Guia Electromagnetism o

Mario Cosenza

Electromagnetismo

Notas de Clase - Versión A-12

Electromagnetismo

Versión A-12

Y Dios dijo:

∇ · E = 4πρ

∇× E +1

c

∂B

∂t= 0

∇ ·B = 0

∇×B− 1

c

∂E

∂t=

4π

cJ,

y se hizo la luz.

Fórmulas vectoriales

A · (B×C) = (A×B) ·C = C · (A×B) = (C×A) ·B = B · (C×A)(A×B) · (C×D) = (A ·C)(B ·D)− (A ·D)(B ·C)

A× (B×C) = B(A ·C)−C(A ·B)

∇(A ·B) = A× (∇×B) +B× (∇×A) + (A · ∇)B+ (B · ∇)A∇× (A×B) = A(∇ ·B)−B(∇ ·A) + (B · ∇)A− (A · ∇)B

∇ · (A×B) = B · (∇×A)−A · (∇×B)∇× (φA) = φ(∇×A)−A× (∇φ)

∇ · (φA) = φ(∇ ·A) +A · ∇φ∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ

∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A

∇ · (∇×A) = 0∇× (∇φ) = 0∇× [rf(r)] = 0

∇× r = 0∇ · r = 3∫

V(φ∇2ψ − ψ∇2φ) d3r =

∮S(φ∇ψ − ψ∇φ) · n da Teorema de Green∫

V(∇ ·A) d3r =

∮SA · n da Teorema de Gauss (divergencia)∫

S(∇×A) · n da =

∮CA · dl Teorema de Stokes∫V∇×A d3r =

∮Sn×A da∫

Sn× (∇ψ) da =

∮Cψ dl∫

V∇ψ d3r =

∮Sψn da

Contenido

1 Electrostática. 1

1.1 Ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Campo electrostático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Potencial escalar eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Expansión multipolar del potencial eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Interacción de una distribución de carga con un campo externo. . . . . 351.6 Ecuaciones de Poisson y de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.7 Energía electrostática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.8 Potencial y campo eléctrico en conductores. . . . . . . . . . . . . . . . 451.9 Capacitancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.10 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Problemas de frontera en Electrostática 57

2.1 Teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 Función de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3 Método de imágenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4 Funciones ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5 Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . 782.6 Ecuación de Laplace en coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . 832.7 Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. . . . . . . . . . . . . . . 872.8 Problemas de frontera con simetría azimutal. . . . . . . . . . . . . . . 912.9 Armónicos esféricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.10 Expansión de la función de Green en coordenadas esféricas. . . . . . . 1052.11 Aplicaciones de la expansión esférica de la función de Green. . . . . . . 1132.12 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

v

3 Campos eléctricos en la materia 125

3.1 Polarizabilidad molecular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.2 Modelos estadísticos de polarizabilidad molecular. . . . . . . . . . . . . 1283.3 Electrostática en medios dieléctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.4 Problemas de frontera con dieléctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.5 Energía electrostática en medios dieléctricos. . . . . . . . . . . . . . . . 1443.6 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4 Magnetostática 149

4.1 Ecuaciones de la Magnetostática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.2 Ley de Biot-Savart y Ley de Ampère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.3 Expansión multipolar del potencial vector. . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.4 Momento magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.5 Magnetostática en medios materiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.6 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5 Campos electromagnéticos dependientes del tiempo. 181

5.1 Ley de Faraday y ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.2 Transformaciones de calibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.3 Energía del campo magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.4 Conservación de energía del campo electromagnético. . . . . . . . . . . 1945.5 Momento del campo electromagnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.6 Momento angular del campo electromagnético. . . . . . . . . . . . . . 2005.7 Ondas electromagnéticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.8 Polarización, reexión y refracción de ondas electromagnéticas. . . . . 2105.9 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6 Transformaciones relativistas de campos electromagnéticos. 221

6.1 Revisión de Relatividad Especial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.2 Corrimiento Doppler relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.3 Transformaciones de campos electromagnéticos. . . . . . . . . . . . . . 2416.4 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Capítulo 1

Electrostática.

1.1 Ecuaciones de Maxwell.

Los fenómenos electromagnéticos macroscópicos están descritos por las ecuaciones deMaxwell,

∇ ·E = 4πρ (1.1)

∇×E +1c

∂B∂t

= 0 (1.2)

∇ ·B = 0 (1.3)

∇×B− 1c

∂E∂t

=4πc

J. (1.4)

Estas ecuaciones corresponden a fuentes y campos en el vacío, en el sistema deunidades cgs. En medios materiales, aparecen algunos factores adicionales, pero laforma de las ecuaciones es la misma.

Las cantidades físicas que aparecen en las ecuaciones de Maxwell y sus unidadesen el sistema cgs son

E : campo eléctrico [statvolt/cm],B : campo magnético [Gauss],ρ : densidad de carga eléctrica [Coulomb/cm3],J : densidad de corriente eléctrica [Ampère/cm2],c : velocidad constante de la luz en el vacío [cm/s].

(1.5)

1

2 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.

Las ecuaciones de Maxwell describen leyes de la naturaleza descubiertas experi-mentalmente en una serie de trabajos monumentales debidos a Oersted, Coulomb,Faraday, Ampère, Biot, Savart y otros grandes físicos.

La Ec. (1.1) también se conoce como la ley de Gauss para el Electromagnetismo,y es consecuencia de la ley de Coulomb para las fuerzas entre cargas eléctricas. LaEc. (1.2) corresponde a la ley de inducción de Faraday. La Ec. (1.3) describe laausencia de cargas (monopolos) magnéticas, mientras que la Ec. (1.4) contiene la leyde Ampère para el campo magnético producido por una corriente eléctrica, es decir,por cargas eléctricas en movimiento.

Maxwell dió forma matemática a estas leyes e introdujo una notación conve-niente. La inclusión del término 1

c∂E∂t (denominado corriente de desplazamiento) en

la Ec. (1.4), mediante un requerimiento de simetría en relación con la Ec. (1.2),constituye la contribución fundamental de Maxwell al Electromagnetismo. Con laadición de este término, las ecuaciones de Maxwell pemitieron la predicción de ondaselectromagnética, es decir, de una ecuación de propagación de onda para E y B.

Las ecuaciones de Maxwell expresan la relación física entre los campos E y B, yde éstos con sus fuentes ρ y J. Desde el punto de vista matemático, las ecuaciones deMaxwell son un conjunto de seis ecuaciones diferenciales acopladas, en derivadas par-ciales de primer orden con respecto al espacio y al tiempo, para las seis componenteslos campos vectoriales E(r, t) y B(r, t); dadas las fuentes ρ(r, t) y J(r, t).

Para aplicar estas ecuaciones en situaciones físicas se requiere un sistema de co-ordenadas (cartesianas, esféricas, cilíndricas, etc.) apropiado para el problema con-siderado.

Figura 1.1: Campos E(r, t) y B(r, t) en un sistema de coordenadas cartesianas.

En coordenadas cartesianas, el vector de posición en el espacio tridimensional conrespecto a un origen dado O es r = (x, y, z) = (x1, x2, x3), y el campo eléctrico (o

1.1. ECUACIONES DE MAXWELL. 3

magnético) en el punto r y en el instante t es

E(r, t) = (Ex(r, t), Ey(r, t), Ez(r, t)) , (1.6)

donde Ex(r, t) = Ex(x, y, z, t), etc. En general, escribimos las componentes carte-sianas Ei(r, t) = Ei(x1, x2, x3, t), i = 1, 2, 3. El vector unitario en la dirección xi sedenota por xi.

Los operadores diferenciales vectoriales en las ecuaciones de Maxwell, en coorde-nadas cartesianas, son:

Gradiente:

∇φ(x, y, z) =(∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z

). (1.7)

Divergencia:

∇ ·E =(∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

). (1.8)

Rotacional:

∇×E =x y zEx Ey Ez∂∂x

∂∂y

∂∂z

=(∂Ey∂z

− ∂Ez∂y

)x +

(∂Ez∂x

− ∂Ex∂z

)y +

(∂Ex∂y

− ∂Ey∂x

)z.

(1.9)Derivada temporal:

∂E∂t

=(∂Ex∂t

,∂Ey∂t

,∂Ez∂t

). (1.10)

Una consecuencia inmediata de las ecuaciones de Maxwell es la conservación de lacarga eléctrica. Para ver esto, consideremos la siguiente derivada parcial con respectoa t, tomando en cuenta que las coordenadas de r y t son independientes,

∂

∂t(∇ ·E) =

∂

∂t

(∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

)=

∂2Ex∂x∂t

+∂2Ey∂y∂t

+∂2Ez∂z∂t

= ∇ ·(∂E∂t

). (1.11)


Derivando parcialmente la Ec. (1.1) con respecto a t, tenemos

∇ ·(∂E∂t

)= 4π

∂ρ

∂t. (1.12)

Sustituyendo el término ∂E∂t de la Ec. (1.4), tenemos

c∇ · (∇×B)− 4π∇ · J = 4π∂ρ

∂t. (1.13)

Pero ∇ · (∇×B) = 0 (identidad vectorial). Luego,

∂ρ

∂t+∇ · J = 0. (1.14)

Esta es la ecuación de continuidad para el ujo de carga eléctrica, similar a la ecuaciónde continuidad de un uido incompresible. Si la densidad de carga disminuye en unaregion, debemos tener ∂ρ∂t < 0 en esa region; mientras que la divergencia de la corrienteeléctrica debe ser ∇·J > 0; es decir, hay un ujo de corriente (cargas en movimiento)que sale de dicha región. Por otro lado, un aumento de carga en una región, ∂ρ∂t > 0,está asociado a una divergencia negativa de la corriente, ∇·J < 0; es decir, las cargaseléctricas deben entrar a esa región.

La Ec. (1.14) expresa la conservación de la carga eléctrica.

Figura 1.2: Conservación de la carga eléctrica: la disminución de la densidad de carga ρ en unaregión del espacio está asociada a la divergencia positiva de la densidad de corriente J en esa región.

En el Electromagnetismo clásico las distribuciones de cargas y de corrientes seasumen continuas en el espacio, aunque con frecuencia consideramos distribucionesde cargas localizadas como puntos. Sabemos que la carga eléctrica está cuantizada anivel microscópico; toda carga q es un múltiplo entero de la carga fundamental delelectrón, e = 1.6× 10−19 Coulomb.

1.1. ECUACIONES DE MAXWELL. 5

Las ecuaciones de Maxwell describen la dinámica de los campos E y B producidospor cargas y corrientes eléctricas; no describen el movimiento de cargas sujetas a esoscampos. La dinámica de una carga eléctrica q que se mueve con velocidad v enpresencia de campos electromagnéticos externos E, B (es decir, no producidos por q)es un resultado experimental adicional a las ecuaciones de Maxwell, y está descritapor la fuerza de Lorentz,

F = q(E +

vc×B

). (1.15)

Los campos E y B contribuyen diferentemente a la fuerza de Lorentz sobre unacarga en movimiento. La fuerza que el campo eléctrico E produce en un punto delespacio donde está ubicada la carga permite medir E en ese punto y, similarmente,la componente magnética de la fuerza determina B.

Los campos E, B tienen signicado propio independiente de las fuentes que losproducen; ellos pueden existir en regiones lejos de sus fuentes en forma de ondas, ypueden llevar energía, momento lineal y momento angular.

Las ecuaciones de Maxwell se simplican considerablemente si las cantidades sonestacionarias, es decir, si E, B, ρ y J, no dependen del tiempo,

∂E∂t

= 0 ,∂B∂t

= 0 ,∂ρ

∂t= 0. (1.16)

En este caso, los campos E(r), B(r) se desacoplan y las ecuaciones de Maxwellse pueden separar en dos pares de ecuaciones, correspondientes a la Electrostática ya la Magnetostática,

∇ ·E = 4πρ (1.17)

∇×E = 0 (1.18)

Electrostática +

∇ ·B = 0 (1.19)

∇×B =4πc

J. (1.20)

Magnetostática


1.2 Campo electrostático.

Consideremos dos cargas puntuales q1 y q2 ubicadas en las posiciones r1 y r2, respec-tivamente.

Figura 1.3: Dos cargas puntuales en el espacio.

La fuerza sobre q2 debida a la interacción con q1 está dada experimentalmentepor la Ley de Coulomb,

Fsobre q2 = kq1q2

|r2 − r1|3(r2 − r1) , (1.21)

donde k es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades;en el sistema cgs, k ≡ 1. Debido a la Tercera Ley de Newton, tenemos

Fsobre q2 = −Fsobre q1 . (1.22)

La fuerza entre cargas eléctricas debida a la Ley de Coulomb puede ser atractivao repulsiva. Esto permite distinguir dos tipos de cargas existentes en la Naturaleza,designadas como positivas o negativas; cargas de signos opuestos se atraen y cargasde signos iguales se repelen.

El campo electrostático E(r) en un punto r del espacio se mide en términos de lafuerza ejercida sobre una carga de prueba puntual q colocada en la posición r,

F(r) = qE(r). (1.23)

La fuerza F(r) experimentada por la carga q es debida a su interacción con otrascargas que producen el campo E(r).

1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO. 7

Figura 1.4: Campo eléctrico E externo en la posición de una carga q.

El campo eléctrico E(r) se dene cuando el campo creado por la carga de pruebaen r es despreciable; es decir, cuando q → 0,

E(r) = limq→0

F(r)q

. (1.24)

El campo eléctrico producido en la posición r2 por una carga q1, cuando q2 → 0 es

E(r2) = limq2→0

Fsobre q2

q2=

q1

|r2 − r1|3(r2 − r1) . (1.25)

La dirección de E(r2) depende del signo de la carga q1. En general, el campo pro-ducido en la posición r por una carga q ubicada en r1 es

E(r) =q

|r− r1|3(r− r1) . (1.26)

Figura 1.5: Campo eléctrico E(r) producido en la posición r por una carga q ubicada en r1.


Una carga q ubicada en el origen O (r1 = 0) produce un campo radial

E(r) =q

r3r =

q

r2r , (1.27)

donde usamos la notación r = |r|.Las ecuaciones de Maxwell son lineales para los campos E y B. Los campos

cumplen el principio de superposición: si E1 y E2 son campos independientes quesatisfacen las ecuaciones de Maxwell, entonces su suma E1 + E2 también satisfaceestas ecuaciones. Luego, el campo total en la posición r debido a un conjunto decargas puntuales qi ubicadas en los puntos ri, i = 1, 2, . . . , N , es

E(r) =N∑i=1

qi(r− ri)|r− ri|3

. (1.28)

Figura 1.6: Campo eléctrico creado en la posición r por un conjunto de cargas qi ubicadas en ri.

Si las cargas son muy pequeñas (qi → 0) y N es muy grande (N →∞), tenemos ellímite de una distribución continua de carga ρ, tal que ri → r′ y qi → dq = ρ(r′)d3r′,donde denotamos el elemento innitesimal de volumen por d3r′. En el límite continuo,la sumatoria sobre las cargas se convierte en una integral de la densidad de carga sobreel volumen. El campo eléctrico producido por una densidad de carga resulta en

E(r) =∫ρ(r′)

(r− r′)|r− r′|3

d3r′ , (1.29)

donde empleamos la notación:

r : punto de observación jo. (1.30)

r′ : posición de fuentes, variable de integración. (1.31)


Figura 1.7: Campo eléctrico producido por una densidad de carga. La coordenada de integraciónes r′ y la de observación es r.

El campo eléctrico en la Ec. (1.29) constituye una expresión de la Ley de Coulombpara distribuciones continuas de carga. La Ec. (1.29) es compatible con las dosecuaciones de la Electrostática, como veremos.

Dada una distribución arbitraria de carga, la Ec. (1.29) permite, en principio,calcular el campo eléctrico producido por esa carga en cualquier punto del espacio.En la práctica, el cálculo de la integral en la Ec. (1.29) puede resultar difícil, salvoen conguraciones geométricas que posean mucha simetría.

Una alternativa útil para calcular el campo eléctrico producido por ciertas dis-tribuciones simétricas de carga es la fórmula integral de la Ley de Gauss.

La ecuación de la Electrostática ∇ · E = 4πρ constituye la Ley de Gauss escritaen forma diferencial. Esta ecuación se puede expresar en forma integral empleandoel teorema de la divergencia:

Si A es un campo vectorial denido dentro de un volumen V y sobre lasupercie S que encierra a V , y n es el vector unitario normal a cadapunto de S, entonces ∮

SA · n da =

∫V∇ ·A d3r. (1.32)

La integral sobre la supercie se denomina ujo de A a través de S.

Si integramos la ecuación ∇·E = 4πρ sobre un volumen V que contenga a ρ, tenemos∫V∇ ·E d3r = 4π

∫Vρ(r) d3r, (1.33)


y el teorema de la divergencia implica que∮SE · n da = 4πqenc , (1.34)

donde qenc es la carga total encerrada por la supercie S. La Ec. (1.34) es la Ley deGauss en forma integral.

Figura 1.8: Ley de Gauss.

Note que solamente se consideran las cargas encerradas por S, aunque el campoeléctrico E usado en la evaluación del ujo a través de S contenga contribucionesde otras fuentes ubicadas fuera de S. El ujo neto a través de S, debido a camposproducidos fuera de S, es cero.

Ejemplos.

1. Calcular el campo eléctrico de un plano innito con densidad uniforme de cargasupercial σ.

Figura 1.9: Aplicación de la Ley de Gauss para un plano innito con carga supercial uniforme.


Por simetría, E es perpendicular al plano y paralelo al eje z. Usamos la Ley deGauss en su forma integral para una supercie cilíndrica S, como se muestraen la gura. ∮

SE · n da = 4πqenc. (1.35)

La integral del ujo a través de S contiene contribuciones de tres integralesde supercie: dos términos correspondientes a las tapas del cilindro, de áreaA cada una, indicadas como 1 y 2; y un término correspondiente al lado delcilindro, identicado con 3.

Sobre el lado 3 del cilindro, el campo eléctrico E3 es perpendicular a la normaln3 asociada a ese lado. Luego, E3 · n3 = 0, y la contribución del término 3 alujo a través de S, es nula. Sobre la tapa 1, E1 = Ez y n1 = z; mientras quesobre la tapa 2, E2 = −Ez y n2 = −z. Entonces,∮

SE · n da =

∫1E1 · n1 da+

∫2E2 · n2 da

=∫

1Ez · z da+

∫2E(−z) · (−z) da

= 2EA= 4πq [total sobre A] = 4πσA

⇒ E = 2πσ. (1.36)

Luego,E1 = 2πσz , E2 = −2πσz. (1.37)

2. Supercie con densidad supercial de carga no uniforme σ(r′).

Figura 1.10: Discontinuidad del campo eléctrico a través de una supercie cargada.


La densidad supercial de carga en la posición r′ es σ(r′). Sean E1 y E2 loscampos eléctricos en la posición r′ sobre la supercie S en el lado 1 y en el lado2, respectivamente. Sea n la normal a S que apunta hacia el lado 2.

Para evaluar la discontinuidad en los campos producida por la carga supercialσ en el punto r′, usamos la ley de Gauss con una supercie S′ cilíndrica queatraviesa transversalmente a la supercie cargada S.

Figura 1.11: Supercie gaussiana para evaluar la discontinuidad del campo eléctrico a través deuna supercie cargada.

Tomando el límite h→ 0 en la supercie cilíndrica S′, tenemos∮S′

E · n da =∫

2E2 · n da+

∫1E1 · (−n) da = 4πqenc (1.38)

Esto es, ∫A(E2 −E1) · n da = 4π

∫Aσ(r′) da. (1.39)

En el límite A→ 0, tenemos en el punto r′,[E2(r′)−E1(r′)

]· n = 4πσ(r′). (1.40)

La Ec. (1.40) expresa la discontinuidad de la componente normal del campoeléctrico a través de una supercie cargada.

Función delta de Dirac.

Muchas distribuciones de carga eléctrica de interés en Electrostática están localizadasen supercies, planos, líneas, o puntos; es decir, corresponden a distribuciones con-nadas en algunas dimensiones. La función delta de Dirac resulta útil para expresareste tipo de distribuciones.


La función delta de Dirac en un intervalo real I se dene mediante las propiedades:

1. δ(x− a) = 0, si x 6= a

2.∫I δ(x− a)dx =

1, si a ∈ I

0, si a /∈ I

3.∫I f(x)δ(x− a)dx = f(a)

4.∫I f(x)δ′(x− a)dx = −f ′(a).

Figura 1.12: Ilustración de la función delta de Dirac en una y en tres dimensiones.

La función delta de Dirac también se puede denir en tres dimensiones y poseelas siguientes propiedades:

1. δ(r−A) = δ(x−Ax)δ(y −Ay)δ(z −Az)

2.∫V δ(r−A)d3r =

1, si A∈ V

0, si A /∈ V

3.∫V f(r)δ(r−A)d3r = f(A)

Note que las unidades de la función delta de Dirac denida en un espacio de dimensiónd son [distancia−d].

Ejemplos.

1. Expresar ρ para una distribución de N cargas puntuales qi situadas en posi-ciones ri.

La densidad es

ρ(r) =N∑i=1

qi δ(r− ri). (1.41)


Figura 1.13: Distribución de cargas puntuales.

Una carga ubicada en el origen se puede expresar como ρ(r) = q δ(r).

Empleando la Ec. (1.29), el campo eléctrico en la posición r debido a un con-junto de cargas puntuales se puede expresar como

E(r) =∫ρ(r′)

(r− r′)|r− r′|3

d3r′

=N∑i=1

qi

∫δ(r′ − ri)

(r− r′)|r− r′|3

d3r′

=N∑i=1

qi(r− ri)|r− ri|3

. (1.42)

2. Expresar ρ para un plano innito con densidad supercial de carga σ.

Figura 1.14: Plano z = 0 con densidad supercial de carga σ.

Escojamos el plano en z = 0. La densidad de carga en coordenadas cartesianas


es ρ(x, y, z) = σδ(z). El elemento de volumen en coordenadas cartesianas esd3r = dx dy dz. La integral de ρ sobre todo el volumen debe dar la carga total,∫

ρ d3r = σ

∫ ∞

−∞dx

∫ ∞

−∞dy

∫ ∞

−∞δ(z)dz = σ × [ área del plano]× 1 = q total.

3. Expresar ρ en coordenadas esféricas para una carga q distribuida uniformementesobre un cascarón esférico de radio a.

Figura 1.15: Cascarón esférico cargado.

Solamente hay carga en r = a; supercie de la esfera. Proponemos la formaρ(r, θ, φ) = k q δ(r − a), donde k es un factor de proporcionalidad que debecontener información sobre la geometría, tal que∫

ρ(r)d3r = q, (1.43)

donde d3r = r2 sin θ dθ dφ dr en coordenadas esféricas. Luego,

k q

∫ 2π

0dφ

∫ π

0sin θ dθ

∫ ∞

0r2δ(r − a)dr = q (1.44)

kq × 2π × 2× a2 = q ⇒ k =1

4πa2(1.45)

⇒ ρ(r, θ, φ) =q

4πa2δ(r − a). (1.46)

4. Expresar la función delta de Dirac

δ(r− r′) = δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′) (1.47)

en coordenadas esféricas.


Tenemos, en coordenadas cartesianas,

∫Vδ(r− r′) d3r =

∫Vδ(r− r′) dx dy dz =

∫Vδ(x−x′)δ(y− y′)δ(z− z′) dx dy dz

(1.48)En coordenadas esféricas d3r = r2 sin θ dθ dφ dr, y tenemos

∫Vδ(r− r′

)d3r =

∫Vδ(r−r′)r2dr dφ sin θ dθ =

∫Vδ(r− r′

)r2dr dφ d(cos θ).

(1.49)La Ec. (1.49) posee la misma forma que la Ec. (1.48) si, en coordenadas esféricas,tenemos

δ(r− r′) =1r2δ(r − r′

)δ(φ− φ′

)δ(cos θ − cos θ′

). (1.50)

5. Expresar ρ en coordenadas cilíndricas para una densidad lineal de carga uni-forme λ distribuida sobre un cilindro de radio b.

Figura 1.16: Cilindro con densidad lineal de carga.

Proponemos la forma ρ(R,φ, z) = k λ δ(R− b), donde λ = q/L. Determinamosel factor k tal que ∫

ρ(r)d3r = q, (1.51)

1.3. POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO. 17

donde d3r = R dφ dz dR en coordenadas cilíndricas. Luego,∫ρ d3r = kλ

∫ 2π

0dφ

∫ ∞

−∞dz

∫ ∞

0δ(R− b)R dR

= k λ 2π L b = q

⇒ k =1

2πb

⇒ ρ(R,φ, z) =λ

2πbδ(R− b).

1.3 Potencial escalar eléctrico.

De la ley de Coulomb, obtuvimos el campo eléctrico en r creado por una distribuciónde carga ρ(r′),

E(r) =∫ρ(r′)

(r− r′)|r− r′|3

d3r′ (1.52)

donde la integral se extiende a todo el volumen donde exista ρ.Este campo E(r) debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell correspondientes a la

Electrostática,

∇×E = 0, (1.53)

∇ ·E = 4πρ. (1.54)

Para demostrar que E(r) satisface ∇×E = 0, calculemos primero la siguiente expre-sión,

∇(

1|r− r′|

), (1.55)

donde ∣∣r− r′∣∣ = [(x− x′

)2 +(y − y′

)2 +(z − z′

)2]1/2, (1.56)

y el operador ∇ actúa sobre las coordenadas de r, no de r′.Tenemos,

∂

∂x

(∣∣r− r′∣∣−1)

= −12

2(x− x′

) [(x− x′

)2 +(y − y′

)2 +(z − z′

)2]− 32

= − (x− x′)|r− r′|3

.


Similarmente,

∂

∂y

(∣∣r− r′∣∣−1)

= − (y − y′)|r− r′|3

∂

∂z

(∣∣r− r′∣∣−1)

= − (z − z′)|r− r′|3

,

Luego,

∇(

1|r− r′|

)= −

[(x− x′)|r− r′|3

,(y − y′)|r− r′|3

,(z − z′)|r− r′|3

]= − (r− r′)

|r− r′|3. (1.57)

En particular, si r′ = 0,

∇(

1r

)= − r

r3= − r

r2. (1.58)

Un cálculo relacionado es ∇r, donde

r =(x2 + y2 + z2

) 12 . (1.59)

Tenemos,∂r

∂x=

12

2x(x2 + y2 + z2)−1/2 =x

r. (1.60)

Similarmente,∂r

∂y=y

r;

∂r

∂z=z

r(1.61)

Luego,

∇r =(∂r

∂x,∂r

∂y,∂r

∂z

)=

1r(x, y, z) =

rr

= r . (1.62)

El campo eléctrico puede expresarse entonces como

E (r) =∫ρ(r′) (r− r′)|r− r′|3

d3r′ = −∫ρ(r′)∇

(1

|r− r′|

)d3r′. (1.63)


Recordemos que el operador diferencial ∇ actúa sobre r, no sobre la variable deintegración r′. Luego, podemos escribir

E(r) = −∇(∫

ρ(r′)|r− r′|

d3r′). (1.64)

La expresión entre paréntesis es una función que depende del punto de observaciónr. Denotamos esta función por

ϕ(r) ≡∫

ρ (r′)|r− r′|

d3r′. (1.65)

La función ϕ(r) se denomina potencial escalar eléctrico. Entonces, podemos escribir

E(r) = −∇ϕ(r) . (1.66)

Esto es, el campo electrostático se puede expresar como (menos) el gradiente de unpotencial escalar.

El campo E expresado en la Ec. (1.66) satisface la ecuación de la Electrostática

∇×E = −∇× (∇ϕ(r)) = 0 , (1.67)

lo cual es una identidad vectorial.Por otro lado,

∇ ·E(r) = −∇ · ∇(∫

ρ(r′)|r− r′|

d3r′)

= −∇2

(∫ρ(r′)|r− r′|

d3r′)

= −∫ρ(r′)∇2

(1

|r− r′|

)d3r′ . (1.68)

Luego, la otra ecuación de la Electrostática

∇ ·E(r) = 4πρ(r) , (1.69)

se puede expresar como∫ρ(r′)∇2

(1

|r− r′|

)d3r′ = −4πρ(r) , (1.70)


lo cual implica que

∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ

(r− r′

). (1.71)

Esta relación es una propiedad general de la función delta de Dirac y se puede tomarcomo una denición de esta función. Si r′ = 0, tenemos la relación

∇2

(1r

)= −4πδ (r) . (1.72)

En general, si se conoce la densidad de carga ρ(r′) en todo el espacio, el cálculo deϕ(r) a partir de la Ec. (1.65) resulta más fácil que la determinación directa del campoeléctrico E(r) usando la Ec. (1.52). En la práctica, se calcula el campo eléctrico apartir de ϕ(r), mediante la relación E = −∇ϕ(r).

Note que para calcular la integral de ϕ (r), hay que conocer ρ (r′) sobre todo elespacio; esto implica que r′ →∞ y que el punto de observación incluye r →∞.

Ejemplos.

1. El potencial escalar eléctrico producido por un conjunto de cargas puntuales qicolocadas en las posiciones ri puede expresarse mediante la densidad de carga

ρ(r′) =∑i

qi δ(r′ − ri) , (1.73)

esto es,

ϕ(r) =∑i

qi

∫δ(r′ − ri)|r− r′|

d3r′ =∑i

qi|r− ri|

. (1.74)

El potencial producido por una carga q colocada en el origen (r1 = 0) es

ϕ(r) =q

r. (1.75)

2. Potencial producido por un plano innito con densidad supercial de cargauniforme σ.

E = 2πσz = −∇ϕ(r) (z > 0)

⇒ 2πσ = −∂ϕ∂z

⇒ ϕ(z) = −2πσz + cte. (1.76)


3. Potencial producido por plano z = 0 con densidad supercial de carga σ(x, y).

Figura 1.17: Plano z = 0 con densidad de carga no uniforme.

ρ(r′)

= σ(x′, y′

)δ(z′). (1.77)

∣∣r− r′∣∣ =

[(x− x′

)2 +(y − y′

)2 +(z − z′

)2] 12. (1.78)

Luego,

ϕ (r) =∫

ρ (r′)|r− r′|

d3r′ =∫σ (x′, y′) δ (z′)

|r− r′|dx′dy′dz′ .

=∫σ(x′, y′

)dx′dy′

∫δ (z′) dz′

|r− r′|

=∫σ (x′, y′) dx′dy′

|r− r′|z′=0

=∫

σ (x′, y′) dx′dy′

[(x− x′)2 + (y − y′)2 + z2]1/2. (1.79)

4. Potencial producido por un disco de radio a, cargado con σ uniforme.

Figura 1.18: Disco con densidad de carga uniforme.


La densidad supercial de carga es

σ(x′, y′) =

σ, si R =(x′2 + y′2

)1/2 ≤ a

0, si R = (x′2 + y′2)1/2 > a.(1.80)

Podemos usar la Ec. (1.79) para calcular el potencial. La simetría del problemasugiere el empleo de coordenadas polares; dx′dy′ → RdRdφ. Entonces,

ϕ(r) = σ

∫ 2π

0

∫ a

0

RdRdφ

|r− r′|z′=0

. (1.81)

Cuando z′ = 0, la variable de integración en coordenadas polares es r′ = R;luego ∣∣r− r′

∣∣z′=0

= |r−R| =[r2 +R2 − 2 r R cos

(π2− θ)] 1

2

=[r2 +R2 − 2 r R sin θ

] 12

=[z2 sec2 θ +R2 − 2zR tan θ

]1/2,

donde hemos usadoz = r cos θ ⇒ r = z sec θ. (1.82)

Luego,

ϕ(r) = ϕ(z, θ) = 2π σ∫ a

0

RdR

[z2 sec2 θ +R2 − 2zR tan θ]1/2. (1.83)

Las coordenadas θ y z del punto de observación r son jas. El potencialEc. (1.83) producido por el disco en el espacio posee simetría azimutal (nodepende del ángulo φ). La evaluación de la integral en la Ec. (1.83) para todoslos valores de θ es difícil. Sin embargo, podemos calcular el potencial sobre eleje z, que corresponde al caso especial θ = 0.

ϕ (z) = 2πσ∫ a

0

RdR

[z2 +R2]1/2

= 2πσ[z2 +R2

] 12

∣∣∣R=a

R=0

= 2πσ[(z2 + a2

)1/2 − |z|] . (1.84)


Consideremos los casos límites:

(a) |z| a, muy cerca del disco → |z| /a 1

ϕ (z) = 2πσ

[a

(1 +

z2

a2

)1/2

− |z|

]. (1.85)

Empleamos la expansión de Taylor,

(1± x)m ≈ 1 ± mx . . . , si |x| 1. (1.86)

ϕ(z) ≈ 2πσ[a

(1 +

z2

2a2

)− |z|

]≈ 2πσ [a− |z|]

=

2πσ (a− z) , z > 02πσ (a+ z) , z < 0.

El campo eléctrico es

Ez = −∂ϕ∂z

=

2πσ , z > 0−2πσ , z < 0

, Ex = 0, Ey = 0, (1.87)

es decir; muy cerca del disco, E es perpendicular a la supercie de éste,similar al campo de un plano innito con densidad uniforme de carga σ.

(b) |z| a, muy lejos del disco → a/|z| 1

ϕ (z) = 2πσ |z|

[(1 +

a2

z2

)1/2

− 1

]

≈ 2πσ |z|[1 +

a2

2z2− 1]

= πσa2

|z|=

q

|z|, (1.88)

lo cual corresponde al potencial de una carga puntual. Es decir, paradistancias grandes comparadas con el tamaño del disco, la estructura deldisco o del objeto que produce el campo es irrelevante; sólo importa sucarga total.


Interpretación física del potencial escalar eléctrico.

Consideremos una carga q en una región donde existe un campo eléctrico E.

Figura 1.19: Carga q llevada por fuerza externa entre puntos A y B en un campo eléctrico.

La fuerza que ejerce el campo sobre la carga q es

Felect = qE. (1.89)

Consideremos el trabajo que debe realizar una fuerza externa Fext para llevar unacarga q en equilibrio desde un punto A a otro punto B en esa región,

WAB =∫ B

AFext · dl, (1.90)

donde dl = (dx, dy, dz) es el vector tangente en cada punto de la trayectoria que unelos puntos A y B. La fuerza externa debe ser

Fext = −Felect . (1.91)

Luego,

WAB = −q∫ B

AE · dl = q

∫ B

A(∇ϕ) · dl. (1.92)

Pero

∇ϕ · dl =∂ϕ

∂xdx+

∂ϕ

∂ydy +

∂ϕ

∂zdz =

∑i

∂ϕ

∂xidxi = dϕ(x, y, z). (1.93)

Luego,

WAB = q

∫ B

Adϕ = q (ϕB − ϕA) . (1.94)


El trabajo depende solamente de la diferencia de la función potencial evaluada en lospuntos A y B, no de la trayectoria entre esos puntos. Entonces,

(ϕB − ϕA) =WAB

q, (1.95)

es decir, la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos es el trabajo por unidadde carga que debe realizar un agente externo para llevar una carga entre esos puntos.

Adicionalmente, la integral de linea∫ B

AE · dl = ϕA − ϕB (1.96)

es independiente del camino entre A y B. Si el camino es cerrado, A = B; entonces∮E · dl = 0, (1.97)

por lo tanto, ∮Felect · dl = 0. (1.98)

lo cual signica que las fuerzas electrostáticas son conservativas (el trabajo realizadopor una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es cero).

Recordemos el Teorema de Stokes para un campo vectorial A denido sobre unasupercie S y en el contorno C que encierra esa supercie,∮

CA · dl =

∫S

(∇×A) · n da. (1.99)

Figura 1.20: Teorema de Stokes.


Aplicando este teorema al campo electrostático E que satisface la Ec. (1.97),tenemos ∫

S(∇×E) · n da = 0 ⇒ ∇×E = 0. (1.100)

Luego, la ecuación de la Electrostática ∇×E = 0 expresa el hecho de que las fuerzaselectrostáticas son conservativas.

La Ec. (1.65) implica que el potencial ϕ(r) debido a cualquier distribución loca-lizada de carga tiende a cero cuando r → ∞. Si el punto A es r → ∞, entoncesϕA = ϕ(r → ∞) = 0. Luego, la Ec. (1.94) implica que el trabajo para traer unacarga q desde un punto A en r = ∞ hasta un punto B correspondiente a un r nitoes

W (r) = q ϕB = q ϕ(r). (1.101)

En la práctica, el innito se reere a un reservorio con potencial jo ϕ = 0 desdeel cual se pueden extraer cargas indenidamente. Con una buena aproximación, laTierra funciona como un reservorio inagotable de cargas y se le asigna potencial cero.

Supongamos que el potencial ϕ(r) es producido por una carga puntual q′ colocadaen r′; entonces

ϕ (r) =q′

|r− r′|. (1.102)

Figura 1.21: Potencial producido en r por carga q′ ubicada en r′.

El trabajo que debe hacer un agente externo para traer una carga q desde r = ∞hasta r en presencia de una carga q′ colocada en r′ es

W (r) = q ϕ(r) =q q′

|r− r′|≡ U. (1.103)

1.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO. 27

Este trabajo está acumulado en forma de energía potencial U en el campo elec-trostático de la conguración de las dos cargas.

1.4 Expansión multipolar del potencial eléctrico.

En el espacio libre, el potencial producido por una distribución de carga ρ(r′) en unpunto r es

ϕ(r) =∫

ρ (r′)|r− r′|

d3r′. (1.104)

El cálculo analítico de esta integral, salvo en situaciones que posean sucientessimetrías, es en general difícil. Sin embargo, es posible obtener una expresión delpotencial en el espacio libre para distancias alejadas de la fuente r > r′ en forma deserie de potencias de r′/r.

Figura 1.22: Potencial producido por una distribución de carga lejos de la fuente, r > r′.

En tal sentido, podemos escribir1

|r− r′|=

1√r2 + r′2 − 2r · r′

=1

r

√1−

(2r · r′ − r′2

r2

) . (1.105)

donde r′/r < 1. Denamos

x ≡ 2r · r′ − r′2

r2< 1, (1.106)

y recordemos la siguiente expansión en serie de Taylor válida para x < 1,

(1− x)−1/2 = 1 +12x+

1 · 32 · 4

x2 +1 · 3 · 52 · 4 · 6

x3 + · · · (1.107)

Entonces podemos expresar,

1|r− r′|

=1r

[1 +

12

(2r · r′

r2− r′2

r2

)+

38

(4(r · r′)2

r4− 4(r · r′)r′2

r4+r′4

r4

)+O

(r′6

r6

)].

(1.108)


Manteniendo los términos hasta orden O(1/r3

), tenemos

1|r− r′|

=1r

+r · r′

r3− r′2

2r3+

32

(r · r)2

r5+ · · ·

≈ 1r

+r · r′

r3+

12r5

[3(r · r′)2 − r′2r2

]. (1.109)

Sustituyendo en la Ec. (1.104), tenemos el potencial para r > r′,

ϕ(r) ≈∫ρ(r′)

1r

+r · r′

r3+

12r5

[3(r · r′)2 − r′2r2

]d3r′ (1.110)

≈ 1r

∫ρ(r′) d3r′ +

rr3·∫ρ(r′) r′ d3r′ +

12r5

∫ρ(r′)

[3(r · r′)2 − r′2r2

]d3r′.

El primer término en la Ec. (1.110) equivale aq

r, donde

q =∫ρ(r′) d3r′ , (1.111)

es la carga total, que también se denomina momento monopolar de la distribución decarga.

El segundo término en la Ec. (1.110) se puede expresar como

r · pr3

, (1.112)

donde se dene el vector momento dipolar de la distribución de carga como

p =∫ρ(r′) r′ d3r′. (1.113)

Para expresar el tercer término en la Ec. (1.110), consideremos

(r · r′)2 =(x1x

′1 + x2x

′2 + x3x

′3

)2 =3∑

i,j=1

xixjx′ix′j (1.114)

r2 = x21 + x2

2 + x23 =

3∑i,j=1

xixjδij . (1.115)


Entonces,

3(r · r′)2 − r2r′2 = 33∑

i,j=1

xixjx′ix′j − r′2

3∑i,j=1

xixjδij (1.116)

=3∑

i,j=1

xixj(3x′ix

′j − r′2δij

). (1.117)

Luego, el tercer término se puede escribir

12r5

∫ρ(r′)

[3(r · r′)2 − r′2r2

]d3r′ =

12r5

3∑i,j=1

xixj

∫ρ(r′)

(3x′ix

′j − r′2δij

)d3r′.

(1.118)Denimos los momentos cuadripolares de la distribución de carga como

Qij =∫ρ(r′)

(3x′ix

′j − r′2δij

)d3r′. (1.119)

Los momentos cuadripolares son simétricos, Qij = Qji.Entonces, el tercer término se puede expresar como

12r5

3∑i,j=1

xixj Qij . (1.120)

Los momentos multipolares son una propiedad de la fuente que produce el po-tencial y de su geometrìa; es decir, dependen de la forma como está distribuida lacarga en el espacio con respecto a un sistema de coordenadas particular. El momentomonopolar es un escalar, el momento dipolar es un vector y el momento cuadripolares un tensor.

Reuniendo los resultados, podemos expresar la expansión del potencial para r > r′

en términos de los momentos multipolares de la distribución de carga en la siguienteforma,

ϕ(r) ≈ q

r+

r · pr3

+1

2r5

3∑i,j=1

xixj Qij . (1.121)

Note que el potencial del monopolo va como 1r , el del dipolo va como 1

r2, el del

cuadripolo cae como 1r3.


El momento dipolar está asociado a una distribución de carga a lo largo de unadirección espacial. El dipolo más simple está constituido por dos cargas q y −qseparadas por una distancia a. Podemos escoger el eje z en la dirección de la líneaque une las dos cargas y el origen de coordenadas en el punto medio de esa línea.

Figura 1.23: Dipolo elemental.

La densidad de carga del dipolo está dada por

ρ(r′) = q δ(r′ − a/2)− q δ(r′ + a/2). (1.122)

El potencial en r es

ϕ(r) =∫

ρ (r′)|r− r′|

d3r′ (1.123)

=q

|r− a/2|− q

|r + a/2|

=q√

r2 − r · a + a2/4− q√

r2 + r · a + a2/4

=q

r

[(1− r · a

r2+

a2

4r2

)−1/2

−(

1 +r · ar2

+a2

4r2

)−1/2]. (1.124)

Consideremos el punto de observación muy alejado de la fuente; es decir, a/r 1.Empleamos las siguientes expansiones en serie, válidas para x < 1,

(1± x)−1/2 = 1∓ 12x+

38x2 ∓ · · · (1.125)


Haciendo x =r · ar2

< 1, podemos expresar

ϕ(r) =q

r

[(1 +

r · a2r2

)−(1− r · a

2r2)]

+O(a2

r2

)(1.126)

≈ qa · rr3

. (1.127)

El momento dipolar de la distribución de carga es

p =∫ρ(r′) r′ d3r′ = q a = qaz. (1.128)

Note que la dirección del vector p va de la carga negativa a la carga positiva. Luego,el potencial para r > a se puede escribir como

ϕ(r) ≈ p · rr3

=p · rr2

. (1.129)

Esta expresión es exacta en el límite a→ 0, manteniendo p constante y correspondeal potencial de un dipolo elemental. Si tomamos p = pz, el potencial del dipolo encoordenadas esféricas (r, θ, φ) se puede expresar como

ϕ(r) = ϕ(r, θ) =p cos θr2

, (1.130)

el cual es independiente del ángulo φ; es decir el potencial de un dipolo posee simetríaazimutal. El campo eléctrico producido por un dipolo puede calcularse en coorde-nadas esféricas, a partir de

E = −∇ϕ(r) = −(∂ϕ

∂rr +

1r

∂ϕ

∂θθ +

1r sin θ

∂ϕ

∂φφ

). (1.131)

Luego,

Er = −∂ϕ∂r

=2p cos θr3

(1.132)

Eθ = −1r

∂ϕ

∂θ=p sin θr3

(1.133)

Eφ = 0. (1.134)


Figura 1.24: Campo eléctrico de un dipolo.

