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UNIDAD 4: Estudiemos la Probabilidad
Objetivo: Utilizar y explicar los algoritmos correspondientes a los principios probabilísticos para
asignar, con certeza, el valor asociado a la probabilidad de ocurrencia de eventos aleatorios,
para tomar decisiones sustentadas en principios matemáticos, sobre eventualidades que
ocurren en la vida cotidiana.
Tema I: Experimento aleatorio, espacio muestral, suceso o evento
Tiempo probable: 3 horas
Objetivos:
Que el alumno
Construya un concepto adecuado de experimentos aleatorios y lo relacione a situaciones del
entorno
Comprenda el concepto de espacio muestral,y de suceso o evento.
ACCION:
Experimento: Es una acción que se realiza con el propósito de hacer algún tipo de observación y obtener una serie de datos a partir de su resultado
Ejemplos de experimentos:
Lanzar una moneda al aire
Arrojar una piedra al vacio y medir su aceleración
Tirar un dado sobre la mesa
Introducir un termómetro en agua hirviendo y anotar su temperatura
Hacer girar una ruleta
Preguntar a los alumnos:
¿En cuáles de los siguientes experimentos consideras no se puede prever el resultado antes
de efectuarlo?
Experimento 1 Sin ver, seleccionar una
carta de:
Experimento 2 Sin ver, seleccionar una
carta de:
Experimento 3 Sin ver, seleccionar una
carta de
Nota: Las cartas pueden ser reales
En el segundo experimento es claro que no podemos conocer el resultado, y en el tercer experimento
aunque es muy posible que seleccionemos una carta roja también puede suceder que seleccionemos
la carta negra.
FORMULACION:
Experimento aleatorio Es aquel que antes de realizarlo no se puede predecir el resultado que se va a obtener
Un experimento aleatorio debe cumplir o verificar las siguientes condiciones:
Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones
Antes de realizarlo no se puede predecir el resultado
El resultado que se obtiene pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados
posibles.
Preguntar:
¿Qué situaciones de la vida cotidiana podrías clasificar como experimentos aleatorios?
o Lanzar un dado
o Jugar a la lotería
o Lanzar una moneda
o Juegos de azar
VALIDACION:
¿Cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios?
a) En una caja hay cinco bolas amarillas, sacamos una bola y anotamos su color
b) Bajar a la planta baja de un ascensor
c) Lanzar una moneda al aire y anotar su resultado
d) En una caja hay cinco bolas, 2 blancas y tres amarillas, sacamos una bola y anotamos su color
e) Al lanzar un dado de seis puntos anotamos todos los resultados mayores que ocho
c y d constituyen experimentos aleatorios
INSTITUCIONALIZACION
Cuando realizamos experimentos aleatorios no sabemos cuál será el resultado. En caso contrario, es
decir si conocemos el resultado antes de realizar el experimento se dice: suceso determinista, por
ejemplo al sacar una bola de una caja que contiene cinco bolas amarillas sabemos anticipadamente que
será amarilla.
Aunque en un experimento aleatorio no sepamos lo que ocurrirá, si conocemos de antemano todos sus
posibles resultados.
EJ: Si lanzamos al aire una moneda dos veces. ¿Cuáles son todos los posibles resultados?
Solución:
Primera tirada Segunda tirada
Si solo necesitáramos la cantidad de posibles resultados, solamente aplicamos el principio de la
multiplicación:
1 tirada 2 tirada
= 4 posibles resultados
En este caso nos interesa conocer cuáles son todos los posibles resultados al realizar el experimento:
Lanzar al aire una moneda dos veces, ya encontramos que los posibles resultados son:
Posibles resultados: {CC, CK, KC, KK}
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento constituyen el Espacio Muestral
(E o S)
En el ejemplo anterior:
S= {CC, CK, KC, KK}
Llamaremos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. El mismo espacio muestral es
un suceso llamado suceso seguro y el conjunto vacio (Ø) es el suceso imposible
Cada uno de los posibles resultados se llama: suceso simple o suceso elemental.
La unión de varios sucesos simples forman un suceso compuesto
Hacer énfasis en que un experimento es distinto de un suceso
Del experimento: Lanzar al aire una moneda dos veces, definiremos algunos sucesos:
a) Los sucesos elementales o simples:
{CC}, {CK}, {KC}, {KK}
b) El suceso A: Obtener al menos una cara:
Al menos una cara: Una cara o dos
A= {CK, KC, CC}
c) El suceso B: Obtener 3 coronas
B= Ø
d) El suceso C= Obtener a lo sumo una corona
A lo sumo una corona: Una corona o ninguna. C= {CK, KC, CC}
2 2
Cara (C)
C
K
K
Corona (K) C
Nota: hacer énfasis en que los sucesos A y C son sucesos compuestos y la diferencia entre suceso y
experimento.
Ejemplo 2:
Determinar el espacio muestral del experimento aleatorio:
“Lanzar simultáneamente una moneda y un dado”
Para facilitarnos el procedimiento podemos construir una tabla de doble entrada.
Dado
Moneda 1 2 3 4 5 6
Cara (C ) C1 C2 C3 C4 C5 C6
Corona ( K ) K1 K2 K3 K4 K5 K6
Pedir a los alumnos completen la tabla y encuentren los sucesos A y B
A: “Obtener corona y número par”
B:”Cara y número primo”
Solución:
A: “Obtener corona y número par”
A= {K2, K4, K6}
B: “Cara y número primo”
B= {C1, C2, C3, C5}
Ejemplo 3:
Sobre una mesa se encuentran cinco cartones numerados del 1 al 5 y vueltos hacia abajo. Una persona
selecciona dos cartones al azar y observa su suma. Escribe
a) Espacio muestral correspondiente a este experimento
b) El suceso A: “la suma es número primo”
c) El suceso B: “la suma e número impar”
Pedir a los estudiantes que desarrollen el ejercicio y luego resolverlo juntos en la pizarra
Solución:
S= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A= {3, 5, 7}
B= {3, 5, 7, 9}
Ejemplo 4
Una caja contiene 6 focos defectuosos y 7 buenos. Si se selecciona al azar una muestra de 8 focos
a) Cuantos elementos tiene el espacio muestral asociado a esta experiencia
b) En cuantas muestras cabe esperar al menos 3 focos defectuosos
c) En cuantas cabe esperar a lo sumo 5 buenos
Solución:
¿Qué se nos pide? Observa que en este caso no se nos pide que escribamos los sucesos sino que
encontremos la cantidad de elementos.
Si recuerdas el principio de la multiplicación, dice:
Si una primera operación puede realizarse de n maneras y a continuación
una segunda puede hacerse de m maneras. Entonces las dos operaciones,
una después de la otra pueden realizarse de m×n maneras
En este caso haremos extracciones de 8 focos, y pueden salir tanto buenos como defectuosos sin embargo no interesa el orden en que salgan, por lo que estamos hablando de combinaciones.
a) En la caja hay 13 focos en total y se harán combinaciones de 8 focos por lo que la cantidad de elementos del espacio muestral corresponde a:
𝟏𝟑𝟖 = 1287 elementos
b) ¿Qué significa que obtengamos al menos tres focos defectuosos? Que obtengamos 3 o 4 o 5 o 6 focos defectuosos. En el primer caso tenemos la extracción de tres focos defectuosos, lo que significa que extraemos también 5 focos buenos. Sin embargo como tenemos 6 focos defectuosos y siete buenos, lo que buscamos es:
𝟔𝟑 ×
𝟕𝟓 = 420
𝟔𝟒 ×
𝟕𝟒 = 525
𝟔𝟓 ×
𝟕𝟑 = 210
𝟔𝟔 ×
𝟕𝟐 = 21
________________
TOTAL= 1, 176 elementos del suceso “Obtener al menos tres focos defectuosos”
c) ¿Qué significa obtener a lo sumo 5 focos buenos? Significa obtener 5 o menos focos buenos.
