guia10-UNIDADES IMAGINARIAS

8/20/2019 guia10-UNIDADES IMAGINARIAS

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UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINOSANCHEZ CARRIÓN

ALUMNO:

ÁLGEBRAGUÍA 10 DOCENTE: Lic. MANES CANGANA, Gabrie A ber!"

Unidades Imaginarias y Números Complejos

OBJETIVO. – Identificar y diferenciar correctamente los números reales y los númeroscomplejos y explicar porque todo real es uncomplejo, pero no todo complejo es real.

Asimismo representar en distintos modelos yrealizar las principales operaciones con númeroscomplejos.

INTRODUCCIÓN. – El producto de un númeroreal por sí mismo es siempre 0 o positivo, por loque la ecuación x ! "# no tiene solución en elsistema de los números reales. $i se quiere dar un valor a la x, tal que x ! 1− , %ste no puedeser un valor real, no ya en sentido matem&ticosino tampoco en sentido t%cnico. 'n nuevoconjunto de números (diferente del de losnúmeros reales), el de los números ima*inarios,se usa para este fin. El sím+olo i representa launidad de los números ima*inarios y equivale a

1− . Estos números permiten encontrar, por ejemplo, la solución de la ecuación 9x −= ,que se puede escri+ir como- 1.9x −= ⇒

x ! / i ó x ! i.os números bi, b 1 0, se llaman ima*inarios

puros.'n número ima*inario se o+tiene al sumar unnúmero real y un número ima*inario puro.En su forma *eneral, un número complejo serepresenta como a 2 bi, donde a y b sonnúmeros reales. El conjunto de los númeroscomplejos est& formado por todos los númerosreales y todos los ima*inarios.

os números complejos se suelen representar en el llamado dia*rama de Ar*and. as partesreal e ima*inaria de un número complejo secolocan como puntos en dos líneasperpendiculares o ejes. 3e esta manera, unnúmero complejo se representa como un puntoúnico en un plano, conocido como planocomplejo.

C!NTID!DE" I#!$IN!RI!"

%I"TORI!. – os anti*uos matem&ticos solían

lle*ar a una repuesta como 4 2 16− aciertos pro+lemas. $i los números ne*ativos ylas raíces cuadradas eran complicados detra+ajar, 5qu% podía 6acerse con las raícescuadradas de números ne*ativos7 os anti*uos

matem&ticos denomina+an a este tipo denúmeros ima*inarios y no permitieron que estaclase de números fuera utilizada como solucióna los pro+lemas.$in em+ar*o, *radualmente, se descu+rieronaplicaciones que exi*en el uso de estosnúmeros, lo que 6izo necesario extender elconjunto de los números reales para formar elconjunto de los números &omplejos . Al 6acerlo,se consi*ue un o+jetivo- el conjunto de losnúmeros complejos instrumentaliza una solucióna casi cualquier ecuación que pueda escri+irse.8onsi*ne la ecuación x 2 # ! 0. 9o tienesolución en los números reales, ya que cualquier solución de+e ser un número cuya raíz cuadradaes 4 #. 3entro del conjunto de los númerosreales todas las raíces cuadradas son númerosno ne*ativos, en efecto, el producto de dosnúmeros positivos o de dos números ne*ativoses positivo. :ara dar una solución a la ecuaciónx 2 # ! 0, un nuevo número i se define de modo

que- i ! 4 #.8on el nuevo número i y los números reales, sepuede formar un nuevo conjunto de númerosque incluye a los números reales como unsu+conjunto.

DE'INICIÓN DE C!NTID!DE" I#!$IN!RI!". 4 $on aquellas que resultan de extraer una raízde índice par a un número ne*ativo.

Así por ejemplo-9− , 4 3− , 6 8− ,......... n2 5− , donde n ∈9,

siendo el mas importante 1− .

UNID!D I#!$IN!RI!$e define- i ( ! 4# i ! 1− (9otación de;auss).Ejemplo- .i411616 =−=−)OTENCI!" )O"ITIV!" DE *! UNID!DI#!$IN!RI!. – <eamos la si*uiente ta+la depotencias-i# ! i, i = ! i, i > ! i,i ! 4 #, i ? ! 4 #, i #0 ! 4 #,i ! 4 i, i @ ! 4 i, i ## ! 4 i,i ! #, i B ! #, i # ! #, . . . ∞

os resultados de las potencias de la unidadima*inaria se repite en períodos de en yestos valores son- i, " #, " i, # .En la ta+la se o+serva que- i ! #C i B ! #C



CENTRO PREUNIVERSITARIO ALGEBRA

i# !#,.........etc., eso implica que la unidadima*inaria elevada a un múltiplo de ser&siempre i*ual a la unidad. Entonces- o

4i ! #............:ropiedad (#). A6ora volvamos a la ta+la y o+s%rvese que-i= ! i 2# ! i .i# ! i # i? ! i 2 ! i .i ! ii@ ! i 2 ! i .i ! i .

