Guia IV Periodo Noveno

INSTITUTO SAN BERNARDO DE LA SALLE

GUÍA DE ESTUDIO

PROFESOR. Iván Dario Camargo Godoy

ESTUDIANTE GRUPO No

PERÍODO 4 AREA Matemáticas ASIGNATURA Matemáticas GRADO 9

1. PROPOSITO DEL AREA

Resolver situaciones problema, aplicando las competencias matemáticas en donde se vivencien los valores lasallistas.

2. PROPÒSITO DE ASIGNATURA

Presenta estrategias de solución a situaciones problema, empleando las características propias de la función trigonométrica.

3. PROPÓSITO DEL PERÍODO

Clasificar las cónicas a partir de sus características esenciales.

4. REJILLA DE INDICADORES DE LOGRO

AFECTIVA I COGNITIVA I EXPRESIVA I

Demuestra interés por prepararse en la

presentación de pruebas, para el desarrollo de

competencias.

Identifica la representación analítica de una recta.

Construye ecuaciones a partir de los elementos y

características de una recta.

AFECTIVA II COGNITIVA II EXPRESIVA II

Identifica la importancia de clasificar las cónicas teniendo

en cuenta sus elementos.

Reconoce los elementos que componen la parábola.

Determina la ecuación de una parábola, a partir de los elementos y características

que la componen

AFECTIVA III COGNITIVA III EXPRESIVA III

Muestra interés por construir secciones cónicas

empleando algunas de sus características.

Observa los elementos que componen la elipse

identificando cada uno de ellos.

Encuentra la ecuación de la elipse, a partir de sus

elementos y características

5. CONTEXTUALIZACIÓN

CONGREGACIÓN DE LOS HERMANOS DE LAS ESCUELAS CRISTIANASDISTRITO LASALLISTA DE BOGOTÁ

Fecha de Creación: 25-01-2010Página 1 de 30


GUÍA DE ESTUDIO

El rescoldoDespués de Navidad (1922), Jesús Vio tuvo una larga charla con (el profesor) Harold Lardy para orientar el trabajo de la tesis que debía comenzar. Había pensado encaminar su investigación atacando, en la medida de sus fuerzas, el último teorema de Fermat. Le atraía, como a tantos, la sencillez del planteamiento. Lo que Pierre de Fermat había escrito en el margen de la Arithmetica de Diofanto, probablemente en 1637, era muy simple: “Es imposible escribir un cubo como la suma de dos cubos o, en general, escribir cualquier potencia mayor que dos como la suma de dos potencias iguales”.

Cuando el español planteó a Lardy su intención de centrar la tesis en el teorema de Fermat, el profesor sonrió, pero no se lo desaconsejó. Estaban sentados en torno a una mesa en la sal de estar contigua a la habitación donde vivía el soltero Lardy. […] Una pizarra negra con sus tizas completaba la decoración mural. “Comencemos pues, indicó Lardy y, levantándose, se acercó a la pizarra. Allí escribió la ecuación de Fermat:

─ No existe una terna de números enteros que, para mayor que , satisfaga esta ecuación ─ concluyó Lardy.

En lugar de sentarse, el profesor siguió de pie.

─ Si me lo permite ─ continuó Lardy ─, le haré una pequeña digresión histórica que quizá le sea de utilidad.

[…] Euler, siguiendo el método conocido como “descenso infinito”, que el propio Fermat utilizó, aunque no para demostrar esta conjetura, demostró la no existencia de solución para la potencia tres. Así se lo anunció a Goldbach en una carta fechada en agosto de 1753. Un siglo después de la muerte de Fermat, tan solo se había demostrado la validez de su teorema para las potencias 3 y 4. Si le he de ser sincero ─ continuó Lardy ─, no creo que en este asunto de Fermat se haya avanzado mucho desde entonces. En cualquier caso, le prepararé una bibliografía lo más exhaustiva que pueda acercar de este enigma. Trabaje usted con ella y luego propóngame una vía de ataque, la discutiremos. Creo que ha llegado el momento de que tengamos un encuentro en la cancha de tenis. La he reservado para dentro de media hora. ¿Es tiempo suficiente?




GUÍA DE ESTUDIO

La catedral de San Pablo

Esta famosa catedral, construida entre 1670 y 1710, es una de las pocas edificaciones que quedaron en pie después de la Segunda Guerra Mundial.

Además de ser famosa por ser escenario de eventos sociales como la boda del príncipe Carlos y la ya fallecida princesa Diana, lo es porque fue allí donde se observó el fenómeno matemático hoy conocido como galería de susurros. El fenómeno de galería de susurros está relacionado con las propiedades de reflexión que cumple la elipse.

En la catedral de San Pablo, las secciones transversales de los techos son arcos elípticos. Así, si una persona se ubica en uno delos focos y murmulla algo que, aparentemente, nadie más puede oír, este sonido se refleja en el techo y cualquier persona ubicada en el otro foco podría oír el murmullo.

Las matemáticas del universo¿Quién no ha tenido que diseñar un sistema solar con alambre y bolas de icopor?

Pues al parecer, esta tarea manual que es costumbre en la primaria tiene un gran fundamento teórico en la geometría analítica. Al elaborar el diseño, siempre se busca que los alambres, que hacen las veces de las órbitas de los planetas, tengan forma de elipse.Precisamente, se llaman orbitas elípticas.

Así que, las órbitas de cada planeta son elipses en donde uno de los focos es el Sol.

El afelio de un planeta es su distancia mayor al Sol. El perihelio de un planeta es su distancia menor al Sol. La distancia media de un planeta al Sol es la longitud del semieje

mayor de la órbita elíptica.

6. ENSEÑANZAS




GUÍA DE ESTUDIO

6.1. ENSEÑANZA (1)

LUGAR GEOMÉTRICO

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que pertenecen al plano cartesiano y que cumplen determinada característica geométrica común.En relación con la característica común de los puntos que pertenecen al lugar geométrico del plano es posible realizar su representación analítica por medio de una ecuación, la cual se denomina ecuación de un lugar geométrico. También es posible realizar la representación geométrica por medio de una gráfica en el plano cartesiano.Para determinar la ecuación de un lugar geométrico, se expresan algebraicamente las propiedades de los puntos P(x , y)de ese lugar, mediante igualdades que relacionan las variable x y y .

