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INTERVALOS DE CONFIANZA

1

ACLARACIÓN

En todos los ejercicios, supondremos ( )1,0NZ =

EJERCICIO 1 Se probó una muestra aleatoria de 400 cinescopios de televisor y se encontraron 40 defectuosos. Estime el intervalo que contiene, con un coeficiente de confianza de 0.90, a la verdadera fracción de elementos defectuosos.

SOLUCIÓN

Tamaño de muestra: 400n =

Proporción de defectuosos: 1,0400

40p ==

Proporción de no defectuosos: 9,01,01p1q =−=−=

Nivel de confianza: 9,01 =α−

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )95,0

2

9,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α

Buscamos en la tabla de la normal:

( )( ) 645,1

2

65,164,1z

9505,065,1zP

9495,064,1zP

2

=+=⇒

=≤=≤

α

El intervalo de confianza es:

( ) ( ) ( )12,0,07,0124675,0,075325,0015,0645,11,0,015,0645,11,0

n

qpzp,

n

qpzpI

22

c

==⋅+⋅−=

=

⋅⋅+⋅⋅−= αα

Con un nivel de confianza del 90%, podemos asegurar que la proporción poblacional de televisores defectuosos estará comprendida entre 0,07 y 0,12, es decir, entre un 7% y un 12%.

EJERCICIO 2 Se planea realizar un estudio de tiempos para estimar el tiempo medio de un trabajo, con un error máximo de 4 segundos y con una probabilidad de 0.90, para terminar un trabajo de

montaje. Si la experiencia previa sugiere que σ = 16 seg. mide la variación en el tiempo de montaje entre un trabajador y otro al realizar una sola operación de montaje, ¿cuántos operarios habrá que incluir en la muestra?

SOLUCIÓN

Error máximo: 4E = Nivel de confianza: 9,01 =α−

Desviación típica: 16=σ

USUARIO

Resaltado

USUARIO

Resaltado


2

Para estimar el tiempo medio, utilizamos los intervalos de confianza en el muestreo de la media:

σ⋅+µσ⋅−µ= ααn

z,n

zI22

c cuyo error máximo permitido es n

zE2

σ⋅= α

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )95,0

2

9,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( )( ) 645,1

2

65,164,1z

9505,065,1zP

9495,064,1zP

2

=+=⇒

=≤=≤

α

Como el error no puede superar los 4 segundos:

44n2964,4358,64

16645,1

4

z

n4

z

nz4n4n

zE

22

2

22

22

=⇒==

⋅=

=

σ⋅

≥⇒

σ⋅

≥⇒σ⋅≥⋅⇒≤σ⋅=αα

αα

Se deberá incluir 44 operarios en la muestra.

EJERCICIO 3 Suponga que se quiere estimar la producción media por hora, en un proceso que produce antibiótico. Se observa el proceso durante 100 períodos de una hora, seleccionados al azar y se obtiene una media de 1kg por hora con una desviación estándar de 85 gr por hora. Estime la producción media por hora para el proceso, utilizando un nivel de confianza del 95%.

SOLUCIÓN



Media: 1000=µ

Tamaño de la muestra: 100n =



z,n

zI22

c

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


USUARIO

Resaltado


3

( ) 96,1z975,0196zP2

=⇒=≤ α

( ) ( )66,1016,34,98366,161000,66,161000

100

8596,11000,

100

8596,11000

nz,

nzI

22

c

=+−=

=

⋅+⋅−=

σ⋅+µσ⋅−µ= αα

Con un nivel de confianza del 95%, la producción media de antibiótico por hora quedará entre 983,34 gr y 1016,66 gr por hora.

EJERCICIO 4 Un ingeniero de control de calidad quiere estimar la fracción de elementos defectuosos en un gran lote de lámparas. Por la experiencia, cree que la fracción real de defectuosos tendría que andar alrededor de 0.2. ¿Qué tamaño tendría que seleccionar para la muestra si se quiere estimar la fracción real, con un error máximo de 0.01, utilizando un nivel de confianza fe 95%?

