UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO

CÁLCULO DIFERENCIAL

JORGE ERNESTO PRADA NIÑO

GUÍA 8. LIMITES

INTRODUCCIÓN

En la siguiente guía, encontrará una serie de ejercicios que le permiten usar los conceptos y propiedades de los límites en una variable real, con el propósito de afianzar los conceptos de límites laterales, límites en un punto y límites al infinito, fundamental para los conceptos que se trabajan en talleres y asignaturas posteriores.

OBJETIVOS

Utilizar el concepto e interpretación geométrica de límite lateral. Emplear el concepto e interpretación geométrica de límite en un punto específi-

co Emplear el concepto e interpretación geométrica de límite al infinito.

METODOLOGÍA

En esta guía los estudiantes:

Leen los conceptos, estudian los ejemplos y resuelven los ejercicios planteados.

Asisten a las asesorías del tutor programadas por la Universidad.

Plantean sus inquietudes al tutor a través de Chats, correo electrónico, clases vir-

tuales.

Reciben orientaciones del tutor de manera presencial.

LOGROS

El estudiante estará en capacidad de:

1. Dada una función real, determinar si el límite en un punto determinado existe o no; justificando perfectamente su respuesta a partir de la interpretación geomé-trica o mediante un análisis cuantitativo.

2. Determinar el comportamiento asintótico de algunas funciones, sólo cuando sea posible, a partir de los resultados obtenidos al estudiar límites al infinito.

3. Para ciertas funciones, definidas a través de un(os) parámetro(s), encontrar con-diciones necesarias y suficientes sobre dichos parámetros para que el límite exis-ta en puntos específicos.

CONCEPTOS BÁSICOS

Definición informal de límite

Sea f(x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los valores de x se aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f(x)

cuando x tiende a b es igual a L y escribimos:

EJEMPLO

Tracemos las gráficas de las funciones:

Si factorizamos en el numerador, obtenemos: Entonces:

, para

De lo anterior, observamos que las tres funciones f, g, h son iguales para cualquier valor de x distinto de 1. Además,

De manera que el límite no depende del valor de la

función en = 1.

La función es la única de las tres en que ya que:

LÍMITES LATERALES

se llama límite lateral por la derecha.

se llama límite lateral por la izquierda

TEOREMA

Sea f una función, sean b y L números reales, entonces:

si y solamente si: =

EJEMPLO Sea

Hallar

Solución:

(Acercamiento por la izquierda)

(Acercamiento por la derecha)

Entonces:

PROPIEDADES DE LÍMITES

Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y g funciones tales que:

Entonces:

1. 2.

3. 4.

5. 6. ,

7. 8. (k es constante)

9. 10.

11.

LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS

La gráfica de una función polinómica ( o polinomio) tiene un trazo continuo, por lo cual podemos afirmar:

Sea f un polinomio, entonces para cualquier número real c se tiene que:

,es decir, que el límite en cualquier punto c de su dominio se halla simplemente calculando su imagen.

Ejemplo:

Sea

LÍMITES DE OTRO TIPO DE FUNCIONES

Para calcular límites de otras funciones debemos proceder inicialmente como si se tratara de polinomios, es decir, se sustituye el valor de x por el número al cual se aproxima. Si el resultado es un número real, entonces esa será la solución, si en cambio

el resultado es de la forma (indeterminación) entonces debemos realizar

procedimientos algebraicos para suprimir la indeterminación.

Ejemplo:

al sustituir x por -1 podemos observar que tiene forma

Si factorizamos el numerador tenemos: al cancelar el

factor común obtenemos:

Otro ejemplo:

si sustituimos se tiene la forma por lo cual debemos realizar algún

procedimiento algebraico, en este caso multiplicamos numerador y denominador por , para aplicar el producto notable: y así eliminar la

indeterminación

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

Un límite básico relacionado con la trigonometría es el siguiente:

La demostración de este límite se encuentra en la página 105 del Cálculo de Thomas (Una Variable, undécima edición).A partir de este resultado podemos resolver límites como:

1. 2. 3.

LIMITES INFINITOS

Definición

Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:

significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes

(tan grandes como deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráfica presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica)

Definición

Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:

significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente

negativos (tan grandes como deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráfica presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica)

Definición

La recta x = a se llama asíntota vertical de la función si se cumple una de las siguientes proposiciones:

LIMITES AL INFINITO

Definición

Sea f una función definida en un intervalo , entonces significa que

los valores de f(x) se pueden aproximar a L tanto como deseemos, si escogemos un x suficientemente grande.

CÁLCULO DE LÍMITES AL INFINITO

Sea f(x) una función racional definida por:

a) Si n < m entonces:

b) Si n = m entonces:

c) Si n > m entonces:

ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Definición

La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva si se satisface una de las dos expresiones:

De lo anterior podemos concluir que una función racional presenta una asíntota

horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

EJEMPLO si calculamos: obtenemos como resultado 1, lo

cual significa que la gráfica tiene un asíntota horizontal en y = 1, veamos esta situación en el siguiente dibujo:

ASÍNTOTAS OBLICUAS

Sea una función racional, si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, entonces la gráfica de f presenta una asíntota oblicua, esta se halla realizando la división indicada en la función.

EJEMPLO

Sea

Esta función tiene una asíntota oblicua, hallémosla:

Asíntota oblicua:

Veamos la gráfica:

Notese que y además

EJERCICIOS

1. Calcular los siguientes límites algebraicos:

2. Calcule los siguientes límites trigonométricos:

a. b. c.

e. f. g.

h. i. J.

k.

3. Trace las gráficas de las funciones, incluya las asíntotas que se presenten en cada caso.

4. Trace la grafica de una función y= f(x) que satisfaga las condiciones dadas (no es necesario que incluya formulas, solamente marque los ejes coordenados y trace una grafica apropiada)

a) f(0) = 0 , f(1) =2 , f(-1) = - 2 ,

5. Calcule los límites:

d) e)

6. Encuentre el valor de de modo que la función dada sea continua en , donde:

7. Si , siendo ; emplear el Teorema del emparedado para

calcular el .

8. a) Determine funciones y tales que el exista, pero que el

y no existan.

b) ¿Es posible que y el existan, pero que

no exista?. Si es posible, de un ejemplo; en caso contrario, explique por qué?

9. Determine si los siguientes límites existen o no:

a.

b.

c. , donde el símbolo , indica la parte entera de .