En coordenadas cartesianas, el campo eléctrico puede calcularse a partir de

E = −∇(p · rr3

). (1.135)

La componente Ei es

Ei = − ∂

∂xi

(∑j pjxj

r3

)= − ∂

∂xi

[ ∑j pjxj

(x21 + x2

2 + x23)3/2

]= −

[∑j pjδij

r3− 3

22xi

∑j pjxj

r5

]=

3xi(p · r)r5

− pir3. (1.136)

Luego, empleando la notación r = r/r, el campo eléctrico del dipolo se puede escribircomo

E(r) =3r(p · r)

r5− pr3

=3(p · r)r− p

r3. (1.137)

Un ejemplo común de dipolos eléctricos son muchas moléculas. Las moléculas notienen carga eléctrica neta; sin embargo; muchas de ellas poseen momentos dipolaresdebido a la distribución preferencial de los electrones en la dirección de los enlacesinteratómicos presentes.


Los momentos cuadripolares Qij se pueden interpretar como componentes de untensor o matriz 3× 3,

Q =

Q11 Q12 Q13

Q21 Q22 Q23

Q31 Q32 Q33

. (1.138)

Debido a la simetría Qij = Qji, solamente 6 componentes de la matriz Q son inde-pendientes. Por otro lado,∑

i

Qii =∫ρ(r′)

∑i

(3x′2i − r′2

)d3r′ (1.139)

=∫ρ(r′)

(3∑i

x′2i −∑i

r′2

)d3r′ (1.140)

=∫ρ(r′)

(3r′2 − 3r′2

)d3r′ = 0 . (1.141)

Es decir, solamente 2 de las componentes diagonales Qii son independientes. Luego,el tensor de momento cuadripolar Q posee 5 componentes independientes.

La distribución de carga más simple que da lugar a momentos cuadripolares con-siste en un arreglo de cuatro cargas puntuales muy cercanas, con signos alternativos,formando un cuadrado. Note que, para esta conguración, q = 0 y p = 0.

Figura 1.25: Campo eléctrico del cuadripolo más simple.


Ejemplo.

1. Calcular los momentos multipolares de una distribución de carga esféricamentesimétrica.

La densidad de carga depende sólo de la coordenada radial; ρ(r′) = ρ(r′). Elmomento monopolar, o la carga total, es

q =∫ρ(r′) d3r′ =

∫ρ(r′) r′2 dr′

∫ 2π

0dφ

∫π

sin θ′ dθ′ = 4π∫ρ(r′)r′2dr′ 6= 0,

donde hemos empleado el elemento de volumen d3r′ = r′2 sin θ′dr′dθ′dφ′.

El momento dipolar es

p =∫ρ(r′) r′ d3r′ .

Las componentes de r′ en coordenadas cartesianas son

x′ = r′ sin θ′ cosφ′

y′ = r′ sin θ′ sinφ′

z′ = r′ cos θ′.

Entonces,

px =∫ρ(r′)x′ d3r′ =

∫ρ(r′)r′3 dr′

*0∫ 2π

0cosφ′ dφ′

∫ π

0sin2 θ′ dθ′ = 0

py =∫ρ(r′)y′ d3r′ =

∫ρ(r′)r′3 dr′

*0∫ 2π

0sinφ′ dφ′

∫ π

0sin2 θ′ dθ′ = 0

pz =∫ρ(r′)z′ d3r′ =

∫ρ(r′)r′3 dr′

∫ 2π

0dφ′

:0∫ π

0cos θ′ sin θ′ dθ′ = 0.

Luego, p = 0.

La componente Q12 del momento cuadripolar es

Q12 = 3∫ρ(r′)x′y′d3r′ = 3

∫ρ(r′)r′4dr′

:0∫ 2π

0sinφ′ cosφ′dφ′

∫ π

0sin3 θ′dθ′

= 0.

Similarmente, las otras componentes Qij = 0.

1.5. INTERACCIÓN DE UNADISTRIBUCIÓN DE CARGA CONUN CAMPO EXTERNO.35

1.5 Interacción de una distribución de carga con un campo

externo.

Supongamos una región del espacio donde existe un campo eléctrico externo Eext

y un potencial externo dado por Eext(r) = −∇ϕext(r). Recordemos que el trabajopara traer una carga q desde r = ∞ hasta una posición r, donde existe un potencialexterno ϕext, es

W (r) = q ϕext(r) = U, (1.142)

donde U es la energía potencial de la interacción de la carga con el campo externo.Para un conjunto de N cargas qi en posiciones ri en presencia de un potencial

externo ϕext, no producido por las cargas, la energía potencial de interacción es

U =N∑i

qi ϕext(ri). (1.143)

Para una distribución continua de carga ρ(r) en presencia de un potencial externoϕext(r), la energía potencial de la interacción corresponde a

U =∫ρ(r)ϕext(r) d3r. (1.144)

Esta es la energía potencial de una distribución de cargas ya formada, interactuandocon un campo externo. No es el trabajo para ensamblar la distribución de las cargasen contra de sus propios campos.

Figura 1.26: Distribución de carga en un campo eléctrico externo.


Supongamos que la distribución de carga ρ(r) en el espacio incluye el origenr = 0 y que el potencial externo varía sobre la extensión de la distribución. Entonces,podemos hacer una expansión de Taylor del potencial alrededor de r = 0,

ϕext(r) = ϕ(0) +3∑i

∂ϕ

∂xi

∣∣∣∣0

xi +12

∑i,j

∂2ϕ

∂xi∂xj

∣∣∣∣0

xixj + · · ·

= ϕ(0) + (∇ϕ)0 · r +12

∑i,j

∂

∂xi

(∂ϕ

∂xj

)∣∣∣∣0

xixj + · · · (1.145)

donde hemos suprimido la notación ext, por simplicidad.Utilizando la relación Eext = −∇ϕext(r), podemos escribir

ϕext(r) = ϕ(0)− r ·E(0)− 12

∑i,j

(∂Ej∂xi

)0

xixj + · · · (1.146)

Sustitución en la Ec. (1.144) permite obtener la expansión de la energía potencial

U = ϕ(0)∫ρ(r) d3r −E(0) ·

∫ρ(r) r d3r − 1

2

∑i,j

∫ρ(r)xixj

(∂Ej∂xi

)0

d3r + · · ·

(1.147)lo cual se puede escribir como

U = q ϕ(0)− p ·E(0)− 12

∑i,j

∫ρ(r)xixj

(∂Ej∂xi

)0

d3r + · · · (1.148)

donde hemos usado las deniciones de los momentos monopolar q y dipolar p.El tercer término se puede poner en forma cuadripolar usando el hecho de que el

campo electrostático externo, lejos de sus fuentes y en la región donde se localiza ladistribución ρ(r), satisface ∇ ·Eext = 0. Luego,

∇ ·E =∑i

∂Ei∂xi

=∑i

∑j

∂Ej∂xi

δij

=∑i,j

∂Ej∂xi

δij = 0 . (1.149)

En particular, en r = 0, el campo externo satisface

∇ ·E(0) =∑i,j

(∂Ej∂xi

)0

δij = 0 . (1.150)

1.5. INTERACCIÓN DE UNADISTRIBUCIÓN DE CARGA CONUN CAMPO EXTERNO.37

Restando la cantidad nula 16 ∇ · E(0) r2 en el integrando, el tercer término puede

escribirse como

− 12

∑i,j

∫ρ(r)xixj

(∂Ej∂xi

)0

d3r = −12

∑i,j

∫ρ(r)

[xixj

(∂Ej∂xi

)0

− 13

(∂Ej∂xi

)0

r2δij

]d3r

= −16

∑i,j

∫ρ(r)

[3xixj − r2δij

](∂Ej∂xi

)0

d3r

= −16

∑i,j

(∂Ej∂xi

)0

Qij (1.151)

donde hemos usado la denición de los momentos cuadripolares

Qij =∫ρ(r′)

(3x′ix

′j − r′2δij

)d3r′. (1.152)

Finalmente, podemos expresar la energía de una distribución de carga en presenciade un campo eléctrico externo como la siguiente expansión multipolar,

U = q ϕ(0)− p ·E(0)− 16

∑i,j

Qij

(∂Ej∂xi

)0

+ · · · (1.153)

El primer término corresponde a la interacción del monopolo con el potencial externo;el segundo término expresa la interacción del dipolo de la distribución de carga conel campo eléctrico externo; y el tercer término describe la interacción del momentocuadripolar de la distribución con el gradiente del campo.

La interacción de un dipolo con un campo externo corresponde en general a

U = −p ·E , (1.154)

donde E es el campo externo evaluado en la posición del dipolo.En particular, si tenemos un dipolo p1 en presencia del campo E2 producido por

un dipolo p2, entonces la energía de interacción será

U = −p1 ·E2. (1.155)

Si r es la posición del dipolo p1 con respecto al dipolo p2, el campo E2 producidopor p2 en la posición de p1 está dado por la Ec. (1.137),

E2 =3(p2 · r)r− p2

r3. (1.156)


Figura 1.27: Campo eléctrico de un dipolo p2 en la posición de un dipolo p1.

Luego, la energía de interacción de los dos dipolos es

Udip = −p1 ·(

3(p2 · r)r− p2

r3

)=

p1 · p2 − 3(p1 · r)(p2 · r)r3

. (1.157)

En general, si p1 está en la posición r1 y p2 está en r2, la energía potencial deinteracción de los dos dipolos es

Udip =p1 · p2 − 3(p1 · r)(p2 · r)

|r2 − r1|3, (1.158)

donde r ≡ r2 − r1

|r2 − r1|.

Figura 1.28: Interacción entre dos dipolos p1 y p2.

La fuerza de interacción entre dos dipolos p1 y p2 está dada por Fdip = −∇Udip.Note que la fuerza entre dos dipolos eléctricos depende de la distancia como 1/r4,mientras que la fuerza entre dos cargas puntuales varía como 1/r2 (Ley de Coulomb).

1.6. ECUACIONES DE POISSON Y DE LAPLACE. 39

1.6 Ecuaciones de Poisson y de Laplace.

La ecuación de la Electrostática∇×E = 0

implica que el campo eléctrico se puede expresar como el gradiente de un potencialescalar

E = −∇ϕ (r) , (1.159)

el cual debe satisfacer también la otra ecuación de la Electrostática,

∇ ·E = 4πρ . (1.160)

Por lo tanto,

∇ · (∇ϕ) = −4πρ∇2ϕ = −4πρ. (1.161)

Esta es la ecuación de Poisson.En sitios donde no hay cargas (ρ = 0), el potencial escalar satisface

∇2ϕ = 0. (1.162)

Esta ecuación se conoce como la ecuación de Laplace.En coordenadas cartesianas,

∇2ϕ =3∑i=1

∂2ϕ

∂x2i

=(∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2+∂2ϕ

∂z2

). (1.163)

Las ecuaciones de Poisson y de Laplace son ecuaciones diferenciales parciales enderivadas espaciales de segundo orden. En general, la solución ϕ de la ecuaciónde Poisson o de Laplace en regiones del espacio limitadas por supercies o fron-teras S requiere conocer ciertas condiciones sobre esas fronteras; especicamente, elconocimiento del valor del potencial y de su derivada en la dirección normal sobre S:

ϕ|S ,∂ϕ

∂n

∣∣∣∣S

. (1.164)


En principio, el cálculo directo del potencial a través de la integral de la densidadde carga es posible si se conoce ésta en todo el espacio. Sin embargo, hemos vistoque este método es limitado. La alternativa para calcular el potencial en regionesdonde se conocen las condiciones de frontera Ec. (1.164) es resolver la ecuación dePoisson o de Laplace en esa region. En el Capítulo 2 estudiaremos varios métodos desolución de estas ecuaciones con condiciones de frontera. La solución de la ecuaciónde Poisson en una región del espacio que contiene una densidad de carga ρ puedeobtenerse utilizando la función de Green o método de imágenes. La solución dela ecuación de Laplace puede encontrarse en muchos casos mediante separación devariables y expansión en series de funciones ortogonales.

Algunas consecuencias de las ecuaciones de Poisson y Laplace son:

1. En un punto donde ρ(r) = 0, no existe máximo o mínimo local de ϕ(r). Si existeun extremo (máximo o mínimo), cada término ∂2ϕ

∂x2itendría el mismo signo (+

ó −), de modo que∑

i∂2ϕ∂x2

i6= 0.

2. En una región donde ρ = 0, ϕ no puede ser simultáneamente periódico entodas las tres dimensiones (puede ser periódico en una o dos dimensiones). Siϕ es periódico en la dirección xi, entonces tiene la forma ϕ ∝ sin(kixi) ó ϕ ∝cos(kixi), donde ki es una constante, y por lo tanto, satisface ∂2ϕ

∂x2i

= −k2i φ. Si ϕ

es periódico es las tres dimensiones, tendríamos ∇2ϕ = −(k2

1 + k22 + k2

3

)ϕ 6= 0,

incompatible con la ecuación de Laplace.

1.7 Energía electrostática.

Consideremos el trabajo total Wtotal para ensamblar una conguración de N cargasqi en las posiciones ri, trayendo sucesivamente cada carga desde el innito hasta sucorrespondiente posición en presencia de las cargas precedentes. Esto es,

Wtotal = Wq1 +Wq2 +Wq3 + . . .+WqN (1.165)

donde Wqi signica el trabajo para traer la carga qi a la posición ri, en presencia delas anteriores cargas q1, q2, . . . , qi−1.

1.7. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA. 41

Figura 1.29: Conguración de N cargas qi en posiciones ri.

Tenemos,

Wq1 = 0 (no hay otras cargas presentes, ni campos externos.)

Wq2 = q2ϕ (r2) =q2q1

|r2 − r1|Wq3 = q3ϕ (r3) =

q3q1|r3 − r1|

+q3q2

|r3 − r2|Wq4 = q4ϕ (r4) =

q4q1|r4 − r1|

+q4q2

|r4 − r2|+

q4q3|r4 − r3|

(1.166)

Sumando todos los términos,

Wtotal =12

∑i , ji6=j

qiqj|ri − rj |

, (1.167)

donde el factor 12 se introduce para no repetir la suma de términos simétricos i↔ j.

El trabajo Wtotal es equivalente a la energía potencial total almacenada en estaconguración,

U = Wtotal. (1.168)

Para una distribución continua de carga, sustituimos los elementos de carga in-nitesimales qi → dq = ρd3r y qj → dq′ = ρd3r′ en el límite continuo de la suma:


Wtotal = U =12

∫d3r

∫ρ (r) ρ (r′)|r− r′|

d3r′

=12

∫d3r ρ (r)

∫ρ (r′)|r− r′|

d3r′

=12

∫ρ (r)ϕ (r) d3r , (1.169)

donde la integral de volumen se extiende a todo el espacio (r →∞). La Ec. (1.169) esel trabajo para ensamblar la distribución de cargas en contra de sus propio campos;mientras que la Ec. (1.144) expresa el trabajo para colocar una distribución de cargasya formada en un campo externo.

Figura 1.30: Energía electrostática de una distribución de carga.

Utilizamos la ecuación de Poisson ∇2ϕ = −4πρ, de donde ρ (r) = −∇2ϕ/4π.Sustituyendo en Ec. (1.169), tenemos

U = − 18π

∫ϕ∇2ϕd3r. (1.170)

Empleamos la identidad vectorial

∇ · (ϕa) = a · ∇ϕ+ ϕ∇ · a, (1.171)

y haciendo a = ∇ϕ, obtenemos

ϕ∇2ϕ = ∇ · (ϕ∇ϕ)− |∇ϕ|2 . (1.172)

1.7. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA. 43

Sustituyendo en la Ec. (1.170)

U =18π

∫|∇ϕ|2 d3r − 1

8π

∫∇ · (ϕ∇ϕ) d3r. (1.173)

Evaluamos la segunda integral mediante el teorema de la divergencia:∫V∇ · (ϕ∇ϕ) d3r =

∮Sϕ∇ϕ · n da. (1.174)

Tomemos S como una esfera de radio R → ∞, dentro de la cual se encuentra ladensidad de carga ρ que produce el potencial ϕ en todo el espacio. La normal napunta en la dirección radial.

Figura 1.31: Integral de volumen se extiende a todo el espacio cuando la supercie tiende a innito.

Entonces,

ϕsobre S ≈Q

R(Q = carga total encerrado en S) (1.175)

∇ϕ · n|S =∂ϕ

∂n

∣∣∣∣S

=∂ϕ

∂R≈ Q

R2(1.176)

da = R2 sin θ dθ dφ = R2 dΩ (1.177)

Luego, ∮Sϕ∇ϕ · n da =

∮Sϕ∂ϕ

∂nda ∼

∮S

R2

R3dΩ =

∮S

1RdΩ (1.178)

En el límite R→∞ obtenemos∫V∇ · (ϕ∇ϕ) d3r =

∮Sϕ∇ϕ · n da = 0. (1.179)


Luego, tenemos la energía potencial

U =18π

∫|∇ϕ|2 d3r . (1.180)

Usando E = −∇ϕ, también se puede expresar

U =18π

∫|E|2 d3r , (1.181)

lo que describe la energía potencial almacenada en todo el espacio donde existe uncampo eléctrico E. Puesto que ésta es una integral sobre un volumen, se dene laexpresión

u =|E|2

8π, (1.182)

como la densidad de energía [energía/volumen] de un campo electrostático E.

Ejemplos.

1. Calcular la fuerza por unidad de área entre dos planos innitos paralelos, condensidades superciales de carga σ y −σ, respectivamente.

Sea x la dirección perpendicular entre los planos. El campo eléctrico en elespacio entre los planos es E = 4πσx.

La densidad de energía electrostática entre los planos es

u =18π|E|2 = 2πσ2. (1.183)

Consideremos un desplazamiento dx de uno de los planos en la dirección x, talque el volumen entre los planos aumenta en una cantidad Adx. Consequente-mente, la energía electrostática del sistema aumenta en

dU = uAdx = 2πσ2Adx. (1.184)

La fuerza sobre un plano es F = −dUdx

x, y la fuerza por unidad de área es

FA

= − 1A

dU

dxx = −2πσ2x (1.185)

es decir, la fuerza entre los planos es atractiva.

1.8. POTENCIAL Y CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. 45

1.8 Potencial y campo eléctrico en conductores.

La solución de la ecuación de Poisson o de Laplace en una región del espacio limitadapor objetos o fronteras, denotadas por S, requiere conocer las siguientes condicionespara el potencial ϕ sobre las fronteras:

ϕ|S ,∂ϕ

∂n

∣∣∣∣S

. (1.186)

Estas condiciones son particularmente simples en fronteras constituidas por ma-teriales conductores, los cuales además tienen muchas aplicaciones prácticas.

Un conductor es un material donde las cargas son capaces de moverse librementeen su interior y sobre su supercie. En Electrostática, las distribuciones de cargas ylos campos en un conductor deben alcanzar un estado de equilibrio (independientedel tiempo).

Los conductores poseen las siguientes propiedades:

i. Toda carga neta en un conductor debe estar en su supercie.Consideremos una densidad de carga neta ρ colocada inicialmente dentro de unconductor. La carga ρ neta corresponde a partículas con carga de un mismosigno; es decir que se repelen (si hay cargas con signos opuestos, se atraen hastaanularse; el exceso corresponde a ρ). Puesto que tienen la posibilidad de moverselibremente dentro del conductor, las cargas alcanzarán su máxima separación.Esto implica que las cargas deben alcanzar la supercie del conductor. Luego,si un conductor posee una carga neta, ésta debe estar justo en su supercie,distribuida como una densidad supercial de carga σ.

Figura 1.32: La carga neta se encuentra en la supercie de un conductor.

ii. El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.Apliquemos la Ley de Gauss dentro del conductor. Tomemos una supercie


gaussiana S justo debajo y arbitrariamente cerca de la supercie del conductor.Puesto que no hay carga encerrada dentro de S, tenemos∮

SE · n da = 0 ⇒ E = 0 dentro de S. (1.187)

Puesto que S está arbitrariamente cerca de la supercie del conductor, estoimplica que E = 0 en todo punto dentro del conductor. Luego, E = −∇ϕimplica, a su vez, que ϕ es constante dentro de un conductor.

Figura 1.33: El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.

iii. Un conductor es una supercie equipotencial.Consideremos un conductor en campo eléctrico externo E. El campo externomueve las cargas libres dentro del conductor e induce una densidad de carga σno uniforme en la supercie del conductor.

Figura 1.34: Campo eléctrico en la supercie de un conductor.

El campo dentro del conductor es E1 = 0, mientras que el campo en un puntosobre la supercie se puede escribir como

E2 = Enn + Ett, (1.188)

1.8. POTENCIAL Y CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. 47

donde n y t son el vector normal y el vector tangente a la supercie, respecti-vamente.

Figura 1.35: Campo eléctrico e integral de línea a través de la supercie de un conductor.

La integral de línea del campo eléctrico a lo largo de un rectángulo C de ladosb y l que atraviesa la supercie del conductor satisface∮

CE · dl = 0. (1.189)

En el límite b→ 0,

limb→0

∮cE · dl =

∫2E2 · dl = 0 (1.190)

y haciendo l→ 0, tenemos que dl → t dl; luego

liml→0

∫2E2 · dl =

∫2E2 · t dl = 0 (1.191)

⇒ E2 · t = 0 ⇒ Et = 0, (1.192)

es decir, la componente del campo ele¢trico tangente a la supercie de un con-ductor es cero. El potencial sobre la supercie S del conductor satisface

E2 · t = −∇ϕ|S · t =∂ϕ

∂l

∣∣∣∣S

= 0

⇒ ϕ = constante sobre S. (1.193)

Luego, tanto el interior como la supercie de un conductor poseen un potencialϕ constante.


iv. El campo eléctrico en la supercie S de un conductor siempre es normal a S ysu magnitud es En = 4πσ.

Vimos que los campos interno E1 y externo E2 en un punto sobre una superciecon densidad de carga σ están relacionados localmente por

(E2 −E1) · n = 4πσ. (1.194)

Pero E1 = 0 (dentro del conductor). Luego,

E2 · n = En = 4πσ. (1.195)

Puesto que

E2 · n = −∇ϕ|S · n

⇒ En = − ∂ϕ

∂n

∣∣∣∣S

= 4πσ. (1.196)

En general, resolver la ecuación de Poisson o de Laplace en regiones limitadaspor conductores requiere encontrar un ϕ que satisface las condiciones de fronteraEc. (1.193) y Ec. (1.196) sobre los conductores.

1.9 Capacitancia.

Supongamos un sistema deN conductores con cargas qi y potenciales ϕi, i = 1, . . . , N ,colocados en el espacio libre.

Figura 1.36: Sistema de conductores con cargas qi y potenciales ϕi.

1.9. CAPACITANCIA. 49

La energía electrostática total del sistema es

U =18π

∫V|E|2 d3r , (1.197)

donde el volumen V se extiende a todo el espacio, excluyendo el volumen ocupadopor los conductores donde el campo eléctrico es cero. Usando la relación E = −∇ϕ,podemos escribir

U = − 18π

∫V

E · ∇ϕd3r

= − 18π

∫V

[∇ · (Eϕ)− ϕ(∇ ·E)] d3r

= − 18π

∮S(Eϕ) · n da, (1.198)

donde hemos usado el teorema de la divergencia para el primer término en la Ec. (1.198)y la Ley de Gauss, ∇ ·E = 0 (puesto no hay cargas en el volumen V ), en el segundotérmino de dicha ecuación. La supercie S que delimita al volumen V incluye el in-nito (S →∞) y las supercies Si de los conductores, mientras que el vector normaln apunta hacia fuera de toda la S; en particular, hacia dentro de la supercie de cadaconductor. Luego,

U = − 18π

∫S→∞

(Eϕ) · n da− 18π

∑i

∮Si

(Eϕi) · (−ni) dai , (1.199)

donde ni es la normal sobre cada Si (−ni apunta hacia dentro del conductor). Laintegral en el primer término tiende a cero en el límite S →∞; entonces,

U =18π

∑i

ϕi

∮Si

E · ni dai (ϕi es constante sobre cada Si),

=18π

∑i

ϕi(4πqi) (usando la Ley de Gauss sobre cada Si),

=12

∑i

qiϕi . (1.200)

Las cargas qi y los potenciales ϕi en la Ec. (1.200) no son independientes. El potencialdel conductor i se debe a la carga qi y a las contribuciones de todas las cargas en los


demás conductores. Supongamos que tenemos una carga qk 6= 0 y qi = 0, ∀i 6= k;entonces el potencial en cada conductor debe ser simplemente proporcional a qk, esdecir, ϕi = pikqk. Puesto que las ecuaciones de la Electrostática son lineales, podemosescribir los potenciales para un conjunto de cargas mediante la superposición lineal

ϕi =N∑j=1

aij qj , (1.201)

donde los aij son coecientes de proporcionalidad. Las Ecs. (1.201) constituyen unconjunto de N ecuaciones lineales que se pueden invertir para obtener

qi =N∑j=1

Cij ϕj . (1.202)

La matriz Cij se denomina tensor de capacitancia. Sus elementos poseen dimensionesde longitud y dependen de factores geométricos, tales como la forma de los conduc-tores y la posición relativa entre éstos. Si tenemos solamente un conductor con cargaq, el único elemento C se denomina la capacidad del conductor,

q = Cϕ . (1.203)

La capacidad C expresa la cantidad de carga que el conductor puede contener cuandoestá sujeto a un potencial dado. La capacidad está relacionada con el tamaño delconductor. Por ejemplo, para una esfera de radio R que tiene una carga q, el potencialsobre su supercie es ϕ = q/R. Comparando con la denición Ec. (1.203), obtenemosC = R para una esfera conductora.

La capacitancia de un sistema formado por dos conductores que poseen cargasiguales y opuestas se dene como el cociente entre la carga de un conductor y ladiferencia de potencial entre ellos. Se pueden diseñar diversas conguraciones deconductores para almacenar carga eléctrica sujetos a potenciales; tales dispositivosse llaman capacitores o condensadores.

Usando el tensor de capacitancia, la energía potencial electrostática del sistemade conductores, Ec. (1.200), se puede expresar como

U =12

∑i,j

Cij ϕi ϕj . (1.204)

1.9. CAPACITANCIA. 51

La energía almacenada en un capacitor con capacitancia C sujeto a un potencial ϕes

U =12Cϕ2. (1.205)

Resumen.

1. Función delta de Dirac:∫I

f(x)δ(x− a)dx = f(a).

∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ (r− r′) .

2. Ecuaciones de la Electrostática:

∇ ·E = 4πρ.∇×E = 0.

3. Forma integral de la ley de Gauss:∮S

E · n da = 4πqenc.

4. Discontinuidad del campo eléctrico sobre una supercie cargada:

[E2(r′)−E1(r′)] · n = 4πσ(r′).

5. Potencial escalar:

E = −∇ϕ.

ϕ(r) =∫

ρ (r′)|r− r′|

d3r′.

6. Diferencia de potencial entre dos puntos A y B:

(ϕB − ϕA) =WAB

q.

7. Ecuaciones de Poisson y de Laplace,

∇2ϕ = −4πρ (Ec. Poisson).

∇2ϕ = 0 (Ec. Laplace).


8. Energía electrostática de una conguración de cargas puntuales:

Wtotal =12

∑i , ji 6=j

qiqj|ri − rj |

.

9. Energía de un campo electrostático:

U =18π

∫|E|2 d3r.

10. Expansión del potencial de una distribución de carga para r > r′,

ϕ(r) ≈ q

r+

r · pr3

+1

2r5

3∑i,j=1

xixj Qij . (1.206)

11. Momento dipolar de una distribución de carga,

p =∫ρ(r′) r′ d3r′.

12. Potencial de un dipolo,

ϕ(r) =p · rr2

.

13. Campo eléctrico de un dipolo,

E(r) =3(p · r)r− p

r3.

14. Energía de un dipolo en un campo eléctrico externo,

U = −p ·E .

15. Energía potencial de interacción de dos dipolos,

Udip =p1 · p2 − 3(p1 · r)(p2 · r)

|r2 − r1|3.

16. Propiedades de conductores:

E = 0, dentro del conductor.

ϕ = cte, dentro y sobre la supercie del conductor.

En = − ∂ϕ

∂n

∣∣∣∣S

= 4πσ, en la supercie del conductor.

17. Capacidad de un conductor:q = Cϕ.

1.10. PROBLEMAS. 53

1.10 Problemas.

1. Usando funciones delta de Dirac en las coordenadas indicadas, exprese las si-guientes densidades de carga:a) Una carga q uniformemente distribuida sobre un cascarón esférico de radioa, en coordenadas esféricas.b) Una carga uniforme por unidad de longitud λ distribuida sobre una super-cie cilíndrica de radio b, en coordenadas cilíndricas.c) Una carga q distribuida uniformemente sobre un disco de radio R y espesordespreciable, en coordenadas cilíndricas.d) Igual que c), pero en coordenadas esféricas.

2. Dos planos conductores paralelos e innitos se encuentran en x = 0 y x = b, ytienen potenciales V1 y V2, respectivamente. Hay un plasma con densidad decarga constante ρo en el espacio entre los planos.a) Encuentre el potencial en todo punto entre los planos.b) Encuentre la densidad de carga supercial sobre el plano en x = 0.c) Calcule el campo eléctrico entre los planos.

3. Una carga Q se distribuye en una esfera no conductora de radio a. Encuentrela energía electrostática de la conguración en los siguientes casos:a) La carga se distribuye uniformemente en el volumen de la esfera.b) La carga se distribuye uniformemente en la supercie de la esfera.c) Explique por qué los resultados a) y b) son diferentes.

4. El potencial promedio de un átomo de hidrógeno se puede expresar como

ϕ = qe−2r/ao

r

(1 +

r

ao

),

donde q es la magnitud de la carga del electrón y ao es el radio de Bohr.a) Encuentre la distribución de carga que produce este potencial.b) Calcule la carga orbital total del átomo de hidrógeno.c) Interprete físicamente los resultados.

5. Tres esferas conductoras concéntricas de radios R1, R2, y R3 (R1 < R2 < R3)poseen potenciales V1, V2, y V3, respectivamente. Determine la carga de cadaesfera.


6. Una carga q se distribuye uniformemente sobre un anillo de radio a. Calcule lafrecuencia para pequeñas oscilaciones de una partícula de masa m y carga −qque se mueve sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por sucentro.

7. Considere tres esferas de igual radio a y con la misma carga total q. Una esferaes conductora; otra tiene una densidad uniforme de carga; y la tercera poseeuna densidad de carga que varía radialmente como rn, con n > −3.a) Calcule el campo eléctrico dentro y fuera de cada esfera.b) Dibuje esquemáticamente el campo ele¢trico en función de r en los dosprimeros casos; y para n = 2 y n = −2 en el caso de la tercera esfera.

8. Un cable coaxial innito está formado por un conductor cilíndrico interior deradio a sujeto a un potencial Vo y otro conductor cilíndrico exterior de radiob, conectado a tierra. Encuentre la densidad de carga lineal λ en el conductorinterior.

9. Una esfera de radio R posee una densidad de carga uniforme ρ y tiene unacavidad esférica no concéntrica de radio a (a < R). El centro de la cavidadse encuentra a una distancia b del centro de la esfera. Calcule la energía elec-trostática en la cavidad.

10. Dos cilindros conductores muy largos y paralelos, ambos de radio a, están sepa-rados por una distancia d a. Calcule la capacitancia por unidad de longitudde este sistema.

11. La densidad de carga correspondiente a los estados m = ±1 del nivel 2p delátomo de hidrógeno es

ρ(r) =1

64πr2e−r sin2 θ .

a) Calcule la expansión multipolar del potencial eléctrico debido a esta densidadde carga, incluyendo términos cuadrupolares.b) Demuestre que el potencial cerca del origen, correcto hasta orden r2, esaproximadamente

ϕ(r) ' 14− r2

120P2(cos θ) .

1.10. PROBLEMAS. 55

12. Calcule la capacitancia de un sistema formado por dos esferas conductorasconcéntricas, de radios R1 y R2.


Capítulo 2

Problemas de frontera en

Electrostática

2.1 Teorema de Green.

Muchos problemas en Electrostática involucran la determinación del potencial (o elcampo) eléctrico en regiones nitas del espacio que pueden contener distribuciones decarga y que se encuentran limitadas por supercies sujetas a determinadas condicionesde frontera. Para encontrar la solución a este tipo de problemas, resulta útil elTeorema de Green, el cual derivamos a continuación.

Consideremos el teorema de la divergencia para un campo vectorial A en unvolumen V , limitado por una supercie cerrada S,∫

V∇ ·A d3r =

∮SA · n da . (2.1)

Supongamos A = θ∇ψ; donde θ y ψ son funciones escalares arbitrarias de r. Usamosla identidad vectorial

∇ · (θa) = a · ∇θ + θ∇ · a. (2.2)

Haciendo a = ∇ψ, obtenemos

∇ ·A = ∇ · (θ∇ψ) = ∇ψ · ∇θ + θ∇2ψ. (2.3)

Por otro lado

A · n = θ∇ψ · n = θ∂ψ

∂n, (2.4)

57

58 CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA

donde ∇ψ · n = ∂ψ∂n es la derivada de ψ en la dirección normal n a la supercie S,

que apunta hacia fuera de S.

Figura 2.1: Volumen V encerrado por supercie S; vector normal a la supercie n.

Sustituyendo en la Ec. (2.1),∫V

(θ∇2ψ +∇ψ · ∇θ

)d3r =

∮Sθ∂ψ

∂nda. (2.5)

La Ec. (2.5) se denomina la primera identidad de Green.Intercambiando θ y ψ en la Ec. (2.5), tenemos∫

V

(ψ∇2θ +∇θ · ∇ψ

)d3r =

∮Sψ∂θ

∂nda. (2.6)

Restando la Ec. (2.6) de la Ec. (2.5), obtenemos∫V

(θ∇2ψ − ψ∇2θ

)d3r =

∮S

(θ∂ψ

∂n− ψ

∂θ

∂n

)da . (2.7)

La Ec. (2.7) se conoce como el Teorema de Green, y se puede considerar como unageneralización del teorema de la divergencia.

Puesto que ψ y θ son funciones escalares arbitrarias, en particular podemos usar

ψ =1

|r− r′|, (2.8)

tal que r sea un punto de observación y r′ la variable de integración. Entonces,

∇2ψ = ∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ(r− r′). (2.9)

2.1. TEOREMA DE GREEN. 59

Además, podemos tomar θ = ϕ, el potencial escalar que satisface la ecuación dePoisson, ∇2ϕ = −4πρ, en V . Sustituyendo estas funciones escalares en la Ec. (2.7),empleando r′ como variable de integración, tenemos∫

V

(−4πϕ

(r′)δ(r− r′

)+

4π|r− r′|

ρ(r′))

d3r′

=∮S

[ϕ∂

∂n′

(1

|r− r′|

)− 1|r− r′|

∂ϕ

∂n′

]da′ . (2.10)

Si r está dentro del volumen V , la Ec. (2.10) da

− 4πϕ (r) + 4π∫

ρ (r′)|r− r′|

d3r′ =∮S

[ϕ∂

∂n′

(1

|r− r′|

)− 1|r− r′|

∂ϕ

∂n′

]da′ (2.11)

luego,

ϕ (r) =∫V

ρ (r′)|r− r′|

d3r′ +14π

∮S

[1

|r− r′|∂ϕ

∂n′− ϕ

∂

∂n′

(1

|r− r′|

)]da′. (2.12)

Si r está fuera del volumen V , el lado izquierdo de la Ec. (2.12) es igual a 0.

Figura 2.2: Densidad de carga ρ(r′) en el volumen V , supercie S y normal n.

La Ec. (2.12) implica que ϕ(r) está determinado en un volumen V limitado poruna supercie S, si se conocen la distribución de carga ρ(r′) en V y los valores deϕ y/o de su derivada normal sobre S. Es decir, la función ϕ(r) en la Ec. (2.12) essolución de la ecuación de Poisson ∇2ϕ = −4πρ, en V , con condiciones de fronteraϕ|S y ∂ϕ

∂n

∣∣∣Ssobre S .

Note que en la supercie S,

∂ϕ

∂n

∣∣∣∣S

= ∇ϕ · n = − En|S , (2.13)


esto es, la condición de frontera ∂ϕ∂n

∣∣∣Ses equivalente a dar el valor de la componente

del campo eléctrico normal sobre S.La condición de contorno ϕ|S se llama condición tipo Dirichlet, mientras que

∂ϕ∂n

∣∣∣S, se denomina tipo Neumann. Se puede demostrar que la solución ϕ de la

Ec. (2.12) que satisface un tipo dado de condición de frontera, Dirichlet o Neumann,es única.

El potencial en el espacio libre se puede obtener considerando el límite S → ∞,para el cual r′ → ∞. Puesto que ϕ ∼ 1

r′ y∂ϕ∂n′ ∼

1r′2 , los términos del integrando

en la integral sobre S van como 1r′ ×

1r′2 = 1

r′3 , y el elemento de area crece comoda′ ∼ r′2. Luego, en el límite S →∞, la integral

∮S → 0, y la Ec. (2.12) da

ϕ(r) =∫

ρ(r′)|r− r′|

d3r′ , (2.14)

lo cual corresponde al potencial ϕ en el espacio libre, si se conoce la ρ en todo elespacio, ya obtenido en el Capítulo 1.

2.2 Función de Green.

Vimos que la solución de la ecuación de Poisson o de Laplace en un volumen nitoV , con condiciones de frontera tipo Dirichlet (ϕ|S) o Newmann ( ∂ϕ∂n

∣∣∣S) sobre la

supercie S que encierra el volumen, se puede obtener por medio del Teorema deGreen, Ec. (2.7), utilizando la función

ψ =1

|r− r′|(2.15)

que satisface

∇2ψ = ∇2

(1

|r− r′|

)= −4π δ

(r− r′

), (2.16)

y la función θ = ϕ, tal que ∇2ϕ = −4πρ en V . Sustituyendo estas funciones en elTeorema de Green, obtenemos

ϕ (r) =∫

ρ (r′)|r− r′|

d3r′ +14π

∮S

[1

|r− r′|∂ϕ

∂n′− ϕ

∂

∂n′

(1

|r− r′|

)]da′. (2.17)

2.2. FUNCIÓN DE GREEN. 61

Se puede interpretar ψ como el potencial producido en la posición r por una cargaq = 1 ubicada en r′, cuya densidad corresponde a ρ(r) = δ(r− r′), tal que ψ satisfacela ecuación de Poisson

∇2ψ = −4πρ. (2.18)

La función ψ = 1|r−r′| pertenece a una clase de funciones llamadas funciones de

Green, que poseen la forma general

G(r, r′

)≡ 1|r− r′|

+ F(r, r′

), (2.19)

y que satisfacen las siguientes propiedades

i) ∇2G (r, r′) = −4π δ (r− r′).

ii) ∇2F (r, r′) = 0 (F satisface la Ec. de Laplace dentro de V ).

iii) G (r, r′) = G (r′, r) (representa la equivalencia física de intercambiar el puntode observación r y la fuente r′).

Si sustituimos ψ = G (r, r′) en el Teorema de Green, tenemos

ϕ (r) =∫Vρ(r′)G(r, r′

)d3r′ +

14π

∮S

[G(r, r′

) ∂ϕ∂n′

− ϕ(r′) ∂

∂n′G(r, r′

)]da′

(2.20)Hay que recordar que los términos en la integral cerrada de supercie deben serevaluados sobre toda la supercie S. En general, la supercie total S que encierraal volumen V puede consistir en dos supercies no conexas, una exterior Sext y unainterior Sint.

Figura 2.3: Volumen V encerrado por supercies Sext y Sint.

Existe libertad para escoger la función F (r, r′) en la función de Green G (r, r′).Esto permite diseñar G (r, r′) para adaptarse a los dos tipos de condiciones de fronterasobre S:


i) Condiciones tipo Dirichlet ϕ|S : requerir GD (r, r′)|S = 0.Esto da la solución

ϕ (r) =∫Vρ(r′)GD

(r, r′

)d3r′ − 1

4π

∮Sϕ(r′) ∂GD∂n′

da′. (2.21)

En particular, si S es una superce de un conductor, ϕ (r′) |S = ϕ0 = cte.Si S es conductor conectado a tierra, ϕ (r)S = 0. En este caso, el potencialtiene una expresión simple

ϕ (r) =∫Vρ(r′)G(r, r′

)d3r′. (2.22)

ii) Condiciones tipo Neumann ∂ϕ∂n

∣∣∣S: requerir ∂GN

∂n′

∣∣∣S

= −4πS donde S es el área

total de S.

Esta es la condición más simple para la derivada normal de G (r, r′) sobre S enel problema de Neumann. Para ver esto, consideremos

∇2G(r, r′

)= −4πδ

(r− r′

)(2.23)

⇒ ∇ · ∇G(r, r′

)= −4πδ

(r− r′

)(2.24)

Luego, aplicando el teorema de la divergencia,∫V∇2G

(r, r′

)d3r′ =

∫V∇ · (∇G) d3r′ =

∮S∇G · n′ da′ =

∮S

∂G

∂n′da′.

Por otro lado,∫V∇2G

(r, r′

)d3r′ = −4π

∫Vδ(r− r′

)d3r′ = −4π (2.25)

Luego, ∮S

∂G

∂n′da′ = −4π. (2.26)

La relación no trivial más simple que se puede tomar en la Ec. (2.26) es cuandoel integrando es constante; esto da

S ∂G

∂n′

∣∣∣∣S

= −4π, (2.27)

2.2. FUNCIÓN DE GREEN. 63

que corresponde a la condición escogida para G en el problema de frontera tipoNeumann.

Esto conduce a la solución

ϕ (r) =∫Vρ(r′)G(r, r′

)d3r′ +

14π

∮SGN

(r, r′

) ∂ϕ∂n′

da′ +1S

∮Sϕ(r′)da′.