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos P(x1 , y1) y Q(x2 , y2) del plano, se simboliza como d y está determinada por la formula

d (P , Q)=√ ( x2−x1)2+( y2− y1 )2

La fórmula de distancia entre dos puntos se deduce a partir del Teorema de Pitágoras.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Las coordenadas del punto medio de un segmento que une dos puntos P(x1 , y1) y Q(x2 , y2) son ( x1+x2

2,

y1+ y2

2 ).

PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta que pasa por los puntos P(x1 , y1) y Q(x2 , y2) se define como m=y2− y1

x2−x1

con x1≠ x2.

En la figura se muestra la recta l que pasa por los puntos P(x1 , y1) y Q(x2 , y2). En el triángulo rectángulo PRQ, el ángulo α tiene igual medida en triángulo que forma la recta l con el eje x. Además se tiene que:




GUÍA DE ESTUDIO

tan α=y2− y1

x2−x1

Por lo tanto, la pendiente de la recta es igual a la tangente del ángulo que la recta forma con el eje positivo x. El ángulo α se conoce como el ángulo de inclinación de la recta. De este modo, es posible definir la pendiente de una recta a partir del ángulo de inclinación. Así, m=tan α .

A partir de la definición de un lugar geométrico, distancia entre dos puntos, punto medio de un segmento y pendiente de una recta, se empezará el estudio de la Línea Recta.

LA LÍNEA RECTAECUACIÓN DE LA RECTA

Ecuación de la recta cuando se conoce la pendiente y el intercepto con el eje y

Una función afín se define por la expresióny=mx+b

donde m y b son números reales.

La gráfica de una función afín es una recta cuya pendiente es m y cuyo punto de intersección con el eje y es (0 , b ).

La función afín es creciente si m>0, y decreciente si m<0.

La expresión y=mx+b se denomina ecuación canónica de la recta, en donde m es la pendiente y b es el valor en el que la recta corta al eje y . Este valor recibe el nombre de y – intercepto.

m: pendiente b: y – intercepto

Ecuación de la recta cuando se conoce un punto y la pendiente

Es posible determinar la ecuación de una recta cuando se conoce un punto pertenece a ella y su pendiente.

Para una recta que pasa por el punto P1(x1 , y1) y su pendiente es m, se determina la ecuación de la siguiente forma.




GUÍA DE ESTUDIO

Se considera cualquier otro punto P(x , y) dela recta de tal manera que x≠ x1; por tanto, se cumple que m=y2− y1

x2−x1

.

Luego, y− y1=m ( x−x1 )

La ecuación punto – pendiente de la recta con pendiente m que pasa por el punto P1(x1, y1) es y− y1=m ( x−x1 ).

Ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos

Ya que por dos puntos pasa una única recta, entonces, es posible determinar la ecuación de la recta a partir de las coordenadas de los dos puntos P(x1 , y1) y Q(x2 , y2) que pasen por ella así:

Primero, se halla la pendiente de la recta remplazando las coordenadas en la expresión m=y2− y1

x2−x1

.

Luego, se remplazan las coordenadas de uno de los puntos en la ecuación y se despeja y.

Ecuación general de la recta

La ecuación general de la recta es de la forma Ax+By+C=0, donde A, B y C son números reales.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

En el plano cartesiano dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o perpendiculares.

Rectas coincidentes

Dos rectas cuyas ecuaciones generales son Ax+By+C=0 y A ' x+B ' y+C '=0, son coincidentes si los coeficientes de

las dos son proporcionales, es decir, AA '

= B

B'= C

C'=k , donde k es una constante.

Por ejemplo, las rectas cuyas ecuaciones son 4 x+6 y−12=0 y 2 x+3 y−6=0 son coincidentes porque los coeficientes son proporcionales, es decir,

42=2 ,

63=2 ,

−12−6

=2

Luego,42=6

3=−12

−6=2 , donde k=2.

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección, no poseen puntos en común y, en consecuencia, la misma inclinación.

Si las pendientes de las rectas l1 y l2 son m1 y m2, respectivamente, se cumple que las rectas son paralelas si y sólo si m1=m2.

Rectas secantes

Dos rectas son secantes cuando se cortan en un solo punto o si su intersección es un solo punto.

Para el ángulo α formado por dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 se cumple que

tan α=m1−m2

1+m1 m2




GUÍA DE ESTUDIO

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si el ángulo que forman mide 90 °.

Dos rectas l1 y l2 son perpendiculares siempre que el producto de sus pendientes m1 y m2 sea igual a −1m1∙ m2=−1

6.1.1 EJEMPLO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

1. Determinar la distancia entre los puntos P(1 , 5) y Q(−3 , 2).

d (P , Q)=√ ( x2−x1)2+( y2− y1 )2

d (P , Q)=√ (−3−1 )2+(2−5 )2

d (P , Q)=√ (−4 )2+ (−3 )2

d (P , Q)=√16+9

d (P , Q)=√25

d (P , Q)=5

Por lo tanto, la distancia entre los puntos P(1 , 5) y Q(−3 , 2) es d (P , Q)=5.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

2. Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos P(1 , 5) y Q(−3 , 2).

( x1+x2

2,

y1+ y2

2 )

( 1+−32

,5+2

2 )

(−22

,72 )

(−1 ,72 )

Por lo tanto, las coordenadas del punto medio del segmento formado por los puntos P(1 , 5) y Q(−3 , 2) son (−1 ,72 ).



Fórmula de distancia entre dos puntos

Se sustituyen los valores de las coordenadas de los puntos

Se realizan las operaciones indicadas en los paréntesis

Se resuelven los exponentes

Se realizan las operaciones indicadas en la raíz

Se extrae la raíz

Fórmula del punto medio de un segmento

Se sustituyen los valores de las coordenadas de los dos puntos

Se realizan las operaciones indicadas

Se simplifica la fracción


GUÍA DE ESTUDIO

PENDIENTE DE UNA RECTA

3. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3 ,2) y B(−4 ,−3) y el ángulo de inclinación de la recta.

m=y2− y1

x2−x1

m=−3−2−4−3

m=−5−7

m=57

Por lo tanto, la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3 ,2) y B(−4 ,−3) es m=57

.

