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UNIVERSIDAD DR. JOSÉ MATÍAS DELGADO
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Industrial
GUIA TEORIA DE COLAS
Investigación de Operaciones II
Ing. René Hernán Linares Silva
Presentado por:Mercy Johanna Alvarenga AmayaVíctor Manuel Monrroy CamposJosé Simón Parada ParadaAndrea Vanessa Erroa Murcia
San Salvador, Jueves 8 de septiembre del 2011
1
1. En el departamento de servicio de la agencia de automóviles Glenn-Mark, los
mecánicos que necesitan recambios para la reparación o el servicio de un
automóvil presentan sus formularios de solicitud en el mostrador del
departamento de recambios. El empleado del departamento llena una solicitud
mientras el mecánico espera. Los mecánicos llegan en forma aleatoria (Poisson)
a una tasa de 40 por hora y un empleado puede llenar 20 solicitudes por hora
(exponencial). Si el costo de un empleado del departamento de recambios es de
$ 6 por hora y el de un mecánico es de $ 12 por hora, determine el número
óptimo de empleados para el mostrador.
Modelo (M/M/C): (GD/∞/∞)
λ = 40 /hr
µ = 20 /hr
C1= costo de empleado = $6/hr
C2=costo de maquina $12/hr
= costo optimo
Ls (c) – Ls (c+1)≤ c1 ≤ Ls (c-1)- Ls (c )
Ls=Lq + ρ
C1/C2= 6/12=1/2
Para un servidor Ls= ∞
Para dos servidores Ls= ∞
Para tres servidores
Po= 0.059
2
Ls=Lq+ρ
Ls=0.4706 +2 =2.4706 solicitudes
Para cuatro servidores
Po= 0.0857
Ls = 0.1143+2 =2.1143
Para cinco servidores
Po= 0.10843
Ls= 0.0231+2 =2.0231
c Ls (c ) Ls (c-1)- Ls( c )1 ∞ ∞2 ∞ ∞3 2.4706 0.54 2.1143 0.35635 2.032 0.0823
Ls(3) - Ls(4)=0.3563<0.5<∞= Ls(2) - Ls(3)
El numero optimo de servidores es 3
C=3
2. Lubrirrápido es un taller de servicio rápido de lubricación y cambio de aceite
para automóviles. En un día típico, los clientes llegan a una tasa de tres por hora
y los trabajos de lubricación se realizan a un promedio de uno cada 15 minutos.
Los mecánicos trabajan en equipo, en un automóvil a la vez.
Suponiendo que las llegadas son aleatorias y el servicio es exponencial,
encuentre:
a) La utilización del equipo de lubricación.
3
b) El número promedio de automóviles en espera.
c) El tiempo promedio que espera un automóvil para lubricación.
d) El tiempo total del paso por el sistema (el tiempo de espera en cola más el
tiempo de lubricación).
Modelo (M/M/1): (GD/∞/∞)
λ = 3 clientes/hr
µ = 15 minutos osea 4 clientes cada hora
µ = 4 clientes /hr
a) ρ = λ / µ
ρ = ¾ = 0.75
b)
c)
d) Ws=Ls/λ
Ws=3/3= 1hr
3. La compañía Máquinas de Alimentos, S. A., produce máquinas vendedoras de
alimentos para una gran universidad. La gerencia tiene un constante problema
de mantenimiento, ya que los estudiantes golpean las máquinas cada vez que
se enojan. El promedio de averías es de tres por hora y tienen una distribución
de Poisson. Los períodos de inactividad tienen un costo de $ 25 por hora por
máquina para la compañía y cada mecánico recibe $ 4 por hora. Un trabajador
puede reparar máquinas a una tasa promedio de cinco por hora, distribuida
exponencialmente; dos trabajadores, juntos, pueden atender siete por hora, con
distribución exponencial; y un equipo de tres mecánicos pueden reparar ocho
por hora (distribución exponencial). ¿Cuál es el tamaño óptimo del grupo de
mecánicos para reparar las máquinas?