𝟕𝟓 ×
𝟔𝟑 = 420
𝟕𝟒 ×
𝟔𝟒 = 525
𝟕𝟑 ×
𝟔𝟓 = 210
𝟕𝟐 ×
𝟔𝟔 = 21
_________________
TOTAL = 1, 176 elementos del suceso “Obtener a lo sumo cinco focos buenos”
Observa que en este caso ya no consideramos el caso de 1 foco bueno porque solamente
extraíamos 8 focos y en ese caso tendríamos que extraer 7 focos defectuosos y solo tenemos
seis, sin embargo si el problema fuera diferente, se debe considerar también el caso de extraer
uno bueno y de que ninguno sea bueno.
Ejercicios:
1. Lanzamos al aire un dado de seis caras, numeradas con 1, 2, 3, 4, 5 y 6 y observamos la puntuación
obtenida.
a) Escribir el espacio muestral= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Escribe los siguientes sucesos
A= “Obtener un número par”= {2, 4, 6}
B= “Obtener más de tres”= {4, 5, 6}
C= “Obtener menos de tres”= {1, 2}
D=”Obtener más de ocho”= {Ø}
E= “Obtener menos de ocho”= S
c) ¿Cuál de los sucesos anteriores es un suceso imposible? D
d) ¿Cuál de los sucesos anteriores es un suceso seguro? E
2. La mesa directiva (presidente, secretario y tesorero) del Club Juvenil “Juventud Sana” va a elegirse
de entre cinco candidatos identificados como A, B, C, D y E. Si cualquiera de ellos es apto para
ocupar cualquier puesto menciona cuentos elementos tiene:
a) El espacio muestral asociado a la experiencia de elección de la mesa directiva. S está formado
por 10 elementos
b) El suceso F: “El candidato A es miembro de la mesa directiva”. F está formado por 6 elementos
c) El suceso G: “los candidatos A y B son miembros de la mesa directiva” G está formado por 3
elementos
Tema II: Operaciones con sucesos Tiempo probable: 4 horas
Objetivos:
Grafique operaciones con sucesos utilizando diagramas de Venn
Aplique las operaciones con sucesos para determinar subconjuntos de un espacio muestral
ACCION:
Partiremos del siguiente experimento:
De una caja que contiene 3 bolitas blancas y 3 negras se extraen tres, una después de la otra.
Definimos los sucesos siguientes:
A: “Salen más bolitas blancas que negras”
B: “Sale un número impar de bolitas blancas”
Pedir a los alumnos encontrar el espacio muestral, los sucesos A y B.
Solución:
S= {BBB, BBN, BNB, BNN, NBB, NBN, NNB, NNN}
A= {BBB, BBN, BNB, NBB}
B= {BBB, BNN, NBN, NNB}
Los sucesos A y B constituyen sucesos compuestos con los cuales podemos efectuar algunas operaciones
1 extracción 2 extracción 3 extracción
B N
Blanca (B)
B
B
N
N
B Negra (N)
B
N
B
N
N
FORMULACION
Traduce al lenguaje común utilizando los sucesos A y B las siguientes operaciones:
AUB= “Salgan mas bolitas blancas que negras o salga un número impar de bolitas blancas”
A∩B= “Salen más bolitas blancas que negras y sale un número impar de bolitas blancas”
AC = “No salen más bolitas blancas que negras” o “Salen más bolitas negras que blancas”
Las operaciones que podemos realizar con los sucesos A y B son las siguientes:
AUB = Esta constituido por todos los elementos que pertenecen a A, a B o ambos y ocurre siempre
que ocurre al menos uno de los dos
A∩B = Esta constituido por los elementos comunes a ambos sucesos y ocurre solamente cuando
ocurren los dos
A - B = Esta constituido por todos los elementos de A que no pertenecen a B
AC = Se llama suceso contrario de A y está constituido por todos los elementos del espacio
muestral que no pertenecen a A
VALIDACION:
Encuentra los siguientes sucesos:
AUB, A∩B, A – B, AC
AUB: {BBB, BBN, BNB, NBB, BNN, NBN, NNB}
A∩B: {BBB}
A – B: {BBN, BNB, NBB}
AC: {BNN, NBN, NNB, NNN}
INSTITUCIONALIZACION:
Conociendo el significado de las operaciones con sucesos, podemos utilizar los diagramas de Venn
para ilustrar de manera gráfica estas operaciones.
Para ello consideraremos el espacio muestral S como nuestro conjunto universal y denotemos con
las letras A y B algunos subconjuntos de S.
A B
AUB
S S
AUB AUB
S constituye el espacio muestral resultante de realizar un experimento aleatorio, A y B representan
dos subconjuntos del espacio muestral.
AUB representa todos los elementos que cumplen A o B o ambas.
Tenemos dos casos: eventos que tienen elementos en común y eventos que no tienen elementos
comunes, en el primer caso como existen elementos comunes, al realizar AUB esos elementos
comunes se toman una sola vez, como en el ejemplo anterior el elemento BBB pertenece a A y B
pero solo lo consideramos una vez.
A∩B
S La operación intersección representa los elementos
comunes de los sucesos A y B.
Si los sucesos no tienen elementos comunes, entonces
A∩B = Ø
A∩B
A – B AC
A B A B
A
A B
Ac
A
Ejemplo:
Sobre una mesa se encuentran cinco cartones numerados del 1 al 5 y vueltos hacia abajo. Una persona
selecciona dos cartones al azar y observa su suma. Para los sucesos
P = “La suma es número primo”
I = “la suma es número impar”
Encontrar los sucesos PC, IC, (P U IC), (PC ∩ I)
Solución:
En la clase anterior encontramos es espacio muestral y los sucesos
S= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
P= {3, 5, 7}
I = {3, 5, 7, 9}
En primer lugar debemos tener claro el significado de las operaciones que se nos piden.
¿Qué significa PC? Significa la suma no es número primo. Luego PC= {4, 6, 8, 9}
¿Qué significa IC? Significa la suma no es un número impar” o “La suma es número impar”.
Luego IC= {4, 6, 8}
¿Qué significa (P U IC)? Significa “la suma es número primo o par o ambos” (P U IC)= {3, 4, 5, 6, 7, 8}
¿Qué significa (PC ∩ I)? Significa “la suma no es número primo y es número impar Luego (PC ∩ I)= {9}”
Ejercicios
1. Al comprar una pizza el cliente puede escoger dos de los siguientes ingredientes: jamón, salami,
hongos y camarones. Si se compra una pizza, describir el espacio muestral que corresponde a los
ingredientes que incluye
Solución:
Cantidad de elementos: 12
Salami jamón
Jamón hongos Salami hongos
Camarones camarones
Salami jamón
Hongos jamón Camarones hongos
Camarones salami
2. Al elegir una persona entre los estudiantes de una clase , consideremos los sucesos siguientes:
A: la persona elegida es mujer
B: la persona elegida es hombre
C: la persona elegida sabe computación y
D: la persona elegida sabe inglés
Describe con tus propias palabras cada uno de los siguientes sucesos:
a) AUB
b) A ∩B
c) AC
d) C∩D
e) AC ∩ C
3. En una urna hay 15 bolas numeradas del 1 al 15, se extrae una de ellas. Escribe los sucesos:
A: “Obtener número impar”= { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
B: “Obtener múltiplo de tres”= {3, 6, 9, 12, 15}
AUB= {1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15}
A∩B= {3, 9, 15}
BC= {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14}
CENTRO ESCOLAR JAPON
Tarea 1: Operaciones con Sucesos
Asignatura: Matemática Prof. Liseth Steffany Martínez
INDICACIONES:
Resuelve ordenadamente cada uno de los siguientes ejercicios, y preséntalos en tu
cuaderno la próxima clase.
