UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑOCÁLCULO DIFERENCIAL

JORGE ERNESTO PPRADA NIÑOGUÍA 4. DOMINIO Y RECORRIDO

INTRODUCCIÓN

En esta guía se tratan los aspectos básicos de una función, se reconoce y se hallan el dominio y el recorrido, usando el gráfico y en forma analítica.

OBJETIVOS Determinar si una ecuación dada es o no una función.

Identificar el dominio y el recorrido (recorrido de una función).

Trazar gráficas de funciones.

METODOLOGÍA

En esta guía los estudiantes:

Leen los conceptos, estudian los ejemplos y resuelven los ejercicios planteados.

Asisten a las asesorías del tutor programadas por la Universidad.

Plantean sus inquietudes al tutor a través de Chats, correo electrónico, clases virtuales.

Reciben orientaciones del tutor de manera presencial.

LOGROS

Un estudiante alcanzara sus logros si:

1. Dada una función es capaz de hallar su dominio.

2. Dada una función es capaz de hallar su recorrido (recorrido).

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto A llamado dominio un valor único f(x) de otro conjunto B. El subconjunto de B formado por todos los elementos a los que se les asigna elementos de A se llama recorrido de la función, y cada uno de sus elementos se llama imagen.

Representemos en un diagrama de flechas una función f

Representemos en un diagrama de flechas una relación que NO es una función.

Ahora representemos en el plano cartesiano una relación que no es función.

Si una gráfica contiene los puntos (a,b) y (a,c) entonces dicha gráfica no representa una función, ya que a un valor del dominio le corresponden dos valores del recorrido.

Observe el dibujo:

Las funciones se notan mediante ecuaciones de la forma y = f(x), por ejemplo:

El dominio de una función de x consiste de todos los posibles valores que puede tomar x de manera que la expresión dada tenga sentido en los Reales.

DOMINIO DE LAS FUNCIONES POLINÓMICAS

Definición:

Una función polinómica es de la forma:

, donde Z+

Ejemplos:

Notación: Dominio de f (x) se escribe: Domf(x)

El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales (R): Domf(x)=R

DOMINIO DE FUNCIONES RACIONALES

Definición:

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios). Ejemplos:

Una expresión de números reales de la forma no existe si B =0, de manera que para hallar el

dominio de una función racional basta con igualar el denominador a cero y determinar así los únicos valores de x que no pertenecen al dominio.

Ejemplo:

Hallar el dominio de la función

Igualamos el denominador a cero:

Factorizamos: este producto es cero si uno de sus factores es cero, así:

entonces: x = - 2 entonces: x = - 1

De lo anterior, deducimos que los números – 2 y no pertenecen al dominio y por lo tanto:

Domf(x)= R – {-2, -1}

DOMINIO DE FUNCIONES CON RADICALES

Primer caso:

La expresión que define a esta función tiene validez en R solamente si el radicando es mayor o igual que cero, es decir, , al resolver la inecuación se obtienen los valores de que pertenecen al dominio.

Al resolver la inecuación se obtiene: , entonces:

Dom

Segundo caso:

En este caso es necesario asegurar que el denominador no sea cero ( , y además que el radicando sea mayor que cero ( ), de tal manera que debemos resolver la ecuación:

Domg(x)=

Tercer caso:

En este caso debemos controlar tanto lo que sucede en el numerador como lo que sucede en el denominador, es decir:

- El radicando debe ser positivo o cero. , - El denominador debe ser distinto de cero.

Observemos sobre una recta numérica esta situación:

De manera que la solución es: Domh(x) =

RECORRIDO DE ALGUNAS FUNCIONES

Algunas funciones permiten hallar de manera sencilla sus recorrido.

Por ejemplo:

Hallar el recorrido de la función

Para lograrlo despejamos x:

Entonces, en la útima ecuación y debe ser distinto de 2, es el único valor que no pueden tomar las imágenes, por lo tanto las solución es:

INTERSECCIONES CON LOS EJES

Un punto (a,0) es una intersección de la gráfica de f con el eje x si , es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje y debemos hacer x = 0 y resolver la ecuación que se obtiene.

Un punto (0,b) es una intersección de la gráfica de f con el eje y si es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje x debemos hacer y = 0 y resolver la ecuación que se obtiene.

Nota: Las intersecciones con los ejes se llamas interceptos.

A continuación se muestran algunos dibujos para ilustrar lo que hemos afirmado anteriormente:

EJEMPLO

Halle los interceptos de la función

1. Intersección con el eje

Hacemos x = 0 , entonces:

2. Intersección con el eje x

Hacemos y = 0, entonces: por lo tanto y obtenemos que: x = - 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES BÁSICAS

Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de cálculo. Entre ellas tenemos:

1. Función Lineal: 2. Función Cuadrática: 3. Función Cúbica: 4. Función Raiz Cuadrada: 5. Función Valor Absoluto:

6. Función

A continuación trazamos las gráficas de estas funciones:

FUNCIÓN LINEAL

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

FUNCIÓN CÚBICA

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

FUNCIÓN RAIZ CUADRADA

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

FUNCIÓN

ACTIVIDAD

1. Para cada una de las siguientes funciones determine su dominio.

2. Para cada una de las siguientes funciones determine su recorrido.

3. Determinar cuáles de las siguientes igualdades son funciones y trace sus gráficas.

4. Halle el dominio, el recorrido y los interceptos de las funciones. Trace sus gráficas:a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)