Modelo : (M/M/R) (GD/∞/∞)
Λ= 3 maq./horaµ1= 5 maq./horaµ2= 7 maq./horaµ3= 8 maq./hora
ws = 1/µ-λ
w1= 1/(5-3)= ½ horas ($ 25)
4
costo improductivo = ($12.5)
w2 = 1/(7-3) = ¼ horas ($25)costo improductivo ($6.25)
w3= 1/(8-3) = 1/5 horas ($25)costo improductivo ($5.00)
CT1=$12.5(3) + $4(1) = $41CT2=$6.25(3) + $4(2)=$26CT3=$5.00(3) + $4(3) =$27
El tamaño optimo es de 2 mecanicos .
4. Una cafetería tiene una jarra de café de donde los clientes se sirven. Las
llegadas a la jarra siguen una distribución de Poisson con tasa de tres por
minuto. El tiempo para servirse es de unos 15 segundos, distribuidos
exponencialmente.
a) ¿Cuál sería el promedio de clientes en la jarra de café?
b) ¿Cuánto tiempo tendría que esperar para servirse una taza de café?
c) ¿Cuál es el porcentaje de tiempo de uso de la jarra?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que estén tres o más personas en la cafetería?
λ = 3 personas / minuto μ = 4 personas / minuto ρ = ρ =
ρ = 0.75
a)
b) Wq = 0.5625 minutos
c)
d) P(x>2) = 1- (P0 + P1 + P2) P(x>2) =1-[(1-0.75) + (1-0.75)(0.75) + (1-0.75)(
)
P(x>2) = 0.4218
5. El Servicio de Impuestos NOL analiza sus operaciones de servicio al cliente
durante el mes anterior a la fecha límite de abril. Con base en datos anteriores,
se ha estimado que los clientes llegan de acuerdo con una distribución de
Poisson con un tiempo promedio entre llegadas de 12 minutos. El tiempo
necesario para llenar un formulario de declaración de impuestos para cada
cliente está distribuido exponencialmente con una media de 10 minutos. Con
base en esta información, responda a las siguientes preguntas:
a) Si fuera a NOL, ¿cuánto tiempo debería esperar para que elaboraran su
declaración de impuestos?
b) En promedio, ¿cuánto espacio debe asignarse al área de espera?
5
c) Si el servicio de NOL funcionara 12 horas al día, ¿cuántas horas al día, en
promedio, estaría ocupada la oficina?
d) ¿cuál es la probabilidad de que el sistema esté inactivo?
e) Si la tasa de llegadas permaneciera sin cambios, pero el tiempo promedio en
el sistema tuviera que ser de 45 minutos o menos,¿qué habría que cambiar?
λ = 12 min = 5/horaμ = 10 min = 6/hora ρ = 5/6 = 0.83333
a) Wq= ρ/( μ(1- ρ)) = 0.8333/(6(1-0.8333) = 50 min
b) Lq = ρ²/ (1- ρ) = 0.8333²/(1-0.8333) = 4.1667 = 5 espacios
c) ĉ = ρ = 0.8333
100%---------12hor 83.33----------x x = 10hor
d) c = 1- ρ = 1-0.8333 = 0.1667
e) Ws = < 45 min λ = 5/hora
Ws = 1/( μ(1-5/ μ)) = 0.75 horas despejando μ μ = 6.3333/ hora = 9.47 min
6. En el puesto de inspección de la frontera de California, los vehículos llegan a una
tasa de 10 por minuto, en una distribución de Poisson. Para hacer más sencillo el
problema, suponga que sólo hay un carril y un inspector, quien puede
inspeccionar 12 vehículos por minuto en forma distribuida exponencialmente.
a) ¿Cuál es la longitud promedio de la cola?
b) ¿Cuál es el tiempo promedio que debe esperar un vehículo para pasar por el
sistema?
c) ¿Cuál es la utilización del inspector?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que, al llegar, estén formados tres o más
vehículos delante de usted?
6
Modelo (M/M/1): (GD/∞/∞)
λ = 10 autos /min
µ = 12 autos /min
ρ = λ / µ
ρ = 10/12 = 0.8333
a)
Lq= 4.155 personas
b)Ws = 1/µ ( 1 – ρ)Ws= 1/12( 1 – 0.8333)Ws= 0.499 minutos
c)ρ = λ / µ
ρ = 10/12 = 0.8333
ρ= 83.33 %
d) P(x ≥ 3) = 1 -
= 0.5706
7. Considere el sistema de servicio atendido por una persona que tarda 10 minutos
en satisfacer las necesidades de un cliente. Los clientes llegan a este sistema a
una tasa de cinco por hora.
a) ¿Cuántos clientes esperarían en cola?
b) ¿Cuál sería el tiempo total de un cliente en el sistema?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que existan tres clientes o más en el sistema?