9ótese que, si el exponente de la unidadima*inaria es un múltiplo de mas un ciertoresiduo el resultado ser& i elevado a eseresiduo. Así- r4i +

o ! ri .......:ropiedad ( )

)OTENCI!" NE$!TIV!" DE *! UNID!DI#!$IN!RI! . 4 8uando se trate de potenciascon exponentes ne*ativos múltiplos de cuatro seprocede de la si*uiente manera-

i" ! 4i

1 !

1

1 ! #i "B ! 8i

1 !

1

1 ! #i "# ! 12

i

1 !

11

! #

En *eneral-o

4i± !#........:ropiedad ( )Si la unidad imaginaria elevada a un exponentenegativo múltiplo de 4, es igual a uno.

+)ero si es,a po,en&ia &on e-ponen,enega,i o no es múl,iplo de /0 <eamos unejemplo-

i1

i

i

i

i

i.i

1

i

1

i

1i2133

33−=

−

=====−

En forma pr&ctica, el resultado ser& i*ual a iDelevada a una potencia i*ual a lo que 6ay quea*re*ar (residuo por exceso) para que el valor a+soluto del exponente sea múltiplo de . Asítenemos-

i 4 ! i ! 4 i σ +serve que- ! º4 2# ! º

4 4

( es lo que a*re*amos o es elresiduo por exceso).

i 4 # > ! i # ! # σ Aquí- # > ! º4 2 ! º

4 4 #.

i 4 0#B ! i ! 4 # σ 9ote que- 0#B ! º4 2 ! º4 4 .

)!R! )OTENCI!" CU1O" E2)ONENTE""ON ! "U VE3 )OTENCI!"

:ara poder efectuar, recordemos lo que nos dice

la aritm%tica en estos casos si- nºnºrara +=

+

:ara-i.iiii 1

º4n1

º4

n

1º4

=== +

+ .

:or tanto-ii

n1

º4

=

+ y

1i

n2

º4

=

+ .....

:ropiedad ( )

Asimismo sa+emos-

impesnsi,nr-a

paesn si, nran

rao

oo +=

−

Fesultando-

pa n"" i;i

n 14=

−o

yimp n""i;i

n1

º4

−=

−

.....:ropiedad (=)Ejemplos-a. 691425i +. 2054918i c.

1614739i d. 5614647i

)ropiedad 456. – a suma de cuatro potenciasconsecutivas de la unidad ima*inaria siempre esi*ual a cero. Así- i n 2 i n2# 2 i n2 2 i n2 ! .

NU#ERO"CO#)*EJO"

DE'INICIÓN. – 'n número complejo es todaexpresión de la forma z ! a 2 +i, en donde a y +son números reales e i es 1− .Ejemplos- z #! 4 @iC z ! 4 2 iC z ! #G 2 BiCz ! "=iC z=! #G . 3esi*namos al conjunto de los númeroscomplejos C y escri+imos-

C ! H ! a2+iG a ∈F , + ∈F , i ( !"#J .

NOTA .- Asimismo, se puede definir mediantepares ordenados- $e llama número complejo atodo par (aC+) de números reales tomados encierto ordenD. $i- z ! (aC+) ∈ 8, al número aDque se escri+e primero, se llama primer componente o parte real y al se*undo, +D parteima*inaria. Es decir- a ! Fe (z) y + ! Im(z).Ejemplos- z #! ( ,4@)C z ! (4 ,#)C z !(#G ,B)Cz !(0,4=)C z =! (#G ,0) .C*!"E" DE NU#ERO" CO#)*EJO"

CO#)*EJO RE!* ." $i la parte ima*inaria escero. $i- a.z0b =⇒=

CO#)*EJO )URO ." $i la parte real es nula. $i-

biz0a =⇒=

.CO#)*EJO NU*O ." $i la parte real y parteima*inaria son nulos. $i- 0z0ba =⇒== .CO#)*EJO I$U!*E" ." $on dos complejos quetienen i*uales sus partes reales y sus partesima*inarias. $ean-z # ! a2 +i y z ! c 2di, si- z # ! z a ! c y +!d.CO#)*EJO" CONJU$!DO" ." $on dosnúmeros complejos que tienen sus partes realesi*uales y las partes ima*inarias tam+i%n i*ualespero de si*nos cam+iados. $i z ! a 2 +i suconju*ado es- biaz −= .CO#)*EJO" O)UE"TO" ." Aquellos quedifieren en el si*no tanto en la parte real comoen la parte ima*inaria. Ejemplo- $ea- z # ! a2 +i,su opuesto ser& z ! 4 a 4 +i.

