Guia Mecanica Clasica

Mario Cosenza

Mecanica Clasica

Version A-13

Mecanica Clasica

Version A-13

a Claudia

Mi proposito es exponer una ciencia muy nueva que trata un tema muy antiguo.Quizas nada hay en la naturaleza mas antiguo que el movimiento, respecto al cual loslibros escritos por filosofos no son ni pocos ni pequenos; no obstante, he descubierto,experimentando, algunas propiedades que merecen ser conocidas.

Galileo Galilei, Dialogos sobre dos nuevas Ciencias.

Formulas vectoriales

Identidades

A (BC) = (AB) C = C (AB) = (CA) B = B (CA) (1)A (BC) = B(A C)C(A B) (2)

(AB) (CD) = (A C)(B D) (A D)(B C) (3)

Derivadas de sumas

(f + g) = f +g (4) (A+B) = A+ B (5)

(A+B) = A+B (6)

Derivadas de productos

(fg) = fg + gf (7)(A B) = A (B) +B (A) + (A )B+ (B )A (8)

(fA) = f( A) +A f (9) (AB) = B (A)A (B) (10)

(fA) = f(A)A (f) (11) (AB) = A( B)B( A) + (B )A (A )B (12)

Derivadas segundas

(A) = ( A)2A (13) (A) = 0 (14) (f) = 0 (15)

Teoremas integrales ba

(f) dl = f(b) f(a) (16)V

( A) dV =S

A n dS Teorema de Gauss (divergencia) (17)S

(A) n dS =C

A dl Teorema de Stokes (18)V

(f2g g2f) dV =S

(fg gf) n dS Teorema de Green (19)

Indice general

1. Ecuaciones de movimiento 91.1. Mecanica de una partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Mecanica de un sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4. Principios variacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5. Principio de mnima accion y ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . . . . . 411.6. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para varios sistemas. . . . . . . . . . 481.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2. Leyes de conservacion y simetras 732.1. Momento conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3. Conservacion del momento lineal y homogeneidad del espacio . . . . . . . 782.4. Conservacion del momento angular e isotropa del espacio . . . . . . . . . 792.5. Conservacion de la energa y homogeneidad del tiempo . . . . . . . . . . . 812.6. Teorema de Euler para la energa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.7. Potenciales dependientes de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.8. Sistemas integrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.9. Movimiento unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3. Fuerzas centrales 993.1. Problema de dos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2. Potencial efectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3. Ecuacion diferencial de la orbita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.4. Problema de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.5. Leyes de Kepler y dependencia temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.6. Estabilidad de orbitas circulares y angulo de precesion. . . . . . . . . . . . 1293.7. Dispersion en campo de fuerza central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.8. El vector de Laplace-Runge-Lenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7

84. Oscilaciones pequenas 1514.1. Oscilaciones en una dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.2. Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad. . . . . . . . . . . . 1554.3. Modos normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.4. Oscilaciones forzadas y amortiguadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5. Movimiento de cuerpos rgidos 1795.1. Velocidad angular de un cuerpo rgido y angulos de Euler. . . . . . . . . . 1795.2. Energa cinetica y tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.3. Momento angular de un cuerpo rgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.4. Ecuaciones de movimiento para cuerpos rgidos. . . . . . . . . . . . . . . . 1995.5. Ecuaciones de Euler para cuerpos rgidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6. Ecuaciones canonicas 2236.1. Ecuaciones de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.2. Sistemas dinamicos, espacio de fase y Teorema de Liouville. . . . . . . . . 2306.3. Parentesis de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.4. Transformaciones canonicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.5. Propiedades de las transformaciones canonicas. . . . . . . . . . . . . . . . 2496.6. Aplicaciones de Transformaciones Canonicas. . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.7. Ecuacion de Hamilton-Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

A. Lagrangiano de una partcula relativista 275

B. Transformaciones de Legendre 287

C. Teorema del virial. 289

D. Bibliografa 291

Captulo 1

Ecuaciones de movimiento

1.1. Mecanica de una partcula

La Mecanica consiste en el estudio del movimiento, o de la evolucion de la posicionde partculas o sistemas (muchas partculas) en el tiempo. Actualmente, la MecanicaClasica se enmarca dentro de un campo mas general denominado Sistemas Dinamicos,que involucra el estudio de la evolucion o cambios de estado de variables en el tiempoen sistemas generales, de acuerdo a reglas deterministas: estos incluyen sistemas fsicos,quimicos, biologicos, sociales, economicos, etc.

La Mecanica Clasica se refiere a fenomenos que ocurren en escalas macroscopicas;es decir, no incluye fenomenos cuanticos (nivel atomico). La Mecanica Clasica proveedescripciones validas de fenomenos en una extensa escala espacial que va desde el or-den de 100 nm (R. Decca et al., Phys. Rev. Lett. 94, 240401 (2005)) hasta distanciascosmologicas.

El origen del metodo cientfico esta directamente vinculado a la primeras formu-laciones cuantitativas de la Mecanica Clasica, realizadas por Galileo con base en susexperimentos. La Mecanica constituye el eje esencial alrededor del cual se ha construidotoda la Fsica.

Figura 1.1: Galileo Galilei (1564-1642).

9

10 CAPITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Durante el siglo XX, la Mecanica Clasica se encontro con varias limitaciones paraexplicar nuevos fenomenos. Las subsecuentes soluciones de estas dificultades implicaronextensiones del campo de estudio de la Mecanica, y condujeron a tres grandes revolucionesintelectuales o cambios de paradigmas cientficos:

i. Limitacion para explicar fenomenos a altas velocidades o a altas energas, lo quecondujo a la Teora de Relatividad (Especial y General).

ii. Limitacion para explicar fenomenos a escala atomica o microscopica, lo cual dioorigen a la Mecanica Cuantica.

iii. Limitacion del concepto de prediccion en sistemas dinamicos deterministas no linea-les, que condujo al desarrollo del Caos y al estudio actual de Sistemas Complejos.

Para describir el movimiento en Mecanica, se requieren algunos conceptos basicos.Un sistema de referencia es una convencion necesaria para asignar una posicion o

ubicacion espacial a una partcula u objeto con respecto a un origen o punto escogido O.Se asume que una partcula tiene asociada una cantidad de masa m.

La posicion de una partcula en un sistema de referencia puede describirse medianteun conjunto de coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas cartesianas, elvector de posicion r = (x, y, z) da la ubicacion de una partcula en el espacio con respectoa un origen O.

Figura 1.2: Sistema de coordenadas cartesianas.

En general, el vector de posicion depende del tiempo, r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Eltiempo se considera un parametro real en Mecanica. Las componentes del vector deposicion en coordenadas cartesianas tambien se denotan como

x1 x, x2 y, x3 z. (1.1)

El cambio del vector de posicion en el tiempo constituye el movimiento.El vector de desplazamiento infinitesimal se define como

dr = r(t+ dt) r(t). (1.2)

1.1. MECANICA DE UNA PARTICULA 11

La velocidad de una partcula se define como

v drdt

(1.3)

En coordenadas cartesianas, las componentes de la velocidad se pueden expresar como

vx =dx

dt, vy =

dy

dt, vz =

dz

dt. (1.4)

Tambien se denotan porv1 = vx, v2 = vy, v3 = vz. (1.5)

La aceleracion se define como

a =dvdt

=d2rdt2

. (1.6)

Se acostumbra usar la siguiente notacion para las derivadas con respecto al tiempo,

x dxdt, x d

2x

dt2. (1.7)

El momento lineal o cantidad de movimiento es la cantidad vectorial

p = mv, (1.8)

donde m es la masa de la partcula.Una partcula puede experimentar interacciones con otras partculas. Las interaccio-

nes entre partculas estan asociadas a sus propiedades intrnsecas y se manifiestan comofuerzas entre ellas. Por ejemplo, la interaccion electromagnetica esta asociada a la cargaelectrica, mientras que la interaccion gravitacional depende de la masa. La suma de lasfuerzas debido a interacciones con otras partculas o agentes externos se denomina fuerzatotal (neta) sobre la partcula; se denota por F. Las fuerzas son cantidades vectoriales.Las fuerza neta sobre una partcula puede afectar su estado de movimiento.

Figura 1.3: Isaac Newton (1642-1727).

Las Leyes de Newton describen el movimiento de una partcula sujeta a una fuerza.Las Leyes de Newton son leyes de la Naturaleza basadas en observaciones experimentales.


I. Primera Ley de Newton:

Una partcula permanece en reposo o en movimiento rectilneo uniforme si la fuerzatotal sobre ella es nula (tambien se llama Ley de inercia).

II. Segunda Ley de Newton:

Existen sistemas de referencia en los cuales el movimiento de una partcula conmasa m y velocidad v esta descrito por la ecuacion

F =dpdt

=d(mv)dt

. (1.9)

III. Tercera Ley de Newton:

Si Fji es la fuerza que ejerce una partcula j sobre una partcula i, y Fij es la fuerzaque ejerce la partcula i sobre la partcula j, entonces

Fji = Fij . (1.10)

La Tercera Ley tambien es conocida como Ley de accion y reaccion.

La Segunda Ley de Newton establece una relacion causa (fuerza) efecto (cambiode momento). La Primera Ley de Newton es consecuencia de la Segunda Ley: si F = 0,entonces v = constante.

La Segunda Ley de Newton es una ecuacion vectorial, es decir, equivale a tres ecua-ciones, una para cada componente cartesiana:

Fi =dpidt, i = 1, 2, 3. (1.11)

Si m es constante,

F = ma = md2rdt2

. (1.12)

La Segunda Ley de Newton, Eq. (1.12), es una ecuacion diferencial de segundo orden parar(t). La solucion r(t) esta determinada por dos condiciones iniciales, r(to), v(to). Estees el principio del determinismo en Mecanica Clasica, y que ha sido fundamental en eldesarrollo del metodo cientfico. A finales del siglo XX, se encontro que el determinismono necesariamente implica prediccion, en el sentido de que existen sistemas dinamicos nolineales en los cuales perturbaciones infinitesimales de sus condiciones iniciales puedenconducir a trayectorias muy diferentes. Este es el origen de la moderna Teora del Caos.

Los sistemas de referencia donde se cumple la Segunda Ley de Newton se denominansistemas de referencia inerciales. En ausencia de fuerzas, una partcula en reposo en unsistema inercial en un instante dado, sigue en reposo en todo instante.

Los sistemas de referencia no inerciales son sistemas de referencia donde aparecenterminos adicionales en la Segunda Ley de Newton, no asociados a las fuerzas explcitasen el sistema. Esos terminos adicionales se denominan fuerzas ficticias y son debidos ala aceleracion del sistema de referencia.


Ejemplos de la Segunda Ley de Newton:

1. Un sistema no inercial: pendulo en un sistema acelerado (x, y, z).

Figura 1.4: Pendulo en un sistema acelerado.

El sistema (x, y, z) posee una aceleracion a en la direccion x, visto desde unsistema fijo (x, y, z). En el sistema acelerado, la componente en la direccion x de lafuerza que actua sobre la masa del pendulo es fx = T sin , pero esta masa esta enreposo en ese sistema; esto implica que x = 0. Luego, una fuerza adicional ficticiaigual a T sin debe anular a fx , de modo que no haya fuerza neta en la direccionx. En el sistema (x, y, z), la Segunda Ley de Newton da simplemente T sin = ma.