(2.28)Denimos la cantidad

〈ϕ〉S ≡1S

∮Sϕ(r′)da′ (2.29)

como el valor promedio de ϕ sobre S.

Un problema típico de Newmann consiste en un volumen V limitado por dossupercies, una exterior Sext y una interior Sint; tal que la supercie exteriorSext en el innito.

Figura 2.4: Volumen V limitado por supercies Sint y Sext →∞.

En este caso, la supercie total S → ∞, y 〈ϕ〉S → 0. Entonces,

ϕ (r) =∫Vρ(r′)G(r, r′

)d3r′ +

14π

∮Sint

GN(r, r′

) ∂ϕ∂n′

da′ (2.30)

donde la integral de área se reere a la supercie interior de V .

En ambos tipos de problemas de frontera, la función de Green G(r, r′) representauna especie de modulación de la acción de la fuente ρ(r′) en el punto r. La funciónG(r, r′) no depende de ρ(r′), sino de la geometría de la supercie S solamente; porlo que se puede ver como una función de respuesta de la geometría del sistema anteel campo creado por la fuente.


La función F (r, r′) satisface la ecuación de Laplace dentro de V , por lo querepresenta el potencial de un conjunto de cargas fuera de V . Luego, la funciónde Green

G(r, r′

)≡ 1|r− r′|

+ F(r, r′

)tal que

G = 0 sobre S∂G∂n = 0 sobre S →∞ (2.31)

se puede interpretar físicamente como el potencial de una carga puntual ubicada en r′

combinado con el potencial F (r, r′) de una distribución de cargas fuera de V , de modoque resulte en un potencial total G igual a 0 sobre S (o derivada normal

(∂G∂n

)= 0)

cuando S →∞.

Ejemplo.

1. Encontrar G(r, r′) en un volumen limitado por una única superce S, tal queS →∞. Esto incluye a puntos de observación tales que |r| → ∞; es decir, todoel espacio.

Figura 2.5:

Tenemos la condición ϕ|S→∞ = 0, tipo Dirichlet. Luego,

ϕ (r) =∫Vρ(r′)G(r, r′

)d3r′. (2.32)

Recordemos que el potencial ϕ(r) de una distribución de carga ρ(r′) en el espaciolibre es

ϕ(r′) =∫

ρ (r′)|r− r′|

d3r′. (2.33)

2.3. MÉTODO DE IMÁGENES. 65

Comparando estas dos expresiones para ϕ, tenemos

G(r, r′

)=

1|r− r′|

, (2.34)

que satisface ∇2G (r, r′) = −4πδ (r− r′).

Luego, la función G(r, r′) tiene la forma

G(r, r′

)=

1|r− r′|

+ F(r, r′

)(2.35)

conF(r, r′

)= 0 (2.36)

y satisface la condición de frontera GD (r, r′) = 0 sobre S, cuando |r| → ∞.

2.3 Método de imágenes.

El método de imágenes permite construir la función de GreenG(r, r′) en determinadoscasos; por ejemplo cuando ρ(r′) describe cargas puntuales en presencia de fronterasconductoras S, donde ϕ|S = cte, ó ϕ|S = 0.

Este método consiste en inferir, a partir del conocimiento de la geometría delsistema, una distribución de carga ρI denominada carga imagen, o carga virtual, ex-terna al volumen V de interés, tal que simule las condiciones de frontera que satisfaceel potencial ϕ sobre S. Esta distribución de carga imagen externa a V satisface laecuación de Laplace ∇2F = 0 en V ; mientras que la densidad de carga ρ(r′) satisfacela ecuación de Poisson ∇2ϕ = −4πρ en V , con condiciones de frontera ϕ|S .

Ejemplos.

1. Consideremos una distribución de carga ρ ubicada en z > 0 frente a plano con-ductor innito en z = 0, conectado a tierra. Calcular el potencial ϕ producidoen el espacio z > 0.

Conductor a tierra signica ϕ|S = 0 sobre la supercie S correspondiente alplano z = 0, es decir una condición de frontera tipo Dirichlet.


Figura 2.6: Método de imágenes para una distribución de carga ρ en z > 0 frente al planoconductor z = 0.

El volumen V de interés está constituido por el subespacio z > 0, encerradopor la supercie S innita que incluye al plano z = 0. Usando el teorema deGreen con condición de frontera tipo Dirichlet, el potencial está dado por


(r, r′

)d3r′ − 1

4π

∮Sϕ|S

∂GD∂n′

da′ (2.37)

donde ϕ|S = 0 y el volumen V es el subespacio z > 0.

La función GD(r, r′) = 1|r−r′| + F (r, r′) para este problema debe satisfacer las

siguientes propiedades

(a) GD(r, r′) = 0 para r en z = 0, tal que ϕ(r)|z=0 = 0.(b) GD(r, r′) → 0, para |r| → ∞, tal que ϕ(r →∞) → 0, en V .(c) ∇2GD(r, r′) = −4πδ(r− r′) (∇2F (r, r′) = 0), en V .

Probemos con la siguiente forma para GD(r, r′),

G(r, r′

)=

1|r− r′|

− 1∣∣r− r′I∣∣ , (2.38)

donde r′ = (x′, y′, z′), dentro de V (z > 0); y r′I = (x′, y′,−z′), fuera de V(z < 0). Note que el vector r′I = (x′, y′,−z′) corresponde a la imagen especulardel vector r′ = (x′, y′, z′) con respecto al plano z = 0.


Luego, ∣∣r− r′∣∣ = [(x− x′

)2 +(y − y′

)2 +(z − z′

)2]1/2 (2.39)∣∣r− r′I∣∣ = [(x− x′

)2 +(y − y′

)2 +(z + z′

)2]1/2 (2.40)

Vemos que GD(r, r′) satisface G(r, r′)|z=0 = 0 y GD(r, r′) → 0, para |r| → ∞.

Además,∇2GD(r, r′) = −4πδ(r− r′) + 4πδ

(r− r′I

), (2.41)

pero el punto de observación r está en V y r′I está fuera de V . Luego, en Vsiempre tenemos r′I 6= r, y la segunda función delta siempre es 0 en V .

Entonces, el potencial para z > 0 es

ϕ(r) =∫z>0

ρ(r′)GD(r, r′

)d3r′

=∫z>0

ρ(r′)|r− r′|

d3r′ −∫z>0

ρ(r′)∣∣r− r′I∣∣ d3r′. (2.42)

Explícitamente tenemos,

ϕ (r) =∫z>0

ρ (r′) d3r′[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

] 12

−∫z>0

ρ (r′) d3r′[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z + z′)2

] 12

. (2.43)

Este potencial puede interpretarse como el potencial resultante de dos contribu-ciones: el primer término corresponde al potencial producido por la densidaddada ρ en el volumen V (z > 0), y el segundo término proviene del potencialasociado a una densidad de carga virtual o imagen ρI = −ρ, ubicada fuera deV (z < 0) y correspondiente a la imagen especular de ρ con respecto al planoz = 0.

En el subespacio z < 0 no hay carga. Luego, por la ley de Gauss, E = 0 y,por tanto, ϕ es constante alli. Por continuidad con la condición de fronteraϕ|z=0 = 0, debemos tener ϕ = 0 para z < 0.


2. Calcular el potencial producido para z > 0 por una carga puntual q colocadaen ro = (0, 0, zo) frente al plano conductor z = 0, conectado a tierra.

Figura 2.7: Método de imágenes para una carga q ubicada en ro = (0, 0, zo) frente al planoconductor z = 0.

El volumen V es el subespacio z > 0. En este caso, ρ(r′) = q δ(r′ − ro) =q δ(x′) δ(y′) δ(z′ − zo) y rI = (0, 0,−zo).Sustituyendo ρ(r′) en la Ec. (2.43), obtenemos

ϕ (r) =q[

x2 + y2 + (z − zo)2] 1

2

− q[x2 + y2 + (z + zo)

2] 1

2

. (2.44)

Vemos que el potencial satisface la condición de frontera ϕ(x, y, 0) = 0 sobrez = 0, y ϕ = 0 para |r| → ∞. Este potencial se puede expresar también como

ϕ(r) =q

|r− r0|− q

|r− rI |, (2.45)

donde

|r− r0| =[x2 + y2 + (z − z0)

2] 1

2, (2.46)

|r− rI | =[x2 + y2 + (z + z0)

2] 1

2, (2.47)

y se puede interpretar como el potencial resultante de la carga q colocada enr0, más el potencial de una carga virtual −q ubicada en rI como la imagenespecular de q con respecto al plano z = 0.


Podemos calcular el campo eléctrico E = −∇ϕ para z > 0, tal que

Ez = −∂ϕ∂z

=q (z − z0)[

x2 + y2 + (z − z0)2] 3

2

− q (z + z0)[x2 + y2 + (z + z0)

2] 3

2

Ex = −∂ϕ∂x

=q x[

x2 + y2 + (z − z0)2] 3

2

− q x[x2 + y2 + (z + z0)

2] 3

2

Ey = −∂ϕ∂y

=q y[

x2 + y2 + (z − z0)2] 3

2

− q y[x2 + y2 + (z + z0)

2] 3

2

.

El campo eléctrico sobre z = 0 es

Ez|z=0 =−2 q z0

[x2 + y2 + z02]32

, Ex|z=0 = Ey|z=0 = 0. (2.48)

Luego, E|z=0 = Ez|z=0 z. La normal al plano hacia fuera del volumen V esn = −z; es decir E|z=0 es normal a la supercie, como debe ser sobre unconductor. El campo eléctrico normal sobre el conductor satisface

En = Ez|z=0 = 4π σ|z=0 . (2.49)

Figura 2.8: Izquierda: campo eléctrico para z ≥ 0. Derecha: densidad de carga inducida sobre elplano z = 0.

Podemos calcular la densidad de carga supercial inducida sobre el plano z = 0,

σ|z=0 = σ (x, y) =En4π

= − q z0

2π (x2 + y2 + z02)3/2. (2.50)


La carga total inducida sobre el conductor es

Qtotal =∫ ∞

−∞dx

∫ ∞

−∞dy σ (x, y) . (2.51)

Esta integral se puede evaluar más fácilmente en coordenadas polares (R,φ),donde R2 = x2 + y2, y dx dy = RdRdφ. Entonces,

σ(R,φ) = − q z0

2π (R2 + z02)3/2(2.52)

y

Qtotal = −q z02π

∫ 2π

0dφ

∫ ∞

0

RdR

(R2 + z02)3/2

= +q z0(R2 + z0

2)− 1

2

∣∣∣∞0

= −q , (2.53)

donde hemos usado la integral∫x dx

(x2 + a2)32

= −(x2 + a2

)− 12 . (2.54)

Luego, la carga total inducida sobre el plano conductor es igual y opuesta a lacarga q colocada frente al plano. Esta carga proviene de la Tierra, a la cual elplano está conectado.

La carga inducida sobre el plano ejerce una fuerza atractiva sobre la carga q,equivalente a la fuerza eléctrica entre q y una carga imagen qI = −q colocadaen z = −zo; esto es

F = − q2

4z2o

z . (2.55)

El trabajo que debe realizar un agente externo para traer la carga q desde elinnito a su posición zo frente al plano requiere una fuerza Fext = −F. Luego,

Wext =∫ zo

∞Fext · dl =

q2

4

∫ zo

∞

1z2dz = − q2

41z2

∣∣∣∣zo

∞= − q2

4zo. (2.56)

Este trabajo es la mitad de la energía potencial eléctrica almacenada en unsistema de dos cargas q y −q separadas por una distancia 2zo.


3. Carga puntual q colocada a una distancia ro del centro de una esfera conductorade radio a < ro conectada a tierra. Calcular el potencial fuera de la esfera.

Figura 2.9: Método de imágenes para una carga q frente a una esfera conductora conectada atierra.

El volumen V donde se busca el potencial corresponde a todo el espacio exteriora la esfera conductora, r > a. Puesto que la esfera está conectada a tierra, lacondición de frontera sobre ella es ϕ(r = a) = 0.

Supongamos una carga imagen qI ubicada en la posición rI dentro de la esfera,es decir, fuera de V . Por simetría, rI debe estar en la dirección de ro. Elproblema consiste en encontrar |rI | y qI tal que ϕ(r = a) = 0. Denimos lossiguientes vectores normales a la supercie S de la esfera,

no = vector unitario en dirección ro. (2.57)

n = vector unitario en dirección r. (2.58)

El potencial total en un punto r fuera de la esfera es el resultado de las con-tribuciones de los potenciales de la carga q y de la carga virtual qI , esto es

ϕ(r) =q

|r− ro|+

qI|r− rI |

=q

|rn− rono|+

qI|rn− rI no|

=q

r∣∣∣n − ro

rno∣∣∣ +

qI

rI

∣∣∣∣no − r

rIn∣∣∣∣ . (2.59)


Evaluamos en r = a,

ϕ (r = a) =q

a∣∣∣n − ro

ano∣∣∣ +

qI

rI

∣∣∣∣no − a

rIn∣∣∣∣ = 0. (2.60)

La Ec. (2.60) debe satisfacerse para todos los posibles ángulos θ entre n y no,en particular para θ = 0 cuando n es paralelo a no. En ese caso n = no, y dela Ec. (2.60) obtenemos

q

a∣∣∣no − ro

ano∣∣∣ = − qI

rI

∣∣∣∣no − a

rIno

∣∣∣∣ . (2.61)

La relación (2.61) requiere satisfacer simultáneamente las siguientes condiciones

q

a= −qI

rI(2.62)

roa

=a

rI, (2.63)

lo que conduce a

rI =a2

ro⇒ rI = rI no =

a2

r2oro (2.64)

qI = − a

roq . (2.65)

Luego,ϕ(r) =

q

|r− ro|− q a

ro

∣∣∣∣r− a2

r20ro

∣∣∣∣ . (2.66)

El potencial (2.66) se puede expresar en coordenadas esféricas como

ϕ(r, θ) =q

[r2 − 2rro cos θ + r2o ]1/2

− q (a/ro)[r2 − 2

(a

ro

)2

rro cos θ +(a

ro

)4

r2o

]1/2, (2.67)


donde θ es el ángulo entre r y ro.

El potencial (2.66) corresponde a la solución del problema de Dirichlet


(r, r′

)d3r′ (2.68)

en el volumen r > a, con condición de frontera ϕ(r = a) = 0. La densidad decarga corresponde a la carga puntual ubicada en ro,

ρ(r′)

= q δ(r′ − ro

). (2.69)

Comparando con la solución (2.66), vemos que la función de Green para esteproblema es

G(r, r′

)=

1|r− r′|

− a

r′∣∣∣∣r− a2

r′2r′∣∣∣∣ . (2.70)

La fuerza entre la carga q y la esfera corresponde a la fuerza atractiva entre qy la carga virtual qI , separadas por una distancia

|r− rI | = ro −a2

ro. (2.71)

Luego, la magnitud de la fuerza es

F =q qI

|r− rI |2=

aroq2

(r2o − a2)2. (2.72)

La densidad de carga supercial inducida sobre la supercie S de la esferaconductora puede ser calculada mediante la relación

En|S = 4πσ ⇒ σ = − 14π

∂ϕ

∂r

∣∣∣∣r=a

. (2.73)

A partir de la Ec. (2.67), calculamos

∂ϕ

∂r= − q(r − ro cos θ)

[r2 − 2rro cos θ + r2o ]3/2

+

q

(a

ro

)(r −

(a

ro

)2

ro cos θ

)[r2 − 2

(a

ro

)2

rro cos θ +(a

ro

)4

r2o

]3/2


∂ϕ

∂r

∣∣∣∣r=a

= −q

(a

ro− cos θ

)r2o

[1− 2

a

rocos θ +

a2

r2o

]3/2+

q(roa

)(1− a

rocos θ

)r2o

[1− 2

a

rocos θ +

a2

r2o

]3/2.

Después de algunas simplicaciones, obtenemos

σ = − 14π

∂ϕ

∂r

∣∣∣∣r=a

= − q

4πa2

(a

ro

) (1− a2

r2o

)[1− 2

a

rocos θ +

a2

r2o

]3/2. (2.74)

Se puede vericar que la integral de área de σ sobre la supercie de la esferada el valor de la carga imagen qI = − a

roq.

4. Carga puntual q colocada a una distancia ro del centro de una esfera conductoraaislada, de radio a < ro y con carga total Q. Calcular el potencial fuera de laesfera.

Figura 2.10: Principio de superposición para el problema 4.

Este problema se resuelve usando el principio de superposición. El potencial enun punto r fuera de la esfera se puede considerar como la composición de dosprocesos:

(a) el potencial producido por una carga q frente a una esfera conductoraconectada a tierra, con carga qI en equilibrio electrostático.

(b) se corta la conexión a tierra y se agrega una carga Q − qI , la cual sedistribuye uniformente sobre la esfera debido al equilibrio electrostático.Por el teorema de Gauss, para r > a esto es equivalente al potencialproducido por una carga Q− qI colocada en el centro de la esfera.

2.4. FUNCIONES ORTOGONALES. 75

Luego, tenemos

ϕ (r) =q

|r− ro|− q a

ro

∣∣∣r− a2

r2oro∣∣∣ +

(Q + qa

ro

)r

. (2.75)

2.4 Funciones ortogonales.

En muchas situaciones, las soluciones de problemas de potencial que involucran laecuación de Laplace se pueden expresar mediante expansiones en series de funcionesortogonales. El conjunto de funciones ortogonales apropiado para un problema dadodepende de la geometría y de las simetrías presentes en el sistema.

Se dice que una función real o compleja f(ξ), para ξ ∈ (a, b), es de cuadrado

integrable en el intervalo (a, b), si∫ b

af∗(ξ)f(ξ) dξ =

∫ b

a|f(ξ)|2 dξ es nito. (2.76)

Consideremos un conjunto de funciones reales o complejas un(ξ), n = 1, 2, . . . ,de cuadrado integrable y ortonormales en el intervalo (a, b).

Ortonormalidad signica que∫ b

au∗n(ξ)um(ξ) dξ = δnm =

1, si m = n0, si m 6= n.

(2.77)

El concepto de ortogonalidad de funciones es análogo al de ortogonalidad de vectores:a · b = 0 ⇒ a ⊥ b.

Cualquier función f(ξ) de cuadrado integrable en el intervalo (a, b) puede repre-sentarse mediante una expansión en serie de las funciones ortonormales un(ξ),

f(ξ) =∞∑n=1

anun(ξ), (2.78)

donde los coecientes an están unívocamente determinados. Para ver esto, multi-


pliquemos la Ec. (2.78) por u∗m(ξ) e integremos en el intervalo (a, b),∫ b

au∗m(ξ) f(ξ) dξ =

∫ b

au∗m (ξ)

( ∞∑n=1

anun (ξ)

)dξ

=∞∑n=1

an

(∫ b

au∗m(ξ)un (ξ) dξ

)

=∞∑n=1

an δmn = am. (2.79)

Luego,

an =∫ b

au∗n(ξ) f(ξ) dξ . (2.80)

Se dice que las funciones u(ξ) forman una base completa en el intervalo (a, b) paralas funciones cuyo cuadrado es integrable en ese intervalo.

Sustituyendo los coecientes an de la Ec. (2.80) en la Ec. (2.78), obtenemos

f (ξ) =∑n

(∫ b

au∗n(ξ′)f(ξ′)dξ′)un (ξ)

=∫ b

af(ξ′)(∑

n

u∗n(ξ′)un (ξ)

)dξ′, (2.81)

lo cual implica que ∑n

u∗n(ξ′)un (ξ) = δ

(ξ − ξ′

). (2.82)

La Ec. (2.82) se denomina la relación de clausura o completitud del conjunto un(ξ).Si una función de cuadrado integrable f(ξ, η) depende de dos variables, ξ ∈ (a, b)

y η ∈ (c, d), se puede representar mediante una doble expansión en serie de conjuntosde funciones ortogonales un(ξ) denidas en (a, b) y vn(η) denidas en (c, d),

f(ξ, η) =∑n

∑m

anmun(ξ) v(η), (2.83)

donde anm =∫ b

adξ

∫ d

cdη u∗n(ξ) v

∗m f(ξ, η). (2.84)

2.4. FUNCIONES ORTOGONALES. 77

Ejemplos.

1. Las series de Fourier constituyen uno de los ejemplos más conocidos de expan-sión de funciones f(x) en un intervalo x ∈ [−c, c] (ó x ∈ [0, 2c]), en términosdel conjunto de funciones ortonormales

un(x)n=1,2,... =

1√c

sin(nπx

c

),

1√c

cos(nπx

c

). (2.85)

Se expresa

f(x) =b02

+∞∑n=1

bn cos(nπx

c

)+

∞∑n=1

an sin(nπx

c

)(2.86)

an =1c

∫ c

−cf(x) sin

(nπxc

)dx (2.87)

bn =1c

∫ c

−cf(x) cos

(nπxc

)dx (2.88)

2. Integrales de Fourier. Si el intervalo (a, b) es (−∞,∞), las funciones ortogonalesun(ξ) son no contables n 6= 1, 2, . . . . Este es el caso de las funciones u(x) = eikx,que permiten la expansión

f(x) =1√2π

∫ ∞

−∞a(k) eikxdk (2.89)

a(k) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x) e−ikxdx. (2.90)

Ortonormalidad:12π

∫ ∞

−∞ei(k−k

′)xdx = δ(k − k′

). (2.91)

Clausura:12π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)dk = δ(x− x′

). (2.92)


2.5 Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas.

La ecuación de Laplace∇2ϕ(r) = 0 (2.93)

en coordenadas cartesianas es

∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2+∂2ϕ

∂z2= 0. (2.94)

La ecuación de Laplace es una ecuación diferencial homogénea en derivadas parciales.El método de separación de variables consiste en transformar una ecuación de este tipoen un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias. Como ejemplo de este método,buscamos una solución de la Ec. (2.94) en la forma de un producto de funciones convariables independientes,

ϕ (r) = ϕ (x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). (2.95)

Sustitución en la Ec. (2.94) da

Y ZX ′′ +XZY ′′ +XY Z ′′ = 0. (2.96)

Dividiendo por XY Z, obtenemos

1X

d2X

dx2+

1Y

d2Y

dy2+

1Z

d2Z

dz2= 0 . (2.97)

La Ec. (2.97) contiene la suma de tres términos independientes y se debe satisfacer∀x, y, z. Luego, cada término por separado debe ser constante, tal que la suma seacero,

1X

d2X

dx2= −α2 ⇒ X ′′ + α2X = 0 (2.98)

1Y

d2Y

dy2= −β2 ⇒ Y ′′ + β2Y = 0 (2.99)

1Z

d2Z

dz2= γ2 ⇒ Z ′′ − γ2Z = 0 (2.100)

dondeγ2 = α2 + β2. (2.101)

2.5. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS. 79

Escogemos las constantes α y β reales, tales que α2 > 0, β2 > 0.Las ecuaciones para X y Y son análogas a la ecuación de un oscilador armónico.

Sus soluciones tienen la forma

X = A cos (αx)±B sin (αx) → e±iαx (2.102)

Y = A cos (βx)±B sin (βx) → e±iβy (2.103)

mientras que la ecuación para Z tiene solución de la forma

Z = Aeγz ±Be−γz = A′ sinh (γz)±B′′ cosh (γz) → e±√α2+β2z. (2.104)

La solución ϕ = XY Z es una solución particular de la ecuación de Laplace. Loscoecientes y la forma especíca de la solución particular para un problema dado sedeterminan mediante las condiciones de frontera del sistema. La solución general seencuentra por superposición de todas las soluciones particulares que satisfacen lascondiciones de frontera.

Ejemplos.

1. Encontrar el potencial dentro de una caja rectangular de lados a, b y c, cuyascaras están todas conectadas a tierra, excepto la cara superior z = c, que estásujeta a un potencial V (x, y).

Figura 2.11: Caja rectangular con potencial ϕ(x, y, c) = V (x, y) y demas lados con potencial cero.

Puesto que no hay cargas dentro de la caja, se cumple la ecuación de Laplace enla región donde se busca el potencial escalar. Se trata de encontrar la solución


en la forma ϕ = XY Z. Para determinar las funciones X, Y y Z, examinamoslas condiciones de frontera en cada coordenada x, y y z.

Condiciones de frontera para X(x):

ϕ = 0 en x = 0 ⇒ X(0) = 0. Sugiere la forma: X ∼ sin(αx). (2.105)ϕ = 0 en x = a⇒ X(a) = 0. Luego, X ∼ sin(αa) = 0. (2.106)

Entonces, debemos tener

αa = nπ ⇒ αn =nπ

a, n = 0, 1, 2, . . . (2.107)

La forma de X que satisface las condiciones de frontera en x = 0 y x = a es

X(x) = sin(nπax). (2.108)

Similarmente, evaluando las condiciones de frontera para Y , tenemos

ϕ = 0 en y = 0 ⇒ Y (0) = 0. → Y ∼ sin(βy). (2.109)

ϕ = 0 en y = b⇒ Y (b) = 0. → Y ∼ sin(βb) = 0. (2.110)

βm =mπ

b, m = 0, 1, 2, . . . (2.111)

⇒ Y (y) = sin(mπby). (2.112)

Condición de frontera en z = 0,

ϕ = 0 en z = 0 ⇒ Z(0) = 0. Sugiere la forma: Z ∼ sinh(γz). (2.113)

Esto conduce a

γ2 = α2 + β2 ⇒ γnm = π

√n2

a2+m2

b2(2.114)

Z(z) = sinh (γnmz) . (2.115)

Entonces, la solución parcial para el potencial tiene la forma

ϕnm = sin(nπax)

sin(mπby)

sinh (γnmz) . (2.116)

2.5. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS. 81

La solución general se obtiene como la combinación lineal de todas las solucionesparciales; es decir, sumando sobre todos los índices n y m,

ϕ(x, y, z) =∞∑n=1

∞∑m=1

anm sinh (γnmz) sin(nπax)

sin(mπby), (2.117)

donde anm son coecientes que se pueden obtener evaluando la condición defrontera faltante en z = c,

ϕ(x, y, c) = V (x, y) =∞∑n=1

∞∑m=1

anm sinh (γnmc) sin(nπax)

sin(mπby).

(2.118)Los factores anm sinh (γnmc) pueden interpretarse como coecientes de la ex-pansión de V (x, y) en una doble serie de Fourier en x ∈ (0, a) y y ∈ (0, b).Luego,

anm sinh (γnmc) =2a

2b

∫ a

0dx

∫ b

0dy V (x, y) sin

(nπax)

sin(mπby)

(2.119)

anm =4

ab sinh(γnmc)

∫ a

0dx

∫ b

0dy V (x, y) sin

(nπax)

sin(mπby). (2.120)

Luego, la solución general ϕ(x, y, z) dada en la Ec. (2.117) está determinada.

2. Ecuación de Laplace en dos dimensiones.

En ciertos problemas, el potencial escalar eléctrico no depende de alguna coor-denada espacial. En esos casos, la ecuación de Laplace en dos dimensiones, encoordenadas cartesianas, es

∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2= 0. (2.121)

El potencial debe tener la forma ϕ(x, y) = X(x)Y (y), independiente de z.Sustituyendo en la ecuación de Laplace bidimensional y dividiendo por XY ,obtenemos

1X

d2X

dx2+

1Y

d2Y

dy2= 0. (2.122)


Cada término debe ser constante por separado, es decir,

X ′′ + α2X = 0 → X = A sin(αx)±B cos(αx) (2.123)

Y ′′ − α2Y = 0 → Y = Aeαy ±Be−αy. (2.124)

Como ejemplo, calculemos el potencial dentro de un canal rectangular de anchoa en la dirección x, que se extiende innitamente en la dirección z y en ladirección y. El potencial es cero en las paredes laterales y el piso inferior eny = 0 está sujeto a un potencial constante V .

Figura 2.12: Problema de potencial en dos dimensiones en coordenadas catersianas.

Las condiciones de frontera para X(x) son

ϕ = 0 en x = 0 ⇒ X(0) = 0 → X ∼ sin(αx). (2.125)

ϕ = 0 en x = a⇒ X(a) = 0 → X ∼ sin(αa) = 0. (2.126)

⇒ αn =nπ

a, n = 0, 1, 2, . . . (2.127)

La condición de frontera para Y (y) en y = ∞ es

Y (∞) = 0 → Y ∼ e−αy. (2.128)

Luego, tenemos la solución parcial

ϕn = e−αny sin(nπax). (2.129)

2.6. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS POLARES. 83

La solución general es

ϕ(x, y) =∞∑n=1

an e−αny sin

(nπax). (2.130)

Los coecientes an se obtienen evaluando la condición de frontera en y = 0,

ϕ(x, 0) = V =∞∑n=1

an sin(nπax), (2.131)

lo que representa la expansión en serie de Fourier de la función constante V enel intervalo x ∈ (0, a). Luego,

an =2a

∫ a

0V sin

(nπax)dx

=2Va

( a

nπ

)cos(nπax)∣∣∣0a

=2Vnπ

[1− cos(nπ)]

=

0, n par4Vnπ

, n impar.(2.132)

Entonces, la solución general se puede expresar como

ϕ(x, y) =4Vπ

∑n impar

1ne−

nπay sin

(nπax). (2.133)

2.6 Ecuación de Laplace en coordenadas polares.

La ecuación∇2ϕ = 0 (2.134)

para ϕ(r, φ) en coordenadas polares tiene la forma

1r

∂

∂r

(r∂ϕ

∂r

)+

1r2∂2ϕ

∂φ2= 0 . (2.135)


Buscamos una solución por separación de variables, tal que

ϕ(r, φ) = R(r)Φ(φ). (2.136)

La función Φ(φ) debe ser periódica para φ ∈ [0, 2π] con periodo 2π; es decir, Φ(0) =Φ(2π). Sustitución de (2.136) en la Ec. (2.135) da

Φr

d

dr

(rdR

dr

)+R

r2d2Φdφ2

= 0. (2.137)

Multiplicamos la Ec. (2.137) porr2

RΦy obtenemos

r

R

d

dr(rR′) +

Φ′′

Φ= 0. (2.138)

Cada término por separado en la Ec. (2.138) debe ser constante; es decir

r

R

d

dr

(rR′) = n2 (2.139)

Φ′′

Φ= −n2. (2.140)

Si n 6= 0, buscamos una solución de la ecuación para R en la forma R = rα, lo cualconduce a α = ±n. Luego, R = rn y R = r−n son soluciones. Por otro lado, laecuación para Φ corresponde a un oscilador armónico. Luego, las soluciones paran 6= 0 se pueden expresar como

R(r) = arn + br−n (2.141)

Φ(φ) = A cos(nφ) +B sin(nφ). (2.142)

La condición de periodicidad para Φ debe cumplirse ∀A,B. En particular, debemostener sin(n2π) = 0. Esta condición implica que n 6= 0 debe ser un número entero.

Si n = 0, la ecuación para R tiene la forma

rR′ = cte, (2.143)

y su solución esR = c1 ln r + c2, (2.144)

2.6. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS POLARES. 85

donde c1, c2 son constantes, mientras que la ecuación para Φ se convierte en

Φ′′ = 0, (2.145)

cuya solución esΦ = A0 +B0φ. (2.146)

Para que Φ sea periódica en φ, debemos tener B0 = 0. Juntando los resultados paran 6= 0 y n = 0, podemos expresar la solución general de la ecuación de Laplace encoordenadas polares como

ϕ(r, φ) = a0 + b0 ln r +∞∑n=1

(anr

n + bnr−n) [An cos(nφ) +Bn sin(nφ)] . (2.147)

Si el origen r = 0 se incluye en el volumen donde no hay carga, todos los coecientesbn = 0 y solamente las potencias positivas de r aparecen en la solución. Si se excluyeel origen, los bn pueden ser diferentes de cero. En particular, el término ln r representael potencial de una línea de carga ubicada en r = 0.

Ejemplo.

1. Encontrar el potencial dentro de un tubo innitamente largo, de radio a, se-parado en dos mitades longitudinales mantenidas a potenciales constantes V y−V , respectivamente, y separadas por una brecha muy estrecha.

Figura 2.13: Problema de potencial en coordenadas polares.

Puesto que el origen se incluye en la región r < a, debemos tener bn = 0, ∀n.Medimos el ángulo φ como se indica en la gura. Las condiciones de frontera


para el potencial ϕ son

ϕ(a, φ) = R(a)Φ(φ) =V, φ ∈ (0, π)−V, φ ∈ (π, 2π).

(2.148)

Note que Φ(φ) = −Φ(−φ). Luego, Φ debe ser una función impar, es decirAn = 0. La solución general queda

ϕ(r, φ) = a0 +∞∑n=1

Cnrn sin(nφ). (2.149)

En r = a,

ϕ(a, φ) = a0 +∞∑n=1

Cnan sin(nφ), (2.150)

lo que equivale a una serie de Fourier para la función ϕ(a, φ), y cuyos coecientesse determinan como

a0 =1π

∫ 2π

0ϕ(a, φ) dφ =

V

π

∫ π

0dφ− V

π

∫ 2π

πdφ = 0. (2.151)

Cnan =

1π

∫ 2π

0ϕ(a, φ) sin (nφ) dφ

=1π

∫ π

0V sin(nφ)dφ− 1

π

∫ 2π

πV sin(nφ)dφ

=V

πncos(nφ)|0π −

V

πncos(nφ)|π2π

=V

πn[1− cos(nπ)− cos(nπ) + cos(2nπ)]

=2Vπn

[1− cos(nπ)] =

0, n par

4Vπn

, n impar(2.152)

Luego,

ϕ(r, φ) =4Vπ

∑n=1

12n− 1

(ra

)2n−1sin[(2n− 1)φ]. (2.153)

2.7. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFÉRICAS. 87

2.7 Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas.

La ecuación de Laplace, ∇2ϕ(r) = 0, en coordenadas esféricas tiene la forma

1r

∂2

∂r2(rϕ) +

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂ϕ

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2ϕ

∂φ2= 0 . (2.154)

Figura 2.14: Coordenadas esféricas.

Buscamos solución ϕ(r, θ, φ) por separación de variables:

ϕ(r, θ, φ) =U(r)r

Y (θ, φ), (2.155)

dondeY (θ, φ) = P (θ)Q(φ). (2.156)

Sustitución da

Y

r

d2U

dr2+

U

r3 sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂Y

∂θ

)+

U

r3 sin2 θ

∂2Y

∂φ2= 0 . (2.157)

Multiplicamos porr3

UY,

r2U ′′

U+

1Y

[1

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂Y

∂θ

)+

1sin2 θ

∂2Y

∂φ2

]= 0 (2.158)


El primer término es función sólo de r, y los términos restantes dependen de θ y φ.Luego,

r2U ′′

U= cte ≡ l (l + 1)

U ′′ − l (l + 1)r2

U = 0 (2.159)

donde l es una constante. Buscamos una solución de la forma U = rn; sustituyendotenemos

n (n− 1)r(n−2) − l (l + 1)

r(n−2) = 0n2 − n− l (l + 1) = 0

n =1± (2l + 1)

2

n =l + 1−l . (2.160)

Luego,U(r) = Ar(l+1) +Br−l. (2.161)

Entonces, la función Y (θ, φ) satisface la siguiente ecuación para las variablesangulares,

1sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y

∂θ

)+ l (l + 1)Y +

1sin2 θ

∂2Y

∂φ2= 0 . (2.162)

Sustituyendo Y (θ, φ) = P (θ)Q(φ) y multiplicando porsin2 θ

PQ, obtenemos

sin θP

d

dθ

(sin θ

dP

dθ

)+ l (l + 1) sin2 θ +

1Q

d2Q

dφ2= 0 . (2.163)

El tercer término depende sólo de φ, por lo que podemos escribir

Q′′

Q= −m2 → Q′′ +m2Q = 0 (2.164)

⇒ Q(φ) = e±imφ = A cos (mφ) +B sin (mφ) (2.165)

donde m es una constante real.

2.7. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFÉRICAS. 89

La ecuación resultante para θ es

sin θP

d

dθ

(sin θ

dP

dθ

)+ l(l + 1) sin2 θ −m2 = 0

⇒ 1sin θ

d

dθ

(sin θ

dP

dθ

)+[l (l + 1)− m2

sin2 θ

]P = 0. (2.166)

La Ec. (2.166) es la ecuación satisfecha por la función P (θ). Haciendo el cambiode variable x = cos θ, tal que

dx

dθ= − sin θ,

dP

dθ=dP

dx

dx

dθ= − sin θ

dP

dx⇒ 1

sin θd

dθ= − d

dx, (2.167)

la Ec. (2.166) adquiere la forma

d

dx

[(1− x2

) dPdx

]+[l (l + 1)− m2

1− x2

]P = 0. (2.168)

La Ec. (2.168) tiene la forma de la ecuación generalizada de Legendre.Consideremos el caso particular m = 0; es decir, Q = cte y por lo tanto, ϕ es

independiente del ángulo φ. Entonces, la Ec. (2.168) queda

d

dx

[(1− x2

) dPdx

]+ l (l + 1)P = 0. (2.169)

La Ec. (2.169) se conoce como la ecuación de Legendre. Esta ecuación tiene soluciónen serie convergente en el intervalo x ∈ [−1, 1], si el valor de l es entero. Las solucionespara valores enteros de l son los polinomios de Legendre Pl(x), denidos por la fórmula

de Rodrigues:

Pl(x) =1

2ll!dl

dxl(x2 − 1

)l. (2.170)

donde l = 0, 1, 2, . . . . P (l(x) es un polinomio de grado l. Los primeros polinomios deLegendre son

P0(x) = 1P1(x) = xP2(x) = 1

2(3x2 − 1)P3(x) = 1

2(5x3 − 3x)P4(x) = 1

8(35x4 − 30x2 + 3).

(2.171)


Los polinomios Pl(x) son un conjunto de funciones de cuadrado integrable y or-togonales en el intervalo x ∈ [−1, 1]; esto es∫ 1

−1Pl′(x)Pl(x)dx =

2(2l + 1)

δl l′ . (2.172)

Note que los polinomios Pl son ortogonales, pero no ortonormales.Los polinomios de Legendre constituyen una base ortogonal para funciones f(x)

de cuadrado integrable denidas en el intervalo x ∈ [−1, 1],

f(x) =∞∑l=0

AlPl(x) (2.173)

Al =(2l + 1)

2

∫ 1

−1f(x)Pl(x)dx. (2.174)

En términos de la variable angular θ ∈ [0, π], tal que x = cos θ, tenemos

f(θ) =∞∑l=0

AlPl(cos θ) (2.175)

Al =(2l + 1)

2

∫ π

0f(θ)Pl(cos θ) sin θ dθ. (2.176)

Algunas propiedades de los polinomios de Legendre son

i) Pl(x) es par, si l es par. Pl(x) es impar, si l es impar.

ii) Pl(1) = 1, ∀ l. Pl(−1) = (−1)l.

iii) Pl(0) =

0, si l es impar.

(−1)l/2(l − 1)!!l!!

, si l es par.

donde

(l − 1) !! = 1× 3× 5× 7 · · · × (l − 1) .l !! = 2× 4× 6× · · · × l.

2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETRÍA AZIMUTAL. 91

iv)∫ 10 Pl(x) dx =

0, si l es par.

(−1)(l−1)

2(l − 2)!!(l + 1)!!

, si l es impar

Luego, una solución parcial de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricascon simetría azimutal (independiente del ángulo φ, ó m = 0) es

ϕl =U(r)r

Pl(cos θ). (2.177)

La solución general de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas con simetríaazimutal tiene la forma

ϕ(r, θ) =∞∑l=0

[Alr

l +Blr−(l+1)

]Pl(cos θ). (2.178)

Los coecientes Al y Bl se determinan mediante las condiciones de frontera del pro-blema.

2.8 Problemas de frontera con simetría azimutal.

A continuación, presentamos algunas aplicaciones de la solución de la ecuación deLaplace en problemas de frontera con simetría azimutal, Ec. (2.178).

1. Encontrar la expresión del potencial producido dentro y fuera de una esfera noconductora de radio a, que posee un potencial V (θ) sobre su supercie.

Figura 2.15: Esfera con potencial V (θ) sobre su supercie.


Para r < a, dentro de la esfera, no hay cargas eléctricas. Luego, el potencialϕ debe ser no singular (nito) para r → 0, lo que implica que Bl = 0, ∀l. Esdecir, la solución interna debe poseer la forma

ϕin (r, θ) =∞∑l=0

AlrlPl (cos θ) , r < a. (2.179)

Para r > a, fuera de la esfera, debemos tener ϕ→ 0 para r →∞. Esto implicaque Al = 0 para r > a. Por lo tanto, la solución externa debe tener la forma

ϕex(r, θ) =∞∑l=0

Blr−(l+1)Pl (cos θ) , r > a. (2.180)

Las soluciones interna y externa deben coincidir en r = a:∞∑l=0

AlalPl (cos θ) =

∞∑l=0

Bla−(l+1)Pl (cos θ) = V (θ) , (2.181)

lo que implica

Alal = Bla

−(l+1)

⇒ Bl = Ala2l+1. (2.182)

En r = a, la solución interna da

ϕin(a, φ) = V (θ) =∞∑l=0

AlalPl (cos θ) . (2.183)

La Ec. (2.183) representa la expansión de la función V (θ) en una serie de poli-nomios de Legendre para θ ∈ [0, π]. Luego,

Al =(2l + 1)

2al

∫ π

0V (θ)Pl (cos θ) sin θ dθ. (2.184)

Entonces el potencial puede escribirse

ϕ(r, θ) =

∑∞

l=0AlrlPl (cos θ) , r < a.

∑∞l=0Al

a2l+1

rl+1Pl (cos θ) , r > a.

(2.185)

donde el coeciente Al determinado por la Ec. (2.184).


2. Encontrar el potencial dentro de una esfera de radio a, la cual está dividida endos hemisferios sujetos a potenciales constantes V y −V , respectivamente.

Figura 2.16: Esfera dividida en hemisferios sujetos a potenciales V y −V .

En este caso,

V (θ) =

V, 0 ≤ θ <π

2,

−V, π

2< θ ≤ π.

(2.186)

El coeciente Al en la Ec. (2.184) puede calcularse explícitamente

Al =(2l + 1)

2al

∫ π

0V (θ)Pl (cos θ) sin θ dθ

=(2l + 1)

2alV

[∫ π2

0Pl (cos θ) sin θ dθ −

∫ π

π2

Pl (cos θ) sin θ dθ

](2.187)

En términos de la variable x = cos θ, las integrales denidas corresponden a∫ 1

0Pl(x) dx−

∫ 0

−1Pl(x) dx = 2

∫ 1

0Pl(x) dx, para l impar. (2.188)

Luego,

Al =(2l + 1)al

V

∫ 1

0Pl(x) dx, para l impar, (2.189)

mientras que Al = 0 para l par. Usando la propiedad (iv) de los polinomios deLegendre, obtenemos

Al =(2l + 1)al

(−1)(l−1)

2(l − 2)!!(l + 1)!!