1. Escribe el espacio muestral resultante del experimento: tirar 3 monedas al aire.
Considera los sucesos:
A: “Salir una cara”
B: “Salir al menos una cara”
Escribe los sucesos AUB, A∩B y el suceso contrario de B
2. De una bolsa que contiene 4 focos malos y uno bueno, se van sacando uno por uno y se
van probando. Este proceso se suspende hasta que se haya extraído el foco bueno.
Describir el espacio muestral adecuado
3. Al elegir al azar a una persona entre los estudiantes de una clase; consideremos los
siguientes sucesos:
A: “la persona elegida es mujer”
B: “la persona elegida es hombre”
C: “la persona elegida sabe computación y
D: “la persona elegida sabe inglés”
Describe con tus propias palabras cada uno de los siguientes sucesos:
a) AUB b) A∩B c) AC d) C∩D
4. Se tienen cuatro objetos a, b, c y d. Se van a colocar los cuatro en orden.
a) Describir un espacio muestral adecuado
b) Si A y B son los sucesos siguientes
A: “a” esta en primer lugar
B: “b” esta en segundo lugar
Escribe todos los elementos de los sucesos A y B, A o B, AC
Solución tarea 1:
5. Escribe el espacio muestral resultante del experimento: tirar 3 monedas al aire. Considera los
sucesos:
A: “Salir una cara”
B: “Salir al menos una cara”
Escribe los sucesos AUB, A∩B y el suceso contrario de B
S= {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK}
A: {CKK, KKC, KCK}
B: {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC}
AUB= B
A∩B= A
BC= {KKK}
1. De una bolsa que contiene 4 focos malos y uno bueno, se van sacando uno por uno y se van
probando. Este proceso se suspende hasta que se haya extraído el foco bueno. Describir el
espacio muestral adecuado.
S={B, MB, MMB, MMMB,MMMMB}
3. Al elegir al azar a una persona entre los estudiantes de una clase; consideremos los siguientes
sucesos:
A: “la persona elegida es mujer”
B: “la persona elegida es hombre”
C: “la persona elegida sabe computación y
D: “la persona elegida sabe inglés”
Describe con tus propias palabras cada uno de los siguientes sucesos:
a) AUB= “la persona elegida es mujer o es hombre”
b) A∩B= “la persona elegida es mujer y hombre” = Ø
c) AC = “la persona elegida no es mujer” o “la persona elegida es hombre (B)”
d) C∩D= “ la persona elegida sabe computación e inglés”
4. Se tienen cuatro objetos a, b, c y d. Se van a colocar los cuatro en orden.
a) Describir un espacio muestral adecuado
S = {abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb, bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca,
cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba, dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba}
b) Si A y B son los sucesos siguientes
Escribe todos los elementos de los sucesos A y B, A o B, AC
A y B= {abcd, abdc}
A o B= {abcd, abdc, adbc, adcb, acdb, acbd, cbad, cbda, dbac, dbca}
AC= {bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca, cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba,
dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba}
CENTRO ESCOLAR JAPON
Guía de trabajo en el aula
OBJETIVO: Que el alumno distinga los tipos de sucesos según su posibilidad de ocurrencia
en situaciones concretas.
INDICACIONES:
Conformar equipos de 5 integrantes
Resolver siguiendo el orden de la guía y comunicar a la maestra cuando finalicen
cada parte
Cada integrante del grupo debe copiar en su cuaderno esta guía resuelta
PARTE I: Lee con atención la situación que se te presenta y luego completa las oraciones
En una caja echamos veinte calcetines blancos. Si extraemos dos calcetines, naturalmente
serán blancos.
Si además de los veinte calcetines blancos, echamos dos negros y luego extraemos dos
calcetines;
Es muy probable que: ___________________________________________________
Es poco probable que: ___________________________________________________
Es muy poco probable que: _______________________________________________
PARTE II: Lee con atención cada experimento y clasifica cada suceso según su posibilidad
de ocurrencia como seguro, posible imposible, muy probable y poco probable.
Experimento 1: En una urna hay 5 bolas, cuatro rojas y una azul, sacamos una bola y
anotamos su color.
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar bola roja o azul
Sacar bola azul
Sacar bola verde
Sacar bola roja
Experimento 2: Al lanzar un dado, anotamos la puntuación obtenida.
PARTE III: Lee el experimento que se te presenta y completa la tabla con ejemplos de
distintos sucesos
Experimento 3: En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10, sacamos una bola y
anotamos el número.
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar una puntuación inferior a siete
Sacar un cinco
Sacar un siete
Sacar menos de cinco
Sacar más de cuatro
TIPO DE SUCESO SUCESO
Suceso seguro
Suceso posible
Suceso imposible
Suceso muy probable
Suceso poco probable
Cara y corona
Toma un centavo, ponlo en el cero y lanza, sucesivamente, una moneda al aire. Cuando salga cara, mueve la ficha una unidad hacia arriba y, cuando salga cruz una unidad hacia abajo. Lleva la cuenta del número de tiradas hasta llegar a una de las metas. No hace falta que vayas contando el número de caras y de cruces. Observa que, por ejemplo, si llega a la META SUR en 57 tiradas, habrás conseguido 7 cruces más que caras. En este caso las caras serán 25 y las cruces 32.
Proporción de caras: 𝒏° 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔
𝒏° 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔 =𝟐𝟓
𝟓𝟕= 0.439
Proporción de cruces: 𝒏° 𝒅𝒆 𝒄𝒓𝒖𝒄𝒆𝒔
𝒏° 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔 =𝟑𝟐
𝟓𝟕= 0.561
Cuando hayas llegado a una de las metas calcula tu proporción de caras y de cruces y compara los resultados con los de tus compañeros
Resuelve ahora los siguientes casos:
META Número
de tiradas
Número de caras
Número de
cruces
Proporción de caras
Proporción de cruces
Norte
Sur
Norte
Sur
23
49
105
97
Observa que, cuanto más se tarda en alcanzar una de las metas, mas se aproximan a 0.5 las proporciones
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
META NORTE
META SUR
Tema III: Enfoques de la probabilidad
Tiempo probable: 11 horas Objetivos: Que el alumno
Relacione los términos que se emplean en la vida cotidiana para la asignación de
probabilidades a sucesos aleatorios
Describa las características principales de los enfoques de la probabilidad
Aplique las leyes del azar en el análisis de sucesos aleatorios
Comprenda los axiomas de probabilidad y los utilice para asignar la probabilidad de sucesos de
la vida diaria
Introducción:
Origen de la Probabilidad (Breve historia):
La probabilidad está muy relacionada con los juegos de azar, antes de la existencia de un estudio formal
de la probabilidad, esta ya estaba presente en los juegos de azar.
En algunos países como España, Francia y Grecia, los niños aun conservan la costumbre de practicar
juegos de azar usando el hueso denominado astrágalo. El astrágalo no es más que un huesecillo de las
patas de las ovejas, corderos y carneros, que consta de cuatro caras a las cuales se les asignaba un
nombre.