La fuerza de Coriolis es otro ejemplo de una fuerza ficticia en un sistema de refe-rencia en rotacion (Cap. 5).

2. Oscilador armonico simple.

Figura 1.5: Oscilador armonico simple.

La fuerza del resorte sobre la masa m es proporcional y opuesta al desplazamientox desde la posicion de equilibrio, tomada como x = 0, i.e., F = kxx, donde k esla constante del resorte. Entonces,

F = ma kx = mx (1.13) x+ 2x = 0, (1.14)

donde 2 k/m. La Eq. (1.14) es la ecuacion del oscilador armonico, cuya soluciones

x(t) = A cost+B sint (1.15)


Tambien se puede escribirx(t) = C sin(t+ ), (1.16)

con A = C sin, B = C cos. Los coeficientes A y B estan determinados por lascondiciones iniciales x(0) y x(0) = v(0),

x(0) = A (1.17)x(t) = A sint+B cost (1.18)x(0) = B B = v(0)

. (1.19)

Luego,

x(t) = x(0) cost+v(0)

sint. (1.20)

3. Sistema de masa variable: movimiento de un cohete.

Consideremos un cohete que se mueve verticalmente en el campo gravitacional dela Tierra. La masa del cohete en un tiempo t es m. La velocidad del cohete ent es v, y la velocidad de los gases expulsados es u. Sea dm la masa de los gasesexpulsados (asumida negativa) en un instante t+ dt.

Figura 1.6: Cohete en movimiento vertical.

Aplicamos la Segunda Ley de Newton para la unica componente y de la fuerza,

mg = dpdt

=p(t+ dt) p(t)

dt. (1.21)

Tenemosp(t) = mv, (1.22)

yp(t+ dt) = (m+ dm)(v + dv) + (dm)u. (1.23)

Usamos la velocidad del cohete relativa a los gases,

vrel = (v + dv) u. (1.24)


Luego,

p(t+ dt) p(t) = mv +mdv + v dm+ dmdv (1.25) v dm dmdv + dmvrel mv= mdv + vrel dm.

Sustituyendo en la Eq. (1.21), obtenemos

mg = mdvdt

+ vreldm

dt. (1.26)

La Eq. (1.26) se conoce como la ecuacion del cohete. Sidm

dt= R (perdida de

masa por unidad de tiempo, R = cte positiva), entonces

mg = vrelR+m dvdt ma = vrelRmg. (1.27)

De la ecuacion del cohete, se puede obtener la variacion de la velocidad del cohete,

dm

mvrel + dv = g dt. (1.28)

Integrando entre un valor inicial de masa m0 en t = 0 y un valor final mf en t = t,tenemos

vrel

f0

dm

m+ f0

dv = g t0

dt

vf v0 = vrel ln(m0mf

) gt. (1.29)

4. Partcula en un medio viscoso.

Figura 1.7: Partcula en medio viscoso.

Supongamos que la partcula se mueve en la direccion x. La fuerza sobre unapartcula en un medio viscoso es proporcional a la velocidad de la partcula, F =


v. La Segunda Ley de Newton, F = ma, da:

v = mdvdt, (1.30)

dv

v=

mdt,

v = c1e(/m)t, c1 = v(0),

v(t) = v(0)e(/m)t =dx

dt, (1.31)

x(t) = v(0)e(/m)tdt,

= v(0)m

e(/m)t + c2. (1.32)

La constante c2 se determina usando la condicion inicial x(0),

x(0) = v(0)m

+ c2

c2 = x(0) +v(0)m

, ; (1.33)

luego,

x(t) = x(0) +v(0)m

(1 e(/m)t

). (1.34)

Se define el momento angular de una partcula ubicada en la posicion r y cuya velo-cidad es v, como la cantidad vectorial

l r p = mr v. (1.35)

El torque ejercido por una fuerza F sobre una partcula ubicada en r se define como

r F. (1.36)

La Ec. (1.36) se puede expresar como

= r F = r dpdt

=d(r p)

dt drdt p

=dldt

+ :0v p

= dldt. (1.37)


La Ec. (1.37) implica la conservacion del momento angular : si = 0, entonces l =constante. Esto significa que cada componente del vector l es una constante.

En particular, una fuerza de la forma F = f(r)r, se denomina una fuerza central.La fuerza gravitacional es un ejemplo de una fuerza central. Para tales fuerzas, tenemos = 0. Luego, el momento angular se conserva en presencia de fuerzas centrales.

La energa cinetica de una partcula se define como la cantidad escalar

T 12mv2 . (1.38)

Se define el trabajo realizado por una F externa sobre una partcula para llevarladesde una posicion r1 hasta una posicion r2, como la integral de lnea

W12 21

F ds, (1.39)

donde ds es el vector tangente a la trayectoria que une la posicion r1 con la posicion r2.

Figura 1.8: Trayectora de un partcula entre r1 y r2, sujeta a una fuerza F.

Note que ds = dr = vdt. Luego, si m es constante, podemos escribir,

W12 = m 21

(dvdt

) (v dt). (1.40)

Usamos la relacion d(v v) = 2v dv = d(v2), para expresar

W12 =12m

21

d(v v) = 12m

21

d(v2)

=12mv22

12mv21 ,

= T2 T1. (1.41)

Luego, el trabajo realizado por una F externa para llevar una partcula desde la posicionr1 hasta la posicion r2 depende solamente de la diferencia de la energa cinetica que poseela partcula en r2 y la energa cinetica que posee en r1.


Note que si se utiliza la misma fuerza y una misma trayectoria B para ir del punto 1al punto 2 que para volver de 2 a 1, entonces 2

1

F ds = 12

F ds W12(B) = W21(B), (1.42)camino B camino B

puesto que ds(1 2) = ds(2 1) para la misma trayectoria.Si W12 realizado por una F externa es independiente de la trayectoria entre r1 y r2,

entonces F se llama fuerza conservativa. Es decir; si F es conservativa, y A y B son doscaminos diferentes para ir de 1 a 2, entonces 2

1

F ds = 21

F ds (1.43)camino A camino B

Figura 1.9: Dos trayectorias distintas para ir del punto 1 al punto 2.

Luego, si F es conservativa, la Ec. (1.43) y la Ec. (1.42) implican que 21

F ds + 12

F ds = 0 (1.44)camino A camino B

Figura 1.10: Contorno cerrado C.

Puesto que los caminos A y B son arbitrarios, tenemos que para una F conservativa,C

F ds = 0, (1.45)

es decir; la integral de una F conservativa a lo largo de un contorno cerrado arbitrario Ces cero.


Usando el Teorema de Stokes, la Ec. (1.45) para una fuerza conservativa se puedeescribir como

C

F ds =S

( F) da = 0 (1.46)

donde S es el area encerrada por el contorno cerrado C. Puesto que C es arbitrario, laEc. (1.46) implica para una fuerza conservativa,

F = 0. (1.47)

Por otro lado, la identidad vectorial = 0 implica que la fuerza conservativa Fdebe ser proporcional al gradiente de alguna funcion escalar. Se define la funcion V (r)tal que

F = V (r). (1.48)Luego, para una fuerza conservativa

W12 = 21

V ds = 21

(3

i=1

V

xidxi

)

= 21

dV = V1 V2. (1.49)

Para toda fuerza, el trabajo W12 es igual al cambio de energa cinetica, T2 T1. Ensistemas conservativos, el trabajo tambien esta relacionado con cambios de otra funcionescalar que depende de las coordenadas, evaluada en los puntos 1 y 2.

La funcion escalar V (r) se denomina energa potencial y expresa la energa almacena-da en un sistema, relacionada con la posicion o configuracion de los elementos constitu-yentes del sistema. Por ejemplo, una partcula en campo gravitacional tiene una energapotencial que depende de su posicion; un resorte estirado o comprimido posee una energapotencial almacenada capaz de convertirse en trabajo.

La Ec. (1.49) para fuerzas conservativas, junto con la Ec. (1.41) valida para cualquierfuerza, conduce a la relacion

V1 V2 = T2 T1,T1 + V1 = T2 + V2. (1.50)

La energa mecanica total de una partcula se define como la cantidad escalar:

E T + V. (1.51)

La Ec. (1.50) implica queE1 = E2. (1.52)

Puesto que los puntos 1 y 2 son arbitrarios, la energia mecanica total es constante encualquier punto para sistemas conservativos,

E = T + V = constante. (1.53)


Si la funcion energa potencial depende del tiempo, ademas de las coordenadas,V (r, t), la energa mecanica total puede no conservarse. Consideremos la derivada

dE

dt=

d

dt(T + V ) =

dT

dt+dV

dt. (1.54)

TenemosdT

dt= mv dv

dt= F v. (1.55)

Calculamos la derivada total con respecto al tiempo de V (r, t) = V (x, y, z, t),

dV (r)dt

=3

i=1

V

xixi +

V

t= V v + V

t. (1.56)

Luego,dE

dt= F v +V v + V

t= V v +V v + V

t(1.57)

donde hemos empleado F = V , para un sistema conservativo. Luego,dE

dt=V

t. (1.58)

La Ec. (1.58) es la condicion para la conservacion de la energa mecanica: la energamecanica total es constante si la energa potencial V no depende explicitamente deltiempo,

V

t= 0 dE

dt= 0 E = constante. (1.59)

La energa potencial tambien puede ser definida para sistemas no conservativos; en esoscasos V depende explcitamente tanto de la posicion como del tiempo. La fuerza corres-pondiente puede expresarse como el gradiente de esta energa potencial. Sin embargo, eltrabajo hecho para mover una partcula entre los puntos 1 y 2 ya no es V1 V2, puestoque V cambia con el tiempo cuando la partcula se mueve. La energa total puede serdefinida tambien como E = T + V ; sin embargo, la cantidad E no se conserva duranteel movimiento.

1.2. Mecanica de un sistema de partculas

Consideremos un conjunto de N partculas en un sistema de referencia cartesiano.Sean mi y ri la masa y la posicion de la partcula i, respectivamente, con i = 1, . . . , N .Definimos el vector rij rj ri, que va en la direccion de la partcula i a la partcula j.

El vector de posicion del centro de masa de un sistema de partculas se define como

R

imiriimi

=

imiriMT

, (1.60)

donde MT =

imi es la masa total del sistema.

1.2. MECANICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS 21

Figura 1.11: Conjunto de partculas en un sistema de referencia cartesiano.

La velocidad del centro de masa es

vcm =dRdt

=1MT

i

midridt

. (1.61)

El momento lineal total del sistema de N partculas es

PT =i

pi =i

midridt

=MTdRdt

=MTvcm. (1.62)

Luego, el momento total PT es equivalente al momento de una partcula que posea lamasa total del sistema, moviendose con la velocidad del centro de masa del sistema.

Supongamos que existen fuerzas sobre las partculas, tanto internas como externas alsistema. Denotamos por Fji la fuerza que la partcula j ejerce sobre la partcula i, y porFext(i) la fuerza total debida a influencias externas sobre la partcula i.

