Upload
hoangkiet
View
233
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
(Guru Besar pada Fakultas Ekonomi dan Manajemen (FEM), IPB)
(Lektor pada Fakultas Ekonomi Universitas Jambi)
© Bambang Juanda & Junaidi: EkonometrikaDeret Waktu
Setelah mengikuti pembahasan bab ini, pembaca diharapkan
dapat :
Memahami model ARIMA.
Memahami prosedur Box-Jenkins dalam model ARIMA.
Mengimplementasikan model ARIMA.
Memahami prosedur Eviews untuk pemodelan ARIMA
Menginterpretasikan output program Eviews model ARIMA
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
dikembangkan George E.P. Box dan Gwilym M. Jenkins (1976),
sehingga ARIMA juga disebut metode deret waktu Box-Jenkins.
Model Box-Jenkins terdiri dari model : Autoregressive (AR),
Moving Average (MA), Autoregressive-Moving Average (ARMA),
dan Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Proses regresi diri (autoregressive), AR: regresi deret Yt terhadap
amatan waktu lampau dirinya sendiri.
Yt-k, untuk k = 1, 2,..., p.
|βj| < 1, dan et kumpulan semua peubah yg mempengaruhi Yt
selain nilai p amatan waktu lampau terdekat.
Dapat diperhatikan bahwa model ini sudah dikurangi dengan
konstanta nilaitengah atau garis kecenderungan (trend) deret,
sehingga E(Yt ) = 0. Dengan demikian, deret yang digunakan di
dalam model ini adalah simpangan terhadap rataannya atau
terhadap garis kecenderungannya. Jika garis kecenderungannya
membentuk kecenderungan musiman, maka model ini dikatakan
“deseasonalized” atau secara umum dikatakan “detrended”,
yaitu model yang garis trend-nya sudah dihilangkan
tptpttt eYYYY ...2211
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
(Data Stasioner)
Proses Regresi Diri Ordo Pertama
Model regresi diri ordo pertama, AR(1), diberikan oleh:
Sifat-sifat AR(1) yang stasioner adalah :
Syarat kestasioneran proses AR(1) ini ialah bahwa | β1 |< 1.
ttt eYY 11
0
22
1
22
0
/
)1/(
)1/()(
0)(
kk
k
kk
t
t
YVar
YE
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Proses Regresi Diri Ordo Kedua
Model regresi diri ordo kedua, AR(2), diberikan oleh:
Sifat-sifat AR(2) yang stasioner adalah :
Persamaan di atas dinamakan persamaan Yule-Walker.
Syarat kestasioneran AR(2):
β1 + β2 < 1, β2 - β1 < 1, dan |β2| < 1
tttt eYYY 2211
,...2,1
,...2,1
2211
2211
kuntuk
kuntuk
kkk
kkk
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Proses Regresi Diri Ordo p AR(p)
Model regresi diri ordo p, AR(p), diberikan oleh:
Sifat-sifat AR(p) yang stasioner:
Persamaan Yule-Walker untuk AR(p) adalah:
ρ1 = β1 + β2ρ1 + … + βp ρp-1
ρ2 = β1ρ1 + β2 + … + βp ρp-2
.
.
ρp = β1ρp-1 + β2ρp-2 + … + βp
,...2,1...2211 untukeYYYY tptpttt
tpkpkkk e ...2211
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Suatu deret waktu dinamakan deret waktu rataan bergerak ordo ke
q, MA(q), bila:
dengan e didefinisikan sebagai ingar putih (white noise or innovation)
Rataan Bergerak Ordo Pertama
Model yang paling sederhana adalah MA(1), yaitu :
Sifat-sifat model ini adalah :
qtqtttt eeeeY ...2211
11 ttt eeY
20
)1/(
)1/()(
0)(
2
1
2
1
22
0
kuntuk
YVar
YE
kk
t
t
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Pakai Eviews dg tanda “-”
Pakai EViews: 11 ttt eeY
Rataan Bergerak Ordo Kedua
Model MA(2):
Sifat-sifat model:
Rataan Bergerak Ordo q
Model umum MA(q) :
berlaku :
2211 tttt eeeY
30
)1/(
)1/()(
)(
)1/()(
0)(
2
2
2
122
2
2
2
12111
2
12
2
2111
22
2
2
1
2
0
kuntuk
YVar
YE
kk
t
t
qtqtttt eeeeY ...2211
1,0
,...2,1...1
...22
2
2
1
2211
qkuntuk
qkuntukkq
qkqkkk
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Jika model terdiri atas gabungan proses regresi diri ordo p dan rataan
bergerak ordo q, dinamakan ARMA(p,q).