Para hallar el ángulo de inclinación de la recta se plantea la ecuación:tan α=m

tan α=57

α=tan−1( 57 )

α ≈35,54 °

Así, el ángulo de inclinación de la recta cuya pendiente es 57

, es 35,54 ° aproximadamente.

LA LÍNEA RECTA

Ecuación de la recta cuando se conoce la pendiente y el intercepto con el eje y

4. Hallar la pendiente y el y – intercepto. Luego, realizar la representación gráfica de la recta cuya ecuación es

y=−34

x+2

La ecuación es de la forma y=mx+b, así m=−34

y b=2.

Por lo tanto, la pendiente es −34

y el y – intercepto es 2.

Para realizar la representación gráfica de la recta, se ubica en el plano cartesiano el punto en el cual la recta corta al eje y , es decir, (0 , 2 ) “ósea el y – intercepto”.Luego, se halla otro punto a partir de la pendiente, así:

Como la pendiente es −34

, entonces, por cada 4 unidades que se avanza a la derecha, se bajan 3unidades (porque es



Definición de pendiente de una recta

Se remplazan las coordenadas de los puntos


Se simplifica la fracción

Se remplaza el valor de m

Se despeja el ángulo α

Se aplica la inversa de la función y se aproxima el resultado


GUÍA DE ESTUDIO

negativa). Por lo tanto, la recta pasa por el punto (4 ,−1 ), como se muestra en la figura.

Ecuación de la recta cuando se conoce un punto y la pendiente

5. Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es 23

y pasa por el punto (−1 , 3 ).

y− y1=m ( x−x1 )

y−3=23

( x−(−1 ))

y−3=23

( x+1 )

y−3=23

x+ 23

y=23

x+ 113

Por lo tanto, la ecuación de la recta es y=23

x+ 113

.

Ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos

6. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(−2 , 3) y Q(1 , 4)

Para determinar la ecuación de la recta se debe hallar la pendiente que pasa por los puntos P(−2 , 3) y Q (1 , 4 ). Luego, se remplaza un punto y la pendiente en la ecuación de la recta.

m=y2− y1

x2−x1

m= 4−31−(−2)

m=13

y− y1=m ( x−x1 )

y−3=13

( x−(−2 ) )

y−3=13

( x+2 )



Ecuación punto – pendiente

Se remplazan las coordenadas del punto y la pendiente

Se realizan las operaciones del paréntesis

Se aplica propiedad distributiva de la multiplicación

Definición de pendiente de una recta

Se remplazan las coordenadas de los puntos


Ecuación punto – pendiente

Se remplazan las coordenadas de un punto y la pendiente

Se aplica propiedad distributiva de la multiplicación

Se despeja y


GUÍA DE ESTUDIO

y−3=13

x+ 23

y=13

x+ 23+3

y=13

x+ 113

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(−2 , 3) y Q(1 , 4) es y=13

x+ 113

.

Ecuación general de la recta

7. Determinar la pendiente de la recta y el intercepto con el eje y , de la recta cuya ecuación es 3 x+4 y+5=0.

3 x+4 y+5=0

4 y=−3 x−5

y=−34

x−54

En la ecuación y=−34

x−54

, se tiene que m=−34

y el intercepto con el eje y es (0 ,−54 ).

8. Expresar la ecuación y= 45

x+ 16

como ecuación general

y= 45

x+ 16

30 ∙ y=30 ∙45

x+30 ∙16

30 y=24 x+5

−24 x+30 y−5=0

Por lo tanto, la ecuación general de la recta es −24 x+30 y−5=0, donde A=−24, B=30 y C=−5

Rectas paralelas

9. Determinar si las rectas cuyas ecuaciones 3 x+2 y−1=0 y 3 x+2 y+6=0 son paralelas.

En la ecuación 3 x+2 y−1=0, se tiene que:

y=−32

x+ 12

Así, m1=−32

En la ecuación 3 x+2 y+6=0, se tiene que:

y=−32

x−3 Así, m2=−32



Se transponen los términos 3 x y 5.

Se despeja y .

Se amplifica la expresión por el mínimo común múltiplo de las dos fracciones 30.

Se simplifican las fracciones

Se iguala a cero la ecuación

Se despeja y

Se despeja y


GUÍA DE ESTUDIO

Como las pendientes de las rectas son iguales m1=m2, entonces las rectas son paralelas.

Rectas perpendiculares

10. Determinar si las rectas cuyas ecuaciones son 4 x+2 y−3=0 y x+ y+5=0 son perpendiculares

En la ecuación 4 x+2 y−3=0, se tiene que:

y=−2x+ 32

Así, m1=−2

En la ecuación x+ y+5=0, se tiene que:y=− x−5 Así, m2=−1

Las pendientes de las rectas son m1=−2 y m2=1, luego m1∙ m2=2; como el producto de las pendientes es diferente de −1, entonces las rectas no son perpendiculares.

6.1.2 EJERCICIOS

1. Encuentre la distancia entre cada punto y M

a) d ( M , A )b) d ( M , B )c) d ( M ,C )d) d ( M , D )e) d ( M , E )f) d ( M , F )g) d ( M ,G )h) d ( M , H )i) d ( M , M )

2. Determine las coordenadas del punto medio del segmento que une cada par de puntos y ubique cada segmento en un plano cartesiano diferente.

a) R (1,3 ) , S (−3,4 )b) M (−2,5 ) ,N (−1,7)c) P (−5 ,−2 ) , Q (3,4 )d) T (−5,4 ) ,U (−1 ,−4)

e) X (−12

,32 ) , Y ( 3

2,−2)

f) E(4 ,52 ) , F (−3

4,−3)

3. Calcule la distancia entre cada par de puntos, la pendiente, el ángulo de inclinación y grafíquelos en un plano cartesiano diferente.

a) P (−2,4 ) , Q(3 ,−2)b) H (7,11) , G(−2,4)

c) M (−1 ,13 ) , N ( 3

5,2)



Se despeja y

Se despeja y

2


GUÍA DE ESTUDIO

d) T (−32

,12 ) ,U (−1 ,

12)

4. Ubique cada par de puntos en planos cartesianos y calcule la pendiente y el ángulo de inclinación.

a) A (−2,5 ) ,B (3,5)b) I (12 ,−3 ) , J (−4,3)c) K (0,3 ) , L(−7,0)

d) C (−4 ,−23 ) , D(−4,7)

e) G(3 ,12 ) , H ( 2

5, 4)

5. Determine las coordenadas del punto medio de cada lado del polígono. Luego, construya un polígono con los puntos medios hallados y por último calcule su perímetro.