Recordemos que las fuerzas de interaccion entre dos partculas i y j obedecen laTercera Ley de Newton,

Fji = Fij . (1.63)Para fuerzas centrales, la Tercera Ley es mas restrictiva. Si Fij es central,

Fij = k|Fji|rij , (1.64)

entonces las fuerzas sobre las partculas van en la direccion (paralela o antiparalela) delvector rij . Esta condicion sobre fuerzas centrales se conoce como forma fuerte de la leyde accion y reaccion. Cabe recordar que no todas las fuerzas cumplen esta condicion; porejemplo, las fuerzas magneticas entre dos cargas en movimiento no siempre son centrales..


Figura 1.12: Tercera Ley de Newton, en sus dos formas.

La ecuacion de movimiento para la partcula i puede expresarse comoj 6=i

Fji + Fext(i) =dpidt

=d2(miri)dt2

, (1.65)

dondeN

i 6=j Fji es la suma de las fuerzas internas sobre la partcula i, debido a lasinteracciones con las otras partculas.

Para obtener la fuerza total sobre el sistema, sumamos sobre todas las partculas enla Ec. (1.65),

*0i

j

Fji +i

Fext(i) =i

pi =i

d2

dt2(miri) . (1.66)

El primer termino es cero porque las fuerzas se anulan en pares debido a la Tercera Ley,i

j

Fji =j

i

Fij = j

i

Fij = i

j

Fji i

j

Fji = 0. (1.67)

Luego, si mi es constante i, la Ec. (1.66) quedai

Fext(i) =i

mid2ridt2

. (1.68)

Usando la definicion del centro de masa, la Ec. (1.60), se puede expresar comoi

Fext(i) =i

mid2ridt2

=MTd2Rdt2

. (1.69)

Luego,

Fext(total) i

Fext(i) =dPTdt

, (1.70)

La Ec. (1.70) constituye una ecuacion de movimiento para el centro de masa. Luego,si Fext(total) = 0, entonces PT es constante. Es decir, si la fuerza externa total sobreun sistema de partculas es cero, entonces el momento lineal total PT del sistema seconserva.


El momento angular de la partcula i es

li = ri pi. (1.71)

Entonces, el momento angular total del sistema de partculas es

lT =i

li =i

(ri pi) =i

(ri mivi). (1.72)

Figura 1.13: Posicion relativa de una partcula con respecto al centro de masa.

Si definimos la posicion ri de la partcula i con respecto al centro de masa del sistema,tenemos

ri = ri R, (1.73)

y su velocidad con respecto al centro de masa sera

vi = vi vcm. (1.74)

Entonces, en terminos del centro de masa podemos escribir

lT =i

(ri +R)mi(vi + vcm) (1.75)

=i

(ri mivi) +

*

0(i

miri

) vcm

+R

*

0(i

mivi

)+R

(i

mi vcm

). (1.76)


Para mostrar los terminos que se anulan en la Ec. (1.76), calculamos

MTR =i

miri

=i

mi(ri +R)

=i

miri +MTR

i

miri = 0. (1.77)

Del mismo modo,

i

mivi =i

midridt

=d

dt

(i

miri

)= 0. (1.78)

Entonces, la Ec. (1.76) para el momento angular total queda

lT =i

(ri pi) +R (MTvcm) . (1.79)

Luego, el momento angular total de un sistema de partculas consta de dos contribuciones:1) el momento angular del centro de masa, R (MTvcm);2) el momento angular relativo al centro de masa,

i(ri pi).

Calculemos la derivada temporal de lT ,

dlTdt

=Ni=1

d

dt(ri pi)

=i

:0(vi mvi) +i

ri pi

=i

ri Fext(i) +

j 6=iFji

=

i

ri Fext(i) +

:0

i

j 6=i

(ri Fji). (1.80)

Las sumas en el segundo termino de la Ec. (1.80) se pueden expresar en pares de la forma,

ri Fji + rj Fij = (rj ri) Fij = rij Fij , (1.81)

puesto que Fji = Fij , de acuerdo a la Tercera Ley de Newton. Si ademas suponemos quese cumple la Tercera Ley de Newton en forma fuerte, Fij = k|Fji|rij . Luego, rijFij = 0y el segundo termino de la Ec. (1.80) se anula.


Entonces,

dlTdt

=i

ri Fext(i)

=i

i(externo) = T (externo). (1.82)

La Ec. (1.82) expresa la conservacion del momento angular total de un sistema de partcu-las: si el torque externo total (externo total) = 0, entonces lT = constante.

Tambien se puede calcular la energa cinetica de un sistema de partculas en la forma

Ttotal =12

i

miv2i . (1.83)

En coordenadas del centro de masa, vi = vi + vcm, y podemos escribir

Ttotal =12

i

mi(vi + vcm) (vi + vcm)

=12

i

miv2cm +

12

i

miv2i +

122vcm

i

mivi. (1.84)

Peromivi =

d

dt(miri) = 0; luego

Ttotal =12MT v

2cm +

12

miv

2i , (1.85)

Es decir, energa cinetica total de un sistema de partculas contiene dos contribuciones,1) la energa cinetica del centro de masa, 12MTV

2CM ;

2) la energa cinetica relativa al centro de masa, 12miv

2i .

El trabajo para realizar un cambio de una configuracion 1 de las partculas a unaconfiguracion 2 es

W(conf1 conf2) =i

conf2conf1

Fi dsi (1.86)

=i

conf2conf1

midvidt

(vidt)

=12

i

mi

conf2conf1

d(v2i )

=

(12

i

miv2i

)conf2

(12

i

miv2i

)conf1

= Tconf2 Tconf1.


Finalmente, la energa potencial de un sistema de partculas se puede expresar a partirde

FT =i

Fi =i

Fext(i) +

*0

j

j 6=i

Fji. (1.87)

Si Fext(i) es conservativa, se puede escribir como Fext(i) = Vext(i). Luego,

FT = (

i

Vext(i)

). (1.88)

Se define la energa potencial total como la suma

VT =i

Vext(i). (1.89)

1.3. Coordenadas generalizadas

Consideremos un sistema de N partculas, i = 1, 2, . . . , N , cuyos vectores de posicionson {r1, r2, . . . , rN}. Cada vector de posicion posee tres coordenadas, ri = (xi, yi, zi). Elsistema de N partculas con posiciones {r1, r2, . . . , rN} esta descrito por 3N coordenadas.

En general existen restricciones o ligaduras para algunas coordenadas; por ejemplo,el movimiento ocurre sobre un plano (z = cte), o sobre un crculo (x2 + y2 = cte), sobreuna esfera (x2+y2+x2 = cte), etc. En general, las restricciones se pueden expresar comorelaciones algebraicas o funcionales entre las coordenadas.

Si un sistema posee k restricciones, estas se puede expresar como k funciones o rela-ciones que ligan las coordenadas:

f1(r1, r2, . . . , t) = 0,f2(r1, r2, . . . , t) = 0,

...fk(r1, r2, . . . , t) = 0.

(1.90)

Las restricciones o ligaduras que se expresan en forma de igualdades algebraicas se lla-man restricciones holonomicas. El numero de coordenadas independientes cuando existenk restricciones holonomicas es s = 3N k.

La cantidad s determina los grados de libertad del sistema, o el numero mnimo decoordenadas necesarias para describir el movimiento del sistema. Los grados de libertaddefinen un conjunto de coordenadas generalizadas, denotadas por {q1, q2, . . . , qs}, el cualtiene asociado un conjunto de velocidades generalizadas {q1, q2, . . . , qs}.

Las coordenadas generalizadas no son necesariamente coordenadas cartesianas, sinoque pueden consistir en otro tipo de coordenadas, tales como cantidades angulares, oinclusive pueden ser otras variables fsicas. Las coordenadas generalizadas {q1, q2, . . . , qs}estan relacionadas con las coordenadas cartesianas {r1, r2, . . . , rN} por un conjunto detransformaciones:

1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 27

r1 = r1(q1, q2, . . . , t),r2 = r2(q1, q2, . . . , t),

...rN = rN (q1, q2, . . . , t).

(1.91)

En general, el conjunto de ligaduras f(r1, r2, . . . , rN , t) = 0, = 1, 2, . . . , k, y lastransformaciones ri(q1, q2, . . . , qs, t) = ri, i = 1, 2, . . . , N , permiten expresar las coorde-nadas generalizadas en terminos de las coordenadas cartesianas, qj = qj(r1, r2, . . . , rN , t),j = 1, 2, . . . , s. Es decir, en principio, las transformaciones ri qj son invertibles.

Tambien pueden existir restricciones no descritas por ecuaciones algebraicas, las cualesse denominan restricciones no holonomicas. Estas se expresan como desigualdades o enforma de ecuaciones diferenciales para las coordenadas.

Ejemplos de restricciones y coordenadas generalizadas:

1. Pendulo plano.

Consiste en una partcula (N = 1) con masa m colgada de un extremo de unavarilla rgida de longitud l y masa despreciable, cuyo otro extremo esta fijo, tal quela varilla cual puede girar en un plano vertical.

Figura 1.14: Pendulo simple con longitud l y masa m.

Hay dos restricciones, k = 2,

z = 0 f1(x, y, z) = z = 0. (1.92)x2 + y2 = l2 f2(x, y, z) = x2 + y2 l2 = 0. (1.93)

Luego, s = 3(1)2 = 1. Hay una coordenada generalizada. El diagrama del sistemasugiere escoger q = como coordenada generalizada. Las transformaciones r(q) son

x = l sin (1.94)y = l cos (1.95)

= tan1(xy

). (1.96)


2. Pendulo doble.

Consiste en un pendulo plano que cuelga de otro pendulo plano. Hay dos partculas(N = 2) y seis coordenadas cartesianas correspondientes a r1 y r2.

Figura 1.15: Pendulo doble.

Hay k = 4 restricciones:

f1 = z1 = 0f2 = z2 = 0f3 = x21 + y

22 l21 = 0

f4 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 l22 = 0.(1.97)

Luego, hay s = 3(2) 4 = 2 coordenadas generalizadas. La figura sugiere lascoordenadas generalizadas q1 = 1 y q2 = 2. Las transformaciones ri(q) son

x1 = l1 sin 1y1 = l1 cos 1x2 = l1 sin 1 + l2 sin 2y2 = l1 cos 1 l2 cos 2.

(1.98)

Las transformaciones inversas son

1 = tan1(x1y1

)(1.99)

2 = tan1(x1 x2y2 y1

). (1.100)

Entonces, q1 = 1 y q2 = 2 son coordenadas generalizadas.


3. Polea simple (maquina de Atwood).

Figura 1.16: Polea simple.

En este problema N = 2. Las restricciones se pueden expresar como

f1 = y1 + y2 c1 = 0f2 = x1 c2 = 0f3 = x2 c3 = 0f4 = z1 = 0f5 = z2 = 0,

(1.101)

donde c1, c2, c3 son constantes. Luego, k = 5 y s = 3(2) 5 = 1. Se puede escogerq = y1, o q = y2 como la coordenada generalizada.

4. Partcula dentro de un cono invertido con angulo de vertice , cuyo eje es vertical.

Figura 1.17: Partcula moviendose dentro de un cono con su eje vertical.

Hay una partcula N = 1, y 3 coordenadas cartesianas para su posicion r = (x, y, z).

