Guida all’uso dell’Eurocodice 2 nella progettazione

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- materiali- analisi strutturale- stati limite ultimi

Pisa, 26 Gennaio 2007

Prof. ing. Piero Marro Dr. ing. Matteo GuigliaDr. ing. Maurizio Taliano

Dipartimento di Ingegneria Strutturale e GeotecnicaPolitecnico di Torino

Guida all’uso dell’Eurocodice 2 nella progettazione strutturale

P. Marro, M. Guiglia, M. TalianoDipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico di Torino 2

Materiali (Sez. 3-EC2)

Calcestruzzo

fck = resistenza cilindrica a compressione caratteristica a 28 giorni.

ENV: da 12 a 50 N/mm2

EN: da 12 a 90 N/mm2 (14 classi)


Caratteristiche meccaniche e fisiche correlate a fck(Prospetto 3.1-EC2 )


fck 12 90 N/mm2 90/12 = 7,5

fctm 1,6 5,0 N/mm2 5,0/1,6 = 3,1

Ecm 27 44 kN/mm2 44/27 = 1,6


Calcestruzzo ad alta resistenza

- elementi compressi

- travi precompresse

- meno conveniente per travi non precompresse in quanto:

• sfruttamento della resistenza solo in zona compressa

• elevate percentuali di armatura, difficoltà di collocazione

• limiti inflessione


ENV:

con MRd,NRd fcd ⋅ 0,85

EN:

(αcc= 0,85)

Resistenza a compressione di progetto fcd

C

ckcd

ff

γ=

ccC

ckcd

ff α⋅γ

=


ENV EN

Conseguenza della definizione di

- nuove tabelle e nuovi diagrammi dei manuali fck ≤ 50 N/mm2

alterati da 1 / 0,85

ccC

ckcd

ff α⋅γ

=

Nuove tabelle e diagrammi per fck > 50 N/mm2

ω=0,5

ω=0

μ

ν0.40 0.85 ν

ω=0,5

ω=0

μ

ν0.48 1.00 ν

0.20 0.23


Diagramma σc-εc di progetto: parabola (esponenziale) - rettangolo

0

10

20

30

40

50

εc

σc

(N/mm2)

C30/37

C50/60

C70/85

C90/105

2,0‰ 3,5 ‰

2,4 ‰ 2,7 ‰

2,6 ‰

C60/75 2,9 ‰2,3 ‰

C80/95

1,0‰ 2,0 ‰ 3,0 ‰

2,0% 3,5%


Diagramma σc-εc di progetto: bilineare

0

10

20

30

40

50

εc

σc

(N/mm2)

C30/37

C50/60

C70/85

C90/105

1,75 ‰ 3,5 ‰

2,0 ‰ 2,7 ‰

2,6 ‰ 2,3‰

C60/75

C80/95

1,9 ‰ 2,9 ‰

2,2 ‰ 2,6 ‰

1,0 ‰ 2,0 ‰ 3,0 ‰

1,75% 3,5%


Distribuzione rettangolare delle tensioni

A

d

fcd

Fs

x

εs

x

εcu3

Fc

s

λ < 1η ≤ 1

λ

η


Acciaio per cemento armato ordinario

ENV:

alta duttilità εuk ≥ 50 ‰

εud = 0,9 εuk = 67,5 ‰

EN:

B450C εuk ≥ 75 ‰σs

εs

10 ‰

σs

∞

εs

∞


Analisi strutturale (Sez. 5-EC2, da 5.1 a 5.7)

Imperfezioni geometriche

Valori riferiti alla Classe 1 (esecuzione normale) di ENV 13670 "Execution"

Inclinazione:

θi per S.L.U.

in particolare con effetti del secondo ordine

mhoi ααθθ ⋅⋅=

166,0 2≤≤= hh L

αα

)77,0 5m (es. )11(5,0 m =⇒=+⋅= ααmm

200/1=oθ

N

iθ

L


Analisi strutturale

Nell'evoluzione della risposta della struttura alle azioni compaiono:

- fessure

- plasticizzazione dell’acciaio

- plasticizzazione del calcestruzzo

Nelle strutture isostatiche aumento inflessione

Nelle strutture iperstatiche

reazioni vincolari, sollecitazioni M,V(risposta non lineare)

deformazioni elastiche complementari(compatibilità)

deformazionirotazionalianelastiche


• Le rotazioni anelastiche prendono il posto di deformazioni elastiche:localmente M diminuisce

• L'effetto locale di rotazioni anelastiche ha segno opposto a quello della causa che le ha determinate

q L /8

L L2

+

M(q)

M1

+

X X

1

Trave continua. Fessurazione all’appoggio centrale


In EC2 quattro metodi prendono in conto questi fenomeni in modo diverso

Analisi lineare elastica (ALE)

Analisi lineare elastica con ridistribuzionelimitata (LR)

Analisi plastica (P)

Analisi non lineare (ANL)


ALE (analisi lineare elastica)

Vale per S.L.E. e S.L.U.