V, l impar, (2.190)


donde

(l − 2)!! ≡ (l − 2) (l − 4) (l − 6) . . . 4× 2 (2.191)

(l + 1)!! ≡ (l + 1) (l − 1) (l − 3) . . . 5× 3× 1. (2.192)

Luego, el potencial para r < a está dado por la Ec. (2.179) con los coecientesAl dados en la Ec. (2.190),

ϕ(r, θ) = V∑l impar

(−1)(l−1)

2 (2l + 1)(ra

)l (l − 2)!!(l + 1)!!

Pl (cos θ) , r < a. (2.193)

Los primeros términos de esta expresión son

ϕ(r, θ) = V

[32r

aP1 (cos θ)− 7

8

(ra

)3P3 (cos θ) +

1116

(ra

)5P5 (cos θ) + . . .

].

(2.194)

3. Calcular el potencial fuera de una esfera conductora aislada de radio a, sincarga, en presencia de un campo eléctrico externo uniforme.

Figura 2.17: Esfera conductora en un campo eléctrico externo uniforme.

Tomemos el campo eléctrico externo en la dirección z, E = Ez. El sistematiene simetría azimutal, por lo que buscamos una solucion de la forma

ϕ(r, θ) =∞∑l=0

[Alr

l +Blr−(l+1)

]Pl (cos θ) . (2.195)

Las condiciones de frontera son


(a) En r = a, ϕ(a, θ) = cte, puesto que la esfera es conductora.

(b) Para r →∞, ϕ debe corresponder al potencial del campo externo E = Ez.

La condición ϕ(a, θ) = cte signica que en r = a el potencial no depende deθ. Luego, el único polinomio de Legendre que debe aparecer en el potencialEc. (2.195) evaluado en r = a es el término correspondiente a l = 0, para elcual P0(cos θ) = 1. Esto implica que

Alal +Bla

−(l+1) = 0, ∀l > 0 (2.196)

⇒ Bl = −Ala2l+1, ∀l > 0. (2.197)

Puesto que Ez = −∂ϕ∂z = E, la condición para el potencial en r → ∞ debe

tener la forma ϕ = −Ez, donde z = r cos θ. Es decir, la condición de fronteraen r →∞ es

ϕ(r →∞, θ) = −Er cos θ. (2.198)

lo cual signica que solamente los términos AlrlPl(cos θ) sobreviven en la solu-ción Ec. (2.195) para poder satisfacer esta condición para r → ∞. De estostérminos, sólo el término l = 1, que tiene la forma P1(cos θ) = cos θ, satisfacela condición de ϕ para r →∞. Los demás términos debe ser cero,

Al = 0, Bl = 0, si l 6= 1. (2.199)

Manteniendo sólo el término l = 1 para r →∞ en la Ec. (2.195), tenemos

ϕ(r →∞, θ) = A1r cos θ = −Er cos θ, (2.200)

lo que implica que

A1 = −E, (2.201)

B1 = −A1a3 = Ea3. (2.202)

Entonces, la solución Ec. (2.195) para r > a, con el único término sobrevivientel = 1, queda

ϕ(r, θ) = −Er cos θ +Ea3

r2cos θ. (2.203)

Esta solución satisface ambas condiciones de frontera en r = a y en r →∞.


El primer término corresponde al potencial asociado al campo externo, si nohubiera esfera presente, y el segundo término corresponde al potencial producidopor la carga inducida sobre la esfera conductora.

La densidad de carga inducida sobre la esfera se puede calcular mediante larelación En = 4πσ para una supercie conductora; esto conduce a

σ(θ) =14π

Er

∣∣∣∣r=a

= − 14π

∂ϕ

∂r

∣∣∣∣r=a

(2.204)

=3E4π

cos θ. (2.205)

Note que

σ(θ) > 0, 0 ≤ θ < π2

σ(θ) < 0, π2 < θ ≤ π.

La carga total inducida sobre la esfera aislada es

Qtotal =∫σda

=3E4π

a2

∫ 2π

0dφ

∫ π

0sin θ cos θ dθ

=3E2a2 1

2

∫ π

0d(sin2 θ) =

3E4a2 sin2 θ

∣∣π0

= 0. (2.206)

4. Expansión del potencial de una carga puntual en polinomios de Legendre.

Figura 2.18: Expansión de |r− r′|−1en polinomios de Legendre.


Consideremos el potencial producido en la posición r por una carga puntualq = 1 ubicada en r′,

ϕ(r) =1

|r− r′|. (2.207)

Si escogemos r′ en la dirección z, el sistema tiene simetría azimutal con respectoal eje z. Entonces, podemos escribir

ϕ(r) =1

|r− r′|=

1

(r2 + r′2 − 2rr′ cos θ)1/2

= ϕ(r, θ) =∞∑l=0

[Alr

l +Blr−(l+1)

]Pl (cos θ) (2.208)

donde θ = γ es el ángulo entre r′ y r. Esta relación es válida ∀θ, en particularpara θ = 0, lo cual da

ϕ(r, 0) =1

|r − r′|=

∞∑l=0

[Alr

l +Blr−(l+1)

]. (2.209)

La expresión para ϕ(r, 0) se puede interpretar como una condición de fronterapara el potencial cuando θ = 0.

Supongamos r′ < r, es decir, r′/r ≡ x < 1. Entonces,

1|r − r′|

= (r − r′)−1 =1r

(1− r′

r

)−1

. (2.210)

Utilizamos la siguiente expansión en serie para x < 1,

(1− x)−1 =∞∑l=0

xl = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + · · · (2.211)

Luego, para r′ < r,

1r

∞∑l=0

(r′

r

)l=

∞∑l=0

[Alr

l +Blr−(l+1)

], (2.212)


lo cual implica que1r

(r′

r

)l= Alr

l +Blr−(l+1). (2.213)

Entonces, para r′ < r y ∀ θ, la Ec. (2.208) da

1|r− r′|

=1r

∞∑l=0

(r′

r

)lPl(cos θ). (2.214)

Si r′ > r, una expansión similar se puede obtener intercambiando r ↔ r′.

En general, si γ es el ángulo entre r′ y r, podemos escribir la expansión

1|r− r′|

=1r>

∞∑l=0

(r<r>

)lPl(cos γ), (2.215)

donde r< es el menor entre r y r′, y r> es el mayor entre r y r′.

5. Calcular el potencial producido en todo el espacio por una carga q uniforme-mente distribuida sobre un aro de radio a.

Figura 2.19: Potencial producido por un aro cargado.

Tomemos el eje z perpendicular al plano del aro y que pasa por su centro. Estesistema posee simetría azimutal. El diferencial de potencial producido sobre eleje z por un elemento del aro de longitud ds es

dϕ(z) =q

2πads

(a2 + z2)1/2. (2.216)

El potencial total para una distancia z sobre el eje es

ϕ(z) =q

(a2 + z2)1/2, (2.217)


el cual, en coordenadas esféricas con simetría azimutal, corresponde a la condi-ción de frontera para θ = 0,

ϕ(r, 0) =q

(a2 + r2)1/2. (2.218)

La solución para el potencial en todo el espacio tiene la forma

ϕ(r, θ) =∞∑l=0

[Alr

l +Blr−(l+1)

]Pl(cos θ). (2.219)

Para θ = 0 debemos tener,

q

(a2 + r2)1/2=

∞∑l=0

[Alr

l +Blr−(l+1)

]. (2.220)

Para determinar los coecientes Al y Bl, debemos expandir la función en ellado izquierdo de la Ec. (2.220) en serie de potencias de r, y comparar esa seriecon la expresión en el lado derecho. En tal sentido, consideremos la siguienteexpansión válida para x < 1,

(1± x)−1/2 = 1∓ 12x+

1 · 32 · 4

x2 ∓ 1 · 3 · 52 · 4 · 6

x3 +1 · 3 · 5 · 72 · 4 · 6 · 8

x4 ∓ · · · (2.221)

Supongamos r > a, y denamos x ≡ a2/r2 < 1. Entonces, la función en el ladoizquierdo de la Ec. (2.220) puede expandirse en serie como

q

(a2 + r2)1/2=q

r

(1 +

a2

r2

)−1/2

=q

r

[1− 1

2

(ar

)2+

1 · 32 · 4

(ar

)4− 1 · 3 · 5

2 · 4 · 6

(ar

)6+

1 · 3 · 5 · 72 · 4 · 6 · 8

(ar

)8+ · · ·

]=q

r

∞∑l par

(−1)l/2(l − 1)!!l!!

(ar

)l, l = 0, 2, 4, . . . (2.222)

Comparando la Ec. (2.222) con la Ec. (2.220) para θ = 0, tenemos

q

∞∑l par

(−1)l/2al

rl+1

(l − 1)!!l!!

=∞∑l=0

[Alr

l +Blr−(l+1)

](2.223)


lo que implica que

Al = 0 (2.224)

Bl = q (−1)l/2 al(l − 1)!!l!!

, l = 0, 2, 4, . . . (2.225)

Luego, el potencial para r > a es

ϕ(r, θ) = q

∞∑l par

(−1)l/2al

rl+1

(l − 1)!!l!!

Pl(cos θ) . (2.226)

Similarmente, intercambiando r ↔ a, obtenemos para r < a,

ϕ(r, θ) = q

∞∑l par

(−1)l/2rl

al+1

(l − 1)!!l!!

Pl(cos θ). (2.227)

Ambos resultados pueden expresarse en la siguiente forma

ϕ(r, θ) = q

∞∑l par

(−1)l/2rl<

rl+1>

(l − 1)!!l!!

Pl(cos θ) , (2.228)

donde r< es el menor entre r y a, y r> es el mayor entre r y a.

2.9 Armónicos esféricos.

Hemos visto que la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas puedeencontrarse en la forma

ϕ(r, θ, φ) =U(r)r

Y (θ, φ). (2.229)

donde Y (θ, φ) = P (θ)Q(φ), y Q(φ) = e±imφ.El método de separación de variables, empleando la solución Ec. (2.229), conduce

a la Ec. (2.166) para la función P (θ), esto es,

1sin θ

d

dθ

(sin θ

dP

dθ

)+[l (l + 1)− m2

sin2 θ

]P = 0 (2.230)

2.9. ARMÓNICOS ESFÉRICOS. 101

En particular, si m = 0, el potencial no depende del ángulo φ; es decir el sistemaposee simetría azimutal. En ese caso, vimos que la solución para el potencial puedeexpresarse mediante una expansión en serie de los polinomios de Legendre,

ϕ(r, θ) =∞∑l=0

[Alr

l +Blr−(l+1)

]Pl(cos θ). (2.231)

La Ec. (2.230) con el cambio de variables x = cos θ, se puede expresar como laecuación generalizada de Legendre,

d

dx

[(1− x2

) dP (x)dx

]+[l (l + 1)− m2

1− x2

]P (x) = 0. (2.232)

Las soluciones de la Ec. (2.232) para m 6= 0 corresponden a los polinomios asociados

de Legendre, denidos por la formula generalizada de Rodrigues,

Pml (x) =(−1)m

2l l!(1− x2)m/2

dl+m

dxl+m(x2 − 1

)l, (2.233)

con

l = 0, 1, 2, . . . (2.234)

m = −l,−(l − 1), . . . , 0, . . . , (l + 1), l . (2.235)

Luego, la parte angular de la solución Ec. (2.229) de la ecuación de Laplace tienela forma Y (θ, φ) = P (θ)Q(φ) = Pml (cos θ) e±imφ. La dependencia angular puedeexpresarse mediante las funciones armónicos esféricos, denidas como

Ylm(θ, φ) =

√(2l + 1)

4π(l −m)!(l +m)!

Pml (cos θ) eimφ . (2.236)

La forma explícita de los primeros armónicos esféricos es la siguiente,

l = 0 Y00 =1√4π

(2.237)

l = 1

Y11 = −√

34π

sin θ eiφ

Y10 =√

34π

cos θ

Y1,−1 =√

34π

sin θ e−iφ.

(2.238)


Algunas propiedades de los armónicos esféricos son

i) Conjugación:Yl,−m(θ, φ) = (−1)m Y ∗

lm(θ, φ). (2.239)

ii) Ortonormalidad:∫ 2π

0dφ

∫ π

0sin θ dθ Y ∗

l′m′(θ, φ)Ylm(θ, φ) = δl′l δm′m . (2.240)

iii) Completitud:∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ) = δ(φ− φ′) δ(cos θ − cos θ′) . (2.241)

iv) Teorema de la adición:Si γ es el ángulo entre los vectores r′ = (r′, θ′, φ′) y r = (r, θ, φ), en coordenadasesféricas, entonces

Pl(cos γ) =4π

(2l + 1)

l∑m=−l

Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ) . (2.242)

Figura 2.20: Teorema de la adición para armónicos esféricos.

En particular, si γ = 0, tenemos θ′ = θ y φ′ = φ; entoncesl∑

m=−l|Ylm(θ, φ)|2 =

(2l + 1)4π

. (2.243)

2.9. ARMÓNICOS ESFÉRICOS. 103

Los armónicos esféricos forman una base completa para expresar cualquier funciónf(θ, φ), denida en θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π]:

f(θ, φ) =∞∑l=0

l∑m=−l

Alm Ylm(θ, φ), (2.244)

donde los coecientes está determinados por

Alm =∫ 2π

0dφ

∫ π

0sin θ dθ Y ∗

lm(θ, φ) f(θ, φ). (2.245)

Los armónicos esféricos Ylm(θ, φ) satisfacen la ecuación para las variables angu-lares,

1sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Ylm∂θ

)+ l (l + 1)Ylm −

1sin2 θ

∂2Ylm∂φ2

= 0 . (2.246)

La solución general Ec. (2.229) de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricaspuede escribirse en términos de potencias de r y de los armónicos esféricos como

ϕ(r, θ, φ) =∞∑l=0

l∑m=−l

[Alm r

l +Blm r−(l+1)

]Ylm(θ, φ). (2.247)

Los coecientes Alm y Blm se determinan mediante las condiciones de frontera delproblema particular.

Note que para m = 0, la solución general Ec. (2.247) corresponde a la solucióncon simetría azimutal, Ec. (2.231).

Ejemplos.

1. Vimos que el potencial producido en r por una carga puntual q = 1 ubicada enr′ se puede expresar en la forma

1|r− r′|

=1r>

∞∑l=0

(r<r>

)lPl(cos γ). (2.248)

Empleando el teorema de la adición para los esféricos armónicos, podemos es-cribir

1|r− r′|

= 4π∞∑l=0

l∑m=−l

1(2l + 1)

rl<

rl+1>

Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ). (2.249)


Supongamos r> = r, y r< = r′. Entonces, comparando la expansión anteriorcon la solución general Ec. (2.247), obtenemos

Alm = 0 (2.250)

Blm =4πr′l

(2l + 1)Y ∗lm(θ′, φ′), (2.251)

de modo que el potencial Ec. (2.247) se hace cero en el innito.

2. Expansión del potencial ϕ(r) de una distribución de carga ρ(r′), para r > r′,en serie de armónicos esféricos.

Recordemos la siguiente expansión para r = (r, θ, φ) y r′ = (r′, θ′, φ′),

1|r− r′|

= 4π∞∑l=0

l∑m=−l

1(2l + 1)

rl<

rl+1>

Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ). (2.252)

En este caso, r< = r′, r> = r. Entonces,

ϕ(r) =∫

ρ(r′)|r− r′|

d3r′ = 4π∫ρ(r′)

[ ∞∑l=0

l∑m=−l

1(2l + 1)

r′l

rl+1Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ)

]d3r′

lo cual se puede escribir

ϕ(r) = 4π∞∑l=0

l∑m=−l

1(2l + 1)

[∫ρ(r′)r′l Y ∗

lm(θ′, φ′) d3r′]Ylm(θ, φ)rl+1

= 4π∞∑l=0

l∑m=−l

qlm(2l + 1)

Ylm(θ, φ)rl+1

(2.253)

donde hemos denotado los momentos multipolares generalizados como

qlm =∫ρ(r′) r′l Y ∗

lm(θ′, φ′) d3r′ . (2.254)

2.10. EXPANSIÓN DE LA FUNCIÓN DEGREEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS.105

Las cantidades qlm se pueden expresar en términos de los momentos q, p, Qij ,etc. Por ejemplo,

q00 =∫ρ(r′)Y ∗

00(θ′, φ′) d3r′ =

1√4π

∫ρ(r′) d3r′ =

1√4π

q.

q10 =∫ρ(r′) r′ Y ∗

10(θ′, φ′) d3r′ =

√34π

∫ρ(r′) r′ cos θ′ d3r′

=

√34π

∫ρ(r′) z′ d3r′ =

√34π

pz.

q11 =∫ρ(r′) r′ Y ∗

11(θ′, φ′) d3r′ = −

√34π

∫ρ(r′) r′ sin θ eiφ d3r′

= −√

34π

∫ρ(r′) (x− iy) d3r′

= −√

34π

(px − ipy).

2.10 Expansión de la función de Green en coordenadas

esféricas.

Vimos que la solución de la ecuación de Poisson, ∇2ϕ(r) = −4πρ, dentro de unvolumen V con condiciones de frontera tipo Dirichlet ϕ|S sobre la supercie S queencierra a V , se puede expresar como

ϕ(r) =∫Vρ(r′)GD

(r, r′

)d3r′ − 1

4π

∮Sϕ(r′) ∂GD∂n′

da′, (2.255)

donde la función de Green satisface G(r, r′)|S = 0.Consideremos un volumen V limitado por dos esferas concéntricas que constituyen

la supercie S. Sean a el radio de la esfera interior y b el radio de la esfera exterior.Entonces, la magnitud de r en la región de interés para la solución es tal que a ≤ r ≤ b.

Para este tipo de problemas que poseen simetría esférica, es conveniente expresarla función de Green en coordenadas esféricas. En esta sección, mostraremos quela función de Green GD(r, r′) se puede representar como una expansión en serie dearmónicos esféricos.


Figura 2.21: Volumen V para la expansión de la función de Green en coordenadas esféricas.

La función GD(r, r′) = G (r, r′) satisface

∇2rG(r, r′

)= −4πδ

(r− r′

), (2.256)

donde el subíndice del Laplaciano indica derivadas con respecto a las coordenadas der, con condición de frontera G (r, r′)|S = 0, para r ó r′ en r = a y en r = b.

Vimos en el Cap. 1 que la función delta de Dirac δ(r − r′) se puede expresar encoordenadas esféricas como

δ(r− r′) =1r2δ(r − r′

)δ(φ− φ′


). (2.257)

Usando la relación de completitud de los armónicos esféricos,

δ(φ− φ′


)=

∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗lm

(θ′, φ′

)Ylm (θ, φ) , (2.258)

podemos escribir

δ(r− r′

)=

1r2δ(r − r′

) ∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗lm

(θ′, φ′

)Ylm (θ, φ) . (2.259)

Luego,

∇2rG(r, r′

)= −4π

r2δ(r − r′

) ∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗lm

(θ′, φ′

)Ylm (θ, φ) . (2.260)


Supongamos una solución G (r, r′), como función de r (r, θ, φ), en forma de ex-pansión en armónicos esféricos:

G(r, r′

)= G

(r, r′, θ, θ′, φ, φ′

)=

∞∑l=0

l∑m=−l

Alm(r, r′, θ′, φ′

)Ylm (θ, φ) . (2.261)

Para determinar los coecientesAlm, debemos sustituir esta expansión en la Ec. (2.260)y comparar ambos lados de la relación resultante.

El lado izquierdo de la Ec. (2.260) conduce a

∇2rG(r, r′) =

1r

∂2

∂r2(r G) +

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂G

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2G

∂φ2

=∑l

∑m

Ylm (θ, φ)

r

∂2

∂r2(r Alm

(r, r′, θ′, φ′

))+

Alm (r, r′, θ′, φ′)r2

[1

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θYlm (θ, φ)

)+

1sin2 θ

∂2

∂φ2Ylm (θ, φ)

]. (2.262)

Recordemos que Ylm(θ, φ) satisface la ecuación angular

1sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θYlm (θ, φ)

)+ l (l + 1)Ylm +

1sin2 θ

∂2

∂φ2Ylm (θ, φ) = 0. (2.263)

Sustitución de esta relación en la Ec. (2.262) da

∇2rG(r, r′) =

∑l,m

[Ylm(θ, φ)

r

∂2

∂r2(r Alm

(r, r′, θ′, φ′

))− Alm (r, r′, θ′, φ′)

r2l (l + 1)Ylm(θ, φ)

]

=∑l,m

[1r

∂2

∂r2(r Alm

(r, r′, θ′, φ′

))− l (l + 1)Alm (r, r′, θ′, φ′)

r2

]Ylm(θ, φ).(2.264)

Luego, comparando con la Ec. (2.260), debemos tener la siguiente relación entre loscoecientes de Ylm(θ, φ),

1r

∂2

∂r2(r Alm

(r, r′, θ′, φ′

))− l (l + 1)Alm (r, r′, θ′, φ′)

r2= −4π

r2δ(r − r′

)Y ∗lm

(θ′, φ′

).

(2.265)


La Ec. (2.265) constituye una ecuación en derivadas parciales para Alm(r, r′, θ′, φ′).Su forma sugiere buscar una solución por separación de variables, tal como

Alm(r, r′, θ′, φ′

)= gl

(r, r′

)Y ∗lm

(θ′, φ′

). (2.266)

Sustitución en la Ec. (2.265) da la siguiente ecuación para gl(r, r′):

1r

d2

dr2(r gl(r, r′

))− l (l + 1)

r2gl(r, r′

)= −4π

r2δ(r − r′

). (2.267)

Consideremos primero la Ec. (2.267) para el caso r 6= r′,

(rg)′′ − l (l + 1)r

g = 0. (2.268)

Si hacemos la sustitución U = rg, se obtiene la ecuación

U ′′ − l (l + 1)r2

U = 0. (2.269)

cuya solución ya fue encontrada como

U = Arl+1 + B r−l (2.270)

Por lo tanto,g(r, r′) = Arl +B r−(l+1). (2.271)

La función g(r, r′) corresponde a la parte radial de la función de Green en la Ec. (2.261),y por lo tanto debe satisfacer las condiciones de frontera

G|S = 0 ⇒g(a, r′) = 0 , r = a

g(b, r′) = 0 , r = b.(2.272)

Evaluando la función g(r, r′) de la Ec. (2.271) en r = a, obtenemos

Aal +B a−(l+1) = 0 ⇒ B = −Aa2l+1, (2.273)

luego,

g(r, r′

)= A

(rl − a2l+1

rl+1

), válida para r < r′. (2.274)


Similarmente, en r = b obtenemos

A = −B b−(2l+1), (2.275)

luego,

g(r, r′) = B

(1rl+1

− rl

b2l+1

), válida para r > r′. (2.276)

Puesto que la función de Green debe tener simetría ante el intercambio r ↔ r′, lafunción g(r, r′) se puede expresar en general como

g(r, r′

)= C

(rl< −

a2l+1

rl+1<

)(1rl+1>

−rl>b2l+1

), (2.277)

donde r> es el mayor entre r y r′, y r< es el menor entre r y r′.Para determinar la constante C, consideramos la Ec. (2.267) para g (r, r′), en el

caso r → r′ tal que δ(r − r′) 6= 0,

d2

dr2rg(r, r′

)− l (l + 1)

rg(r, r′

)= −4π

rδ(r − r′

). (2.278)

Integramos todos los términos de esta ecuación desde r = r′ − ε hasta r = r′ + ε,∫ r=r′+ε

r=r′−ε

d2

dr2(rg(r, r′

))dr − l (l + 1)

∫ r=r′+ε

r=r′−ε

g (r, r′)r

dr

= −4π∫ r=r′+ε

r=r′−ε

δ (r − r′)r

dr (2.279)

y tomamos el límite ε→ 0:

d

dr

[rg(r, r′

)]∣∣∣∣r=r′+ε

− d

dr

[rg(r, r′

)]∣∣∣∣r=r′−ε

= −4πr′. (2.280)

Existe una discontinuidad en la derivada de rg (r, r′) en r = r′.


Figura 2.22: Discontinuidad en la derivada de la parte radial de la función de Green en r = r′.

Debemos evaluar las derivadas (rg)′∣∣r=r′+ε

y (rg)′∣∣r=r′−ε, y tomar el límite ε→ 0:

i) Para r = r′ + ε, tenemos r > r′, y por lo tanto, r< = r′, r> = r. Luego,utilizando la Ec. (2.277),

rg(r, r′

)= C

(r′l − a2l+1

r′l+1

)(1rl− rl+1

b2l+1

). (2.281)

Evaluamos la derivada en r = r′ + ε, y hacemos ε→ 0,

d

dr(rg)

∣∣∣∣r=r′+ε

ε→0

= −C(r′l − a2l+1

r′l+1

) [l

rl+1+

(l + 1) rl

b2l+1

]∣∣∣∣r=r′

= −C(r′l − a2l+1

r′l+1

)[l

r′l+1+

(l + 1) r′l

b2l+1

]

= −Cr′l(

1− a2l+1

r′2l+1

)1

r′l+1

[l + (l + 1)

r′2l+1

b2l+1

]

= −Cr′

[1−

( ar′

)2l+1][l + (l + 1)

(r′

b

)2l+1]. (2.282)

ii) Para r = r′ − ε, tenemos r < r′, y por lo tanto r< = r, r> = r′. Luego,utilizando la Ec. (2.277),

rg(r, r′

)= C

(rl+1 − a2l+1

rl

)(1

r′l+1− r′l

b2l+1

). (2.283)


Evaluamos la derivada en r = r′ − ε, y hacemos ε→ 0,

d

dr(rg)

∣∣∣∣r=r′+ε

ε→0

= C

[(l + 1) rl +

l a2l+1

rl+1

](1

r′l+1− r′l

b2l+1

)∣∣∣∣∣r=r′

= Cr′l

r′l+1

[(l + 1) +

l a2l+1

r′2l+1

](1− r′2l+1

b2l+1

)

=C

r′

[(l + 1) + l

( ar′

)2l+1][

1−(r′

b

)2l+1]. (2.284)

Sustituyendo en la Ec. (2.280), tenemos

− C

r′

[1−

( ar′

)2l+1][l + (l + 1)

(r′

b

)2l+1]

− C

r′

[(l + 1) + l

( ar′

)2l+1][

1−(r′

b

)2l+1]

= −4πr′, (2.285)

de donde podemos obtener C,

C

[l + (l + 1)

(r′

b

)2l+1

− l( ar′

)2l+1− (l + 1)

( ar′

)2l+1(r′

b

)2l+1

+(l + 1)− (l + 1)(r′

b

)2l+1

+ l( ar′

)2l+1− l( ar′

)2l+1(r′

b

)2l+1]

=4πr′

C

[l − (l + 1)

(ab

)2l+1+ (l + 1)− l

(ab

)2l+1]

=4πr′

C (2l + 1)[1−

(ab

)2l+1]

=4πr′

⇒ C =4π

(2l + 1)[1−

(ab

)2l+1] . (2.286)


Luego, la función g(r, r′) en la Ec. (2.277) es

g(r, r′) =4π

(2l + 1)[1−

(ab

)2l+1] (rl< − a2l+1

rl+1<

)(1rl+1>

−rl>b2l+1

). (2.287)

Entonces, la función de Green en la Ec. (2.261)

G(r, r′) =∞∑l=0

l∑m=−l

Alm(r, r′, θ, θ′, φ, φ′

)Ylm (θ, φ)

=∞∑l=0

l∑m=−l

gl(r, r′

)Y ∗lm

(θ′, φ′

)Ylm (θ, φ) , (2.288)

se puede expresar, sustituyendo g(r, r′), como

G(r, r′) = 4π∞∑l=0

l∑m=−l

(rl< −

a2l+1

rl+1<

)(1rl+1>

−rl>b2l+1

)

(2l + 1)[1−

(ab

)2l+1] Y ∗

lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ) . (2.289)

La Ec. (2.289) constituye la expansión de la función de Green G(r, r′) en coordenadasesféricas, donde r> es el mayor entre r y r′, y r< es el menor entre r y r′.

Algunos casos particulares de interés son

i) Potencial de una carga puntual en el espacio libre, que corresponde al casoa→ 0, b→∞,

G(r, r′) = 4π∞∑l=0

l∑m=−l

1(2l + 1)

rl<

rl+1>

Y ∗lm

(θ′, φ′

)Ylm (θ, φ) =

1|r− r′|

. (2.290)

ii) Problema interior de la esfera, que corresponde a a→ 0, b nito, igual al radiode la esfera.

iii) Problema exterior de la esfera, que corresponde a a nito, igual al radio de laesfera, y b→∞.

2.11. APLICACIONES DE LA EXPANSIÓN ESFÉRICA DE LA FUNCIÓN DEGREEN.113

2.11 Aplicaciones de la expansión esférica de la función

de Green.

La solución general de la ecuación de Poisson con condiciones de frontera tipo Dirich-let es

ϕ(r) =∫Vρ(r′)G(r, r′) d3r′ − 1

4π

∮Sϕ(r′)

∂G

∂nda′. (2.291)

En problemas de potencial con simetría esférica, podemos emplear la función de Greenen términos de su expansión esférica, Ec. (2.289).

Ejemplos.

1. Calcular el potencial dentro de esfera radio b, sin carga en su interior, sujeta aun potencial V (θ, φ) en su supercie.

Figura 2.23: Esfera sujeta a potencial V (θ, φ) en su supercie.

Para este problema, tomamos G(r, r′) en la Ec. (2.289) con a = 0,

G(r, r′) = 4π∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ)

(2l + 1)rl<

(1rl+1>

−rl>b2l+1

)(2.292)

donde r> es el mayor entre r y r′; r< es el menor entre r y r′, y la sustituimosen la solución para ϕ en la Ec. (2.291). Puesto que no hay cargas dentro delvolumen V correspondiente a la esfera de radio b, tenemos ρ = 0 en V y, porlo tanto,

ϕ(r) = − 14π

∮Sϕ(r′)

∂G

∂nda′ (2.293)

donde ϕ|S = V (θ, φ).


Calculamos∂G

∂n′

∣∣∣∣S

=∂G

∂r′

∣∣∣∣r′=b

. (2.294)

Cuando r′ = b, tenemos r′ > r; luego r< = r y r> = r′. Entonces, la forma dela función de Green que se debe tomar en la frontera r′ = b es

G(r, r′) = 4π∞∑l=0

l∑m=−l


(2l + 1)rl

(1

r′l+1− r′l

b2l+1

). (2.295)

Luego,

∂G

∂r′= −4π

∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗lm (θ′, φ′)Ylm (θ, φ)

(2l + 1)rl(l + 1r′l+2

+l r′l−1

b2l+1

). (2.296)

En la supercie de la esfera,

∂G

∂r′

∣∣∣∣r′=b

= −4π∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗lm (θ′, φ′)Ylm (θ, φ)

(2l + 1)rl(l + 1bl+2

+lbl−1

b2l+1

)

= −4πb2

∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗lm

(θ′, φ′

)Ylm (θ, φ)

(rb

)l. (2.297)

Sustituyendo en la Ec. (2.293), con diferencial de área da′ = b2 dφ′ sin θ′dθ′,obtenemos

ϕ(r) =1b2

∮SV (θ′, φ′)

[ ∞∑l=0

l∑m=−l


(rb

)l]b2 dφ′ sin θ′ dθ′

=∞∑l=0

l∑m=−l

Alm

(rb

)lYlm(θ, φ), (2.298)

donde

Alm =[∫

V (θ′, φ′)Y ∗lm(θ′, φ′) dφ′ sin θ′ dθ′

]. (2.299)

Note que el potencial Ec. (2.298) tiene la misma forma que la solución generalde la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, Ec. (2.247), para el interiorde una esfera sin cargas.


2. Calcular ϕ dentro de una esfera conductora de radio b, conectada a tierra, yen cuyo centro se encuentra un aro de radio a < b que posee una carga quniformemente distribuida.

Figura 2.24: Esfera conectada a tierra, con un aro cargado en su interior.

Debemos expresar la densidad de carga del aro en términos de funciones deltade Dirac. Esto es, ρ(r′) ∝ qδ(r−r′). Recordemos que la función delta de Dirac,en coordenadas esféricas, corresponde a (Cap. 1, Ec. (1.50))

δ(r− r′) =1r2δ(r − r′

)δ(φ− φ′


). (2.300)

La carga está localizada en r = a, θ = π/2, ∀φ. Luego,

ρ(r′) = kq

a2q δ(r′ − a

)δ (cos θ) , (2.301)

donde k es una constante que se determina mediante la condición∫ρ(r′)d3r′ = q . (2.302)

Entonces,∫ρ(r′)d3r′ = k

q

a2

∫δ(r′ − a)δ(cos θ)r′2 dr dφ d(cos θ)

= kq

a2

∫ 2π

0dφ

∫ b

0δ(r′ − a)r′2dr

∫ π

0δ(cos θ)d(cos θ)

= kq 2π = q ⇒ k =12π

. (2.303)


Luego,

ρ(r′) =q

2πa2δ(r′ − a

)δ (cos θ) . (2.304)

La solución para el potencial dentro del volumen V de la esfera es

ϕ(r) =∫Vρ(r′)G(r, r′) d3r′ − 1

4π

∮Sϕ(r′)

∂G

∂nda′ , (2.305)

con las siguientes condiciones de frontera

(a) ϕ|S = 0 sobre la la supercie S de la esfera. Luego, la integral sobre lasupercie S es cero, y el potencial dentro de la esfera es

ϕ(r) =∫Vρ(r′)G(r, r′)d3r′. (2.306)

(b) a = 0 en la función de Green G(r, r′) expandida en coordenadas esféricas.

(c) Simetría azimutal: ϕ(r) independiente de φ; esto implica que m = 0 en laexpansión de G(r, r′) en coordenadas esféricas.

Estas condiciones implican que la función de Green debe tener la forma

G(r, r′) = 4π∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗l0(θ

′, φ′)Yl0(θ, φ)(2l + 1)

rl<

(1rl+1>

−rl>b2l+1

). (2.307)

donde

Yl0(θ, φ) =

√2l + 1

4πPl (cos θ) . (2.308)

Luego,

G(r, r′) =∞∑l=0

Pl(cos θ′

)Pl (cos θ) rl<

(1rl+1>

−rl>b2l+1

). (2.309)

Consideremos el caso r > r′. Entonces r> = r, r< = r′, y el potencial


Ec. (2.306)) resulta en

ϕ(r) =q

2πa2

∫δ(r′ − a)δ(cos θ′)

[ ∞∑l=0

Pl(cos θ′)Pl(cos θ)r′l(

1rl+1

− rl

b2l+1

)]×

× r′2dr′dφ′d(cos θ′

)=

q

2πa2

∞∑l=0

[∫ 2π

0dφ′∫ b

0δ(r′ − a)r′2+ldr′

∫ π

0δ(cos θ′)Pl(cos θ′)d(cos θ′)

]×

×(

1rl+1

− rl

b2l+1

)Pl(cos θ).

Esto es,

ϕ(r) = q

∞∑l=0

al Pl(0)(

1rl+1

− rl

b2l+1

)Pl(cos θ). (2.310)

En el caso r < r′, tenemos r< = r, r> = r′, y

ϕ(r) =q

2πa2

∫Vδ(r′ − a)δ(cos θ′)

[ ∞∑l=0

Pl(cos θ′)Pl(cos θ)rl(

1r′l+1

− r′l

b2l+1

)]×

× r′2dr′dφ′d(cos θ′)

=q

2πa2

∞∑l=0

[∫ 2π

0dφ′∫ b

0δ(r′ − a)r′2

(1

r′l+1− r′l

b2l+1

)dr′∫δ(cos θ′)Pl(cos θ′)d(cos θ′)

]×

× rlPl(cos θ).

Esto es,

ϕ(r′) = q

∞∑l=0

rlPl(0)(

1al+1

− al

b2l+1

)Pl(cos θ). (2.311)

Ambos casos se pueden expresar como

ϕ(r) = q

∞∑l=0

rl< Pl(0)

(1rl+1>

−rl>b2l+1

)Pl(cos θ). (2.312)


Sustituyendo

Pl(0) =

0, l impar

(−1)l/2(l − 1)!!l!!

, lpar,(2.313)

podemos escribir

ϕ(r) = q

∞∑l par

(1)l/2(l − 1)!!l!!

rl<

(1rl+1>

−rl>b2l+1

)Pl(cos θ), (2.314)

donde r> es el mayor entre r y a, y r< es el menor entre r y a.

En el límite b→∞, tenemos un aro cargado en el espacio libre, y el potencialda

ϕ(r) = q

∞∑lpar

(−1)l/2(l − 1)!!l!!

rl<

rl+1>

Pl(cos θ), (2.315)

el cual es el mismo resultado obtenido anteriormente en la Sec. 2.8.


Resumen

1. Potencial con condiciones de frontera tipo Dirichlet ϕ|S ,

ϕ (r) =∫

V

ρ (r′)GD (r, r′) d3r′ − 14π

∮S

ϕ (r′)∂GD

∂n′da′.

2. Serie de Fourier para f(x), x ∈ [−c, c], ó x ∈ [0, 2c],

f(x) =b02

+∞∑

n=1

bn cos(nπx

c

)+

∞∑n=1

an sin(nπx

c

)an =

1c

∫ c

−c

f(x) sin(nπx

c

)dx

bn =1c

∫ c

−c

f(x) cos(nπx

c

)dx

3. Solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas, ϕ(x, y, z) = XY Z,

X = A cos (αx)±B sin (αx) → e±iαx

Y = A cos (βx)±B sin (βx) → e±iβy

Z = A′ sinh (γz)±B′′ cosh (γz) → Aeγz ±Be−γz

γ =√α2 + β2.

4. Solución de la ecuación de Laplace en coordenadas polares,

ϕ(r, φ) = a0 + b0 ln r +∞∑

n=1

(anr

n + bnr−n)[An cos(nφ) +Bn sin(nφ)] .

5. Solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas con simetría azimutal,

ϕ(r, θ) =∞∑

l=0

[Alr

l +Blr−(l+1)

]Pl(cos θ).

Los coecientes Al y Bl se determinan mediante las condiciones de frontera del pro-blema.

f(θ) =∞∑

l=0

AlPl(cos θ)

Al =(2l + 1)

2

∫ π

0

f(θ)Pl(cos θ) sin θ dθ.


6. Solución general de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas,

ϕ(r, θ, φ) =∞∑

l=0

l∑m=−l

[Alm rl +Blm r−(l+1)

]Ylm(θ, φ).

Los coecientes Alm y Blm se determinan mediante las condiciones de frontera delproblema,

f(θ, φ) =∞∑

l=0

l∑m=−l

Alm Ylm(θ, φ),

Alm =∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

sin θ dθ Y ∗lm(θ, φ) f(θ, φ).

7. Expansión de la función de Green en armónicos esféricos,

G(r, r′) = 4π∞∑

l=0

l∑m=−l

(rl< −

a2l+1

rl+1<

)(1rl+1>

−rl>

b2l+1

)(2l + 1)

[1−

(ab

)2l+1] Y ∗

lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ) .

2.12. PROBLEMAS. 121

2.12 Problemas.

1. Demuestre que el potencial eléctrico en cualquier punto dentro de una regionlibre de cargas es igual al promedio del potencial sobre cualquier supercieesférica centrada en ese punto.

2. Si ϕ es el potencial dentro de un volumen V , debido a una densidad de cargaρ dentro de V y a una densidad de carga supercial σ sobre una supercieconductora que encierra a V , mientras que Ψ es el potencial debido a otrasdensidades de cargas ρ′ y σ′ en V y S, respectivamente, demuestre que∫

VρΨd3r +

∫SσΨda =

∫Vρ′ϕd3r +

∫Sσ′ϕda.

3. Suponga que los planos xy y zy son conductores conectados a tierra. Calculeel trabajo para traer una carga +q desde el innito hasta un punto ubicado auna igual distancia d perpendiclar a cada uno de estos planos.

4. Un cubo conductor está denido por los seis planos x = 0, y = 0, z = 0, yx = a, y = a, z = a. Los lados z = 0 y z = a se mantienen a un potencialconstante V , mientras que los otros lados están conectados a tierra.a) Encontrar el potencial en todo punto dentro del cubo.b) Determinar la carga supercial inducida en la cara z = a.

5. Un hemisferio de radio a sobresale de un plano conductor innito conectado atierra. Una carga q se encuentra a una distancia b > a del plano, sobre el ejede simetría azimutal del hemisferio.a) Encuentre la distribución supercial de carga inducida en el conductor.b) Calcule la fuerza sobre la carga q.c) Calcule el trabajo necesario para traer la carga q desde el innito hasta suubicación.

6. El espacio entre dos esferas conductors concéntricas de radios R1 y R2 > R1 seencuentra lleno de un plasma con densidad constante de carga ρ. Las esferasestán a potenciales constantes V1 y V2, respectivamente. Encuentre el potencialen cualquier punto entre las esferas.


7. Una esfera de radio a tiene un potencial constante Vo. Encuentre la fuerzasobre una carga q colocada a una distancia R del centro de la esfera en loscasos R > a y R < a.

8. Dos cargas +q y −q se encuentran en las posiciones (x = a, y = 0, z = a) y(x = −a, y = 0, z = a), respectivamente. Suponga que el plano z = 0 es unconductor conectado a tierra. Encuentre:a) la fuerza sobre la carga +q;b) el trabajo realizado por un agente externo para ensamblar esta conguraciónde cargas;c) la densidad supercial de carga en el punto (a, 0, 0).

9. Tres cargas puntuales q,−2q y q están localizadas sobre el eje z en z = a, z = 0y z = −a, respectivamente. Encuentre el potencial eléctrico lejos de las cargas.

10. Un cilindro conductor sin carga, de radio a y longitud innita, se coloca en uncampo eléctrico uniforme de magnitud E dirigido perpendicularmente al eje delcilindro.a) Encuentre el potencial eléctrico dentro y fuera del cilindro.b) Calcule la densidad de carga supercial inducida en el cilindro.

11. Dos mitades longitudinales de un tubo cilíndrico hueco, de longitud innita yradio b, están sujetas a potenciales constantes V1 y V2, respectivamente. Calculeel potencial dentro del tubo.

12. Dos cargas iguales +q están separadas una distancia d. Una esfera conductoraconectada a tierra se coloca justo en la mitad de la distancia entre las cargas.a) Calcule el radio que debe tener la esfera para que las cargas permanezcan enequilibrio.b) Encuentre el potencial fuera de la esfera en el caso (a).c) Calcule la fuerza entre las cargas si la esfera, con el radio determinado en(a), ahora se mantiene a un potencial constante V .

13. Un dipolo p se coloca a una distancia h de un plano conductor innito, formandoun ángulo α con respecto a la normal al plano.a) Calcule la magnitud y dirección de la fuerza sobre el dipolo.b) Calcule el trabajo requerido para llevar el dipolo al innito.

2.12. PROBLEMAS. 123

14. Dos cargas puntuales q y −q están ubicadas sobre el eje z en z = a y z = −a,respectivamente. Encontrar el potencial en el espacio para r < a y r > a.

15. Un condensador está formado por dos conductores planos, uno de los cualestiene una pequeña protuberancia hemisférica de radio a en su supercie interna,y el cual está conectado a tierra. El conductor plano se encuentra a un potencialtal que el campo eléctrico en el condensador, lejos del hemisferio, es uniformey de magnitud Eo. Calcule la densidad de carga inducida en el hemisferio.