Modelo (M/M/1) (GD/∞/∞)
Λ= 5 clientes /horaµ=6 clientes /hora
ƥ= λ/µƥ=5/6
7
ƥ=0.833
ws=10 minutos = 0.1667 hora
a) ¿Cuántos clientes esperarían en cola?
lq= ƥ^2/ (1-ƥ) lq= (0.833) ^2/(1-0.833) lq= 4.17 clientes
b) ¿Cuál sería el tiempo total de un cliente en el sistema?
W= wq + wsW= (lq/λ) + (1/µ(1-ƥ))W=( 4.17/5) + (1/6(1-0.833)W= 1.834 horasW= 1 hora, 50 minutos con 24 segundos
c)¿Cuál es la probabilidad de que existan tres clientes o más en el sistema?
P(n≥3)= 1[(1-0.833)+(1-0.833)(0.833)^1 + (1-0.833)(0.833)^2]P(n≥3)=0.5787
La probabilidad que existan mas de 3 clientes en el sistema es de 57.87%
8. En Nueva York, el túnel Holland que corre bajo el río Hudson cobra peaje. Un día,
durante algunas horas sólo funcionaba una de las casetas de cobro. A esta
caseta llegaban un promedio de 750 automóviles por hora y el cobrador tardaba
cuatro segundos para atender a cada conductor.
a) ¿Cuál fue la utilización del cobrador de la caseta?
b) ¿Cuánto tiempo tardaría un conductor en llegar, pagar el peaje y continuar?
c) ¿Cuántos automóviles estarían en el sistema?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren más de cuatro vehículos en el
sistema?
Modelo (M/M/1): (GD/∞/∞)
λ = 750 autos/hr
µ = 3600/ 4 = 900 autos/hr
a) ρ = λ / µ
ρ = 750/900 = 0.8333
b)
c) Ls= Ws λ
8
Ls=0.0066(750)Ls=4.999 = 5 clientes
d) P(x > 4) = 1- ( Po)Po= 1- ρ = 1 – 0.8333=0.1667
P(x>4)= 1 -
= 0.4017
9. Una mecanógrafa puede, en promedio, escribir una carta en ocho minutos. Esta
mecanógrafa trabaja para un gran número de personas, quienes le envían una
carta para mecanografía cada 10 minutos.
a) ¿Cuál es la utilización de la mecanógrafa?
b) Si se acaba de enviar su carta al escritorio de la mecanógrafa, ¿cuánto
tendría que esperar para que esté terminada?
c) ¿Cuántas cartas estarían en cola?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que existan más de tres cartas en el sistema?
Modelo (M/M/1): (GD/∞/∞)
λ = 1/10=0.1 min = 6 hr
µ = 8 min 0 7.5 hr
a) ρ = λ / µ
ρ = 6/7.5 = 0.8
b) Ws=1/(µ(1-ρ)) = 1/ (7.5(1 – 0.8 ) =0.6667 hr 0 40 min
c) Lq=
= 3.2 cartas
d) P(x ≥ 3) = 1 -
= 0.4096
10. Como se acerca la temporada de gripe, la universidad desea instalar un local
para proporcionar inyecciones a los estudiantes, al personal y a los profesores.
La duda que existe tiene que ver con el nivel del personal para atender las
9
distintas demandas posibles. Una opción es contratar a sólo una enfermera.
Suponga que la enfermera puede aplicar 120 inyecciones por hora, distribuidas
exponencialmente. En promedio, la gente llega cada 36 segundos.
a) ¿Cuál es la utilización de la enfermera?
b) ¿Cuánta gente habría en el sistema?
c) ¿Cuánto tiempo tardaría, si acaba de unirse a la cola, para recorrer el
sistema?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que existan más de tres personas en el sistema?