SOLUCIÓN

El hecho de hablar de “fracción” implica una referencia clara a la estimación de la proporción: Error máximo: 01,0E =

Proporción de defectuosos: 2,0p =

Proporción de no defectuosos: 8,02,01p1q =−=−=


Para estimar la proporción, utilizamos los intervalos de confianza en el muestreo de la proporción:

⋅⋅+⋅⋅−= ααn

qpzp,

n

qpzpI

22

c cuyo error máximo permitido es:

n

qpzE

2

⋅⋅= α

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( ) 96,1z975,0196zP2

=⇒=≤ α

22

2

22

2201,0

qpzn01,0

n

qpz01,0

n

qpzE

⋅⋅≥⇒≤⋅⋅⇒≤⋅⋅= ααα

6147n56,614601,0

8,02,096,1n

22 =⇒=⋅⋅≥

El tamaño debería ser de 6147 lámparas.

EJERCICIO 5 El precio de ciertos electrodomésticos puede considerarse una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 100 euros. Los precios en euros correspondientes a 9 de estos electrodomésticos son:

255, 85, 20, 290, 80, 80, 275, 290, 135 Construir un intervalo de confianza al 98% para la media poblacional. Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra, para que con un nivel de confianza del 99%, el error de estimación del precio medio no supere los 50 euros.

USUARIO

Resaltado


4

SOLUCIÓN

Parte 1ª En primer lugar, deberemos calcular la media y la desviación típica de la muestra:

78,1679

1510

9

13529027580802902085255x ==++++++++=

7284,104613827,281491111,386113827,281499

347500

x9

13529027580802902085255 2222222222

2

=−=−=

=−++++++++=σ

2826,1027284,10461 ==σ

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )99,0

2

98,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


325,22

33,232,2z

9901,0)33,2z(P

9898,0)32,2z(P

2

=+=⇒

=≤=≤

α

( ) ( )81,297,75,370278,13078,167,0278,13078,167

9

2826,102235,278,167,

9

2826,102235,278,167

nz,

nzI

22

c

=+−=

=

⋅+⋅−=

=


Parte 2ª:

( )995,0

2

99,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α

575,22

58,257,2z

9951,0)58,2z(P

9949,0)57,2z(P

2

=+=⇒

=≤=≤

α

28n747,272676,550

2826,102575,2

50

z

n50

z

nz50n50n

zE

22

2

22

22

=⇒==

⋅=

=

σ⋅

≥⇒

σ⋅

≥⇒σ⋅≥⋅⇒≤σ⋅=αα

αα

EJERCICIO 6 Las alturas, expresadas en centímetros de los estudiantes de segundo de Bachillerato se distribuye normalmente con una desviación típica de 20 cm. En un colectivo de 500 estudiantes de segundo de Bachillerato se ha obtenido una media de 160 cm. 1) Calcula, con una probabilidad del 98% , entre qué valores estará la media de la altura de la población total de estudiantes de segundo de Bachillerato. 2) Interpreta el significado del intervalo obtenido.

SOLUCIÓN




5

Media: 160=µ




z,n

zI22

c

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )99,0

2

98,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


325,22

33,232,2z

9901,0)33,2z(P

9898,0)32,2z(P

2

=+=⇒

=≤=≤

α

( ) ( )08,162,92,1570795,2160,0795,2160

500

20325,2160,

500

20325,2160

nz,

nzI

22

c

=+−=

=

⋅+⋅−=


Con un nivel de confianza del 98%, la estatura media de los estudiantes de bachillerato estará comprendida entre 157,92 y 162,08.

EJERCICIO 7 La estatura de los miembros de una población se distribuye según una ley normal de media desconocida y desviación típica 9 cm. Con el fin de estimar la media se toma una muestra de 9 individuos de la población, obteniéndose para ellos una media aritmética igual a 170 cm. a) Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para la estatura media de la población. b) Calcula el tamaño muestral necesario para estimar la media de la población con una precisión de ± 5 cm y un nivel de confianza del 99%.