16. Un disco de radio a posee una carga q uniformemente distribuida en su super-cie. Determine el potencial eléctrico para distancias mayores que a.

17. El potencial de una esfera de radio a es V = Vo cos θ, donde θ es el ángulo conrespecto al eje z en coordenas esféricas. Encuentre el potencial en todo puntodel espacio, dentro y fuera de la esfera.

18. Un disco delgado de radio a posee una densidad de carga supercial σ = k(a2−R2)−1/2, donde k es una constante y R es la distancia desde el centro del disco.Encuentre el potencial eléctrico para distancias mayores que a.

19. Una varilla innita con densidad lineal de carga λ uniforme se coloca paralelay a una distancia R del eje de un cilindro conductor innito de radio b < R,conectado a tierra.a) Calcule el potencial en todo punto del espacio.b) Encuentre la densidad supercial de carga inducida sobre el cilindro.c) La fuerza por unidad de longitud ejercida sobre la varilla.

20. Una esfera de radio a tiene una densidad de carga supercial σ(θ) = σo cos θ,con σo constante. Calcule el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera.

21. Una varilla de longitud L posee una densidad lineal uniforme de carga λ. Calculeel potencial para distancias mayores que L.

22. Dos cargas puntuales q y −q están localizadas sobre el eje z en z = a y z = −a,respectivamente. Las cargas están dentro de un cascarón esférico conductorconectado a tierra de radio b con centro en el origen de coordenadas. Encontrarel potencial dentro de la esfera.


Capítulo 3

Campos eléctricos en la materia

3.1 Polarizabilidad molecular.

En general, los átomos poseen distribuciones esféricas de carga electrónica, por lo queno exhiben momentos dipolares apreciables. Sin embargo, muchas moléculas tienenmomentos dipolares intrínsecos debido a la distribución de los electrones en los enlacesatómicos, o pueden adquirirlo en presencia de un campo eléctrico externo. Comoconsecuencia, las propiedades eléctricas son afectadas en materiales compuestos porestas moléculas, debido a que, en adición a los potenciales producidos por las cargasnetas presentes en el medio, cada dipolo p contribuye con un potencial

ϕ(r) =p · rr2

. (3.1)

La intensidad de un momento dipolar se mide en unidades denominadas debyes; 1debye= 10−18[Coul]×[cm]. Algunos ejemplos de moléculas intrínsicamente dipolaresson H Cl (1.03 debye), H2O (1.86 debye), NH3 (1.47 debye).

Figura 3.1: Algunas moléculas dipolares.

125

126 CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA

Un momento dipolar también puede ser inducido en un átomo o molécula concarga total nula en presencia de un campo eléctrico externo. Se observa que el campoexterno produce una separaciòn o redistribución de las cargas, tal que el átomo omolécula adquiere un momento inducido pind que es proporcional al campo externoaplicado Eext, esto es,

pind = γEext , (3.2)

donde la constante de proporcionalidad γ se denomina polarizabilidad y depende depropiedades físicas o geométricas del objeto.

Ejemplos.

1. Como un ejemplo simple de un elemento polarizable, consideremos el problemade una esfera conductora aislada de radio a, sin carga neta, sujeta a un campoexterno uniforme Eext = Ez.

Figura 3.2: Esfera conductora en un campo eléctrico externo.

Recordemos que el potencial resultante fuera de la esfera es

ϕ(r, θ) = −Er cos θ +Ea3

r2cos θ. (3.3)

El primer término es el potencial asociado al campo externo, ϕext = Ez, mien-tras que el segundo término corresponde al potencial producido por la cargasupercial inducida por el campo externo sobre la esfera,

ϕind =Ea3

r2cos θ =

Ea3

r3r · z =

pind · rr3

, (3.4)

el cual describe el potencial de un dipolo inducido

pind = E a3z = γEext, (3.5)

3.1. POLARIZABILIDAD MOLECULAR. 127

donde la polarizabilidad de la esfera conductora está dada por γ = a3.

Este ejemplo sirve para ilustrar el comportamiento de un átomo neutro en uncampo externo. El resultado permite estimar la polarizabilidad típica de unátomo como γ ∼ (radio atómico)3 ∼ (10−8cm)3 = 10−24 cm3.

2. Modelo simple de polarizabilidad de un átomo o molécula.

Figura 3.3: Momento dipolar inducido en un átomo por un campo eléctrico externo.

Consideremos un átomo con una distribución electrónica, sujeto a un campoexterno Eext. Supongamos que la interacción núcleo-electrón se puede describircomo una fuerza restauradora de constantemω2, es decir, F = −mω2r, dondemes la masa del electrón, ω es la frecuencia típica átómica y r es el desplazamientode la nube electrónica desde su posición de equilibrio. La fuerza sobre unacarga e debida al campo es Fext = eEext. Entonces, en el equilibrio de fuerzasdebemos tener

eEext −mω2r = 0 ⇒ r =eEext

mω2. (3.6)

El momento dipolar inducido es

pind = er =e2

mω2Eext = γEext (3.7)

y la polarizabilidad del átomo es

γ =e2

mω2≈ 6× 10−24 cm3 , (3.8)

donde hemos empleado e = 1.6 × 10−19 Coul (carga del electrón); m = 10−27

gr; ω = 2πc/λ; λ = 4000 Å (visible).


Los medios materiales pueden contener muchos momentos dipolares, tanto per-manentes como inducidos por campos externos. En general, ambos tipos de dipolostienden a alinearse con un campo externo aplicado. El momento dipolar promediopor átomo o molécula es proporcional al campo externo,

〈p〉 = γEext , (3.9)

donde γ es la polarizabilidad molecular característica.La polarización P de un medio se dene como el momento dipolar por unidad de

volumen. Si n es el número de moléculas por unidad de volumen, entonces P = n 〈p〉.En un medio isotrópico, cuyas propiedades son iguales en todas las direcciones, seobserva experimentalmente que P es proporcional al campo externo aplicado,

P = χeEext, (3.10)

donde la constante de proporcionalidad χe se llama susceptibilidad eléctrica del medio.Un dieléctrico es un medio material no conductor que puede ser polarizado me-

diante un campo eléctrico externo. Cuando un dieléctrico es colocado en un campoeléctrico, las cargas no uyen libremente como en un conductor, sino que se separanligeramente desde sus posiciones de equilibrio promedio, causando polarización en elmedio.

3.2 Modelos estadísticos de polarizabilidad molecular.

En un medio material aislado pueden existir muchos dipolos permanentes a nivelmolecular. El momento dipolar promedio del material es cero, puesto que los dipolospermanentes a temperaturas nitas están orientados al azar.

Sin embargo, si el material está sujeto a un campo eléctrico externo, los dipolosmoleculares intrínsecos tienden a alinearse con el campo; y éste a su vez puede in-ducir momentos dipolares adicionales en otras moléculas presentes, dando lugar a unmomento dipolar resultante distinto de cero en el medio. Luego, el momento dipolarpromedio resultante en un medio sometido a un campo externo Eext proviene tantode los momentos dipolares permanentes como de los momentos inducidos.

Calculemos cada una de estas contribuciones al momento dipolar promedio de unmaterial a temperatura T , basados en la Física Estadística.

3.2. MODELOS ESTADÍSTICOS DE POLARIZABILIDAD MOLECULAR. 129

i) Dipolos permanentes en presencia de un campo externo.Consideremos que el medio es homogéneo, es decir que sus dipolos poseen igualmagnitud p0. A temperatura T , estos dipolos están orientados al azar.

Supongamos el campo externo uniforme Eext = Ez. Entonces, la energía deinteracción de un dipolo con el campo es U = −p0 · Eext = p0E cos θ. Puestoque la orientación de los dipolos permanentes en el medio es aleatoria debido ala agitaci'on térmica, existe una distribución de ángulos θ que se debe tomar encuenta para calcular el momento dipolar promedio resultante 〈p〉per al aplicarEext a una temperatura T .

En Mecánica Estadística, la distribución de probabilidad de partículas en elespacio de fase (q, p) de un sistema a una temperatura T , donde q representa elconjunto de las coordenadas y p el conjunto de los correspondientes momentosconjugados del sistema, es una función de la forma Maxwell-Boltzmann

f(H) = e−H/kBT , (3.11)

donde H es el Hamiltoniano del sistema y kB = 1.4 × 10−16 erg/oK es laconstante de Boltzmann.

El Hamiltoniano o la energía de una molécula con dipolo p0 en el materialsujeto al campo externo es

H = H0 − p0E cos θ, (3.12)

donde H0 sólo depende de coordenadas internas de la molécula. Entonces,utilizando la distribución de probabilidad de Maxwell-Boltzmann y puesto quelas variables angulares son continuas, podemos calcular el promedio estadístico〈p〉per en el espacio de fase, correspondiente al momento dipolar permanentepromedio por molécula en el medio,

〈p〉per =

∫d3p

∫d3r p exp

(− HkBT

)∫d3p

∫d3r exp

(− HkBT

) , (3.13)

donde d3q ≡ d3r = r2 dr dφ sin θ dθ es el elemento de volumen de las coor-denadas q y d3p es el elemento de volumen de los momentos p. El factor


exponencial se puede expresar como

exp(− H

kBT

)= exp

(− H0

kBT

)exp

(p0E cos θkBT

). (3.14)

Las componentes de 〈p〉per están denidas como

〈px〉per = p0 sin θ cosφ (3.15)

〈py〉per = p0 sin θ sinφ (3.16)

〈pz〉per = p0 cos θ. (3.17)

Calculamos

〈px〉per =p0

exp(− H0kBT

)∫d3p

∫d3r sin θ cosφ exp

(p0E cos θkBT

)exp

(− H0kBT

)∫d3p

∫d3r exp

(p0E cos θkBT

)=

p0 ∫r2dr: 0∫ 2π

0 cosφdφ∫ π0 sin2 θ exp

(p0E cos θkBT

)dθ

∫r2dr

∫ 2π0 dφ

∫ π0 sin θ exp

(p0E cos θkBT

)dθ

= 0. (3.18)

Similarmente, 〈py〉per contiene un factor∫ 2π0 sinφdφ = 0 en su numerador, por

lo que 〈py〉per = 0. Para 〈pz〉per obtenemos

〈pz〉per =p0

∫r2dr∫ 2π

0 dφ∫ π0 cos θ sin θ exp

(p0E cos θkBT

)dθ

∫

r2dr∫ 2π0 dφ

∫ π0 sin θ exp

(p0E cos θkBT

)dθ

. (3.19)

Hacemos el cambio de variable x = cos θ, y obtenemos

〈pz〉per = p0

∫ 1−1 x exp

(p0EkBT

x)dx∫ 1

−1 exp(p0EkBT

x)dx

. (3.20)

Para la temperatura ambiente, T = 300K, tenemos el factorp0E

kBT 1. Luego,

podemos hacer la expansión

exp(p0E

kBTx

)' 1 +

p0E

kBTx+ · · · (3.21)


despreciando términos de orden superior, que son muy pequeños. Entonces,podemos escribir

〈pz〉per ' p0

∫ 1−1 x

[1 +

p0E

kBTx

]dx

∫ 1−1

[1 +

p0E

kBTx

]dx

=12p0

2E

kB T

x3

3

∣∣∣∣1−1

=13p0

2E

kB T. (3.22)

Luego,

〈p〉per = 〈pz〉per z =13p0

2E

kB Tz =

13p0

2

kB TEext. (3.23)

Esta expresión no es válida para T → 0, puesto que en ese límite no se cumple

la condiciónp0E

kBT 1 .

ii) Medio sin dipolos permanentes sujeto a un campo externo.

En este caso, el campo externo Eext = Ez induce momentos dipolares pind = eren las partículas presentes en el medio, con r variable, de modo que 〈p〉ind 6= 0.

El Hamiltoniano de una molécula, correspondiente al modelo simple de polari-zabilidad molecular, es

H =p2

2m+

12mω2r2 + eϕext, (3.24)

donde ϕext = −E z. Luego,

H =p2

2m+

12mω2r2 − eEz. (3.25)


El promedio estadístico 〈p〉ind corresponde a

〈p〉ind =

∫d3p

∫d3r pind exp

(− HkBT

)∫d3p

∫d3r exp

(− HkBT

) (3.26)

=e∫d3p

∫d3r r exp

(− HkBT

)∫d3p

∫d3r exp

(− HkBT

) . (3.27)

Calculemos la componente

〈pz〉ind =e∫d3p

∫d3r z exp

(− HkBT

)∫d3p

∫d3r exp

(− HkBT

) . (3.28)

Hagamos el siguiente cambio de variables

r′ = r− eE

mω2z (3.29)

⇒ r = r′ +eE

mω2z (3.30)

⇒ r2 = r′2 + 2eE

mω2z′ +

(eE

mω2

)2

, (3.31)

donde z′ = r′ · z. En las nuevas variables, el Hamiltoniano Ec. (3.25) se puedeexpresar como

H =p2

2m+

12mω2

[r′2 +

2eEmω2

z′ +(eE

mω2

)2]− eE

[z′ +

eE

mω2

]=

p2

2m+

12mω2r′2 − 1

2e2E2

mω2. (3.32)

Escribimos la Ec. (3.28) en las nuevas variables,

〈pz〉ind =e∫d3p

∫d3r

(z′ + eE

mω2

)exp

[− 1kBT

(p2

2m + 12mω

2r′2)]

∫d3p

∫d3r′ exp

[− 1kBT

(p2

2m + 12mω

2r′2)] , (3.33)


donde el factor exp[

1kBT

(e2E2

mω2

)]se simplica en el denominador y el nume-

rador de la Ec. (3.33). Entonces,

〈pz〉ind =e2E

mω2+ e ∫

d3p exp[− 1kbT

p2

2m

] ∫d3r′ z′ exp

[−mω2r′2

2kBT

]∫d3p exp

[− 1kbT

p2

2m

] ∫d3r′ exp

[−mω2r′2

2kBT

] . (3.34)

Si expresamos z′ = r′ cos θ′, la integral en el numerador del segundo términoresulta en ∫

r′3 exp[−mω

2r′2

kBT

]dr′∫ 2π

0dφ′∫ π

0cos θ sin θ dθ = 0. (3.35)

puesto que, haciendo x = cos θ, tenemos∫ π0 cos θ sin θ dθ =

∫ 1−1 x dx = 0.

Luego,

〈pz〉ind =e2E

mω2. (3.36)

Se puede demostrar que, al igual que el caso de un medio con dipolos perma-nentes, las componentes 〈px〉ind y 〈py〉ind se anulan. Entonces,

〈p〉ind = 〈pz〉 z =e2E

mω2z =

e2

mω2Eext. (3.37)

En general, en un medio sujeto a un campo eléctrico externo Eext coexistendipolos permanentes e inducidos. Por lo tanto, el momento dipolar promediopor molécula tendrá contribuciones de ambas fuentes, es decir,

〈p〉 = 〈p〉ind + 〈p〉per

=e2

mω2Eext +

p02

3 kB TEext

=(

e2

mω2+

p02

3 kB T

)Eext. (3.38)

Comparando con la denición 〈p〉 = γEext, vemos que la polarizabilidad mole-cular a temperatura T es

γ =e2

mω2+

p02

3 kB T. (3.39)


3.3 Electrostática en medios dieléctricos.

Consideremos un material dieléctrico en el cual existe una densidad de carga libreρlibre(r′) y una polarización P(r′). El potencial producido en la posición r (dentro ofuera del dieléctrico) por un volumen ∆V ubicado en r′ se debe a las contribucionesde la carga libre y del momento dipolar contenido en ∆V ,

∆ϕ(r) =ρlibre(r′)∆V|r− r′|

+P(r′)∆V · (r− r′)

|r− r′|3. (3.40)

Figura 3.4: Contribuciones al potencial en un medio dieléctrico.

El potencial total en r se obtiene integrando sobre todo el volumen donde existancarga y polarización,

ϕ(r) =∫ρlibre(r′)|r− r′|

d3r′ +∫

P(r′) · (r− r′)|r− r′|3

d3r′. (3.41)

Para evaluar el segundo término en la Ec. (3.41), consideremos el siguiente gradiente

∇′(

1|r− r′|

)=∑i

∂

∂x′i

(1

|r− r′|

)xi . (3.42)

Calculamos las componentes la Ec. (3.42),

∂

∂x′

(1

|r− r′|

)=

∂

∂x′[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

]− 12

=x− x′

|r− r′|3,

∂

∂x′i

(1

|r− r′|

)=

xi − x′i|r− r′|3

. (3.43)

3.3. ELECTROSTÁTICA EN MEDIOS DIELÉCTRICOS. 135

Luego,

∇′(

1|r− r′|

)=

r− r′

|r− r′|3. (3.44)

Entonces, podemos expresar el potencial en la Ec. (3.41) como


d3r′ +∫

P(r′) · ∇′(

1|r− r′|

)d3r′. (3.45)

Para evaluar la segunda integral en la Ec. (3.45), usamos la identidad vectorial

a · ∇ψ = ∇ · (ψa)− ψ∇ · a , (3.46)

que permite escribir esa integral como∫P(r′) · ∇′

(1

|r− r′|

)d3r′ =

∫∇′ ·

(P(r′)|r− r′|

)d3r′ −

∫∇′ ·P(r′)|r− r′|

d3r′. (3.47)

Usamos el teorema de la divergencia para evaluar∫∇′ ·

(P(r′)|r− r′|

)d3r′ =

∮S

P(r′)|r− r′|

· n da′ . (3.48)

Figura 3.5: Supercie que justo encierra al medio dieléctrico.

Si tomamos la supercie S tal que encierre a todo el material dieléctrico y justopor encima de éste, tenemos P = 0 sobre S y, por lo tanto, esta integral se anula.Entonces, nos queda


d3r′ −∫∇′ ·P(r′)|r− r′|

d3r′

=∫

ρef(r′)|r− r′|

d3r′ , (3.49)


donde hemos denido la densidad efectiva o equivalente de carga en el medio,

ρef ≡ ρlibre −∇ ·P. (3.50)

La Ec. (3.49) implica que el medio dieléctrico contribuye al potencial de la mismaforma que lo haría una densidad de carga asociada a la polarización, dada por

ρpol = −∇ ·P. (3.51)

La existencia del potencial en la Ec. (3.49) implica que se puede denir el campoeléctrico

E = −∇ϕ , (3.52)

el cual debe satisfacer las ecuaciones de la Electrostática en el medio

∇×E = 0, (3.53)

∇ ·E = 4πρef . (3.54)

Se dene el vector de desplazamiento eléctrico como

D = E + 4πP. (3.55)

En medio isotrópico, P = χeE, por lo que podemos escribir

D = (1 + 4πχe)E = εE , (3.56)

donde se ha denido la permitividad eléctrica o la constante dieléctrica del mediocomo

ε ≡ 1 + 4πχe . (3.57)

Note que ε > 1 en un medio material. El vacío corresponde a ε = 1, mientras queun conductor perfecto posee ε → ∞. Un conductor puede considerarse como unmedio altamente polarizable, hasta el punto en que las cargas pueden separarse ydesplazarse hasta su supercie.

El desplazamiento eléctrico satisface

∇ ·D = ∇ ·E + 4π∇ ·P= 4πρef + 4π∇ ·P= 4π(ρlibre −∇ ·P) + 4π∇ ·P= 4πρlibre . (3.58)

3.3. ELECTROSTÁTICA EN MEDIOS DIELÉCTRICOS. 137

Las ecuaciones de la Electrostática en un medio dieléctrico se pueden expresar entérminos de E y D como

∇×E = 0 (3.59)

∇ ·D = 4πρlibre . (3.60)

Note que D está relacionado con ρlibre, mientras que E está asociado con ρef.Consideremos las condiciones de frontera en una interfase entre dos medios dieléc-

tricos, caracterizados por constantes ε1 y ε2, respectivamente. Denominamos n alvector normal a la interfase, dirigido de (1) hacia (2), y t al vector unitario tangentea la interfase. Sean E1 y E2 los campos eléctricos en el medio 1 y en el medio 2,respectivamente, justo sobre la interfase.

Figura 3.6: Direcciones normal y tangencial en la frontera entre dos medios dieléctricos.

i. Condición de frontera para la componente tangencial de E.

Figura 3.7: Evaluación de la componente tangencial de E en la frontera entre dos dieléctricos.

La integral de línea del campo eléctrico E sobre un rectángulo C, de lados a yb, que atraviesa la interfase satisface∮

CE · dl =

∫S(∇×E) · s da = 0. (3.61)

donde s es el vector normal a la supercie S encerrada por C.


En el límite a→ 0,

lima→0

∮C

E · dl =∫ b

0(E2 · t−E1 · t) dl = 0 , (3.62)

lo cual es válido ∀b; luego localmente tenemos

E2 · t = E1 · t . (3.63)

Es decir, la componente tangencial de E es continua en la frontera entre dosmedios dieléctricos.

ii. Condición de frontera para la componente normal de D.

Figura 3.8: Evaluación de la componente normal de D en la frontera entre dos dieléctricos.

Aplicamos la ley de Gauss en un cilindro de longitud h y área A que atraviesala interfase, ∫

V∇ ·D d3r = 4π

∫Vρlibre d

3r, (3.64)∮SD · nda = 4πqlibre . (3.65)

Tomamos el límite h→ 0,∫A(D2 · n−D1 · n)da = 4π

∫Aσlibre da , (3.66)

lo cual es válido ∀A, luego localmente tenemos

D2 · n−D1 · n = 4πσlibre . (3.67)

Es decir, la componente normal de D es discontinua si existe una densidad decarga libre supercial σlibre en la frontera entre dos medios dieléctricos.

3.4. PROBLEMAS DE FRONTERA CON DIELÉCTRICOS. 139

iii. La relación ρpol = −∇ · P permite encontrar la densidad de carga supercialde polarización inducida sobre la interfase. Aplicando la ley de Gauss, al igualque en el caso anterior, podemos obtener

− (P2 −P1) · n = σpol . (3.68)

3.4 Problemas de frontera con dieléctricos.

Las ecuaciones para la Electrostática en un medio dieléctrico son

∇×E = 0 (3.69)

∇ ·D = 4πρlibre , (3.70)

donde D = εE en un medio isotrópico. Estas ecuaciones implican que existe unpotencial eléctrico ϕ que satisface

E = −∇ϕ, (3.71)

∇2ϕ = −4πρlibreε

. (3.72)

Las condiciones de frontera en la supercie que separa dos medios con constantesdieléctricas ε1 y ε2 son

E2 · t = E1 · t , (3.73)

D2 · n−D1 · n = 4πσlibre . (3.74)

Ejemplos.

1. Calcular el potencial dentro y fuera de una esfera de radio a y constante dieléc-trica ε, sin cargas libres, sujeta a un campo eléctrico externo Eext = Ez.

Figura 3.9: Esfera dieléctrica en un campo externo uniforme.


Puesto que ρlibre = 0, el potencial satisface la ecuación de Laplace ∇2ϕ = 0,dentro y fuera de la esfera. Entonces, buscamos soluciones del potencial ϕ consimetría azimutal para r < a, en un medio con constante dieléctrica ε1 = ε,y para r > a, en un medio con ε2 = 1, tales que cumplan las condiciones defrontera en r →∞ y r = a.

El potencial dentro de la esfera no debe poseer singularidades en r = 0, luegopara r < a, tenemos

ϕ1(r, θ) =∑l=0

Al rl Pl(cos θ). (3.75)

Para r > a,

ϕ2(r, θ) =∑l=0

[Bl r

l + Cl r−(l+1)

]Pl(cos θ). (3.76)

Para r → ∞, la condición de frontera es ϕ2 = −Er cos θ. Luego, en r → ∞,tenemos ∑

l=0

Bl rlPl(cos θ) = −ErP1(cos θ) , (3.77)

lo cual implica,

B1 = −E (3.78)

Bl = 0, ∀ l 6= 1. (3.79)

En coordenadas esféricas, el campo eléctrico se puede expresar como

E = −∇ϕ = −(∂ϕ

∂rr +

1r

∂ϕ

∂θθ +

1r sin θ

∂ϕ

∂φφ

). (3.80)

En r = a, tenemos las siguientes condiciones:

(a) continuidad de la componente tangencial de E, dada por Eθ = −1r

∂ϕ

∂θ:

− 1a

∂ϕ1

∂θ

∣∣∣∣r=a

= −1a

∂ϕ2

∂θ

∣∣∣∣r=a

(3.81)

A1a∂P1

∂θ+∑l 6=1

Alal ∂Pl(cos θ)

∂θ=

(B1a+ C1a

−2) ∂P1

∂θ+∑l 6=1

Cla−(l+1)∂Pl(cos θ)

∂θ


de donde, comparando coecientes en ambos lados, obtenemos

l = 1, A1a = B1a+ C1a−2 ⇒ A1 = −E +

C1

a3(3.82)

l 6= 1, 1Alal = Cla−(l+1) ⇒ Al =

Cla2l+1

. (3.83)

(b) continuidad de la componente normal de D = εE, correspondiente a Dn =

Dr = −ε∂ϕ∂r

, puesto que σlibre = 0.

− ε∂ϕ1

∂r

∣∣∣∣r=a

= − ∂ϕ2

∂r

∣∣∣∣r=a

. (3.84)

Calculamos,

∂ϕ1

∂r= A1P1(cos θ) +

∑l 6=1

lAlrl−1Pl(cos θ)

∂ϕ2

∂r= −(E + 2C1r

−3)P1(cos θ)−∑l 6=1

(l + 1)Clr−(l+2)Pl(cos θ)

Sustituyendo en la Ec. (3.84), y comparando coecientes en ambos lados, obten-emos

l = 1, εA1 = −E − 2C1a−3 ⇒ εA1 = −E − 2C1

a3(3.85)

l 6= 1, εAlla(l−1) = −(l + 1)Cla−(l+2) ⇒ εAll = −(l + 1)

Cla2l+1

(3.86)

Comparando las cuatro ecuaciones para las condiciones de frontera de E tan-gencial y D normal en r = a, encontramos los coecientes

l = 1, C1 =(ε− 1)(ε+ 2)

Ea3 (3.87)

A1 = − 3(ε+ 2)

E (3.88)

l 6= 1, Cl = 0 (3.89)

Al = 0. (3.90)


Luego, el potencial dentro y fuera de la esfera dieléctrica es

ϕ1(r, θ) = − 3(ε+ 2)

Er cos θ, r < a (3.91)

ϕ2(r, θ) = −Er cos θ +(ε− 1)(ε+ 2)

Ea3

r2cos θ, r > a. (3.92)

El potencial dentro de la esfera puede expresarse como

ϕ1 = − 3(ε+ 2)

Ez, (3.93)

luego, el campo eléctrico dentro de la esfera es

E1 = −∂ϕ1

∂zz =

3(ε+ 2)

Ez. (3.94)

Note que la intensidad del campo eléctrico dentro de la esfera diélectrica esmenor que la del campo externo, puesto que ε > 1. En el límite ε → ∞,tenemos un conductor perfecto, y el campo eléctrico dentro de la esfera es cero,como debe esperarse.

La polarización de la esfera puede calcularse a partir de

P1 = χeE1 =(ε− 1)

4πE1 =

34π

(ε− 1)(ε+ 2)

Ez. (3.95)

Figura 3.10: Polarización y su densidad de carga asociada de la esfera en un campo externo.

La densidad supercial de carga inducida por la polarización en la supercie dela esfera puede calcularse a partir de la relación

σpol = −(P2 −P1) · n = P1 · r , (3.96)


puesto que P2 = 0. Luego,

σpol =34π

(ε− 1)(ε+ 2)

E z · r

=34π

(ε− 1)(ε+ 2)

E cos θ . (3.97)

Note que σpol > 0 para θ ∈ [0, π/2), y σpol < 0 para θ ∈ (π/2, π].

El momento dipolar total inducido en la esfera es

p =∫esfera

P1 d3r

=(ε− 1)(ε+ 2)

Ea3z. (3.98)

Note que los dos términos en el potencial ϕ2, fuera de la esfera dieléctrica,corresponden justamente al potencial de este dipolo p, más el potencial asociadoal campo externo.

Figura 3.11: Momento dipolar de la esfera inducido por el campo externo.

Recordemos que la polarizabilidad α de un objeto en un campo externo se denecomo p = γEext. Entonces, la polarizabilidad de la esfera es

γ =(ε− 1)(ε+ 2)

a3 . (3.99)

En el límite ε→∞, recobramos la polarizabilidad de una esfera conductora enun campo externo, γ = a3.


2. Encontrar el potencial dentro de una cavidad esférica de radio a dentro de unmaterial con constante dieléctrica ε, sujeto a un un campo eléctrico externouniforme.

Figura 3.12: Cavidad esférica en un dieléctrico con un campo eléctrico externo uniforme.

Este problema es equivalente al anterior, haciendo ahora ε = 1 (vacío) dentro dela esfera y ε > 1 fuera de la esfera. La solución se puede obtener directamentede la anterior, sustituyendo ε→ 1/ε.

3.5 Energía electrostática en medios dieléctricos.

La energía potencial electrostática de una densidad de carga ρlibre en un potencialexterno ϕext es

U =∫ρlibre(r)ϕ(r) d3r . (3.100)

Si el medio es un dieléctrico, la fuente del potencial es la densidad efectiva de cargapresente en el medio, ρef = ρlibre + ρpol.

Figura 3.13: Energía electrostática de una densidad carga δρlibre en un medio dieléctrico.

Supongamos que traemos una pequeña carga libre δρlibre desde el innito hastala posición r en un medio diélectrico. Entonces, el cambio de energía electrostática

3.5. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA EN MEDIOS DIELÉCTRICOS. 145

en el sistema es

δU =∫δρlibre(r)ϕ(r) d3r . (3.101)

En el medio diélectrico, el vector de desplazamiento eléctrico satisface∇·D = 4πρlibre.Correspondientemente, D en el medio cambia en una cantidad δD, tal que

∇ · δD = 4π δρlibre . (3.102)

Luego, podemos expresar

δU =14π

∫ϕ∇ · δD d3r

=14π

∫∇ · (ϕδD) d3r − 1

4π

∫∇ϕ · δD d3r . (3.103)

El primer término es la integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial,la cual, mediante el teorema de la divergencia, se puede expresar como una integralsobre la supercie que encierra ese volumen,∫

V∇ · (ϕδD) d3r =

∮Sϕ δD · n da . (3.104)

Puesto que para r → ∞, ϕ ∼ r−1 y D ∼ r−2, si tomamos S → ∞, la integral desupercie que encierra al volumenV se hace cero. Por lo tanto, el primer término enla Ec. (3.103) se anula, y tenemos

δU = − 14π

∫∇ϕ · δD d3r =

14π

∫E · δD d3r , (3.105)

donde hemos sustituidoE = −∇ϕ. Suponemos un medio dieléctrico lineal e isotrópico;es decir, D = εE. Entonces, usando la relación

E · δD =1εD · δD =

1ε

12δ(D ·D) , (3.106)

podemos escribir

δU =18π

∫δ(D ·D)

εd3r . (3.107)


La energía eléctrostática total de la conguración de carga en el medio dieléctrico es

U =∫ D

0δU =

18π

∫d3r

∫ D

0

δ(D′ ·D′)ε

=18π

∫D ·Dε

d3r

=18π

∫E ·D d3r . (3.108)

Para ε = 1, la Ec. (3.108) describe la energía de un campo electrostático en el vacío,encontrada en el Cap. 1.

La Ec. (3.108) también permite inferir la fuerza experimentada por un dieléctricoen las proximidades de una región donde hay un campo eléctrico. Consideremos, porejemplo, un trozo de un material dieléctrico con constante ε, siendo introducido enel espacio entre dos planos paralelos que poseen cargas opuestas, y donde existe uncampo eléctrico E.

Figura 3.14: Fuerza sobre un dieléctrico introducido en una región donde existe un campo eléctrico.

En el dieléctrico, D = εE, mientras que en el espacio vacío entre las placas, D = E.La energía electrostática en el espacio ocupado por el dieléctrico es U2 ∼ ε|E|2, y enel vacío es U1 ∼ |E|2. Luego, U2 > U1 y existe un gradiente ∇U en la dirección desdeel vacío (1) hacia el dieléctrico (2). La fuerza sobre el dieléctrico es F = −∇U y estádirigida desde (2) hacia (1). Luego, el dieléctrico es atraído hacia la regíon del campoeléctrico entre las placas.

3.5. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA EN MEDIOS DIELÉCTRICOS. 147

Resumen

1. Potencial de un dipolo,

ϕ(r) =p · rr2

.

2. Momento dipolar en un campo externo,

〈p〉 = γEext ,

3. Polarización (momento dipolar por unidad de volumen),

P = χe Eext,

4. Desplazamiento eléctrico,D = (1 + 4πχe)E = εE ,

5. Ecuaciones de la Electrostática en un medio dieléctrico,

∇×E = 0∇ ·D = 4πρlibre .

o, equivalentemente,

E = −∇ϕ∇2ϕ = −4π

ρlibreε

6. Densidad de carga asociada a la polarización,

ρpol = −∇ ·P

7. Condiciones de frontera en la interfase entre dos dieléctricos,

E2 · t = E1 · t .

D2 · n−D1 · n = 4πσlibre .

8. Energía eléctrostática en un medio dieléctric,o

U =18π

∫E ·D d3r .


3.6 Problemas.

1. Un polvo compuesto de partículas esféricas de radio 10µ y constante dieléc-trica igual a 4 se encuentra disperso en el vacío con una concentración de 1012

partículas por cm3. Calcule la constante dieléctrica efectiva de este medio.

2. Una carga puntual q se encuentra a una distancia R del centro de una esferade radio a (a < R) y constante dieléctrica ε.a) Encuentre el potencial eléctrico dentro y fuera de la esfera.b) Demuestre que en el límite ε → ∞, el resultado anterior corresponde alobtenido con una esfera conductora.

3. Un cilindro muy largo, de radio a, constante dieléctrica ε, y con su eje sobre eleje z, se coloca en un campo eléctrico uniforme E = Eox.a) Encuentre el potencial dentro y fuera del cilindro.b) Calcule la densidad de carga supercial inducida en el cilindro.

4. El volumen entre dos esferas conductoras concéntricas de radios a y b, (a < b),se encuentra lleno de un medio inhomogéneo con constante dieléctrica ε(r) =εo/(1+kr), donde k y εo son constantes y r es la coordenada radial. Una cargaq se coloca sobre la esfera interna, mientras la otra se conecta a tierra.a) Encuentre el campo eléctrico entre las dos esferas.b) Encuentre el vector de polarización en el medio dieléctrico.

5. Un tubo cilíndrico muy largo, de radio interior a, radio exterior b, y constantedieléctrica ε, se coloca en el vacío en un campo eléctrico uniforme de magnitudE, cuya dirección es perpendicular al eje del cilindro. Calcule el potencial yel campo eléctrico en todo el espacio, despreciando efectos en los extremos deltubo.

6. Un capacitor consiste en dos tubos conductores cilíndricos coaxiales, de radiosa y b (b > a). El capacitor se baja verticalmente en un líquido dieléctricocuya densidad es ρ. La supercie del líquido sube una distancia h entre lostubos cuando se aplica una diferencia de potencial V entre ellos. Calcule lasusceptibilidad eléctrica del líquido.

Capítulo 4

Magnetostática

4.1 Ecuaciones de la Magnetostática.

Existen medios en los cuales las cargas eléctricas pueden moverse en presencia deun campo eléctrico externo. Por ejemplo, los electrones en un material conductorpueden moverse si se aplica un campo externo. Una carga en movimiento constituyeuna corriente eléctrica.

Figura 4.1: Densidad de corriente el'ectrica.

La densidad de corriente eléctrica producida por una densidad de carga ρ que semueve con velocidad v se dene como

J = ρv. (4.1)

Supongamos que un ujo de carga eléctrica con densidad ρ atraviesa un área A convelocidad v en la dirección x, tal que v = dx

dt . Entonces, la cantidad de carga queatraviesa el área A en un tiempo dt es dq = ρAdx. Luego, podemos expresar lamagnitud de J como

J =dq

Adx× dx

dt=

dq

Adt=I

A, (4.2)

149

150 CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA

donde

I =dq

dt, (4.3)

se denomina intensidad de corriente eléctrica y es la cantidad de carga eléctrica quepasa por un punto por unidad de tiempo. Es decir, la densidad de corriente eléctricaJ es la cantidad de corriente por unidad de área que se mueve en dirección de v. Launidad de corriente e¨éctrica en el sistema mks es el amperio, que corresponde a unCoulomb por segundo. En el sistema cgs la unidad de corriente es el statamperio; 1amperio = 3× 109 statamperios.

En muchos materiales conductores se observa experimentalmente que la densidadde corriente es proporcional al campo eléctrico externo aplicado en el medio,

J = σEext , (4.4)

donde la constante de proporcionalidad σ es una propiedad especíca del medio y sedenomina conductividad eléctrica. El inverso de esta cantidad se llama resistividad,% = σ−1. La Ec. (4.4) es la Ley de Ohm.

Figura 4.2: Ley de Ohm.

Si tenemos un trozo de material de área A y longitud l sujeto a un campo eléctricoexterno uniforme en la dirección de l, entonces Eext = V

l , donde V es la diferencia depotencial entre los extremos. Luego, la Ec. (4.4) puede expresarse en forma escalarcomo

I

A= σ

V

l

⇒ I =V

R, (4.5)

donde la cantidad

R ≡ l

Aσ= %

l

A(4.6)

4.1. ECUACIONES DE LA MAGNETOSTÁTICA. 151

se denomina resistencia del material y depende de la conductividad y de propiedadesgeométricas del material. La Ec. (4.5) es una expresión más común de la Ley deOhm.

El campo externo produce una fuerza sobre las cargas; sin embargo, en generaléstas no se aceleran indenidamente sino que alcanzan una velocidad terminal debidoa la resistencia del medio. La resistencia se origina en las interacciones de las cargascon el medio (por ejemplo, con la red cristalina en medios sólidos; o con otras cargasen plasmas). En estas situaciones, la densidad de corriente J es constante.

Las ecuaciones de Maxwell muestran que las cargas en movimiento producencampo magnético, además de campo eléctrico. Si J es constante, el campo magnéticosatisface las ecuaciones de Maxwell para la Magnetostática,

∇ ·B = 0, (4.7)

∇×B =4πc

J. (4.8)

El campo B también se denomina inducción magnética. La Ec. (4.7) expresa laausencia de fuentes monopolares para B; la Ec. (4.8) es la Ley de Ampère e indicaque una densidad de corriente J produce un campo magnético B.

Si tomamos la divergencia en ambos lados de la Ec. (4.8), obtenemos

∇ · (∇×B) =4πc∇ · J. (4.9)

Pero ∇ · (∇× a) = 0, ∀a; luego, en Magnetostática,

∇ · J = 0. (4.10)

La Ec. (4.10) es compatible con la ecuación de conservación de la carga eléctrica

∂ρ

∂t+∇ · J = 0, (4.11)

si la densidad de carga ρ es constante. Como vimos en ese caso, el campo eléctricosatisface las ecuaciones de la Electrostática,

∇ ·E = 4πρ (4.12)

∇×E = 0. (4.13)


La Ec. (4.7) implica que B se puede expresar como

B = ∇×A, (4.14)

donde el campo vectorial A(r) se denomina el potencial vector. Sustituyendo en laEc. (4.8), obtenemos

∇× (∇×A) =4πc

J. (4.15)

Usamos la identidad vectorial ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A, donde

∇2A(r) =3∑i=1

∇2Ai(r) xi, (4.16)

y

∇2Ai(r) =3∑j

∂2Ai(r)∂x2

j

. (4.17)

Luego, podemos escribir

∇(∇ ·A)−∇2A =4πc

J. (4.18)

La determinación del potencial vector asociado a un campo magnético está sujetaa la adición de un gradiente de un campo escalar. Supongamos un vector potencialA′ tal que

B = ∇×A′. (4.19)

Entonces el vectorA = A′ +∇Λ, (4.20)

donde Λ es un campo escalar arbitrario, está asociado al mismo campo magnético B,

B = ∇×A′ = ∇×A−:0∇×∇Λ = ∇×A. (4.21)

La transformación A → A + ∇Λ constituye una transformación de calibre para elpotencial vector, la cual deja invariante el campo magnético B. La invarianza deB ante esta transformación es análoga a la invarianza del campo eléctrico E si alpotencial escalar ϕ se le agrega una cantidad constante, ϕ→ ϕ+ c,

E = −∇(ϕ+ c) = −∇ϕ. (4.22)

4.1. ECUACIONES DE LA MAGNETOSTÁTICA. 153

Puesto que el campo escalar Λ es arbitrario, podemos escogerlo tal que

∇2Λ = −∇ ·A′ (4.23)

La Ec. (4.23) se conoce como calibre de Coulomb. Con esta condición, el potencialvector en la Ec. (4.20) satisface

∇ ·A = ∇ ·A′ +∇2Λ = ∇ ·A′ −∇ ·A′ = 0. (4.24)

Luego, la Ec. (4.14) y la Ec. (4.18) se pueden expresar como las ecuaciones de laMagnetostática en términos de A,

B = ∇×A, (4.25)

∇2A = −4πc

J. (4.26)

Estas ecuaciones son análogas a las ecuaciones para la Electrostática en términos delpotencial escalar ϕ,

∇2ϕ = −4πρ, (4.27)

E = −∇ϕ. (4.28)

La componente i de Ec. (4.26) satisface

∇2Ai = −4πcJi . (4.29)

Esta relación es similar a la ecuación de Poisson ∇2ϕ = −4πρ para el potencialescalar ϕ, haciendo las analogías ϕ ↔ Ai, ρ ↔ Ji/c. La solución de la ecuacion dePoisson en el espacio libre es

ϕ(r) =∫

ρ (r′)|r− r′|

d3r′. (4.30)

Luego, por analogía, debemos tener

Ai(r) =1c

∫Ji (r′)|r− r′|

d3r′ (4.31)


y, por lo tanto, la solución de la Ec. (4.26) en el espacio libre es

A(r) =1c

∫J (r′)|r− r′|

d3r′. (4.32)

El campo magnético se determina a partir de

B(r) = ∇×A(r) =1c

∫∇×

(J (r′)|r− r′|

)d3r′ , (4.33)

donde el operador ∇ actúa sobre las componentes de r. Para evaluar la Ec. (4.33),denamos

a ≡ J (r′)|r− r′|

, (4.34)

de modo que

ax =Jx (r′)[

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]1/2 , (4.35)

ay =Jy (r′)[

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]1/2 , (4.36)

az =Jz (r′)[

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]1/2 . (4.37)

Entonces,

(∇× a)x =∂az∂y

− ∂ay∂z

= −Jz (r′) (y − y′)|r− r′|3

+Jy (r′) (z − z′)|r− r′|3

|, , (4.38)

(∇× a)y =∂ax∂z

− ∂az∂x

= −Jx (r′) (z − z′)|r− r′|3

+Jz (r′) (x− x′)|r− r′|3

, (4.39)

(∇× a)z =∂ay∂x

− ∂ax∂y

= −Jy (r′) (x− x′)|r− r′|3

+Jx (r′) (y − y′)|r− r′|3

. (4.40)

Por otro lado, consideremos el producto vectorial J× (r− r′) tal que[J× (r− r′)

]x

= Jy(z − z′

)− Jz

(y − y′

), (4.41)[

J× (r− r′)]y

= Jz(x− x′

)− Jx

(z − z′

), (4.42)[

J× (r− r′)]z

= Jx(y − y′

)− Jy

(x− x′

). (4.43)

4.2. LEY DE BIOT-SAVART Y LEY DE AMPÈRE. 155

Comparando las componentes de J × (r− r′) con las correspondientes componentesde ∇× a, vemos que

∇× a = ∇×(

J(r′)|r− r′|

)=

J(r′)× (r− r′)|r− r′|3

. (4.44)

Luego, la Ec. (4.33), que da el campo magnético en el espacio libre debido a unadensidad de corriente J, se puede expresar como

B(r) =1c

∫J (r′)× (r− r′)

|r− r′|3d3r′. (4.45)

Figura 4.3: Campo magnético B y potencial vector A producidos en posición r por una densidadde corriente J(r′).