6. Grafique la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m. Luego, escriba su ecuación en forma canónica.

a) P (2,4 ) ,m=3

b) P (−2,3 ) , m=0

c) P(−32

,2) , m=−2

d) P(−3 ,12 ) , m=4

e) P (1 ,7 ) , m=−1f) P (2 ,5 ) , m=−3

g) P (−3 ,−2 ) , m=−32

h) P (2 ,0 ) , m=−15

7. Escribe la ecuación canónica y la ecuación general de cada recta representada.




GUÍA DE ESTUDIO

8. Escribe la ecuación general de la recta que cumple con las condiciones señaladas.

a) La pendiente es −2 y pasa por el punto (−5 , 3 ).

b) La pendiente es −23

y la intercepción en y es 1.

c) La pendiente es 3 y la intercepción en x es −43

.

d) Pasa por los puntos (−1 ,−6 ) y (3 , 5 ).e) Pasa por el punto (2 ,−5 ) y es paralela al eje x.

f) Pasa por el punto (3 ,−4 ) y es paralela al eje y .

9. Determine la pendiente y el y-intercepto de la recta con la ecuación dada.

a) 4 y−10=0b) x+3 y=9c) 7 x−8 y=0d) x=4 y−6e) 6 x=3 yf) x−5 y+10=0

10. Considere los vértices del triángulo ABC cuyas coordenadas son: A (−2 ,−2 ) ,B ( 8 ,3 ) , C (3 ,5 )

a) Dibuje el triángulo en un plano cartesiano.b) Encuentre la ecuación de cada una de las rectas que contienen sus lados.c) Calcule las coordenadas de los puntos medios de cada lado.

11. Demuestre por medio de la pendientes que:

a) Los puntos A (0 , 0 ) , B (−2 , 1 ) ,C (3 , 4 ) , D (5 , 3 ) son los vértices de un paralelogramo.

b) Los puntos H (3 ,1 ) , I (6 , 0 ) , J (4 , 4) son los vértices de un triángulo rectángulo.

c) Los puntos M (−6 ,1 ) , N (−4 ,6 ) , D (4 ,−3 ) , P (6 , 2 ) son los vértices de un rectángulo

6.1.3 CONCEPTOS CLAVE

Lugar Geométrico. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento. Pendiente de una recta. Ecuación de la recta. Posiciones relativas de dos rectas en el plano.

6.2. ENSEÑANZA (2)



Generatriz

Eje

Vértice


GUÍA DE ESTUDIO

CÓNICAS

SUPERFICIE CÓNICA DE REVOLUCIÓN

Una superficie de revolución es aquella generada por una curva plana que se hace girar alrededor de una recta fija, ubicada en el mismo plano de la curva.

En la figura se muestra la curva y=x2, que se hace girar alrededor del eje y.

Cuando se hace girar una recta alrededor de una recta fija, la superficie generada es un cono recto denominado superficie cónica de revolución.

La recta que gira se denomina generatriz de la superficie. La recta fija se denomina eje. El punto de corte de las dos rectas se denomina vértice.

SECCIÓN CÓNICA

Una sección cónica es una curva que resulta de la intersección de un plano con una superficie cónica de revolución.

Las secciones que se pueden obtener dependiendo del ángulo de inclinación del plano que corta la superficie cónica de revolución son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.




GUÍA DE ESTUDIO

Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola

El plano es perpendicular al eje de la superficie

cónica.

El plano es paralelo a la generatriz de la

superficie cónica.

El plano corta transversalmente a la

superficie cónica.

El plano que corta a la superficie cónica es paralelo al eje de la superficie cónica.

LA PARÁBOLALa parábola es el lugar geométrico de los puntos P ( x , y ) del plano, que equidistan de una recta fija denominada directriz y de un punto fijo F, llamado foco. Así:

d ( P , M )=d ( P , F )

Donde M es el punto sobre el que se proyecta P, en la directriz.

Elementos de la Parábola

En una parábola se distinguen los siguientes elementos:

Eje de simetría o eje focal: es la línea recta l donde una rama de la parábola se refleja en otra.

Vértice: es el punto V de intersección de la parábola con el eje de simetría. Foco: es el punto fijo F del plano que equidista de cualquier punto sobre la

parábola y se encuentra sobre el eje de simetría. Directriz: es la línea recta d cuya distancia a cualquier punto sobre la

parábola es la misma, es perpendicular al eje de simetría. Lado recto: es la cuerda LR perpendicular al eje de simetría de la parábola, que pasa por el foco.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (0 , 0)




GUÍA DE ESTUDIO

Cuando la parábola está ubicada en el plano cartesiano, con vértice en el origen, su ecuación se determina analizando dos casos: la parábola con vértice (0,0 ) y eje de simetría el eje x y la parábola con vértice (0,0 )y eje de simetría el eje y .

Ecuación canónica de la parábola con vértice en (0 , 0) y eje de simetría el eje x

En la gráfica se muestra una parábola con eje de simetría el eje x y vértice en (0,0 ). En la parábola se tiene que:

La distancia del foco al vértice es p, es decir, d ( F , V )=p. Por lo tanto, las coordenadas del foco son F ( p , 0 ). La directriz de la parábola es la recta cuya ecuación es x=−p.

La proyección de cualquier punto P ( x , y ) de la parábola en la directriz es de la forma M (−p , y ), por lo tanto, la

distancia entre el punto P y M es:

d ( P , M )=√[ x− (−p ) ]2+ ( y− y )2=x+ p La distancia de P ( x , y )al foco F es: d ( P , F )=√( x−p )2+ y2

Para la definición de la parábola se tiene que: d ( P , F )=d ( P , M )

√ ( x−p )2+ y2=x+ p

( x−p )2+ y2=( x+ p )2

y2=4 px

Por lo tanto, la ecuación canónica de la parábola con centro (0,0 ), foco en ( p , 0 ), directriz x=−p y eje de simetría x es

y2=4 px.

