hay que verificar que no confundan

los referentes absolutos (la cantidad)con los relativos (el porcentaje).

En el caso de las alternativas, pida es-cribir el dato numrico (razn o canti-dad) asociada a cada alternativa.

15.En una panadera se elaboraron

32 18 kg de pan para vender. Alfinalizar el da, solo quedaba 1

78

kg de pan.

Cunto pan vendieron duranteel da?

A. 31 68 kg

B. 30 28 kg

C. 30 1

8

kg

D. 30 kg

Explican procedimien-

tos para sumar y restarnmeros mixtos.

La pregunta busca evaluar principal-

mente la apropiacin de tcnicas declculo de restas con nmeros mixtos,en particular, bajo condiciones en lascuales el traslado de la diferencia es unprocedimiento eficiente de resolucin.Pida que expliciten la tcnica de clcu-lo, y la contrasten con la informacinpropuesta en la Clase 9 del Cuadernode trabajo.

Verifique que estn comprendiendocorrectamente el problema, conside-

rando que este es inverso.

(*) La columna informacin del curso debe ser llenada por cada docente, incorporando el porcentaje de estudiantes que con-testaron el tem en forma correcta (%L) y el porcentaje que lo hizo en forma incorrecta (%NL).



PAUTA DE CORRECCIN/ EVALUACIN MDULO 1

tem Eje Temtico Indicador de Evaluacin Respuesta

1

Nmeros y Operaciones

Identifican y describen razones en contextos reales. A

2 Expresan una razn de mltiples formas, como 3:5 o 3 es a 5. B

3 Expresan una razn de mltiples formas, como 3:5 o 3 es a 5. D

4 Resuelven problemas que involucran razones. C

5 Explican la razn como parte de un todo. B

6 Resuelven problemas que involucran razones. C

7 Resuelven problemas que involucran razones, usando tablas. C

8 Explican el porcentaje como una razn de consecuente 100. B

9 Suman y restan fracciones de manera pictrica. A

10

Suman y restan fracciones mentalmente, amplificando o sim-

plificando. C

11Suman y restan fracciones de manera escrita, amplificando osimplificando.

A


D


B

14 Explican procedimientos para sumar y restar nmeros mixtos. D

15 Explican procedimientos para sumar y restar nmeros mixtos. B


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6o


34/139

6oMdulo N 2:Patrones y lgebra

MATEMTICA

Gua didctica


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Mdulo N 2:Patrones y lgebra

MATEMTICAGua didctica


Divisin de Educacin General

Ministerio de Educacin

Repblica de Chile

2013


36/139

6o

MINISTERIO DE EDUCACIN


2013

Mdulo N 2:Patrones y lgebra

MATEMTICA

Gua Didctica / 6obsico


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MATEMTICA / 6 BSICO

2 / Mdulo N 2: Patrones y lgebra /Matemtica /6 bsico /Gua Didctica

PRESENTACIN

El Mdulo 2 de sexto ao bsico, tiene como propsito principal ofrecer una

herramienta de gestin curricular focalizada y basada en la organizacin de la

enseanza para el logro de los siguientes objetivos de aprendizaje planteados

en la Unidad 2 del Programa de Estudios:

Demostrar que comprenden la relacin entre los valores de una tabla y

pueden aplicarla en la resolucin de problemas sencillos (OA9):

Representar generalizaciones de relaciones entre nmeros naturales, usando

Resolver ecuaciones de primer grado con una incgnita, utilizando estrategias

(OA6):

en cada lado de la ecuacin y aplicando procedimientos formales de

El eje Patrones y lgebra de sexto ao bsico incorpora elementos novedosos

respecto de marcos curriculares previos, por cuanto considera todo el

conocimiento que se ha venido construyendo desde temprana edad en este

eje para sistematizar y formalizar una tarea matemtica como la resolucin

de resolucin que no tienen una justificacin o visualizacin que favorezca su

Esta propuesta contiene una secuencia de actividades problematizadoras que

buscan promover estrategias de resolucin de ecuaciones en el contexto del

desarrollo de las habilidades del marco curricular, principalmente de modelacin


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Mdulo N 2: Patrones y lgebra /Matemtica /6 bsico /Gua Didctica / 3