La Ec. (4.45) para B es análoga a la expresión del campo eléctrico en el espaciolibre producido por una distribución de carga ρ (Cap. 1),

E(r) =∫ρ(r′)

(r− r′)|r− r′|3

d3r′ . (4.46)

4.2 Ley de Biot-Savart y Ley de Ampère.

En general, la corriente eléctrica (carga por unidad de tiempo) debida a una densidadde corriente J que atraviesa una supercie A es

I =∫A

J · ds , (4.47)

donde ds es el elemento de área con vector normal a la supercie A.


En muchos casos de interés, J uye en materiales en forma de tubos o cables. Uncable se puede describir como un circuito o curva C, con un vector tangente dl, cuyasección transversal de área A posee un vector normal ds. En un cable, J es paraleloa dl. El elemento de volumen del cable se puede expresar como d3r = dl · ds.

Figura 4.4: Densidad de corriente J uyendo a través de un cable C.

Luego, si J uye por el cable, tenemos J d3r = J(dl · ds) = dl(J · ds). La integralde volumen de J en el cable se puede expresar como∫

J d3r′ =∫Cdl′∫A

J · ds′ =∫CI dl′. (4.48)

La Ec. (4.45) para densidades de corriente uyendo por cables se puede escribir como

B(r) =1c

∫J(r′) d3r′ × (r− r′)

|r− r′|3

=1c

∫C

dl′ × (r− r′)|r− r′|3

∫A

J(r′) · ds′

=1c

∫C

I dl′ × (r− r′)|r− r′|3

. (4.49)

La Ec. (4.49) es la Ley de Biot-Savart.

Figura 4.5: Ley de Biot-Savart en forma diferencial.

En forma diferencial, la Ley de Biot-Savart se puede expresar como

dB(r) =I

c

dl× rr3

. (4.50)


El diferencial de campo magnético dB en la posición r es producido por la corrienteI que pasa por el elemento de línea dl.

Ejemplos.

1. Calcular el campo magnético producido por un cable recto e innito, ubicado alo largo del eje z, por el cual uye una corriente constante I en la dirección z.

Figura 4.6: Campo magnético B producido por un cable innito en la dirección z con corriente I.

Sea R una distancia ja perpendicular al cable. De la gura, tenemos

r− r′ = R + z′z∣∣r− r′∣∣ = (R2 + z′2

)1/2dl′ = dz′ z.

Luego,

B =1c

∫C

I dl′ × (r− r′)|r− r′|3

=I

c

∫ ∞

−∞

dz′ z× (R + z′z)(R2 + z′2)3/2

=I

cR φ

∫ ∞

−∞

dz′

(R2 + z′2)3/2(4.51)


donde hemos usado z×R = R φ. Luego,

B =I

cR φ

z′

R2 (R2 + z′2)1/2

∣∣∣∣∣∞

−∞

=2IcR

φ . (4.52)

Las líneas de campo magnético forman circunferencias alrededor del eje z, enla dirección de la regla de la mano derecha.

2. Calcular el campo magnético sobre el eje perpendicular de una espira de radioa que lleva una corriente constante I.

Figura 4.7: Campo magnético B sobre el eje perpendicular de un aro de radio a con corriente I.

El campo producido en r por un elemento de corriente de la espira es

dB(r) =I

c

dl× rr3

, (4.53)

donde r = (a2 + z2)1/2. El vector tangente dl es perpendicular a r. Luego,

dB =I

c

dl

r2. (4.54)

La componente de dB en la dirección z es

dBz = dB cos θ = dBa

r=I

c

a dl

r3. (4.55)

Las componentes de dB perpendiculares a z se anulan entre sí. Luego,

B(z) =I

c

a

(a2 + z2)3/2

∫Cdl =

2πIc

a2

(a2 + z2)3/2. (4.56)


En muchas situaciones que poseen simetrías, el campo magnético también puedeser calculado utilizando la segunda ecuación de la Magnetostática,

∇×B =4πc

J, (4.57)

la cual constituye la Ley de Ampère en forma diferencial. Integramos esta ecuaciónen una supercie S con normal n,∫

S(∇×B) · n da =

4πc

∫SJ · n da. (4.58)

Usando el teorema de Stokes en el lado izquierdo,∫S(∇×B) · n da =

∮C

B · dl, (4.59)

y la denición de corriente eléctrica, podemos escribir la Ec. (4.58) como∮C

B · dl =4πcIenc, (4.60)

donde Ienc es la corriente circundada por el contorno C. La Ec. (4.60) es la Ley deAmpère en forma integral, análoga a la ley de Gauss en forma integral∮

SE · n da = 4πqenc. (4.61)

Ejemplos.

1. Calcular el campo magnético dentro de un solenoide innito, con n vueltas porunidad de longitud, por el cual uye una corriente constante I.

Figura 4.8: Campo magnético B dentro de un solenoide que lleva una corriente I.


El campo magnético fuera de un solenoide innito es cero. Por simetría, elcampo magnético dentro del solenoide debe estar en la dirección de su eje z.Aplicamos la Ley de Ampère en forma integral al rectángulo C de longitud h,como se muestra en la gura. Entonces,∮

CB · dl = B h =

4πcNI, (4.62)

donde N es el número de vueltas (espiras) contenidas en la longitud h delsolenoide y n = N/h. Luego,

B =4πcnI. (4.63)

Experimentalmente sabemos que un campo magnético externo ejerce una fuerzasobre una carga en movimiento. Por lo tanto, una corriente eléctrica experimentauna fuerza en presencia de un campo magnético externo. Consideremos la fuerzamagnética sobre una densidad de carga dq = ρ d3r′ en la posición r′ que se muevecon velocidad v en un campo externo Bext,

dFmag =1cρ(r′)v ×Bext(r′) d3r′

=1cJ(r′)×Bext(r′) d3r′. (4.64)

Entonces, la fuerza magnética total sobre una distribución de corriente es

Fmag =1c

∫J(r′)×Bext(r′) d3r′. (4.65)

Figura 4.9: Fuerza sobre un elemento de corriente Idl en un campo magnético externo.

Si J uye en un cable, podemos expresar J d3r = I dl. Luego, la fuerza sobre unelemento de corriente Idl en un cable es

dFmag =1cIdl×Bext . (4.66)


La fuerza total sobre un circuito C que lleva una corriente I en un campo magnéticoexterno es

Fmag =1c

∫CI dl′ ×Bext(r′). (4.67)

Si el campo externo que actúa sobre un circuito C1 que lleva una corriente constanteI1 es producido por otro circuito C2 por el que pasa una corriente constante I2, lafuerza magnética sobre C1 será

Fmag12 =I1 I2c2

∫C1

dl1 ×∫C2

dl2 × r21

r321, (4.68)

donde empleamos la Ley de Biot-Savart, Ec. (4.49), y donde r21 = r1 − r2 es elvector de distancia desde el elemento de línea dl2 a dl1. La Ec. (4.68) es la expresiónmatemática de la fuerza entre dos corrientes que uyen por respectivos circuitos,descubierta por Ampère.

Figura 4.10: Fuerza entre corrientes paralelas (izquierda) y entre corrientes opuestas (derecha).

El triple producto vectorial en la Ec. (4.68) se puede expresar como

dl1 × (dl2 × r21) = (dl1 · r21)dl2 − (dl1 · dl2)r21. (4.69)

Luego, podemos escribir la integral en la Ec. (4.68) como∫C1

∫C2

dl1 ×(dl2 × r21)

r321=∫C1

∫C2

(dl1 ·

r21

r321

)dl2 −

∫C1

∫C2

(dl1 · dl2)r21

r321. (4.70)

Usando la relación ∇(1/r) = −r/r2, calculamos la primera integral en la Ec. (4.70),∫C1

∫C2

(dl1 ·

r21

r321

)dl2 = −

∫C1

dl1 · ∇1

(1r21

)∫C2

dl2

= −∫C1

d

(1r21

)∫C2

dl2

= 0, (4.71)


puesto que

∫C1

d

(1r21

)=

1r21

∣∣∣∣roro

= 0, si C1 es cerrado,

1r21

∣∣∣∣∞−∞

= 0, si C1 es innito.

(4.72)

Entonces, la fuerza magnética sobre C1 debido a C2 se puede escribir como

Fmag12 = −I1 I2c2

∫C1

∫C2

(dl1 · dl2)r21

r321. (4.73)

La correspondiente fuerza magnética que experimenta el cable C2 debido a lacorriente del cable C1 es Fmag21 = −Fmag12, de acuerdo con la Tercera Ley de Newton.La Ec. (4.73) implica que corrientes paralelas (dl1 · dl2 > 0) se atraen, mientras quecorrientes antiparalelas (dl1 · dl2 < 0) se repelen.

4.3 Expansión multipolar del potencial vector.

Consideremos una densidad de corriente localizada J(r′). El potencial vector creadopor esta distribución en el espacio libre es

A(r) =1c

∫J(r′)|r− r′|

d3r′. (4.74)

Figura 4.11: Potencial vector A(r) lejos de una distribución de corriente J(r′), r r′.

4.3. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL VECTOR. 163

Queremos calcular A(r) para distancias r r′, lejos de la distribución de co-rriente. Para ello, utilizamos la expansión de Taylor empleada en el Cap. 1 para laexpansión multipolar del potencial escalar,

1|r− r′|

=1r

+r · r′

r3+

12r5

[3(r · r′

)2 − r′2r2]

+ · · · . (4.75)

Luego, podemos escribir para r r′,

A(r) =1cr

∫J(r′)d3r′ +

1cr3

∫J(r′) (

r · r′)d3r′ + · · · . (4.76)

El primer término en la Ec. (4.76) es la contribución monopolar, mientras que elsegundo término constituye la contribución dipolar al potencial vector. Consideremosla componente i del término monopolar,∫

Ji(r′) d3r′ =∫

J · xi d3r′ =∫

J · ∇xi d3r′, (4.77)

donde hemos usado ∇xi = xi. Empleando la identidad ∇ · (ψa) = a · ∇ψ + ψ∇ · a,podemos escribir∫

Ji(r′) d3r′ =∫

J · ∇xi d3r′ =∫∇ · (xiJ) d3r′ −

∫xi:0

(∇ · J) d3r′ (4.78)

puesto que, en Magnetostática, ∇ · J = 0. Empleamos el teorema de la divergenciacon una supercie S ubicada completamente fuera de la distribución localizada decorriente J, de modo que J = 0 sobre S. Entonces, para tal S tenemos∫

∇ · (xiJ) d3r′ =∮S(xiJ) · n da = 0, (4.79)

donde n es la normal a la supercie S. Luego, la contribución monopolar al potencialA se anula, ∫

Ji(r′)d3r′ = 0 ⇒∫

J(r′)d3r′ = 0. (4.80)


Figura 4.12: Evaluación del término monopolar en la expansión multipolar del potencial vector.

Entonces, el potencial vector lejos de la distribución de corriente se puede expre-sar, hasta la contribución dipolar, como

A(r) =1cr3

∫J(r′)

(r · r′

)d3r′. (4.81)

La componente i de A es

Ai(r) =1cr3

∫ (r · r′

)Ji(r′) d3r′

=1cr3

∫ ∑j

xjx′j

Ji(r′) d3r′

=1cr3

∑j

xj

∫x′jJi(r

′) d3r′. (4.82)

El integrando de la Ec. (4.82) puede escribirse como

x′jJi =12(x′jJi + x′iJj) +

12(x′jJi − x′iJj). (4.83)

El primer término de la Ec. (4.83) se puede expresar como

x′jJi + x′iJj = x′j J · ∇x′i + x′i J · ∇x′j= J · (x′j∇x′i + x′i∇x′j)= J · ∇(x′ix

′j)

= ∇ · (xi′x′jJ)− x′ix′j (:0∇ · J). (4.84)

4.3. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL VECTOR. 165

puesto que ∇ · J = 0 en Magnetostática. Luego,∫(x′jJi + x′iJj) d

3r′ =∫∇ · (xi′x′jJ) d3r′ . (4.85)

Puesto que la distribución de J se encuentra localizada, ésta se puede encerrar com-pletamente con una supercie S tal que J = 0 sobre S. Empleando el teorema de ladivergencia para tal S con normal n, tenemos∫

(x′jJi + x′iJj) d3r′ =

∫∇ · (xi′x′jJ) d3r′ =

∮S(xi′x′jJ) · n da′ = 0. (4.86)

Luego, la Ec. (4.82) se puede escribir como

Ai(r) =1cr3

∑j

xj

∫x′jJi(r

′) d3r′ (4.87)

=1

2cr3∑j

xj

∫(x′jJi(r

′)− x′iJj(r′)) d3r′ (4.88)

=1

2cr3

∫ ∑j

xjx′j

Ji(r′)−

∑j

xjJj(r′)

x′i

d3r′ (4.89)

=1

2cr3

∫ [(r · r′

)Ji(r′)−

(r · J(r′)

)x′i]d3r′. (4.90)

Por lo tanto, podemos escribir

A(r) =1

2cr3

∫ [(r · r′

)J(r′)− (J(r′) · r) r′

]d3r′. (4.91)

Recordemos la identidad vectorial a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c. Entonces,(r · r′

)J− (J · r) r′ = r× (J× r′) = (r′ × J)× r. (4.92)

Luego,

A(r) =1

2cr3

∫ [(r′ × J(r′))× r

]d3r′

=[

12c

∫r′ × J(r′) d3r′

]× rr3. (4.93)


La integral en la Ec. (4.93) depende solamente de propiedades de la distribución decorriente y se dene como el momento magnético dipolar (o dipolo magnético) de ladistribución,

m ≡ 12c

∫r′ × J(r′) d3r′. (4.94)

Entonces, el potencial vector para r r′ se puede escribir como

A(r) =m× rr3

. (4.95)

Si m apunta en la dirección z, en coordenadas esféricas tenemos

A(r) =m sin θr2

φ. (4.96)

Figura 4.13: Potencial vector A(r) producido por un dipolo magnético m.

La Ec. (4.95) es comparable al potencial escalar de un dipolo eléctrico p, (Cap. 1),

ϕ(r) =p · rr3

. (4.97)

4.4 Momento magnético.

El integrando en la Ec. (4.94) es el momento magnético por unidad de volumen y sedenomina magnetización,

M(r′) =12c

r′ × J(r′). (4.98)

El campo magnético debido a un dipolo magnético m se puede calcular medianteB = ∇×A, empleando el potencial vector de un dipolo, Ec. (4.95),

B(r) = ∇×(m× r

r3

). (4.99)

4.4. MOMENTO MAGNÉTICO. 167

Usamos la identidad vectorial ∇× (a×b) = a(∇·b)−b(∇·a)+ (b ·∇)a− (a ·∇)b.Haciendo a = m y b = r/r3, vemos que los términos b(∇ ·m) = 0 y (b · ∇)m = 0,puesto que m no depende de las coordenadas del punto de observación r. Entonces,

B(r) = m∇ ·( rr3

)− (m · ∇)

( rr3

). (4.100)

Para evaluar el primer término en la Ec. (4.100), recordemos las siguientes relaciones,

∇(

1r

)= − r

r3; ∇2

(1r

)= −4πδ(r), (4.101)

de manera que

∇ ·( rr3

)= −∇ · ∇

(1r

)= −∇2

(1r

)= 4πδ(r). (4.102)

Luego,

B(r) = 4πm δ(r)− (m · ∇)( rr3

). (4.103)

Si r 6= 0, el campo magnético del dipolo es

B(r) = −(m · ∇)( rr3

). (4.104)

La componente i de B en la Ec. (4.104) es

Bi = −∑j

mj∂

∂xj

(xir3

), (4.105)

donde r = (x2 + y2 + z2)1/2. Obtenemos,

Bi = −∑j

mj

[δijr3− 3xixj

r5

]= −mi

r3+

3xir5

∑j

mjxj

= −mi

r3+

3xir5

(m · r) . (4.106)


Figura 4.14: Campo magnético B producido por un dipolo magnético m.

Luego,

B(r) =3r(m · r)

r5− mr3. (4.107)

El campo magnético producido por un dipolo magnético m, Ec. (4.107), tiene lamisma forma que el campo eléctrico debido a un dipolo eléctrico p (Cap. 1),

E(r) =3r(p · r)

r5− pr3. (4.108)

La analogía entre un dipolo magnético y un dipolo eléctrico puede ser extendidaa otros fenómenos. En particular, la energía de interacción de un dipolo m con uncampo magnético externo Bext es

U = −m ·Bext, (4.109)

y la fuerza ejercida por el campo externo sobre el dipolo magnético es

F = ∇(m ·Bext). (4.110)

Ejemplos.

1. Momento magnético de un circuito de área A que lleva una corriente I.

4.4. MOMENTO MAGNÉTICO. 169

Figura 4.15: Momento magnético m de un circuito cerrado de corriente.

Para una distribución de corriente que uye en un cable tenemos

m =12c

∫r′ × J

(r′)d3r′

=I

2c

∮Cr′ × dl′. (4.111)

El elemento de área del circuito C es da′ = 12 |r

′ × dl′|. Luego,

m =I

cA n, (4.112)

donde n es el vector normal al área del circuito, en la dirección r′ × dl′.

2. Momento magnético de un sistema de N partículas con carga qi y masa µi enlas posiciones ri, que se mueven con velocidad vi, i = 1, 2, . . . , N .

Figura 4.16: Momento angular Li de una partícula con carga qi, velocidad vi, en la posición ri.

La densidad de carga es ρ(r) =∑

i qiδ(r− ri) y la densidad de corriente es

J(r′) =∑i

qiviδ(r′ − ri). (4.113)


Luego,

m =12c

∫r′ × J

(r′)d3r′

=12c

∫r′ ×

∑i

qivi δ(r′ − ri) d3r′

=12c

∑i

qi

∫(r′ × vi) δ(r′ − ri) d3r′

=12c

∑i

qi(ri × vi) =12c

∑i

qiµi

(ri × µivi)

=12c

∑i

qiµi

Li. (4.114)

donde Li = ri × µivi es el momento angular de la partícula i. Si las partículasson idénticas,

qiµi

=q

µes constante. Entonces,

m =q

2µcL , (4.115)

donde L es el momento angular total del sistema. El momento mágnéticoy el momento angular de un sistema con carga eléctrica están relacionadosclásicamente mediante la Ec. (4.115).

4.5 Magnetostática en medios materiales.

Existen materiales, como la magnetita o los imanes naturales, que poseen magneti-zación a temperatura ambiente. La presencia de dipolos magnéticos a nivel atómicoo molecular contribuye a crear una magnetización macroscópica M en el medio. Porotro lado, un campo magnético puede contribuir a generar corrientes en un medio ma-terial que dan lugar a momentos dipolares magnéticos inducidos. La magnetización,ya sea intrínseca o inducida, produce un campo magnético adicional al campo creadopor las corrientes libres en el medio.

El potencial vector debido a una densidad de corriente libre J es

A(r) =1c

∫J (r′)|r− r′|

d3r′. (4.116)

4.5. MAGNETOSTÁTICA EN MEDIOS MATERIALES. 171

Igualmente, un dipolo magnético m puede producir un potencial vector

A(r) = m× (r− r)|r− r′|3

. (4.117)

El momento dipolar de un elemento de volumen que posee una magnetización M esdm = M d3r. Luego, el potencial vector producido en la posición r por un elementode volumen d3r′ ubicado en r′ en un medio material donde existen una densidad decorriente J y una magnetización M será

dA(r) =1c

J (r′)|r− r′|

d3r′ +M× (r− r′)|r− r′|3

d3r′. (4.118)

Por lo tanto,

A(r) =1c

∫J (r′)|r− r′|

d3r′ +∫

M× (r− r′)|r− r′|3

d3r′. (4.119)

Consideremos el segundo término en la Ec. (4.119),∫M× (r− r′)|r− r′|3

d3r′ =∫

M×∇′(

1|r− r′|

)d3r′. (4.120)

Utilizamos la identidad vectorial ∇× (ψa) = ∇ψ×a+ψ∇×a. Haciendo a = M

y ψ =1

|r− r′|, podemos escribir∫M(r′)×∇′

(1

|r− r′|

)d3r′ =

∫∇′ ×M(r′)|r− r′|

d3r′

−∫∇′ ×

(M(r′)|r− r′|

)d3r′. (4.121)

El segundo término en la Ec. (4.121) se puede convertir en una integral de superciemediante el teorema integral∫

V∇×A d3r =

∮Sn×A da, ∀A. (4.122)

Para demostrar el teorema Ec. (4.122), consideremos un vector constante arbitrarioc y denamos

X =∫V∇×A d3r. (4.123)


Luego,

c ·X =∫V

(c · ∇ ×A) d3r. (4.124)

Usamos la identidad vectorial ∇· (A×c) = c · (∇×A)−A · (∇×c). Pero ∇×c = 0,puesto que c es un vector constante. Luego,

c ·X =∫V∇ · (A× c) d3r

=∮S(A× c) · n da (por el teorema de la divergencia)

= c ·∮S(n×A) da. (4.125)

Puesto que c es un vector constante arbitrario, se cumple el teorema integral Ec. (4.122).Empleamos este teorema con una supercie S ubicada completamente fuera del

medio material, de modo que M = 0 sobre S. Entonces, para tal S tenemos∫∇′ ×

(M(r′)|r− r′|

)d3r′ =

∮Sn×

(M(r′)|r− r′|

)da′ = 0. (4.126)

Luego, la Ec. (4.119) se puede escribir como

A(r) =1c

∫J(r′)|r− r′|

d3r′ +∫∇′ ×M(r′)|r− r′|

d3r′

=1c

∫[J(r′) + c∇′ ×M(r′)]

|r− r′|d3r′

=1c

∫Jef(r′)|r− r′|

d3r′ , (4.127)

donde hemos denido una corriente efectiva

Jef ≡ J + c∇×M. (4.128)

El potencial vector en un medio puede puede considerarse como debido a una densidadde corriente Jef. El término ∇×M se puede interpretar como una corriente adicionalcontribuida por la magnetización presente en el medio.


El campo magnético B correspondiente debe satisfacer la segunda ecuación de laMagnetostática, Ec. (4.8), con Jef,

∇×B =4πc

Jef. (4.129)

Sustituyendo Jef, obtenemos

∇×B =4πc

(J + c∇×M)

∇× (B− 4πM) =4πc

J

∇×H =4πc

J, (4.130)

donde denimos el campo magnético en el medio,

H = B− 4πM. (4.131)

En muchos medios isotrópicos se encuentra experimentalmente que la magneti-zación es proporcional a H,

M = χm H, (4.132)

donde χm es una propiedad del medio denominada susceptibilidad magnética. Luego,se puede expresar

B = (1 + 4πχm)H = µH. (4.133)

donde µ = 1 + 4πχm se llama permeabilidad magnética del medio. La relación H =µ−1B para campos magnéticos es análoga a la relación D = εE para campos eléctricosen un medio. Sin embargo, mientras que siempre ε > 1 en medios materiales, lapermeabilidad magnética puede tener valores

µ > 1, χ > 0, materiales paramagnéticos,

µ < 1, χ < 0, materiales diamagnéticos.

Los materiales paramagnéticos se caracterizan por poseer momentos magnéticos per-manentes que tienden a alinearse con el campo, de manera que M es paralelo a H.En materiales diamagnéticos no existen momentos magnéticos permanentes, sino queéstos son inducidos por el campo; en este caso M es opuesto a H.


Adicionalmente, existen materiales ferromagnéticos para los cuales no se cumplela relación B = µH, sino una relación funcional no lineal

B = F (H). (4.134)

El fenómeno de histéresis es un ejemplo de una relación no trivial entre B y H, dondela función F (H) depende de la historia de la preparación del material.

Figura 4.17: Histéresis.

Las ecuaciones de la Magnetostática en medios materiales toman la forma

∇ ·B = 0 (4.135)

∇×H =4πc

J. (4.136)

Estas ecuaciones son análogas a las ecuaciones para la Electrostática en medios ma-teriales,

∇ ·D = 4πρ (4.137)

∇×E = 0. (4.138)

Las condiciones de frontera en la supercie que separa dos medios caracterizadospor permeabilidades magnéticas µ1 y µ2 son también análogas a las correspondientesen Electrostática,

B2 · n = B1 · n (4.139)

H2 · t−H1 · t =4πc

Jsup. (4.140)

donde n y t son los vectores normal y tangente a la supercie, respectivamente, yJsup es la densidad de corriente sobre la supercie. Si Jsup = 0, tanto la componentenormal de B como la componente tangencial de H = µ−1B, son continuas.


Por último, existen materiales superconductores que no son penetrados por cam-pos magnéticos ni eléctricos para temperaturas T por debajo de cierto valor críticoTc. La resistencia de un superconductor se hace cero para temperaturas T < Tc.Para el mercurio, Tc = 4.2oK. La corriente eléctrica puede permanecer por largotiempo (105 años) en un circuito superconductor sin fuente externa, una vez estable-cida. En los últimos años, se han descubierto materiales cerámicos (no metálicos)superconductores a altas temperaturas.

Figura 4.18: Temperatura crítica para superconductividad.

La conductividad en un superconductor σ ∝ R−1 → ∞ para T < Tc. Puestoque J = σE, si hay una corriente nita establecida en un circuito superconductor,debemos tener E = 0 en el superconductor. La ecuación de Maxwell

∇×E +1c

∂B∂t

= 0, (4.141)

implica entonces que B debe ser constante dentro del superconductor. Luego, si ini-cialmente B = 0 cuando T > Tc, entonces B = 0 para T < Tc, aunque se apliquencampos después. Por otro lado, si inicialmente B 6= 0 cuando T > Tc, entonces paraT < Tc se observa el efecto Meissner : el campo magnético es expulsado del super-conductor. El superconductor actúa como un medio diamagnético perfecto. Éste esun efecto de origen cuántico; la explicación completa del fenómeno de superconduc-tividad requiere de la Mecánica Cuántica.


Resumen

1. Ecuaciones de Maxwell para la Magnetostática,

∇ ·B = 0,

∇×B =4πc

J.

2. Densidad de corriente eléctrica,J = ρv.

3. Ley de Ohm,J = σEext

4. Ecuaciones de la Magnetostática en términos del potencial vector A,

B = ∇×A,

∇2A = −4πc

J.

5. Potencial vector de una distribución de corriente,

A(r) =1c

∫J (r′)|r− r′|

d3r′.

6. Campo magnético debido a una densidad de corriente,

B(r) =1c

∫J (r′)× (r− r′)

|r− r′|3d3r′.

7. Ley de Biot-Savart en forma diferencial,

dB(r) =I

c

dl× rr3

.

8. Ley de Ampère en forma integral,∮C

B · dl =4πcIenc.

9. Fuerza magnética entre dos circuitos,

Fmag12 = −I1 I2c2

∫C1

∫C2

(dl1 · dl2)r21

r321.


10. Dipolo magnético de una distribución de corriente,

m =12c

∫r′ × J(r′) d3r′.

11. Potencial vector de un dipolo magnético,

A(r) = m× rr3.

12. Campo magnético de un dipolo magnético,

B(r) =3r(m · r)

r5− mr3.

13. Energía de un dipolo en un campo magnético externo.

U = −m ·Bext

14. Ecuaciones de la Magnetostática en medios materiales,

∇ ·B = 0

∇×H =4πc

J.

donde B = µH, µ = 1 + 4πχm.

15. Condiciones de frontera en la supercie que separa dos medios,

B2 · n = B1 · n

H2 · t−H1 · t =4πc

Jsup.


4.6 Problemas.

1. Una esfera de radio a y con densidad de carga supercial σ está rotando convelocidad angular constante ω alrededor de un eje que pasa por su centro.a) Encuentre el potencial vector fuera de la esfera.b) Encuentre el campo magnético fuera de la esfera.

2. Un tubo conductor cilíndrico con radio interior a y radio externo b lleva unacorriente uniforme I. Encuentre el campo magnético producido en todo elespacio.

3. Un solenoide de longitud nita L, radio a y con n vueltas por unidad de longitud,lleva una corriente I. Calcule el campo magnético dentro del solenoide encualquier punto sobre su eje.

4. Tres cables rectos, innitos y coplanares están igualmente espaciados por unadistancia a y llevan una corriente I cada uno. La dirección de la corriente enel cable central es opuesta a la de los cables externos.a) Encuentre los puntos del espacio donde el campo magnético se anula.b) Si el cable central se desplaza una distancia x a sobre el plano común,calcule la frecuencia de oscilación del movimiento resultante.

5. Un electrón gira con velocidad angular constante ω en un plano ecuatorialalrededor de una esfera conductora de conectada a tierra, a una distancia a delcentro de la esfera. El radio de la esfera es b < a.a) Calcule la magnitud y la dirección del campo magnético en el centro de laesfera.b) Calcule el momento magnético resultante.

6. Un conductor cilíndrico de radio a tiene un hueco de radio b paralelo a su ejey centrado a una distancia d del eje del cilindro, con d+ b < a. Una corrienteI uye a lo largo del cilindro. Calcule la magnitud y la dirección del campomagnético en el hueco.

7. Un disco de radio a y densidad de carga supercial uniforme σ rota con velocidadangular constante ω sobre un eje perpendicular a su plano y que pasa por sucentro. Calcule el momento magnético resultante.

4.6. PROBLEMAS. 179

8. Demuestre que el vector potencial correspondiente a un campo magnetico uni-forme B se puede expresar como A = 1

2 B× r.

9. Un cascarón cilíndrico muy largo, de radio a, posee una densidad supercial decarga σ y rota sobre su eje con velocidad angular constante ω. Encuentre elcampo magnético dentro y fuera del cilindro.

10. a) Demuestre que el campo magnético y la magnetización en un medio materiallibre de corrientes satisfacen la relación∮

CB · dl = 4π

∮C

M · dl,

b) Encuentre el campo magnético dentro de una barra de imán de radio a,innitamente larga, que posee magnetización uniforme M a lo largo de su eje.

11. Un cilindro dieléctrico de longitud innita y radio R posee una polarizacióneléctrica P = krr, donde r es el vector unitario en la dirección radial y kes una constante. El cilindro rota alrededor de su eje con velocidad angularconstante no relativista ω. Calcule el campo magnético generado dentro yfuera del cilindro.


Capítulo 5

Campos electromagnéticos

dependientes del tiempo.

5.1 Ley de Faraday y ecuaciones de Maxwell.

Los experimentos de Faraday constituyen las primeras observaciones cuantitativas delos efectos de campos electromagnéticos dependientes del tiempo. Faraday encontróque una corriente eléctrica transitoria aparece en un circuito C en las siguientessituaciones:

i) se enciende o se apaga una corriente en un circuito cercano;

ii) se mueve un circuito cercano por el cual uye una corriente;

iii) se mueve un imán en relación a C.

En todos los casos, la aparición de corriente en C ocurre cuando las corrientes adya-centes cambian, o cuando existe movimiento relativo entre C y los fuentes de camposmagnéticos. Faraday interpretó que la corriente transiente en C se debía al cambiode ujo del campo magnético Φm encerrado por C, denido como

Φm =∫SB · n da, (5.1)

donde S es el área encerrada por C, cuya normal es n, y B es el campo magnéticoen la vecindad de C.

181

182CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.

Figura 5.1: Flujo magnético y corriente inducida en un circuito C.

Por otro lado, la aparición de una corriente en C está asociada a la existencia deuna diferencia de potencial sobre C. La diferencia de potencial entre dos puntos delcircuito C es

∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 =∫ 2

1∇ϕ · dl = −

∫ 2

1E · dl, (5.2)

donde E es el campo eléctrico en la posición del elemento de longitud dl de C. Siϕ1 > ϕ2, la corriente uye del punto 1 al punto 2 en C. La diferencia de potencialtotal a lo largo del circuito se denomina fuerza electromotriz, y se dene como

ε =∮cE · dl. (5.3)

La ley de inducción descubierta por Faraday se expresa matemáticamente de la si-guiente forma

ε = −1c

dΦm

dt. (5.4)

El signo menos es la expresión de la ley de Lenz, que establece que la corriente inducidaen C (y el ujo magnético asociada a esa corriente) ocurre en una dirección tal quese opone siempre al cambio de ujo a traves de C. La constante de proporcionalidaddepende de la escogencia del sistema de unidades para medir cantidades eléctricasy magnéticas. En el sistema GCS, la constante, medida experimentalmente, es 1/c,donde c es la velocidad de la luz.

La ley de Faraday Ec. (5.3) se puede escribir como∮cE · dl = −1

c

d

dt

∫SB · n da. (5.5)

5.1. LEY DE FARADAY Y ECUACIONES DE MAXWELL. 183

Usando el teorema de Stokes en el lado izquierdo y en un sistema de referencia dondeC esté en reposo, podemos escribir∫

S∇×E · n da = −1

c

∫S

dBdt

· n da. (5.6)

Calculamos la derivada total de B(r, t) con respecto al tiempo,

dBdt

=∂B∂t

+∑i

∂B∂xi

dxidt

=∂B∂t

+∑i

vi∂B∂xi

=∂B∂t

+ (v · ∇)B, (5.7)

donde v es la velocidad del circuito, que es cero en el sistema de referencia empleado.

Luego,dBdt

=∂B∂t

. Entonces, podemos escribir la Ec. (5.6) como∫S

[∇×E +

1c

∂B∂t

]· n da = 0. (5.8)

Puesto que el circuito C y el área encerrada S son arbitrarios, el integrando debe sercero en todo punto del espacio,

∇×E +1c

∂B∂t

= 0. (5.9)

La Ec. (5.9) es la ley de inducción de Faraday en forma diferencial. Ambos campos Ey B están denidos en el sistema de referencia donde C está en reposo. Sin embargo,el principio de relatividad implica que la ley de Faraday es válida en cualquier sistemade referencia inercial.

Hasta la época de Maxwell, las ecuaciones que describían los fenómenos electro-magnéticos conocidos en un medio material podían escribirse como

(i) ∇ ·D = 4πρ (Ley de Coulomb)

(ii) ∇×E +1c

∂B∂t

= 0 (Ley de Faraday)

(iii) ∇ ·B = 0 (ausencia de monopolos magnéticos)

(iv) ∇×H =4πc

J (Ley de Ampère)


donde D = εE y B = µH en un medio isotrópico. Además, se conocía experimental-mente la conservación de la carga eléctrica,

dρ

dt= 0, (5.10)

la cual puede ser descrita mediante la ecuación de continuidad,

dρ

dt=

∂ρ

∂t+∑i

∂ρ

∂xi

dxidt

=∂ρ

∂t+ v · ∇ρ

=∂ρ

∂t+∇ · (ρv)− ρ:0

(∇ · v)

⇒ ∂ρ

∂t+∇ · J = 0, (5.11)

donde∇·v = 0, puesto que la velocidad es independiente de la posición. Sin embargo,la Ley de Ampère en su forma (iv) fue derivada para corrientes estacionarias y da

∇ · (∇×H) =4πc∇ · J = 0, (5.12)

lo cual es inconsistente con la ecuación de continuidad, Ec. (5.11), en situacionesdependientes del tiempo, donde ∇ · J 6= 0.

Utilizando la ley de Coulomb (i), la ecuación de continuidad puede expresarsecomo

∇ · J +∂ρ

∂t= ∇ · J +

14π

∂

∂t(∇ ·D)

= ∇ · J +14π∇ ·(∂D∂t

)= ∇ ·

(J +

14π

∂D∂t

)= 0. (5.13)

Maxwell propuso sustituir

J → J + J +14π

∂D∂t

(5.14)

en la Ley de Ampère (iv) como una generalización para campos dependientes deltiempo. Maxwell llamó corriente de desplazamiento eléctrico al término adicional∂D∂t . Entonces, la Ley de Ampère se convierte en

∇×H =4πc

J +1c

∂D∂t

. (5.15)

5.1. LEY DE FARADAY Y ECUACIONES DE MAXWELL. 185

Con la adición de la corriente de desplazamiento, las ecuaciones de Maxwell enmedios materiales se convierten en

∇ ·D = 4πρ (i)

∇×E +1c

∂B∂t

= 0 (ii)

∇ ·B = 0 (iii)

∇×H− 1c

∂D∂t

=4πc

J. (iv)

La ecuación de continuidad Ec. (5.11) es ahora consecuencia de las ecuaciones deMaxwell. La adición del término ∂D

∂t tiene consecuencias importantes: un campoeléctrico que varía en el tiempo puede dar lugar a un campo magnético, aún enausencia de corrientes. Por ejemplo, un campo eléctrico que varía en el tiempo entredos placas de un condensador, produce un campo magnético. Esto es análogo a laley de Faraday (ii), donde un campo magnético dependiente del tiempo produce uncampo eléctrico. De esta manera, los campo eléctricos y magnéticos dependientesdel tiempo se acoplan y las ecuaciones de Maxwell permiten la existencia de ondaselectromagnéticas. Las ecuaciones de Maxwell forman la base de todos los fenómenoselectromagnéticos clásicos.

Figura 5.2: Campo eléctrico variable en el tiempo produce un campo magnético.

En el vacío, donde E = D y H = B, las ecuaciones de Maxwell son

∇ ·E = 4πρ (1)

∇×E +1c

∂B∂t

= 0 (2)

∇ ·B = 0 (3)

∇×B− 1c

∂E∂t

=4πc

J. (4)


La Ec. (3) implica que B puede expresarse como el rotacional de un vector,

B = ∇×A. (5.16)

El campo vectorial A se denomina potencial vector, como vimos en el Cap. 4. Susti-tuyendo en la Ec. (2), tenemos

∇×E +1c

∂

∂t(∇×A) = ∇×

(E +

1c

∂A∂t

)= 0. (5.17)

El término entre paréntesis en la Ec. (5.17) puede expresarse como el gradiente deun campo escalar,

E +1c

∂A∂t

= −∇ϕ

⇒ E = −∇ϕ− 1c

∂A∂t

. (5.18)

La Ec. (5.18) se reduce a la correspondiente expresión en Electrostática cuando loscampos son independientes del tiempo. Las Ecs. (5.16 y (5.18) implican que, dadoslos potenciales A y ϕ, se pueden determinar los campos B y E.

Las ecuaciones de Maxwell se pueden expresar en función de los potenciales A yϕ. Sustituyendo la Ec. (5.18) en la ecuación de Maxwell (1), obtenemos

∇ ·(−∇ϕ− 1

c

∂A∂t

)= 4πρ

∇2ϕ+1c

∂

∂t(∇ ·A) = −4πρ. (5.19)

Sustituyendo las Ecs. (5.16) y (5.18) en la ecuación de Maxwell (4), obtenemos

∇× (∇×A) +1c

∂

∂t

(∇ϕ+

1c

∂A∂t

)=

4πc

J

∇(∇ ·A)−∇2A +1c∇(∂ϕ

∂t

)+

1c2∂2A∂t2

=4πc

J

∇2A− 1c2∂2A∂t2

−∇(∇ ·A +

1c

∂ϕ

∂t

)= −4π

cJ. (5.20)

5.2. TRANSFORMACIONES DE CALIBRE. 187

Las Ecs. (5.19) y (5.20) constituyen cuatro ecuaciones acopladas de segundo ordenpara el potencial escalar ϕ y las tres componentes Ai del potencial vectorial A, enfunción de las fuentes ρ y J. Estas ecuaciones son equivalentes a las ecuacionesde Maxwell (1)-(4), que corresponden a seis ecuaciones de primer orden para lascomponentes Ei y Bi de los campos E y B.

5.2 Transformaciones de calibre.

Consideremos las ecuaciones de Maxwell en términos de los potenciales A y ϕ,

∇2ϕ+1c

∂

∂t(∇ ·A) = −4πρ, (5.21)

∇2A− 1c2∂2A∂t2

−∇(∇ ·A +

1c

∂ϕ

∂t

)= −4π

cJ. (5.22)

Las Ecs. (5.21) y (5.22) pueden desacoplarse haciendo uso de la indeterminaciónimplícita en las deniciones de los potenciales A y ϕ. Nótese que el campo magnéticoes invariante si al potencial vector se le añade el gradiente de algún campo escalar Λ,

A → A′ = A +∇Λ. (5.23)

Esto signica que B = ∇×A′ = ∇×A +∇×∇Λ = ∇×A.Por otro lado, el campo eléctrico tampoco cambia si el potencial escalar se trans-

forma simultáneamente de la forma

ϕ→ ϕ′ = ϕ− 1c

∂Λ∂t. (5.24)

En este caso,

E = −∇ϕ′ − 1c

∂A′

∂t= −∇ϕ+

1c∇(∂Λ∂t

)− 1c

∂A∂t

− 1c

∂

∂t∇Λ

= −∇ϕ− 1c

∂A∂t

. (5.25)

Las transformaciones Ecs. (5.23) y (5.24) que dejan invariantes los campos B yE se llaman transformaciones de calibre. La invarianza de los campos E y B antelas transformaciones de calibre revela la existencia de simetrías fundamentales en


las ecuaciones de Maxwell. Aunque no es materia correspondiente a este curso, lasecuaciones de Maxwell se pueden derivar como ecuaciones de movimiento a partir deun Lagrangiano apropiado que describe el campo electromagnético. Por el teorema deNoether, sabemos que una transformación que deja invariante el Lagrangiano y, porlo tanto, las ecuaciones de movimiento de un sistema, está asociada a una cantidadconservada. Se puede demostrar que la simetría de calibre presente en las ecuacionesde Maxwell implica la ecuación de continuidad, Ec. (5.11); es decir, la conservaciónlocal de la carga eléctrica.