Hay una restriccion, k = 1,

f1(x, y, z) = r z tan = (x2 + y2)1/2 z tan = 0. (1.102)

Entonces, hay s = 3(1) 1 = 2 coordenadas generalizadas, que se pueden tomarcomo q1 = r, q2 = .


Las transformaciones r(q) son

x = r cosy = r sinz = r cot,

(1.103)

y las transformaciones inversas son

= tan1(yx

)= q1

r = z tan = q2.(1.104)

5. Partcula deslizando sobre un aro en rotacion uniforme sobre su diametro.

Figura 1.18: Partcula deslizando sobre aro de radio a, el cual rota sobre su diametrovertical con velocidad angular .

La velocidad angular de rotacion del aro sobre eje z es , asumida constante. Luego, = t.

Restricciones:f1(x, y, z) = x2 + y2 + z2 a2 = 0,y

x= tan = tant

f2(x, y, z, t) = y x tant = 0.(1.105)

La funcion f2 es un ejemplo de ligadura que depende tanto de las coordenadas comodel tiempo. Tenemos k = 2; luego, s = 3(1) 2 = 1. La coordenada generalizadaapropiada es q = .

Las transformaciones de coordenadas r(q) son

z = a cos x = a sin costy = a sin sint.

(1.106)

En Mecanica Clasica, el tiempo t no es considerado como una coordenada, sinocomo un parametro.


6. Una restriccion no holonomica: partcula dentro de una esfera de radio R.La ligadura se expresa |ri| R.

Figura 1.19: Ligadura no holonomica: partcula dentro de una esfera.

7. Restriccion no holonomica: aro rodando sin deslizar sobre un plano.

Figura 1.20: Izquierda: aro de radio R rodando sin deslizar sobre el plano (x, y). Derecha:condicion de rodar sin deslizar; P es el punto de apoyo instantaneo.

Existe la restriccion z = cte. Sea el angulo que forma el vector velocidad v conrespecto a la direccion y. La condicion de rodar sin deslizar se expresa como

ds = vdt = Rd v = R. (1.107)

Figura 1.21: Proyeccion del movimiento del aro sobre el plano (x, y).

Las componentes de la velocidad v son

x = v sin = R sin y = v cos = R cos . (1.108)

Esta relaciones diferenciales se pueden expresar como restricciones no holonomicaspara las coordenadas,

dxRd sin = 0dy +Rd cos = 0. (1.109)

Las coordenadas generalizadas son (x, y) para ubicar el punto de apoyo instantaneoP , mas (, ) para ubicar un punto cualquiera sobre el aro; luego s = 4.


1.4. Principios variacionales.

Consideremos dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) fijos en el plano (x, y), unidos por unatrayectoria y = y(x), x[x1, x2], tal que y(x1) = y1 y y(x2) = y2, y cuya derivada esy(x) = dydx .

Figura 1.22: Funcion y(x) que pasa por dos puntos sobre el plano (x, y).

Definimos una funcional como una funcion de varias variables f(y, y, x) cuyos argu-mentos son funciones y sus derivadas. Una funcional es una funcion de funciones dadas.Una funcional asigna un numero a una funcion, mientras que una funcion asigna unnumero a otro numero.

Por ejemplo, consideremos la funcional f(y, y, x) = y(x) + y(x). Para la funciony(x) = 3x + 2, tenemos f(y, y, x) = 3x + 5; mientras que para y(x) = x2, f(y, y, x) =x2 + 2x. El valor resultante de una funcional dada depende de la funcion y.

En los problemas de extremos en el calculo diferencial buscamos el valor de unavariable para el cual una funcion es maxima o mnima. En cambio, los problemas deextremos en el calculo variacional consisten en encontrar la funcion que hace que unaintegral definida sea extrema.

Principio variacional:Dada una funcional f(y, y, x), cual es la y(x) que hace que la integral defi-nida de lnea:

I = x2x1

f(y, y, x)dx , (1.110)

tenga un valor extremo (maximo o mnimo) entre x1 y x2?.

Note que I es una integral definida y, por tanto, da como resultado un numero cu-yo valor depende de la funcion y(x) empleada en el argumento de la funcional dadaf(y, y, x). Si I es extremo de f para una y(x) (y por tanto y(x)), entonces cualquierotra trayectoria cercana a y(x) definida entre x1 y x2 debe incrementar (o disminuir) envalor de la integral I, es decir, debe variar I.

Se emplea la notacion I para indicar la variacion de I. Luego, I = 0 implica que Ies extremo.

El principio variacional sobre I requiere que I = 0 para una f dada, lo cual implicauna condicion sobre y(x). Para encontrar esta condicion, supongamos que y(x) es la

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES. 33

funcion que pasa por x1 y x2, y que hace I = 0. Ahora, consideremos una trayectoriacercana a y(x) definida como

y(x, ) = y(x) + (x), (1.111)

donde es un parametro que mide la desviacion con respecto a la funcion y(x) y (x) esuna funcion arbitraria, pero diferenciable (es decir, existe (x)), tal que se anule en lospuntos x1 y x2: (x1) = (x2) = 0. Entonces y(x, ) tambien pasa por (x1, y1), (x2, y2):

y(x1, ) = y(x1) = y1 (1.112)y(x2, ) = y(x2) = y2

Figura 1.23: Trayectoria y(x, ) = y(x) + (x).

Note que y(x, 0) = y(x). Calculemos I para la trayectoria perturbada y(x, ),

I = x2x1

f(y(x, ), y(x, ), x)dx = I(), (1.113)

es decir, I es una funcion del parametro . La condicion extrema I = 0 cuando = 0,implica que

dI()d

=0

= 0, (1.114)

lo cual a su vez implica una condicion sobre f y sobre y(x). Calculemos dI/d,

dI

d= x2x1

df(y(x, ), y(x, ), x)d

dx (1.115)

= x2x1

[f

y

y

(x, ) +

f

yy

(x, )

]dx.

Pero,

y

(x, ) = (x);

y

(x, ) =

(dy

dx

)=

d

dx

(y

)=d

dx(1.116)

puesto que y x son independientes. Luego,

dI

d= x2x1

[f

y(x) +

f

yd

dx

]dx. (1.117)


El segundo termino se integra por partes, usando (uv) = uv + uv uvdx = uv uvdx, x2

x1

f

yd

dxdx =

f

y(x)

x2x1

x2x1

d

dx

(f

y

)(x)dx, (1.118)

pero,f

y(x)

x2x1

=f

y((x2) (x1)) = 0 (1.119)

puesto que (x2) = (x1) = 0. Luego:

dI

d= x2x1

[f

y ddx

(f

y

)](x)dx = 0. (1.120)

Evaluando en = 0,

dI

d

=0

= x2x1

[f

y ddx

(f

y

)]=0

(x)dx = x2x1

M(x)(x) = 0 , (1.121)

donde

M(x) =[f

y ddx

(f

y

)]=0

. (1.122)

Cuando = 0, el integrando es una funcion de x solamente: M(x)(x). Luego, la con-dicion dId

=0

= 0 M(x)(x) = 0. Pero como (x) es una funcion arbitraria no nula,entonces debemos tener M(x) = 0. Se acostumbra escribir esta condicion en la forma

d

dx

(f

y

) fy

= 0. (1.123)

Figura 1.24: Leonhard Euler (1707-1783).

La Ec. (1.123) es la ecuacion de Euler, y expresa la condicion que debe satisfacer lafuncion y(x) que hace I = 0 para una integral definida I de una funcional f(y, y, x)dada. La Ec. (1.123) es una ecuacion diferencial de segundo orden para y(x), cuya solucionpermite encontrar y(x) para las condiciones dadas.


Ejemplos.

1. Calcular la trayectoria y(x) que corresponde a la distancia mas corta entre dospuntos dados en un plano.

Figura 1.25: Trayectoria mas corta entre dos puntos del plano (x, y).

El elemento de distancia sobre el plano es

ds =dx2 + dy2. (1.124)

La distancia entre (x1, y1) y (x2, y2) es

I = 21

ds = x2x1

1 +

(dy

dx

)2dx =

x2x1

f(y, y) dx, (1.125)

donde f(y, y) =1 + (y)2.

Buscamos la trayectoria y(x) que da el valor mnimo de la integral I; es decir, quehace I = 0. La ecuacion de Euler es la condicion que satisface esa y(x),

d

dx

(f

y

) fy

= 0. (1.126)

Tenemosf

y= 0,

f

y=

y1 + (y)2

. (1.127)

Luego, la ecuacion de Euler conduce a

y1 + (y)2

= c = constante, (1.128)

y =c

1 c2 a (1.129) y = ax+ b, (1.130)

donde a y b son constantes.


2. Superficie mnima de revolucion.

Encontrar el perfil y(x) entre x1, x2 que produce el area mnima de revolucionalrededor del eje y.

Figura 1.26: Superficie mnima de revolucion de y(x) alrededor de eje y.

El elemento de area de revolucion alrededor de eje y es

dA = 2pix ds = 2pixdx2 + dy2. (1.131)

Area de revolucion generada por y(x),

A =dA = 2pi

x2x1

x1 + (y)2 dx. (1.132)

Identificamos en el integrando la funcional

f(y, yx) = x1 + (y)2. (1.133)

La ecuacion de Euler,d

dx

(f

y

) fy

= 0, (1.134)

requiere las derivadas,

f

y= 0,

f

y=

xy1 + y2

. (1.135)

Sustituyendo en la ecuacion de Euler, obtenemos

xy1 + y2

= a = constante (1.136)

y =dy

dx=

ax2 a2 (1.137)

y = a

dxx2 a2 (1.138)

= a ln(x+x2 a2) + k. (1.139)


Los valores de las constantes a y k se determinan con (x1, y1) y (x2, y2). Si escribi-mos k = b a ln a, la Ec. (1.139) tambien se puede expresar como(

y ba

)= ln

(x+

x2 a2a

)= cosh1

(xa

)(1.140)

x = a cosh(y ba

), (1.141)

que es la ecuacion de una catenaria.

3. Braquistocrona (del griego, tiempo mas corto).

Encontrar la trayectoria y(x) de una partcula en el campo gravitacional terrestreque da el menor tiempo posible para ir de (x1, y1) a (x2, y2) sin friccion, partiendodel reposo (v0 = 0).

Figura 1.27: Problema de la braquistocrona.