Este dato es muy curioso si se tiene en cuenta que existen datos fidedignos como pinturas y escritos de
que este hueso era utilizado por varias civilizaciones antiguas (Egipto, Grecia, Roma) en juegos similares.
Incluso se ha hallado en excavaciones de hace 40, 000 años, lo que permite pensar que desde esa fecha
el hombre practicaba juegos de azar.
El dado cúbico más antiguo que se conoce fue encontrado en el norte de Iraq, construido en cerámica y
está fechado al comienzo del tercer milenio antes de Cristo.
Aunque los instrumentos de los juegos de azar existían desde hace varios miles de años, la teoría de la
probabilidad surgió hasta el siglo XVI.
La principal causa de esta dificultad ha sido que desde el principio, los juegos de azar han sido utilizados
en ceremonias religiosas, y para la adivinación, además que se han caracterizado por ser acompañados
de vicios, siendo estas algunas de las razones por las que surgieron leyes que prohibían la práctica de
estos juegos.
Retroalimentación sobre la guía de trabajo en el aula:
Al desarrollar la guía de trabajo, nos hemos dado cuenta que podemos medir el grado de posibilidad de
ocurrencia de un suceso, y esto lo hacemos constantemente en la vida cotidiana.
Probabilidad: La probabilidad de un suceso A, indica el grado de posibilidad de que ocurra dicho suceso.
Enfoques de la probabilidad: Subjetivo, empírico y clásico
Enfoque subjetivo:
Mencionar: El enfoque subjetivo es aquel en el cual se carece de evidencia que fundamenten
científicamente la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia de un suceso; por lo que todo depende de
la evaluación personal o subjetiva de quien emite un juicio. Por ejemplo cuando un medico antes de
una operación quirúrgica dice que la probabilidad de que la operación sea exitosa es del 90%. Este valor,
dado por el médico, es simplemente una probabilidad subjetiva.
Enfoque Empírico:
Desarrollo del juego “Cara y corona”
Mencionar: Originalmente la probabilidad fue eminentemente experimental. Si se deseaba conocer la
probabilidad de un suceso A, se repetía muchas veces el experimento y se observaba en cuantas de las
repeticiones ocurría A.
Luego se dividía el número de veces que había ocurrido A entre el número de veces que se repitió el
experimento, a este cociente se le conoce como frecuencia relativa.
Se observo que entre mayor era el número de veces que se repetía el experimento, la frecuencia relativa
se acercaba cada vez más a un valor fijo.
A este valor fijo se le conoce como la probabilidad del suceso A.
P(A)=𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑜 𝐴
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑖𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Cuando desarrollamos el juego “cara y corona” la frecuencia relativa del número de caras estaba
representada por la proporción de caras.
¿A qué valor fijo se acercaba la proporción de caras, si aumentaba el número de lanzamientos? A 0.5
¿Qué indica P(A)=0.5? Que el suceso A ocurrirá aproximadamente el 50% de las veces
Que un suceso A tenga probabilidad de 0.5 es igual a que la probabilidad del suceso A es del 50%, es
decir que de cada 100 veces que se realice el experimento 50 veces ocurrirá A.
P(A)=0.5= 50
100
Si de cada 100 veces, el suceso A ocurre cincuenta. ¿Podrías decir cuántas veces ocurrirá A si repetimos
400 veces el experimento? Ocurrirá aproximadamente 200 veces.
NOTA: Puede que el suceso A no ocurra exactamente 200 veces pero la cantidad de veces que
ocurra será muy cercana a 200.
Este resultado se conoce como la ley de los grandes números
Analicemos la siguiente situación:
Unos tahúres comentan algunas jugadas de sus partidas:
--…Tuve una tarde de suerte. Tiré el dado 180 veces y salió el 6 en 84 ocasiones---dice uno
----Pues yo tengo contabilizado que, en los tres últimos meses, el número de veces que ha salido
el 6 supera al número de veces que ha salido el 1 en 230--- dice otro
----En mis partidas sale tantas veces el 6 como el 1 como las demás caras del dado. Y puesto que
lo llevo bien contado, cada vez que apuesto, lo hago por el número que menos veces ha
salido. De esa forma gano casi siempre—dice el tercero
Analiza el comentario de cada uno, y di si están equivocados o hacen trampa, argumenta tu respuesta.
Ayuda: la probabilidad de sacar seis al lanzar un dado una vez es 1/6
Ley de los grandes números
Cuando el número de observaciones de un fenómeno aleatorio crece mucho, la
frecuencia relativa del suceso asociado se va acercando más y más a hacia un cierto
valor.
Solución:
El primer tahúr hace trampa o miente, ya que la probabilidad de obtener un seis al lanzar un dado es de 𝟏
𝟔= 𝟎.𝟏𝟔𝟕, al lanzar el dado muchas veces se esperaría que el valor obtenido sea cercano a 0.167, sin
embargo 84
180= 0.467 La diferencia es muy grande.
Analizando el comentario del segundo tahúr, podríamos seguir la siguiente idea, como el ha
contabilizado que en los últimos tres meses el 6 ha salido 230 veces más que el uno, podríamos
establecer un promedio diario de cuantas veces más puedo salir el seis que el uno. Es decir 230/90 días
que da como resultado 2.56 veces, es decir que el seis a salido aproximadamente 3 veces más que el
uno por día, este resultado es bastante aceptable por lo que el segundo tahúr no miente.
El tercer tahúr esta en lo correcto al decir que todas las caras tienen la misma posibilidad de salir. Sin
embargo el hecho de que un número haya salido pocas veces no significa que saldrá en los próximos
lanzamientos, así que el tercer tahúr está equivocado.
CENTRO ESCOLAR JAPON
Tarea 2: Leyes del azar
Asignatura: Matemática Prof. Liseth Steffany Martínez
INDICACIONES:
Resuelve ordenadamente cada uno de los siguientes ejercicios, y preséntalos en tu cuaderno la
próxima clase.
1. Nuestros amigos José y Miguel van a la feria de su pueblo donde esperan encontrar distintas
atracciones. Particularmente les gusta participar en tómbolas, tiros al blanco, y demás juegos en
los que interviene el azar. Este año se han encontrado una caseta con las siguientes distracciones:
Ruleta 1 Ruleta 2 Tiro al blanco al azar
El precio de cada tirada es de $0. 25, se consigue $1. 00 si:
La ruleta se para en la zona A. Se supone que la ruleta no tiene ninguna <<trampa>>
El dardo cae en la zona A. El blanco es bastante pequeño y como es la primera vez que se
dispara, el impacto puede producirse en cualquier punto con igual posibilidad
Si tú fueras el dueño de la atracción ¿Cuál quitarías? ¿Por qué?
2. Supón que jugamos 60 veces en la ruleta 1. ¿Qué resultado piensas que será más fácil obtener?
- 30 veces A
- 10 veces A
- 50 veces A
3. Si se gira 100 veces la ruleta 2, ¿Cuántas veces esperas que la aguja se pare en A? ¿y en B?
A B
C D
A B C
D
D
B A E
C F
Axiomas de probabilidad
Ya estudiamos que la probabilidad del suceso A es igual a la frecuencia relativa de A.
Analicemos ahora que puede suceder con la probabilidad de un suceso:
P(A)=𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑜 𝐴
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑖𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
De acuerdo con lo dicho anteriormente lo menos que puede pasar es que A no ocurriera ni una sola vez,
en este caso P(A)= 0.