La libertad que existe en las transformaciones de calibre permite escoger los po-tenciales A y ϕ tal que satisfagan alguna condición especíca. En particular, larelación

∇ ·A +1c

∂ϕ

∂t= 0 (5.26)

se llama calibre de Lorentz y simplica las Ecs. (5.19) y (5.20) en la forma

∇2ϕ− 1c2∂2ϕ

∂t2= −4πρ (5.27)

∇2A− 1c2∂2A∂t2

= −4πc

J. (5.28)

Las Ecs. (5.27) y (5.28) constituyen dos ecuaciones de onda inhomogéneas e inde-pendientes para A y ϕ las cuales, junto con el calibre de Lorentz, son equivalentesa las ecuaciones de Maxwell. Note que el calibre de Lorentz para los potencialestransformados A′ y ϕ′, en las Ecs. (5.23) y (5.24), implica que el campo escalar Λsatisface una ecuación de onda,

∇ ·A +∇2Λ +1c

∂ϕ

∂t− 1c2∂2Λ∂t2

= 0

⇒ ∇2Λ− 1c2∂2Λ∂t2

= 0. (5.29)

Otra condición sobre las transformaciones de calibres que resulta útil es el calibrede Coulomb, donde

∇ ·A = 0. (5.30)

Esta condición fue utilizada en Magnetostática, Cap. 4. Con esta escogencia decalibre, la Ec. (5.19) para el potencial ϕ(r, t) queda

∇2ϕ = −4πρ, (5.31)

5.3. ENERGÍA DEL CAMPO MAGNÉTICO. 189

cuya solución es

ϕ(r, t) =∫ρ (r′, t)|r− r′|

d3r′. (5.32)

Si ρ es independiente del tiempo, el potencial ϕ en la Ec. (5.2) se reduce al potencialde Coulomb en Electrostática, como vimos en el Cap. 1. Con el calibre de Coulomb,la Ec. (5.22) para el potencial A(r, t) conduce a la ecuación inhomogénea de onda,

∇2A− 1c2∂2A∂t2

= −4πc

J +1c∇∂ϕ∂t. (5.33)

El calibre de Coulomb para el potencial A′ en la Ec. (5.23), es equivalente a haberescogido un campo Λ tal que ∇2Λ = 0.

5.3 Energía del campo magnético.

Un campo magnético posee una energía almacenada similar a la energía acumuladaen un campo eléctrostático (Cap. 1). La energía del campo magnético proviene de lainteracción entre distribuciones de corrientes; es equivalente al trabajo realizado paratraer circuitos de corriente desde el innito hasta formar una conguración dada.

El trabajo para traer un primer circuito C1 desde el innito hasta una posicióndada es cero, puesto que no hay campos magnéticos externos presentes y no contamosauto-energías. Consideremos dos circuitos C1 y C2 con corrientes constantes I1 y I2,respectivamente, en una conguración dada. Sean S1 y S2 las áreas encerradas porC1 y C2, respectivamente, y sean n1 y n2 sus vectores normales correspondientes.Recordemos que la fuerza magnética sobre C2 debido a C1 es (Cap. 4),

Fmag 21 = −I1 I2c2

∮C1

∮C2

(dl1 · dl2) rr2

, (5.34)

donde hemos denotado r = r12 = r2−r1 como el vector de posición relativa desde dl1a dl2. El trabajo realizado por un agente externo en contra de la fuerza magnética


para traer el circuito C2 desde el innito hasta su posición relativa a C1, es

Wext = −∫ r

∞Fmag 21(r′) · dr′

=I1 I2c2

∮C1

∮C2

(dl1 · dl2)∫ r

∞

dr′

r′2

= −I1 I2c2

∮C1

∮C2

dl1 · dl2r

. (5.35)

El signo negativo en Wext es compatible con el hecho que circuitos con corrientesparalelas; es decir dl1 · dl2 > 0, se atraen (Cap. 4); por lo tanto se debe hacerun trabajo negativo para acercarlos. Similarmente, se requiere realizar un trabajonegativo en contra de la fuerza eléctrica para acercar dos cargas cuyos signos sonopuestos.

Sin embargo, existe una contribución adicional al trabajo necesario para construirel campo magnético en una conguración de dos circuitos de corriente. A medida quese acercan, cada circuito crea un campo que produce un cambio de ujo magnéticoa través del área encerrada por el otro circuito. La ley de Faraday implica entoncesque campos eléctricos son inducidos en los circuitos, los cuales alteran las corrientesen cada circuito. Por lo tanto, el agente externo debe realizar un trabajo adicionalen contra de los campos eléctricos inducidos para mantener los valores constantesestablecidos para las corrientes en cada circuito, hasta alcanzar la conguración nal.

El ujo del campo magnético B2 del circuito C2 a través del circuito C1 es

Φ21 =∫S1

B2(r1) · n1 da1

=∫S1

(∇×A2(r1)) · n1 da1

=∮C1

A2(r1) · dl1 (usando el teorema de Stokes). (5.36)

El potencial vector A2(r1) es

A2(r1) =I2c

∮C2

dl2|r2 − r1|

=I2c

∮C2

dl2r. (5.37)


Sustituyendo en la Ec. (5.36), obtenemos

Φ21 =I2c

∮C1

∮C2

dl1 · dl2r

. (5.38)

Se acostumbra denir la inductancia mutua de dos circuitos C1 y C2 como la cantidadsimétrica

M12 = M21 ≡1c2

∮C1

∮C2

dl1 · dl2r

, (5.39)

la cual depende exclusivamente de la geometría y de la disposición relativa de loscircuitos C1 y C2.

La fuerza electromotriz inducida en C1 debido al cambio del ujo magnético Φ21

al mover C2 hacia C1 es

ε1 = −1c

dΦ21

dt. (5.40)

La potencia (energía por unidad de tiempo) disipada en el circuito C1 es I21R1 = I1ε1,

donde R1 = ε1/I1 es la resistencia de C1. Luego, el trabajo por unidad de tiempoque debe suministrar el agente externo para contrarrestar la disipación causada porla fuerza electromotriz inducida y mantener I1 constante es

dW1

dt= −I1ε1 =

I1c

dΦ21

dt. (5.41)

Integrando con I1 constante, obtenemos

W1 =1cI1 Φ21 = I1 I2

∮C1

∮C2

dl1 · dl2r

. (5.42)

Similarmente, el circuito C2 disipa una energía W2 = 1c I1 Φ12 = W1 debido al cambio

de ujo Φ12. La energía total disipada debido a las fuerzas electromotrices inducidasmutuamente en ambos circuitos debe ser suministrada por el trabajo realizado por elagente externo que construye la conguración. Este trabajo es

Wfem = W1 +W2

= 2I1I2c2

∮C1

∮C2

dl1 · dl2r

. (5.43)


Luego, el trabajo total requerido para alcanzar la conguración nal de los dos cir-cuitos C1 y C2 es

W = Wext +Wfem

= −I1 I2c2

∮C1

∮C2

dl1 · dl2r

+ 2I1I2c2

∮C1

∮C2

dl1 · dl2r

=I1I2c2

∮C1

∮C2

dl1 · dl2|r2 − r1|

. (5.44)

Este trabajo total es igual a la energía potencial Umag almacenada en el campomagnético producido por la conguración de los dos circuitos. Por extensión, laenergía potencial total almacenada en el campo magnético de una conguración deN circuitos con corrientes Ii (i = 1, . . . , N) es

Wtotal =12

∑i , ji6=j

IiIjc2

∮C1

∮C2

dli · dlj|ri − rj |

, (5.45)

donde el factor 12 se introduce para no repetir la suma de términos simétricos i↔ j.

La generalización de la Ec. (5.45) para densidades de corriente generales es

Umag =1

2c2

∫ ∫J(r) · J(r′)|r− r′|

d3r d3r′

=1

2c2

∫J(r) d3r ·

∫J(r′)|r− r′|

d3r. (5.46)

donde hemos empleado la equivalencia Idl ↔ Jd3r para integrales de corrientes encables. Utilizando la expresión para el potencial vector

A(r) =1c

∫J(r′)|r− r′|

d3r (5.47)

y la ley de Ampère, ∇× B =4πc

J, podemos escribir la Ec. (5.46) como

Umag =18π

∫(∇×B) ·A d3r

=18π

∫B(∇×A) d3r − 1

8π

∫∇ · (A×B) d3r, (5.48)


donde hemos usado la identidad vectorial (∇×B) ·A = B · (∇×A)−∇ · (A×B).Usamos el teorema de la divergencia para la integral∫

∇ · (A×B) d3r =∮S(A×B) · n da. (5.49)

Puesto que la supercie S es arbitraria, se puede tomar en el innito, donde loscampos B y A tienden a cero. Luego,∫

∇ · (A×B) d3r =∮S→∞

(A×B) · n da = 0. (5.50)

Entonces, la energía del campo magnetostático queda

Umag =18π

∫B · (∇×A) d3r

=18π

∫B ·B d3r

=18π

∫|B|2 d3r. (5.51)

La densidad de energía del campo magnético se dene como

umag =18π|B|2. (5.52)

Esta expresión es análoga a la correspondiente a la densidad de energía de un campoeléctrico,

uelec =18π|E|2. (5.53)

En general, la densidad de energía de un campo electromagnético, cuando amboscampos eléctrico y magnético están presentes en una región del espacio, es

uem =18π(|E|2 + |B|2

). (5.54)


5.4 Conservación de energía del campo electromagnético.

El trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado por un campo electromagnéticoE y B, sobre una carga q que se mueve con velocidad v es

F · v = q(E +

vc×B

)· v = qE · v. (5.55)

El campo magnético no realiza trabajo, puesto que la fuerza magnética es perpen-dicular a la velocidad. Consideremos un volumen V que contiene una distribución decargas ρ en movimiento, en presencia de campos E y B. El trabajo por unidad detiempo hecho por los campos es

dW

dt=∫Vρv ·E d3r =

∫V

J ·E d3r. (5.56)

Esta potencia representa la conversión de energía electromagnética en energíamecánica empleada en mover las cargas y producir corrientes. Debe ser balanceadapor el cambio de energía del campo electromagnético por unidad de tiempo en elvolumen V . Entonces, expresamos la Ec. (5.56) en términos de los campos E y B,usando las ecuaciones de Maxwell. Sustituimos J mediante la ley de Ampère,

4πc

J = ∇×B− 1c

∂E∂t, (5.57)

y obtenemos ∫V

J ·E d3r =14π

∫V

[cE · (∇×B)−E · ∂E

∂t

]d3r. (5.58)

Usamos la identidad vectorial

E · (∇×B) = B · (∇×E)−∇ · (E×B) (5.59)

para obtener∫V

J ·E d3r =14π

∫V

[cB · (∇×E)− c∇ · (E×B)−E · ∂E

∂t

]d3r. (5.60)

Sustituimos la ley de Faraday,

∇×E = −1c

∂B∂t, (5.61)

5.4. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO.195

de manera que∫V

J ·E d3r = − 14π

∫V

[c∇ · (E×B) + E · ∂E

∂t+ B · ∂B

∂t

]d3r. (5.62)

Recordemos que la densidad de energía (energía por unidad de volumen) del campoelectromagnético es

uem =18π

(|E|2 + |B|2), (5.63)

entonces, su derivada temporal es

∂uem∂t

=14π

(E · ∂E

∂t+ B · ∂B

∂t

). (5.64)

Luego, podemos escribir la Ec. (5.62) como∫V

[J ·E +

c

4π∇ · (E×B) +

∂uem∂t

]d3r = 0. (5.65)

Puesto que el volumen V es arbitrario, el integrando en la Ec. (5.65) debe ser cero.Se acostumbra escribir

∂uem∂t

+∇ · S + J ·E = 0, (5.66)

donde hemos denido el vector de Poynting como

S ≡ c

4πE×B. (5.67)

El vector de Poynting representa el ujo de energía del campo electromagnético porunidad de tiempo (energía/área×tiempo) en la dirección de S. La Ec. (5.56) seconoce como el teorema de Poynting y expresa la conservación de energía en unaregión donde coexisten campos electromagnéticos, cargas y corrientes: el cambio deenergía del campo electromagnético por unidad de tiempo en un volumen, más el ujode energía por unidad de tiempo a través de la supercie que encierra ese volumen,más el trabajo total hecho por los campos dentro de ese volumen, debe ser cero.

Si no hay cargas ni corrientes en V , tenemos la ecuación de continuidad

∂uem∂t

+∇ · S = 0, (5.68)

análoga a la ecuación de conservación de la carga eléctrica,

∂ρ

∂t+∇ · J = 0. (5.69)


5.5 Momento del campo electromagnético.

La fuerza electromagnética sobre una partícula con carga q en presencia de camposE y B es

F = q(E +

vc×B

). (5.70)

Si consideramos una distribución de cargas ρ en un volumen V donde existan camposelectromagnéticos, la fuerza por unidad de volumen será

f = ρ(E +

vc×B

)= ρE +

Jc×B, (5.71)

donde J = ρv es la densidad de corriente. La segunda ley de Newton correspondienteal cambio de momento de todas las cargas y corrientes en V se puede expresar como

dPmec

dt=∫V

(ρE +

Jc×B

)d3r. (5.72)

Usando las ecuaciones de Maxwell, podemos expresar

∇ ·E = 4πρ ⇒ ρ =14π∇ ·E (5.73)

∇×B =4πc

J +1c

∂E∂t

⇒ J =c

4π∇×B− 1

4π∂E∂t, (5.74)

y sustituir en la Ec. (5.72), para obtener

dPmec

dt=

14π

∫V

[(∇ ·E)E + (∇×B)×B− 1

c

∂E∂t

×B]d3r. (5.75)

El término con la derivada parcial temporal se puede escribir como

1c

∂E∂t

×B =1c

∂

∂t(E×B)− 1

cE× ∂B

∂t

=1c

∂

∂t(E×B) + E× (∇×E), (5.76)

donde hemos empleado la ley de Faraday,

∇×E = −1c

∂B∂t

. (5.77)

5.5. MOMENTO DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO. 197

Sustituyendo en la Ec. (5.75), tenemos

dPmec

dt=

14π

∫V

[(∇ ·E)E + (∇×B)×B− 1

c

∂

∂t(E×B)−E× (∇×E)

]d3r .

Podemos escribir

dPmec

dt+

14πc

d

dt

∫V

(E×B) d3r =

14π

∫V

[(∇ ·E)E + (∇ ·B)B + (∇×B)×B + (∇×E)×E] d3r, (5.78)

donde hemos sumado el término (∇ ·B)B = 0 en el lado izquierdo. Podemos usar laidentidad vectorial

∇(a · b) = a× (∇× b) + b× (∇× a) + (a · ∇)b+ (b · ∇)a, (5.79)

con a = b = E, para expresar

∇(E2) = 2E× (∇×E) + 2(E · ∇)E

⇒ (∇×E)×E = (E · ∇)E− 12∇(E2) . (5.80)

Similarmente,

(∇×B)×B = (B · ∇)B− 12∇(B2) . (5.81)

La integral de volumen de los campos en el lado izquierdo de la Ec. (5.78) puedeinterpretarse como el momento total del campo electromagnético en el volumen V ,

Pem ≡1

4πc

∫V

(E×B) d3r. (5.82)

El integrando puede ser interpretado como la densidad de momento electromagnético,

g ≡ 14πc

E×B =1c2

S . (5.83)


dPmec

dt+dPem

dt=

14π

∫V

[(∇ ·E)E + (E · ∇)E + (∇ ·B)B + (B · ∇)B− 1

2∇(E2 +B2

)]d3r. (5.84)


Consideremos las componentes i de los siguientes términos en la Ec. (5.84),

[(∇ ·E)E + (E · ∇)E]i =∑j

Ei∂Ej∂xj

+∑j

Ej∂Ei∂xj

[(∇ ·B)B + (B · ∇)B]i =∑j

Bi∂Bj∂xj

+∑j

Bj∂Bi∂xj[

∇(E2 +B2

)]i

=∂

∂xi

(E2 +B2

)=∑j

∂

∂xj

(E2 +B2

)δij .

Luego, la componente i de la Ec. (5.84) se puede escribir como[dPmec

dt+dPem

dt

]i

=∫V

∑j

∂

∂xj

[14π

(EiEj +BiBj)−18πδij(E2 +B2

)]d3r.

Se dene el tensor de tensiones de Maxwell para un campo electromagnético como

Tij ≡14π

[(EiEj +BiBj)−

12δij(E2 +B2

)], (5.85)

de modo que podemos escribir

d

dt[Pmec + Pem]i =

∫V

∑j

∂Tij∂xj

d3r . (5.86)

El teorema de la divergencia para un vector A se puede expresar en la forma∫V

∑j

∂Aj∂xj

d3r =∮S

∑j

Aj nj da, (5.87)

luego, podemos escribir la Ec. (5.86) como

d

dt[Pmec + Pem]i =

∮S

∑j

Tij nj da. (5.88)

La cantidad∑

j Tij nj es la componente i del ujo de momento por unidad de áreaque cruza la supercie S hacia el volumen V . En otras palabras, es la fuerza por

5.5. MOMENTO DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO. 199

unidad de área que se transmite a través de S y que actúa sobre las cargas y camposdentro de V . La Ec. (5.88) representa la conservación de momento lineal del sistemade cargas y campos electromagnéticos en el volumen V encerrado por la supercie S.

La Ec. (5.88) se puede expresar en forma diferencial como[f +

dgdt

]i

=∑j

∂Tij∂xj

. (5.89)

Ejemplo.

1. Fuerza sobre un conductor en un campo eléctrico uniforme E = Eoz.

Figura 5.3: Fuerza sobre un conductor en un campo eléctrico.

Puesto que B = 0 en todo el espacio, E×B = 0 y Pem = 0.

La componente z de la fuerza sobre el conductor es

Fz =[dPmec

dt

]z

=∮S

∑j

Tzj nj da. (5.90)

Tomamos la supercie S tal que justo encierre el conductor. Considerando elárea del plano xy , tenemos n = −z. El tensor de tensiones de Maxwell es

Tzj =14π

[(EzEj)−

12δzj(E2)]

;

Tzz =14π

(E2o −

12E2o) =

18πE2o ;

Tzx = Tzy = 0

Luego,

Fz =∫ATzz nz da = − A

8πE2o z, (5.91)


donde A es el área perpendicular a E. Luego, la fuerza sobre esta área delconductor es opuesta a E; el conductor tendrá allí una densidad de carga su-percial negativa y será atraído por las cargas positivas que producen el campo.La magnitud de la presión ejercida por el campo eléctrico sobre el conductor es

FzA

=E2o

8π. (5.92)

5.6 Momento angular del campo electromagnético.

Del mismo modo que derivamos la ley de conservación del momento lineal, Ec. (5.88),podemos encontrar la conservación del momento angular en un sistema de cargas ycampos electromagnéticos contenido en un volumen V . La derivada temporal delmomento angular mecánico del sistema es igual al torque total sobre la distribuciónde cargas y corrientes, dado por

dLmec

dt=∫V

r× f d3r, (5.93)

donde f = ρE + Jc × B es la densidad de fuerza, cuya componente i satisface la

Ec. (5.89),

fi = −[dgdt

]i

+∑j

∂Tij∂xj

= − 1c2dSidt

+∑j

∂Tij∂xj

. (5.94)

Recordemos que la componente i del producto vectorial a×b puede expresarse como

(a× b)i = εijk ajbk, (5.95)

donde utilizamos el tensor de Levi-Civita, denido como

εijk =

1, si i, j, k son permutaciones pares (o cíclicas) de 1, 2, 3.

−1, si i, j, k son permutaciones impares de 1, 2, 3.0, si dos índices son iguales.

(5.96)

5.6. MOMENTO ANGULAR DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO. 201

Empleando esta notación, la componente i de la Ec. (5.93) puede expresarse como[dLmec

dt

]i

=∫V

∑j,k

εijk xjfk d3r

=∫V

∑j,k

εijk xj

[1c2dSkdt

+∑l

∂Tkl∂xl

]d3r

= − 1c2d

dt

∫V

∑jk

εijk xj Sk d3r +∑jkl

εijk

∫Vxj∂Tkl∂xl

d3r

⇒[dLmec

dt

]i

+1c2d

dt

∫V

∑jk

εijk xj Sk d3r =∑jkl

εijk

∫Vxj∂Tkl∂xl

d3r. (5.97)

El segundo término del lado izquierdo de la Ec. (5.97) puede interpretarse como laderivada con respecto al tiempo de la componente i de la cantidad

Lem ≡1c2

∫V

r× S d3r =∫V

r× g d3r, (5.98)

la cual puede identicarse como el momento angular del campo electromagnético. Elintegrando de la Ec. (5.98) corresponde a la densidad del momento angular del campo

electromagnético,l = r× g. (5.99)

Entonces, podemos escribir la Ec. (5.97) en la forma

d

dt[Lmec + Lem]i =

∑jkl

εijk

∫Vxj∂Tkl∂xl

d3r.

=∑jkl

εijk

∫V

∂(xjTkl)∂xl

d3r −∑jkl

εijk

∫V

∂xj∂xl

Tkl d3r.(5.100)

Consideremos el siguiente término en la Ec. (5.100),∑jkl

εijk

∫V

∂xj∂xl

Tkl d3r =

∫V

∑jkl

εijkδjl Tkl d3r

=∫V

∑jk

εijk Tkj

d3r = 0. (5.101)


Este término contiene la suma sobre los índices k, j del producto de εijk, que esantisimétrico en el cambio k ↔ j, y Tkj , que es simétrico en el cambio k ↔ j. Elproducto resultante es antisimétrico bajo el cambio k ↔ j. Por lo tanto, la doblesuma sobre los índices k, j en la Ec. (5.101) se hace cero.

Luego, la Ec. (5.100) queda

d

dt[Lmec + Lem]i =

∑jkl

εijk

∫V

∂(xjTkl)∂xl

d3r

=∫V

∑jkl

εijk∂(xjTkl)∂xl

d3r

=∫V

∑l

∂

∂xl

∑jk

εijk xj Tkl

d3r. (5.102)

Se dene el tensor de ujo de momento angular del campo como

Mil ≡∑jk

εijk xj Tkl. (5.103)

Entonces, podemos escribir

d

dt[Lmec + Lem]i =

∫V

∑l

∂Mil

∂xld3r. (5.104)

El teorema de la divergencia para un tensor Mil se puede expresar en la forma,∫V

∑l

∂Mil

∂xld3r =

∮S

∑l

Mil nl da, (5.105)

donde S es la supercie que encierra al volumen V . Por lo tanto, Ec. (5.104) se puedeexpresar como

d

dt[Lmec + Lem]i =

∮S

∑l

Mil nl da. (5.106)

La Ec. (5.106) expresa la conservación de momento angular del sistema de cargas ycampos electromagnéticos en el volumen V encerrado por la supercie S. La cantidad∑

lMil nl es la componente i del ujo de momento angular por unidad de área quecruza la supercie S.

5.7. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. 203

5.7 Ondas electromagnéticas.

Las ecuaciones de Maxwell fuera de las fuentes (ρ = 0, J = 0), en un medio caracter-izado por ε y µ, son

∇ ·E = 0 (1)

∇×E +1c

∂B∂t

= 0 (2)

∇ ·B = 0 (3)

∇×B− µε

c

∂E∂t

= 0 (4)

Si tomamos el rotacional en la Ec. (2), obtenemos

∇× (∇×E) +1c∇×

(∂B∂t

)= 0

∇:0(∇ ·E) −∇2E +

1c

∂

∂t(∇×B) = 0 (usando (1))

−∇2E +µε

c2∂2E∂t2

= 0 (usando (4))

∇2E− µε

c2∂2E∂t2

= 0. (5.107)

Igualmente, tomando el rotacional en la Ec. (4), obtenemos

∇× (∇×B)− µε

c∇×

(∂E∂t

)= 0

∇:0(∇ ·B) −∇2B− µε

c

∂

∂t(∇×E) = 0 (usando (3))

−∇2B +µε

c2∂2B∂t2

= 0 (usando (2))

∇2B− µε

c2∂2B∂t2

= 0. (5.108)

Las Ecs. (5.107) y (5.108) muestran que, como consecuencia de las ecuaciones deMaxwell dependientes del tiempo, tanto el campo eléctrico como el campo magnéticosatisfacen una ecuación de onda.


Cada componente de E o de B satisface la ecuación

∇2Ei −µε

c2∂2Ei∂t2

= 0, (5.109)

que corresponde a la ecuación onda para un campo escalar u(r, t) en un medio,

∇2u− 1v2

∂2u

∂t2= 0, (5.110)

donde v es la velocidad de propagación de la onda en el medio. En una dimensión(por ejemplo, una onda propagándose en una cuerda en la dirección x), la ecuaciónde onda es

∂2u

∂x2− 1v2

∂2u

∂t2= 0. (5.111)

Se puede vericar que la solución general de la Ec. (5.111) tiene la forma

u(x, t) = f(x− vt) + g(x+ vt), (5.112)

donde f(z) y g(z) son funciones arbirarias. El término f(x − vt) describe una per-turbación con la forma f(z) moviéndose con velocidad v hacia la dirección +x, conz = x − vt; mientras que g(x + vt) representa una función g(z) moviéndose con vhacia −x, con z = x+ vt. La velocidad v se denomina velocidad de fase de la onda.

Figura 5.4: Onda moviéndose con velocidad v en la dirección x.

Recordemos que una función f(z), donde z ∈ (−∞,∞), puede expresarse comouna integral de Fourier de términos exponenciales de la forma

f(z) ∝ eikz, (5.113)

donde k es un parámetro tal que el argumento del exponencial es adimensional.Luego, con esta representación podemos encontrar una solución u(x, t) de tipo oscila-torio,

u(x, t) = Aei(kx−ωt) +B ei(kx+ωt), (5.114)


dondek =

ω

v(5.115)

corresponde el número de onda y ω es la frecuencia. La longitud de onda λ está dadapor la condición

u(x, t) = u(x+ λ, t)⇒ eikλ = 1

⇒ λ =2πk. (5.116)

Similarmente, una solución de la ecuación de onda tridimensional Ec. (5.110) puedeexpresarse como

u(r, t) = Aei(k·r−ωt) +B ei(k·r+ωt), (5.117)

donde el vector k indica la dirección de la propagación de la onda con velocidadv = k/ω, y k · r = kxx + kyy + kzz. Las soluciones de este tipo se llaman ondas

planas.

Figura 5.5: Vector de onda k.

Veriquemos que la onda plana Ec. (5.117) satisface la ecuación de onda Ec. (5.110),

∂u

∂xj= ikj u ⇒ ∇u = iku, (5.118)

∂2u

∂x2j

= −k2j u ⇒ ∇2u = −k2 u, (5.119)

∂2u

∂t2= −ω2 u. (5.120)

Sustitución en la Ec. (5.110) da

− k2 u+ω2

v2u = 0 ⇒ k =

ω

v. (5.121)


Comparando la ecuación de onda general Ec. (5.110) con la ecuación de ondaEc. (5.109) satisfecha por una componente Ei o Bi, vemos que

1v2

=µε

c2⇒ v =

c√µε

=c

n, (5.122)

donde hemos denido el índice de refracción del medio como

n =√µε. (5.123)

En el vacío, ε = 1, µ = 1, y n = 1, por lo que la velocidad de una onda elec-tromagnética en el vacío es igual a la velocidad de la luz c. Luego, para ondaselectromagnéticas tenemos

k = nω

c. (5.124)

Existen medios dispersivos donde el índice de refracción depende de la frecuencia,n(ω). En estos medios, la forma de la onda puede cambiar a medida que ésta sepropaga.

La solución de onda plana de la ecuación de onda para el vector E se puedeexpresar como

E(r, t) = e1Re[Eo e

i(k·r−ωt)], (5.125)

donde Re indica que se debe tomar la parte real de la expresión entre corchetes, Eoes la amplitud (en general compleja) de la oscilación, k es la dirección de propagacióny e1 es un vector unitario que indica la dirección del campo eléctrico. Similarmente,la solución de la ecuación de onda para B se puede escribir

B(r, t) = e2Re[Bo e

i(k·r−ωt)], (5.126)

donde e2 y Bo son la dirección y la amplitud compleja de B, respectivamente. Ejem-plos de ondas electromagnéticas planas son los lásers y la luz proveniente de fuentesmuy lejanas, como las estrellas.

Los campos E y B que describen ondas planas también deben satisfacer las ecua-ciones de Maxwell. El campo eléctrico en la Ec. (5.125) se puede escribir comoE = e1 u, con u = Eo e

i(k·r−ωt) (se acostumbra obviar la notación Re en los cálculos).


Luego, la ecuación de Mawell ∇ ·E = 0 conduce a

∇ ·E = ∇ · (e1 u)

= e1 · ∇u+ u:0∇ · e1

= e1 · (iku) = 0⇒ k ⊥ e1 (5.127)

(las derivadas espaciales de los vectores e1 y de e2 son cero, puesto que son jos enel espacio). Es decir, el campo E de la onda electromagnética es perpendicular ala dirección de propagación. Por otro lado, si escribimos el campo magnético en laEc. (5.126) como B = e2 u, la ecuación de Mawell ∇ ·B = 0 conduce a

∇ ·B = ∇ · (e2 u)

= e1 · ∇u+ u:0∇ · e2

= e2 · (iku) = 0⇒ k ⊥ e2. (5.128)

Por lo tanto, la dirección de propagación de la onda k es perpendicular a amboscampos, E y B, los cuales deben yacer sobre un mismo plano.

Consideremos la Ley de Faraday,

∇×E = −1c

∂B∂t, (5.129)

que también deben satisfacer los campos en la onda electromagnética. Tenemos lasexpresiones

∇×E = ∇× (e1 u)

= ∇u× e1 − u:0∇× e1

= iku× e1

= iEo ei(k·r−ωt)k× e1

= ik×E (5.130)

y∂B∂t

= −iω e2Bo ei(k·r−ωt) = −iωB. (5.131)


Sustituyendo en la ley de Faraday, obtenemos

Eo k× e1 =ω

cBo e2

⇒ e2 =EoBo

c

ωk k× e1

e2 = nEoBo

k× e1. (5.132)

Luego, el campo magnético es perpendicular al campo eléctrico y a la dirección depropagación de la onda. Puesto que E y B están en un mismo plano, la Ec. (5.132)implica que k, E y B son perpendiculares entre sí. La Ec. (5.132) conduce a k ∝e1 × e2; es decir que la dirección de k es la del producto E × B. Las oscilacionesde los campos electromagnéticos son transversales con respecto a la dirección depropagación de la onda.

Figura 5.6: Longitud de onda λ, campos E, B y vector k en una onda electromagnética plana.

Puesto que e1, e2 y k son vectores unitarios, la Ec. (5.132) implica que las am-plitudes de los campos en un medio material están relacionadas por

Bo = nEo. (5.133)

La dirección del ujo de energía, dada por el vector de Poynting, y el momento linealde la onda van ambos en la dirección de propagación,

S =c

4πE×B ∝ k, (5.134)

g =1c2

S ∝ k. (5.135)


Las ecuaciones de Maxwell permiten la existencia de ondas electromagnéticas. Lavariación temporal del campo magnetico B da origen a un campo eléctrico E, cuyavariación temporal a su vez produce un B. Esto signica que los campos E y Bvariando en el tiempo pueden auto-sostenerse en el espacio libre, dando lugar a ondaselectromagnéticas.

Para la época de Maxwell, la naturaleza ondulatoria de la luz y su velocidadhabían sido establecidas por Huygens, Young, Fresnel, Fizeau y otros, mediante diver-sos experimentos ópticos y observaciones astronómicas. Por otro lado, las constantesde proporcionalidad en la ley de Faraday y en la Ley de Ampère fueron medidas porKohlrausch y Weber mediante experimentos puramente eléctricos y magnéticos. Lavelocidad de las ondas electromagnéticas predichas por las ecuaciones de Maxwellpuede ser determinada a partir de dichas constantes, obteniéndose un valor que coin-cide con la velocidad medida para la luz. Este hecho condujo a Maxwell a inferir quela luz es una onda electromagnética; una predicción vericada posteriormente por losexperimentos de Hertz. De este modo, Maxwell unicó la electricidad, el magnetismoy la óptica.

Las ondas electromagnéticas pueden producirse, en principio, con cualquier fre-cuencia ω. Se denomina espectro electromagnético al conjunto de frecuencias de lasondas electromagnéticas. Distintos rangos de frecuencias reciben diferentes nombresy tienen propiedades y aplicaciones especícas.

Figura 5.7: Espectro electromagnético.


5.8 Polarización, reexión y refracción de ondas electro-

magnéticas.

Las ondas electromagnéticas planas son transversales a la dirección de propagaciónk. Escojamos k = k z y (x, y) como el plano de E y B. Entonces, la forma generaldel campo eléctrico en una onda plana con frecuencia ω se puede expresar como

E(r, t) = (E1x + E2y) ei(kz−ωt) = Eo ei(kz−ωt), (5.136)

donde E1, E2 son números complejos y se debe recordar tomar la parte real.

Figura 5.8: Onda electromagnética plana en el plano (x, y).

El campo magnético correspondiente a esta onda está determinado por las ecua-ciones de Maxwell. Para calcular B, usamos la ley de Faraday,

∂B∂t

= −c∇×E. (5.137)

Escribimos E = Eou, con Eo = (E1x + E2y) y u = ei(kz−ωt), y obtenemos, según laEc. (5.130),

∇×E = ik×E. (5.138)

Luego,

∂B∂t

= −ick×E

⇒ B =c

ωk×E

= nk×E, (5.139)

5.8. POLARIZACIÓN, REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DEONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.211

donde hemos sustituido k = nω/c y k = z. Usando el hecho que z × x = y y quez× y = −x, obtenemos

B(r, t) = n(E1y − E2x) ei(kz−ωt). (5.140)

La dirección del campo E dene la polarización de la onda electromagnética plana.Podemos expresar el campo eléctrico como

E(r, t) = Ex(r, t)x + Ey(r, t)y, (5.141)

donde

Ex(r, t) = Re[E1 e

i(kz−ωt)]

(5.142)

Ey(r, t) = Re[E2 e

i(kz−ωt)]. (5.143)

Existen varias posibilidades de polarización:

1. Polarización lineal, E1, E2 ∈ <. Entonces

Ex(r, t) = E1 cos(kz − ωt) (5.144)

Ey(r, t) = E2 cos(kz − ωt) (5.145)

⇒ EyEx

=E2

E1= tan θ = cte. (5.146)

Figura 5.9: Onda electromagnética plana con polarización lineal.


En este caso, la dirección de E es ja en el plano perpendicular a la propagaciónde la onda. Si tomamos el plano z = 0, podemos visualizar las oscilaciones delas componentes de E como

Ex = E1 cosωt (5.147)

Ey = E2 cosωt, (5.148)

es decir, Ex y Ey oscilan en fase. La magnitud de E es

|E| = (E2x + E2

y)1/2 = (E2

1 + E22)1/2 | cosωt|. (5.149)

Por lo tanto, el campo E oscila con frecuencia ω en una dirección ja sobre elplano (x, y)

2. Polarización circular, E2 = ±iE1, con E1 ∈ <. Entonces,

Ex(r, t) = E1 cos(kz − ωt) (5.150)

Ey(r, t) = ∓E2 sin(kz − ωt) (5.151)

⇒ |E| = (E2x + E2

y)1/2 = E1 = cte. (5.152)

Figura 5.10: Onda electromagnética plana con polarización circular y helicidad postiva.

En el plano z = 0, si E2 = iE1 tenemos

Ex = E1 cosωt (5.153)

Ey = E2 sinωt (5.154)

⇒ EyEx

= tanωt. (5.155)


El campo E rota con frecuencia ω sobre el plano (x, y), manteniendo su mag-nitud constante. El campo tiene la forma

E(r, t) = (x + iy)E1 ei(kz−ωt). (5.156)

Se dice que la onda está circularmente polarizada con helicidad positiva; E rotaen la dirección de los dedos de la mano derecha (contra reloj) y el pulgar indicala dirección de propagación hacia el observador. Por otro lado, si E2 = −iE1,tenemos

E(r, t) = (x− iy)E1 ei(kz−ωt), (5.157)

y el campo E rota en sentido opuesto y posee helicidad negativa.

En Mecánica Cuántica, la helicidad de la onda se interpreta como el estado despin del fotón.

3. No polarizada; E2, E1 arbitrarios.

En este caso, en general ni la dirección de E ni su módulo son constantes. Laconguración correspondiente de E se denomina polarización elíptica.

Figura 5.11: Onda electromagnética plana con polarización elíptica.

Cuando una onda electromagnética incide sobre una supercie que separa dosmedios con diferentes índices de refracción, se observa que una parte de la onda setransmite y otra se reeja en direcciones que siguen ciertas relaciones geométricas.

Supongamos que el plano z = 0 con normal n = z es una interfase que separa unmedio con índice de refracción n1 (z < 0) de un medio cuyo índice es n2 (z > 0). Unaonda electromagnética plana en el medio con n1, incidente sobre la interfase z = 0,se puede escribir

E1 = Eo ei(k1·r−ωt) (5.158)

B1 = n1 k1 ×E1. (5.159)


La onda reejada en el medio con índice n1 tiene la forma

E′ = E′o e

i(k′·r−ωt) (5.160)

La onda transmitida o refractada en el medio caracterizado por n2 es

E2 = E′′o e

i(k2·r−ωt) (5.161)

Las magnitudes de los correspondientes números de onda son

|k1| = |k′| = n1ω

c, |k2| = n2

ω

c. (5.162)

Figura 5.12: Onda incidente k1, onda reejada k′ y onda refractada k2 en la interfase z = 0.

Las condiciones de frontera sobre las componentes paralelas y normales de E y Bdeben cumplirse en todo punto del plano z = 0, para cualquier tiempo. Esto implicaque la variación espacial de todas las ondas en un instante dado, contenida en elfactor de fase (k · r), debe ser la misma en z = 0; es decir, las fases deben satisfacer

(k1 · r)z=0 = (k′ · r)z=0 = (k2 · r)z=0. (5.163)

Luego, k1, k2 y k′ deben yacer en un plano. Escojamos r sobre el plano z = 0. Deacuerdo a la gura, obtenemos

k1 sin θ1 = k′ sin θ′ ⇒ θ1 = θ′ (Ley de reexión). (5.164)

k1 sin θ1 = k2 sin θ2 ⇒ n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (Ley de Snell). (5.165)

La reexión total interna consiste en la ausencia de onda refractada cuando n1 > n2.El ángulo de incidencia θ1 para la ocurrencia de este fenómeno corresponde al valorθ2 = π/2 en la ley de Snell,

θ1 = sin−1

(n2

n1

). (5.166)


Resumen

1. Ley de inducción de Faraday,

ε = −1c

dΦm

dt,

Φm =∫

S

B · n da.

2. Ecuaciones de Maxwell en el vacío,

∇ ·E = 4πρ,

∇×E +1c

∂B∂t

= 0

∇ ·B = 0,

∇×B− 1c

∂E∂t

=4πc

J.

3. Potenciales electromagnéticos,

B = ∇×A,

E = −∇ϕ− 1c

∂A∂t

.

4. Calibre de Lorentz,

∇ ·A +1c

∂ϕ

∂t= 0.

5. Densidad de energía del campo electromagnético,

uem =18π

(|E|2 + |B|2).

6. Vector de Poynting,

S ≡ c

4πE×B.

7. Ecuación de onda para el campo eléctrico (o magnético)

∇2E− µε

c2∂2E∂t2

= 0.

8. Onda plana,

E(r, t) = e1Re[Eo e

i(k·r−ωt)].


9. Número de onda,

k = nω

c, n =

√µε.

10. Transversabilidad de ondas electromagnéticas,

B = nk×E

11. Polarización de ondas planas (E1, E2,∈ <),

E(r, t) = (E1x + E2y) ei(kz−ωt), polarización lineal.

E(r, t) = (E1x + iE1y) ei(kz−ωt), polarización circular.

5.9. PROBLEMAS. 217

5.9 Problemas.

1. Considere los potenciales

A(r, t) = Aoei(k·r−ωt), ϕ(r, t) = 0.

a) Encuentre el campo electromagnético asociado a estos potenciales.a) Encuentre las condiciones para que el campo electromagnético sea físicamenterealizable.

2. Considere los campos electromagnéticos

E = A sin(ky − ωt)zB = B sin(ky − ωt)x.

a) ¾Qué relación debe existir entre A y B para que estos campos sean ondasfísicamente posibles en el vacío?.b) Calcule los potenciales A y ϕ para este campo electromagnético en el calibrede Lorentz.

3. Una varilla con conductividad σ y densidad de masa γ se mueve sin fricciónsobre rieles en presencia de un campo magnético constante B = Boz. Si lavelocidad inicial de la varilla en la dirección y es vo, calcule el tiempo requeridopara que la varilla se detenga.

4. Un aro de radio R está rotando con velocidad angular uniforme ω sobre uneje que pasa por su diámetro. Un anillo de radio a R por el cual circulauna corriente I se encuentra en el centro del aro, con su plano perpendicularal plano del aro. Encuentre la diferencia de potencial resultante entre los dosextremos del diámetro del aro.


5. Un anillo de radio a está hecho de un cable de cierto diámetro, que poseeresistividad % y densidad de masa η. El anillo cae verticalmente en la direccionz, con su plano perpendicular a z, en un campo magnético con una componenteBz = Boz, donde Bo =cte. Despreciando la resistencia del aire, encuentre lavelocidad terminal del anillo.

6. Un alambre muy largo, de longitud l y radio b, transporta una corriente Icuando se le aplica una diferencia de potencial V entre sus extremos. Calculeel ujo de energía por unidad de longitud en la supercie del alambre.

7. Considere la siguiente onda plana linealmente polarizada propagándose en unmedio caracterizado por constante dieléctrica ε, permeabilidad magnética µ yconductividad σ,

E(r, t) = Eoeiω[t−n

c(k·r)].

Calcule el índice de refración n del medio.

8. Considere un plasma neutro con conductividad σ y permeabilidad µ.a) Suponga que el plasma es estacionario y que en t = 0 contiene un campomagnético

B(r, 0) =Box, |x| < L,0, |x| > L,

Determine el campo magnético en el espacio para todo tiempo posterior.b) Si el plasma se mueve con velocidad v, encuentre la ecuación que satisfaceel campo magnético.

9. Un plasma formado por electrones (carga e y masa m) tiene una densidad decarga uniforme ρ muy pequeña. Suponga que las interacciones entre los elec-trones pueden ser despreciadas. Una onda electromagnética plana de frecuenciaω y número de onda k incide sobre el plasma.a) Encuentre la conductividad del plasma en función de ω.b) Encuentre el índice de refracción del plasma en función de ω.c) Si la onda incide paralelamente a la dirección de Bo y posee polarizacióncircular, determine el índice de refracción del plasma en función de ω para losdos tipos de helicidad (positiva y negativa) de la onda.

5.9. PROBLEMAS. 219

10. Un cable delgado de longitud l y orientado en la dirección z lleva una corrienteI = Io cosωt.a) Encuentre el momento dipolar eléctrico del cable.b) Calcule el potencial vector para distancias r l.


Capítulo 6

Transformaciones relativistas de

campos electromagnéticos.

6.1 Revisión de Relatividad Especial.

Hacia nales del siglo XIX, la Física consistía en dos grandes teorías para explicar lamayoría de los fenómenos conocidos hasta entonces:

• Mecánica, expresada en las leyes de Newton, que presentaba una descripciónunicada de los fenómenos del movimiento.