MDULO N 2: PATRONES Y LGEBRA

y representacin, fundamentales para emprender la realizacin y resolucin

desarrollo de un pensamiento variacional como una forma de generalizar


39/1394 / Mdulo N 2: Patrones y lgebra /Matemtica /6 bsico /Gua Didctica

CLASES/HRS

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE INDICADORES DE EVALUACIN

1 - 3

6 horas

Demostrar que comprenden la relacinentre los valores de una tabla y aplicarla

en la resolucin de problemas sencillos: Identificando patrones entre los valores

de la tabla, Formulando una regla con lenguaje ma-

Establecen relaciones que se dan entre los valores dados en una

Crean representaciones pictricas de las relaciones que se dan

Usando la relacin entre los valores de una tabla, predicen los

Formulan una regla que se da entre los valores de dos columnas

Crean una tabla de valores para registrar informacin y destacar

4 - 6

6 horas

Representar generalizaciones de rela-ciones entre nmeros naturales, usan-do expresiones con letras y ecuaciones

Escriben y explican la frmula para encontrar el permetro de un

Escriben y explican la frmula para encontrar el rea de un rec-

Usan letras para generalizar la propiedad conmutativa de la adi-

Describen la relacin entre los valores en una tabla, usando una

Representan la regla de un patrn, usando una expresin en que

7 - 9

6 horas

Resolver ecuaciones de primer gradocon una incgnita, utilizando estrategiascomo: -

cada lado de la ecuacin y aplicandoprocedimientos formales de resolu-

Determinan soluciones de ecuaciones que involucran sumas,

Expresan nmeros en una forma que involucre adiciones o sus-

Expresan nmeros en una forma que involucre adiciones o sus-

Resuelven ecuaciones, descomponiendo de acuerdo a una forma -

Aplican procedimientos formales, como sumar o restar nmeros

10 - 11

4 horas

Retroalimentar los objetivos de apren-

dizaje considerando los resultados de la

Realizan la Prueba, cuyos tems se construyen a partir de los in-

Retroalimentacin de los objetivos de aprendizaje considerandolos indicadores menos logrados o que presentaron mayores di-

Programacin Mdulo 2 Matemtica 6 Bsico


40/139


EJEMPLOS DE PREGUNTAS REFERENCIA AL TEXTO ESCOLAR REFERENCIA A OTROS RECURSOS

Cul de las siguientes reglas, expre-sadas en lenguaje matemtico, de-termina la relacin entre los datos dela tabla?


Patrones:

Un rectngulo mide bcm de ancho y2b -


El resultado de la ecuacin

Revise pginas del texto, referidas

Ecuaciones:

ENTRADA SALIDA

9

4 10

11

6 12



PLAN DE CLASE N 1

INICIO / 15 minutos

Pida que trabajen individualmente las Actividades 1 y 2, cuyo propsito es que escriban en lenguaje algebraico

que este tipo de actividades fue abordado en cursos anteriores, pero la diferencia es que ahora se debe escribir

En la Actividad 2 las preguntas a), b) y c) no deberan presentar mayores dificultades, ya que la secuencia es cre- -


sin hacer los dibujos, y entonces provoque un dilogo en la pizarra entre ambos procedimientos, no invalidando el

En esta clase no se pide que encuentren un frmula para relacionar la posicin con la cantidad de cuadrados, por


42/139


En la gestin de la clase podra suceder que algunos estudiantes requieran mayor tiempo para avanzar en las

CIERRE / 20 minutos

patrones crecientes que relacionan la posicin con la cantidad de elementos, por ejemplo:

Para encontrar los valores de la tabla que no estn representados en el patrn, existen dos posibilidades:

y 6 se puede establecer que a medida que se avanza una posicin,


Observa el siguiente patrn y completa la tabla de valores que relaciona el nmero de la posicin con la cantidad

dada. Verifica tus resultados.

Posicin 1 Posicin 2 Posicin 3 Posicin 4

Posicin 1 Posicin 2 Posicin 4

Patrn

Tabla

posicin cantidad de cuadrados

1 2

2 104

6


1

2

3

4

5

6


1 12 2 22

2 4 42 2

6 62



PLAN DE CLASE N 2

INICIO / 30 minutos

Pida que desarrollen la Actividad 1 en grupos de 4, cuyo propsito es que predigan la cantidad de cuadrados que

continan en la secuencia, pero que a diferencia de la Clase 1, no es una posicin consecutiva a la representacin -

En la letra b) es esperable que se provoquen dificultades, pues al tratar de aplicar la misma estrategia se darn la misma dificultad, aunque en esta clase es ms complejo pues no pueden dibujar el patrn hasta la posicin 10;quizs algunos alumnos tratarn de hacerlo, por ello es importante que usted controle el tiempo para que esta