SOLUCIÓN

a) Nivel de confianza: 95,01 =α−


Media: 170x =



z,n

zI22

c

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α



6

( ) 96,1z975,0196zP2

=⇒=≤ α

( ) ( )88,175,12,16488,5170,88,5170

9

996,1170,

9

996,1170

nz,

nzI

22

c

=+−=

=

⋅+⋅−=


b) Nivel de confianza: 99,01 =α−


Media: 170x =

Error máximo: 5E =

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )995,0

2

99,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α

575,22

58,257,2z

9951,0)58,2z(P

9949,0)57,2z(P

2

=+=⇒

=≤=≤

α

22n483,21635,45

9575,2

5

z

n5

z

nz5n5n

zE

22

2

22

22

=⇒==

⋅=

=

σ⋅

≥⇒

σ⋅

≥⇒σ⋅≥⋅⇒≤σ⋅=αα

αα

EJERCICIO 8 En un país se sabe que la altura de la población se distribuye según una normal cuya desviación típica es igual a10 centímetros y media de 170 cm. a) ¿Cuál es el tamaño muestral que se debe tomar para estimar la media de la altura de la población con un error menor de 2 centímetros y con un nivel de confianza del 95%. b) Y si, en el apartado anterior, aumentamos el nivel de confianza al 99%, ¿qué tamaño muestral se necesitará?

SOLUCIÓN



Media: 170x =

Error máximo: 2E = Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α



7

( ) 96,1z975,0196zP2

=⇒=≤ α

97n04,968,92

1096,1

2

z

n2

z

nz2n2n

zE

22

2

22

22

=⇒==

⋅=

=

σ⋅

≥⇒

σ⋅

≥⇒σ⋅≥⋅⇒≤σ⋅=αα

αα



Media: 170x =

Error máximo: 2E = Valores críticos:

( )995,0

2

99,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α

575,22

58,257,2z

9951,0)58,2z(P

9949,0)57,2z(P

2

=+=⇒

=≤=≤

α

166n766,165875,122

10575,2

2

z

n2

z

nz2n2n

zE

22

2

22

22

=⇒==

⋅=

=

σ⋅

≥⇒

σ⋅

≥⇒σ⋅≥⋅⇒≤σ⋅=αα

αα

EJERCICIO 9 Se sabe que el gasto semanal (en euros) en ocio para los jóvenes de cierta ciudad sigue una distribución normal con desviación típica σ conocida. a) Para una muestra aleatoria de 100 jóvenes de esa ciudad, el intervalo de confianza al 95% para el gasto medio semanal µ es (27, 33). Calcula la correspondiente media muestral, x y el valor de σ. b) ¿Que número de jóvenes tendríamos que seleccionar, como mínimo, para garantizar, con una confianza del 95%, una estimación de dicho gasto medio con un error máximo no superior a 2 euros semanales?

SOLUCIÓN



Intervalo de confianza: ( )33,27I c =

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( ) 96,1z975,0196zP2

=⇒=≤ α


8

Si se estima la media por intervalos de confianza:

⋅+µ⋅−µ=

=

σ⋅+µσ⋅−µ=

σ⋅+µσ⋅−µ=

αα

αα

300z,300z

10096,1,

10096,1

nz,

nzI

22

22

c

Por otro lado, según aporta el enunciado:

( )33,27n

z,n

zI22

c =


Como han de ser iguales:

( )

=σ⋅+µ

=σ⋅−µ⇒=

σ⋅+µσ⋅−µ33

1096,1

2710

96,133,27

1096,1,

1096,1

Si sumamos ambas ecuaciones: 302

60602 ==µ⇒=µ

Si restamos ambas ecuaciones:

31,1596,12

606

1096,12 =

⋅=σ⇒=σ⋅⋅


Desviación típica: 31,15=σ

Error máximo: 2E =

226n44225,11401415,00382

31,1596,1

2

z

n2

z

nz2n2n

zE

22

2

22

22

=⇒==

⋅=

=

σ⋅

≥⇒

σ⋅

≥⇒σ⋅≥⋅⇒≤σ⋅=αα

αα

EJERCICIO 10 Un determinado producto se envasa en paquetes cuyo peso, en gramos, se comporta como una normal N(250,35). Si con dichos paquetes se forman cajas de 100 unidades, se pide determinar: a) El intervalo de confianza del 90% para los pesos medios de los paquetes en las cajas. b) El número de paquetes de las cajas si queremos que el error cometido sea la décima parte que en el caso anterior, con un nivel de confianza del 90%.