CICLO: ENERO-MARZO 2005 I Pág. 2




O)ER!CIONE" CON N7#ERO" CO#)*EJO"

!DICIÓN 1 "U"TR!CCIÓN - $e procedereduciendo las partes reales en una sola, lomismo que las partes ima*inarias. Ejemplo-z#!# 2 i y z ! 4 i ⇒ z #2z ! (#2 ) 2 ( " )i !

2 i.

#U*TI)*IC!CION - $e procede considerandocon a los complejos como +inomios. Ejemplo-z#!# 2 i y z ! 4 i ⇒ z #. z ! (# 2 i)( 4 i) !#0 2 ?i.

DIVI"ION." :ara dividir números complejos, semultiplica dividendo y divisor por la conju*adadel divisor. Ejemplo- dividir z #!# 2 i entre z !

4 i ⇒

4

5i3

8

10i6

2i2

2i2

2i2

4i1

2i2

4i1 +−=+−=

+

+

−

+=−

+ .

)OTENCI!CION ." $e aplica el desarrollo del+inomio de neKton. Ejemplo-z#!(# 2 i) ⇒ z # ! # 2 (#)( i) 2 ( i) ! 4#=2Bi.

R!DIC!CION ." $e puede utilizar la fórmula delos radicales do+les. Ejemplo- 6alle la raízcuadrada de 4 #= 4 Bi.

{ { 1621518158i1516)1)16)1

=−−−=−−−=−−

−−+

E* )*!NO CO#)*EJO O DE $!U"" ." 3e lamisma manera que los números reales sepueden representar como puntos de una línea,los números complejos se pueden representar como puntos de un plano. El número complejo z! a 2 +i es aquel punto del plano concoordenada x i*ual a la parte real a, ycoordenada y i*ual a la parte ima*inaria b. oscomplejos z #!# 2 i y z ! 4 i aparecen en lafi*ura # y corresponden a los puntos (#, ) y ( ,"

) del plano.3ado que los puntos del plano se pueden definir en función de sus coordenadas polares r y θ ,todo número complejo z se puede escri+ir de laforma- z ! r (cos θ 2 i sen θ ) .donde- r es el módulo de z o distancia del puntoal ori*en

22 bazr +==

y θ es el ar*umento de z o &n*ulo entre z y el

eje de las x. tan θa

b=

Ejemplo- Expresar en forma polar el númerocomplejo- i129z += .

15129bar 2222 =+=+= C tenemos-

5334

912

ab =⇒=== θ

ue*o-z ! r (cos θ 2 i sen θ )! #= (cos = 8 2 i sen = 8).⇒ i129z += ! #= (cos = 8 2 i sen = 8).'OR#! E2)ONENCI!* DE UN N7#EROCO#)*EJO9$i z es un número complejo de módulo r ! L z L ≠

0 y ar*umento θ , en forma exponencial seexpresa por-

z ! re iθ .

y comparando con- z ! r (cos θ 2 i sen θ ),resulta- e iθ ! cos θ 2 i sen θ llamada fórmula de Euler.3e la misma manera- z ! re 4 i θ ! r(cos θ

4 i sen θ )Esto es- e 4iθ ! cos θ 4 i sen θ .Ejemplos- Escri+a en forma exponencial losnúmeros complejos si*uientes- Ejemplo 0#."z #!#2i$olución- a ! #C + ! #.Módulo- 22 bar += ⇒ 22 11r += ⇒ 2r = .

Ar*umento- tan θa

b= ⇒ tan θ11 == ⇒ θ ! =N!

π G . i41 e2zπ

=Ejemplo 0 ." z ! 4 i$olución- a!0C +! 4 .Módulo- 22 bar += ⇒ 22 )20r −+= ⇒ 2r = .