Pida que realicen la Actividad 2 en grupos, cuyo propsito es que reconozcan que para predecir un valor desconocidoen una tabla de valores es mejor tener una regla escrita en lenguaje matemtico que relacione los valores de la

estudiantes reconozcan que los valores que estn obteniendo en esta actividad son los mismos que obtuvieron

!se multiplica por un nmero fijo, en cambio


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CIERRE / 20 minutos

Para predecir un valor desconocido en una tabla de valores, es ms fcil hacerlo cuando se cuenta con una regla determinarlo haciendo

2

21102

Al reemplazar valores en una expresin es importante recordar que la primera prioridad en las operaciones expresin n 1, al reemplazar por !


Determina los valores desconocidos en las siguientes tablas de valores, utilizando la regla dada:

a) regla para los valores de salida: ! 1

b) regla para los valores de salida:! !+ !

! 1 2 3 4 5 6

Salida

! 1 2 5 6 7 10

Salida

Posicin 1 Posicin 2 Posicin 3 Posicin 4



relacione los nmeros que se dan en dos filas de

PLAN DE CLASE N 3

INICIO / 15 minutos

Pida que realicen la Actividad 1 en parejas, cuya finalidad es que se inicien en la construccin de frmulas que les

permitan relacionar el nmero de la posicin de entrada con el valor de la salida, mediante una representacin


matemtico, que permitan relacionar dos filas de una tabla de valores y as poder predecir cualquier valor de

En el caso de la Actividad 2, se espera que reconozcan que el valor de salida se descompone haciendo una adicin

Pida que realicen la Actividad 4, en la cual deben construir las reglas que permiten relacionar los valores de las

CIERRE / 10 minutos

Para encontrar una regla entre los valores de dos filas (entrada y salida) de una tabla, se debe descomponer

ejemplo:

Entrada 1 2 4 6 n

Salida 6 9 12 21

Descomposicinconveniente delvalor de salida

1 2 3 4 6 7 n


46/139



Entrada 1 2 4 n

Salida 1

Entrada 1 2 4 6 9

Salida 1 4 9

Entrada 1 2 4 6 n

Salida 4 10 16 19 22


1 2 3 4 6 7 n

Entrada 1 2 4 6 n

Salida 2 11 14 20


1 2 3 4 6 7 n

Posicin N 1 2 4 n

Patrn

Estrategia(observa el n dela posicin)

1 1 2 2

Total decuadrados

1 4 9 16



clculo del permetro de tringulo equiltero y

PLAN DE CLASE N 4

INICIO / 20 minutos

Pida que realicen la Actividad 1 en parejas, cuyo foco principal es que recuerden las caractersticas de los tipos de de todos sus lados tiene igual medida, no siendo necesario referirse a los ngulos interiores pues esa caracterstica

Mientras las parejas trabajan, circule por la sala observando si algunos utilizan procedimiento abreviados para


socializacin de esta respuesta no se quede solo en la frmula, pues es necesario que entiendan que nes la

la discusin para que tengan mecanismos de verificacin de sus respuestas; si le preguntan si la frmula est bien

Pida que trabajen grupalmente la Actividad 4, cuyo propsito es que logren modelar matemticamente la frmula en la pizarra la tabla

n 1 2 4 6

6 12 24


48/139


CIERRE / 15 minutos


Completa la tabla y encuentra la frmula para el permetro de los rectngulos que cumplen la caracterstica dada

largo [cm] 1 2 4 6 9 10 n

ancho [cm] 2 2 2 2 2

permetro [cm] 6 10 12 14

2

2

2

1

2

4

2



PLAN DE CLASE N 5

INICIO / 15 minutos

Pida que desarrollen individualmente la Actividad 1, cuyo foco principal es que recuerden cmo se calcula el rea

- -te se pueda contar la cantidad de cm2, que cubren la superficie y hacer la asociacin entre las medidas del largo yancho con la cantidad total de cm2


que les permite calcular el rea de un rectngulo donde una de las medidas de sus lados es constante igual a 2 quede solo en la frmula, pues es necesario que ellos entiendan que n es la longitud del lado del rectngulo,

que la segunda figura no es un rectngulo pues es un cuadrado; si es as, haga ver que los cuadrados son un casoparticular de rectngulo, pues cualquier cuadrado cumple las caractersticas de un rectngulo, es decir, todos sus

y respuestas correctas, para posteriormente y sin que usted haya validado antes, pueda producirse un debate

estudiantes tengan como respuesta algn par de nmeros y no la generalizacin, por lo que es relevante producir