Modelo (M/M/1):(GD/∞/∞)
λ = 120 inyecciones/ horaμ = 1 persona / 36 segundos; 100 personas/ hora
a) Cual es la Utilización de la enfermera
ρ = λ /μ= 100/120 = 0.833*100 = 83.33% del tiempo pasa ocupada
b) Cuanta gente habría en el sistema
Ls = ρ/ 1- ρ Ls = 0.833/ 0.17 Ls = 4.88 personas en el sistema
c) Cuanto tiempo tardaria si acababa de unirse a la cola para recorrer el sistema
Ws = 1/ μ(ρ/ 1- ρ) Ws = 1/(120)(1-0.8333) Ws = 0.05 horas o 3 minutos
d) Cual es la probabilidad de que existan 3 personas en el sistema
Pn(n>=3) = ρˆ(n+1) Pn(n>=3) = 0.833ˆ4 Pn(n>=3) = 0.4822
11.Una tienda de alimentación es atendida por una persona. la llegada de clientes
los sábados es un proceso de poisson con una tasa de 10 personas por hora y
los clientes son atendidos según una política de fifo con un tiempo medio de
servicio de 4 minutos. Encontrar:
a) la probabilidad de que haya cola
b) longitud media de la cola
c) tiempo medio de espera en cola
d) probabilidad de que el cliente este menos de 12 minutos en la cola
Modelo: (M/M/1);(DG/∞/∞)
10
λ = 10 personas / hora μ = 15 personas / hora ρ = ρ = ρ = 0.6667
a) P(x > 1) = 1 – P0 P(x ≥ 1) = 1 – [(1-0.6667) + (1-0.6667)(0.6667)] P(x > 1) = 0.4444
b)
c) Wq = 0.1333 horas
d)
12.La empresa “abc” estudia la posibilidad de una estación de servicio ubicada en
la localidad “z”. Esta estación tiene 4 expendedores de nafta común, 1 de super
y otro para gas oil . la llegada de autobuses y camiones que cargan gas oil
muestran una distribución que se aproxima a una poisson, mientras que la
prestación del servicio muestra una distribución exponencial negativa. el
promedio de llegadas de unidades que cargan gas oil es de 5 unidades/hora,
mientras que los servicios promedios en ese surtidor de gas oil es de 7
unidades/hora. Solo se puede dar servicio en ese surtidor a una unidad por vez y
se sirve la atención en el orden que llegan a la bomba. Encuentre:
a) la probabilidad de encontrar un surtidor de gas oil vacío
b) la probabilidad de encontrar una unidad cargando y otras dos esperando en
cola.
c) el numero esperado de unidades que hacen cola
d) el numero esperado de unidades en el sistema
e) el tiempo de promedio de espera en la cola
f) el tiempo promedio para salir del sistema
g) la probabilidad de que en el sistema se encuentren mas de 3 unidades
h) la probabilidad de que una unidad espere en el sistema 1 hora o más para ser
atendido e irse del sistema.
Modelo (M/M/1): (GD/∞/∞)
λ = 5 unit/hr
µ = 7 unit/hr
ρ = λ / µ
ρ = 5/7 = 0.7143
a) Po= ( 1 – ρ) ρ^n
Po= (1-0.7143)(0.7143)^0
Po=0.2857
b) P(x=3) =ρ^3 * Po
P(x=3)=(0.7143)^3(0.2857)=0.1041
11
c)
Lq=1.7859 unidades en cola (2 unidades)
d) Ls= ρ / 1- ρ
Ls= 0.7143/(11-0.7143)
Ls= 2.5002 unidades
e) Wq= Lq/ λ
Wq=1.7859/5
Wq=0.3578 hrs
f) Ws= 1/µ(1-ρ)
Ws= 1/7(1-0.7143)
Ws=0.5 hrs o 30 min
g) P(x =3)
Para las probabilidades
Pn=(1-ρ)ρ^n
Po=(1-0.7143)(0.7143)^0=0.2857
P1=(1-0.7143)(0.7143)^1=0.2041
P2=(1-0.7143)(0.7143)^2=0.1450
P3=(1-0.7143)(0.7143)^3=0.1041
P(x>3) = 1 – (Po+P1+P2+P3) =0.2603
h) Ws=60 min
Ws=Ls/λ
Ls=Wsλ
Ls=5
P(x≥5)=1- ∑(0.5)(1-ρ)ρ^n
= 0.1328
13. El área de servicio en el automóvil de una compañía de hamburguesas piensa
construir otro puesto en un lugar diferente y necesita decidir cuánto terreno
debe alquilar para optimizar el rendimiento, de tal forma de asegurar, con 80%
de certeza, que el automóvil que llegue encuentra espacio en el sistema. el
espacio de alquiler para automóviles cuesta $ 1,000 al año por espacio. la
compañía sabe acerca de la naturaleza altamente competitiva de la industria
de comida rápida y que los clientes se irán a otra parte si está lleno el lugar. el
terreno que han considerado tiene una tasa potencial de llegada de clientes de
30 por hora (poisson). la tasa para surtir pedidos de los clientes es de 40 por
hora (exponencial), ya que la compañía prepara los alimentos por anticipado.