In presenza di carichi

• elasticità, sezioni interamente reagenti fino a S.L.U.

• vantaggio: principio sovrapposizione effetti

• sarebbe necessaria una limitazione di x/d (che EC2 non impone); altrimenti incertezza di modello, rischio rottura fragile

Come:

In presenza di deformazioni impresse (effetti termici, cedimenti vincolari):

• analisi S.L.U. con sezioni fessurate e senza tension-stiffening

• analisi S.L.E. con graduale evoluzione della fessurazione

ENV

x/d = 0,45 (fck ≤ 35 N/mm2)

x/d = 0,35 (35 < fck ≤ 50 N/mm2)

DIN 1045:2001

x/d = 0,45 (fck ≤ 50 N/mm2)

x/d = 0,35 (50 < fck ≤ 100 N/mm2)


LR (analisi lineare elastica con ridistribuzione limitata)

Metodo progettuale per S.L.U.

Dove compare una cerniera plastica, M viene ridotto rinviando lasollecitazione verso altre parti :

si può di ridurre localmente l’armatura tesa, As, in funzione della ridistribuzione δ

i valori di ridistribuzione δ (max 30%) dipendono da:

• classe dell’acciaio (in Italia, classe C)

• fck e εcu

• x/d

se la ridistribuzione δ è troppo spinta, anche se ammissibile per lo S.L.U., σc e σs possono risultare eccessive allo S.L.E.


P (analisi plastica)

Applicazione della teoria della plasticità. Vale solo per S.L.U.

Metodo Statico (lower bound method):

- struttura resa isostatica

- rispetto delle condizioni di equilibrio e di plasticità

- Qu,vero ≥ Qlim (calcolato)

Metodo Cinematico (upper bound method)

- struttura trasformata in un meccanismo

- posizione arbitraria delle cerniere con possibilità diaffinamento

- Qu,vero ≤ Qlim (calcolato)


P (analisi plastica)

In EC2:

Applicazioni del metodo statico

- schema puntoni-tiranti

- metodo strisce per le piastre

- metodo θ variabile per le travi

Applicazioni del metodo cinematico

- travi e piastre (linee di rottura)

- richiesti: acciai di classe B o C

- duttilità diffusa senza verifica capacità rotazione se

x/d ≤ 0,25 per fck ≤ 50 N/mm2

x/d ≤ 0,15 per fck > 50 N/mm2

altrimenti si richiede la verifica di θpl


ANL (analisi non lineare)

- Tiene conto di tutti i fenomeni

- Costituisce un procedimento evolutivo al passo

- Rispetta le condizioni di equilibrio e di compatibilità

- Richiede modellazione σ-ε acciaio e calcestruzzo, nonché valori θpl

- Richiede l’uso di elaboratore

EC2 non fornisce regole specifiche


Confronto fra i metodi di analisi

Travi duttili, progetto base ALE senza ridondanze di As:

portanza ANL = portanza ALE

Travi duttili, progetto base ALE con ridondanze di As:

portanza ANL > portanza ALE

Travi duttili progettate con LR:

ANL conferma SLU, ma evidenzia eventuali insufficienze a SLE

Portanza Pcinematico > Portanza ANL


S.L.U. per flessione semplice e composta (Sez. 6.1-EC2)

- 1 pagina EC2 30 pagine Guida

- metodi noti, novità su materiali:

- calcestruzzo 50 90 N/mm2

- acciaio εud 67,5 ‰

- S.L.U.: σc (εc) funzione esponenziale:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

−−=n

2c

ccd 11f

fck(N/mm2)

n

≤50 2,060 1,670 1,4580 1,490 1,4

x

εcu2

εc2

fcd


Tabelle di β1 β2 per ogni fck, anche per x > h

Fc = b β1 x fcd

M = Fc (d - β2 x)

