Guia Probabilidad Con Parciales Resueltos

GUA DE PROBABILIDAD CON PARCIALES RESUELTOS 1. Introduccin a la teora de probabilidad e inferencia estadstica. En la UNA, probabilidad e inferencia estadstica son dos asignaturas. Sin embargo, ambas son dos caras de la misma moneda y su aprendizaje se facilita, si se tiene presente que la separacin es nicamente para fines acadmicos, en la realidad, la separacin no existe. Simplemente son dos enfoques para tratar un mismo tipo de problema. Hagamos el siguiente experimento mental: Suponga que se arrojan 40 metras blancas y 60 rojas en una bolsa negra. La bolsa se agita bien. Se introduce la mano, se saca una metra y sin abrir la mano se pregunta: De que color es la metra que tengo en la mano? La respuesta correcta es: "No se porque no soy adivino, pero es 40% probable que sea blanca y 60% probable que sea roja". Esto es teora de probabilidad en accin. Variemos un poco el experimento. Suponga que arrojan la misma cantidad de total de metras (100) y los mismos colores, pero en una proporcin desconocida. Se sacan 10 metras y se muestran; hay tres blancas y siete rojas. La proporcin de metras blancas seria 3/10. Se pregunta: Est proporcin que existe en la muestra, se mantiene en la bolsa? Esto es inferencia estadstica en accin. Cuando se va del conocimiento de la poblacin a la muestra, es probabilidad. Cuando se va del conocimiento de la muestra a la poblacin, es inferencia. Incidentalmente, por esto es que se dice "muestra", por que se muestra lo que se saca de la bolsa (yo me di cuenta de esto al ratoooooo, duh!) En ambos casos se trata de conocer algo que se no se conoce, lo que vara es el punto de partida.

***** 2. El verdadero problema al resolver problemas de probabilidad. Recuerdan la mancha negra de la autopista Caracas - La Guaira? Bueno, resolver problemas de probabilidad, es como manejar por esa va, con la mancha negra, de noche, sin luces. Ah, tambin est lloviendo y tienes el limpia parabrisas malo.

Elaborado por: Pedro Pablo Pacheco Daz. eMail: [email protected] 1/28

Por que? Bueno porque en el calculo de probabilidades es posible obtener resultados que son simultneamente correctos desde el punto matemtico, pero incorrectos desde el punto de vista de la teora de probabilidad. Hagamos otro experimento mental. Supongamos dos amigos, a los que llamaremos Kirk y Spock y que tienen aos luz sin verse. Un da ambos se encuentran en la calle y tienen una conversacin para ponerse al da: Kirk: Tienes hijos? Spock: Si, tengo dos. Kirk: De que sexo son? Spock, como es medio impertinente responde: Uno de ellos es varn, Cual es la probabilidad de que ambos lo sean? Kirk: Bueno, 1/2 es decir 50%, no? A fin de cuentas el sexo de un hijo no influye en el sexo del siguiente y para cada sexo la probabilidad es 50% Spock: Ehhhh, no. La respuesta correcta es 1/3 o 33,3%. Fin de la conversacin. Bien, la respuesta correcta es 1/3. Si crees que estoy equivocado, por favor sigue leyendo antes de replicarme. Para entender la solucin, hagamos una tabla con los casos posibles: Primer hijo Segundo hijo Caso 1: Varn Varn. Caso 2: Hembra Varn. Caso 3: Varn Hembra. Caso 4: Hembra Hembra. Aclaratorias: Es verdad que el sexo de un hijo no influye en el sexo del siguiente. Y tambin es verdad que la probabilidad para cada sexo es 50%; pero esto no implica que 1/2 sea la respuesta correcta. Es decir; Kirk tiene razn, pero va preso. Los casos 2 y 3; NO son iguales. Es igual ser el hermano mayor que no serlo? Yo soy el hermano mayor en mi casa, y les puedo garantizar que