• Electromagnetismo, contenido en las ecuaciones de Maxwell, que representabala unicación de la descripción de los fenómenos eléctricos, magnéticos y óp-ticos, y que condujo al descubrimiento de las ondas electromagnéticas y de lanaturaleza de la luz.

En sus estudios sobre el movimiento, Galileo estableció el principio de relatividad:

Principio de Relatividad de Galileo.

Las leyes de la Mecánica son las mismas en diferentes sistemas de coor-denadas inerciales que se encuentran en movimiento relativo uniforme.

Dados dos sistemas de coordenadas S con origen O, y S' con origen O′, tal queO′ se mueve con velocidad constante v con respecto a O, las transformaciones de

221

222CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.

Galileo entre estos sistemas de coordenadas son

r′ = r− vtt′ = t

(6.1)

Figura 6.1: Transformaciones de Galileo para sistemas inerciales en movimiento relativo.

Si v = vx, las transformaciones de Galileo resultan en

x′ = x− vty′ = yz′ = zt′ = t

(6.2)

Derivando con respecto al tiempo la Ec. (6.1), se obtiene la suma de velocidades,

drdt

=dr′

dt′+ v

⇒ u = u′ + v, (6.3)

puesto que dt = dt′ y donde u es la velocidad de una partícula medida en S y u′

corresponde a la velocidad de esa partícula medida en S'. En particular, si v = vx,la suma de velocidades da

u′x = ux − v. (6.4)

La forma de las leyes de Newton es invariante bajo las transformaciones de Galileo.Consideremos la Segunda Ley de Newton en S',

md2r′

dt′2= −∇′V (r′) = F(r′). (6.5)

6.1. REVISIÓN DE RELATIVIDAD ESPECIAL. 223

Tenemos,dr′

dt′=drdt− v, (6.6)

d2r′

dt′2=

d

dt

(drdt− v

)=d2rdt2

. (6.7)

Por otro lado, notamos que para cualquier f ,

∂f

∂x′=∂f

∂x

∂x

∂x′=∂f

∂x(6.8)

y similarmente∂f

∂y′=∂f

∂y,

∂f

∂z′=∂f

∂z(6.9)

Luego,

∇′ =(∂

∂x′,∂

∂y′,∂

∂z′

)=(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)= ∇ (6.10)

La coordenada r′ se puede expresar, en general, como la distancia entre la partículaen consideración y otra partícula (o inuencia externa) con la cual aquella interactúa.Es decir,

r′ = r′i − r′j = ri − rj = r. (6.11)

Luego, ∇′V (r′) = ∇V (r). De acuerdo a las transformaciones de Galileo Ec. (6.1), laEc. (6.5) en el sistema de referencia S' se expresa en el sistema S como

md2rdt2

= −∇V (r) = F(r). (6.12)

Por lo tanto, la Segunda ley de Newton es invariante (conserva su forma) bajo lastransformaciones de Galileo, y el principio de relatividad de Galileo es válido paraestas transformaciones.

Sin embargo, en contraste con el comportamiento de las leyes de la Mecánica, lasleyes del Electromagnetismo no son invariantes ante las transformaciones de Galileo.

Las ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t) son

∇ ·E = 4πρ (6.13)

∇×E +1c

∂B∂t

= 0 (6.14)

∇ ·B = 0 (6.15)

∇×B− 1c

∂E∂t

=4πc

J (6.16)


Note que las ecuaciones de Maxwell contienen términos de la forma ∂Ej

∂t (r, t),donde Ej es la componente j del campo eléctrico (también contienen términos simi-lares para el campo magnético).

Consideremos la componente Ej(r′, t′) en S'. Entonces,

∂Ej∂t′

(r′, t′) =∑i

∂Ej∂x′i

∂x′i∂t′

+∂Ej∂t′

= −∑i

∂Ej∂x′i

vi +∂Ej∂t

(6.17)

donde hemos usado las transformaciones de Galileo

x′i = xi − vit, t′ = t (6.18)

⇒ ∂x′i∂t′

=∂x′i∂t

= −vi. (6.19)

Luego,∂Ej∂t

=∂Ej∂t′

+ v · ∇′Ej . (6.20)

Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformacionesde Galileo sólo si v = 0; es decir, conservan su forma solamente en un sistema dereferencia inercial en reposo con respecto al medio en el cual se propaga la luz. (Elmedio correspondiente al vacío se denominaba éter).

Ante esta situación, se presentan los siguientes escenarios posibles:

1. Las transformaciones de Galileo son correctas, tanto para la Mecánica comopara el Electromagnetismo, lo cual implica que las ecuaciones de Maxwell sonincorrectas.

2. Las transformaciones de Galileo son válidas para la Mecánica en todo sistemainercial, pero las ecuaciones de Maxwell sólo son válidas en un sistema inercialen reposo con respecto al éter (v = 0).

3. Tanto las leyes de la Mecánica como las del Electromagnetismo son invariantesen todo sistema inercial, pero no bajo las transformaciones de Galileo. Estoimplica que las leyes de Newton son incorrectas y que se requiere otra transfor-mación de coordenadas.

El éxito de las ecuaciones de Maxwell en la predicción de las ondas electromag-néticas (experimentos de Hertz, Marconi, y otros) sugiere descartar el escenario (i).


Por otro lado, la falla en la detección del movimiento relativo al éter (experimentode Michelson-Morley) requiere descartar la posibilidad (ii). El escenario (iii) fue elcamino elegido por Einstein en 1905.

Postulados de la Relatividad Especial.

1) Las leyes de la Naturaleza (los resultados de los experimentos) sonlas mismas en todos los sistemas inerciales.

2) La velocidad de la luz es constante en todos los sistemas inerciales.

Según el postulado 1, la ecuación de onda electromagnética se cumple en lossistemas de referencia S y S'. El postulado 2 implica que la forma de una onda elec-tromagnética debe ser igual en los sistemas de referencia inerciales S y S'. Entonces,consideremos un pulso esférico de luz emitido en el origen O de S en el instantet = t′ = 0, cuando ambos orígenes O y O′ coinciden.

Figura 6.2: Pulso electromagnético emitido cuando los orígenes O y O′ coinciden.

Luego,En S: |r| = ctEn S': |r′| = ct′

(6.21)

donde c es la magnitud constante de la velocidad de la luz en ambos sistemas. Entérminos de las coordenadas en cada sistema, tenemos

En S: x2 + y2 + z2 = c2t2

En S': x′2 + y′2 + z′2 = c2t′2 .(6.22)


Las relaciones (6.22) no son compatibles con las transformaciones de Galileo. Estose puede vericar sustituyendo las transformaciones Ecs. (6.2) en la relación (6.22)para S', lo que da

x2 − 2vxt+ v2t2 + y2 + z2 = c2t2 , (6.23)

y lo cual es distinto de la expresión correspondiente en S.Las transformaciones compatibles con los postulados de la Relatividad deben ser

lineales en t y en x para preservar la forma de una onda esférica en ambos sistemasde coordenadas. Además, deben tender a las transformaciones de Galileo cuando lavelocidad relativa entre los dos sistemas es pequeña, puesto que la suma de veloci-dades derivada de esas transformaciones, Ec. (6.3), funciona en las práctica en talessituaciones. La simetría de los sistemas sugiere invarianza en las coordenadas y, xperpendiculares a la dirección del movimiento. Entonces, si la velocidad de O′ esv = vx, supongamos unas transformaciones de la forma

x′ = γ(x− vt)t′ = γ(t− fx)y′ = yz′ = z

(6.24)

donde γ y f son factores o funciones a determinar. Sustitución de las transformaciones(6.24) en la relación (6.22) para S' consistente con el segundo postulado, da

x2γ2(1− c2f2) + 2(fc2 − v)γ2xt+ y2 + z2 =(

1− v2

c2

)γ2c2t2. (6.25)

Comparando con la relación (6.22) para S, requerimos

fc2 − v = 0 (6.26)

γ2

(1− v2

c2

)= 1 (6.27)

γ2(1− f2c2) = 1 (6.28)

lo cual conduce a

f =v

c2, γ =

(1− v2

c2

)−1/2

. (6.29)


Luego, las transformaciones buscadas son

x′ =x− vt√1− v2

c2

t′ =t− v

c2x√

1− v2

c2y′ = yz′ = z

(6.30)

Las Ecs. (6.30) son las transformaciones de Lorentz. Las ecuaciones de Maxwell (y laecuación de una onda electromagnética) son invariantes bajo estas transformaciones.

Se acostumbra emplear la notación β ≡ v/c, con la cual las transformaciones deLorentz se escriben en forma compacta como

x′ = γ(x− βct)

t′ = γ

(t− β

cx

)y′ = yz′ = z.

(6.31)

Note que β ≤ 1 y γ ≥ 1.En el límite de pequeñas velocidades v c, tenemos β 1 y γ ≈ 1, y las

transformaciones de Lorentz se aproximan a las transformaciones de Galileo,

x′ ≈ x− vtt′ ≈ t.

(6.32)

Las transformaciones de Lorentz inversas se pueden obtener haciendo v → −v,x→ −x′, t→ t′, en las Ecs. (6.31),

x = γ(x′ + βct′)

t = γ

(t′ +

β

cx′)

y = y′

z = z′.

(6.33)


A partir de las transformaciones de Lorentz se obtiene la regla de adición develocidades,

u′x =dx′

dt′= γ

(dx

dt′− βc

dt

dt′

),

dx

dt′=dx

dt

dt

dt′= ux

dt

dt′

(6.34)

luego,

u′x = γ (ux − βc)dt

dt′= γ (ux − βc)

(dt′

dt

)−1

, (6.35)

dt′

dt= γ

(1− β

cux

), (6.36)

lo cual conduce a

u′x =ux − v

1− β

cux

. (6.37)

La relación inversa de la suma de velocidades se obtiene haciendo v → −v, ux → u′x,en la Ec. (6.37),

ux =u′x + v

1 +β

cu′x

. (6.38)

Contracción de la longitud.

Consideremos un objeto de longitud Lo en reposo a lo largo del eje x en el sistemaS. Luego, independiente de t,

Lo = x2 − x1, (6.39)

Consideremos la longitud del objeto medida en el sistema S'. Un observador enS' debe realizar una medida de los extremos x′2 y x′1 simultáneamente en S', es decir,para un mismo tiempo t′,

L′ = x′2(t′)− x′1(t

′). (6.40)


Figura 6.3: Contracción de la longitud.

Las transformaciones de Lorentz, Ecs. (6.31), dan las coordenadas x1 y x2 en S

para un mismo tiempo t′ en S' ,

x2 = γ(x′2 + βct′)x1 = γ(x′1 + βct′)⇒ x2 − x1 = γ(x′2 − x′1) .

(6.41)

Luego,

L′ =Loγ

= Lo

√1− v2

c2. (6.42)

Como γ > 1, la longitud L′ del objeto medida en S' es menor que la longitud Lo enS donde el objeto se encuentra en reposo.

Dilatación del tiempo.

Un observador con un reloj en S, presente en dos eventos que ocurren en las mismascoordenadas con respecto al observador, mide el tiempo propio entre esos eventos. Eltiempo propio entre dos eventos que ocurren en un mismo punto x de S es

τ ≡ t2(x)− t1(x). (6.43)

Las transformaciones de Lorentz inversas, Ecs. (6.33), dan para ese intervalo detiempo en S',

∆t′ = t′2 − t′1 = γ

(t2 −

β

cx

)− γ

(t1 −

β

cx

)= γ(t2 − t1). (6.44)


Luego,∆t′ = γτ =

τ√1− v2

c2

. (6.45)

Figura 6.4: Un observador en S mide el tiempo propio entre dos eventos que ocurren en lasmismas coordenadas en S.

Puesto que γ > 1, el intervalo de tiempo medido en S' es mayor que el tiempopropio medido en S. En general, el tiempo propio es el intervalo de tiempo más cortoposible entre dos eventos.

Dinámica relativista.

Los postulados de la Relatividad y las transformaciones de Lorentz son compatiblescon las ecuaciones de Maxwell, pero requieren modicaciones de las leyes de Newton.Einstein propuso redenir el momento lineal de una partícula que se mueve convelocidad u en un sistema S, del siguiente modo

pi = mdxidτ

, (6.46)

donde τ es el tiempo propio (el tiempo medido en el sistema donde la partícula estáen reposo), el cual está denido unívocamente (tiene el mismo valor) para todos los


observadores inerciales. Tenemos,

dxidτ

=dxidt

dt

dτ=dxidt

1√1− u2

c2

= γui . (6.47)

Luego, el momento relativista es

p =mu√1− u2

c2

= mγu , (6.48)

donde u es la velocidad de la partícula en el sistema de referencia S.La Segunda Ley de Newton relativista se escribe entonces,

F =dpdt. (6.49)

donde p está denido en la Ec. (6.48). En esta forma, la Segunda Ley de Newton esinvariante bajo las transformaciones de Lorentz,

dpdt

=dp′

dt′. (6.50)

Note que en el límite de bajas velocidades, β =v

c 1, obtenemos p ≈ mu.

Invariantes relativistas.

Existen cantidades escalares que tienen el mismo valor en todos los sistemas inerciales.Por ejemplo,

γ2(1− β2) = 1 (6.51)

tiene el mismo valor en todos los sistemas. Multiplicando por la constante m2c4,obtenemos otra cantidad invariante,

m2c4 = m2c4γ2 − p2c2 = cte. (6.52)


Energía relativista.

Si denimos la cantidadE ≡ γmc2 , (6.53)

entonces podemos expresar

E2 − p2c2 = m2c4 = cte. (6.54)

Los términos en la Ec. (6.54) poseen unidades de energía al cuadrado. Luego, lacantidad E es un tipo de energía que se puede interpretar físicamente si hacemos unaexpansión en términos de β =

v

c 1,

E = mc2(1− β2)−1/2 = mc2[1 +

12β2 −O(β4)

](6.55)

Luego,

E = mc2 +12mv2 + · · · (6.56)

El primer término en la Ec. (6.56) es constante y no depende de la velocidad de lapartícula,

Eo = mc2 , (6.57)

por lo que representa la energía en reposo de la masa m. El segundo término en laEc. (6.56) corresponde a la energía cinética de la partícula para bajas velocidades.Luego, la cantidad E se interpreta como la energía total relativista de una partículalibre,

E =mc2√1− v2

c2

= mc2 + Trel. (6.58)

Lagrangiano para una partícula relativista.

Las leyes de Newton se cumplen en Relatividad con la denición apropiada de p,dada en la Ec. (6.48). Luego, las ecuaciones de Lagrange también se deben cumplirpara un Lagrangiano L denido apropiadamente,

d

dt

(∂L∂xi

)− ∂L∂xi

= 0. (6.59)


Consideremos una partícula con velocidad v y posición r en un potencial V (r).Luego,

∂L∂xi

= pi = γmxi,∂L∂xi

=∂V

∂xi= Fi . (6.60)

Supongamos la velocidad a lo largo del eje xi, i.e., xi = v. Entonces,

∂L∂xi

=∂L∂v

= γmv , (6.61)

luego, la dependencia funcional del Lagrangiano con la velocidad es

L(v) = m

∫v dv√1− v2

c2

= mc2∫

β dβ√1− β2

, (6.62)

lo cual daL(v) = −mc2(1− β2)1/2 . (6.63)

Para β 1, L(v) se aproxima a la energía cinética newtoniana

L(v) ≈ 12mv2 + · · · (6.64)

Luego, el Lagrangiano para una partícula relativista debe tener la forma L = L(v)−V (r), es decir,

L = −mc2√

1− v2

c2− V (r). (6.65)

Note que L 6= E − V , y L 6= Trel − V . Sin embargo, puesto que L no dependeexplícitamente del tiempo, la función de energía es una cantidad constante para estesistema,

E =∑i

∂L∂xi

xi − L = cte. (6.66)

Utilizando L de la Ec. (6.65), obtenemos

E = m

∑i xixi√1− β2

+mc2√

1− β2 + V, (6.67)


lo cual se reduce a

E =mc2√1− β2

+ V = E + V = cte. (6.68)

La inclusión de potenciales dependientes de la velocidad no representa problema,y se hace del mismo modo que en el caso no relativista. En particular, recordemos queen Mecánica Clásica la energía potencial de una partícula con carga q que se muevecon velocidad v en un campo electromagnético caracterizado por los potenciales ϕ yA está dada por

V = qϕ− q

cA · v . (6.69)

La fuerza de Lorentz sobre una partícula en un campo electromagnético se derivade este potencial. Luego, el Lagrangiano relativista para una partícula en un campoelectromagnético es

L = −mc2√

1− v2

c2− qϕ+

q

cA · v. (6.70)

Ejemplo.

1. Partícula con masa m sujeta a la fuerza F = ma, donde a es una constante.

El potencial es V = −max y el Lagrangiano relativista es

L = −mc2√

1− β2 +max, (6.71)

donde β = x/c. La ecuación de Lagrange para x da:

d

dt

(β√

1− β2

)=a

c. (6.72)

Integrando, tenemos

β√1− β2

=at+ α

c⇒ β =

at+ α√c2 + (at+ α)2

(6.73)

donde α es una constante de integración. Integrando otra vez,

x = c

∫(at+ α)dt√c2 + (at+ α)2

(6.74)

6.2. CORRIMIENTO DOPPLER RELATIVISTA. 235

x− x0 =c

a

(√c2 + (at+ α)2 −

√c2 + a2

)(6.75)

donde hemos introducido la condición inicial x = x0 en t = 0. Si la partículase encuentra en reposo x(0) = 0 en el origen x0 en t = 0, entonces α = 0 ytenemos (

x+c2

a2

)2

− c2t2 =c4

a2, (6.76)

lo cual corresponde a una hipérbola en el plano (x, t). Note que en el límite norelativista, β 1, la Ec. (6.73) da la trayectoria parábolica usual en el plano(x, t),

x ≈ 12at2 + αt+ x0. (6.77)

6.2 Corrimiento Doppler relativista.

Los postulados de la Relatividad implican que una onda plana tiene la misma formaen todos los sistemas de coordenadas inerciales. Puesto que las transformaciones deLorentz son lineales, una onda plana en S debe seguir siendo una onda plana en S'.La fase de una onda debe ser una cantidad invariante, la misma en todos los sistemasde coordenadas, puesto que la fase está determinada por el número de máximos ymínimos de la onda que pasan por un observador; y toda operación de conteo deobjetos es independiente del sistema de coordenadas. Es decir, el número de objetoses un invariante de Lorentz. Luego, la fase de una onda plana en el sistema S debetener el mismo valor en el sistema S';

k · r− ωt = k′ · r′ − ω′t′, (6.78)

donde k = (kx, ky, kz) y ω son el vector de onda y la frecuencia en el sistema S,y k′ = (k′x, k

′y, k

′z) y ω′ son las correspondientes cantidades en S'. Las coordenadas

de los dos sistemas están relacionadas por las transformaciones de Lorentz. Luego,sustituyendo las transformaciones inversas Ecs. (6.33) en la Ec. (6.78), tenemos

kxx+ kyy + kzz − ωt = k′xx′ + k′yy

′ + k′zz′ − ω′t′,

kxγ(x′ + vt) + kyy′ + kzz

′ − ωγ(t′ +

v

c2x′)

= k′xx′ + k′yy

′ + k′zz′ − ω′t′,

γ(kx −

v

c2ω)x′ + k′yy

′ + k′zz′ − γ(ω − kxv)t′ = k′xx

′ + k′yy + k′zz − ω′t′ (6.79)


comparando coecientes en ambos lados de la Ec. (6.79), obtenemos

k′x = γ(kx −

v

c2ω)

(6.80)

ω′ = γ(ω − vkx) (6.81)

k′y = ky (6.82)

k′z = kz (6.83)

En términos de componentes vectoriales perpendiculares y paralelas a la direccióndel movimiento, podemos expresar

k′‖ = γ(k‖ − β

ω

c

)ω′

c= γ

(ωc− β k‖

)k′⊥ = k⊥

(6.84)

Note que las cantidades k y ω/c se transforman de la misma manera que r y t enlas transformaciones de Lorentz. Las transformaciones inversas se obtienen intercam-biando variables primas por no primas y haciendo β → −β en las Ecs. (6.84).

Figura 6.5: Efecto Doppler relativista.

Una consecuencia inmediata de las transformaciones Ec. (6.84) es el corrimiento

Doppler relativista. Si una vector de onda k forma un ángulo θ con respecto con eleje x en el sistema de coordenadas S, entonces en el sistema S' que se mueve convelocidad v = vx, la frecuencia de la onda es

ω′ = γ(ω − v k cos θ),⇒ ω′ = γω (1− β cos θ) , (6.85)


donde hemos usado k = ω/c.Para θ = 0, la Ec. (6.85) da el conocido corrimiento Doppler para la luz: si v > 0,

la fuente en S se aleja del observador en S' y ω′ < ω, lo que corresponde al corrimiento

hacia el rojo; mientras que si v < 0, la fuente en S se acerca al observador en S' yω′ > ω, lo que se denomina corrimiento hacia el azul.

En el límite no relativista, γ → 1, la Ec. (6.85) da

ω′ = γω(1− v

ccos θ

). (6.86)

Note que en el límite no relativista, no existe corrimento Doppler para θ = π/2; esdecir ω′ = ω. Sin embargo, la expresión relativista, Ec. (6.85), para θ = π/2, da

ω′ = γω > ω; (6.87)

este efecto relativista se conoce como el corrimiento Doppler transversal.A pesar del corrimiento Doppler relativista, la velocidad de fase de la onda plana

sigue siendo la misma en los sistemas de referencia S y S'. En S tenemos,

v =ω

k= c, (6.88)

mientras que en S',

v′ =ω′

k′. (6.89)

dondeω′ = γω(1− β cos θ). (6.90)

Por otro lado, calculamos k′ como

k′2 = k′2x + k′2y + k′2z

= γ2(kx − β

ω

c

)2+ k2

y + k2z

= k2 sin2 θ + k2(cos θ − β)2, (6.91)

donde hemos usado

k2y + k2

z = k2⊥ = k2 sin2 θ, kx = k‖ = k cos θ, k =

ω

c. (6.92)


Usando la identidad γ2(1− β2) = 1, podemos escribir la Ec. (6.91) como

k′2 = k2γ2(1− β2) sin2 θ + k2(cos θ − β)2

= k2γ2(sin2 θ − β2 sin2 θ + cos θ2 − 2β cos θ + β2)= k2γ2(1 + β2 cos θ2 − 2β cos θ)= k2γ2(1− β cos θ)2

⇒ k′ = kγ(1− β cos θ). (6.93)


v′ =ω′

k′=γω(1− β cos θ)kγ(1− β cos θ)

=ω

k= c. (6.94)

La invarianza de la velocidad de fase es consecuencia del postulado 2 de la Relatividad.El ángulo θ′ que el vector de onda k′ forma con la dirección de v en S' es

tan θ′ =k′⊥k′‖

⇒ tan θ′ =sin θ

γ(cos θ − β). (6.95)

Ejemplos.

1. Experimento de Fizeau (1951).

Figura 6.6: Experimento de Fizeau.


Este experimento buscaba medir el cambio en la velocidad de la luz en un medio(agua) en movimiento. Hyppolite Fizeau encontró experimentalmente que lavelocidad de la luz en el laboratorio en este caso era

vluz =c

n± v

(1− 1

n2

), (6.96)

donde n es el índice de refracción del agua; v es la velocidad del agua enmovimiento; el signo + ocurre si el agua se mueve en la dirección de la luz, yel signo − tiene lugar si el agua se mueve en dirección contraria a la luz. Elaparato separa dos rayos de luz monocromática provenientes de la misma fuentey los transmite por un uido moviéndose a favor o en contra de la dirección dela onda electromagnética. Un observador mide el corrimiento de fase (k1−k2)Lmediante el patrón de interferencia resultante entre las dos ondas, donde k1 yk2 son los números de onda correspondientes y L es la longitud del recorridopara ambos rayos. El corrimiento de fase es proporcional a la diferencia develocidades de la luz en los dos casos.

Los resultados del experimento pueden explicarse mediante la Relatividad Es-pecial. La invarianza de la fase de la onda debe ser válida aún en presenciade un medio dieléctrico; luego las transformaciones relativistas de k y ω siguensiendo válidos en un medio como el agua. Consideremos que el agua está esta-cionaria en el sistema S', el cual se mueve con velocidad v en la dirección x conrespecto al sistema del laboratorio S. Entonces, en S', donde el agua está enreposo, la velocidad de la luz es

v′luz =ω′

k′=c

n(6.97)

donde k′ = k′x es el vector de onda y ω′ la frecuencia de la luz en S'.

En el laboratorio S, la velocidad de la luz será

vluz =ω

k. (6.98)

Utilizamos las transformaciones inversas de las Ecs. (6.84),

ω = γ(ω′ + vk′) (6.99)

k = γ

(k′ + β

ω′

c

), (6.100)


y sustituyendo en la Ec. (6.98) obtenemos

vluz =γ(ω′ + vk′)

γ

(k′ + β

ω′

c

)

=ω′

k′

(1 + v

k′

ω′

)(

1 +βω′

ck′

)=

c

n(1 + nβ)

(1 +

β

n

)−1

. (6.101)

Puesto que el agua se mueve con velocidad pequeña comparada con la de laluz, tenemos β =

v

c 1. Luego, despreciando términos de orden β2 y mayores,

podemos escribir para la velocidad de la luz en el laboratorio S,

vluz =c

n(1 + nβ)

(1− β

n+ · · ·

)=

c

n

[1− β

n+ nβ + · · ·

]=

c

n

[1 + β

(n− 1

n

)+ · · ·

]⇒ vluz =

c

n+ v

(1− 1

n2

), (6.102)

lo cual está en completo acuerdo con el experimento de Fizeau cuando el aguase mueve en la dirección de la luz. Para el agua moviéndose en dirección opuestaa la de la luz, simplemente reemplazamos v → −v en el resultado anterior.

Note que las transformaciones de velocidades de Galileo dan, para la velocidadde la luz en el laboratorio, la expresión

vluz =c

n± v, (6.103)

que no está de acuerdo con el resultado experimental.

6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS. 241

6.3 Transformaciones de campos electromagnéticos.

La evidencia experimental indica que la carga eléctrica es un invariante relativista;es decir, la carga eléctrica de una partícula, tal como el electrón o el protón, esindependiente de su velocidad. Se ha establecido que el cociente entre la carga delelectrón y el protón es el mismo para diversos átomos neutros; a pesar de que lasvelocidades de los correspondientes electrones sean muy distintas. Igualmente, sehan realizado experimentos con haces de diversos átomos neutros moviéndose a altasvelocidades y sujetos a campos eléctricos; sin observación de efecto de desviaciónalguno.

La invarianza de la carga eléctrica y la contracción de la longitud implican que ladensidad de carga medida en sistemas inerciales S y S' en movimiento relativo debeser diferente. Como consecuencia, los campos eléctricos y magnéticos en S y en S'también son diferentes; pero las ecuaciones de Maxwell conservan su forma en ambossistemas.

Para mostrar cómo la densidad de una distribución carga se transforma en dis-tintos sistemas, consideremos una lámina paralela al plano (x, z) con carga q, largoLo (en la dirección x) y ancho l en reposo en un sistema S. La densidad supercialde carga de la lámina en S es σo, donde

σo =q

Lol. (6.104)

Figura 6.7: Transformación de la componente Ey en S a E′y en S' .

La longitud de la lámina, medida en un sistema S' que se mueve con velocidad ven la dirección x, es

L′ =Loγ

= Lo

√1− v2

c2. (6.105)


Luego, la densidad de carga supercial de la lámina, medida en S' es

σ′ =q

L′l= γ

q

Lol= γσo. (6.106)

Es decir, la densidad de carga medida en un sistema en movimiento es mayor que ladensidad de carga en reposo; σ′ > σo, puesto que γ > 1.

Consideremos dos láminas paralelas al plano (x, z) en reposo en S, con densidadesde carga σo y −σo, y con sus longitudes Lo en la dirección x. El campo eléctrico enS es uniforme entre las láminas y va en la dirección y,

Ey = 4πσo. (6.107)

El campo eléctrico medido en S' debe tener la misma forma que en S, puesto que enS' también que se cumplen las ecuaciones de Maxwell,

E′y = 4πσ′ (6.108)

= 4πγσo (6.109)

⇒ E′y = γEy. (6.110)

Luego, E′y > Ey. Del mismo modo, si colocamos las láminas paralelas al plano (x, y)

en S, con sus longitudes Lo en la dirección x, obtenemos

E′z = γEz, (6.111)

puesto que la contracción de la longitud sigue afectando a Lo en la dirección x en S'.Por otro lado, si las láminas se encuentran paralelas al plano (y, z) en S, la con-

tracción de la longitud en la dirección x afecta la separación de las láminas medidaen S', pero no sus áreas. Como consecuencia, la densidad de carga de las láminasmedida en S' no cambia; y por lo tanto, el campo eléctrico en la dirección x′ tampococambia,

σ′ = σo (6.112)

⇒ E′x = Ex. (6.113)


Figura 6.8: Transformación de la componente Ex en S a E′x en S' .

Entonces, las componentes del campo eléctrico perpendiculares a la dirección dela velocidad cambian, mientras que las componentes del campo eléctrico paralelas ala velocidad no se alteran en el sistema S'; esto es,

E′⊥ = γE⊥ (6.114)

E′‖ = E‖. (6.115)

Figura 6.9: Transformaciones de las componentes Ey y Bz en S a E′y y B′

z en S' .

Supongamos ahora que, además de un campo eléctrico, existe un campo magnéticoen S. Para que exista un campo magnético en S, debemos tener cargas en movimientoen S. Consideremos entonces que las láminas paralelas, cuyas densidades de carga enreposo son ±σo, se mueven ambas en el sistema S en la dirección x con velocidad uo.Entonces, la densidad de carga en S es

σ = γoσo , (6.116)

donde γo = (1− β2o)−1/2 (6.117)

βo =uoc. (6.118)


La densidad de carga en movimiento equivale a una corriente. Consideremos unelemento diferencial de una lámina de largo dx. Su carga es

dq = σl dx. (6.119)

La corriente que pasa en un tiempo dt en S es

I =dq

dt= σl

dx

dt= σluo. (6.120)

Figura 6.10: Ley de Ampère para calcular la componente Bz en S .

Para calcular el campo magnético producido por las corrientes laminares I quevan en las direcciones x y x, notamos que el campo magnético entre las láminas enmovimiento es uniforme y va en la dirección z, mientras que fuera de las láminasel campo magnético es cero. Utilizando la ley de Ampère en forma integral para elcircuito C, obtenemos ∮

CB · dl =

4πcIenc

Bzl =4πcI

⇒ Bz =4πcσuo. (6.121)

El campo eléctrico en S va en la dirección y y su valor es

Ey = 4πσ. (6.122)


Sustituyendo σ, podemos expresar los campos en S como

Ey = 4πγoσo (6.123)

Bz =4πcγoσouo = 4πγoσoβo. (6.124)

Las expresiones de los campos en el sistema S' tienen la misma forma que en S,Ecs. (6.121) y (6.122), pero en términos de cantidades medidas en S'; esto es

E′y = 4πσ′ (6.125)

B′z =

4πcσ′u′, (6.126)

donde σ′ es la densidad de carga en S' y u′ es la velocidad de las láminas con respectoa S'. Tenemos

σ′ = γ′σo (6.127)

donde γ′ =(

1− u′2

c2

)−1/2

. (6.128)

Utilizando la suma de velocidades relativistas, tenemos

u′ =uo − v

1− β

cuo

(6.129)

⇒ u′

c=

βo − β

1− ββo, (6.130)

donde

β =v

cβo =

uoc. (6.131)


Luego,

1− u′2

c2= 1−

(βo − β

1− ββo

)2

=(1− β2

o)(1− β2)(1− ββo)2

(6.132)

⇒ γ′ =(

1− u′2

c2

)−1/2

= (1− β2o)−1/2(1− β2)−1/2 (1− ββo)

= γoγ (1− ββo). (6.133)

Sustituyendo σ′ y γ′ en la Ec. (6.125), obtenemos

E′y = 4πσ′

= 4πγ′σo= 4πσoγoγ (1− ββo)= γ (4πσoγo − 4πσoγoβo β)

⇒ E′y = γ (Ey − βBz) , (6.134)

donde hemos sustituido las Ecs. (6.123) y (6.124).Del mismo modo, sustituyendo σ′, γ′ y u′/c en la Ec. (6.126), obtenemos

B′z = 4πσ′

u′

c

= 4πγ′σo(βo − β)(1− ββo)

= 4πσoγγo(1− ββo)(βo − β)(1− ββo)

= γ (4πσoγoβo − 4πσoγo β)⇒ B′

z = γ (Bz − βEy) . (6.135)

Por un procedimiento similar, se puede demostrar que las otras componentes deE y B perpendiculares a la dirección x de la velocidad se transforman como

E′z = γ (Ez + βBy) (6.136)

B′y = γ (By + βEz) . (6.137)


Figura 6.11: Transformaciones de las componentes Ez y By en S a E′z y B′

y en S' .

Por último, consideremos la transformación de la componente Bx del campo mag-nético, paralela a la velocidad. Supongamos que en el sistema S tenemos en reposo unsolenoide innito en la dirección x, el cual transporta una corriente I y posee N/Lovueltas por unidad de longitud.

Figura 6.12: Transformación de la componente Bx en S a B′x en S' .

Dentro del solenoide, el campo magnético es uniforme y va en la dirección x. Laley de Ampère da el valor

Bx =4πcIN

Lo. (6.138)

La corriente medida en S es

I =dq

dτ, (6.139)

donde dτ es el intervalo de tiempo propio para el paso de una carga dq por el cable.La corriente medida en S' es

I ′ =dq

dt′=

1γ

dq

dτ=I

γ, (6.140)


puesto que dt′ = γdτ debido a la dilatación del tiempo en S'. Debido a la contracciónde la longitud, la longitud del solenoide en S' es

L′ =Loγ. (6.141)

El número de espiras N es invariante. Entonces, el campo magnético en S' es

B′x =

4πcI ′N

L′(6.142)

=4πc

(I

γ

)(N

Loγ

)=

4πcIN

Lo⇒ B′

x = Bx. (6.143)

Es decir, la componente del campo magnético paralela a la velocidad no cambia.En resumen, las transformaciones relativistas de las componentes de los campos

electromagnéticos son

E′x = Ex B′

x = BxE′y = γ (Ey − βBz) B′

y = γ (By + βEz)E′z = γ (Ez + βBy) B′

z = γ (Bz − βEy) ,(6.144)

donde la velocidad relativa del sistema S' con respecto a S va en la dirección x. Lascomponentes de los campos electromagnéticos paralelas a la dirección de la velocidadno se alteran, mientras que las componentes perpendiculares se transforman. Siescribimos E = E‖+E⊥ y B = B‖+B⊥, las transformaciones Ecs. (6.144) se puedenexpresar en forma vectorial como

E′‖ = E‖

E′⊥ = γ(E⊥ + β ×B)

B′‖ = B‖

B′⊥ = γ(B⊥ − β ×E),

(6.145)

donde β =v

cx , γ = (1− β2)−1/2. (6.146)


Las transformaciones inversas se obtienen intercambiando variables primas por varia-bles no primas, y haciendo β → −β en las Ecs. (6.144) y β → −β en las Ecs. (6.145).

Las transformaciones Ecs. (6.145) muestran que los campos eléctrico y magnéticosiempre coexisten en algún sistema de referencia. Un campo puramente eléctrico enun sistema aparece como una mezcla de campos ele¢tricos y magnéticos en otro sis-tema. Los campos E y B están completamente relacionados, formando una entidadque es el campo electromagnético, y podemos considerar a las componentes de E yB como seis componentes del campo electromagnético. El mismo campo electromag-nético, visto desde distintos sistemas, estará representado por distintos valores paraesas seis componentes. De este modo, el campo electromagnético se puede expre-sar como un tensor o una matriz 3 × 3 con seis componentes independientes que setransforman en distintos sistemas de referencia de acuerdo a las Ecs. (6.144).

Ejemplos.

1. Carga puntual en movimiento.

Figura 6.13: Campos de una carga en movimiento.

Supongamos una carga q en reposo en S'. Luego, en S' no hay campo magnético,B′‖ = 0,B′

⊥ = 0, y E′ es un campo electrostático radial.

Vista desde el sistema S, que podemos llamar laboratorio, la carga q se muevecon velocidad v en la dirección x. El campo eléctrico en S está dado por lastransformaciones inversas correspondientes a la Ecs. (6.145),

E‖ = E′‖, E⊥ = γ(E′

⊥ − β ×B′), (6.147)

es decir,Ex = E′

x, E⊥ = γE′⊥. (6.148)


En S, las líneas radiales de campo eléctrico se pliegan en la dirección transver-sal al movimiento, concentrándose en un cilindro delgado perpendicular a ladirección de v.

Similarmente, el campo magnético medido en S está dado por

B‖ = B′‖, B⊥ = γ(B′

⊥ + β ×E′) (6.149)

lo que conduce en este caso a

B‖ = 0, B⊥ = γβ ×E′. (6.150)

En S se observa un campo magnético B = B⊥ perpendicular a la dirección delmovimiento β y al campo radial E′. Las líneas de campo B son circunferen-cias alrededor de la dirección de movimiento, en el plano perpendicular a ésta.La carga en movimiento constituye una corriente en la dirección v en S, y ladirección del campo B que ésta produce satisface la regla de la mano derecha.

Figura 6.14: Direcciones de los campos E y B de una carga en movimiento.

Supongamos que la carga q se encuentra en el origen de coordenadas de S',de modo que E′ = q

r′3 r′. Consideremos un instante t = t′ = 0 cuando los

orígenes de coordenadas de S' y S coinciden. Entonces, para velocidades bajascon respecto a c, γ ' 1, r ' r′, y obtenemos campo magnético en S

B ' q

c

v × rr3

, (6.151)

el cual es el campo magnético dado por la ley de Biot-Savart para una corrientecorrespondiente a una carga en movimiento.


Figura 6.15: Campo magnético de una carga en movimiento y la ley de Biot-Savart.

2. Supongamos que en S existe un campo eléctrico E, pero que no hay campomagnético, B = 0. Entonces, en S' se observa un campo magnético

B′‖ = 0, B′

⊥ = γE× β. (6.152)

En el ejemplo de las láminas cargadas en reposo, Ey = 4πσo en S. Luego, elcampo magnético en S' es

B′x = 0,

B′y = 0,

B′z = −γβEy = −4πσoγβ. (6.153)


Resumen

1. Transformaciones de Lorentz,

x′ = γ(x− βct)

t′ = γ

(t− β

cx

)y′ = yz′ = z.

β =v

c, γ =

(1− v2

c2

)−1/2

.

2. Suma relativista de velocidades,

ux =u′x + v

1 +β

cu′x

.

3. Contracción de la longitud,

L′ =Lo

γ.

4. Dilatación del tiempo,∆t′ = γτ.

5. Momento relativista,p = mγu.

6. Energía relativista,

E ≡ γmc2, E2 − p2c2 = m2c4 = cte.

7. Corrimiento Doppler relativista,

ω′

c= γ

(ωc− β k‖

), k′‖ = γ

(k‖ − β

ω

c

).

8. Transformaciones de los campos electromagnéticos,

E′‖ = E‖

E′⊥ = γ(E⊥ + β ×B)

B′‖ = B‖

B′⊥ = γ(B⊥ − β ×E)

β =v

cx.

6.4. PROBLEMAS. 253

6.4 Problemas.

1. En un laboratorio se observa un cable recto innito, con densidad lineal decarga λo en reposo, moviéndose con velocidad v paralela a la dirección del cable.¾Cuáles son los campos eléctrico y magnético observados en el laboratorio?.

2. Considere un sistema de referencia en el cual existe un campo eléctrico E = Eoyy un campo magnético B = Boz, tal que Eo < Bo.a) Encuentre un sistema de referencia inercial donde el campo eléctrico sea nulo.b) Demuestre que las cantidades E ·B y E2−B2 son iguales en ambos sistemas.

3. Una onda electromagnética plana con frecuencia ω incide sobre un espejo plano,formando un ángulo α con respecto al espejo. Si el espejo se mueve con velocidadconstante v en la dirección de su normal al encuentro de la onda incidente,determine el ángulo de reexión respecto al plano del espejo y la frecuencia dela onda reejada

4. Una onda electromagnética plana en un sistema inercial S posee un campoeléctrico E = Eo sin(kx− ωt)y.a) Encuentre el campo magnético correspondiente a esta onda en S.b) Encuentre el número de onda y la frecuencia de esta onda en un sistema dereferencia S ′ que se mueve con velocidad constante vx con respecto a S.

5. Un cable recto e innito tiene una densidad lineal de carga uniforme λ y llevauna corriente I.a) Encuentre un sistema de referencia en el cual no exista campo magnético ydetermine la magnitud del campo eléctrico medido en ese sistema.b) Encuentre un sistema de referencia en el cual solamente se observe campomagnético y determine la magnitud de ese campo en tal sistema.

6. En un laboratorio, se observan dos electrones moviéndose en trayectorias para-lelas, uno al lado del otro, con la misma rapidez v y separados por una distanciatransversal d.a) ¾Cuál es la fuerza entre ambas partículas, calculada en el laboratorio?.b) Si los electrones se mueven en la misma línea uno delante del otro, separadospor una distancia d, ¾cuál es la fuerza medida en el laboratorio en este caso?.


7. Una esfera conductora de radio R se mueve con velocidad constante v = vx. através de un campo magnético uniforme B = Boy.a) Encuentre la densidad supercial de carga inducida sobre la esfera.b) ¾Cuál es el límite no relativista de esta cantidad?.

8. Una partícula relativista de masam y carga q, con velocidad inicial vo, se mueveen un campo eléctrico Eo uniforme, constante y perpendicular a vo. Encuentrela velocidad de la partícula en función del tiempo.

9. Una partícula relativista con carga q y masa m se mueve con velocidad v en elcampo de un dipolo magnético µ orientado en la dirección z y cuyo potencialvector, en coordenadas esféricas, es

A =µ sin θr2

φ.

a) Encuentre el momento conjugado pφ de la partícula.b) Demuestre que pφ es una constante del movimiento.

10. Este problema se reere al efecto Sagnac. Se construye un interferómetro en-viándo luz de longitud de onda λ en direcciones opuestas a través de un contornoplano cerrado (por ejemplo, una bra óptica) de longitud L y que encierra unárea A. Todo el aparato, incluyendo la fuente de luz y el detector, se hace rotarcon velocidad angular Ω alrededor de un eje perpendicular a su plano.a) Demuestre que el corrimiento de fase observado entre los rayos de luz que semueven en direcciones opuestas es 4ΩA

cλ , hasta primer orden en Ω.b) ¾Cómo depende la respuesta anterior de la localización del eje de rotación?.c) ¾Podría este efecto ser observado en un laboratorio típico?.

6.4. PROBLEMAS. 255

.

Documents

Guia Electromagnetism o