Lo más que podría pasar es que A ocurriera todas las veces que se repitiese el experimento, en este
caso P(A)= 1.
Por lo tanto la probabilidad de un suceso nunca puede ser menor que cero ni mayor que uno. Esta
afirmación constituye un axioma de la probabilidad.
O sea que la probabilidad de un suceso A cualquiera siempre está comprendido entre cero y uno.
Si un suceso no ocurre nunca entonces se dice que es un suceso imposible. La probabilidad de un suceso
imposible es cero.
Si un suceso ocurre siempre entonces se dice que es un suceso seguro. La probabilidad de un suceso
seguro es uno.
Recuerda:
En matemática se llama axioma a toda verdad que no necesita ser
demostrada, ya que es evidente por sí misma.
0≤ P(A) ≤1
Aceptando como verdadero este sistema de axiomas, podemos demostrar de manera formal, muchas
otras propiedades o leyes de la probabilidad. Sin embargo, solo haremos una ilustración geométrica.
Para ello consideremos que el espacio muestral S es un rectángulo de área 1 y que cualquier suceso A
estará representado por una superficie de área igual a su probabilidad P(A)
S S
P(A)= Área de A
Tomando en cuenta estas condiciones podemos establecer las siguientes propiedades:
Como las probabilidades de los sucesos A y B tienen en común
P(A∩B) , si sumamos P(A) + P(B) estamos considerando dos
veces P(A∩B) por lo que le restamos una vez la probabilidad
de la intersección.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Si los sucesos A y B no tienen elementos en común, P(A∩B)= 0 por lo que:
P(AUB) = P(A) + P(B)
P(A) = 1 – P(AC) o P(A) + P(AC) = 1
Esta es una propiedad muy útil ya que en ocasiones es más fácil obtener la probabilidad
contraria de A
Área= 1
A
A B
A B
P (Ac)
P(A)
Ejemplo 1:
Si la probabilidad de comprar un televisor es 0.5 y la probabilidad de comprar un refrigerador es 0.7:
mientras que la probabilidad de comprar ambos es 0.3
a. ¿Cuál es la probabilidad de no comprar el refrigerador?
b. ¿Cuál es la probabilidad de comprar el televisor o el refrigerador?
Solución:
Sean los sucesos:
A: “Se compra el televisor”
B: “Se compra el refrigerador”
Entonces:
a. La probabilidad de no comprar el refrigerador es igual a P(BC) y lo que tenemos es:
P(A)=0.5 P(B) =0.7 P(A y B)= 0.3
Por lo tanto haremos uso de la propiedad P(B) + P(BC) = 1
Sustituyendo el valor de P(B):
P(B) + P(BC) = 1
0.7 + P(BC) = 1
Despejando P(BC) = 1 – 0.7
P(BC) = 0.3
b. La probabilidad de comprar el televisor o el refrigerador equivale a P(AUB)
Utilizando la propiedad: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Sustituyendo los valores conocidos:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(AUB) = 0.5 + 0.7 - 0.3
P(AUB) = 0.9 = 90%
Nota: La probabilidad de un suceso representa un porcentaje.
Ejemplo 2:
Por experiencia se sabe que un inversor comprará acciones de la banca con una probabilidad de 0.6,
que invertirá en la construcción con una probabilidad de 0.3 y que invertirá en ambos con una
probabilidad de o. 15, ¿Cuál es la probabilidad de que el inversor invierta:
a) En la banca o en la construcción
b) Que no invierta ni en la banca ni en la construcción
a)
Definamos los sucesos:
A: “Invertir en la banca”
B: “Invertir en la construcción”
P(A)= 0.6
P(B) = 0.3
P(A∩B)= 0.15
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)= 0.6 + 0.3 – 0.15
= 0. 75
b) ¿Qué significa que no invierta ni en la banca ni en la construcción? Significa que no invierta en
ninguno de las dos sectores, es decir que nos estamos refiriendo al suceso contrario de que
invierta en al menos uno de los dos.
P(No invierta en la banca ni en la construcción)= 1 – P(AUB)= 1 – 0.75 = 0.25
Ejercicios:
1. En una competencia de natación intervienen dos jóvenes que llamaremos A y B. Si se sabe que la
probabilidad que A gane, es el doble de la de B. Calcular:
a) P(A y B)
b) P(A), P(B)
c) P(A o B)
d) La probabilidad que A no gane
2. Un estudiante universitario se inscribe en un curso de estadística y otro de mercadeo. La
probabilidad de que apruebe el curso de estadística es de 0.6, y de que apruebe el curso de
mercadeo es de 0.8: la probabilidad de que apruebe los dos cursos es de 0.5. Calcular:
a) La probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos cursos
b) Que apruebe los dos cursos
CENTRO ESCOLAR JAPON
Tarea 3: Axiomas de la probabilidad
Asignatura: Matemática Srita. Liseth Steffany Martínez
INDICACIONES:
Resuelve ordenadamente cada uno de los siguientes ejercicios, y preséntalos en tu cuaderno la
próxima clase
1. En una ciudad se publican dos periódicos A y B. Realizada una encuesta, se estima que de todos los
habitantes de dicha ciudad el 25% leen A, el 19% lee B; mientras que el 4% lee ambos. ¿Cuál es el
porcentaje de personas que lee al menos uno de estos periódicos?
2. En un instituto el 66% de los estudiantes son aficionados al fútbol y el 34% lo son al baloncesto. Hay
un 27% que son aficionados a ambos deportes. Calcula la probabilidad de que al elegir un estudiante
al azar no sea aficionado al fútbol ni al baloncesto.
3. Vamos a jugar con un dado, pero sospechamos que es irregular y, antes de comenzar el juego, lo
lanzamos 100 veces y anotamos los resultados. Al final, estimamos que la probabilidad de cada
suceso elemental es:
P(1)= 0.26 P(2) = 0.20 P(3)= 0.13
P(4)= 0.15 P(5)=0.10 P(6)= 0.16
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? ¿Y de no obtener un número par?
4. Si de 100 estudiantes inscritos en un curso 20 reprobaron Estadística, 25 reprobaron Matemática y 9
reprobaron ambas materias. ¿Cuál es la probabilidad que al seleccionar un alumno de dicho curso,
este:
a) Haya reprobado Estadística o Matemática Ayuda: Encuentra que porcentaje del total
representa cada grupo
b) No haya reprobado ni Estadística ni Matemática
5. Si la probabilidad de que en un hogar salvadoreño tengan un perro es de 0.2, de que tengan un gato
es de 0.1 y de que tengan ambas clases de animales es 0.03 ¿Cuál es la probabilidad que al
seleccionar un hogar cualquiera:
a) No tengan perro
b) No tengan gato
c) Tengan perro o gato
d) No tengan ni perro, ni gato
Solución tarea 3:
1. En una ciudad se publican dos periódicos A y B. Realizada una encuesta, se estima que de todos los
habitantes de dicha ciudad el 25% leen A, el 19% lee B; mientras que el 4% lee ambos. ¿Cuál es el
porcentaje de personas que lee al menos uno de estos periódicos?
P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A∩B)
= 0.25 + 0.19 – 0.04
= 0.4 = 40 %
2. Un dado está trucado de manera que la probabilidad de sacar un número par es 0.67; además
P(1)=P(3)=P(5)
P (impar) = 1-0.67 = 0.33 P (1) =P (3) =P (5) = 0.11
3. Vamos a jugar con un dado, pero sospechamos que es irregular y, antes de comenzar el juego, lo
lanzamos 100 veces y anotamos los resultados. Al final, estimamos que la probabilidad de cada
suceso elemental es:
P(1)= 0.26 P(2) = 0.20 P(3)= 0.13
P(4)= 0.15 P(5)=0.10 P(6)= 0.16
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3?