el beneficio promedio para cada llegada es de $ 0.60 y el puesto abre de
12
mediodía a medianoche todos los días. ¿cuántos espacios para automóvil debe
alquilar?
Modelo (M/M/1) (GD/∞/∞)
Λ= 30 clientes/hr
µ=40 clientes por hora
ρ=λ/µ= 30/40= 0.15
Pn=(1 – ρ) ρ^n
acumulado
Po =(1 – ρ )= (1- 0.75 )^0 =0.25 0.25
P1 =(1 – ρ )^1= (1- 0.75 )^1=0.1875 0.4375
P2 =(1 – ρ )^2= (1- 0.75 )^2=0.1406 0.5781
P3 =(1 – ρ) ^3= (1- 0.75 )^3=0.1055 0.6836
P4 =(1 – ρ )^4= (1- 0.75)^4=0.07910 0.7627
P5 =(1 – ρ )^5= (1- 0.75)^5=0.0543 0.822
Como la probabilidad para 5 autos es mayor de 0.78 tomamos estos 5 autos.
Λperdida =λ * pn
=30 (P5)
= 30 (0.822)
=24 autos/hr
Se alquilaran 5 espacios
14. El banco nacional de occidente piensa abrir una ventanilla de servicio en
automóvil para servicio a los clientes. la gerencia estima que los clientes
llegarán a una tasa de 15 por hora. el cajero que estará en la ventanilla puede
atender clientes a una tasa de uno cada tres minutos. las llegadas son de
poisson y el servicio es exponencial, por la disponibilidad limitada de espacio y
el deseo de proporcionar un nivel de servicio aceptable, el gerente del banco
quisiera asegurar, con 95% de certeza, que no existan más de tres
automóviles en el sistema al mismo tiempo.
a) ¿cuál es el nivel de servicio actual para un límite de tres
automóviles?
b) ¿qué nivel de utilización del cajero debe lograrse y cuál debe
ser la tasa de servicio del cajero para asegurar este nivel de servicio de
95%?
(M/M/C) (GD/∞/∞)
13
Λ= 1 5 autos /horaµ= 1/3 de autos / minutos = 20 autos / hora
a)¿cuál es el nivel de servicio actual para un límite de tres automóviles?
Ws= ls/λWs=(3) / (15)Ws= 0.20 horas o 12 minutos el nivel de servicio actual
b) ¿qué nivel de utilización del cajero debe lograrse y cuál debe ser la tasa de servicio del cajero para asegurar este nivel de servicio de 95%?
ρ= λ/µρ= 15/20ρ=0.75*100ρ= 75% es la utilizacion del cajero
15. Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla de servicio para el auto.
los autos llegan de acuerdo con una distribución de poisson con una tasa de 2
autos cada 5 minutos. el espacio frente a la ventanilla puede acomodar a lo
sumo 10 autos, incluyendo el que esta siendo atendido. si es necesario, otros
vehículos pueden esperar fuera de este espacio. el tiempo de servicio por
cliente es exponencial, con una media de 1.5 minutos. determine lo siguiente:
A) la probabilidad de que las instalaciones estén ociosas
B) el numero esperado de clientes que esperan el servicio
C) el tiempo de espera estimado para que un cliente llegue a la
ventanilla y haga un pedido.