hay privilegios. A los hermanos menores les toca todo lo usado. Esto no es una multiplicacin; en probabilidad el orden si importa. El caso 4 no aplica, por lo tanto quedan tres casos. Como ya se sabe que uno es varn, se sigue que el caso 1 es el adecuado. Entonces la probabilidad de que el otro tambin lo sea es 1/3 (un caso favorable entre tres casos posibles). Variemos un poco el problema; todo sigue igual con la excepcin que Spock anda con uno de sus dos hijos. Un varn llamado Scotty (futuro estudiante de ingeniera). Ocurre la siguiente conversacin: Kirk: Cuantos hijos tienes? Spock: Tengo dos, el es Scotty, uno de ellos. Kirk: De que sexo es el otro? Spock: Cual es la probabilidad de que sea varn? Fin de la conversacin. Lector, Cual es la probabilidad de que sea varn? Si, 50% o 1/2. Ya te diste cuenta de porque es tan fcil patinar en probabilidad? Como es posible que una misma situacin (familia con dos hijos, al menos uno de ellos varn), planteada de distinta forma, vare la probabilidad? Bueno, porque en el primer caso, lo que se desea calcular es la probabilidad de que en las familias de dos hijos, los dos sean varones si se sabe que al menos uno lo es. Es decir, se estudian tipos de familia. En el segundo caso, lo que se desea calcular es la probabilidad de que un nio varn, tenga un hermano varn, sabiendo que son dos hermanos. El sexo de un hijo no influye en la probabilidad del sexo del otro. Son eventos independientes. Por eso es 50%. Se tira una moneda y sale cara. Cual es la probabilidad de que el prximo lanzamiento salga cara?, 50%. La probabilidad no varia porque la moneda no tiene memoria, "no se acuerda" de lo que salio antes. Es exactamente la misma situacin que en el segundo ejemplo.


Estas de acuerdo lector en que en el primer ejemplo la respuesta es 1/3 y en el segundo 1/2? Si no estas de acuerdo, replcame y te espero a la salida. Resulta apropiada la cita de Einstein: "Para cada problema, hay una solucin que es simple, obvia y equivocada". Con esto cierro la introduccin a la teora de la probabilidad. Vamos con la materia como tal.

***** 3. Descripcin de la asignatura. La materia est conformada por ocho objetivos, lo que la hace relativamente corta. Pareciera que es fcil. Pero esto es una ilusin que se desvanece al ver la evaluacin: tres parciales de tres horas cada uno, y una integral de cuatro horas! Distribucin de objetivos: primer parcial, tres; segundo parcial, dos; tercer parcial, tres; integral, ocho. Los objetivos: 1, 2, 3 y 4; estn fuertemente acoplados. Hay que estudiarlos en bloque. Los objetivos: 5 y 6 forman un binomio. Los objetivos: 7 y 8 son relativamente autocontenidos. Por relativamente autocontenidos quiero decir que la relacin con los otros objetivos existe, pero es dbil. Esto implica que cada uno se puede estudiar en forma relativamente independiente. Por binomio quiero decir que la relacin entre ambos objetivos es fuerte. Esto implica que no se pueden estudiar de forma independiente. Desde el punto de vista de la matemtica; la dificultad es baja, bsicamente algebra. Hay un objetivo (el 6) que a lo mejor requiere resolver una integral, pero la funcin es tan simple, que la integral es directa, nada que ver con las integrales de matemtica 2 y 3. La verdadera dificultad est en plantear el problema adecuadamente. La razn, la explique en la introduccin. La subjetividad al momento de interpretar el enunciado, es un peligro claro y presente. El enfoque


obvio es muy seductor, pero en muchos casos, lo obvio resulta ser un canto de sirena.

***** 4. Estrategia de estudio recomendada basada en mi experiencia. Con esta materia comet varios errores que casi me la cuestan. Qu fue lo que paso? Esta, es mi historia. Para el primer parcial, respond las tres preguntas, pero tuve una mala. Ok, llevo dos objetivos aprobados. Para el segundo parcial, respond las dos preguntas, pero tuve una mala. Ok, llevo tres objetivos aprobados. Para el tercer parcial, la preparacin fue psima. Se me vino la fecha del examen y decid apostar. Perd. Para poner las cosas en perspectiva, fue como si me pusieran unas esposas y me obligaran a pelear contra el ruso de Rocky 4. Lo nico que tuve bueno, fue mi nombre y el numero de cedula. De las tres preguntas, solo respond una, y la tuve mala. De tres, tres; Ponchao! Ok, esto no pinta nada bien, tres parciales y solo tres objetivos aprobados. Mientras estaba en el hospital recuperndome de la golpiza, empiezo a concebir la estrategia para el cuarto y ultimo round. El definitivo, la integral. Para orientar el proceso de toma de decisiones considero lo siguiente: * Donde estoy: Total de objetivos: 8. Se aprueba con: 5. Llevo aprobados: 3.