Bentuk umum persamaan ARMA(p,q):
ARMA(1,1)
Persamaan Yule Walker untuk ARMA(1,1) diberikan oleh:
ARMA(p,q)
Persamaan Yule-Walker untuk ARMA(p,q) diberikan oleh:
qtqtttptpttt eeeeYYYY ...... 22112211
qkuntukpkpkkk ...2211
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Persyaratan utama model AR, MA, ARMA adalah
kestasioneran data deret waktu yang digunakan
Jika data deret waktu tidak stasioner dalam level, perlu dibuat
stasioner melalui proses diferensi (difference).
Jika diferensi pertama belum menghasilkan deret yang
stasioner, dilakukan diferensi tingkat berikutnya.
Model AR, MA atau ARMA dengan data yang stasioner
melalui proses diferensi ini disebut dengan model
autoregressive-integrated-moving average (ARIMA).
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Prosedur Box-Jenkins
Untuk menentukan perilaku data mengikuti pola AR, MA,
ARMA atau ARIMA, dan untuk menentukan ordo AR, MA.
Empat tahapan prosedur Box-Jenkins :
1. Identifikasi Model
2. Estimasi Parameter Model
3. Evaluasi Model
4. Prediksi atau Peramalan
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Identifikasi Model
Deteksi masalah stasioner data. Jika tidak stasioner, lakukan
proses diferensi untuk mendapatkan data stasioner
Identifikasi model ARIMA melalui autocorrelation function (ACF)
dan partial autocorrelation function PACF
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
PACF
PACF
PACF
PACF
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
PACF
PACF
PACF
PACF
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Estimasi Parameter Model
Pengujian kelayakan model dengan mencari model terbaik.
Model terbaik didasarkan goodness of fit melalui uji t, F, R2 serta kriteria
AIC (Akaike information criterion) dan SC (Schwarz criterion)
Evaluasi Model
Lakukan pengujian terhadap residual model yang diperoleh. Model yg
baik memiliki residual bersifat random (white noise).
Analisis residual dgn korelogram melalui ACF dan PACF.
Jika koefisien ACF dan PACF secara individual tidak signifikan, residual
bersifat random. Jika residual tidak random, pilih model yang lain.
Pengujian signifikansi ACF dan PACF dapat dilakukan melalui uji dari
Barlett, Box dan Pierce maupun Ljung-Box.
Prediksi atau Peramalan
Melakukan prediksi atau peramalan berdasarkan model terpilih
Evaluasi kesalahan peramalan: Root Mean Squares Error (RMSE), Mean
Absolute Error (MAE), Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Identifikasi Model
Deteksi masalah stasioneritas
Identifikasi model ARIMA (p,0,q) melalui ACF dan PACF
Bentuk model, dengan cara: Quick > Estimate Equation.
Pilih model dg beberapa pertimbangan sebagai berikut:
Koefisien determinasinya (R-squared) yang terbesar
Kriteria AIC dan SC yang terkecil
• Pada kotak Equation specification, tuliskan
persamaannya sesuai hasil dua langkah
identifikasi sebelumnya
• Lakukan hal ini secara berulang, sesuai
banyaknya model alternatif
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Contoh output model AR
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Evaluasi Model
Evaluasi model dgn menganalisis residualnya melalui korelogram
ACF maupun PACF
Dari workfile, klik View >Residual Tests > Correlogram–Q–statistics.
Contoh hasilnya sbb:
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Prediksi atau Peramalan
Dari menu utama Eviews klik Proc, akan muncul tampilan berikut:
Klik Structure/Rezise Current Page, akan muncul tampilan berikut:
Buka hasil estimasi model. Dari workfile, Klik Proc > Forecast. Muncul
tampilan:
Perpanjang range sampel sesuai keinginan
periode peramalan. Jika periode peramalan
10 periode, data asli sebanyak 246
observasi, maka pada data range diisi 256.
Isikan/Pilih:
• Series to forecast: pilih peubah asli, bukan diferensi
• Series names: tulis peubah penyimpan hasil peramalan
• Method: pilih Dynamic forecast
• Output: centang Forecast graph dan Forecast evaluation
• Klik OK
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Klik Structure/Rezise Current Page
Perpanjang range sampel sesuai keinginan
periode peramalan. Jika periode peramalan
10 periode, data asli sebanyak 246
observasi, maka pada data range diisi 256.
Contoh output forecast dinamic
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
B Xt = Xt-1
B (B Xt) = B2 Xt = Xt-2
ARIMA(0,1,0) (1 – B) Xt = et-1
ARIMA(0,d,0) (1 – B)d Xt = et-1
ARIMA(2,1,1) (1 – φ1 B – φ2 B2)(1 - B)Xt = (1 – θ1 B)et
Tabel 9-1 (Makridakis et. al.)