Fijamos el punto (x1, y1) = (0, 0). Para este problema, escogemos la direccion deleje y hacia abajo, con el fin de obtener la funcion y(x). Si v es la magnitud de lavelocidad a lo largo de la trayectoria, entonces el elemento de tiempo para recorreruna distancia infinitesimal ds a lo largo de la trayectoria es

dt =ds

v. (1.142)

El tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es

t12 = 21

ds

v= 21

dx2 + dy2

v. (1.143)

En el sistema de referencia escogido, la fuerza gravitacional sobre la partcula esF = mgy y, y por lo tanto la energa potencial es V = mgy, tal que V (y = 0) = 0.Puesto que v0 = 0, la conservacion de la energa E = T + V da

0 =12mv2 mgy v =

2gy. (1.144)


Luego, el tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es

t12 = 21

dx2 + dy2

2gy, (1.145)

la cual se puede expresar como

t12 = y2y1

1 + (x)2

2gydy . (1.146)

La integral t12 es del tipo

I = y2y1

f(x, x, y)dy , (1.147)

donde hemos intercambiado los roles de las variables x y y. Identificamos la fun-cional

f(x, x, y) =

1 + (x)2

2gy. (1.148)

La ecuacion de Euler correspondiente es

d

dy

(f

x

) fx

= 0 . (1.149)

Puesto quef

x= 0, la ecuacion de Euler queda

f

x=

x2gy1 + (x)2

= c = constante. (1.150)

Note que la ecuacion de Euler para la funcional f(x, x, y) resulta mas sencilla quela ecuacion correspondiente a una funcional f(y, y, x) en este caso. Luego,

x =dx

dy=

2gyc2

1 2gyc2 (1.151)

x =

y1

2gc2 ydy =

y

2R y dy, (1.152)

donde hemos llamado 2R 1/2gc2. Haciendo el cambio de variabley = R(1 cos ), dy = R sin d, (1.153)

tenemos

x = R

(1 cos )(1 + cos )

sin d = R

(1 cos )2(1 cos2 ) sin d

= R(1 cos ) d = R( sin ) + k. (1.154)


Luego, la trayectoria queda parametrizada en terminos de la variable ,

y = R(1 cos ), (1.155)x = R( sin ), (1.156)

la cual corresponde a una cicloide que pasa por (x1, y1) = (0, 0) (lo que da k = 0).

Figura 1.28: Trayectoria de la cicloide.

La constante R se determina con el punto (x2, y2) y da al valor del radio de lacircunferencia que genera la cicloide. Algunos puntos ayudan a trazar la cicloide,

=pi

2 y = R, x = pi

2R; = pi x = piR, y = 2R; = 2pi x = 2piR, y = 0.

El problema de la braquistocrona es famoso en la historia de la Fsica. Fue planteadooriginalmente por Galileo, quien penso que la trayectora mas corta era un arco decircunferencia. El problema fue estudiado anos despues por Johann Bernoulli, cuyotrabajo condujo a la fundacion del calculo variacional.

Figura 1.29: Johann Bernoulli (1667 -1748).

Principios variacionales y ecuaciones de Euler para funcionales de varias va-riables.

Consideremos una funcional de varias variables

f (yi(x), yi(x), . . . , x) , , i = 1, 2, . . . , s (1.157)


tal que la integral definida

I = x2x1

f (yi(x), yi(x), x) dx (1.158)

adquiera un valor extremo, i.e., I = 0, para las funciones yi(x), i = 1, 2, . . . , s.Consideremos ahora una funcional de trayectorias perturbadas:

f (yi(x, ), yi(x, ), . . . , x) , i = 1, 2, . . . , s. (1.159)

dondeyi(x, ) = yi(x) + i(x), (1.160)

y las i(x) son funciones arbitrarias que satisfacen

i(x1) = i(x2) = 0. (1.161)

Figura 1.30: Trayectorias y1(x) y y2(x) en el espacio (x, y1, y2).

Consideremos la integral definida con las funciones yi(x, ) como argumentos,

I() = x2x1

f [yi(x, ), yi(x, ), x]dx. (1.162)

La condicion de que I(0) sea extremo, o que I = 0, implica que

dI

d

=0

= 0. (1.163)

CalculamosdI

d= x2x1

si=1

[f

yi

yi

+f

yi

yi

]dx, (1.164)

dondeyi(x, )

= i(x);

yi(x, )

= i(x). (1.165)

1.5. PRINCIPIO DE MINIMA ACCION Y ECUACIONES DE LAGRANGE. 41

El segundo termino en la suma de la Ec. (1.164) se integra por partes:

x2x1

f

yii(x)dx =

*0

f

yii(x)

x2x1

x2x1

d

dx

(f

yi

)i(x)dx , (1.166)

en virtud de la condicion Ec. (1.161) sobre las funciones i(x). Luego,

dI

d= x2x1

si=1

[f

yi ddx

(f

yi

)]i(x)dx. (1.167)

La condiciondI

d

=0

= 0 , (1.168)

implica las s condiciones

d

dx

(f

yi

) fyi

= 0, i = 1, 2, . . . , s (1.169)

que corresponden a s ecuaciones de Euler, una para cada funcion yi(x).

1.5. Principio de mnima accion y ecuaciones de La-grange.

Consideremos un sistema descrito por s coordenadas {q1, q2, . . . , qs} y sus correspon-dientes s velocidades generalizadas {q1, q2, . . . , qs}.

Definimos una funcional escalar de {qj}, {qj} y t, dado porL(qj , qj , t) = T V, (1.170)

donde T y V son la energa cinetica y la energa potencial del sitema, expresadas en termi-nos de las coordenadas y velocidades generalizadas. La funcional L(qj , qj , t) se denominaLagrangiano del sistema.

Por ejemplo, la energa cinetica y la energa potencial de un oscilador armonico simpleson, respectivamente,

T =12mx2; V =

12kx2, (1.171)

y el Lagrangiano correspondiente es

L =12mx2 1

2kx2. (1.172)

En principio, todo sistema mecanico, se puede caracterizar por un Lagrangiano L.Supongamos que el estado del sistema en los instantes de tiempo t = t1 y t = t2

esta descrito por

t1 : {qj(t1)}, {qj(t1)} ; t2 : {qj(t2)}, {qj(t2)}. (1.173)


La accion del sistema se define como la integral definida

S = t2t1

L(qj , qj , t) dt . (1.174)

El Principio de mnima accion es un principio variacional; establece que las ecuacio-nes de movimiento de un sistema, en terminos de sus coordenadas generalizadas, puedenformularse a partir del requerimiento de que una cierta condicion sobre S sea satisfecha.

Principio de mnima accion:La evolucion del sistema entre el estado en t1 y el estado en t2 es tal que Ssea mnima, es decir, S = 0 (S es un extremo).

El Principio de mnima accion fue formulado en distintas formas por Maupertuis ypor Hamilton; tambien se llama Principio de Hamilton.

Figura 1.31: Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759).

Sean qj = qj(t) las trayectorias para las cuales S adquiere un valor extremo. Consi-deremos la variacion de qj como qj(t) + qj(t), y la variacion de qj como qj(t) + qj(t).Supongamos extremos fijos t1 y t2. Luego qj(t1) = qj(t2) = 0.

La variacion de qj produce un incremento en el valor de S. La variacion en S cuandoqj(t) es reemplazado por qj(t) + qj(t), y qj por qj(t) + qj(t), es

S = t2t1

L(qj , qj , t)dt

= t2t1

L(qj + qj , qj + qj , t)dt t2t1

L(qj , qj , t)dt. (1.175)

El principio de mnima accion requiere que

S = t2t1

sj=1

[L

qjqj +

L

qjqj

]dt = 0. (1.176)


Similar a la integral I, podemos expresar el segundo termino como t2t1

L

qj

d

dt(qj)dt =

L

qjqj

t2t1

t2t1

d

dt

(L

qj

)qj , (1.177)

dondeL

qjqj

t2t1

= 0. (1.178)

Luego, la condicion S = 0 implica s ecuaciones:

d

dt

(L

qj

) Lqj

= 0, i = 1, . . . , s. (1.179)

Las Ecs. (1.179) se denominan ecuaciones de Lagrange. Constituyen s ecuaciones diferen-ciales acopladas de segundo orden para las s coordenadas qj(t) que describen la evoluciondel sistema en el tiempo.

Figura 1.32: Joseph Louis de Lagrange (1736-1827).

Se pueden establecer las siguientes analogas entre el Principio de mnima accion yun principio variacional:

S = t2t1

L(qj , qj , t)dt I = x2x1

f(yi, yi, x)dx (1.180)

L(qj , qj , t) f(yi, yi, x)t xqj yiqj yi

qj(t) j(x)qj(t) j(x).


Las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda Ley de Newton si lascoordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas cartesianas de las partculasdel sistema. Para ver esto, consideremos N partculas: = 1, 2, . . . , N . Llamemos j a lascomponentes cartesianas de la partcula : xj() Asumamos las coordenadas cartesianascomo coordenadas generalizadas: qj = xj().

La energa cinetica del sistema es

T =N=1

3i=1

12mx

2i (). (1.181)

La energa potencial es

V =N=1

V(r(1), r(2), . . . , r(N)). (1.182)

El Lagrangiano esta dado por

L = T V =N=1

3i=1

12mx

2i ()

N=1

V(r(1), r(2), . . . , r(N)). (1.183)

La ecuacion de Lagrange para la coordenada xj() es

d

dt

(L

xj()

) Lxj()

= 0. (1.184)

Calculamos

L

xj()=

T

xj()= m()xj() = pj(),

L

xj()= V

xj()= Fj().

Sustitucion en la ecuacion de Lagrange para xj() da

dpj()dt

= Fj(), (1.185)

lo que corresponde a la componente j de la 2da ley de Newton para la partcula .Sumando sobre todas las partculas,

N=1

dpj()dt

=N=1

Fj() = componente j de la fuerza total (1.186)

pero

Pj =N=1

pj() = componente j del momento lineal total. (1.187)


Luego,

dPjdt

= Fj(total) (1.188)

lo que corresponde a la componente j de la Segunda ley de Newton para el sistema. Luego,si qj = xj(), es decir, si las coordenadas generalizadas corresponden a las coordenadascartesianas, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda ley de Newton parael sistema.

Las ecuaciones de Lagrange no constituyen una nueva teora del movimiento; losresultados de la formulacion Lagrangiana o de la formulacion Newtoniana del movimientode un sistema dado son los mismos; tan solo la descripcion y el metodo usado para obteneresos resultados son diferentes. Son descripciones distintas de un mismo efecto fsico.

Las leyes de Newton enfatizan causas externas (fuerzas) actuando sobre un cuer-po, mientras que la formulacion Lagrangiana se enfoca en cantidades escalares (energascinetica y potencial) asociadas con el cuerpo. En contraste con el punto de vista Newto-niano de causa-efecto para explicar el movimiento, el Principio de mnima accion describeeste como el resultado de un proposito de la Naturaleza.

Las ecuaciones de Lagrange son mas generales que la segunda Ley de Newton; ademasde sistemas mecanicos clasicos, se pueden aplicar para todo sistema donde se puededefinir un Lagrangiano, incluyendo medios contnuos, campos, Mecanica Cuantica. ElPrincipio de Mnima accion sugiere una conexion profunda entre la Fsica y la Geometra,una propiedad que ha sido empleada en el desarrollo de varias teoras fsicas. Comoveremos, una ventaja de la formulacion Lagrangiana es que permite descubrir simetrasfundamentales presentes en sistemas fsicos.

Las ecuaciones de movimiento de muchos sistemas, ademas de sistemas mecanicos,pueden derivarse a partir de algun principio variacional. Por ejemplo, el Principio deFermat establece que la propagacion de la luz entre dos puntos dados en un mediosigue la trayectoria que corresponde al tiempo mnimo. A partir de ese principio, puedenobtenerse las leyes de la Optica Geometrica.

Figura 1.33: Pierre de Fermat (1601-1665).


Propiedades de las ecuaciones de Lagrange.