* Para donde voy: Objetivos requeridos para aprobar con 10/10 (lo mximo): 5. Objetivos requeridos para aprobar con 6/10 (lo mnimo): 2. * Limitaciones y recursos: La cercana de la integral limita el tiempo disponible de estudio. Llegados a este punto; recuerden la escena del hundimiento del Titanic, el barco se hunde, as que la primera medida es tirar por la borda todo lo que hace peso. En mi caso, me di cuenta que no era posible preparar cinco objetivos para la integral, simplemente no tenia tiempo. Pero preparar solo dos objetivos era demasiado arriesgado, debera tener los dos buenos para aprobar. As que me decido por tres objetivos (dos mnimo + uno en reserva). De los cinco objetivos disponibles, tire dos por la borda. Cuales? Los mas difciles (para mi, fueron el 6 y el 7, para ti pudieran ser otros). Ya tena un conocimiento exacto de la asignatura (ya haba presentando los tres parciales). As que no volv a apostar, sino que tome un riesgo calculado. Comienza el entrenamiento para la integral (en esta parte reproduzcan mentalmente la cancin "ojo de tigre" de Rocky). Apelo a una tcnica llamada "sobre aprendizaje" que consiste en estudiar un tpico mas all del punto en el que se ha alcanzado dominio. Como funciona: (1) Estudiar la asignatura con problemas de dificultad creciente (para materias numricas). (2) Alcanzar y reconocer el punto de dominio. El dominio ocurre cuando disminuye drsticamente la dificultad percibida de los problemas. Simplemente los problemas "se resuelven solos", prcticamente sin pensar. (3) Llegados a este punto, se produce el aburrimiento, no provoca seguir estudiando porque "ya sabes". (4) Se ignora el aburrimiento y se sigue estudiando. Esta tcnica funciona? Si no funciona, Como aprendiste a multiplicar?


La idea es "incrustar" en el cerebro el conocimiento. Exagerando un poco, si te despiertan a las 3 de la maana y te preguntan algo sobre el contenido, debes ser capaz de responder de forma inmediata. Para responder esos tres problemas, resuelvo 60 problemas. Es un periodo de das cortos y noches largas. Llega el da de la integral, suena la campana y comienza la pelea.

***** 5. Resultados obtenidos. Estudie tres objetivos, respond tres objetivos, tuve buenos tres objetivos. Apruebo 6 objetivos de 8, para una calificacin de 7/10.

***** 6. Lecciones aprendidas: * Esta materia la curse en el 2010 - 1. Que hice en diciembre 2009?, Estudiar? NOOOOOOO; mas bien lo que hubo fue: hallaca + pan de jamn + torta negra + ... (no es necesario hacer el test de convergencia para saber que esta serie diverge). Para el estudiante UNA las vacaciones acadmicas son una fuente valiossima de tiempo, de hecho, una estrategia muy buena es cursar las materias fuertes en el segundo termino del ao, para usar el receso de "verano" para preparase con todos los hierros. * Mi investigacin preliminar fue prcticamente nula. No saba muy bien a que me iba a enfrentar. ("Conoce a tu enemigo y concete a ti mismo y en 100 batallas no conocers la derrota". Sun Tzu. El arte de la guerra.)

* Planificar el estudio. Mi error en el tercer parcial fue intentar preparar tres objetivos en una semana. No pude preparar bien ninguno, y llegue al parcial con tres objetivos mal preparados. Lo correcto era reconocer que no haba tiempo y preparar uno, a lo sumo dos objetivos. Por buscar tres logre cero.


* Dependencia excesiva del libro oficial. Deb haber variado mis fuentes de informacin desde el primer da. Ese libro se las trae. No conformarse.

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7. Estructura de la gua. Primero aparecen los enunciados. Luego divido la retroalimentacin en dos partes, bsica y extendida. La retroalimentacin bsica consiste nicamente en la respuesta. La retroalimentacin extendida consiste en la solucin desarrollada. Para sacar el mximo provecho de esto, sugiero en principio usar nicamente la retroalimentacin bsica. Si no se obtiene la respuesta despus de insistir varias veces, entonces apelar por la retroalimentacin extendida. Es desaconsejable acudir directamente a la solucin extendida sin hacer un esfuerzo inicial. Actuar de esta forma disminuye notablemente la calidad del aprendizaje, ya que nunca ser igual desarrollar la solucin uno mismo, que analizar la solucin desarrollada por otro. Particularmente en fsica y matemtica el parto es mas importante que el muchacho (esto ya lo hemos hablado). Tambin es ventajoso revisar la solucin extendida si se ha logrado resolver el problema. Esto permite comparar soluciones, aprender distintos enfoques y enriquecer el aprendizaje. Para cerrar este apartado, otra sugerencia es trabajar contrarreloj para acostumbrarse. Si el parcial dura tres horas y son tres problemas, pues no se puede pasar de una hora por problema. Si se toma mas tiempo, necesariamente es a costa del tiempo de solucin de los problemas restantes.

***** El que desee contactarte para una aclaratoria adicional sobre las respuestas, puede hacerlo sin problema. Mi correo est en mi perfil y en las hojas del documento.



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