D) la probabilidad de que la línea de espera exceda los 10 espacios de
capacidad
Modelo (M/M/1) :(GD/N/∞)
λ = 2 autos cada 5 minutos = 24 autos / hora
μ = 1.5 minutos por cliente = 40 autos / hora
N = 10 autos ρ = λ /μ ρ = 24/40 = 0.6*100 = 60%a) P○ = 1-ρ/1-ρˆN+1 P○ = 1-0.6/1-(0.6)ˆ10+1 = 0.4/0.9964 = 0.4015
b) El numero esperado de clientes que esperan el servicio
Lq = Ls- λefec/μ
14
Ls = ρ(1-(N+1) ρˆN + Nρˆ(N+1))/(1-ρ)(1-ρˆ(N+1)) Ls = 0.6(1-(10+1)(0.6)ˆ10+10(0.6)ˆ(10+1))/(1-0.6)(1-0.6)ˆ10+1 Ls = 0.58186/0.39855 Ls = 1.3507
Lq = 1.3507 – 24/40 Lq = 0.75 = 1 cliente
c) El tiempo de espera estimado para que un cliente llegue a la ventanilla y haga un pedido. Wq = ρ/( μ(1- ρ)) Wq = 0.6/40(1-0.6) Wq = 0.0375 horas Wq = 2 minutos 15 segundos espera en colad) La probabilidad de que la linea de espera exceda los 10 espacios de capacidad P(x>10) = 1-∑(1-ρ)ρˆx = 1-∑(1-0.6)0.6ˆx Pn = (1-ρ)ρˆn/ 1-ρˆN+1 Pn = (1-0.6)(0.6)ˆ10/1-0.6ˆ11 Pn = 0.0024
16. Un puesto de helados con servicio en el automóvil tiene espacio para una cola
de cuatro automóviles, incluyendo el que se está atendiendo (el puesto se
encuentra en una vía transitada y la cola no puede extenderse a la calle). la
tasa promedio de llegadas de los clientes potenciales es de 40 automóviles por
hora y la tasa de servicio para servir los helados es de 50 automóviles por
hora. el beneficio promedio del helado que se vende a cada automóvil es de $
0.50. es posible obtener espacio adicional del dueño del terreno vecino, que lo
alquila a $ 5 por día. el puesto está abierto 14 horas al día.
Suponiendo que las llegadas están distribuidas aleatoriamente (poisson) y que
el servicio es exponencial, ¿debe alquilarse el espacio del lote adyacente? de
ser así, ¿cuántos espacios?
Modelo: (M/M/1);(DG/N/∞)
λ = 40 autos / hora μ = 50 autos / hora ρ = ρ = ρ = 0.8n = 4 autos
λp = λ*Pn λp = 40 * 0.1218 λp = 4.8720 ≈ 5
λe = λ – λp λe = 40 – 5 λe = 35 autos
Autos perdidos por día: 5 * 14 = 70 autosGanancias pérdidas diarias: 70 * ($0.50) = $35 diarios
Costo de 5 espacios diarios: 5 * ($5) = $25 diarios
Utilidades = ingresos – gastos: $35 - $25 = $10 diarios.
15
17. En las instalaciones de lavado de autos “el aseo” se opera con una sola
rampa, los autos llegan con una distribución de poisson, con una media de 4
vehículos por hora, y esperan en el estacionamiento de las instalaciones si la
rampa esta ocupada. los autos que no se pueden estacionar dentro esperan en
la calle que bordea las instalaciones de lavado. suponiendo que se instalo un
nuevo sistema que permite que el tiempo de servicio para todos los autos sea
constante e igual a 10 minutos. Encontrar:
a) el número promedio de autos que esperan en cola
b) el número promedio de autos que esperan en el sistema
c) el tiempo promedio de autos que esperan en cola
d) el tiempo promedio de autos que esperan en el sistema
Modelo (M/M/1) (GD/∞/∞)
λ=4 vehículos/hr
µ=10 min por vehículos = 6 autos/hr
ρ=λ/µ = 4/6 =0.6667
Lq=
Lq=( 0.6667)^2/(2(1-0.6667))
Lq=0.6667 autos = 1 auto
b) Ls=ρ +Lq
Ls=0.6667+0.666701.333
c)Wq=Lq/λ
Wq=0.6667/4=0.16667hr= 10 min
d)Ws=Wq+(1/µ)=0.1667+(1/6)
Ws=0.3333hr=20 min
18. El banco departamental desea operar una nueva sucursal; luego de realizados
los estudios el banco considera que con 4 servidores es suficiente. los clientes
llegan en promedio a una tasa de 20 por hora de acuerdo a una distribución de
16
poisson y se sabe que se requieren en promedio 2 minutos para atender a cada
cliente con una distribución aproximadamente exponencial. Calcular las