1) Las ecuaciones de movimiento de un sistema son invariantes si a su Lagrangiano se leagrega una derivada total temporal de una funcion f(qj , t).

Sea L(qj , qj , t) el Lagrangiano del sistema para el cual S = 0. Entonces, el nuevoLagrangiano sera

L(qj , qj , t) = L(qj , qj , t) +df(qj , t)dt

. (1.189)

La nueva accion es

S = t2t1

L(qj , qj , t)dt

= t2t1

L(qj , qj , t)dt+ f(q(t2), t2) f(qj(t1), t1). (1.190)

Luego,S = S + f(qj(t2), t2) f(qj(t1), t1), (1.191)

pero f(qj(t2), t2) y f(qj(t1), t1) son cantidades fijas cuya variacion es cero. Luego S =S, y la condicion S = 0 S = 0. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento que sederivan de L y de L son equivalentes.

2) La forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante con respecto al conjunto decoordenadas generalizadas utilizadas en un sistema.

La derivacion de las ecuaciones de Lagrange no depende del conjunto de coordenadasgeneralizadas especficas; por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange no dependede un conjunto particular de coordenadas {qi}. Se puede escoger otro conjunto de scoordenadas generalizadas independientes {Qi}, y las ecuaciones de Lagrange tambiense cumplen en esas coordenadas.

Sea {qi}, i = 1, . . . , s, un conjunto de coordenadas generalizadas para un sistema cons grados de libertad y cuyo Lagrangiano es L(qi, qi, t). Las ecuaciones de Lagrange paraestas coordenadas son

d

dt

(L

qj

) Lqj

= 0. (1.192)

Supongamos una transformacion a otro conjunto de coordenadas generalizadas {Qi},i = 1, . . . , s, de la forma

qi = qi(Q1, Q2, . . . , Qs, t), (1.193)

la cual se conoce como una transformacion puntual. Entonces, el Lagrangiano expresadocomo funcion de las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas L(Qi, Qi, t) tambiensatisface las ecuaciones de Lagrange

d

dt

(L

Qi

) LQi

= 0. (1.194)


Para demostrar esta invarianza, a partir de la Ec. (1.193) calculamos

qi =dqidt

=s

k=1

qiQk

Qk +qit. (1.195)

Luego,qi = qi(Q1, . . . , Qs, Q1, . . . , Qs, t). (1.196)

Entonces, el Lagrangiano se puede expresar como funcion de las nuevas coordenadas yvelocidades generalizadas,

L(q1, . . . , qs, t) = L[qi(Q1, . . . , Qs, t), qi(Q1, . . . , Qs, Q1, . . . , Qs, t), t]. (1.197)

Tenemos,L

Qi=

sj=1

(L

qj

qjQi

+L

qj

qjQi

), (1.198)

y

L

Qi=

sj=1

Lqj

70

qj

Qi+L

qj

qj

Qi

= sj=1

L

qj

qj

Qi. (1.199)

Notemos queqj

Qi=

sk=1

qjQk

Qk

Qi=

sk=1

qjQk

ik =qjQi

. (1.200)

Luego,

d

dt

(L

Qi

) LQi

=d

dt

sj=1

L

qj

qjQi

sj=1

(L

qj

qjQi

+L

qj

qjQi

)

=s

j=1

[qjQi

(d

dt

L

qj Lqj

)+L

qj

(d

dt

qjQi

qjQi

)]. (1.201)

El primer termino en la Ec. (1.201) es cero, de acuerdo a la Ec. (1.192). Por otro lado,

qjQi

=

Qi

(dqjdt

)=

d

dt

(qjQi

), (1.202)

por lo cual, el segundo termino en la Ec. (1.201) tambien se anula. Luego,

d

dt

(L

Qi

) LQi

= 0. (1.203)

Por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange se conserva bajo transformacionespuntuales de las coordenadas generalizadas.


Por ejemplo, consideremos una partcula en un plano. Las ecuaciones de Lagrangepara la partcula en coordenadas cartesianas {qi} = {x, y} tienen la misma forma que lascorrespondientes ecuaciones en coordenadas polares {Qi} = {r, }, donde las relacionesqi = qi(Qj , t) son

x = r cosy = r sin.

1.6. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para variossistemas.

1. Pendulo simple.

Figura 1.34: Coordenada generalizada para el pendulo simple.

Vimos que la coordenada generalizada es el angulo . Entonces,

x = l sin , x = l cos y = l cos , y = l sin

Expresamos T y V en funcion de y ,

T =12mv2 =

12m(x2 + y2) =

12ml22. (1.204)

V = mgy = mgl cos . (1.205)Entonces, el Lagrangiano es

L = T V = 12ml22 +mgl cos . (1.206)

La ecuacion de Lagrange para es

d

dt

(L

) L

= 0 (1.207)

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.49

Calculamos los terminos

L

= mgl sin , L

= ml2,

d

dt

(L

)= ml2. (1.208)

Luego, la ecuacion de Lagrange queda como

ml2 +mgl sin = 0, (1.209)

+g

lsin (1.210)

que es la conocida ecuacion del pendulo simple.

2. Oscilador armonico.

Figura 1.35: Oscilador armonico simple.

Usando la coordenada generalizada x, tenemos

T =12mx2, V =

12kx2, (1.211)

L = T V = 12mx2 1

2kx2. (1.212)

La ecuacion de Lagrange para x es

d

dt

(L

x

) Lx

= 0. (1.213)

CalculamosL

x= mx ;

L

x= kx. (1.214)

Luego, obtenemos

mx+ kx = 0,x+ 2x = 0, (1.215)

donde 2 k/m.3. Partcula libre.

La condicion de estar libre significa que no hay fuerza neta sobre la partcula,F = V = 0. Luego, V = constante para una partcula libre.


a) El Lagrangiano en coordenadas cartesianas es

L = T =12m(x2 + y2 + z2). (1.216)

Las ecuaciones de Lagrange

d

dt

(L

xi

) Lxi

= 0, i = 1, 2, 3, (1.217)

conducen aL

xi= mxi = constante, (1.218)

que expresan la conservacion de la componente i del momento lineal de la partcula.

b) Lagrangiano en coordenadas esfericas.

Figura 1.36: Coordenadas esfericas para una partcula.

Las coordenadas se expresan como

x = r sin cosy = r sin sinz = r cos .

(1.219)

Las velocidades son

x = r sin cos+ r cos cos r sin siny = r sin sin+ r cos sin+ r sin cosz = r cos r sin .

(1.220)

Substitucion en L da

L =12m(r2 + r22 + r22 sin2 ). (1.221)


4. Partcula moviendose sobre un cono invertido.

Figura 1.37: Partcula sobre un cono invertido.

Coordenadas generalizadas son q1 = y q2 = r. Entonces,

x = r cosy = r sinz = r cot.

(1.222)

Las velocidades correspondientes son

x = r cos r siny = r sin+ r cosz = r cot.

(1.223)

Energa cinetica,

T =12mv2 =

12m(x2 + y2 + z2)

=12m[r2(1 + cot2 ) + r22]

=12m(r2 csc2 + r2). (1.224)

Energa potencial,V = mgz = mgr cot. (1.225)

Por lo tanto, el Lagrangiano L = T V es

L =12m(r2 csc2 + r22)mgr cot. (1.226)


d

dt

(L

) L

= 0, (1.227)

dondeL

= 0, (1.228)


Luego,L

= mr2 = cte lz. (1.229)

La cantidad constante es la componente lz del momento angular en terminos delas coordenadas generalizadas, lo que se puede verificar calculando la componentecartesiana lz = m(xy yx), y usando las Ecs. (1.222) y (1.223). La componentelz se conserva porque la componente z del vector de torque total producido porlas fuerzas actuantes sobre la partcula (su peso y la fuerza normal ejercida por lasuperficie del cono) es cero.

La ecuacion de Lagrange para r es

d

dt

(L

r

) Lr

= 0, (1.230)

dondeL

r= mr2 mg cot, L

r= mr csc2 . (1.231)

Luego,r csc2 r2 + g cot = 0, (1.232)

r r2 sin2 + g sin cos = 0. (1.233)5. Pendulo doble.

Consiste en un pendulo de longitud l1 y masa m1, del cual cuelga un segundopendulo de longitud l2 y masa m2.

Figura 1.38: Pendulo doble.

Coordenadas generalizadas son q1 = 1, q2 = 2. Luego,

x1 = l1 sin y1 = l1 cos

x1 = l11 cos 1 y1 = l11 sin 1 (1.234)

x2 = l1 sin + l2 sin 2y2 = l1 cos l2 cos 2

x2 = l11 cos 1 + l22 cos 2 y2 = l11 sin 1 + l22 sin 2 (1.235)


La energa cinetica de partcula 1 es

T1 =12m1v

21 =

12m1(x21 + y

21) =

12m1l

21

21. (1.236)

La energa cinetica de partcula 2 es

T2 =12m2v

22 =

12m2(x22 + y

22)

=12m2[l21

21 + l

22

22 + 2l1l212(cos 1 cos 2 + sin 1 sin 2)]

=12m2[l21

21 + l

22

22 + 2l1l212 cos(1 2)]. (1.237)

Las energas potenciales de las partculas se pueden expresar como

V1 = m1gy1 = m1gl1 cos 1 (1.238)V2 = m2gy2 = m2g(l1 cos 1 + l2 cos 2). (1.239)

La energa cinetica del sistema es T = T1+T2 y la energa potencial es V = V1+V2.El Lagrangiano del sistema es L = T V , lo que conduce a

L =12(m1 +m2)l21

21 +

12m2l

22

22 +m2l1l212 cos(1 2)

+ (m1 +m2)gl1 cos 1 +m2gl2 cos 2. (1.240)

Ecuacion de Lagrange para 1,

d

dt

(L

1

) L1

= 0, (1.241)

donde

L

1= m1l1l212 sin(1 2) (m1 +m2)gl1 sin 1

L

1= (m1 +m2)l211 +m2l1l22 cos(1 2)

d

dt

(L

1

)= (m1 +m2)l211 +m2l1l2[2 cos(1 2) 2(1 2) sin(1 2].

Por lo tanto, la ecuacion de Lagrange para 1 queda

(m1 +m2)l211 +m2l1l2[2 cos(1 2) 2(1 2) sin(1 2)]+m1l1l212 sin(1 2) + (m1 +m2)gl1 sin 1 = 0. (1.242)

Ecuacion de Lagrange para 2,

d

dt

(L

2

) L2

= 0, (1.243)


donde

L

2= m2l1l212 sin(1 2)m2gl2 sin 2

L

2= m2l222 +m2l1l21 cos(1 2)

d

dt

(L

2

)= m2l222 +m2l1l2[1 cos(1 2) 1(1 2) sin(1 2].

Luego, la ecuacion de Lagrange para 2 queda

m2l222 +m2l1l2[1 cos(1 2) 1(1 2) sin(1 2)]

m2l1l212 sin(1 2) +m2gl2 sin 2 = 0. (1.244)

Las ecuaciones de Lagrange para 1 y 2 se pueden expresar como

1 =g(sin 2 cos sin 1) (l222 + l121 cos) sin

l1( cos2) (1.245)

2 =g(sin 1 cos sin 2) (l121 + l222 cos) sin

l2( cos2) , (1.246)

donde 1 2, y 1 +m1/m2.