Pida que desarrollen grupalmente la Actividad 4, cuyo propsito es que logren modelar matemticamente la -


50/139


parte a) seran:

CIERRE / 10 minutos


a [cm] 1 20 n

b [cm] 6 10 m

rea [cm2]

b

a



una tabla (conmutatividad de adicin ymultiplicacin, descomposiciones en sumasy productos), usando una expresin en que

PLAN DE CLASE N 6

INICIO / 15 minutos

Durante la socializacin, promueva que comparen en primer lugar los rectngulos, verificando que se pueden

-lidad es que reconozcan que el clculo del rea de las superficies coincide, que esto se debe a que las medidas delos lados son las mismas, y que aun cuando la posicin en que aparecen es distinta, ello no afecta en absoluto el


Pida que desarrollen en parejas la Actividad 2, que busca que observen la presencia de la conmutatividad en otras esta respuesta genera desconcierto en el curso, simplemente indique que es un tipo de nmero que estudiarn elprximo ao, y que en cualquier caso (de existencia o no existencia), lo importante es que la respuesta no coincide responden que algunas de ellas no existen o bien, que su respuesta es racional (fraccionaria o decimal), y que en

los estudiantes identifican celdas que no deben completar; seale que el objetivo de tales celdas es proponer

de modelamiento; algunos elementos se han planteado de modo de constituir soportes para el razonamiento,


52/139


as como establecer la expresin algebraica, lo que genera la necesidad de introducir letras como representantes

CIERRE / 10 minutos

conmutatividad


n 2 n

Operacin

n 1 2 4 6

Operacin 3 3 3

Salida 1 4 10 16



adiciones o sustracciones con nmeros y conincgnitas; adems, representar y resolver

PLAN DE CLASE N 7

INICIO / 15 minutos

Pida que realicen individualmente la Actividad 1, que retoma la actividad final de la clase anterior, para seguir pro-

! "

En esta ocasin los patrones no tienen la operacin que describe la regla en forma explcita, sino que solo se en-trega la posicin # intermedio en el contexto de la modelizacin, es decir, de la formulacin de una descripcin de la regla de forma-

Una vez discutido el trabajo con las tablas, indique al curso avanzar a la parte final de la actividad, de completa-

varias soluciones a la problemtica; por ejemplo:

n 1 2 4 6 7 n

Salida 1 7 11 21 29

1

4 12

1 7

8 8 1


54/139



la descomposicin de la actividad anterior, con el objetivo de poder profundizar en su uso, en particular, en la

procedimiento sea evidente, esta actividad aborda la tarea inversa: la formacin de la ecuacin en representacin

se espera que el procedimiento algebraico emerja en la clase siguiente, destaque a quienes propongan de manera

CIERRE / 10 minutos

# ! "

El modelo de la balanza equilibrada representa dos cantidades que, teniendo distintas distribuciones, valen lo


Cules de las siguientes ecuaciones se pueden representar con la balanza? Intenta resolverlas y responde la



acuerdo a una forma dada y haciendo una

PLAN DE CLASE N 8

INICIO / 15 minutos

-

tudiantes ya han resuelto ecuaciones muy sencillas, en esta clase comienza el estudio de procedimientos formales tipos de ecuaciones que se estudiarn en esta clase y la siguiente son:

la justificacin ms que la mera comprobacin, ya que esta ltima solo verifica, mientras que la primera busca

Tipo de ecuacin Tcnica Representacin

a+ b = c

Cancelacin (sumar y restar)

Correspondencia

a b = c

Cancelacin (sumar y restar)

Correspondencia


56/139



Pida que estudien y completen la Actividad 2 grupalmente, la que sistematiza el procedimiento de resolucin deecuaciones por correspondencia 1 a 1:

2

Observe que aqu la descomposicin justifica en s misma el procedimiento, por lo que no es necesario escribir

CIERRE / 10 minutos


N 1 2 4 x

Salida



restar nmeros a ambos lados de una ecuacin,

PLAN DE CLASE N 9

INICIO / 15 minutos

-cia no permita resolver la ecuacin, ya sea porque la secuencia no es lineal (variaciones constantes) o bien, porque

Culfue la regla en la que pensaste?

Pida que estudien y realicen la Actividad 1 individual-mente, en la que se proble

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Guía Didactica 6 Blo Diarioeducacion