P(Múltiplo de tres) = P(3) + P(6) = 0. 26
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? ¿Y de no obtener un número par?
P(Número par)= P(2) + P(4) + P(6) = 0.51
4. Si de 100 estudiantes inscritos en un curso 20 reprobaron Estadística, 25 reprobaron Matemática y
9 reprobaron ambas materias. ¿Cuál es la probabilidad que al seleccionar un alumno de dicho
curso, este:
a) Haya reprobado Estadística o Matemática Ayuda: Encuentra que porcentaje del total
representa cada grupo
A: “Haya reprobado estadística”
B: “Haya reprobado Matemática”
P(A): 0.20 P(B)= 0.25 P(A∩B): 0.09
P(AUB)= 0.20 + 0.25 – 0.09
=0.36
a) No haya reprobado ni Estadística ni Matemática
P(No haya reprobado ni estadística ni matemática) = 1 – 0.36= 0.64
5. Si la probabilidad de que en un hogar salvadoreño tengan un perro es de 0.2, de que tengan un
gato es de 0.1 y de que tengan ambas clases de animales es 0.03 ¿Cuál es la probabilidad que al
seleccionar un hogar cualquiera:
a) No tengan perro P(No tengan perro)= 1- 0.2= 0.80
b) No tengan gato P(No tengan gato) = 1 – 0.1= 0.9
c) Tengan perro o gato P(Tengan perro o gato) = 0.2 + 0.1 – 0.03 = 0. 27
d) No tengan ni perro, ni gato P(No tengan ni perro ni gato)= 1 – P(Tengan perro o gato) = 0.73
Enfoque clásico
Desarrollo del juego: “Juguemos con los dados”
INSTITUCIONALIZACION:
Resultados igualmente probables:
Si para un experimento aleatorio existen n resultados diferentes y todos los resultados son igualmente
probables. Entonces la probabilidad de que ocurra un resultado cualquiera se puede calcular utilizando
la Regla de Laplace, según la cual basta contar, y hacer el cociente entre el número de casos favorables
entre el número de casos posibles.
Ejemplo 1: “Se lanza una moneda al aire”
S= {cara, corona}
Existen dos posibles resultados y tenemos razones para decir que son igualmente probables. Entonces:
P (Cara)= ½
P (Corona)= ½
Ejemplo 2: “Lanzamiento de un dado” Que lo desarrollen los estudiantes
S={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}
P (1)=P (2)=P (3)=P (4)=P (5)=P (6) = 1/6
Ejemplo 3:
Una persona a marcar un número telefónico olvida el último digito. ¿Cuál es la probabilidad de que
marque el número correcto en el primer intento, si elige el último digito al azar?
El espacio muestral del suceso es S={0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} que consta de 10 elementos . De estos
diez números solo uno es correcto, como el número se elige al azar la probabilidad de que marque el
número correcto es de 1/ 10
P (A) =𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Retomemos nuevamente la idea del juego cara y corona, si efectuamos los posibles resultados al lanzar
dos dados y sumar los resultados obtendremos la siguiente tabla:
¿Cual ficha tiene mayor probabilidad de ganar? La ficha n° 7
Según la regla de Laplace ¿cuál es la probabilidad de que gane el jugador que tiene la ficha n° 6?
Casos posibles: 36
Casos favorables: 5
P(Gane la ficha n° 6) = 𝟓
𝟑𝟔
Ejemplo 4:
Alrededor del año 1700 circulaba un ejercicio conocido como “el ejercicio de las coincidencias”, que es
el siguiente:
“De una caja en la que se tienen n bolitas numeradas del 1 al n se extraen todas, una después de la otra
y sin reposición. Si por lo menos uno de los números sobre las bolitas coincide con el número de la
extracción en que se obtuvo, entonces se gana el juego. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?
Veamos este ejercicio suponiendo que solo tenemos tres bolitas.
Dado 1
Dado 2
1
3
2 ¿ ¿ ¿
CASOS POSIBLES:
1 extracción 2 extracción 3 extracción
3 2 1
CASOS POSIBLES: 3 X 2 X 1= 6
Al ser pocos los casos posibles podemos enumerar todos los casos favorables sin dificultad
Los casos posibles son: , , , , 2 3 1 , 3 1 2 ,
De los cuales solo tenemos 4 casos favorables, es decir que la probabilidad de ganar es de 4/6= 0. 67=
67%
Este es nada mas un caso particular del ejercicio de las coincidencias que se planteaba en 1700
.
Ejemplo 5:
E una urna se tienen 10 bolitas numeradas del 0 al 9. Si se extraen cuatro, una después de la otra y sin
reposición. ¿Cuál es la probabilidad que se forme un número de 4 cifras significativas que sea múltiplo
de cinco?
Solución:
Casos posibles: _10_ _ _____9___ ____8____ ___7 __ = 5,040
¿Qué significa que se forme un número de 4 cifras significativas? Que no puede iniciar con cero
¿Qué condición debe cumplir para que sea múltiplo de cinco? Que termine en cero o en cinco
Como ya mencionamos los casos favorables los vamos construyendo de acuerdo a nuestros intereses,
entonces:
Casos favorables:
_9_ _ _____8___ ____7____ ___1 __ = 504
_8_ _ _____8___ ____7____ ___1 __ = 448
TOTAL= 952
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
NOTA:
Los casos posibles son los que pueden ocurrir independientemente de nuestra voluntad.
Los casos favorables son aquellos en los que estamos particularmente interesados y por
tanto son todos aquellos que nosotros quisiéramos que ocurriera. Por eso los casos
favorables los vamos construyendo de acuerdo a nuestros intereses, no así los casos
posibles
Solo puede ir
el cero
Solo puede ir
el cinco
Definamos A: Formar un número de cuatro cifras significativas y múltiplo de cinco
P(A)= 952/ 5040 = 0. 1889
Ejemplo 8:
Un niño tiene dentro de su bolsa once canicas, seis de color blanco y cinco de color negro. El niño mete
la mano dentro de la bolsa y extrae, de una sola vez, siete canicas, encontrar la probabilidad de que
extraiga:
a) 3 blancas y 4 negras
b) 4 blancas y 3 negras
Solución:
Como las siete bolitas se extraen simultáneamente, no hay una que salga primero y otra que salga
después. Es decir que el orden de extracción no importa por tanto el problema se resuelve por medio de
combinaciones.
Casos posibles: Como el niño tiene 11 chibolas, de las cuales extrae 7, los casos posibles son: 117
Nota: Utilizaremos la notación 𝒏𝒓
Se desea extraer 3 canicas blancas y 4 negras sin importar el orden, por lo tanto al hacer uso de las
combinaciones y del principio de la multiplicación se tiene que:
P(3 blancas y 4 negras)=
63
54
117
= 0. 303
b) Los casos posibles siguen siendo los mismos
Como vamos a extraer 4 canicas blancas y 3 negras, los casos favorables son: 64
53
Luego:
P(4 blancas y 3 negras)=
64
53
117
= 0.4545
Ejercicios:
1. De entre los números 1, 2, 3, 4,…, 50 se escoge uno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un
múltiplo de 5?