Ecuación canónica de la parábola con vértice en (0 , 0) y eje de simetría el eje y



Se remplaza los d ( P , F ) y d ( P , M )

Se elimina el radical

Se desarrollan los cuadrados

Se resta x2, p2 y se suma 2 xp

Eje de simetría

directriz


GUÍA DE ESTUDIO

En la gráfica se muestra una parábola con eje de simetría el eje y y vértice en (0,0 ). En la parábola se tiene que: Las coordenadas del foco son F (0 , p ). La directriz de la parábola es la recta cuya ecuación es y=−p.

La proyección de cualquier punto P ( x , y ) de la parábola en la directriz, es de la forma M (x ,−p ), así:

d ( P , M )=√( x−x )2+[ y− (−p ) ]2= y+ p La distancia de P ( x , y )al foco F es: d ( P , F )=√x2+ ( y−p )2

Por lo tanto, la ecuación canónica de la parábola con centro (0,0 ), foco en (0 , p ), directriz y=−p y eje de simetría y es

x2=4 py .

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (h , k)

Cuando la parábola está ubicada en el plano cartesiano, con vértice en (h , k ), su ecuación se determina analizando dos casos: la parábola con eje de simetría paralelo al eje x y la parábola con eje de simetría paralelo al eje y .

Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h , k) y eje de simetría paralelo al eje x

En la gráfica se muestra una parábola con eje de simetría paralelo al eje x y vértice en (h , k ). En la parábola se tiene que:

La distancia del foco al vértice es p, es decir, d ( F , V )=p. Por lo tanto, las coordenadas del foco son F (h+ p , k ). La directriz de la parábola es la recta cuya ecuación es x=h−p y la ecuación del eje de simetría es y=k.

La proyección de cualquier punto P ( x , y ) de la parábola en la directriz es de la forma M (h−p , y ), por lo tanto, la

distancia entre el punto P y M es:

d ( P , M )=√[ x− (h−p ) ]2+( y− y )2=√ (x−h+ p )2=x−h+p La distancia de P ( x , y ) al foco F (h+ p , k ) es:

d ( P , F )=√[ x−(h+ p ) ]2+( y−k )2=√[ x−h−p ]2+ ( y−k )2

Por la definición de la parábola se tiene que: d ( P , F )=d ( P , M )




GUÍA DE ESTUDIO

√ [ x−h−p ]2+( y−k )2=x−h+p

[ x−h−p ]2+ ( y−k )2= (x−h+ p )2

( y−k )2=( x−h+ p )2−[ x−h−p ]2

( y−k )2=4 p (x−h )

Por lo tanto, la ecuación canónica de la parábola con centro (h , k ), foco en (h+ p , k ), directriz x=h−p y eje de simetría

paralelo al eje x es ( y−k )2=4 p (x−h ).

Donde p es la distancia del vértice al foco y QR=|4 p|

Si p>0, la parábola abre hacia la derecha.Si p<0, la parábola abre hacia la izquierda.

Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h , k) y eje de simetría paralelo al eje y

En la gráfica se muestra una parábola con eje de simetría paralelo al eje y y vértice en (h , k ). En la parábola se tiene que:

La distancia del foco al vértice es p, es decir, d ( F , V )=p. Por lo tanto, las coordenadas del foco son F (h , k+ p ). La directriz de la parábola es la recta cuya ecuación es y=k−p y la ecuación del eje de simetría es x=h.

Realizando un análisis similar al anterior se deduce la ecuación canónica, así:

La ecuación canónica de la parábola con centro (h , k ), foco en (h , k+ p ), directriz y=k−p y eje de simetría paralelo al eje

y es ( x−h )2=4 p ( y−k ).

Donde p es la distancia del vértice al foco y QR=|4 p|

Si p>0, la parábola abre hacia la arriba.Si p<0, la parábola abre hacia la abajo.

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

La ecuación general de una parábola se puede determinar a partir de su ecuación canónica. En la



Se remplaza los d ( P , F ) y d ( P , M )

Se elimina el radical

Se despeja ( y−k )2 y desarrollan los cuadrados

Se reducen términos semejantes


GUÍA DE ESTUDIO

6.2.1 EJEMPLO

1. Determinar el eje de simetría, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es y2=−12

Al comparar la ecuación y2=−12 con y2=4 px se tiene que:

4 p=−12

p=−3

Como p<0, la parábola abre hacia la izquierda.

El foco es (−3,0 )La directriz es x=3

2. Encontrar la ecuación canónica de una parábola con vértice (2 ,−1 ) y p=−2 con eje de simetría paralelo al eje y .

Como la parábola tiene eje de simetría paralelo al eje y , entonces:

(x−h)2=4 p ( y−k )

( x−2 )2=−8 ( y+1 )

Por lo tanto, la ecuación de la parábola es:( x−2 )2=−8 ( y+1 )

3. Determinar los elementos de la parábola cuya ecuación es ( y−1 )2=−8 ( x+2 )

Al comparar la ecuación ( y−1 )2=−8 ( x+2 ) con ( y−k )2=4 p (x−h ) se tiene que:

En este caso 4 p=−2, por lo tanto, p=−12

.

Como p<0, la parábola abre hacia la izquierda.

El vértice es (−2,1 ), el eje focal es y=1.El lado recto mide |4 p|=2

El foco es F (h+ p , k )=(−52

,1)La directriz es x=−2+ 1

2=−3

2

4. Determinar la ecuación general de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje x, el vértice es (−1,3 ) y el foco es

(2,3 ).

Se escribe la ecuación canónica de la parábola con eje de simetría paralelo al eje x y vértice en el punto (−1,3 ).

Dado que el vértice es V (h , k )= (−1,3 ), entonces, h=−1 y k=3.