SOLUCIÓN


Desviación típica: 35=σ Media: 250=µ


Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )95,0

2

9,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


9


( )( ) 645,1

2

65,164,1z

9505,065,1zP

9495,064,1zP

2

=+=⇒

=≤=≤

α

Intervalo de confianza:

( )255,76,244,24100

35645,1250,

100

35645,1250

nz,

nzI

22

c

=

⋅+⋅−=

=




Error cometido en el caso anterior:

5,757510

35645,1

nzE

2

=⋅=σ⋅= α

La décima parte es: 57575,010

5,7575

10

EE0 ===

1000057575,0

35645,1

57575,0

z

n

zn57575,0n

z57575,0n

zE

2

2

2

222

0

=

⋅=

σ⋅

≥⇒

⇒σ⋅≥⋅≤σ⋅⇒≤σ⋅=

α

ααα

EJERCICIO 11 El peso medio de una muestra de 64 jóvenes de 18 años ha sido de 70 kg. Sabiendo que los pesos de los jóvenes de 18 años se distribuyen con una desviación típica de 12 kg, encuentra el intervalo de confianza para la media poblacional de jóvenes de 18 años, con un nivel de confianza de 95%

SOLUCIÓN


Desviación típica: 12=σ Media: 70=µ




z,n

zI22

c

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( ) 96,1z975,096,1zP2

=⇒=≤ α


10

( ) ( )94,72,67,062,9470,2,9470

64

1296,170,

64

1296,170

nz,

nzI

22

c

=+−=

=

⋅+⋅−=


Con una fiabilidad del 95%, el peso medio de los jóvenes de 18 años se encuentra entre 67,06 kg y 72,94 kg.

EJERCICIO 12 El peso de los perros adultos de una cierta raza es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con desviación típica 0,6 kg. Una muestra aleatoria de 30 animales ha dado un peso medio de 7,4 kg. a).- Calcula un intervalo de confianza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta raza. b).- ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para tener una confianza del 95% de que la media muestral no se diferencie en más de 0,3 kg de la media de la población?

SOLUCIÓN



Media: 4,7=µ




z,n

zI22

c

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )995,0

2

99,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( )( ) 575,2z

9951,058,2zP

9949,057,2zP

2

=⇒

=≤=≤

α

( ) ( )7,682,7,1180,2824,7,0,2824,7

30

6,0575,24,7,

30

6,0575,24,7

nz,

nzI

22

c

=+−=

=

⋅+⋅−=


Con una fiabilidad del 99%, el peso medio de los perros adultos de la raza objeto de estudio se encuentra entre 7,118 kg y 7,682 kg. b) Nivel de confianza: 95,01 =α−


Error máximo: 3,0E =

Valores críticos:


11

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( ) 96,1z 975,096,1zP2

=⇒=≤ α

16n15,36643,0

6,096,1

3,0

z

n3,0

z

nz3,0n3,0n

zE

2

2

22

22

=⇒=

⋅=

=

σ⋅

≥⇒

σ⋅

≥⇒σ⋅≥⋅⇒≤σ⋅=αα

αα

EJERCICIO 13 La duración de llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación típica 10 segundos. Se hace una encuesta entre 50 llamadas y la media de duración obtenida en esa muestra es de 35 segundos. Calcular un intervalo de confianza al 95% para la duración media de las llamadas.

SOLUCIÓN



Media: 35=µ




z,n

zI22

c

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( ) 96,1z975,096,1zP2

=⇒=≤ α

( ) ( )772,37,32,2282,77235,2,77235

50

1096,135,

50

1096,135

nz,

nzI

22

c

=+−=

=

⋅+⋅−=


Con una fiabilidad del 95%, la duración media de las llamadas telefónicas está entre 32,228 seg. y 37,772 seg.


12

EJERCICIO 14 Un fabricante de pilas alcalinas sabe que la desviación típica de la duración de las pilas que fabrica es de 80 horas. Calcula el tamaño de la muestra que debe someterse a prueba para tener una confianza del 95% de que al tomar la duración media de la muestra como valor de la duración media de la población total de pilas, el error que se cometa sea menor de 16 horas.