σc

Fc β2 xx

εcu2

εc2

fcd

d


Problemi svolti:

Dati: geometria, meccanica della sezione e retta deformazione, determinare NRd e MRd

Dati: geometria, meccanica della sezione e NEd, determinare MRd

Dati: geometria, NEd e MEd , determinare As e A's

Applicazioni a sezioni rettangolari e a T

Trattazione in terminidimensionali non trattandosi di un manuale

Esempio: diagramma di interazione NRd – MRd

0

200

400

600

800

1000

1200

-8000-6000-4000-200002000

Sforzo normale NRd (kN)

Dati:

fck = 30 N/mm2

fyk = 450 N/mm2

γc = 1,5

γs = 1,15 As = 3600 mm2

As = 2400 mm2

As = 1200 mm2

As = 050‰‰5,3sc −=εε

25‰‰5,3sc −=εε

10‰‰5,3sc −=εε

sydsc ‰5,3 ε−=εε

0‰5,3sc −=εε

0‰5,3inf,cc −=εε

‰0,2c −=ε

d'=5

0

h=60

0

b=400

As

d'=5

0

As

Mom

ento

M

Rd

(k

Nm

)

MRd=NRd h/30


S.L.U. per taglio (Sez. 6.2-EC2)

Elementi privi di armature trasversali

Sono le nervature dei solai e le piastre. Non le travi perché queste devono avere almeno l'armatura minima (Sez. 9-EC2).

fck=90

50

3020

50

40

30

20

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,5 1,0 1,5 2,0ρ =

l

VRd,c

bw d(N/mm2)

ENENV

Asl

b dw

d=200 mm


Travi con armature trasversaliUn solo metodo di verifica: θ variabile (in ENV anche metodo "standard“).

Campo di θ più ristretto rispetto a ENV : 1 ≤ cot θ ≤ 2,5 (anziché 0,4 - 2,5)

(45° ≤θ≤ 21,8° anziché 68,2°-21,8°)

Formule derivanti dall'applicazione del metodo statico della plasticità. Pur essendo un metodo lower bound, è necessario adottare σc = ν fcd (con ν < 1, funzione di fck)

Effetto del taglio: correnti superiore e inferiore tesi, anima compressa, in funzione di α e di θ

θ

s

d

A

V (cot θ − cotα)

V

N M α ½ z

½ zVz = 0,9d

Fcd

Ftd

B

C D


Taglio resistente delle bielle compresse e delle armature

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5cotθ

VRd

VRd,max

0,50

VRd,s

0,34

minimasw

sA

ν fcd bw z

α= 90°A

B

C


Taglio resistente delle bielle compresse

α= 45° 1,00

0,79

0,50 0,480,420,34

α= 60°

α= 90°

VRd

ν fcd bw z

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5cotθ

A

B


Armature necessarie

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,0 1,5 2,0 2,5 cot θ

Asw/ s0,28

ΔA sl

minimasws

A

α= 90°


S.L.U. per torsione (Sez. 6.3-EC2)

- torsione di compatibilità armature minime (Sez.9-EC2)

- torsione di equilibrio verifica statica


Per torsione di equilibrio: sezione resistente tubolare ideale con flusso di τ calcolato alla Bredt

A - linea media

B - perimetro esterno della sezione effettiva

B TEd

t ef

A

tef /2

zi


Ogni tratto zi della sezione tubolare si comporta come una sezione rettangolare soggetta a taglio. Risultano:

bielle compresse di inclinazione θ variabile:

- inclinazione θ come per il taglio

- σc ≤ ν fcd con ν < 1 come per il taglio

armature trasversali tese: staffe α = 90°

armature longitudinali tese (analogia correnti trave a taglio)


Combinazioni taglio-torsione

sollecitazioni limitate (assenza fessure)

⇒ diagramma di interazione lineare fra VRd,c e TRd,c , sollecitazioni resistenti per sezioni non armate. Si dispone solo l'armatura minima.

sollecitazioni importanti

⇒ diagramma di interazione lineare fra VRd,max e TRd,max ,sollecitazioni resistenti corrispondenti alla resistenza delle bielle compresse. Si dispone l'armatura necessaria.

TEd

TEd

TRd,c

VRd,c

TRd,max

VEd

VEdVRd,max

Documents

Guida all’uso dell’Eurocodice 2 nella progettazione