Además, el foco es F (h+ p , k )=(2,3 ), entonces,h+ p=2

−1+ p=2p=3




GUÍA DE ESTUDIO

La ecuación canónica de la parábola es:( y−k )2=4 p (x−h )

( y−3 )2=12 (x+1 )

y2−6 y+9=12 x+12

y2−6 y+9−12 x−12=0

y2−6 y−12 x−3=0

Por lo tanto, la ecuación general de la parábola es y2−6 y−12 x−3=0.

6.2.2 EJERCICIOS

1. Encuentre las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de cada parábola y luego grafíquelas.

a) y2=−12 xb) y2−4 x=0c) x2+ y=0d) x2=9 ye) y2+2 x=0f) x2+12 y=0

g) x2−32

y=0

h) y2−14

x=0

i) y=12

x2

2. Determine la ecuación de la parábola a partir de los siguientes elementos y luego grafíquela:

a) Vértice: (0,0 ); directriz: y−4=0b) Vértice: (0,0 ); foco: (0,3 )c) Vértice: (0,0 ); directriz: x=−2d) Vértice: (0,0 ); foco: (−3,0 )e) Vértice: (0,0 ); directriz: y=2

f) Vértice: (0,0 ); directriz: x=−12

g) Vértice: (0,0 ); foco: (0 ,−53 )

h) Vértice: (0,0 ); foco: ( 15

,0)3. Determine la ecuación de cada una de las siguientes parábolas cuyo vértice es V y cuyo foco es F, luego grafíquelas.

a) V (0 ,−1 ) , F (−2 ,−1 )




GUÍA DE ESTUDIO

b) V (−1 ,−3 ) , F (−1,2 )c) V (−5 ,−3 ) , F (−3,3 )d) V (−2,3 ) ,F (−2,4 )e) V (3,5 ) , F (1,5 )f) V (1,2 ) , F (1 ,−1 )g) V (0,3 ) , F (−1,3 )h) V (3,7 ) , F (3,4 )

4. Escriba la ecuación de la parábola que cumple con las condiciones dadas, luego grafíquelas.

a) Su directriz es la recta y−5=0 y su foco es el punto (0 ,−5 )b) Su vértice es el punto (2,2 ), pasa por el punto (−4,4 ) y su eje de simetría es paralelo al eje y .

c) Su eje de simetría es la recta x=2, su foco es el punto (2 ,−1 ) y pasa por (4,7 )

5. Determina las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la ecuación del eje de simetría de cada parábola. Luego escribe la ecuación general para cada una de ellas.

a) ( y−1 )2=4 ( x−1 )b) ( x+5 )2=24 ( y−4 )c) −( x−2 )=( y−6 )2

d)14(x+5)=( y+4 )2

e) 8 ( y+1 )= (x−1 )2

f) ( x+1 )2=8 ( y−2 )g) ( y+1 )2=6 ( x−5 )

h) (x−49 )

2

=2 ( y−23 )

i) ( y+ 13 )

2

=−2(x+ 45 )

j) (x−25 )

2

=−23

( y−4 )


Cónicas. Secciones Cónicas. La Parábola. Elementos de la Parábola. Ecuaciones canónicas y general de la Parábola.

6.3. ENSEÑANZA (3)

LA ELIPSELa elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de las distancias de dos puntos fijos F1 y F2

denominados focos es constante. Así el punto P ( x , y ) pertenece a la elipse si d ( P , F1 )+d ( P ,F2 )=2a donde a es un número real positivo.



Eje focal


GUÍA DE ESTUDIO

Elementos de la Elipse

Los elementos de la elipse son:

Los focos: son los puntos fijos F1 y F2 del plano.

El eje focal o el eje principal: es la recta que pasa por los dos focos. El centro C: es el punto medio del segmento que une los dos focos. Eje normal o secundario: es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la

elipse.

Los vértices: son los puntos V 1 y V 2 donde la elipse corta al eje focal.

El eje mayor: es el segmento que une los vértices sobre el eje focal V 1 y V 2 . El eje menor: es el segmento que une los puntos de intersección de la elipse con el eje

normal. El lado recto: es el segmento perpendicular al eje focal que pasa por uno de los focos y que une a dos puntos de la

elipse.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (0 , 0)

Cuando la elipse está ubicada en el plano cartesiano, con centro en el origen, su ecuación se determina analizando dos casos: la elipse con eje focal igual al eje x y la elipse con eje focal igual al eje y .

Ecuación canónica de la elipse con centro en (0 , 0) y eje de focal sobre el eje x

La ecuación canónica de una elipse con centro (0,0 ), focos F1 (−c , 0 ) y F2 (c ,0 ), vértices V 1 (−a ,0 ) y V 2 (a , 0 )y los

cortes con el eje y en B1 (0 ,b ) y B2 ( 0 ,−b ) es:

x2

a2 + y2

b2 =1

Donde a>b>0 y a2=b2+c2

Ecuación canónica de la elipse con centro en (0 , 0) y eje de focal sobre el eje y

La ecuación canónica de una elipse con centro (0,0 ), focos F1 (0 , c ) y F2 (0 ,−c ), vértices V 1 (0 , a ) y V 2 (0 ,−a )y los

cortes con el eje y en B1 (b ,0 ) y B2 (−b , 0 ) es:

x2

b2 + y2

a2 =1


Lado recto y excentricidad de una elipse

Para las elipses con centro (0,0 ) se cumple que:

La longitud del eje mayor es 2 a.




GUÍA DE ESTUDIO

La longitud del eje menor es 2 b.

Las distancias a, b y c se relacionan mediante la formula a2=b2+c2

La longitud de cada lado recto es LR=2 b2

a.

La excentricidad se define con e= ca=√a2−b2

a<1, con a>c.

Como a>c>0, la excentricidad de una elipse siempre es mayor que 0 y menor que 1.

Cuando el valor de c se aproxima a 0, la distancia entre los focos se aproxima a 0, es decir, se aproximan cada vez más. Si c llega a ser igual a 0, los focos coinciden con el centro de la elipse y la representación gráfica es una circunferencia.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (h , k)

Cuando la elipse está ubicada en el plano cartesiano, con el centro en (h , k ), su ecuación se determina analizando dos casos: la elipse con eje focal paralelo al eje x y la elipse con eje focal paralelo al eje y .