ARIMA(2,1,0) (1 – φ1 B – φ2 B2)(1 - B)Xt = et
Output Minitab: AR1 =φ1 = 1.29756 AR2 = φ2 = -0.70308
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Penulisan Backward Shift Operator
Table 9-2
Data trend & musiman
Nonseasonal first-difference dan Seasonal-difference: ARIMA(p,1,q)(P,1,Q)12
Nonseasonal first-difference: Zt = Xt – Xt-1
Seasonal first-difference: Yt = Xt – Xt-12
Nonseasonal first-difference, kemudian Seasonal-difference:
Zt - Zt-12 = (Xt – Xt-1) - (Xt-12 – Xt-13) = Xt – Xt-1 - Xt-12 + Xt-13
Seasonal first-difference, kemudian Nonseasonal-difference:
Yt - Yt-1 = (Xt – Xt-12) - (Xt-1 – Xt-13) = Xt – Xt-1 - Xt-12 + Xt-13
Xt ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12
(1 – B)(1 - B12)Xt = (1 – θ1 B)(1 – Θ1 B12)et
Output Minitab: MA1 =θ1 =0.868497 SMA12 =Θ1 = 0.776126
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Penulisan Backward Shift Operator
Table 9-3
Data trend & variasi makin besar (Nonstasioner dlm nilai tengah & ragam)
Harus stasioner dulu dlm Ragam transformasi Log (Ln) atau akar kuadrat
Jika tidak stasioner dlm Ragam, hasilnya dapat menyesatkan.
a. Dari data Asli Nonseasonal first-difference dan Seasonal-difference:
Xt ARIMA(p,1,q)(P,1,Q)12
Nonseasonal first-difference, kemudian Seasonal-difference:
Zt - Zt-12 = (Xt – Xt-1) - (Xt-12 – Xt-13) = Xt – Xt-1 - Xt-12 + Xt-13
Masih tidak stasioner dlm Ragam
b. Dari data Ln Xt Nonseasonal first-difference dan Seasonal-difference:
Ln Xt ARIMA(p,1,q)(P,1,Q)12
Stasioner dlm Nilai tengah dan Ragam
Ln Xt ARIMA(0,1,1)(1,1,1)12
(1 – Φ1 B12) (1 – B)(1 - B12)Xt = (1 – θ1 B)(1 – Θ1 B12)et
Output MTB: SAR12=Φ1=0.031698 MA1=θ1 =0.576482 SMA12=Θ1= 0.909646
© Bambang Juanda & Junaidi: Ekonometrika Deret Waktu
Penulisan Backward Shift Operator
Model –Model Deret Waktu Stasioner
• Proses Rataan Bergerak, MA(q).
Zt = at - q1at-1 - q2at-2 - …. - qqat-q
• Proses Regresi Diri. AR (p)
Zt = f1Zt-1 + f2Zt-2 + …. + fpZt-p + at
• Proses Campuran, ARMA(p,q)
Zt = f1Zt-1 + f2Zt-2 + …. + fpZt-p
+ at - q1at-1 - q2at-2 - …. - qqat-q
• at adalah white noise
Fungsi Korelasi Diri (ACF)
Untuk menentukan Ordo q dari Proses MA.
‘jumlah yg signifikan’
,....2,1,0,)(
))((r
1
1
2
kn
t
kn
t
ZZ
ZZZZ
t
ktt
k
Fungsi Korelasi Diri Parsial (PACF)
• Korelasi diri parsial antara Zt dan Zt-k
deret waktu stasioner, dilambangkan
sebagai fkk, ialah korelasi antara setelah
pengaruh dari peubah lainnya Zt-1, Zt-2,
….., Zt-k+1 disisihkan.
• Untuk menentukan Ordo p dari Proses
AR (p) -> ‘jumlah yg signifikan’
Proses MA(q)
• ACF menjadi nol setelah lag q
• PACF tidak menjadi nol setelah lag
tertentu.
Proses AR(p)
• PACF menjadi nol setelah lag p.
• ACF tidak menjadi nol setelah lag
tertentu.
Penentuan Ordo p dan qdari Data Stasioner
• Ordo p dari PACF, fungsi korelasi diri
parsial (jumlah yg ‘signifikan’)
• Ordo q dari ACF, fungsi korelasi diri
(jumlah yg ‘signifikan’)
Model Deret Waktu Non-stasioner
• Tidak memiliki nilai tengah yang
konstan.
• ‘Dapat’ distasionerkan dengan Opersi
Beda.
DZt = Zt - Zt-1 adalah beda pertama Zt
D2Zt = DZt - DZt-1 beda kedua Zt.
Model ARIMA(p,d,q)
• Deret waktu {Zt} mengikuti model
ARIMA jika deret beda ke-d, Wt = DdZt
adalah proses ARMA yang stasioner.
• Jika Wt adalah ARMA(p,q), maka Zt
disebut ARIMA(p,d,q).
• ‘Biasanya’ ordo (p,d,q) paling besar 2.