2. Se extrae una bolita al azar, de una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20 azules y 15
anaranjadas. Encontrar la probabilidad de que sea:
a) Blanca
b) Distinta de azul
c) Anaranjada o Roja
3. Si se selecciona una permutación de las letras que forman la palabra “fruta”, encuentre la
probabilidad de que la permutación
a) Comience con vocal
b) Termine con consonante
c) Tenga consonantes y vocales alternadas
Probabilidad y las leyes de la herencia Mencionar:
En 1860 el monje austriaco Gregor Johann Mendel culmino una serie de experiencias que había llevado
a cabo en el jardín del monasterio en que residía. Consistían estos en el cruce de distintos tipos de
guisantes.
Elaboró un registro estadístico detallado, ,lo que le permitió descubrir las leyes básicas de la herencia.
Mendel encontró que cada característica física de un animal o una planta está determinada por un par
de genes. Algunas características que estudió en los guisantes fueron: color y textura de las semillas,
longitud de los tallos, etc.
Para el color que puede ser amarillo (a) o verde (v), se tiene lo siguiente: los guisantes serán verdes si la
planta tiene el par de genes (v, v) y serán amarillos si el par de genes es (a, a) o (a, v). Por eso se dice que
el color amarillo es dominante y el verde es recesivo.
Cada uno recibe un gen de cada uno de sus padres y tiene la misma probabilidad de obtener cualquiera
de los dos genes de cada padre.
Si se cruzan los guisantes y , entonces se tiene:
a a v v
Progenitores
Descendientes
a a v v
a v a v a v a v
Para los descendientes se puede dar cuatro casos posibles y por ser el color amarillo dominante en los
cuatro casos el color será amarillo.
Por lo tanto:
P(a)= 1
P (v)=0
Ejercicio:
Si se cruzan los guisantes y , ¿Cuál es la probabilidad de que nazca una planta con
guisantes amarillos y cuál es la probabilidad de que sean verdes?
Solución:
P(a)= 0.5
P(v)= 0.5
Nota: Esta manera de obtener la probabilidad, dividiendo el número de casos favorables entre el
número de casos posibles solo es válida cuando: LOS RESULTADOS SON IGUALMENTE PROBABLES.
a v v v
a v v v
a v a v v v v v
Probabilidad y geometría
La regla de Laplace se puede generalizar para espacios continuos por ejemplo: Si el espacio muestral es
una longitud, entonces la probabilidad se obtiene por el cociente de la longitud favorable entre la
longitud posible. Si el espacio muestral es un área, entonces la probabilidad se calcula efectuando el
cociente de área favorable entre área posible. Esto siempre que se trate de resultados igualmente
probables.
Ejemplo:
Se selecciona un punto al azar en el interior de un círculo, que mide 50 cms, de radio. Encontrar la
probabilidad que el punto seleccionado se encuentre alejado del centro por más de 15 cms.
Lo que se nos pide lo podemos ver gráficamente:
El área posible es toda el área del círculo.
Área posible: 𝜋r2= 𝜋(35)2= 2500𝜋
Para que el punto este alejado del centro por más de 15 cms , el área favorable es el área sombreada,
que no es más que el área total menos el área del círculo central cuyo radio es 15 cms.
Pedir a los alumnos que encuentren el área favorable
Área favorable: 𝜋(50)2 – 𝜋(15)2= 2500𝜋 - 250𝜋 = 2, 275𝜋
Por lo tanto si definimos, A: El punto está a más de 15 cm del centro
P(A)= 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
= 2275𝜋
2500𝜋 = 0.91
CENTRO ESCOLAR JAPON Guía de ejercicios: Cálculo de probabilidades
Asignatura: Matemática Srita. Liseth Steffany Martínez
INDICACIONES:
Resuelve ordenadamente cada uno de los siguientes ejercicios, y preséntalos en hojas de papel
bond la fecha que la maestra te indique.
1. Una moneda se lanza al aire en tres ocasiones. Encuentre la probabilidad de:
a) Obtener tres caras
b) Obtener menos de dos caras
2. Si se selecciona al azar una letra de entre las 27 letras que forman nuestro alfabeto latino. Encontrar
la probabilidad de que la letra
a) Sea vocal
b) Sea una letra anterior a la m
c) Sea una letra posterior a la r
3. En una bolsa se tienen 6 bolas amarillas y 4 rojas. Se extraen cuatro de una sola vez.
Encontrar la probabilidad de extraer
a) Solamente rojas
b) Solamente amarillas
c) 3 rojas y una amarilla
d) 2 rojas y 2 amarillas
4. Se selecciona un punto al azar del interior de un círculo de radio 40 cms.
Encontrar la probabilidad de que el punto seleccionado se encuentre:
a) A menos de 10 cms. del centro
b) A más de 20 cms. Del centro
5. Si se hace girar la ruleta. ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga en un número mayor que 5?
6. Si se selecciona un punto al azar dentro del rectángulo. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto
seleccionado pertenezca a la región sombreada?
7. De acuerdo con las leyes de la herencia(vistas en clase), si se cruzan los guisantes y
a) Encuentre la probabilidad de que surjan guisantes verdes y la de que sean amarillos
8. Si se practica el juego de las coincidencias con cuatro bolitas, numeradas del 1 al 4. ¿Cuál es la
probabilidad de ganar?
9. Se selecciona un punto al azar dentro de la figura entonces la probabilidad que corresponde a la
región sombreada es:
Figura 1 Figura 2
Figura 3
av av
4 cms 4 cms
3 cms
4 cms
Tema IV: Probabilidad condicional
Tiempo probable: 3 horas
Objetivo:
Que el alumno diferencie los sucesos dependientes e independientes y calcule la probabilidad
de este tipo de sucesos en situaciones concretas.
Sucesos dependientes:
La probabilidad de ocurrencia de un determinado suceso depende en ocasiones, de que se haya
realizado previamente uno o más sucesos relacionados con el, o de que se tenga un conocimiento
adicional sobre su ocurrencia. Una idea para calcular la probabilidad de un suceso que está
condicionado por la ocurrencia de otro, consiste en analizar la modificación que experimenta el espacio
muestral original S, en el momento en que vaya a ocurrir el suceso condicionado.
Ejemplo 1:
Un llavero tiene 7 llaves, 3 de las cuales pueden abrir el “cofre del tesoro”. Si se eligen dos llaves al azar,
una después de la otra, sin regresarlas al llavero, encuentra la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) A: la primera llave seleccionada no abra el cofre
b) B: la segunda llave seleccionada abra el cofre
Solución:
a) El espacio muestral para la primera situación tiene 3 lllaves correctas y 4 incorrectas; por lo tanto:
P(la primera llave no abra el cofre)= 4/7
b) En este caso, el suceso B supone el conocimiento de lo que sucedió en la primera selección, y de
ello depende el espacio muestral que se va a utilizar. Si ya hicimos la primera selección y el cofre no
se abrió significa que descartamos una llave incorrecta, es decir que ahora nuestro espacio muestra
es de 3 llaves correctas y tres llaves incorrectas, por lo que “la probabilidad de que la segunda abra
el cofre dado que la primera llave no lo abrió” que simbólicamente se expresa P(B/A) que se lee:
“Probabilidad de B dado A”
P(la segunda llave seleccionada abra el cofre)= P(B/A)= 3/6
Ejemplo 2:
Una clase de segundo año de bachillerato tiene 20 estudiantes del sexo femenino y 30 del sexo
masculino. De ellos, 8 del sexo femenino y 14 del masculino han realizado estudios adicionales de
computación y poseen una mayor habilidad en esta área que el resto de sus compañeros. Si un
estudiante es elegido al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sepa computación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga conocimientos sobre computación, si sabemos que el
estudiante seleccionado es del sexo femenino?