Ar*umento- tan θab= tan θ −∞==

0-2

θ ! @0N! π G . i2

3

2 2ezπ

=

Al*unos :roductos 9ota+les Importantes

a) ( ) ......................12 =+ i

+) ( ) ......................12 =− i

c) ......................1

1=−

+i

i

d) ......................1

1=+

−i

i





)ro:lemi,as

8;.< Efectuar- 91975 ......1 iiiiii A +++++++= A6# O) i 8) i− 3) "# E) 0

8(.< $implificar- M !

!"595#454"527

29"21212#

−−−−− ++−+++++

iiiiiiiiii

A) O) 8) # 3) " E) "#

8=.< 8alcular1$ 2$ $ 1"$.... E i i i i= + + + +

A) (=,#) O) = 8) =2 i 3) 2=i E) #2=i

8/.< Fealizar el producto de los si*uientesnúmeros complejos-

( )( )( )( )115117 221 iiii M ++++=

A6=0 O) i5"−

8)i5"

3)i

E)"=0

8>.< 8alcular el valor de-( )

( ) 21

1−

−

+

n

n

i

i, donde nD es

un entero positivo. A)" O) ni2 8) 12 +

− ni 3) i2− E)12 +ni

85.< $implificar-biaibiabiaibia

M −−+++−=

A) i O) # 8) i− 3) E) 4#

8?.< Pallar el valor de- 52− − +i i i

A) #"i O) #2i 8) I 3)# E) 0

8@.< 8alcular el valor de la expresión-

−+

iia

52

,sa+iendo que es un complejo puro.

A) i2

O) i2

8) i5

2 3) i

5 E)

i

5

4

8A.< Pallar nD- ( ) ii n 5121 =+

A) O) B 8) #= 3) #@ E) #B

;8.< Efectuar-( )

( )( ) ( ) ( )

+++

+++

++

+−=

i

i

i

i

i

i

i

iS

!

2751

5

1!2#

4

711

2!

1

A) i+ O) i− 8) i44 + 3) i44 − E) i55 +

;;.< 3ar el valor de nD en-( )

( )( ) n

n

i

i

ii +

−

−= + 1

1

12

1, donde nD es positivo.

A) @ O) # 8) 3) E)

;(.<Qeniendo presente la i*ualdad de complejos-

( ) ( ) ( ) ( ) yi xiiii +=+++++++ #!421111

3eterminar- y x

y x F

−

+=

A6#G O) #G 8) #G= 3) #G? E) #G;=.< $implificar la si*uiente expresión-

( ) ( )

( ) ( )2

2

2

2

ii

ii

iiii

iiiiG

−−

−−

−+

−−=

A6= O) = 8) 3) "= E) " =

;/.< $implificar-( )( )

( ) ( )22bicabica

cbacba M

−++++−++=

A6#G O) #G 8) #G= 3) G@ E) R

;>.< 8alcular el modulo del complejo-! 7 522122 ii Z −−−=

A6 O) 4 8) 2 3) 5 E)7

;5.< Existen números complejos que cumplen lacondición de que su modulo vale 2 y queal dividirlo por su conju*ado su cociente esi . 3ar el valor de la suma de dic6oscomplejos. A6 i2 O) i44 + 8) i44 − 3) i22 + E)0

;?.< $i-i xi x

Z −

+= 2

2

#

41C R x∈ C calcular-

i z S 4

−=

A6=G O) G 8) # 3) #G E) S;@.<Pallar la raíz cuadrada del complejo- i4+

A) ± ( 2 i) O) ± (# 2 i) 8) ± (#" i)3) ± I E) no se puede.

;A.<$iendo 1ab

ia bi

= ++ , calcular a 4 +D

A) 0 O) " 8) 3) " E) #

(8.< $iendo i Z 22 += , 8alcular # Z

A) 0 > O) 0>? 8) 0#0 3) # 0 E) 0#?(;.< $i zD es un número complejo tal que elmódulo- 55= z . 8alcular- T!

2255 z z −++

A) =0 O) 4 =0 8) =0 3) 00 E) =0i

((.< 8alcula- 77ii + .

A)# 4 i O) i 8) 4 # 3)# E)0

(=.<Palla el valor de- ( ) ( )( )

.

4

1

2222

+−++=

i

ii M

A)B#G O) 4 B#G 8) 4 B#iG 3)B#iG E)i

(/.< $implifica- .

2

2

ii

i

i z

−+

=

A) i O)i 8) 4 3) 4 # E) 4 i

(>.< Al efectuar la si*uiente operación se o+tiene





( ) ( )1!1!112 ii −−+

A) 0 O) # 8) " =? 3) i512 E) =?


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