SOLUCIÓN



Error máximo: 16E =

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( ) 96,1z 975,096,1zP2

=⇒=≤ α

97n96,0416

8096,1

16

z

n16

z

nz16n16n

zE

2

2

22

22

=⇒=

⋅=

=

σ⋅

≥⇒

σ⋅

≥⇒σ⋅≥⋅⇒≤σ⋅=αα

αα

EJERCICIO 15 Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que fabrica sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 3600. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95% ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372.6, 392.2). a). Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b). ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza del 86.9%?

SOLUCIÓN

a)

Varianza: 36002 =σ


Intervalo de confianza: ( )392,2 ,372,6


Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα


13

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( ) 96,1z 975,096,1zP2

=⇒=≤ α

El intervalo de confianza es:

⋅+µ⋅−µ=


6096,1,

n

6096,1

nz,

nzI

22

c

Como ( )392,2 ,372,6n

6096,1,

n

6096,1 =

⋅+µ⋅−µ :

=⋅+µ

=⋅−µ

2,392n

6096,1

6,372n

6096,1

Sumando ambas ecuaciones:

4,3822

8,7648,7642 ==µ⇒=µ

Restando ambas ecuaciones:

133132,92711,5294n

11,529420,4

235,2

4,20

6096,12n4,20

n

6096,12

2 ≅==

⇒==⋅⋅=⇒=⋅⋅

b) Desviación típica: 60=σ



Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )9345,0

2

869,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( ) 51,1z 9345,051,1zP2

=⇒=≤ α

El error es :

04,615

6051,1

225

6051,1

nzE

2

=⋅=⋅=σ⋅= α

EJERCICIO 16 El peso de los paquetes enviados por una determinada empresa de transportes se distribuye según una ley Normal, con una desviación típica de 0.9 kg. En un estudio realizado con una muestra aleatoria de 9 paquetes, se obtuvieron los siguientes pesos en kilos:

9,5 , 10 , 8,5 , 10,5 , 12,5 , 10,5 , 12,5 , 13 , 12. a). Halle un intervalo de confianza, al 99%, para el peso medio de los paquetes enviados por esa empresa.


14

b). Calcule el tamaño mínimo que debería tener una muestra, en el caso de admitir un error máximo de 0.3 kg, con un nivel de confianza del 90%.

SOLUCIÓN

Procesando los 9 datos, obtenemos:

σ≅==σ

=

561,1s

472,1

11x

x

x



Media: 11=µ




z,n

zI22

c

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )995,0

2

99,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( )( ) 575,2z

9951,058,2zP

9949,057,2zP

2

=⇒

=≤=≤

α

( ) ( )34,12,66,943,111,1,3411

9

561,1575,211,

9

561,1575,211

nz,

nzI

22

c

=+−=

=

⋅+⋅−=


Con una fiabilidad del 99%, el peso medio de los paquetes enviados se encuentra entre 9,66 kg y 12,34 kg. b) Nivel de confianza: 90,01 =α−


Error máximo: 3,0E =

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )950,0

2

90,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( )( ) 645,1z

9505,065,1zP

9495,064,1zP

2

=⇒

=≤=≤

α


15

74n73,2658,55953,0

561,1645,1

3,0

z

n3,0

z

nz3,0n3,0n

zE

22

2

22

22

=⇒==

⋅=

=

σ⋅

≥⇒

σ⋅

≥⇒σ⋅≥⋅⇒≤σ⋅=αα

αα

EJERCICIO 17 Se quiere conocer la permanencia media de pacientes en un hospital, con el fin de estudiar una posible ampliación del mismo. Se tienen datos referidos a la estancia, expresada en días, de 800 pacientes, obteniéndose los siguientes resultados: x = 8.1 días; σ = 9 días. Se pide obtener un

intervalo de confianza del 95% para la estancia media.

SOLUCIÓN



Media: 1,8=µ




z,n

zI22

c

Valores críticos:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzPzzzP1

222

222222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

≤≤−=α−

ααα

αααααα

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α


( ) 96,1z975,096,1zP2

=⇒=≤ α

( ) ( )72,8,7,480,621,8,0,621,8

800

996,11,8,

800

996,11,8

nz,

nzI

22

c

=+−=

=

⋅+⋅−=


Con una fiabilidad del 95%, la permanencia media de pacientes en el hospital se encuentra entre 7,48 días y 8,72 días.

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