Ecuación canónica de la elipse con centro en (h , k) y eje focal paralelo al eje x

En una elipse con eje focal paralelo al eje x y centro en (h , k ), se tiene que:

Centro: (h , k ) Focos: F1 (h−c , k ) y F2 (h+c , k ) Vértices sobre el eje focal: V 1 (h−a , k ) y V 2 (h+a , k ) Vértices sobre el eje menor: B1 ( h ,k−b ) y B2 ( h ,k+b ) Longitud del lado mayor: 2 a Longitud del lado menor: 2 b Ecuación del eje focal: y=k

La ecuación de cada lado recto es: LR=2 b2

a

La ecuación canónica de la elipse con centro en (h , k ) y eje focal paralelo al eje x es:

( x−h )2

a2 +( y−k )2

b2 =1


Ecuación canónica de la elipse con centro en (h , k) y eje focal paralelo al eje y

En una elipse con eje focal paralelo al eje y y centro en (h , k ), se tiene que:




GUÍA DE ESTUDIO

Centro: (h , k ) Focos: F1 (h , k−c ) y F2 (h , k+c ) Vértices sobre el eje focal: V 1 (h , k−a ) y V 2 (h , k+a ) Vértices sobre el eje menor: B1 ( h−b , k ) y B2 ( h+b , k ) Longitud del lado mayor: 2 a Longitud del lado menor: 2 b Ecuación del eje focal: x=h

La ecuación de cada lado recto es: LR=2 b2

a

La ecuación canónica de la elipse con centro en (h , k ) y eje focal paralelo al eje y es:

( x−h )2

b2 +( y−k )2

a2 =1


ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

La ecuación general de una elipse se puede determinar a partir de su ecuación canónica. En la ecuación canónica de la elipse cuyo eje focal paralelo al eje x:

( x−h )2

a2 +( y−k )2

b2 =1

b2 ( x−h )2+a2 ( y−k )2=a2 b2

b2 ( x2−2 xh+h2 )+a2 ( y2−2 yk+k2 )=a2 b2

b2 x2−2 b2 xh+b2 h2+a2 y2−2a2 yk+a2 k2=a2b2

b2 x2−2 b2 xh+b2 h2+a2 y2−2a2 yk+a2 k2−a2b2=0

La ecuación anterior se puede expresar como:

A x2+C y2+ Dx+Ey+F=0

A partir de la ecuación canónica para la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje y se puede llegar a la misma expresión.

La ecuación general de la elipse, con eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados es:

A x2+C y2+ Dx+Ey+F=0

con A ≠ C, diferentes de cero y con el mismo signo.

6.3.1 EJEMPLO




GUÍA DE ESTUDIO

1. Determinar los elementos de la elipse cuya ecuación es x2

25+ y2

16=1

Como 25>16, entonces, la elipse tiene eje focal el eje x, y centro (0,0 ).

Por lo tanto, al comparar la ecuación x2

25+ y2

16=1 con

x2

a2 + y2

b2 =1, se tiene lo siguiente:

a2=b2+c2 c2=a2−b2 c2=25−16 c2=9 c=3

Luego, los elementos de la elipse son: Focos: F1 (−3,0 ) y F2 (3,0 ) Vértices: V 1 (−5,0 ), V 2 (5,0 ),B1 (0,4 ) y B2 ( 0 ,−4 ) Longitud del lado mayor: 2 a=10 Longitud del lado menor: 2 b=8

Lado Recto: LR=2 b2

a=32

5

2. Determinar los elementos de la elipse cuya ecuación es x2

64+ y2

100=1

Como 100>64 , entonces, la elipse tiene eje focal el eje y , y centro (0,0 ).

Por lo tanto, al comparar la ecuación x2

64+ y2

100=1 con

x2

b2 + y2

a2 =1, se tiene lo siguiente:

a2=b2+c2 c2=a2−b2 c2=100−64 c2=36 c=6

Luego, los elementos de la elipse son:

Focos: F1 (0,6 ) y F2 (0 ,−6 ) Vértices: V 1 (0,10 ), V 2 (0 ,−10 ),B1 (−8,0 ) y B2 ( 8,0 ) Longitud del lado mayor: 2 a=20 Longitud del lado menor: 2 b=16

Lado Recto: LR=2 b2

a=128

10

3. Encontrar los elementos y la ecuación de una elipse con centro en (0,0 ), eje focal y , un foco en (0,4 ) y excentricidad



a2=25a=5

b2=16b=4

a2=100a=10

b2=64b=8


GUÍA DE ESTUDIO

e=23

.

Si (0,4 ) es un foco, entonces, c=4

Como e=23

, entonces, se tiene que 23=4

a de donde a=6.

Para determinar b, se utiliza el teorema de Pitágoras a2=b2+c2, así, b=2√5


Focos: F1 (0,5 ) y F2 (0 ,−5 ) Vértices: V 1 (0,6 ), V 2 (0 ,−6 ),B1 (−2√5 , 0 ) y B2 ( 2√5 , 0 ) Longitud del lado mayor: 2 a=12 Longitud del lado menor: 2 b=4√5

La ecuación de la elipse es:

x2

20+ y2

36=1

4. Determinar los elementos y la excentricidad de la elipse que tiene como ecuación ( x−2 )2

5+

( y−1 )2

4=1 y cuyo eje

focal es paralelo al eje x.

Al comparar las ecuaciones ( x−h )2

5+

( y−k )2

4=1 y

( x−h )2

a2 +( y−k )2

b2 =1

Se tiene que h=2, k=1 y a=√5, b=2 y c=1


Centro: (2,1 ) Focos: F1 (1,1 ) y F2 (3,1 ) Vértices: V 1 (2−√5 ,1 ), V 2 (2+√5 ,1 ),B1 (2 ,−1 ) y B2 (2,3 ) Longitud del lado mayor: 2 a=2√5 Longitud del lado menor: 2 b=4 Ecuación del eje focal: y=k=1

Lados Rectos: LR=2 b2

a= 8

√5=8√5

5

Excentricidad:e= ca= 1

√5=√5

5

5. Determinar la ecuación y la excentricidad de la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje y , con centro en (4 ,−3 ), la

distancia entre el centro y cada foco es igual a 3 y el eje mayor mide 8 unidades.