Figura 1.39: Caos en el pendulo doble. Arriba: 1 vs. t. Abajo: 2 vs. t. En ambos casos,se muestra la evolucion a partir de dos condiciones iniciales muy cercanas.


Las ecuaciones de Lagrange para 1 y 2 son no lineales y acopladas para 1 y2, dando lugar a la posibilidad de la aparicion de comportamiento caotico en estesistema para cierto rango de valores de parametros.

El fenomeno de caos consiste en la sensitividad extrema de la evolucion de unsistema dinamico determinista ante cambios en las condiciones iniciales del mismo,lo que conlleva a limitaciones en la prediccion del comportamiento de sistemasdeterministas. Una condicion necesaria para la ocurrencia de caos es la existenciade no linealidad en las ecuaciones que rigen la dinamica del sistema. El caos es unfenomeno muy comun en la Naturaleza, donde abundan los sistemas no lineales.

Si consideramos el lmite de pequenas oscilaciones, 1 0 y 2 0, las ecuacionesde movimiento pueden linealizarse usando la aproximacion sinx x, y cosx 1,para x 0, quedando

1 g(2 1)l1( 1) (1.247)

2 g(1 2)l2( 1) . (1.248)

Note que, en este caso, no se observa caos; el movimiento del sistema consiste enla superposicion de dos modos de oscilacion periodica con sus correspondientesfrecuencias: un modo en fase (1 = 2) y otro modo en fases opuestas (1 = 2).(Captulo 4).

6. Pendulo con soporte deslizante horizontalmente sin friccion.

Figura 1.40: Pendulo con soporte deslizante.

Coordenadas generalizadas son q1 = x1 y q2 = .

x2 = x1 + l sin , x2 = x1 + l cos y2 = l cos , y2 = l sin .

Energa cinetica,

T =12m1x

21 +

12m2(x21 + l

22 + 2x1l cos ). (1.249)


Energa potencial,V = m2gy2 = m2gl cos . (1.250)

Lagrangiano,

L = T V = 12(m1 +m2)x21 +

12m2(l22 + 2x1l cos ) +m2gl cos . (1.251)

Ecuacion de Lagrange para x1,

d

dt

(L

x1

) Lx1

= 0, (1.252)

dondeL

x1= 0,

L

x1= (m1 +m2)x1 +m2l cos . (1.253)

Luego, la ecuacion para x1 queda

(m1 +m2)x1 +m2l cos = cte Px, (1.254)

esta ecuacion expresa la conservacion de la componente Px del momento lineal totalen direccion del eje x, puesto que no hay fuerzas netas en esa direccion.

Ecuacion de Lagrange para ,

d

dt

(L

) L

= 0, (1.255)

donde

L

= m2lx1 sin m2gl sin ; L

= m2x1l cos +m2l2. (1.256)

Por lo tanto, la ecuacion de Lagrange para es

l + x1 cos x1 sin + x1 sin + g sin = 0, (1.257)

l + x1 cos + g sin = 0. (1.258)

7. Partcula en el campo gravitacional terrestre.

Figura 1.41: Partcula en el campo gravitacional terrestre..


El movimiento en el campo gravitacional uniforme de la Tierra ocurre en un planovertical; i.e., s = 2. Tomamos las coordenadas cartesianas (x, y) como coordena-das generalizadas. Supongamos que la partcula posee posicion inicial (xo, yo) yvelocidad inicial (vox, voy). Entonces,

T =12m(x2 + y2), V = mgy (1.259)

L = T V = 12m(x2 + y2)mgy. (1.260)

La ecuacion de Lagrange para x es

d

dt

(L

x

) Lx

= 0, (1.261)

la cual resulta en

mx = 0 x = 0 (1.262) x = b1t+ b2, (1.263)

con b1 y b2 constantes. Usando las condiciones iniciales en t = 0, obtenemos

x(t) = xo + voxt. (1.264)

La ecuacion de Lagrange para y es

d

dt

(L

y

) Ly

= 0, (1.265)

lo que conduce a

my +mg = 0 y = g (1.266) y = 1

2gt2 + c1t+ c2. (1.267)

Usando las condiciones iniciales, podemos expresar

y(t) = yo + voyt 12gt2 (1.268)

La trayectoria descrita por la partcula es una parabola,

y(x) = yo +voyvox

(x xo) g2v2ox(x xo)2. (1.269)

La trayectoria parabolica corresponde a la minima accion; mientras que la cicloidecorresponde al tiempo minimo entre dos puntos en el campo gravitacional terrestre.


8. Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.

Figura 1.42: Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.

Un punto cualquiera en el aro puede ubicarse con dos coordenadas, x y , lascuales estan ligadas por una restriccion no holonomica, que es la condicion derodar sin deslizar: x = R. Luego, hay un grado de libertad; se puede escoger comocoordenada generalizada a x o a .

La energa cinetica del aro es

T = Tcm + T relativa al CM (1.270)

donde Tcm es la energa cinetica de translacion,

Tcm =12mx2, (1.271)

y T rel. al CM es la energa cinetica de rotacion,

T rel. al CM =12I2 =

12(mR2)2 =

12mR22. (1.272)


V = mgh = mg(l x) sin. (1.273)Entonces, el Lagrangiano es

L = T V = 12mx2 +

12mR22 mg(l x) sin. (1.274)

Sustituyendo = x/R en L, obtenemos

L = mx2 +mgx sinmgl sin. (1.275)El termino constantemgl sin se puede suprimir en L, pues no afecta las ecuacionesde movimiento. La ecuacion de Lagrange para x es

d

dt

(L

x

) Lx

= 0 (1.276)

dondeL

x= mg sin,

L

x= 2mx. (1.277)


Luego,

x g2sin = 0. (1.278)

El aro baja por el plano rodando sin deslizar, con la mitad de la aceleracion quetendra si simplemente deslizara sin friccion.

9. Pendulo de longitud l y masa m cuyo soporte gira en un circulo de radio a en unplano vertical, con velocidad angular constante .

Figura 1.43: Pendulo con soporte en movimiento circular uniforme.

Expresamos = t. Luego,

x = a cost+ l sin , x = a sint+ l cos (1.279)y = a sint l cos , y = a cost+ l sin . (1.280)

Energa cinetica,

T =12m(x2 + y2) =

12m[a22 + l22 + 2al(sin cost cos sint)]. (1.281)

Energa potencial,V = mgy = mg(a sint l cos ). (1.282)

El Lagrangiano es

L = T V = 12m[l22 + 2al sin( t)] +mgl cos , (1.283)

donde hemos omitido terminos constantes (a22) y la derivada totaldf

dt= mga sint,

con f = mga

cost.


d

dt

(L

) L

= 0. (1.284)


donde

L

= mal cos( t)mgl sin ,

L

= ml2 +mal sin( t),

d

dt

(L

)= ml2 +mal( ) cos( t).

Sustituyendo en la ecuacion de Lagrange para , obtenemos

l2+ al cos( t) a2l cos( t) al cos( t) + gl sin = 0, (1.285)lo cual queda como

a2

lcos( t) + g

lsin = 0. (1.286)

Note que si = 0, la Ec. (1.286) corresponde a la ecuacion de movimiento de unpendulo simple.

En este sistema,V

t6= 0, por lo que la energa total E = T + V no se conserva;

se requiere un suministro continuo de energa para mantener girando el soporte delpendulo con velocidad angular constante.

10. Pendulo de resorte.

Figura 1.44: Pendulo de resorte.

El movimiento de la partcula ocurre en el plano vertical (x, y). Definimos k comola constante del resorte, l es la longitud del resorte en reposo (en ausencia de lamasa m), y r es la longitud del resorte con la masa m.

Las coordenadas generalizadas son q1 = r y q2 = . Entonces,

x = r sin y = r cos ,x = r cos + r sin y = r sin r cos .

(1.287)


La energa cinetica es

T =12m(x2 + y2) =

12m(r2 + r22). (1.288)


V =12k(r l)2 mgr cos . (1.289)

Entonces, el Lagrangiano es

L = T V = 12m(r2 + r22) 1

2k(r l)2 +mgr cos . (1.290)


d

dt

(L

) L

= 0, (1.291)

la cual se puede escribir como

r + 2r + g sin = 0. (1.292)

La ecuacion de Lagrange para r es

d

dt

(L

r

) Lr

= 0, (1.293)

que da como resultado,

r r2 + km(r l) g cos = 0. (1.294)

Este sistema exhibe comportamiento caotico para ciertos valores de sus parametros.

Figura 1.45: Coordenadas cartesianas y y x del pendulo de resorte para diferentes valoresde su energa E = T + V . Izquierda: comportamiento regular. Derecha: caos.


11. El soporte de un pendulo plano de masa m y longitud l rota sin friccion con velo-cidad angular uniforme alrededor del eje vertical z.a) Encontrar la ecuacion de movimiento del pendulo.b) Encontrar el angulo de equilibrio del pendulo.

Figura 1.46: Pendulo con soporte giratorio.

La coordenada generalizada es q = .

a) Para encontrar la ecuacion de movimiento, expresamos

x = l sin cost,y = l sin sint,z = l cos ,

(1.295)

y las velocidadesx = l cos cost l sin sinty = l cos sint+ l sin costz = l sin .

(1.296)

La energa cinetica es

T =12m(x2 + y2 + z2

)=

12ml2

(2 + 2 sin2

). (1.297)

La energa potencial correspondiente es

V = mgz = mgl cos . (1.298)

El Lagrangiano es

L = T V = 12ml2

(2 + 2 sin2

)+mgl cos . (1.299)


d

dt

(L

) L

= 0, (1.300)


la cual resulta en 2 sin cos + g

lsin = 0 . (1.301)

b) En los puntos de equilibrio, las fuerzas netas se anulan y las coordenadas gene-ralizadas qj satisfacen la condicion qj = 0 (aceleracion se hace cero).

El angulo de equilibrio o del pendulo esta dado por la condicion = 0 en laecuacion de movimiento,

= 0 2 sin o cos o = glsin o (1.302)

Hay dos posibles soluciones,

sin o = 0 o = 0, (1.303)2 cos 0 =

g

l o = cos1

( g2l

). (1.304)

12. Regulador volante.

Figura 1.47: Regulador volante.

El punto O en extremo superior esta fijo. La longitud a de la varilla es constante.La masa m2 se mueve sin friccion sobre el eje vertical y que pasa por el puntoO, mientras que las masas dos masas m1 giran con velocidad angular constante alrededor del eje y.

Las coordenadas para m2 son

x2 = 0y2 = 2a cos z2 = 0

(1.305)

Las coordenadas para una de las masas m1 son

y1 = a cos ,x1 = a sin sint,z1 = a sin cost.

(1.306)


Coordenadas para la otra masa m1,

y1 = y1,x1 = x1,z1 = z1.

(1.307)

Hay un solo grado de libertad. Se puede tomar la coordenada generalizada q = .