estadísticas de operación del banco:
a) el promedio del tiempo improductivo del sistema
b) la cantidad promedio de personas en la línea de espera
c) el tiempo promedio que las personas permanecen en la línea de espera
d) la cantidad promedio de personas que permanecen en el banco
e) el tiempo promedio que una persona permanece en el banco
f) el tiempo promedio de la prestacion de un servicio
(M/M/C) (GD/∞/∞/)
a) el promedio del tiempo improductivo del sistema
N=4Λ= 20 clientes / horaµ= 2 minutos por clientes = 30 clientes por hora
ƥ= λ/µƥ= 20 /30ƥ= 0.6667
Po= (Σ[ ρ^n/n!] [ρc/(1-ρ/c))]^-1 desde n=0 hasta -1Po=(((2/3)^0/0!) + ( 2/3(4)*4!(1-(2/3)/4))))^1Po= 0.4827
b) la cantidad promedio de personas en la línea de espera
Lq=(poƥ^k)/ k!(po)^2Lq=(0.4827)(0.6667)^4/(4!(0.4827)^2)Lq= 0.01705 el tiempo promedio en que las personas esperan en la linea de espera
C) el tiempo promedio que las personas permanecen en la línea de espera
Wq= lq/λWq= 0.01705/20Wq=0.0008 horas = 0.05116 minutos.
d)la cantidad promedio de personas que permanecen en el banco
Ls= lq +ƥLs= 0.01705 + 0.6667Ls=0.68375 clientes = cliente
e)el tiempo promedio que una persona permanece en el banco
Ws= wq + ( 1/µ)Ws= 0.0008 + (1 /30)Ws= 0.03418 horas= 2.05 minutos
17
F) el tiempo promedio de la prestacion de un servicio
Ws= w+wqW=ws-wqW=0.03418-0.0008W=0.03338 horas = 2.0028 minutos
19. Kamal’s Deparment Store mantiene satisfactoriamente un departamento de
ventas por catalogo en el cual el empleado toma las órdenes por teléfono: Si el
empleado esta ocupado en la línea, las llamadas telefónicas entran
automáticamente al departamento de catálogos y son contestadas por una
grabadora y solicita esperar. Tan pronto el operador este libre y se comunica con el
cliente que ha esperado mas. Las llamadas llegan a una tasa de 12 por hora. El
empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las
llamadas tienen que seguir una distribución de Poisson y los tiempos de servicio
tienden a ser exponenciales.
Al empleado se le pagan a 5 dólares la hora, pero debido a la buena voluntad,
perdida y las ventas, la empresa pierde aproximadamente 25 dólares por hora de
tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado le tome la orden.
a. Cual es el tiempo promedio que los clientes de catálogo deben de esperar,
antes de que sus llamadas sean transferidas al empleado que recibe las
ordenes
b. Cual es el número promedio de llamadores que esperan para colocar la
orden.
Modelo (M/M/1):(GD/∞/∞)
a) ρ = λ /μ ρ =12/15 = 0.8Wq = λ/(μ(μ-λ)) = 12/(15(15-12)) = 0.2666 horas = 16 min
b) Lq = ρˆ2/(1-ρ) = 0.8ˆ2/(1-0.8) = 3.2 = 4 clientes
20. Frente a una ventanilla del Banco Estatal se presentan 560 personas diarias
(jornada de 8 horas); el cajero puede dar servicio a 100 personas como promedio
por hora. Con la hipótesis de llegadas de Poisson y servicios exponenciales,
encontrar el factor promedio de utilización del sistema, el tiempo ocioso promedio
en el sistema, la probabilidad que haya 3 clientes en el sistema, el número
18
promedio de personas en el sistema, la cantidad promedio de clientes en la cola, el
tiempo promedio que permanece una persona en el sistema, el tiempo promedio de
un cliente en la fila, el tiempo promedio que tarda un servicio, la probabilidad que
existan 4 personas.
Modelo: (M/M/1);(DG/∞/∞)
λ = 70 personas / hora μ = 100 personas / hora ρ = ρ =
ρ = 0.7
ρ = ρ = 0.7
P(x = 0) = 1 – ρ P(x = 0) = 0.3
P(x = 3) = P(x = 3) = P(x = 3) = 0.1029
Wq = 0.0333 horas
Tiempo de servicio: 100 personas / 60min = 1.6667 minutos.