Como el centro de la elipse es el punto (4 ,−3 ), entonces, h=4 y k=−3

De la longitud del eje mayor se tiene que:




GUÍA DE ESTUDIO

2 a=8❑⇒

a=4 Como la distancia entre el centro y cada foco es 3, entonces, c=3. Se tiene que:

b2=a2−c2=(4 )2−(3 )2=7

b=√7

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es:

( x−h )2

b2 +( y−k )2

a2 =1

( x−h )2

7+

( y−k )2

16=1

La excentricidad es:

e= ca=3

4=0,75

6. Determinar la ecuación canónica y los elementos de la elipse cuya ecuación general es

4 x2+25 y2−8x+200 y+304=0

4 x2+25 y2−8x+200 y+304=0

( 4 x2−8 x )+(25 y2+200 y )+304=0

4 ( x2−2x )+25 ( y2+8 y )=−304

4 ( x2−2 x+1 )+25 ( y2+8 y+16 )=−304+4+400

4 ( x−1 )2+25 ( y+4 )2=100

( x−1 )2

25+

( y+4 )2

4=1

Por lo tanto, la ecuación canónica de la elipse es: ( x−1 )2

25+

( y+4 )2

4=1

A partir de la ecuación canónica se tiene que: h=1, k=−4 , además a=5, b=2 y c=√21

Centro: (1 ,−4 ) Focos: F1 (1 ,−4−√21 ) y F2 (1 ,−4+√21 ) Vértices: V 1 (−4 ,−4 ), V 2 (6 ,−4 ),B1 (1 ,−2 ) y B2 (1 ,−6 ) Longitud del lado mayor: 2 a=10 Longitud del lado menor: 2 b=4 Ecuación del eje focal: y=k=1

Lados Rectos: LR=2 b2

a=8

5=8√5

5




GUÍA DE ESTUDIO

Excentricidad:e= ca=√21

5

6.3.2 EJERCICIOS

1. De acuerdo con la ecuación, determine si la ecuación es horizontal o vertical, encuentre los elementos y luego grafíquela.

a) x2

25+ y2

16=1

b) x2

64+ y2

100=1

c) x2

4+ y2

9=1

d) x2

81+ y2

4=1

e) x2

121+ y2

81=1

f) x2

20+ y2

8=1

g) x2

10+ y2

12=1

h) 4 x2+9 y2=36

2. Determine la ecuación de la elipse con los elementos dados. Luego, realice la gráfica correspondiente.

a) Centro: (0,0 ); foco: (0 ,√7 ); vértice: (0,3 )b) Centro: (0,0 ); foco: (−√15 , 0 ); vértice: (−4,0 )c) Centro: (0,0 ); foco: (0 ,−2 ); vértice: (0,6 )d) Centro: (0,0 ); foco: (2,0 ); vértice: (−4,0 )

3. Determina las coordenadas del centro, las coordenadas del foco, y las coordenadas de los vértices de cada elipse y luego grafíquela.

a)( x−3 )2

4+

( y+1 )2

9=1

b) 18 ( x−1 )2+2 ( y+3 )2=72

c) 12 ( x+4 )2+3 ( y−1 )2=48

d)( x+1 )2

9+

( y−2 )2

4=1

e) x2+4 y2−4 x−8 y−92=0f) x2+4 y2+6 x+16 y−11=0g) 4 x2+9 y2−16 x+18 y−11=0

4. Encuentre la ecuación canónica y la ecuación general de la elipse que cumple con las condiciones señaladas.




GUÍA DE ESTUDIO

a) Sus vértices son (1,1 ) , (5,1 ) , (3,6 ) ,y (3 ,−4 )

b) Su excentricidad es e=35

y el centro es (2,5 )

c) Centro (2 ,−3 ) eje focal paralelo al eje y semieje mayor 5 y semieje menor 3d) Focos (4,1 ) y (−6,1 ), la longitud del eje mayor es 16

e) Centro en (4,5 ) y e=12


La Elipse. Elementos de la Elipse. Ecuaciones canónicas y general de la Elipse.

7. EVALUACION TALLERES

1. Calcule la pendiente my la ecuación general de la recta que pasa respectivamente por los puntos dados a continuación y luego Grafique.

a) A (−3 , 2 ) y B (5 ,−4 )b) A(4 ,−1) y B (−6 ,−3)c) A(2,5) y B (−7 , 5)d) A(5 ,−1) y B (5 ,6)e) A(−3 ,2) y B(−3 , 5)f) A(4 ,−2) y B (−3 ,−2)g) A(6 ,−7) y B(1 , 9)

2. Trace la recta que pasa por P, para cada valor de m.

a) P (3,1 ); m=12

,−1 ,−15

b) P (−2 , 4 );m=1 ,−2,−12

3. Obtenga en forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto A y que satisfaga la condición dada.

a) A(2,−1) y su pendiente sea −12

b) A(−1,9) y su pendiente sea 34

c) A (−3,5 ); paralela a la recta x+3 y=1.d) A(7 ,−3); perpendicular a la recta 2 x−5 y=8 ¿.e) A(5 ,−2); perpendicular al eje y .f) A(−4 , 2); paralela al eje x.

g) A(−1, 4); pendiente 23

4. Determine la ecuación de la parábola dados los siguientes datos. Trace la gráfica. (recuerde que el lado recto de una parábola es la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría)




GUÍA DE ESTUDIO

5. Dadas las siguientes ecuaciones de la elipse, encuentre los elementos y luego grafique.

6.

7.

8.

8. RECURSOS

Trigonometría con Geometría Analítica Editorial Pearson. Guía del Cuarto período para que el estudiante pueda repasar las enseñanzas vistas y hacer ejercicios en casa. Cuaderno en el cual los estudiantes llevarán de forma ordenada sus apuntes y evidenciarán su trabajo en clase. Reglas

9. BIBLIOGRAFÌA

Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, editorial Cengage Learning. Nuevas Matemáticas 10, editorial Santillana. Hipertextos Matemáticas 10, editorial Santillana.



Documents

Guia IV Periodo Noveno