Tenemos,

T =122m1(x21 + y

21 + z

21) +

12m2y

22

= m1(a22 + 2a2 sin2 ) + 2m2a22 sin2 .V = 2m1gy1 +m2gy2 = 2m1ga cos 2m2ga cos .L = T V = m1(a22 + 2a2 sin2 ) + 2m2a22 sin2 + 2(m1 +m2)ga cos .


d

dt

(L

) L

= 0, (1.308)

donde

L

= 2m1a2 + 4m2a2 sin2 ,

d

dt

(l

)= 2m1a2 + 4m2a2( sin2 + 22 sin cos ),

L

= 2m12a2 sin cos + 4m2a22 sin cos 2(m1 +m2)ga sin ,

Sustituyendo en la ecuacion de Lagrange, obtenemos

2a2(m1 + 2m2 sin2 ) + 4m2a22 sin cos (1.309)2m12a2 sin cos + 2(m1 +m2)ga sin = 0,

Note que si = 0 y m2 = 0, la ecuacion se reduce a

+g

asin = 0, (1.310)

que es la ecuacion del pendulo simple.

13. Encuentre la ecuacion de movimiento de una partcula de masa m que se mueve enuna dimension x, cuyo Lagrangiano es

L =12m(x2 2x2)et, (1.311)

donde las constantes y son cantidades reales y positivas.


La ecuacion de Lagrange es

d

dt

(L

x

) Lx

= 0, (1.312)

dondeL

x= metx,

L

x= m2xet, (1.313)

lo que conduce ax+ 2x+ x = 0, (1.314)

que es la ecuacion de un oscilador armonico amortiguado. La fuerza restauradoraes m2x y la fuerza de friccion proporcional a la velocidad es mx. Note que

T =12mx2et, V =

12m2x2et. (1.315)

La energa mecanica total no se conserva en este sistema, puesto queV

t6= 0.


1.7. Problemas

1. El principio de Fermat establece que la propagacion de la luz entre dos puntosdados sigue la trayectoria de mnimo tiempo.a) Determine la trayectoria de un rayo de luz dentro de un disco cristalino de radioa, grosor despreciable, y cuyo ndice de refraccion n varia radialmente comoa) n(r) = a/r.b) n(r) = a/r2.c) Encuentre n(r) tal que un rayo de luz dentro de este disco describa una trayec-toria circular.

2. Calcule la trayectoria que da la distancia mas corta entre dos puntos sobre lasuperficie de un cono invertido, con angulo de vertice . Use coordenadas cilndricas.

3. Determine la curva y(x) para la cual alcanza su valor extremo la integral I = pi/20

[(y)2 y2] dx, tal que y(0) = 0, y(pi/2) = 1.

4. Calcule el valor mnimo de la integral

I = 10

[(y)2 + 12xy

]dx,

donde la funcion y(x) satisface y(0) = 0 y y(1) = 1.

5. En los paramos andinos se encuentra el pueblo A y, a una distancia de 2pi Kmal este de A, esta el pueblo B. El terreno entre estos dos pueblos es muy irregu-lar y no hay carreteras asfaltadas. Sin embargo, la experiencia ha indicado quela velocidad de un ciclista en bicicleta montanera en esa zona se puede expresaraproximadamente como v = 10(Km/h) ey/3, donde y es la distancia en Km medidaperpendicularmente a la lnea recta que une A y B. Cual es el mnimo tiempo quetardara un ciclista entre los pueblos A y B?.

6. La forma adoptada por una cuerda uniforme de densidad que cuelga suspendidaentre dos puntos en un campo gravitacional corresponde al mnimo de su energapotencial. Determine esa forma.

1.7. PROBLEMAS 67

7. Encuentre la geodesica (i.e. la trayectoria de menor distancia) entre los puntosP1 = (a, 0, 0) y P2 = (a, 0, pi) sobre la superficie x2+y2a2 = 0. Use coordenadascilndricas.

8. Un cuerpo se deja caer desde una altura h y alcanza el suelo en un tiempo T . Laecuacion de movimiento concebiblemente podra tener cualquiera de las formas

y = h g1t, y = h 12g2t2, y = h 1

4g3t

3 ;

donde g1, g2, g3 son constantes apropiadas. Demuestre que la forma correcta esaquella que produce el mnimo valor de la accion.

9. El Lagrangiano de una partcula de masa m es

L =m2x4

12+mx2f(x) f2(x),

donde f(x) es una funcion diferenciable de x. Encuentre la ecuacion de movimiento.

10. Encuentre la ecuacion de movimiento de un pendulo parametrico, el cual consiste enun pendulo de masa m cuya longitud se hace variar de la forma l = lo(1+ b sint).

11. Una varilla de peso despreciable esta suspendida de un extremo, de modo que puedeoscilar en un plano vertical. Una partcula de masa m se desliza sin friccion a lolargo de la varilla.a) Encuentre la energa de la partcula.b) Obtenga las ecuaciones de movimiento de la partcula.

12. Una partcula de masa m se mueve sin friccion sobre un aro de radio R, el cual giracon velocidad angular uniforme alrededor de su diametro vertical.a) Derive la ecuacion de movimiento de la partcula.b) Encuentre la posicion de equilibrio de la partcula.

13. Una partcula de masa m se desliza sin friccion sobre un aro de radio a, el cual rotacon velocidad angular constante alrededor de su diametro horizontal. Cual es laecuacion de movimiento de la partcula?.


14. Obtenga las ecuaciones de movimiento de un pendulo esferico, es decir, una partcu-la de masa m suspendida de una varilla rgida, sin peso y sin friccion, cuya longitudes l

15. Un pendulo compuesto esta formado por una varilla de masa despreciable y longitudl, con un extremo fijo y el otro conectado al punto medio de una segunda varilla sinmasa de longitud a, (a < l), en cuyos extremos hay dos masas m1 y m2. Las varillaspueden rotar sin friccion en un mismo plano vertical. Encuentre las ecuaciones demovimiento de este sistema.

16. Un aro de radio R y masa despreciable cuelga de un punto de su borde de modo quepuede oscilar en su plano vertical. Una partcula de masa m se desliza sin friccionsobre el aro. Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partcula.

17. Un sistema consiste en una partcula de masam que se mueve verticalmente colgadade un resorte de constante k y de la cual cuelga a su vez un pendulo de longitud l ymasa m. Desprecie la masa de la varilla del pendulo y considere que este se mueveen un plano vertical. Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.

18. Encuentre la ecuacion de movimiento para el parametro angular en el problemade la braquistocrona.

19. Una manera de simular gravedad en una nave espacial es mediante rotacion. Con-sidere un pendulo de longitud l y masa m dentro de una nave, y cuyo soporte giraen un crculo de radio R con velocidad angular constante en el mismo plano delpendulo. Calcule tal que el angulo con respecto a la direccion radial describael mismo movimiento que tendra este pendulo colgado verticalmente de un puntofijo en el campo gravitacional terrestre.

1.7. PROBLEMAS 69

20. Una masa m unida a una cuerda se mueve sin friccion sobre una mesa tal que elotro extremo de la cuerda pasa a traves de un agujero en la mesa y esta halado poralguien. Inicialmente, la masa se mueve en un crculo, con energa E. La cuerda eshalada a continuacion, hasta que el radio del crculo se reduce a la mitad. Cuantotrabajo se hizo sobre la masa?.

21. Una cuerda de masa despreciable pasa a traves una polea fija y soporta una masa2m en un extremo. En el otro extremo de la cuerda se encuentra una masa m y,colgando de esta por medio de un resorte de constante k, hay otra masa m.a) Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.b) Encuentre la posicion de la masa que cuelga del resorte en funcion del tiempo.

22. Una partcula de masa m y carga q1 se mueve sin friccion sobre la superficie de unaesfera de radio R en el campo gravitacional terrestre. Otra carga q2 se encuentrafija en el punto mas bajo de la esfera.a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la primera carga.b) Encuentre la posicion de equilibrio de la primera carga.

23. Dos masas, m1 y m2, estan conectadas por una cuerda de longitud l a traves deun agujero en el vertice de un cono vertical con angulo de vertice , de maneraque m1 se mueve sobre la superficie interior del cono y m2 cuelga verticalmente.Desprecie la friccion.a) Determine las ecuaciones de movimiento del sistema.b) Calcule el radio de equilibrio de m1.


24. Una partcula de masa m y carga q se desliza sin friccion sobre una varilla de masadespreciable que puede girar en un plano vertical alrededor de un extremo fijo. Enel extremo fijo de la varilla hay una carga puntual fija q, la cual esta conectada ala partcula movil mediante un resorte de constante k.a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partcula.b) Calcule la energa del sistema.

25. Una partcula de masa m esta atada a una cuerda de masa despreciable fija a uncilindro de radio R. La partcula se puede mover sobre un plano horizontal sinfriccion. Inicialmente, la cuerda se encuentra totalmente enrollada alrededor delcilindro, de modo que la partcula toca al cilindro. Se le da un impulso radial ala partcula, tal que esta adquiere una velocidad inicial v0 y la cuerda comienza adesenrrollarse.a) Encuentre la ecuacion de movimiento en terminos de una coordenada generali-zada apropiada.b) Encuentre la solucion que satisface las condiciones iniciales.c) Calcule el momento angular de la partcula con respecto al eje del cilindro,usandoel resultado de (b).

26. Una partcula de masa m1 cuelga de una varilla de masa despreciable y longitud l,cuyo punto de soporte consiste en otra partcula de masa m2 que se mueve horizon-talmente sujeta a dos resortes de constante k cada uno. Encuentre las ecuacionesde movimiento de este sistema.

27. Un aro uniforme de radio a y masa m rueda sin deslizar dentro de un cilindro fijode radio R, (R > a). Encuentre el perodo para pequenas oscilaciones del aro.

1.7. PROBLEMAS 71

28. Una partcula de masa m se desliza sin friccion por un cable recto muy largo, elcual esta conectado en un punto P perpendicularmente a una varilla de longitudl, formando un plano vertical en el campo gravitacional terrestre. La varilla giracon respecto a su otro extremo fijo O en el plano vertical, con velocidad angularconstante . Las masas de la varilla y del cable son despreciales.a) Se conserva la energa mecanica de la partcula?.b) Encuentre y resuelva la ecuacion de movimiento de la partcula.

Captulo 2

Leyes de conservacion ysimetras

2.1. Momento conjugado

Dado un sistema caracterizado por un Lagrangiano L(qj , qj , t), se define la cantidad

pj Lqj

(2.1)

como el momento conjugado (o canonico) asociado a la coordenada generalizada qj .La cantidad pj no tiene necesariamente unidades de momento lineal; puede tambiencorresponder a momento angular u a otras cantidades.

Si un Lagrangiano L de un sistema no contiene explcitamente una coordenada qj(puede contener qj , t), se dice que qj es una coordenada cclica o ignorable.

Si qj es cclica, entoncesL

qj= 0, (2.2)

y la ecuacion de Lagrange para una coordenada cclica qj resulta en

d

dt

(L

qj

)=dpjdt

= 0, (2.3)

pj = cte. (2.4)Es decir, el momento conjugado pj asociado a una coordenada ciclica qj es constante.Luego, la cantidad pj = cte constituye una cantidad conservada, llamada tambien unaprimera integral del movimiento.

En general, si el Lagrangiano de un sistema no depende explcitamente de una coor-denada que representa un desplazamiento en una direcc

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Guia Mecanica Clasica