Solución:
Definamos los sucesos:
C: el estudiante seleccionado sabe computación
F: el estudiante seleccionado sea del sexo femenino
Con los datos que tenemos podemos construir la siguiente tabla:
Condición Femenino Masculino Total C: sabe computación 8 14 22
CC: no sabe computación 12 16 28
Total 20 30 50
a) Para calcular P(C) basta observar que hay 22 estudiantes, del total de 50 que saben computación.
Luego:
P(C) = 22/50= 11/25
b) Se trata de calcular P(C/F): “la probabilidad de que el estudiante seleccionado sepa computación,
dado que ya sabemos que es del sexo femenino”.
Como ya sabemos que el estudiante es del sexo femenino, esta condición hace la restricción del
espacio muestral.
De las señoritas 8 de un total de 20, saben computación; por lo tanto:
P(C/F)= 8/20 = 2/5
La tabla que hemos construido también es útil para encontrar la probabilidad de diferentes sucesos, por
ejemplo:
Suceso: El estudiante seleccionado… Probabilidad
F: es del sexo femenino P(F)= 20/50 M: es del sexo masculino P(M)= 30/50
C∩F: Sabe computación y es del sexo femenino P(C∩F)=8/50 CC ∩ M: No sabe computación y es del sexo
masculino P(CC ∩ M) = 16/ 50
CC: No sabe computación P(CC)= 28/ 50
Si regresamos al ejemplo anterior, es decir a P(C/F)= 8
20, y dividimos numerador y denominador de la
fracción entre 50, tenemos:
P(C/F)=
8
5020
50
= 𝑃(𝐶∩𝐹)
𝑃(𝐹) , lo cual nos conduce a una definición y a una forma alternativa de calcular este
tipo de probabilidad:
Simétricamente, P(B/A) = 𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴), Si P(B) ≠ 0
Ejemplo 3:
Se lanza un dado y se obtiene un número mayor o igual que 4. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un
número par?
Solución:
Definamos los sucesos:
A: El número es par
B: el dado mostró un número mayor o igual que 4
Nos interesa saber cuál es la probabilidad de que el dado haya caído en número par, sabiendo que “el
dado mostró un número mayor o igual que 4”. Es decir P(A/B).
Tenemos:
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} A: {2, 4, 6} B= {4, 5, 6} (𝐴 ∩ 𝐵)= {4, 6}
P(A/B)= 𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)=
2
63
6
= 2
3
Probabilidad condicional
Dados dos sucesos A y B, el termino P(A/B) designa la probabilidad condicional de
A, dada la realización de B. Y se define mediante:
P(A/B)= 𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵), Si P(B)≠ 0
Sucesos independientes
No todos los sucesos están condicionados por la realización de otros. Muchos acontecimientos pueden
ocurrir incluso simultáneamente, sin que para ello exista una relación de dependencia.
Los siguientes son algunos ejemplos de estos sucesos:
La señora Rosa Martínez compro una refrigeradora y un televisor japonés, la refrigeradora se
arruino el miércoles pasado y al día siguiente el televisor. Es razonable pensar que si, no hay
otra causa (cambios bruscos de voltaje, malas instalaciones eléctricas, etc.) la probabilidad de
que el televisor se arruinara es independiente de que la refrigeradora ya no funcione.
El problema delincuencial está por todos lados. El martes al señor Parker que vive en Los
Ángeles, se le introdujeron los ladrones a su casa. Curiosamente, a la misma hora, o talvez unos
minutos después, le sucedió lo mismo en su casa al Sr. Luis Rodríguez que vive en San José,
Costa Rica.
Si el Sr, Parker y el Sr. Rodríguez no son amigos ni socios y ni siquiera se conocen, la realización
casi simultánea de haber sido visitados por los ladrones es solo mala suerte, pues son hechos
independientes.
Relacionando este tipo de sucesos con la probabilidad condicional, tenemos:
En otras palabras, la realización de B no condiciona la realización de A, ni la ocurrencia de A influye
sobre la ocurrencia de B.
Si P(A/B) = P(A), entonces por la definición de la probabilidad condicional se tiene que:
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)= P(A/B), despejando P(A∩B)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)= P(A/B) 𝑃(𝐵), pero como P(A/B) = P(A)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)= P(A) 𝑃(𝐵)
Este resultado nos conduce a una definición bastante práctica para propósitos de cálculo:
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes en su realización, si:
P(A/B)= P(A) y P(B/A)= P(B)
Probabilidad de sucesos independientes
Si dos sucesos A y B son independientes, entonces:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)= P(A) 𝑃(𝐵)
También si se tiene, que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)= P(A) 𝑃(𝐵), entonces A y B son independientes
Nota: Debe tenerse cuidado para no confundir los sucesos independientes con los sucesos que no
tienen elementos en común.
Los sucesos que no tienen elementos en común se pueden graficar por medio de diagramas de Venn y
los sucesos independientes son los que no tienen relación entre ellos.
Ejemplo 4:
La señora Rosa Martínez compro una refrigerada mexicana y un televisor japonés. La probabilidad de
que la refrigeradora funcione en buen estado durante el periodo de garantía es de 0.80, y similarmente
la de la televisión es de 0.90. Mencione que las probabilidades tiene la señora de:
a) Ambos electrodomésticos funcionen correctamente durante sus respectivos periodos de garantía.
b) Que ninguno de los dos sobrepase su periodo de garantía.
Solución:
a) Definamos los sucesos:
A: “La refrigeradora mexicana funcione en buen estado durante el periodo de garantía”
B: “El televisor japonés funcione en buen estado durante el periodo de garantía”
P(A)= 0.80
P (B)= 0.90
Que ambos electrodomésticos funcionen correctamente durante sus respectivos periodos de
garantía significa que se dé el suceso A y B o lo que es igual A∩B, como ambos sucesos son
independientes, entonces:
P(A∩B) = P(A) P(B)
= 0.80 x 0.90
= 0.72
b) Que ninguno de los dos sobrepase su periodo de garantía equivale a que suceda el suceso Ac ∩ BC
Luego:
P (AC) = 1 - P(A)
= 1 – 0.80 = 0.20
P (BC) = 1-P(B)
=1 -0.90= 0.10
Luego
P (Ac∩Bc) = P(Ac) P(Bc)
= 0.20 x 0.10
=0. 02
Ejercicios:
Identifica en los siguientes ejercicios si los sucesos son dependientes o independientes y calcula lo
que se te pide.
1. Una encuesta realizada entre 100 estudiantes( del sexo masculino y femenino) de bachillerato,
sobre si al finalizar sus estudiantes de bachillerato ingresarían a la universidad o continuarían una
carrera técnica, se resume en el siguiente cuadro:
Carrera universitaria Carrera técnica Totales por sexo
Sexo femenino 22 16
Sexo masculino 36 26
Totales por carrera
Si un estudiante es seleccionado al azar, determinar las siguientes probabilidades:
a) Probabilidad de que sea del sexo femenino
b) Probabilidad de que sea del sexo masculino y que estudiará una carrera técnica
c) Probabilidad de que estudie una carrera universitaria ya que sabemos que el estudiante
seleccionado es del sexo femenino
d) Si sabemos que va a estudiar una carrera universitaria, ¿Cuál es la probabilidad de que sea del
sexo femenino?
2. Dados los valores de probabilidad P(A)= 0.8 P(B)= 0.3 y P(A∩B)= 0.24
Determinar si los sucesos A y B son independientes.