P(x = 4) = P(x = 4) = P(x = 4) = 0.0720
21. A un taller llegan los pedidos de reparaciones de máquinas en forma de
distribución Poisson a un promedio de 4 clientes / hora. El operario que los
inspecciona para diagnosticar las reparaciones que hay que realizar, efectúa dicha
actividad en una forma normal; en promedio tal inspección es constante y le toma 6
minutos.. Calcular las características de operación del sistema: En promedio el
tiempo que permanece ocupado el sistema, La cantidad de personas promedio en
la cola, En promedio la cantidad de clientes en el sistema, El tiempo de espera
promedio en la cola antes de ser atendido un cliente, En promedio el tiempo que un
cliente espera en el sistema antes de ser atendido, En promedio el tiempo que dura
un servicio.
Modelo (M/M/1):(GD/∞/∞)
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Λ=4 cliente/hrµ=6 clientes/min=10 cliente/hr
ρ = λ /μ ρ =4/10 = 0.4
Po=1-ρ = 1- 0.4 =0.6
Lq= 4^2(0.125)+0.4^2)/2*(1-0.4)
Lq=1.8 clientes
Ls=ρ+Lq=0.4+1.8=2.2= 2 persona
Wq=Lq/λ =1.8/4=0.45 hr =27min
Ws=wq+1/µ =0.45+1/10=0.55 hr =33 min
22. Una máquina fotocopiadora es utilizada por 3 secretarias de una oficina para
obtener las copias que su sección requiere; como la magnitud del trabajo difiere de
acuerdo al número de copias que cada quien traiga, se hizo un análisis el cual dejó
concluir que la máquina tiende a un proceso de Poisson con un promedio de 8
trabajos por hora. Los requerimientos de utilización son también aleatorios de
acuerdo a un proceso Poissoniano con una tasa media de 5 trabajos por hora.
Calcular: El tiempo promedio ocioso de la fotocopiadora, en promedio el factor de
utilización de la fotocopiadora, personas que permanecen en promedio en la
fotocopiadora, personas en promedio que esperan para acceder a la fotocopiadora,
tiempo total promedio en el sistema, tiempo promedio de espera para obtener un
servicio, tiempo promedio de un servicio en la fotocopiadora .
(M/M/1) (GD/∞/∞)
λ=5µ=8ρ= 0.625
ρ=λ/µρ= 5/8ρ= 0.625
a) el tiempo promedio ocioso de la fotocopiadora
Po=
20
Po=
Po= 0.4425
b) El factor de utilizacion de la fotocopiadora
ρ=λ/µ ρ= 5/8
ρ= 0.625
c) Personas que permanecen un promedio en la fotocopiadora
LS=
LS=
LS=
LS= 0.9497
Pn=
Pn=
Pn=
Pn=
Pn= 0.1080
Λperdida= λ.pnΛperdida= 5(0.1080)Λperdida= 0.54
Λefectiva= λ – λperdiaΛefectiva= 5- 0.54Λefectiva= 4.46 =5 persona permanece en la fotocopiadora
d) Personas qie permanecen en promedio en la fotocopiadora
lq= ls
Lq= 0.9464
21
Lq=0.9464 -0.5574
Lq= 0.388
e) Tiempo promedio en el sistema
ws=
ws=
ws=0.2122
f) tiempo promedio de espera para obtener un servicio
wq=ws – 1/µ
wq=0.2122 - 1/8 wq=0.2122 – 0.125
wq= 0.0872
g) tiempo promedio de un servicio en la fotocopiadora
ws – wq = 0.2122 – 0.0872 0.125
23. Una compañía de seguros tiene tres ajustadores de reclamaciones en su
sucursal. La gente con reclamaciones contra la compañía se encuentra que llega
según una Poisson, con una tasa media de 20 personas por día de 8 horas. El
tiempo que un ajustador utiliza con una de estas personas se encuentra que tiene
una distribución exponencial, con tiempo medio de servicio de 40 minutos. Las
personas se atienden según el orden de llegada.
¿Cuántas horas a la semana se puede esperar que un ajustador pase con personas
que reclamen?
¿Cuánto tiempo, en promedio, pasa una persona en la sucursal?
22
